|
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% (find-LATEX "2021-2-C2-TFC1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C2-TFC1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C2-TFC1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-TFC1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C2-TFC1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-TFC1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-TFC1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C2-TFC1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C2-TFC1.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C2-TFC1")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-TFC1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-TFC1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-TFC1.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C2-TFC1.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C2-TFC1.pdf
% file:///tmp/2021-2-C2-TFC1.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C2-TFC1.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-TFC1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C2-TFC1" "2" "c2m212tfc1" "c2t1")
% «.video-1» (to "video-1")
%
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-parabola» (to "defs-parabola")
% «.title» (to "title")
% «.intro-1» (to "intro-1")
% «.intro-2» (to "intro-2")
% «.intro-3» (to "intro-3")
% «.exemplo-1» (to "exemplo-1")
% «.exemplo-1-left» (to "exemplo-1-left")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.descontinuidades» (to "descontinuidades")
% «.tfc1-complicado-1» (to "tfc1-complicado-1")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.tfc1-complicado-3» (to "tfc1-complicado-3")
% «.tfc2-exemplo» (to "tfc2-exemplo")
% «.tfc2-exemplo-2» (to "tfc2-exemplo-2")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «video-1» (to ".video-1")
% (c2m212tfc1a "video-1")
% (find-ssr-links "c2m212tfc1" "2021-2-C2-TFC1" "XvzrNtle-c0")
% (code-eevvideo "c2m212tfc1" "2021-2-C2-TFC1" "XvzrNtle-c0")
% (code-eevlinksvideo "c2m212tfc1" "2021-2-C2-TFC1" "XvzrNtle-c0")
% (find-c2m212tfc1video "0:00")
% (find-c2m212tfc1video "0:00" "Preparação pro Mini-Teste 3")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "2021pict2e.lua" -- (find-LATEX "2021pict2e.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\mname#1{[\mathsf{#1}]}
% «defs-parabola» (to ".defs-parabola")
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -nH --null -e Pict2e *.tex")
% (find-LATEX "2021-2-C2-def-integral.lua")
%
%L fp = function (x)
%L return 4 - (x-2)^2
%L end
%L fp_x0 = 1
%L fp_xr = 5
%L
%L f_direita = function (x)
%L local xl = (x - fp_xr)*eps + fp_x0
%L return fp(xl)
%L end
%L
%L define_pwi = function (defname)
%L pwi = Piecewisify.new(fp, seq(0, 4, 0.25))
%L makepwir = function (thiseps)
%L eps = thiseps
%L pwir = Piecewisify.new(f_direita, seq(fp_xr, fp_xr+1, 1/8))
%L return pwir
%L end
%L Pwil = function (thiseps)
%L makepwir(thiseps)
%L return Pict2e.new():add(pwi:pol(min(fp_x0, fp_x0+eps),
%L max(fp_x0, fp_x0+eps), "*"):color("orange"))
%L -- :add(pwir:pol(fp_xr, fp_xr+1, "*"):color("orange"))
%L -- :add(pwir:pw(fp_xr, fp_xr+1))
%L end
%L Pwir = function (thiseps)
%L makepwir(thiseps)
%L return Pict2e.new():add(pwi:pol(min(fp_x0, fp_x0+eps),
%L max(fp_x0, fp_x0+eps), "*"):color("orange"))
%L :add(pwir:pol(fp_xr, fp_xr+1, "*"):color("orange"))
%L :add(pwir:pw(fp_xr, fp_xr+1))
%L end
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(0,0), v(8,5))
%L :grid()
%L :add("#1")
%L :axesandticks()
%L :add(pwi:pw(0, 4)) -- parabola
%L :bepc()
%L :def(defname.."#1")
%L :output()
%L end
%L
%L define_pwi("ParR")
%L
%L use_f21343 = function ()
%L f21343 = function (x)
%L if x <= 1 then return 2-x end -- (0,2)--(1,1)
%L if x <= 2 then return 2*x-1 end -- (1,1)--(2,3)
%L if x <= 3 then return x+1 end -- (2,3)--(3,4)
%L return 7-x -- (3,4)--(4,3)
%L end
%L fp = f21343
%L fp_x0 = 2
%L define_pwi("ParR")
%L end
%L
%L use_f201343 = function ()
%L f201343 = function (x)
%L if x <= 1 then return 2-2*x end -- (0,2)--(1,0)
%L if x < 2 then return x-1 end -- (1,0)--(2,1)
%L if x == 2 then return 2 end -- (2,2)
%L if x <= 3 then return x+1 end -- (2,3)--(3,4)
%L return 7-x -- (3,4)--(4,3)
%L end
%L fp = f201343
%L fp_x0 = 2
%L define_pwi("ParR")
%L end
%L
%L -- use_f21343()
%L -- use_f201343()
%L
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m212tfc1p 1 "title")
% (c2m212tfc1a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.2}
\bsk
Aula 20: o TFC1
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% ___ _ _
% |_ _|_ __ | |_ _ __ ___ __| |_ _ ___ __ _ ___
% | || '_ \| __| '__/ _ \ / _` | | | |/ __/ _` |/ _ \
% | || | | | |_| | | (_) | (_| | |_| | (_| (_| | (_) |
% |___|_| |_|\__|_| \___/ \__,_|\__,_|\___\__,_|\___/
%
% «intro-1» (to ".intro-1")
% (c2m212tfc1p 2 "intro-1")
% (c2m212tfc1a "intro-1")
{\bf Introdução}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Digamos que $f:[a,b] \to \R$ é uma função integrável.
Digamos que $c∈[a,b]$.
Digamos que a função $F:[a,b] \to \R$ é \ColorRed{definida} por:
%
$$F(t) \;\; = \Intx{c}{t}{f(x)}.$$
O TFC1 tem duas versões.
A versão mais simples diz o seguinte:
se a função $f$ é contínua então para todo $t∈(a,b)$ vale:
%
$$F'(t) \;\; = f(t). \qquad \qquad (*)$$
A versão mais complicada do TFC1, que vamos ver
depois, não supõe que a função $f$ é contínua.
\msk
Nós vamos ver um argumento visual que mostra que
a igualdade $(*)$ é verdade. Esse argumento visual é
\ColorRed{quase} uma demonstração formal, num sentido que eu
vou explicar depois.
}}
\newpage
% «intro-2» (to ".intro-2")
% (c2m212tfc1p 3 "intro-2")
% (c2m212tfc1a "intro-2")
{\bf Introdução (2)}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Digamos que $f:[a,b] \to \R$ é uma função \ColorRed{contínua}.
Digamos que $c∈[a,b]$.
Digamos que a função $F:[a,b] \to \R$ é \ColorRed{definida} por:
%
$$F(t) \;\; = \Intx{c}{t}{f(x)}.$$
\def\eqq{\overset{\ColorRed{???}}{=}}
Então:
%
$$\begin{array}{rcl}
F'(t) &=& \D \lim_{ε→0} \frac{F(t+ε)-F(t)}{ε} \\
&=& \D \lim_{ε→0} \frac{ \Intx{c}{t+ε}{f(x)} - \Intx{c}{t}{f(x)} }{ε} \\
&=& \D \lim_{ε→0} \frac{ \Intx{t}{t+ε}{f(x)} }{ε} \\[12pt]
&=& \D \lim_{ε→0} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)} \\[12pt]
&\eqq& f(t) \\
\end{array}
$$
}}
\newpage
% «intro-3» (to ".intro-3")
% (c2m212tfc1p 4 "intro-3")
% (c2m212tfc1a "intro-3")
{\bf Introdução (3)}
Digamos que $f:[a,b] \to \R$ é uma função \ColorRed{contínua}.
Digamos que $c∈[a,b]$.
Digamos que a função $F:[a,b] \to \R$ é \ColorRed{definida} por:
%
$$F(t) \;\; = \Intx{c}{t}{f(x)}.$$
O nosso argumento visual vai mostrar que:
%
$$\begin{array}{rcl}
\D \lim_{ε→0} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}
&=& f(t). \\
\end{array}
$$
\newpage
% _____ _ _
% | ____|_ _____ _ __ ___ _ __ | | ___ / |
% | _| \ \/ / _ \ '_ ` _ \| '_ \| |/ _ \ | |
% | |___ > < __/ | | | | | |_) | | (_) | | |
% |_____/_/\_\___|_| |_| |_| .__/|_|\___/ |_|
% |_|
%
% «exemplo-1» (to ".exemplo-1")
% (c2m212tfc1p 5 "exemplo-1")
% (c2m212tfc1a "exemplo-1")
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{5cm}\firstcol{
{\bf Primeiro exemplo:}
$f(x)$ é a nossa parábola
preferida, e $t=1$.
\msk
Primeira figura: $ε=2$.
Segunda figura: $ε=1$.
Terceira figura: $ε=1/2$.
\msk
À esquerda: $\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$.
À direita: $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$.
\msk
Repare que a área em
laranja à esquerda sempre
tem base $ε$ e a área em
laranja à direita sempre
tem base $ε·\frac{1}{ε}=1$.
}\anothercol{
\unitlength=10pt
%$$\ParR{}$$
$$\ParR{\expr{Pwir(2)}}$$
$$\ParR{\expr{Pwir(1)}}$$
$$\ParR{\expr{Pwir(1/2)}}$$
}}
\newpage
\unitlength=25pt
\def\myint{\Intx{1}{1+ε}{f(x)}}
\def\myinte#1{
$\begin{array}{rl}
\D \myint & \text{e} \\[15pt]
\D \frac{1}{ε} \myint & \text{quando $ε=#1$:} \\
\end{array}
$}
\msk
\myinte{2}
$$\ParR{\expr{Pwir(2)}}$$
\newpage
\myinte{1}
$$\ParR{\expr{Pwir(1)}}$$
\newpage
\myinte{1/2}
$$\ParR{\expr{Pwir(1/2)}}$$
\newpage
\myinte{1/4}
$$\ParR{\expr{Pwir(1/4)}}$$
\newpage
\myinte{1/8}
$$\ParR{\expr{Pwir(1/8)}}$$
\newpage
\myinte{1/16}
$$\ParR{\expr{Pwir(1/16)}}$$
\newpage
\myinte{1/32}
$$\ParR{\expr{Pwir(1/32)}}$$
\newpage
\myinte{1/64}
$$\ParR{\expr{Pwir(1/64)}}$$
\newpage
% «exemplo-1-left» (to ".exemplo-1-left")
% (c2m212tfc1p 14 "exemplo-1-left")
% (c2m212tfc1a "exemplo-1-left")
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{5cm}\firstcol{
{\bf Agora com $ε$ negativo!...}
\msk
$f(x)$ é a nossa parábola
preferida, e $t=1$.
\msk
Primeira figura: $ε=-1$.
Segunda figura: $ε=-1/2$.
Terceira figura: $ε=-1/4$.
\msk
À esquerda: $\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$.
À direita: $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$.
% \msk
%
% Repare que a área em
%
% laranja à esquerda sempre
%
% tem base $ε$ e a área em
%
% laranja à direita sempre
%
% tem base $ε·\frac{1}{ε}=1$.
}\anothercol{
\unitlength=10pt
%$$\ParR{}$$
$$\ParR{\expr{Pwir(-1)}}$$
$$\ParR{\expr{Pwir(-1/2)}}$$
$$\ParR{\expr{Pwir(-1/4)}}$$
}}
\newpage
\myinte{-1}
$$\ParR{\expr{Pwir(-1)}}$$
\newpage
\myinte{-1/2}
$$\ParR{\expr{Pwir(-1/2)}}$$
\newpage
\myinte{-1/4}
$$\ParR{\expr{Pwir(-1/4)}}$$
\newpage
\myinte{-1/8}
$$\ParR{\expr{Pwir(-1/8)}}$$
\newpage
\myinte{-1/16}
$$\ParR{\expr{Pwir(-1/16)}}$$
\newpage
\myinte{-1/32}
$$\ParR{\expr{Pwir(-1/32)}}$$
\newpage
\myinte{-1/64}
$$\ParR{\expr{Pwir(-1/64)}}$$
\newpage
% _____ _ _ _
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ / |
% | _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \ | |
% | |___ > < __/ | | (__| | (__| | (_) | | |
% |_____/_/\_\___|_| \___|_|\___|_|\___/ |_|
%
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m212tfc1p 22 "exercicio-1")
% (c2m212tfc1a "exercicio-1")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "firstcol-anothercol")
%L use_f21343()
\pu
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{6cm}\firstcol{
{\bf Exercício 1.}
Seja $f(x)$ a função à direita.
Seja $t=2$.
\msk
a) Desenhe $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$
para $ε=2$, $ε=1$, $ε=1/2$.
\msk
b) Desenhe $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$
para $ε=-2$, $ε=-1$, $ε=-1/2$.
\msk
Dica: comece entendendo as
áreas em laranja à direita!
\msk
c) Quanto você acha que dá
$\lim_{ε→0^+} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}$?
\msk
d) Quanto você acha que dá
$\lim_{ε→0^-} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}$?
}\hspace*{-1cm}\anothercol{
\unitlength=7.5pt
\def\PPP#1{\ParR{\expr{Pwil(#1)}}}
$$\PPP{2} \quad \PPP{-2}$$
$$\PPP{1} \quad \PPP{-1}$$
$$\PPP{1/2} \quad \PPP{-1/2}$$
}}
\newpage
% _____ _ _ ____
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ |___ \
% | _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \ __) |
% | |___ > < __/ | | (__| | (__| | (_) | / __/
% |_____/_/\_\___|_| \___|_|\___|_|\___/ |_____|
%
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m212tfc1p 23 "exercicio-2")
% (c2m212tfc1a "exercicio-2")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "firstcol-anothercol")
%L use_f201343()
\pu
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{6cm}\firstcol{
{\bf Exercício 2.}
Seja $f(x)$ a função à direita.
Seja $t=2$.
\msk
a) Desenhe $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$
para $ε=2$, $ε=1$, $ε=1/2$.
\msk
b) Desenhe $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$
para $ε=-2$, $ε=-1$, $ε=-1/2$.
\msk
Dica: comece entendendo as
áreas em laranja à direita!
\msk
c) Quanto você acha que dá
$\lim_{ε→0^+} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}$?
\msk
d) Quanto você acha que dá
$\lim_{ε→0^-} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}$?
}\hspace*{-1cm}\anothercol{
\unitlength=7.5pt
\def\PPP#1{\ParR{\expr{Pwil(#1)}}}
$$\PPP{2} \quad \PPP{-2}$$
$$\PPP{1} \quad \PPP{-1}$$
$$\PPP{1/2} \quad \PPP{-1/2}$$
}}
\newpage
% «descontinuidades» (to ".descontinuidades")
% (c2m212tfc1p 24 "descontinuidades")
% (c2m212tfc1a "descontinuidades")
{\bf Descontinuidades}
%L f_parabola_preferida = function (x)
%L return 4 - (x-2)^2
%L end
%L f_parabola_complicada = function (x)
%L if x <= 4 then return f_parabola_preferida(x) end
%L if x < 5 then return 5 - x end
%L if x < 6 then return 7 - x end
%L if x < 7 then return 3 end
%L if x == 7 then return 4 end
%L return 0.5
%L end
%L f_funcao_complicada = f_parabola_complicada
%L
%L pwi = Piecewisify.new(f_funcao_complicada, seq(0, 4, 0.25), 5, 6, 7)
%L
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(0,0), v(8,5))
%L :grid()
%L :add("#1")
%L :axesandticks()
%L :add(pwi:pw(0, 8)) -- f
%L :bepc()
%L :def("ParCoWith#1")
%L :output()
\pu
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Digamos que $f:[a,b]→\R$ é uma função qualquer.
Vamos definir o conjunto dos pontos de descontinuidade da $f$,
ou, pra abreviar, o ``conjunto das descontinuidades da $f$'', assim:
%
$$\mathsf{desc}(f) \;\; = \;\;
\setofst{x∈[a,b]}{f \text{ é descontinua em $x$}}
$$
A expressão ``$f$ tem um número finito de pontos de descontinuidade'',
que eu vou abreviar pra ``$f$ tem finitas descontinuidades'' apesar
disso soar bem estranho em português, vai querer dizer:
%
$$\mathsf{desc}(f) \text{\;\;é um conjunto finito}$$
O conjunto vazio é finito, então toda $f$ contínua ``tem finitas
descontinuidades''. Essa função aqui tem finitas descontinuidades:
%
$$\unitlength=7.5pt
\ParCoWith{}
$$
A função de Dirichlet, que nós vimos aqui,
% (c2m211somas2p 46 "dirichlet")
% (c2m211somas2a "dirichlet")
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2.pdf\#page=46}
}
tem infinitas descontinuidades.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «tfc1-complicado-1» (to ".tfc1-complicado-1")
% (c2m212tfc1p 25 "tfc1-complicado-1")
% (c2m212tfc1a "tfc1-complicado-1")
{\bf A versão complicada do TFC1}
Vou dizer que uma função $f:[a,b]→\R$ é ``boa''
quando ela é integrável e tem finitas descontinuidades.
\msk
(O termo ``função boa'' é péssimo de propósito ---
é pra deixar óbvio que essa é uma definição temporária,
que vai valer só durante poucos slides...)
\msk
Vou dizer que uma função $G:[a,b]→\R$ obedece
%
$$G'(x) = f(x)$$
quando $G$ for contínua em $[a,b]$ e $G$ obedecer isto aqui:
%
$$∀x∈((a,b) \; ∖ \; \mathsf{desc}(f)). \; G'(x)=f(x)$$
ou seja, neste caso ``$G'(x) = f(x)$'' é uma abreviação
pra algo complicado.
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m212tfc1p 26 "exercicio-3")
% (c2m212tfc1a "exercicio-3")
{\bf A versão complicada do TFC1 (2)}
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(0,-2), v(4,3))
%L :grid()
%L :axesandticks()
%L :add(pictpiecewise("(0,1)--(1,1)o (1,2)c--(2,2)o (2,-1)c--(4,-1)")
%L :as("\\linethickness{1pt}"))
%L :bepc()
%L :def("TFCcomplicEx")
%L :output()
\pu
\scalebox{0.95}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Antes de prosseguir vamos fazer um exercício.
\bsk
{\bf Exercício 3.}
Seja:
$$f(x) \;\;=\;\;
\unitlength=7.5pt
\TFCcomplicEx
$$
a) Qual é o domínio da $f$? (Ele está ``implícito no gráfico''...)
b) Encontre uma função $G$ que obedece $G'(x)=f(x)$ e $G(0)=0$.
c) Encontre uma função $H$ que obedece $H'(x)=f(x)$ e $H(0)=1$.
d) Faça o gráfico da função $M(x) = H(x) - G(x)$.
e) Encontre uma função $K$ que obedece $K'(x)=f(x)$ e $K(4)=-1$.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «tfc1-complicado-3» (to ".tfc1-complicado-3")
% (c2m212tfc1p 27 "tfc1-complicado-3")
% (c2m212tfc1a "tfc1-complicado-3")
{\bf A versão complicada do TFC1 (3)}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Digamos que $f:[a,b]→\R$ é ``boa''.
Digamos que $c∈[a,b]$ e que $G'(x) = f(x)$.
Digamos que
%
$$F(x) \;\; = \;\; \Intt{c}{x}{f(t)}.$$
Então $F$ e $G$ ``diferem por uma constante'',
como as funções $G$, $H$ e $K$ do exercício 3.
Isso é o ``TFC1 na versão complicada''.
Eu não vou demonstrá-lo. \quad $\frown$
\msk
Seja $k$ essa constante. Temos:
%
$$∀x∈[a,b]. \; G(x) = F(x) + k.$$
\msk
Isso tem um monte de consequências bacanas.
Por exemplo: $F(c) = 0$, $G(c) = k$, e,
se $α,β∈[a,b]$,
%
$$\begin{array}{rcl}
\Intt{α}{β}{f(t)} &=& \Intt{c}{β}{f(t)} - \Intt{c}{α}{f(t)} \\
&=& F(β) - F(α) \\
&=& (G(β) - k) - (G(α) - k) \\
&=& G(β) - G(α). \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
Isso nos dá um \ColorRed{método} pra calcular integrais
da função $f$. Se $α,β∈[a,b]$,
\msk
1) encontramos \ColorRed{uma} solução $G(x)$
da EDO $G'(x) = f(x)$,
\msk
2) usamos a fórmula
%
$$\Intt{α}{β}{f(t)} \;\; = \;\; G(β) - G(α).$$
\msk
Você viu no exercício anterior que a EDO
$G'(x) = f(x)$ tem infinitas soluções...
Qualquer solução serve, e não precisamos
calcular a constante $k$.
\bsk
\bsk
\ColorRed{Esse método é o TFC2.}
}}
\newpage
{\bf O TFC2}
\msk
Digamos que $f:[a,b]→\R$ é ``boa''.
Digamos que $α,β∈[a,b]$ e que $G'(x) = f(x)$.
\msk
Então:
$$\Intt{α}{β}{f(t)} \;\; = \;\; G(β) - G(α).$$
% \qquad \mname{TFC2}
\newpage
% «tfc2-exemplo» (to ".tfc2-exemplo")
% (c2m212tfc1p 29 "tfc2-exemplo")
% (c2m212tfc1a "tfc2-exemplo")
{\bf TFC2: um exemplo}
\ssk
A nossa parábola preferida é $f(x) = 4 - (x-2)^2$,
ou seja, $f(x) = 4x - x^2$.
Digamos que $G(x) = 2x^2 - \frac{x^3}{3}$.
Então $G'(x) = f(x)$, e o resultado desta
substituição aqui vai dar uma igualdade verdadeira...
$$\left(
\Intt{α}{β}{f(t)} \;\; = \;\; G(β) - G(α)
\right)
\;
\bmat{
f(x) := 4x - x^2 \\
G(x) := 2x^2 - \frac{x^3}{3} \\
β := 4 \\
α := 0 \\
}
$$
\newpage
% «tfc2-exemplo-2» (to ".tfc2-exemplo-2")
% (c2m212tfc1p 30 "tfc2-exemplo-2")
% (c2m212tfc1a "tfc2-exemplo-2")
{\bf TFC2: um exemplo (2)}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Temos:
%
$$\begin{array}{c}
\left(
\D \Intt{α}{β}{f(t)} \;\; = \;\; G(β) - G(α)
\right)
\;
\bmat{
f(x) := 4 - (x-2)^2 \\
G(x) := 2x^2 - \frac{x^3}{3} \\
β := 4 \\
α := 0 \\
}
\\[25pt]
= \;\;
\left( \D
\Intt{0}{4}{4-(t-2)^2} \;\; = \;\;
\left(2·4^2-\frac{4^3}{3}\right) -
\left(2·0^2-\frac{0^3}{3}\right)
\right)
\;
\\
\end{array}
$$
e:
%
$$\begin{array}{rcl}
\D \Intt{0}{4}{4-(t-2)^2}
&=&
\left(2·4^2-\frac{4^3}{3}\right) -
\left(2·0^2-\frac{0^3}{3}\right) \\
&=&
\left(32 - \frac{64}{3}\right) - 0 \\[5pt]
&=& \frac{96}{3} - \frac{64}{3} \\[5pt]
&=& \frac{32}{3}. \\
\\
\end{array}
$$
%}\anothercol{
}}
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^% ")
%
% * (eepitch-maxima)
% * (eepitch-kill)
% * (eepitch-maxima)
% f : 4 - (x-2)^2;
% expand(f);
% integrate(expand(f), x);
% (c2m212somas2p 27 "metodos-nomes")
% (c2m212somas2a "metodos-nomes")
%
%$$F(t) \;\; = \Intx{c}{t}{f(x)}.$$
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus-C2")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 236) "5.4 The Fundamental Theorem of Calculus")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 239) "the ball has travelled much farther")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 240) "The FTC and the chain rule")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 243) "The mean value theorem of integration")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 244) "average value")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 246) "Exercises 5.4")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas")
% (find-thomas11-1page (+ 60 356) "5.4 The fundamental theorem of calculus")
% (find-thomas11-1page (+ 60 358) "Fundamental theorem, part 1")
% (find-thomas11-1page (+ 60 361) "Fundamental theorem, part 2 (the evaluation theorem)")
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-TFC1 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-TFC1 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2t1"
% ee-tla: "c2m212tfc1"
% End: