Warning: this is an htmlized version!
The original is across this link,
and the conversion rules are here.
% (find-angg "LATEX/2016-1-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2016-1-C2-P2.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2016-1-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2016-1-C2-P2"))
% (defun z () (interactive) (find-zsh "flsfiles-tgz 2016-1-C2-P2.fls 2016-1-C2-P2.tgz"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf")
% (find-xdvipage "~/LATEX/2016-1-C2-P2.dvi")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf
%               file:///tmp/2016-1-C2-P2.pdf
%           file:///tmp/pen/2016-1-C2-P2.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-dn4ex "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

% \catcode`\^^J=10
% \directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
% \directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
% \directlua{texfile(tex.jobname)}
% \directlua{verbose()}
% %\directlua{output(preamble1)}
% \def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
% \def\eval#1{\directlua{#1}}
% \def\pu{\directlua{pu()}}
% 
% \directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end





%   ____      _                    _ _           
%  / ___|__ _| |__   ___  ___ __ _| | |__   ___  
% | |   / _` | '_ \ / _ \/ __/ _` | | '_ \ / _ \ 
% | |__| (_| | |_) |  __/ (_| (_| | | | | | (_) |
%  \____\__,_|_.__/ \___|\___\__,_|_|_| |_|\___/ 
%                                                

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par CÃlculo 2
\par PURO-UFF - 2016.1
\par P2 - 28/jul/2016 - Eduardo Ochs
% \par VersÃo: 14/mar/2016
\par Links importantes:
\par \url{http://angg.twu.net/2016.1-C2.html} (pÃgina do curso)
\par \url{http://angg.twu.net/2016.1-C2/2016.1-C2.pdf} (quadros)
\par \url{http://angg.twu.net/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf} (esta prova, com gabarito)
\par {\tt eduardoochs@gmail.com} (meu e-mail)
}

\bsk
\bsk

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar




% (find-es "ipython" "2016.1-C2-P2")


1) \T(Total: 4.5 pts)

\msk

a) \B(0.2 pts) Converta a EDO $(D-(a+ib))(D-(a-ib))f=0$ para a forma
$f'' + αf' + βf = 0$. Quem sÃo $α,βâ\R$?

b) \B(0.3 pts) Converta a EDO $f'' - 6f' + 25f=0$ para a forma
$(D-(a+ib))(D-(a-ib))f=0$. Quem sÃo $a,bâ\R$?

c) \B(0.5 pts) A EDO $(D-(a+ib))(D-(a-ib))f=0$ tem soluÃÃes bÃsicas
reais $e^{αx} \cos βx$ e $e^{αx} \sen βx$. Quem sÃo $α,βâ\R$?

d) \B(1.0 pts) Encontre as soluÃÃes bÃsicas reais, $f_1$ e $f_2$, de
$f'' + 4f' + 13f = 0$.

f) \B(1.0 pts) Encontre uma soluÃÃo real, $f_3$, de $f'' + 4f' + 13f =
0$ que obedeÃa $f_3(0)=1$ e $f_3'(0)=1$.

g) \B(1.5 pts) Represente graficamente $f_1$, $f_2$, $f_3$. Dicas:
comece fazendo uma tabela dos valores delas em $x_1, x_2, \ldots,
x_5$, e escolha $x_1, x_2, \ldots, x_5$ para os quais seja fÃcil
calcular valores exatos e aproximados para as `$f_i(x_j)$'s.


\bsk
\bsk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart")
% (find-stewart7page (+ 32 609) "9.2. Direction fields and Euler's method")

2) \T(Total: 2.5 pts) Considere a EDO $f'(x) = f(x)-x$.

a) \B(1.0 pts) Represente graficamente o campo vetorial associado a
ela.

b) \B(1.5 pts) Encontre uma soluÃÃo para ela que tenha $f(1)=1$ e
represente graficamente esta soluÃÃo sobre o campo vetorial do item
anterior.

\bsk
\bsk

% (find-c2crishernandezpage (+ 10 167) "21 EquaÃÃes exatas e equaÃÃes redutÃveis Ãs exatas")

3) \T(Total: 3.0 pts) Resolva a EDO $(6xy-2y)y' + 2 + 3y^2 = 0$.



\newpage

Mini-gabarito (ainda nÃo revisado!):

\bsk

1a) $(D-(a+ib))(D-(a-ib))f = (D^2 - 2aD + (a^2+b^2))f = f'' + 2af' +
(a^2+b^2)f$

DaÃ: $α=-2a$, $β=a^2+b^2$

\ssk

1b) $f'' - 6f' + 25f=0 = (D^2 - 6D + 25)f = (D-(3+4i))(D-(3-4i))f$

DaÃ: $a=3$, $b=4$

\ssk

1c) $(D-(a+ib))(D-(a-ib))f$ tem soluÃÃes

$f_1(x)=e^{(a+ib)x}=e^{ax}e^{ibx}$ e

$f_2(x)=e^{(a-ib)x}=e^{ax}e^{-ibx}$.

$(f_1(x)+f_2(x))/2 = e^{ax}(e^{ibx}+e^{-ibx})/2 = e^{ax}\cos bx$

$(f_1(x)-f_2(x))/2i = e^{ax}(e^{ibx}-e^{-ibx})/2i = e^{ax}\sen bx$

DaÃ: $α=a$, $β=b$.

\ssk

d) $f'' + 4f' + 13f = (D^2 + 4D + 13)f = (D-(-2+3i))(D-(-2-3i))f$

$f_1 = e^{-2x}\cos 3x$

$f_2 = e^{-2x}\sen 3x$

\ssk

e) $f_1(0)=1$, $f_2(0)=0$

$f'_1 = -2f_1-3f_2$, $f'_1(0) = -2f_1(0)-3f_2(0) = -2$,

$f'_2 = -2f_2+3f_1$, $f'_2(0) = -2f_2(0)+3f_1(0) = 3$,

Se $f_3 = af_1 + bf_2$ entÃo $f_3(0) = a$ e $f'_3(0) = -2a+3b$.

$f_3(0)=1 \;â\; a=1$

$f_3'(0)=1 \;â\; -2a+3b=1 \;â\; -2+3b=1 \;â\; b=1$

$f_3(x) = e^{-2x}\cos 3x + e^{-2x}\sen 3x$

\ssk

\def\ep{e^{-Ï/6}}

f) Se $x=k\fracÏ6$ entÃo

$\cos 3x = \cos k 3\fracÏ6 = \cos k\fracÏ2$,

$\sen 3x = \sen k 3\fracÏ6 = \sen k\fracÏ2$,

$e^{-2x} = e^{-2k\fracÏ6} = e^{-k\fracÏ3} = (e^{-\fracÏ3})^k â (e^{-1})^k â (\frac13)^k$,

$f_1(x) = e^{-2x} \cos 3x â (\frac13)^k \cos k\fracÏ2$,

$f_2(x) = e^{-2x} \sen 3x â (\frac13)^k \sen k\fracÏ2$,

$f_3(x) = f_1(x) + f_2(x)$,

$x = k\fracÏ6 â \frac k 2$.

\ssk

$\begin{array}{ccccc}
 k & xâ\frac k2
   & f_1(x)â(\frac13)^k \cos k\fracÏ2
   & f_2(x)â(\frac13)^k \sen k\fracÏ2
   & f_3(x) \\\hline
 0 & 0   & 1Â1=1 & 1Â0=0 & 1 \\
 1 & 1/2 & \frac13Â0=0             & \frac13Â1=\frac13           & \frac13 \\
 2 & 2/2 & \frac19Â(-1)=-\frac19   & \frac19Â0=0                 & -\frac19 \\
 3 & 3/2 & \frac1{27}Â0=0          & \frac1{27}Â(-1)=-\frac1{27} & -\frac1{27} \\
 4 & 4/2 & \frac1{81}Â1=\frac1{81} & \frac1{81}Â0=0              & \frac1{81} \\
 \end{array}
$

\newpage




2a) (Ainda nÃo aprendi a fazer campos vetoriais em \LaTeX \; ${=}{/}$ \;)

2b) Por um erro meu eu escolhi uma EDO que nÃo dà pra resolver com os
mÃtodos que vimos no curso, e que precisa das idÃias dos capÃtulos 27
e 28 do livro da HernÃndez... vou dar 0.7 nessa questÃo pra todo
mundo, e os outros 0.8 de acordo com o que a pessoa tiver conseguido
fazer...

\bsk

3) A EDO pode ser reescrita como:

$(6xy-2y)\frac{dy}{dx} + 2 + 3y^2 = 0$

$(6xy-2y){dy} + (2 + 3y^2){dx} = 0$

Sejam $F_x(x,y) = 2 + 3y^2$ e $F_y(x,y) = 6xy-2y$.

EntÃo $F_{xy}(x,y) = 6y$, $F_{yx}(x,y) = 6y$, e a EDO Ã exata.

Se $F(x,y) = 2x + 3xy^2 - y^3$ entÃo essa $F$ gera a $F_x$ e a $F_y$ da EDO,

e as soluÃÃes da EDO sÃo as `$f(x)$'s tais que $F(x,f(x))$ Ã constante.

\ssk

(Falta eu explicar como a gente pode obter a $F$ a partir da $F_x$ e da $F_y$...)



% (c2q 7 "integral de Riemann")
% (c2q 9 "integral de Riemann sem partiÃÃo especificada")
% (c2q 11 "TFC")
% (c2q 13 "TFC 2")
% (c2q 15 "SubstituiÃÃo")
% (c2q 16 "Diferenciais")
% (c2q 22 "G(x,y) = x^2 + y^2")
% (c2q 24 "Derivada da funÃÃo inversa")
% (c2q 27 "Integrando funÃÃes racionais")
% (c2q 30 "MÃtodo de Heaviside")
% (c2q 32 "Integrando funÃÃes racionais imprÃprias")
% (c2q 34 "IntegraÃÃo por partes")
% (c2q 35 "Truque do `onde'")
% (c2q 36 "Tabelas de integrais")
% (c2q 37 "SubstituiÃÃo trigonomÃtrica")
% (c2q 43 "SÃrie de Taylor")
% (c2q 45 "Plano complexo")
% (c2q 48 "Grande truque: E")
% (c2q 50 "SubstituiÃÃo trigonomÃtrica")
% (c2q 51 "EDOs")
% (c2q 53 "EDOs: D")
% (c2q 55 "EDOs: sen e cos vezes exp")


% (find-es "ipython" "2015.2-C2-P1")


% 1) \T(Total: 1.0 pts) Calcule $\intx {\tan x}$.
% 
% \bsk
% 
% 2) \T(Total: 1.0 pts) Calcule $\Intx {-1} {2} {x^{-4}}$.
% 
% \bsk
% 
% 3) \T(Total: 1.5 pts) Calcule $\intx {\cos^4 x}$.
% 
% \bsk
% 
% 4) \T(Total: 1.5 pts) Calcule $\intx {\frac {x^2} {x^2+x-2}}$.
% 
% \bsk
% 
% 5) \T(Total: 1.5 pts) Calcule $\intx {x \, e^x \cos x}$.
% 
% \bsk
% 
% 6) \T(Total: 2.0 pts)
% 
% 6a) \B(1.5 pts) Calcule $\Intx 0 1 {\sqrt{4-x^2}}$.
% 
% 6b) \B(0.1 pts) Represente $\Intx 0 1 {\sqrt{4-x^2}}$ graficamente.
% 
% 6c) \B(0.4 pts) Mostre como calcular $\Intx 0 1 {\sqrt{4-x^2}}$ pelo grÃfico.
% 
% \bsk
% 
% 7) \T(Total: 2.5 pts) Calcule $\Intx {-1} {2} {|e^x-1|}$.







\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End: