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% (find-LATEX "2019-2-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2019-2-C2-P2.tex" :end))
% (defun d () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2019-2-C2-P2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2019-2-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2019-2-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2019-2-C2-P2"))
% (find-pdf-page "~/LATEX/2019-2-C2-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2019-2-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2019-2-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2019-2-C2-P2.pdf
% file:///tmp/2019-2-C2-P2.pdf
% file:///tmp/pen/2019-2-C2-P2.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2019-2-C2-P2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[paper=a4paper,
top=4cm, bottom=3cm, left=4cm, right=4cm,
includefoot
]{geometry}
\begin{document}
% \catcode`\^^J=10
% \directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
\setlength{\parindent}{0em}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\B (#1 pts){{\bf(#1 pts)}}
% Usage:
% 1) \T(Total: 2.34 pts) Foo
% a) \B(0.45 pts) Bar
% _____
% |_ _| _ _ __ _ __ ___ __ _ _ __ ___ __ _
% | || | | | '__| '_ ` _ \ / _` | | '_ \ / _ \/ _` |
% | || |_| | | | | | | | | (_| | | |_) | __/ (_| |
% |_| \__,_|_| |_| |_| |_|\__,_| | .__/ \___|\__, |
% |_| |_|
{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2019.2
\par P2 - turma pequena - 11/dezembro/2019 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.
}
\bsk
\bsk
% \bsk
% \bsk
% (find-TH "2019.1-C2" "provas-antigas")
% (find-es "sympy" "trig-subst-questions")
% (c2q)
% (find-angg "LATEX/2015-2-GA-P2.tex")
% (find-es "sympy" "separable-variables")
% Eu dei este problema numa aula:
% (find-angg ".emacs" "c2q192")
% (find-angg ".emacs" "c2q192" "20191016")
% (c2q192 85)
1) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $e^{2y} \, dy = x^3
\, dx$.
a) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(*)$ por variáveis separáveis.
b) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral.
c) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que passe pelo ponto $(4,5)$.
\bsk
\bsk
% (find-TH "2019.1-C2" "provas-antigas")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2019-1-C2-P2.pdf")
% (find-fline "~/LATEX/2019-1-C2-P2.tex")
% (find-es "sympy" "linear-order2-real")
2) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $f''-8f'-20f=0$.
a) \B(0.5 pts) Expresse $(*)$ na forma $(D-a)(D-b)f=0$.
b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(*)$.
c) \B(1.0 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que obedeça $f(0)=2$, $f'(0)=3$.
\bsk
\bsk
% (find-es "sympy" "linear-order2-complex")
3) \T(Total: 1.5 pts) Seja $(**)$ a seguinte EDO: $f''-6f'+25f=0$.
a) \B(0.5 pts) Expresse $(**)$ na forma $(D-α)(D-\ovα)f=0$.
b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(**)$.
c) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas {\sl reais} de $(**)$.
\ssk
Dica: $\ov{(42+99i)} = 42-99i$.
\bsk
\bsk
% 4) \T(Total: 1.0 pts) Diga qual é a EDO exata $Mdx + Ndy = 0$ cujas
% soluções são as curvas de nível da função $F(x,y) = (x+2)^3(y^4+5)$.
%
% \bsk
% \bsk
4) \T(Total: 3.5 pts) Seja $(***)$ esta EDO: $2xy^3\,dx + 3x^2y^2\,dy
= 0$, e seja $(****)$ esta daqui: $2x^2y^3\,dx + 3x^3y^2\,dy = 0$.
a) \B(0.5 pts) Mostre que $(***)$ é exata.
b) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(***)$.
c) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral da $(***)$.
d) \B(0.5 pts) Mostre que a solução geral da EDO $(***)$ também é
solução da $(****)$.
e) \B(0.5 pts) Mostre que $(****)$ não é exata.
f) \B(0.5 pts) Mostre que o fator integrante obtido por $p(x) = (M_y -
N_x) / N$, $\mu(x) = e^{\intx{p(x)}}$ transforma $(****)$ em $(***)$.
% g) \B(1.0 pts) Mostre que o fator integrante obtido por $p(y) = (N_x
% - M_y) / M$, $\mu(y) = e^{\inty{p(y)}}$ transforma $(****)$ em uma
% EDO diferente da $(***)$ mas que também é exata.
\bsk
\bsk
5) \T(Total: 0.5 pts) Sejam $A=(1,4)$, $B=(3,3)$, $C=(5,3)$, e seja
$T$ o triângulo com vértices $A$, $B$, $C$. Calcule a área de $T$
entre $x=2$ e $x=4$.
% (find-es "sympy" "exactify")
\newpage
% _____ _
% |_ _| _ _ __ _ __ ___ __ _ __ _ __| | ___
% | || | | | '__| '_ ` _ \ / _` | / _` |/ _` |/ _ \
% | || |_| | | | | | | | | (_| | | (_| | (_| | __/
% |_| \__,_|_| |_| |_| |_|\__,_| \__, |\__,_|\___|
% |___/
{\setlength{\parindent}{0em}
\footnotesize
\par Cálculo 2
\par PURO-UFF - 2019.2
\par P2 - turma grande - 12/dezembro/2019 - Eduardo Ochs
\par Respostas sem justificativas não serão aceitas.
\par Proibido usar quaisquer aparelhos eletrônicos.
}
\bsk
\bsk
1) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $e^{2y} \, dy = x^3
\, dx$.
a) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(*)$ por variáveis separáveis.
b) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral.
c) \B(0.5 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que passe pelo ponto $(4,5)$.
\bsk
\bsk
% (find-TH "2019.1-C2" "provas-antigas")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2019-1-C2-P2.pdf")
% (find-fline "~/LATEX/2019-1-C2-P2.tex")
% (find-es "sympy" "linear-order2-real")
2) \T(Total: 2.0 pts) Seja $(*)$ a seguinte EDO: $f''-8f'-20f=0$.
a) \B(0.5 pts) Expresse $(*)$ na forma $(D-a)(D-b)f=0$.
b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(*)$.
c) \B(1.0 pts) Encontre uma solução de $(*)$ que obedeça $f(0)=2$, $f'(0)=3$.
\bsk
\bsk
% (find-es "sympy" "linear-order2-complex")
3) \T(Total: 1.5 pts) Seja $(**)$ a seguinte EDO: $f''-6f'+25f=0$.
a) \B(0.5 pts) Expresse $(**)$ na forma $(D-α)(D-\ovα)f=0$.
b) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas de $(**)$.
c) \B(0.5 pts) Encontre as soluções básicas {\sl reais} de $(**)$.
\ssk
Dica: $\ov{(42+99i)} = 42-99i$.
\bsk
\bsk
% 4) \T(Total: 1.0 pts) Diga qual é a EDO exata $Mdx + Ndy = 0$ cujas
% soluções são as curvas de nível da função $F(x,y) = (x+2)^3(y^4+5)$.
%
% \bsk
% \bsk
4) \T(Total: 3.5 pts) Seja $(***)$ esta EDO: $2xy^3\,dx + 3x^2y^2\,dy
= 0$, e seja $(****)$ esta daqui: $2x^2y^3\,dx + 3x^3y^2\,dy = 0$.
a) \B(0.5 pts) Mostre que $(***)$ é exata.
b) \B(0.5 pts) Encontre a solução geral de $(***)$.
c) \B(1.0 pts) Teste a sua solução geral da $(***)$.
d) \B(0.5 pts) Mostre que a solução geral da EDO $(***)$ também é
solução da $(****)$.
e) \B(0.5 pts) Mostre que $(****)$ não é exata.
f) \B(0.5 pts) Mostre que o fator integrante obtido por $p(x) = (M_y -
N_x) / N$, $\mu(x) = e^{\intx{p(x)}}$ transforma $(****)$ em $(***)$.
% g) \B(1.0 pts) Mostre que o fator integrante obtido por $p(y) = (N_x
% - M_y) / M$, $\mu(y) = e^{\inty{p(y)}}$ transforma $(****)$ em uma
% EDO diferente da $(***)$ mas que também é exata.
\bsk
\bsk
5) \T(Total: 0.5 pts) Sejam $A=(1,4)$, $B=(3,3)$, $C=(5,3)$, e seja
$T$ o triângulo com vértices $A$, $B$, $C$. Calcule a área de $T$
entre $x=2$ e $x=4$.
% \bsk
% \bsk
% (find-TH "2019.1-C2" "provas-antigas")
% (find-es "sympy" "trig-subst-questions")
% (c2q)
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "NONE"
% End: