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% (find-angg "LATEX/2015-1-GA-lista-edrx-1.tex")
% (find-angg "LATEX/2015-1-GA-lista-edrx-1.lua")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2015-1-GA-lista-edrx-1.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2015-1-GA-lista-edrx-1.tex"))
% (defun l () (interactive) (find-LATEX "2015-1-GA-lista-edrx-1.lua"))
% (defun q () (interactive) (find-djvupage "~/2015.1-GA/2015.1-GA.djvu"))
% (defun r () (interactive) (find-angg ".emacs.papers" "reis-silva"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf")
\documentclass[oneside]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}     % (find-LATEX "whipping-girl.tex")
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
\usepackage{luacode}
\begin{document}

\directlua{dofile "\jobname.lua"}

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Geometria Analítica
\par PURO-UFF - 2015.1
\par Lista de exercícios 1 - Eduardo Ochs
\par Versão: 05/abril/2015 12:40
\par \url{http://angg.twu.net/2015.1-GA.html} (página do curso)
\par \url{http://angg.twu.net/2015.1-GA/GA\_Reis\_Silva.pdf} (livro)
\par \url{http://angg.twu.net/2015.1-GA/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf}
\par {\tt eduardoochs@gmail.com} (meu e-mail)
}

\bsk
\bsk

% (find-LATEX "2014-2-GA-lista1.tex")
\def\nip{\par\noindent}
\def\uu{{\vec u}}
\def\vv{{\vec v}}
\def\ww{{\vec w}}
\def\Vec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\VEC#1{{\overrightarrow{(#1)}}}
\def\Pr{{\text{Pr}}}
\def\Pru{\Pr_\uu}
\def\Prv{\Pr_\vv}
\def\Prw{\Pr_\ww}

% (find-es "tikz" "mygrid")
%
\tikzset{axis/.style=very thick}
\tikzset{tick/.style=thick}
\tikzset{grid/.style=gray!20,very thin}
%
\def\mygrid(#1,#2) (#3,#4){
\clip              (#1-0.4, #2-0.4) rectangle (#3+0.4, #4+0.4);
\draw[step=1,grid] (#1-0.2, #2-0.2) grid      (#3+0.2, #4+0.2);
\draw[axis] (-10,0) -- (10,0);
\draw[axis] (0,-10) -- (0,10);
\foreach \x in {-10,...,10} \draw[tick] (\x,-0.2) -- (\x,0.2);
\foreach \y in {-10,...,10} \draw[tick] (-0.2,\y) -- (0.2,\y);
}

% Dots, labels, vectors
%
\tikzset{anydot/.style={circle,inner sep=0pt,minimum size=1mm}}
\tikzset{opdot/.style={anydot, draw=black,fill=white}}
\tikzset{cldot/.style={anydot, draw=black,fill=black}}

Note que nas aulas, p.ex., na de 13/março, nós insistimos na distinção
entre $(a,b)$ e $\VEC{a,b}$; o Reis/Silva não faz isto. E ele evita a
notação de conjuntos; o que nós escrevemos como $\setofst{(x,y) \in \R^2}{y = ax + b}$ ele escreve só como $y = ax+b$'', e o que
escrevemos como $\setofst{(a,c)+t\VEC{b,d}}{t \in \R}$ ou
$\setofst{(a+tb,c+td)}{t \in \R}$ ele escreve como:
%
$$\begin{array}{l} x = a+tb \\ y = c+td. \end{array}$$

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% |_|
%
\nip 1) Para cada um dos casos abaixo,
\par (a) $A=(1,4)$, $\vv=\VEC{0,-1}$ $A'=(5,1)$, $\vv'=\VEC{-2,0}$
\par (b) $A=(1,3)$, $\vv=\VEC{-1,1}$ $A'=(0,1)$, $\vv'=\VEC{2,0}$
\par (c) $A=(0,4)$, $\vv=\VEC{3,-3}$ $A'=(2,4)$, $\vv'=\VEC{1,-2}$
\par (d) $A=(0,1)$, $\vv=\VEC{1,1}$ $A'=(0,2)$, $\vv'=\VEC{2,2}$
\nip sejam $r=\setofst{A+t\vv}{t \in \R}$, $r'=\setofst{A'+t'\vv'}{t' \in \R}$.

\nip Represente graficamente, num plano só:
\par os pontos de $r$ correspondentes a $t=0$, $t=1$, $t=2$,
\par os pontos de $r'$ correspondentes a $t'=0$, $t'=1$, $t'=2$,
\par a reta $r$,
\par a reta $r'$.
\nip Depois encontre no olhômetro:
\par o ponto $B \in r \cap r'$,
\par o valor de $t$ tal que $B=A+t\vv$,
\par o valor de $t'$ tal que $B=A'+t'\vv'$,
\nip e confira algebricamente que para os valores de $t$ e $t'$ que
você encontrou você tem $A+t\vv=A'+t\vv'$.

\newpage

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%   __) |
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%
\nip 2) Sejam $A=(0,1)$, $\vv=\VEC{3,2}$ $r=\setofst{A+t\vv}{t \in \R}$, $r'=\setofst{(x,y) \in \R^2}{y = 4-2x}$. Encontre um valor de
$t$ para o qual $A+t\vv$ obedeça a equação $y = 4-2x$, e use isto para
encontrar o ponto de interseção de $r$ e $r'$.

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%   |_ \
%  ___) |
% |____/
%
\nip 3) Sejam $A=(1,4)$ $\vv=\VEC{3,-2}$ $r = \setofst{A+t\vv}{t \in \R}$,
$B = (5,4)$. Encontre um vetor $\ww$ não-nulo ortogonal a $\vv$ e
use-o para encontrar uma reta $r'$ que passa por $B$ e é ortogonal a
$r$. Depois represente graficamente, num plano só, $A$, $B$, $\vv$,
$\ww$, $r$, $r'$.

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%  _  _
% | || |
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% |__   _|
%    |_|
%
\nip 4) Verdadeiro, falso, justifique (de um jeito que o leitor de
ressaca entenda... isto é um exercício de {\it escrita}!):
\par a) $\Pr_{\VEC{a,b}} 2\VEC{c,d} = 2 \Pr_{\VEC{a,b}} \VEC{c,d}$
\par a) $\Pr_{2\VEC{a,b}} \VEC{c,d} = 2 \Pr_{\VEC{a,b}} \VEC{c,d}$

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%  ____
% | ___|
% |___ \
%  ___) |
% |____/
%
\nip 5) Leia as seções 2.8 e 2.9 do Reis/Silva (pp.40-46, sobre equações
paramétricas e cartesianas da reta) e faça os exercícios 2.49, 2.50 e
2.51 (p.52).

\bsk
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% {\it VOU ACRESCENTAR MAIS EXERCÍCIOS AQUI DEPOIS!}
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% \newpage

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%  \___/
%
\nip 6) A partir de um ponto e dois vetores em $\R^2$ podemos formar
um paralelogramo, como nas figuras abaixo:
%
$$\begin{tikzpicture}[scale=0.5,auto] \mygrid (0,-1) (8,7); \node (AV) at ( 3,6) [cldot,label=above:{(3,6)}] {}; \node (AVW) at ( 7,6) [cldot,label=above:{(7,6)}] {}; \node (A) at ( 1,0) [cldot,label=below:{(1,0)}] {}; \node (AW) at ( 5,0) [cldot,label=below:{(5,0)}] {}; \draw [->] (AV) to node {\VEC{4,0}} (AVW); \draw [->] (A) to node {\VEC{2,6}} (AV); \draw [->] (AW) to node [swap] {\VEC{2,6}} (AVW); \draw [->] (A) to node [swap] {\VEC{4,0}} (AW); \end{tikzpicture} % \qquad % \begin{tikzpicture}[scale=0.5,auto] % \mygrid (0,-1) (8,7); \node (AV) at ( 3,6) [cldot,label=above:{A{+}\vv}] {}; \node (AVW) at ( 7,6) [cldot,label=above:{A{+}\vv{+}\ww}] {}; \node (A) at ( 1,0) [cldot,label=below:{A}] {}; \node (AW) at ( 5,0) [cldot,label=below:{A{+}\ww}] {}; \draw [->] (AV) to node {\ww} (AVW); \draw [->] (A) to node {\vv} (AV); \draw [->] (AW) to node [swap] {\vv} (AVW); \draw [->] (A) to node [swap] {\ww} (AW); \end{tikzpicture}$$

Note que uma representa um caso particular e a outra o caso geral
(veja os quadro da aula de 13/mar). Na da esquerda o ponto-base é
$(1,0)$ e os vetores são $\VEC{2,6}$ e $\VEC{4,0}$, e na da direita
são $A$, $\vv$ e $\ww$ respectivamente.

diagonais do paralelogramo e os segmentos ligando os pontos médios
de lados opostos, e marcamos certos deslocamentos como setas para
indicar que queremos vê-los como vetores, obtemos figuras como a
abaixo:
%
$$\def\arr #1 #2;{\draw [->] (#1) to (#2);} \def\arrs #1 #2 #3;{\arr #1 #2;\arr #2 #3;} % \begin{tikzpicture}[scale=0.5,auto] \node (AV) at ( 3,6) [cldot] {}; \node (AVw) at ( 5,6) [cldot] {}; \node (AVW) at ( 7,6) [cldot] {}; \node (Av) at ( 2,3) [cldot] {}; \node (Avw) at ( 4,3) [cldot] {}; \node (AvW) at ( 6,3) [cldot] {}; \node (A) at ( 1,0) [cldot] {}; \node (Aw) at ( 3,0) [cldot] {}; \node (AW) at ( 5,0) [cldot] {}; % \arrs AV AVw AVW; % horiz top \arrs Av Avw AvW; % horiz middle \arrs A Aw AW; % horiz bottom \arrs A Av AV; % vert left \arrs Aw Avw AVw; % vert midde \arrs AW AvW AVW; % vert right \arrs A Avw AVW; % the "/" diagonal \arr Avw AV; \arr Avw AW; % \end{tikzpicture}$$

pontos e as componentes dos 6+6+4 vetores da figura. Dica: faça
três cópias bem grandes da figura acima e trabalhe sobre elas!

\msk

a) Ponto base $(1,0)$, vetores $\VEC{2,6}$ e $\VEC{4,0}$

b) Ponto base $(a,b)$, vetores $\VEC{c,d}$ e $\VEC{e,f}$

c) Ponto base $A$, vetores $\vv$ e $\ww$

d) Ponto base $(A_1,A_2)$, vetores $\VEC{v_1,v_2}$ e $\VEC{w_1,w_2}$

\msk

Mais dicas: um dos vetores de uma das figuras vai ser
$\frac{\vv}2-\frac{\ww}2$; $-\frac{\ww}2$ pode ser visto tanto como
$(-\frac 1 2) \cdot \ww$ quanto como $-(\frac 1 2 \cdot \ww)$; acabei
não escrevendo explicitamente nada sobre vetores opostos'' nos
quadros, mas você pode aprender sobre eles no Reis/Silva, p.21; a
nossa lista de operações que não dão erro {\it não}
inclui calcular pontos médios deste jeito,
%
$$\frac{(A_1,A_2) + (B_1,B_2)}{2} = \left( \frac{A_1+B_1}2 , \frac{A_2+B2}2 \right),$$
%
mas o modo mais prático de trabalhar com pontos médios no nosso
sistema, em que qualquer operação não-definida dá erro
(veja as aulas de 13/mar e 18/mar), seria acrescentar a igualdade
acima na lista das definições de operações permitidas.

\bsk
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% |___  |
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%  /_/
%

\nip 7) Os exercícios (6a), (6b), (6c), (6d) acima são pra você
aprender na prática'' bastante coisa sobre pontos médios, sobre
completar figuras com vetores, etc... eles na verdade são uma {\it
preparação} pra você poder fazer estes exercícios aqui sem grandes

\msk

Reis/Silva, exercícios 2.3, 2.4, 2.5, 2.10, 2.11, 2.12, 2.17, 2.18,
2.19, 2.22, 2.23, 2.24, 2.25 (pp.28--30).

\msk

Lista 1 da Ana Isabel, exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16,
17.

\url{http://angg.twu.net/2015.1-GA/2015.1-GA-lista-bel-1.pdf}

%\bsk
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\newpage

%   ___
%  ( _ )
%  / _ \
% | (_) |
%  \___/
%
\nip 8) Sejam $A=(0,4)$, $B=(6,0)$, $r=\setofst{(x,y) \in \R^2}{d(A,(x.y)) = d(B, (x,y))}$, $M=\frac{A+B}2$, $\vv$ um vetor
ortogonal a $\Vec{AM}$ não-nulo à sua escolha, $s=\setofst{M+t\vv}{t \in \R}$.

\msk

a) Verifique que os pontos $d(A,P)=d(B,P)$ quando $P=M$ e quando $P = M+\vv$.

b) Encontre a equação cartesiana da reta $r$. Mais precisamente,
encontre números reais $m$ e $k$ tais que a reta $r' = \setofst{(x,y) \in \R^2}{y=mx+k}$ seja igual à reta $r$.

c) Represente graficamente $A$, $B$, $r$, $M$, $\vv$, $s$ num plano
só.

d) Verifique que os pontos $M$ e $M+\vv$ obedecem $y=mx+k$.

e) Faça os exercícios 10, 11 e 12 da lista 1 da Ana Isabel.

\msk

\nip Dicas:
\nip $d(A,P) = d(B,P)$ se e só se $||P-A|| = ||P-B||$,
\nip $||P-A|| = ||P-B||$ se e só se $||P-A||^2 = ||P-B||^2$,
\nip $||P-A||^2 = ||P-B||^2$ se e só se $||P-A||^2 - ||P-B||^2 = 0$,
\nip expandindo $||(x,y)-A||^2 - ||(x,y)-B||^2$ obtemos algo da forma
$ax+by+c$ (os termos de grau mais alto desaparecem).

\bsk
\bsk

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%  / _ \
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%    /_/
%
\nip 9) Nos casos abaixo, calcule $d(A,B+t\vv)^2$ para os valores de
$t$ pedidos, e escreva o resultado do lado do ponto $B+t\vv$
correspondente. Lembre do que vimos sobre visualizar operações na aula
de 20/março - só que agora todos os pontos $P$ nos quais estamos
calculando $d(A,P)^2$ estão ao longo de uma reta.

\msk

a) $A=(1,1)$, $B=(1,4)$, $\vv=\VEC{1,0}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

b) $A=(0,0)$, $B=(0,3)$, $\vv=\VEC{1,0}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

c) $A=(0,3)$, $B=(0,3)$, $\vv=\VEC{1,0}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

d) $A=(2,1)$, $B=(2,1)$, $\vv=\VEC{1,-2}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

e) $A=(0,0)$, $B=(2,1)$, $\vv=\VEC{1,-2}$, $t \in \{-2,-1,0,1,2\}$

f) Em cada um dos casos acima sejam $r=\setofst{B+t\vv}{t \in \R}$,
$P$ o ponto de $r$ mais próximo de $A$, e $P'$ o ponto de $r$ no qual
o valor de $d(A,P')^2$ é o menor possível. Use o olhômetro e os
gráficos acima para obter bons chutes para quem sejam os pontos $P$ e
$P'$.

g) Prove que sempre vale $(\vv+\vv') \cdot (\ww+\ww') = (\vv \cdot \ww) + (\vv \cdot \ww') + (\vv' \cdot \ww) + (\vv' \cdot \ww')$.

h) Prove que quando $\vv \perp \ww$, ou seja, $\vv \cdot \ww = 0$,
temos $||\vv+\ww||^2 = ||\vv||^2 + ||\ww||^2$.

i) Prove que quando $\vv \perp \ww$ temos $||\vv+k\ww||^2 = ||\vv||^2 + |k|\,||\ww||^2$.

\msk

(Vamos usar o resultado (i) depois para demonstrar algebricamente
coisas sobre qual é ponto de uma reta mais próximo a um ponto dado e
sobre a operação $\Pr$'... nestes casos a tradução'' entre uma
proposição geométrica e a proposição algébrica correspondente é
especialmente complicada, e se vocês entenderem o (h) bem isto vai
ajudar muito.)

% (find-LATEX "2014-2-GA-lista1.tex")

\end{document}

* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
cd ~/LATEX/
lualatex 2015-1-GA-lista-edrx-1.tex
cp -v    2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf ~/2015.1-GA/
cd ~/2015.1-GA/
Scp-np   2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf $TWUP/2015.1-GA/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf Scp-np 2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf$TWUS/2015.1-GA/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf

# http://angg.twu.net/2015.1-GA/2015-1-GA-lista-edrx-1.pdf

-- Local Variables:
-- coding: utf-8-unix
-- End:
`