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% (find-LATEX "2021-1-C3-gradiente.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-1-C3-gradiente.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-1-C3-gradiente.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C3-gradiente.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-1-C3-gradiente.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C3-gradiente.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C3-gradiente.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-1-C3-gradiente"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-1-C3-gradiente.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-1-C3-gradiente")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-1-C3-gradiente.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C3-gradiente.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-1-C3-gradiente.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-1-C3-gradiente.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-1-C3-gradiente.pdf
% file:///tmp/2021-1-C3-gradiente.pdf
% file:///tmp/pen/2021-1-C3-gradiente.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-gradiente.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-1-C3-gradiente" "3" "c3mgrad" "c3g")
%
% Video:
% (find-ssr-links "c3mgrad" "2021-1-C3-gradiente" "QJj_sFvnoT4")
% (code-video "c3mgradvideo" "$S/http/angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-gradiente.mp4")
% (find-c3mgradvideo "0:00")
% (find-ssr-links "c3mgrad2" "2021-1-C3-gradiente-2" "oJOhVCwIBB4")
% (code-video "c3mgrad2video" "$S/http/angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-gradiente-2.mp4")
% (find-c3mgrad2video "0:00")
% (find-ssr-links "c3mgrad3" "2021-1-C3-gradiente-3")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.introducao» (to "introducao")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-1-cont» (to "exercicio-1-cont")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.exercicio-2-cont» (to "exercicio-2-cont")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
%\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
%\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
%\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
%\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
%\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
%\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
%\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
%\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
%\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
%\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
%\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange}#1}}
%
%\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
%\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
%
%\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
%\def\True {\mathbf{V}}
%\def\False{\mathbf{F}}
%\def\D {\displaystyle}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3mgradp 1 "title")
% (c3mgrada "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2021.1}
\bsk
Aula 23: o vetor gradiente
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «introducao» (to ".introducao")
% (c3mgradp 2 "introducao")
% (c3mgrada "introducao")
{\bf Introdução}
Quando nós vimos trajetórias em $\R^2$ nós aprendemos
a ver a derivada de uma trajetória como o vetor velocidade...
\msk
No mini-teste 2 vocês aprenderam a visualizar a derivada
de uma função de $\R^2$ em $\R^2$ como dois vetores ---
veja o vídeo!!!
\msk
Agora nós vamos ver um truque que nos permite interpretar
a derivada de uma superfície como um vetor --- o gradiente.
\msk
Comece lendo as páginas 298 até 302 do capítulo 8 do
Bortolossi. Nós vamos ver as idéias que ele apresenta numa
outra ordem: nós vamos começar desenhando os vetores
gradientes de algumas superfícies simples e verificando no
olhômetro que eles realmente são ortogonais às curvas de
nível e apontam pra direção de maior crescimento da função.
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m211gradp 3 "exercicio-1")
% (c3m211grada "exercicio-1")
% (c3mgradp 3 "exercicio-1")
% (c3mgrada "exercicio-1")
{\bf Exercício 1}
Sejam:
$F(x,y) = (x-y)y = xy - y^2$,
$G(x,y) = \frac{1}{10} F(x,y) = \frac{(x-y)y}{10} = (xy - y^2)/10$.
\bsk
Faça os diagramas de numerozinhos das funções
de $\R^2$ em $\R$ abaixo, desenhando os valores delas
nos pontos que têm $x,y∈\{-3,\ldots,3\}$ (49 pontos!):
\begin{tabular}[t]{l}
a) $x-y$ \\
b) $y$ \\
c) $(x-y)y$ \\
d) $((x-y)y)/10$ \\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}[t]{l}
e) $G_x(x,y)$ \\
f) $G_y(x,y)$ \\
\end{tabular}
\newpage
% «exercicio-1-cont» (to ".exercicio-1-cont")
% (c3mgradp 4 "exercicio-1-cont")
% (c3mgrada "exercicio-1-cont")
{\bf Exercício 1 (cont.)}
\msk
g) Desenhe as curvas de nível da função $G(x,y)$.
\msk
h) Em cada ponto $(x,y)∈\{-3,\ldots,3\}^2$ desenhe o vetor
gradiente $∇G(x,y)$. Mais precisamente: para cada ponto
$(x,y)∈\{-3,\ldots,3\}^2$ desenhe $(x,y) + \VEC{G_x(x,y), G_y(x,y)}$.
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3mgradp 5 "exercicio-2")
% (c3mgrada "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
Assista este vídeo:
\ssk
{\footnotesize
% http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-gradiente-2.mp4
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-gradiente-2.mp4}
}
\msk
Sejam:
$z=F(x,y)$,
$(x_0,y_0) = (0,1)$,
$z_0 = z(x_0,y_0)$,
$C = \setofxyst{z(x,y) = z_0}$,
\msk
O conjunto $C$ é formado de duas curvas.
\msk
a) Encontre as funções $h_\text{cima}(x)$ e $h_\text{baixo}(x)$
que percorrem essas duas curvas; ou seja,
%
$$\begin{array}{rcl}
C &=& \setofxyst{y = h_\text{cima}(x)} \\
&∪& \setofxyst{y = h_\text{baixo}(x)} \\
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-2-cont» (to ".exercicio-2-cont")
% (c3mgradp 6 "exercicio-2-cont")
% (c3mgrada "exercicio-2-cont")
{\bf Exercício 2 (cont.)}
\msk
b) Represente elas graficamente.
c) Verifique que $h_\text{cima}(x_0) = y_0$.
d) Calcule $h'_\text{cima}(x)$.
e) Verifique (no olhômetro) se o valor de $h'_\text{cima}(x_0)$ faz sentido.
\msk
f) Seja $\vv = \VEC{1,h'_\text{cima}(x_0)}$. Desenhe $(x_0,y_0) + \vv$ e verifique ---
no olhômetro --- se este vetor $\vv$ é (ou parece ser...) paralelo
ao gráfico da função $h_\text{cima}$ no ponto $(x_0,y_0)$.
\msk
g) Verifique se este vetor $\vv$ é ortogonal ao vetor gradiente
$∇F$, isto é, $∇F(x_0,y_0)$. Aqui você vai fazer a verificação
por contas: dois vetores $\VEC{a,b}$ e $\VEC{c,d}$ são ortogonais
se e só se $\VEC{a,b}·\VEC{c,d} = ac+bd = 0$.
% (find-bortolossi8page (+ -290 291) "8. Derivadas direcionais e o vetor gradiente")
% (find-bortolossi8page (+ -290 296) "Definição 8.1. (Derivada direcional)")
% (find-bortolossi8page (+ -290 298) "8.2. O vetor gradiente")
% (find-bortolossi8page (+ -290 302) "direção de maior crescimento")
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c3mgradp 7 "exercicio-3")
% (c3mgrada "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
Assista este vídeo:
\ssk
{\footnotesize
% http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-gradiente-3.mp4
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-gradiente-3.mp4}
}
\msk
Digamos que $y=y(x)$ e que $z(x,y(x))$ é constante.
Então $\ddx z(x,y(x)) = 0$.
A partir dá pra conseguir uma fórmula que calcula $y_x$
em função de $x$ e de $y$ --- sem precisamos encontrar uma
fórmula para $y(x)$ (!!!)...
\msk
a) Encontre a fórmula para $y_x(x,y)$.
b) Encontre o valor de $y_x$ no ponto $(x,y) = (x_0,y_0) = (0,1)$.
c) Verifique que o vetor $\VEC{1,y_x}$ é ortogonal ao gradiente $∇F$
no ponto $(x_0,y_0)$.
\newpage
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.1-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-1-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.1-C3/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-1-C3/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C3-gradiente veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-1-C3-gradiente pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3g"
% ee-tla: "c3mgrad"
% End: