% (find-angg "LATEX/2019-1-C3-VR.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-1-C3-VR.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2019-1-C3-VR.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-1-C3-VR.pdf"))
% (defun b () (interactive) (find-zsh "bibtex 2019-1-C3-VR; makeindex 2019-1-C3-VR"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-1-C3-VR.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-1-C3-VR"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2019-1-C3-VR.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-1-C3-VR.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2019-1-C3-VR.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2019-1-C3-VR.pdf
%               file:///tmp/2019-1-C3-VR.pdf
%           file:///tmp/pen/2019-1-C3-VR.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-1-C3-VR.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% %L dofile "edrxtikz.lua"  -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua"  -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu


\def\Fr {\mathsf{Fr}}
\def\Int{\mathsf{Int}}
\def\ovl{\overline}

\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B       (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar


% __     ______    _ 
% \ \   / /  _ \  / |
%  \ \ / /| |_) | | |
%   \ V / |  _ <  | |
%    \_/  |_| \_\ |_|
%                    

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.1
\par VR - 5/julho/2019 - Eduardo Ochs
\par Versão para quem perdeu a P1.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}

\bsk
\bsk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")

1) \T(Total: 3.0 pts) Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem
de cada uma das funções abaixo:

a) \B(1.0 pts) $F(x,y) = e^x \ln(x+2y)$

b) \B(1.0 pts) $F(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$

c) \B(1.0 pts) $F(x,y) = G(x,y)/h(x)$


\bsk
\bsk

2) \T(Total: 3.5 pts) Seja $f(x) = \sqrt{x}$.

a) \B(0.5 pts) Dê uma aproximação de primeira ordem para $f(x)$ em
torno de $x_0=1$.

b) \B(1.0 pts) Dê uma aproximação de segunda ordem para $f(x)$ em
torno de $x_0=1$.

c) \B(1.0 pts) Use o item (a) para calcular um valor aproximado para
$\sqrt{1.01}$.

d) \B(1.0 pts) Use o item (b) para calcular um valor aproximado para
$\sqrt{1.01}$.

\bsk
\bsk


3) \T(Total: 3.5 pts) Seja $f(x) = \sen(x)$.

a) \B(0.5 pts) Calcule $f(x)$ e $f'(x)$ para $x=0$, $x=\fracπ4$,
$x=\fracπ2$, $\ldots$, $x=2π$.

b) \B(1.5 pts) Use os resultados do item anterior para fazer uma
representação gráfica {\sl muito boa} do gráfico da $f$ entre $x=0$ e
$x=π$. Dicas: faça um quadriculado com 4cm por unidade, e use $π≈3$ e
$√2≈1.5$.

c) \B(1.5 pts) Seja $g(x)$ uma reta tangente a $f(x)$ em $x=2.5$.
Represente $g$ graficamente, e a partir de seu desenho obtenha boas
aproximações para o $a$ e o $b$ da equação cartesiana de $g$:
$g(x)=ax+b$.




\newpage

% __     ______    ____  
% \ \   / /  _ \  |___ \ 
%  \ \ / /| |_) |   __) |
%   \ V / |  _ <   / __/ 
%    \_/  |_| \_\ |_____|
%                        

{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 3
\par PURO-UFF - 2019.1
\par VR - 5/julho/2019 - Eduardo Ochs
\par Versão para quem perdeu a P2.
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Diagramas ambíguos {\sl serão} interpretados errado.
\par A pontuação de cada subitem depende da dificuldade dele.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.

}


\bsk
\bsk



Sejam:

$C_1 = \setofxyst{x≥0, y≥0, x≤\frac1y}$,

$C_2 = \setofxyst{x≥\frac12, y≥\frac13, x≤\frac1y}$,

$C_3 = \setofxyst{x≥2, y≥3, x≤\frac1y}$,

$C_4 = \setofxyst{\max(x,y)=4}$,

$C_5 = \setofxyst{2<\max(x,y)≤4}$.

$C_6 = \setofxyst{2≤\min(x,y)≤4}$.

$C_7 = \setofxyst{2≤\min(x,y)≤4, x+y≤7}$,

$ f(x) =
\begin{cases}
  2-x & \text{quando $x<1$} \\
  4-x & \text{quando $1≤x<4$} \\
  -4+x & \text{quando $4≤x$} \\
 \end{cases} \quad .
$

\bsk
\bsk

1) \T(Total: 2.5 pts) Represente graficamente cada um dos conjuntos
$C_1, \ldots, C_7$.

\bsk
\bsk

2) \T(Total: 2.0 pts) Para cada um dos conjuntos $C_1, \ldots, C_7$
diga se ele é aberto, fechado, limitado, ou compacto. Monte uma tabela
com as suas respostas. {\sl Não chute:} cada resposta errada cancela
duas certas.

\bsk
\bsk

3) \T(Total: 1.5 pts) Sejam $A=[0.5, 1.5]$, $B=f¹(A)$,
$C=\setofxyst{x∈B, y=f(x)}$.

Represente graficamente $f$, $A$, $B$, $C$, $\Fr(B)$, $\Fr(C)$. 

\bsk
\bsk

4) \T(Total: 1.5 pts) Sejam $A=(0.5, 1.5)$, $B=f¹(A)$,
$C=\setofxyst{x∈B, y=f(x)}$.

Represente graficamente $f$, $A$, $B$, $C$, $\Fr(B)$, $\Fr(C)$. 


\bsk
\bsk


5) \T(Total: 2.5 pts) Seja $F:\R^2→\R$ uma função contínua. É possível
usar o Teorema de Weistrass para garantir que ela tem máximo global e
mínimo global no conjunto $C_1$? E nos conjuntos $C_2, C_3, \ldots,
C_7$? {\bf Dica:} o caso $C_3$ não é nada óbvio, teste as suas idéia
sobre ele com uma função bem simples como por exemplo $F(x,y)=x$.







% Algumas definições:
% 
% % (c3q191 27)
% % (c3q191 29)
% 
% $B_ε(P)$ é a {\sl bola aberta de raio $ε$ e centro $P$}: o conjunto
% dos pontos $Q∈\R^n$ com $d(P,Q)<ε$.
% 
% $\ovl B_ε(P)$ é a {\sl bola fechada de raio $ε$ e centro $P$}: o
% conjunto dos pontos $Q∈\R^n$ com $d(P,Q)≤ε$.
% 
% Um {\sl ponto interior} de um conjunto $A⊆\R^n$ é um ponto $P∈A$ para
% o qual existe {\sl algum} $ε>0$ com $B_ε(P)⊆A$.
% 
% Um {\sl ponto de fronteira} de um conjunto $A⊆\R^n$ é um ponto $P∈A$
% que obedece o seguinte: para todo $ε>0$ temos $B_ε(P)∩A≠∅$ e $B_ε(P)∩(\R^n∖A)≠∅$.
% 
% Interior do conjunto $A$: $\Int(A) = \setofst{P∈A}{P \text{ é um ponto
%     interior de } A}$.
% 
% Fecho do conjunto $A$: $\ovl A = \setofst{P∈A}{P \text{ é um ponto
%     interior de } A}$.



\newpage



\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% End: