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% (find-angg "LATEX/2015-1-GA-lista-edrx-1.tex")
% (find-angg "LATEX/2015-1-GA-lista-edrx-1.lua")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2015-1-GA-lista-edrx-1.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2015-1-GA-lista-edrx-1.tex"))
% (defun l () (interactive) (find-LATEX "2015-1-GA-lista-edrx-1.lua"))
% (defun q () (interactive) (find-djvupage "~/2015.1-GA/2015.1-GA.djvu"))
% (defun r () (interactive) (find-angg ".emacs.papers" "reis-silva"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf")
\documentclass[oneside]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}     % (find-LATEX "whipping-girl.tex")
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
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\usepackage{luacode}
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\directlua{dofile "\jobname.lua"}


{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Geometria Analítica
\par PURO-UFF - 2015.1
\par Lista de exercícios 1 - Eduardo Ochs
\par Versão: 05/abril/2015 12:40
\par Links importantes:
\par \url{http://angg.twu.net/2015.1-GA.html} (pÔgina do curso)
\par \url{http://angg.twu.net/2015.1-GA/2015.1-GA.pdf} (quadros)
\par \url{http://angg.twu.net/2015.1-GA/GA\_Reis\_Silva.pdf} (livro)
\par \url{http://angg.twu.net/2015.1-GA/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf}
     (lista, atualizada)
\par {\tt eduardoochs@gmail.com} (meu e-mail)
}

\bsk
\bsk

% (find-LATEX "2014-2-GA-lista1.tex")
\def\nip{\par\noindent}
\def\uu{{\vec u}}
\def\vv{{\vec v}}
\def\ww{{\vec w}}
\def\Vec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\VEC#1{{\overrightarrow{(#1)}}}
\def\Pr{{\text{Pr}}}
\def\Pru{\Pr_\uu}
\def\Prv{\Pr_\vv}
\def\Prw{\Pr_\ww}

% (find-es "tikz" "mygrid")
%
\tikzset{axis/.style=very thick}
\tikzset{tick/.style=thick}
\tikzset{grid/.style=gray!20,very thin}
%
\def\mygrid(#1,#2) (#3,#4){
  \clip              (#1-0.4, #2-0.4) rectangle (#3+0.4, #4+0.4);
  \draw[step=1,grid] (#1-0.2, #2-0.2) grid      (#3+0.2, #4+0.2);
  \draw[axis] (-10,0) -- (10,0);
  \draw[axis] (0,-10) -- (0,10);
  \foreach \x in {-10,...,10} \draw[tick] (\x,-0.2) -- (\x,0.2);
  \foreach \y in {-10,...,10} \draw[tick] (-0.2,\y) -- (0.2,\y);
}

% Dots, labels, vectors
%
\tikzset{anydot/.style={circle,inner sep=0pt,minimum size=1mm}}
\tikzset{opdot/.style={anydot, draw=black,fill=white}}
\tikzset{cldot/.style={anydot, draw=black,fill=black}}





Note que nas aulas, p.ex., na de 13/março, nós insistimos na distinção
entre $(a,b)$ e $\VEC{a,b}$; o Reis/Silva não faz isto. E ele evita a
notação de conjuntos; o que nós escrevemos como $\setofst{(x,y) \in
  \R^2}{y = ax + b}$ ele escreve só como ``$y = ax+b$'', e o que
escrevemos como $\setofst{(a,c)+t\VEC{b,d}}{t \in \R}$ ou
$\setofst{(a+tb,c+td)}{t \in \R}$ ele escreve como:
%
$$\begin{array}{l} x = a+tb \\ y = c+td. \end{array}$$

\bsk
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% |_|
%    
\nip 1) Para cada um dos casos abaixo,
\par (a) $A=(1,4)$, $\vv=\VEC{0,-1}$ $A'=(5,1)$, $\vv'=\VEC{-2,0}$
\par (b) $A=(1,3)$, $\vv=\VEC{-1,1}$ $A'=(0,1)$, $\vv'=\VEC{2,0}$
\par (c) $A=(0,4)$, $\vv=\VEC{3,-3}$ $A'=(2,4)$, $\vv'=\VEC{1,-2}$
\par (d) $A=(0,1)$, $\vv=\VEC{1,1}$ $A'=(0,2)$, $\vv'=\VEC{2,2}$
\nip sejam $r=\setofst{A+t\vv}{t \in \R}$, $r'=\setofst{A'+t'\vv'}{t' \in \R}$.

\nip Represente graficamente, num plano só:
\par os pontos de $r$ correspondentes a $t=0$, $t=1$, $t=2$,
\par os pontos de $r'$ correspondentes a $t'=0$, $t'=1$, $t'=2$,
\par a reta $r$,
\par a reta $r'$.
\nip Depois encontre no olhÃ∧metro:
\par o ponto $B \in r \cap r'$,
\par o valor de $t$ tal que $B=A+t\vv$,
\par o valor de $t'$ tal que $B=A'+t'\vv'$,
\nip e confira algebricamente que para os valores de $t$ e $t'$ que
você encontrou você tem $A+t\vv=A'+t\vv'$.

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%        
\nip 2) Sejam $A=(0,1)$, $\vv=\VEC{3,2}$ $r=\setofst{A+t\vv}{t \in
  \R}$, $r'=\setofst{(x,y) \in \R^2}{y = 4-2x}$. Encontre um valor de
$t$ para o qual $A+t\vv$ obedeça a equação $y = 4-2x$, e use isto para
encontrar o ponto de interseção de $r$ e $r'$.

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%  ___) |
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%        
\nip 3) Sejam $A=(1,4)$ $\vv=\VEC{3,-2}$ $r = \setofst{A+t\vv}{t \in \R}$,
$B = (5,4)$. Encontre um vetor $\ww$ não-nulo ortogonal a $\vv$ e
use-o para encontrar uma reta $r'$ que passa por $B$ e é ortogonal a
$r$. Depois represente graficamente, num plano só, $A$, $B$, $\vv$,
$\ww$, $r$, $r'$.

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%    |_|  
%         
\nip 4) Verdadeiro, falso, justifique (de um jeito que o leitor de
ressaca entenda... isto é um exercício de {\it escrita}!):
\par a) $\Pr_{\VEC{a,b}} 2\VEC{c,d} = 2 \Pr_{\VEC{a,b}} \VEC{c,d}$
\par a) $\Pr_{2\VEC{a,b}} \VEC{c,d} = 2 \Pr_{\VEC{a,b}} \VEC{c,d}$

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%  ____  
% | ___| 
% |___ \ 
%  ___) |
% |____/ 
%        
\nip 5) Leia as seções 2.8 e 2.9 do Reis/Silva (pp.40-46, sobre equações
paramétricas e cartesianas da reta) e faça os exercícios 2.49, 2.50 e
2.51 (p.52).

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% {\it VOU ACRESCENTAR MAIS EXERCÍCIOS AQUI DEPOIS!}
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%        
\nip 6) A partir de um ponto e dois vetores em $\R^2$ podemos formar
um paralelogramo, como nas figuras abaixo:
%
$$
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,auto]
  \mygrid (0,-1) (8,7);
  \node (AV)  at ( 3,6) [cldot,label=above:{$(3,6)$}] {};
  \node (AVW) at ( 7,6) [cldot,label=above:{$(7,6)$}] {};
  \node (A)   at ( 1,0) [cldot,label=below:{$(1,0)$}] {};
  \node (AW)  at ( 5,0) [cldot,label=below:{$(5,0)$}] {};
  \draw [->] (AV) to node        {$\VEC{4,0}$} (AVW);
  \draw [->] (A)  to node        {$\VEC{2,6}$} (AV);
  \draw [->] (AW) to node [swap] {$\VEC{2,6}$} (AVW);
  \draw [->] (A)  to node [swap] {$\VEC{4,0}$} (AW);
\end{tikzpicture}
%
\qquad
%
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,auto]
  % \mygrid (0,-1) (8,7);
  \node (AV)  at ( 3,6) [cldot,label=above:{$A{+}\vv$}] {};
  \node (AVW) at ( 7,6) [cldot,label=above:{$A{+}\vv{+}\ww$}] {};
  \node (A)   at ( 1,0) [cldot,label=below:{$A$}] {};
  \node (AW)  at ( 5,0) [cldot,label=below:{$A{+}\ww$}] {};
  \draw [->] (AV) to node        {$\ww$} (AVW);
  \draw [->] (A)  to node        {$\vv$} (AV);
  \draw [->] (AW) to node [swap] {$\vv$} (AVW);
  \draw [->] (A)  to node [swap] {$\ww$} (AW);
\end{tikzpicture}
$$

Note que uma representa um caso particular e a outra o caso geral
(veja os quadro da aula de 13/mar). Na da esquerda o ponto-base é
$(1,0)$ e os vetores são $\VEC{2,6}$ e $\VEC{4,0}$, e na da direita
são $A$, $\vv$ e $\ww$ respectivamente.

Se acrescentamos às figuras os pontos médios de cada lado, as
diagonais do paralelogramo e os segmentos ligando os pontos médios
de lados opostos, e marcamos certos deslocamentos como setas para
indicar que queremos vê-los como vetores, obtemos figuras como a
abaixo:
%
$$
\def\arr     #1 #2;{\draw [->] (#1) to (#2);}
\def\arrs #1 #2 #3;{\arr #1 #2;\arr #2 #3;}
%
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,auto]
  \node (AV)  at ( 3,6) [cldot] {};
  \node (AVw) at ( 5,6) [cldot] {};
  \node (AVW) at ( 7,6) [cldot] {};
  \node (Av)  at ( 2,3) [cldot] {};
  \node (Avw) at ( 4,3) [cldot] {};
  \node (AvW) at ( 6,3) [cldot] {};
  \node (A)   at ( 1,0) [cldot] {};
  \node (Aw)  at ( 3,0) [cldot] {};
  \node (AW)  at ( 5,0) [cldot] {};
  %
  \arrs AV AVw AVW; % horiz top
  \arrs Av Avw AvW; % horiz middle
  \arrs A Aw AW;    % horiz bottom
  \arrs A  Av  AV;  % vert left
  \arrs Aw Avw AVw; % vert midde
  \arrs AW AvW AVW; % vert right
  \arrs A  Avw AVW; % the "/" diagonal
  \arr Avw AV;
  \arr Avw AW;
  %
\end{tikzpicture}
$$

Para cada um dos quatro casos abaixo dê as coordenadas de cada um 9
pontos e as componentes dos 6+6+4 vetores da figura. Dica: faça
três cópias bem grandes da figura acima e trabalhe sobre elas!

\msk

a) Ponto base $(1,0)$, vetores $\VEC{2,6}$ e $\VEC{4,0}$

b) Ponto base $(a,b)$, vetores $\VEC{c,d}$ e $\VEC{e,f}$

c) Ponto base $A$, vetores $\vv$ e $\ww$

d) Ponto base $(A_1,A_2)$, vetores $\VEC{v_1,v_2}$ e $\VEC{w_1,w_2}$

\msk

Mais dicas: um dos vetores de uma das figuras vai ser
$\frac{\vv}2-\frac{\ww}2$; $-\frac{\ww}2$ pode ser visto tanto como
$(-\frac 1 2) \cdot \ww$ quanto como $-(\frac 1 2 \cdot \ww)$; acabei
não escrevendo explicitamente nada sobre ``vetores opostos'' nos
quadros, mas você pode aprender sobre eles no Reis/Silva, p.21; a
nossa lista de operações que não dão erro {\it não}
inclui calcular pontos médios deste jeito,
%
$$ \frac{(A_1,A_2) + (B_1,B_2)}{2} =
   \left( \frac{A_1+B_1}2 , \frac{A_2+B2}2 \right),
$$
%
mas o modo mais prÔtico de trabalhar com pontos médios no nosso
sistema, em que qualquer operação não-definida dÔ erro
(veja as aulas de 13/mar e 18/mar), seria acrescentar a igualdade
acima na lista das definições de operações permitidas.

\bsk
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%  _____ 
% |___  |
%    / / 
%   / /  
%  /_/   
%        

\nip 7) Os exercícios (6a), (6b), (6c), (6d) acima são pra você
aprender ``na prÔtica'' bastante coisa sobre pontos médios, sobre
completar figuras com vetores, etc... eles na verdade são uma {\it
  preparação} pra você poder fazer estes exercícios aqui sem grandes
dificuldades:

\msk

Reis/Silva, exercícios 2.3, 2.4, 2.5, 2.10, 2.11, 2.12, 2.17, 2.18,
2.19, 2.22, 2.23, 2.24, 2.25 (pp.28--30).

\msk 

Lista 1 da Ana Isabel, exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16,
17.

Link pra lista:

\url{http://angg.twu.net/2015.1-GA/2015.1-GA-lista-bel-1.pdf}



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\newpage


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%  ( _ ) 
%  / _ \ 
% | (_) |
%  \___/ 
%        
\nip 8) Sejam $A=(0,4)$, $B=(6,0)$, $r=\setofst{(x,y) \in
  \R^2}{d(A,(x.y)) = d(B, (x,y))}$, $M=\frac{A+B}2$, $\vv$ um vetor
ortogonal a $\Vec{AM}$ não-nulo à sua escolha, $s=\setofst{M+t\vv}{t
  \in \R}$.

\msk

a) Verifique que os pontos $d(A,P)=d(B,P)$ quando $P=M$ e quando $P =
M+\vv$.

b) Encontre a equação cartesiana da reta $r$. Mais precisamente,
encontre números reais $m$ e $k$ tais que a reta $r' = \setofst{(x,y)
  \in \R^2}{y=mx+k}$ seja igual à reta $r$.

c) Represente graficamente $A$, $B$, $r$, $M$, $\vv$, $s$ num plano
só.

d) Verifique que os pontos $M$ e $M+\vv$ obedecem $y=mx+k$.

e) Faça os exercícios 10, 11 e 12 da lista 1 da Ana Isabel.

\msk

\nip Dicas: 
\nip $d(A,P) = d(B,P)$ se e só se $||P-A|| = ||P-B||$,
\nip $||P-A|| = ||P-B||$ se e só se $||P-A||^2 = ||P-B||^2$,
\nip $||P-A||^2 = ||P-B||^2$ se e só se $||P-A||^2 - ||P-B||^2 = 0$,
\nip expandindo $||(x,y)-A||^2 - ||(x,y)-B||^2$ obtemos algo da forma
     $ax+by+c$ (os termos de grau mais alto desaparecem).

\bsk
\bsk


%   ___  
%  / _ \ 
% | (_) |
%  \__, |
%    /_/ 
%        
\nip 9) Nos casos abaixo, calcule $d(A,B+t\vv)^2$ para os valores de
$t$ pedidos, e escreva o resultado do lado do ponto $B+t\vv$
correspondente. Lembre do que vimos sobre visualizar operações na aula
de 20/março - só que agora todos os pontos $P$ nos quais estamos
calculando $d(A,P)^2$ estão ao longo de uma reta.

\msk

a) $A=(1,1)$, $B=(1,4)$, $\vv=\VEC{1,0}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

b) $A=(0,0)$, $B=(0,3)$, $\vv=\VEC{1,0}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

c) $A=(0,3)$, $B=(0,3)$, $\vv=\VEC{1,0}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

d) $A=(2,1)$, $B=(2,1)$, $\vv=\VEC{1,-2}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

e) $A=(0,0)$, $B=(2,1)$, $\vv=\VEC{1,-2}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

f) Em cada um dos casos acima sejam $r=\setofst{B+t\vv}{t \in \R}$,
$P$ o ponto de $r$ mais próximo de $A$, e $P'$ o ponto de $r$ no qual
o valor de $d(A,P')^2$ é o menor possível. Use o olhÃ∧metro e os
grÔficos acima para obter bons chutes para quem sejam os pontos $P$ e
$P'$.

g) Prove que sempre vale $(\vv+\vv') \cdot (\ww+\ww') = (\vv \cdot
\ww) + (\vv \cdot \ww') + (\vv' \cdot \ww) + (\vv' \cdot \ww')$.

h) Prove que quando $\vv \perp \ww$, ou seja, $\vv \cdot \ww = 0$,
temos $||\vv+\ww||^2 = ||\vv||^2 + ||\ww||^2$.

i) Prove que quando $\vv \perp \ww$ temos $||\vv+k\ww||^2 = ||\vv||^2
+ |k|\,||\ww||^2$.

\msk

(Vamos usar o resultado (i) depois para demonstrar algebricamente
coisas sobre qual é ponto de uma reta mais próximo a um ponto dado e
sobre a operação `$\Pr$'... nestes casos a ``tradução'' entre uma
proposição geométrica e a proposição algébrica correspondente é
especialmente complicada, e se vocês entenderem o (h) bem isto vai
ajudar muito.)




% (find-LATEX "2014-2-GA-lista1.tex")



\end{document}


* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
cd ~/LATEX/
lualatex 2015-1-GA-lista-edrx-1.tex
cp -v    2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf ~/2015.1-GA/
cd ~/2015.1-GA/
Scp-np   2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf $TWUP/2015.1-GA/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf
Scp-np   2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf $TWUS/2015.1-GA/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf

# http://angg.twu.net/2015.1-GA/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf



-- Local Variables:
-- coding: utf-8-unix
-- End: