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% (find-angg "LATEX/2016-1-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2016-1-C2-P2.tex" :end))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2016-1-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2016-1-C2-P2"))
% (defun z () (interactive) (find-zsh "flsfiles-tgz 2016-1-C2-P2.fls 2016-1-C2-P2.tgz"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf")
% (find-xdvipage "~/LATEX/2016-1-C2-P2.dvi")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf
% file:///tmp/2016-1-C2-P2.pdf
% file:///tmp/pen/2016-1-C2-P2.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
%
\usepackage{edrx15} % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-dn4ex "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}
% \catcode`\^^J=10
% \directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
% \directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
% \directlua{texfile(tex.jobname)}
% \directlua{verbose()}
% %\directlua{output(preamble1)}
% \def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
% \def\eval#1{\directlua{#1}}
% \def\pu{\directlua{pu()}}
%
% \directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end
% ____ _ _ _
% / ___|__ _| |__ ___ ___ __ _| | |__ ___
% | | / _` | '_ \ / _ \/ __/ _` | | '_ \ / _ \
% | |__| (_| | |_) | __/ (_| (_| | | | | | (_) |
% \____\__,_|_.__/ \___|\___\__,_|_|_| |_|\___/
%
{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2016.1
\par P2 - 28/jul/2016 - Eduardo Ochs
% \par Versão: 14/mar/2016
\par Links importantes:
\par \url{http://angg.twu.net/2016.1-C2.html} (página do curso)
\par \url{http://angg.twu.net/2016.1-C2/2016.1-C2.pdf} (quadros)
\par \url{http://angg.twu.net/LATEX/2016-1-C2-P2.pdf} (esta prova, com gabarito)
\par {\tt eduardoochs@gmail.com} (meu e-mail)
}
\bsk
\bsk
\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar
% (find-es "ipython" "2016.1-C2-P2")
1) \T(Total: 4.5 pts)
\msk
a) \B(0.2 pts) Converta a EDO $(D-(a+ib))(D-(a-ib))f=0$ para a forma
$f'' + αf' + βf = 0$. Quem são $α,β∈\R$?
b) \B(0.3 pts) Converta a EDO $f'' - 6f' + 25f=0$ para a forma
$(D-(a+ib))(D-(a-ib))f=0$. Quem são $a,b∈\R$?
c) \B(0.5 pts) A EDO $(D-(a+ib))(D-(a-ib))f=0$ tem soluções básicas
reais $e^{αx} \cos βx$ e $e^{αx} \sen βx$. Quem são $α,β∈\R$?
d) \B(1.0 pts) Encontre as soluções básicas reais, $f_1$ e $f_2$, de
$f'' + 4f' + 13f = 0$.
f) \B(1.0 pts) Encontre uma solução real, $f_3$, de $f'' + 4f' + 13f =
0$ que obedeça $f_3(0)=1$ e $f_3'(0)=1$.
g) \B(1.5 pts) Represente graficamente $f_1$, $f_2$, $f_3$. Dicas:
comece fazendo uma tabela dos valores delas em $x_1, x_2, \ldots,
x_5$, e escolha $x_1, x_2, \ldots, x_5$ para os quais seja fácil
calcular valores exatos e aproximados para as `$f_i(x_j)$'s.
\bsk
\bsk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart")
% (find-stewart7page (+ 32 609) "9.2. Direction fields and Euler's method")
2) \T(Total: 2.5 pts) Considere a EDO $f'(x) = f(x)-x$.
a) \B(1.0 pts) Represente graficamente o campo vetorial associado a
ela.
b) \B(1.5 pts) Encontre uma solução para ela que tenha $f(1)=1$ e
represente graficamente esta solução sobre o campo vetorial do item
anterior.
\bsk
\bsk
% (find-c2crishernandezpage (+ 10 167) "21 Equações exatas e equações redutíveis às exatas")
3) \T(Total: 3.0 pts) Resolva a EDO $(6xy-2y)y' + 2 + 3y^2 = 0$.
\newpage
Mini-gabarito (ainda não revisado!):
\bsk
1a) $(D-(a+ib))(D-(a-ib))f = (D^2 - 2aD + (a^2+b^2))f = f'' + 2af' +
(a^2+b^2)f$
Daí: $α=-2a$, $β=a^2+b^2$
\ssk
1b) $f'' - 6f' + 25f=0 = (D^2 - 6D + 25)f = (D-(3+4i))(D-(3-4i))f$
Daí: $a=3$, $b=4$
\ssk
1c) $(D-(a+ib))(D-(a-ib))f$ tem soluções
$f_1(x)=e^{(a+ib)x}=e^{ax}e^{ibx}$ e
$f_2(x)=e^{(a-ib)x}=e^{ax}e^{-ibx}$.
$(f_1(x)+f_2(x))/2 = e^{ax}(e^{ibx}+e^{-ibx})/2 = e^{ax}\cos bx$
$(f_1(x)-f_2(x))/2i = e^{ax}(e^{ibx}-e^{-ibx})/2i = e^{ax}\sen bx$
Daí: $α=a$, $β=b$.
\ssk
d) $f'' + 4f' + 13f = (D^2 + 4D + 13)f = (D-(-2+3i))(D-(-2-3i))f$
$f_1 = e^{-2x}\cos 3x$
$f_2 = e^{-2x}\sen 3x$
\ssk
e) $f_1(0)=1$, $f_2(0)=0$
$f'_1 = -2f_1-3f_2$, $f'_1(0) = -2f_1(0)-3f_2(0) = -2$,
$f'_2 = -2f_2+3f_1$, $f'_2(0) = -2f_2(0)+3f_1(0) = 3$,
Se $f_3 = af_1 + bf_2$ então $f_3(0) = a$ e $f'_3(0) = -2a+3b$.
$f_3(0)=1 \;⇒\; a=1$
$f_3'(0)=1 \;⇒\; -2a+3b=1 \;⇒\; -2+3b=1 \;⇒\; b=1$
$f_3(x) = e^{-2x}\cos 3x + e^{-2x}\sen 3x$
\ssk
\def\ep{e^{-π/6}}
f) Se $x=k\fracπ6$ então
$\cos 3x = \cos k 3\fracπ6 = \cos k\fracπ2$,
$\sen 3x = \sen k 3\fracπ6 = \sen k\fracπ2$,
$e^{-2x} = e^{-2k\fracπ6} = e^{-k\fracπ3} = (e^{-\fracπ3})^k ≈ (e^{-1})^k ≈ (\frac13)^k$,
$f_1(x) = e^{-2x} \cos 3x ≈ (\frac13)^k \cos k\fracπ2$,
$f_2(x) = e^{-2x} \sen 3x ≈ (\frac13)^k \sen k\fracπ2$,
$f_3(x) = f_1(x) + f_2(x)$,
$x = k\fracπ6 ≈ \frac k 2$.
\ssk
$\begin{array}{ccccc}
k & x≈\frac k2
& f_1(x)≈(\frac13)^k \cos k\fracπ2
& f_2(x)≈(\frac13)^k \sen k\fracπ2
& f_3(x) \\\hline
0 & 0 & 1·1=1 & 1·0=0 & 1 \\
1 & 1/2 & \frac13·0=0 & \frac13·1=\frac13 & \frac13 \\
2 & 2/2 & \frac19·(-1)=-\frac19 & \frac19·0=0 & -\frac19 \\
3 & 3/2 & \frac1{27}·0=0 & \frac1{27}·(-1)=-\frac1{27} & -\frac1{27} \\
4 & 4/2 & \frac1{81}·1=\frac1{81} & \frac1{81}·0=0 & \frac1{81} \\
\end{array}
$
\newpage
2a) (Ainda não aprendi a fazer campos vetoriais em \LaTeX \; ${=}{/}$ \;)
2b) Por um erro meu eu escolhi uma EDO que não dá pra resolver com os
métodos que vimos no curso, e que precisa das idéias dos capítulos 27
e 28 do livro da Hernández... vou dar 0.7 nessa questão pra todo
mundo, e os outros 0.8 de acordo com o que a pessoa tiver conseguido
fazer...
\bsk
3) A EDO pode ser reescrita como:
$(6xy-2y)\frac{dy}{dx} + 2 + 3y^2 = 0$
$(6xy-2y){dy} + (2 + 3y^2){dx} = 0$
Sejam $F_x(x,y) = 2 + 3y^2$ e $F_y(x,y) = 6xy-2y$.
Então $F_{xy}(x,y) = 6y$, $F_{yx}(x,y) = 6y$, e a EDO é exata.
Se $F(x,y) = 2x + 3xy^2 - y^3$ então essa $F$ gera a $F_x$ e a $F_y$ da EDO,
e as soluções da EDO são as `$f(x)$'s tais que $F(x,f(x))$ é constante.
\ssk
(Falta eu explicar como a gente pode obter a $F$ a partir da $F_x$ e da $F_y$...)
% (c2q 7 "integral de Riemann")
% (c2q 9 "integral de Riemann sem partição especificada")
% (c2q 11 "TFC")
% (c2q 13 "TFC 2")
% (c2q 15 "Substituição")
% (c2q 16 "Diferenciais")
% (c2q 22 "G(x,y) = x^2 + y^2")
% (c2q 24 "Derivada da função inversa")
% (c2q 27 "Integrando funções racionais")
% (c2q 30 "Método de Heaviside")
% (c2q 32 "Integrando funções racionais impróprias")
% (c2q 34 "Integração por partes")
% (c2q 35 "Truque do `onde'")
% (c2q 36 "Tabelas de integrais")
% (c2q 37 "Substituição trigonométrica")
% (c2q 43 "Série de Taylor")
% (c2q 45 "Plano complexo")
% (c2q 48 "Grande truque: E")
% (c2q 50 "Substituição trigonométrica")
% (c2q 51 "EDOs")
% (c2q 53 "EDOs: D")
% (c2q 55 "EDOs: sen e cos vezes exp")
% (find-es "ipython" "2015.2-C2-P1")
% 1) \T(Total: 1.0 pts) Calcule $\intx {\tan x}$.
%
% \bsk
%
% 2) \T(Total: 1.0 pts) Calcule $\Intx {-1} {2} {x^{-4}}$.
%
% \bsk
%
% 3) \T(Total: 1.5 pts) Calcule $\intx {\cos^4 x}$.
%
% \bsk
%
% 4) \T(Total: 1.5 pts) Calcule $\intx {\frac {x^2} {x^2+x-2}}$.
%
% \bsk
%
% 5) \T(Total: 1.5 pts) Calcule $\intx {x \, e^x \cos x}$.
%
% \bsk
%
% 6) \T(Total: 2.0 pts)
%
% 6a) \B(1.5 pts) Calcule $\Intx 0 1 {\sqrt{4-x^2}}$.
%
% 6b) \B(0.1 pts) Represente $\Intx 0 1 {\sqrt{4-x^2}}$ graficamente.
%
% 6c) \B(0.4 pts) Mostre como calcular $\Intx 0 1 {\sqrt{4-x^2}}$ pelo gráfico.
%
% \bsk
%
% 7) \T(Total: 2.5 pts) Calcule $\Intx {-1} {2} {|e^x-1|}$.
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End: