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% (find-LATEX "2020-2-C2-P1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-2-C2-P1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2020-2-C2-P1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-2-C2-P1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2020-2-C2-P1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-2-C2-P1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2020-2-C2-P1.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2020-2-C2-P1")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2020-2-C2-P1.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf
% file:///tmp/2020-2-C2-P1.pdf
% file:///tmp/pen/2020-2-C2-P1.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2020-2-C2-P1" "2" "c2m202p1" "c2p1")
%
% Video:
% (find-ssr-links "c2m202p1" "2020-2-C2-P1" "{naoexiste}")
% (code-video "c2m202p1video" "$S/http/angg.twu.net/eev-videos/2020-2-C2-P1.mp4")
% (find-c2m202p1video "0:00")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.regras-e-dicas» (to "regras-e-dicas")
% «.questao-1» (to "questao-1")
% «.questao-2» (to "questao-2")
% «.questao-3» (to "questao-3")
% «.questao-4» (to "questao-4")
% «.gabarito-1» (to "gabarito-1")
% «.gabarito-2» (to "gabarito-2")
% «.gabarito-3» (to "gabarito-3")
% «.gabarito-4» (to "gabarito-4")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
\pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\D {\displaystyle}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2020.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m202p1p 1 "title")
% (c2m202p1a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2020.2}
\bsk
P1 (primeira prova)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2020.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «regras-e-dicas» (to ".regras-e-dicas")
% (c2m202p1p 2 "regras-e-dicas")
% (c2m202p1a "regras-e-dicas")
As regras e dicas são as mesmas dos mini-testes:
\ssk
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-MT1.pdf}
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-MT2.pdf}
\ssk
exceto que a prova vai ser disponibilizada às 17:00 do dia
15/abril/2021 e deve ser entregue até as 20:00 do dia
16/abril/2021.
\newpage
% «questao-1» (to ".questao-1")
% (c2m202p1p 3 "questao-1")
% (c2m202p1a "questao-1")
% Não seja como eles: (c2m211somas2p 50 "trailer")
% (c2m211somas2a "trailer")
{\bf Questão 1}
(Total: 2.5pts)
\ssk
Sejam:
%
$$f(x) =
\begin{cases}
1 & \text{se $x≤1$}, \\
2 & \text{se $1<x$}, \\
\end{cases}
\qquad
F(x) =
\begin{cases}
x & \text{se $x≤1$}, \\
2x & \text{se $1<x$}. \\
\end{cases}
$$
a) Desenhe os gráficos das funções $f(x)$ e $F(x)$.
b) É verdade que $F'(x)=f(x)$?
c) É verdade que $F$ é uma primitiva de $f$?
\ssk
d) É verdade que $\D \Intx{0}{2}{f(x)} = \Difx{0}{2}{F(x)}$?
\newpage
% «questao-2» (to ".questao-2")
% (c2m202p1p 4 "questao-2")
% (c2m202p1a "questao-2")
% (c2m202mt2p 4 "questao")
% (c2m202mt2 "questao")
{\bf Questão 2}
(Total: 2.5pts)
\ssk
{\sl Toda integral que pode ser resolvida por uma sequência de
mudanças de variável (ou: ``por uma sequência de integrações por
substituição'') pode ser resolvida por uma mudança de variável só.}
Vocês viram isso no mini-teste: a integral dele podia ser resolvida
usando as duas mudanças de variável $[u = \sqrt{x}]$ e $[v = 2u + 3]$
ou usando só $[w = 2\sqrt{x} + 3]$.
Resolva a integral abaixo de dois jeitos diferentes:
%
$$\intx {\frac{3 \cos{\left (2 + \sqrt{3 x + 4} \right )}}
{2 \sqrt{3 x + 4}}
}
$$
a) por várias mudanças simples de variável,
b) por uma mudança de variável só.
\newpage
% «questao-3» (to ".questao-3")
% (c2m202p1p 5 "questao-3")
% (c2m202p1a "questao-3")
{\bf Questão 3}
(Total: 2.5pts)
\ssk
Um dos exercícios dos slides de frações parciais pedia pra vocês
integrarem $\intx{\frac 1{3x}}$. Tem dois jeitos de fazer essa conta,
um começando com $\intx{\frac 1{3x}} = \frac 13 \intx{\frac 1x}$ e
outro começando com a substituição $[u=3x]$, e os dois dão resultados
diferentes. Faça as contas, entenda os detalhes, e explique o porquê
desses dois resultados diferentes imaginando que você está explicando
pra alguém que acabou de aprender integração por substituição mas
ainda não tem muita prática.
\newpage
% «questao-4» (to ".questao-4")
% (c2m202p1p 6 "questao-4")
% (c2m202p1a "questao-4")
{\bf Questão 4}
(Total: 2.5pts)
\ssk
Integre
%
$$\intth{\frac{\senθ}{\cosθ}}$$
e teste a sua resposta.
\msk
Dica: use um dos jeitos de integrar potências de senos e cossenos
e depois use a regra da potência.
\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{2.0cm}
{\bf \Large Gabarito}
(incompleto)
\end{center}
\newpage
% «gabarito-1» (to ".gabarito-1")
% (c2m202p1p 8 "gabarito-1")
% (c2m202p1a "gabarito-1")
% Não seja como eles: (c2m211somas2p 50 "trailer")
% (c2m211somas2a "trailer")
{\bf Questão 1: gabarito}
\msk
a)
$\qquad
f(x) \;\; = \;\;
\vcenter{\hbox{%
\unitlength=10pt
\beginpicture(0,0)(2,4)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(0,1)--(1,1)c
(1,2)o--(2,2)
}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
\qquad
F(x) \;\; = \;\;
\vcenter{\hbox{%
\unitlength=10pt
\beginpicture(0,0)(2,4)
\pictgrid%
\pictpiecewise{(0,0)--(1,1)c
(1,2)o--(2,4)
}%
\pictaxes%
\end{picture}%
}}
$
\msk
b) Isto é falso em $x=1$: $f(1)=1$ mas $F'(1)$ não existe.
c) Não. Veja a definição:
% (c2m202escadasp 16 "exercicio-8")
% (c2m202escadas "exercicio-8")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-escadas.pdf#page=16
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-escadas.pdf\#page=16}
\msk
d) Não: $3 = \D \Intx{0}{2}{f(x)} \neq \Difx{0}{2}{F(x)} = 4$.
\newpage
% «gabarito-2» (to ".gabarito-2")
% (c2m202p1p 9 "gabarito-2")
% (c2m202p1a "gabarito-2")
{\bf Questão 2: gabarito}
\msk
$\scalebox{0.85}{$
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
\intx {\frac{3 \cos{\left (2 + \sqrt{3 x + 4} \right )}}
{2 \sqrt{3 x + 4}}
} \\
= \intu {\frac{\cos{\left (2 + \sqrt{u + 4} \right )}}
{2 \sqrt{u + 4}}
} \\
= \intv {\frac{\cos{\left (2 + \sqrt{v} \right )}}
{2 \sqrt{v}}
} \\
= \intw {\cos{\left (2 + w \right )}
} \\
= \inty {\cos y}
\\
= \sen y \\
= \sen \left( 2+w \right) \\
= \sen \left( 2+\sqrt{v} \right) \\
= \sen \left( 2+\sqrt{u+4} \right) \\
= \sen \left( 2+\sqrt{3x+4} \right) \\
\end{array}
%
\begin{array}{c}
\bsm{u = 3x \\ \frac{du}{dx} = 3 \\ du = 3\,dx \\ dx = \frac13 du}
\\[15pt]
\bsm{v = u+4 \\ du=dv }
\\[5pt]
\bsm{w = \sqrt{v} \\ \frac{dw}{dv} = \frac12 v^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{v}} \\}
\\[5pt]
\bsm{y = 2+w \\ dy=dw }
\\[60pt]
\end{array}
%
\\
\\
%
\begin{array}{l}
\intx {\frac{3 \cos{\left (2 + \sqrt{3 x + 4} \right )}}
{2 \sqrt{3 x + 4}}
} \\
= \intu {\cos u} \\
= \sen u \\
= \sen \left( 2 + \sqrt{3x+4} \right) \\
\end{array}
%
\begin{array}{c}
\bsm{u = 2 + \sqrt{3x+4} \\
\frac{du}{dx} = \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 4}} \\
}
\\[15pt]
\end{array}
%
\end{array}
$}
$
\newpage
% «gabarito-3» (to ".gabarito-3")
% (c2m202p1p 10 "gabarito-3")
% (c2m202p1a "gabarito-3")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=10
% (find-fline "~/2020.2-C2/tmp/")
% (find-fline "~/2020.2-C2/tmp/20210408_C2_P1_gab_3.jpg")
{\bf Questão 3: gabarito}
$$\begin{array}{l}
\intx{\frac{1}{3x}} \\
= \intu{\frac{1}{u}·\frac13} \\
= \frac13 \intu{\frac{1}{u}} \\
= \frac13 \ln u \\
= \frac13 \ln(3x) \\
\end{array}
%
\bmat{
u = 3x \\ x = \frac13 u \\ dx = \frac13 du
}
%
\qquad
\qquad
%
\begin{array}{l}
\intx{\frac{1}{3x}} \\
= \frac13 \intx{\frac{1}{x}} \\
= \frac13 \ln x \\
\\
\\
\end{array}
%
$$
$$\begin{array}{l}
\frac13 \ln(3x) \\
= \frac13 ((\ln3) + (\ln x)) \\
= (\frac13 \ln3) + (\frac13\ln x) \\
\end{array}
$$
\bsk
As duas integrais que obtivemos
para $\frac{1}{3x}$
diferem por uma constante.
% (find-latexscan-links "C2" "20210408_C2_P1_gab_3")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/20210408_C2_P1_gab_3.pdf")
%\includegraphics[height=7cm]{2020-2-C2/20210408_C2_P1_gab_3.pdf}
\newpage
% «gabarito-4» (to ".gabarito-4")
% (c2m202p1p 11 "gabarito-4")
% (c2m202p1a "gabarito-4")
% (find-fline "~/2020.2-C2/tmp/20210419_C2_P1_gab_4.jpg")
{\bf Questão 4: gabarito}
% (find-latexscan-links "C2" "20210419_C2_P1_gab_4")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2020-2-C2/20210419_C2_P1_gab_4.pdf")
\includegraphics[height=7cm]{2020-2-C2/20210419_C2_P1_gab_4.pdf}
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2020.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2020-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2020.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2020-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20210408_C2_P1_gab_3
f 20210419_C2_P1_gab_4
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2020-2-C2-P1 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2020-2-C2-P1 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2m202p1"
% End: