% (find-angg "LATEX/2016-1-GA-VR.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2016-1-GA-VR.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-GA-VR.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2016-1-GA-VR.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2016-1-GA-VR"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-GA-VR.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2016-1-GA-VR.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2016-1-GA-VR.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2016-1-GA-VR.pdf
%               file:///tmp/2016-1-GA-VR.pdf
%           file:///tmp/pen/2016-1-GA-VR.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2016-1-GA-VR.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{tikz}
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-dn4ex "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

% \catcode`\^^J=10
% \directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
% \directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
% \directlua{texfile(tex.jobname)}
% \directlua{verbose()}
% %\directlua{output(preamble1)}
% \def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
% \def\eval#1{\directlua{#1}}
% \def\pu{\directlua{pu()}}
% 
% \directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end




%   ____      _                    _ _           
%  / ___|__ _| |__   ___  ___ __ _| | |__   ___  
% | |   / _` | '_ \ / _ \/ __/ _` | | '_ \ / _ \ 
% | |__| (_| | |_) |  __/ (_| (_| | | | | | (_) |
%  \____\__,_|_.__/ \___|\___\__,_|_|_| |_|\___/ 
%                                                

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Geometria Analítica
\par PURO-UFF - 2016.1
\par VR - 1$°$/ago/2016 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.
\par Esta prova vai ter que ser corrigida muito rápido
\par e com pouca tolerância com erros de conta, então
\par {\sl teste os seus resultados!!!}
\ssk
\par Links importantes:
\par \url{http://angg.twu.net/2016.1-GA.html} (página do curso)
\par \url{http://angg.twu.net/2016.1-GA/2016.1-GA.pdf} (quadros)
\par \url{http://angg.twu.net/LATEX/2016-1-GA-P2.pdf} (esta prova, com gabarito)
\par {\tt eduardoochs@gmail.com} (meu e-mail)
}

\bsk
\bsk



\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar

1) \T(Total: 3.0 pts) Sejam $π:x+y+z=4$, $A=(3,3,3)$, e
$B_t=(2,3,4)+t\VEC{2,0,3}$, $r_t$ a reta contendo $A$ e $B_t$.

a) \B(0.5 pts) Encontre o ponto de interseção entre $π$ e $r_2$.

b) \B(1.0 pts) Encontre o ponto de interseção entre $π$ e $r_t$ no
caso geral.

c) \B(0.5 pts) Encontre o $t$ para o qual $π$ e $r_t$ são paralelos.

d) \B(1.0 pts) Existe um $t$ para o qual $π$ e $r_t$ são ortogonais?
Sim, não, qual, porquê?

\bsk


2) \T(Total: 2.0 pts) Sejam $A=(0,2)$, $B=(4,0)$ e $C$, $C'$, $C''$,
$C'''$ quatro círculos diferentes -- à sua escolha -- que passem por
$A$ e $B$.

a) \B(0.5 pts) Represente graficamente $A$, $B$ e os quatro círculos
que você esco\-lheu.

b) \B(0.5 pts) Dê os centros e os raios destes círculos.

c) \B(1.0 pts) Dê a equação de um círculo que passa por $A$ e $B$ e
cujo centro tem $y>3$.


\bsk

3) \T(Total: 2.0 pts) Sejam $A=(0,2)$, $r:y=x-2$ e $C$, $C'$, $C''$,
$C'''$ quatro círculos diferentes -- à sua escolha -- que passem por
$A$ e sejam tangentes a $r$.

a) \B(1.0 pts) Represente graficamente $A$, $r$ e os quatro círculos
que você esco\-lheu.

b) \B(1.0 pts) Dê os centros e os raios destes círculos.




\bsk

4) \T(Total: 2.0 pts) Calcule a distância de $P=(4,4,4)$ a
$π:x+2y+4z=4$ de um modo que não seja só a aplicação de uma fórmula.
Inclua um teste de que a $d(P,π)$ é realmente a que você calculou e
explicações.


\bsk


5) \T(Total: 2.0 pts) Sejam $r:y=2x$, $S:(x/3)=(y-2)^2$, e $I,I'∈r∩S$.
Represente graficamente $r$, $S$, $I$, $I'$ e calcule as coordenadas
de uma das interseções.

\bsk
\bsk
\bsk

Algumas fórmulas:

$[\uu,\vv,\ww] = \psm{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\}
 \qquad
 \vsm{a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\} =
 \sm{aei + bfg + cdh \\ - afh - bdi - ceg}
 \qquad |[\uu,\vv,\ww]| = (\uu×\vv)·\ww
$

$\uu×\vv = \vsm{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ \ii & \jj & \kk \\}
         = {\scriptstyle \VEC{u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1}}
$


\newpage


Mini-gabarito:

(não revisado, contém erros)

\bsk

1a) $B_2 = (6,3,10)$, $\Vec{AB_2} = \VEC{3,0,7}$, $r_2 : (3+3t,3,3+7t)$

Queremos $(3+3t,3,3+7t) ∈ π$, i.e., $4 = (3+3t)+3+(3+7t) = 9+10t$; $10t=-5$, $t=-\frac12$.

Ponto: $(3+3t,3,3+7t) = (3-3\frac12,3,3-7\frac12) = (\frac32,\frac62,-\frac12) ∈ r_2∩π$.

\ssk

1b) $B_t = (2+2t, 3, 4+3t)$, $\Vec{AB_t} = \VEC{-1+2t, 0, 1+3t}$,

$r_t = \setofexpron{A+λ\Vec{AB_t}}{λ}$

$= \setofexpron{(3,3,3)+λ\VEC{-1+2t, 0, 1+3t}}{λ}$

$= \setofexpron{(3+λ(2t-1),3,3+λ(1+3t))}{λ}$

$4 = (3+λ(2t-1))+3+(3+λ(1+3t)) = 9+λ(5t)$

$-5 = λ·5t$

$λ=-1/t$

Ponto: $(3+-\frac1t (2t-1),3,3 - \frac1t (1+3t)) = (3-2+\frac1t, 3, 3-3-\frac1t)
= (1+\frac1t, 3, -\frac1t)$

$(1+\frac1t, 3, -\frac1t) ∈ r_t∩π$.

\ssk

1c) $\VEC{x,y,z} = \Vec{AB_t} \parallel π$ se e só se $x+y+z=0$, ou seja,

$0 = (-1+2t)+0+(1+3t) = 5t$, daí $t=0$; $B_0 = (2,3,4)$, $r_0 \parallel π$.

\ssk

1d) $π$ e $r_t$ são ortogonais se e só se $\nn \parallel \Vec{AB_t}$,
o que acontece se e só se $\nn × \Vec{AB_t} = \VEC{0,0,0}$.

$\nn×\Vec{AB_t} = \VEC{3,3,3} × \VEC{-1+2t, 0, 1+3t}$

$= \VEC{3(1+3t), 3(-1+2t)-3(1+3t), -3(-1+2t)}$

$= \VEC{3+9t, 6-3t, 3-6t}$,

e $\VEC{3+9t, 6-3t, 3-6t}$ nunca é $\VEC{0,0,0}$ porque $3+9t=0$ e
$3-6t=0$ têm soluções diferentes... então não existe $t$ com $π⊥r_t$.

\bsk

2a) (gráfico)

2b) $C_0 = (1,-1)$,  $C'_0 = (2,1)$,  $C''_0 = (3,3)$,  $C'''_0 = (4,5)$, 

$R = \sqrt{10}$, $R' = \sqrt{5}$, $R'' = \sqrt{10}$, $R''' = 5$.

2c) O círculo $C'''$ acima. Equação: $(x-4)^2+(y-5)^2=25$.

\bsk

3a) (gráfico)

3b) $C_0 = (1,1)$, $R=\sqrt{2}$,

$C'_0 = (2,4)$, $R'=\sqrt{8}$,

$C''_0 = (-2,0)$, $R''=\sqrt{8}$,

$C'''_0 = ...$, $R'''=...$,

\newpage

4) Sejam $\nn=\VEC{1,2,4}$,

$r=\setofexpron{P+t\nn}{t}$

$=\setofexpron{(4,4,4)+t\VEC{1,2,4}}{t}$

$=\setofexpron{(4+t,4+2t,4+4t)}{t}$.

\ssk

4a) Se $P' = (4+t,4+2t,4+4t)∈π$ então

$4 = (4+t) + 2(4+2t) + 4(4+4t) = 28 + 21t$, $t=-\frac{24}{21} = -\frac{8}{7}$,

$P' = (4-\frac{8}{7},4-2\frac{8}{7},4-4\frac{8}{7})$

$\Vec{PP'} = \VEC{-\frac{8}{7},-2\frac{8}{7},-4\frac{8}{7}} = -\frac87 \VEC{1,2,4}$

$P'' = P+2\Vec{PP'} = (4,4,4) -\frac{16}7 \VEC{1,2,4}$

\ssk

4b) $d(P,π) = d(P,P') = ||-\frac87 \VEC{1,2,4}|| = \frac87 ||\VEC{1,2,4}||
= \frac87\sqrt{1+4+16} = \frac87\sqrt{21}$

\bsk

5) $S$ é uma parábola com pontos óbvios $(0,2)$, $(3,3)$, $(3,1)$.

Um ponto $(x,y)$ que obedece $y=2x$ e $(x/3)=(y-2)^2$ também obedece:

$(x/3)=(2x-2)^2$,

$x=3(2x-2)^2 = 3·4(x-1)^2 = 12(x^2-2x+1) = 12x^2 - 24x + 12$,

$12x^2 - 25x + 12 = 0$

$x^2 - \frac{25}{12}x + 1 = 0$.    \quad\quad $(*)$

As soluções de (*) são $x_1=\frac34$ e $x_2=\frac43$.

As interseções são $(\frac34, \frac32)$, $(\frac43, \frac83)$.



\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End: