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% (find-LATEX "2020-1-C3-derivs-alta-ordem.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-1-C3-derivs-alta-ordem.tex" :end))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C3-derivs-alta-ordem.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-1-C3-derivs-alta-ordem.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-1-C3-derivs-alta-ordem.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-1-C3-derivs-alta-ordem"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)) (g))
% (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C3-derivs-alta-ordem.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C3-derivs-alta-ordem.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C3-derivs-alta-ordem.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2020-1-C3-derivs-alta-ordem.pdf
% file:///tmp/2020-1-C3-derivs-alta-ordem.pdf
% file:///tmp/pen/2020-1-C3-derivs-alta-ordem.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C3-derivs-alta-ordem.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
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% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
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% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m201Fxyp 1 "title")
% (c3m201Fxy "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2020.1}
\bsk
Aula 18: Derivadas parciais de ordem mais alta
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2020.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
% (c3m192p 5 "ponto-base")
% (c3m192 "ponto-base")
Às vezes você vai ver esse aviso aqui...
\ssk
\ColorRed{Contas fora do ponto base zeram a questão!}
\ssk
Se o nosso ponto base é $p_0 = (x_0,y_0)$ isso quer dizer que você
vai ter que evitar ao máximo fazer expansões como:
%
$$h(x,y) (x-x_0) \;\; \squigto \;\; h(x,y)·x + h(x,y)·(x_0)$$
E você vai ter que derivar esse $h(x,y) (x-x_0)$ assim:
$$\begin{array}{rcl}
\frac{∂}{∂x} (h(x,y) (x-x_0)) &=& (\frac{∂}{∂x}h(x,y)) (x-x_0) + h(x,y) \frac{∂}{∂x}(x-x_0) \\
&=& h_x(x,y) (x-x_0) + h(x,y). \\
\end{array}
$$
O mini-teste vai ter um aviso desses.
Isto vale também para $(y-y_0)$, $(x-x_0)^k$, e $(y-y_0)^k$.
\newpage
{\bf Exercício 0.}
Sejam:
$F(x,y) \; =\; (x-x_0)^4 (y-y_0)^7$
e $(x_0,y_0) = (2,3)$.
\msk
Calcule:
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
F(x,y), & F_x(x,y), & F_{xx}(x,y), \\
F_y(x,y), & F_{xy}(x,y), & F_{xxy}(x,y), \\
F_{yy}(x,y), & F_{xyy}(x,y), & F_{xxyy}(x,y), \\[5pt]
%
F(x_0,y_0), & F_x(x_0,y_0), & F_{xx}(x_0,y_0), \\
F_y(x_0,y_0), & F_{xy}(x_0,y_0), & F_{xxy}(x_0,y_0), \\
F_{yy}(x_0,y_0), & F_{xyy}(x_0,y_0), & F_{xxyy}(x_0,y_0), \\
\end{array}
$
\msk
Dica: \ColorRed{não} substitua, por exemplo, $3^3 · 7^2$ por 1323 --
se você deixar como ``$3^3 · 7^2$'' vai dar pra ver os padrões,
e se você trocar isso por 1323 só alguém MUITO bom de conta
vai conseguir vê-los.
\newpage
{\bf Exercício 1.}
Seja:
$\scalebox{0.8}{$
\begin{array}[t]{cccccccc}
F(x,y) &=& a_{00} &+& a_{10} (x-x_0) &+& a_{20} (x-x_0)^2 \\
&+& a_{01} (y-y_0) &+& a_{11} (x-x_0) (y-y_0) &+& a_{21} (x-x_0)^2 (y-y_0) \\
&+& a_{02} (y-y_0)^2 &+& a_{12} (x-x_0) (y-y_0)^2 &+& a_{22} (x-x_0)^2 (y-y_0)^2. \\
\end{array}
$}
$
\bsk
Calcule:
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
F(x,y), & F_x(x,y), & F_{xx}(x,y), \\
F_y(x,y), & F_{xy}(x,y), & F_{xxy}(x,y), \\
F_{yy}(x,y), & F_{xyy}(x,y), & F_{xxyy}(x,y), \\[5pt]
%
F(x_0,y_0), & F_x(x_0,y_0), & F_{xx}(x_0,y_0), \\
F_y(x_0,y_0), & F_{xy}(x_0,y_0), & F_{xxy}(x_0,y_0), \\
F_{yy}(x_0,y_0), & F_{xyy}(x_0,y_0), & F_{xxyy}(x_0,y_0), \\
\end{array}
$
\bsk
Dica: dá pra fazer essas contas de cabeça depois que você descobrir
certos truques padrões. Faça as primeiras contas explicitamente no
papel, e depois descubra esses padrões.
% (c3q192 30 "20191108" "Exercícios sobre ponto base; regra da cadeia no Bortolossi")
\newpage
{\bf Exercício 2.}
Seja
\msk
$\begin{array}[t]{cccccccc}
G(x,y) &=& 4 &+& 5 (x-2) &+& 6 (x-2)^2 \\
&+& 7 (y-3) &+& 8 (x-2) (y-3) &+& 9 (x-2)^2 (y-3) \\
&+& 10 (y-3)^2 &+& 11 (x-2) (y-3)^2 &+& 12 (x-2)^2 (y-3)^2. \\
\end{array}
$
\msk
Calcule:
%
$\begin{array}[t]{cccccccc}
G(2,3), & G_x(2,3), & G_{xx}(2,3), \\
G_y(2,3), & G_{xy}(2,3), & G_{xxy}(2,3), \\
G_{yy}(2,3), & G_{xyy}(2,3), & G_{xxyy}(2,3), \\
\end{array}
$
\msk
(Dica: qual é o ponto base aqui?)
\newpage
Isso vai ter montes de aplicações -- por exemplo, os capítulos 11 e 12
do Bortolossi, que são sobre otimização, usam derivadas parciais de
ordem maior que 1 e aproximações de Taylor em $R^2$ a beça...
O que a gente está fazendo hoje é começar a entender quais são as
funções que são bem aproximadas pelas suas aproximações de Taylor (que
vamos ver em breve!) -- e a gente vai comecar por funções polinomiais.
\newpage
(Ainda não revisei a partir daqui...)
\msk
3) Leia a seção sobre Teorema de Young no Bortolossi. Dá pra aplicar o
teorema de Young nas funções $F$ e $G$?
\msk
4) Calcule todas as derivadas de 2ª ordem da função $F$. (Dica:
procure no Bortolossi a definição de "derivadas de 2ª ordem!)
\msk
5) Calcule todas as derivadas de 3ª ordem da função $H(x,y) = x^2 y_2$.
\msk
6) Especialize o Teorema 7.7 do Bortolossi para o caso $l=1$, $m=2$,
$n=1$. Obs: o livro tem alguns erros de digitação nesse teorema, e às
vezes ele troca `$l$'s por `$k$'s e `$k$'s por `$l$'s; considere que
todas as funções são de classe $C^k$. {\sl Escreva o seu resultado
como um corolário.} Dica: leia as páginas 252 a 263 se precisar
tirar dúvidas sobre matriz jacobiana.
\msk
7) Use o seu corolário para calcular $\frac{d}{dt} F(g(t),h(t))$.
\msk
8) Use o que você obteve no (7) para calcular $\frac{d}{dt}
F(g(t),h(t))$ no caso em que $F(x,y) = x^2y^3$, $g(t) = \sen t$, $h(t)
= e^{4t}$.
\msk
9) Calcule $\frac{d}{dt} ((\sen t)^2(e^{4t})^3)$ usando métodos de
Cálculo 1.
%\printbibliography
\end{document}
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%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C3-derivs-alta-ordem veryclean
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C3-derivs-alta-ordem pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3m201Fxy"
% End: