|
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% (find-LATEX "2021-2-C3-notacao-de-fisicos.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C3-notacao-de-fisicos.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C3-notacao-de-fisicos.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C3-notacao-de-fisicos.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C3-notacao-de-fisicos.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C3-notacao-de-fisicos"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C3-notacao-de-fisicos")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf
% file:///tmp/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C3-notacao-de-fisicos" "3" "c3m212nf" "c3nf")
% (defalias 'find-pdf-page 'find-pdftoolsr-page)
% (defalias 'find-pdf-page 'find-xpdf-page)
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
%
% «.introducao» (to "introducao")
% «.links» (to "links")
% «.silvanus-thompson» (to "silvanus-thompson")
% «.primeiro-exemplo» (to "primeiro-exemplo")
% «.omitir-nomes» (to "omitir-nomes")
% «.omitir-nomes-2» (to "omitir-nomes-2")
% «.regras-de-traducao» (to "regras-de-traducao")
% «.omitir-nomes-3» (to "omitir-nomes-3")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-1-maxima» (to "exercicio-1-maxima")
% «.exercicio-1-dica» (to "exercicio-1-dica")
% «.lendo-o-ST» (to "lendo-o-ST")
% «.silvanus-triangle» (to "silvanus-triangle")
% «.silvanus-escada» (to "silvanus-escada")
% «.escada-contas» (to "escada-contas")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.exercicio-2-dicas-2» (to "exercicio-2-dicas-2")
% «.variaveis-novas» (to "variaveis-novas")
% «.derivadas-parciais» (to "derivadas-parciais")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.derivadas-parciais-th» (to "derivadas-parciais-th")
% «.derivadas-parciais-e-ts» (to "derivadas-parciais-e-ts")
% «.exercicio-7» (to "exercicio-7")
% «.exercicio-8» (to "exercicio-8")
%
% «.exercicio-5-maxima» (to "exercicio-5-maxima")
% «.exercicio-5-latex» (to "exercicio-5-latex")
%
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.quadraticas-exemplos» (to "quadraticas-exemplos")
% «.thomas» (to "thomas")
% «.bortolossi» (to "bortolossi")
% «.segundo-exemplo» (to "segundo-exemplo")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m212nf" "2021-2-C3-notacao-de-fisicos")
% (code-eevvideo "c3m212nf" "2021-2-C3-notacao-de-fisicos")
% (code-eevlinksvideo "c3m212nf" "2021-2-C3-notacao-de-fisicos")
% (find-c3m212nfvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
%L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L dofile "2021-1-C3-3D.lua" -- (find-LATEX "2021-1-C3-3D.lua")
%L
%L V3.__index.tostring = function (v) return v:v2string() end
\pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\pictgray#1{{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}#1}}
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\asf#1{〈\textsf{#1}〉}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m212nfp 1 "title")
% (c3m212nfa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2021.2}
\bsk
Aula 11: ``notação de físicos''
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% _ _ _____
% | \ | | ___|
% | \| | |_
% | |\ | _|
% |_| \_|_|
%
% «intro-nf» (to ".intro-nf")
% (c3m212typesp 9 "intro-nf")
% (c3m212typesa "intro-nf")
{\bf Introdução à ``notação de físicos''}
\ssk
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{7cm}\firstcol{
Nós vamos aprender a usar duas convenções de notação matemática no
curso -- ou, pra encurtar, duas ``notações''. O Bortolossi usa uma
notação muito mais precisa, que eu vou chamar de ``notação de
matemáticos'', e o Silvanus Thompson usa uma notação mais intuitiva
mas bem mais difícil de formalizar, que eu vou chamar de ``notação de
físicos''.
\ssk
Na ``notação de físicos'' muitos símbolos vão ser {\sl abreviações} e
as regras pra expandir essas abreviações vão depender do contexto. Vão
existir algumas convenções pra expandir essas abreviações que vão ser
seguidas {\sl quase} sempre, mas vão existir muitas exceções -- e
muitos casos ambíguos...
% «introducao» (to ".introducao")
% (c3m211nfp 2 "introducao")
% (c3m211nfa "introducao")
}\anothercol{
% (find-bortolossi5page (+ -162 164) "5.2. Definições e exemplos")
% (find-bortolossi5page (+ -162 165) "Fig. 5.2: Interpretação geométrica")
% (find-bortolossi5page (+ -162 167) "Exemplo 5.1: Cobb-Douglas")
% (find-bortolossi5page (+ -162 170) "derivada parcial")
% (find-bortolossi5page (+ -162 171) "a notação D_1 f é a mais clara")
% (find-bortolossi5page (+ -162 172) "omitir os pontos onde as parciais são calculadas")
Na página 170--172 do cap.5 o Bortolossi fala de algumas convenções
sobre variáveis que ele vai usar o mínimo possível, porque elas às
vezes são difíceis de interpretar e às vezes são ambíguas...
Isso é um assunto bem maior e mais complicado do que parece. Quando eu
fiz graduação em algumas matérias essas convenções -- que eu vou
chamar de ``notação de físicos'' -- eram totalmente
\ColorRed{proibidas}, mas em outras elas eram tratadas como algo
\ColorRed{óbvio} que \ColorRed{todo mundo sabia usar}.
A gente vai aprender alguns dos princípios por trás da ``notação de
físicos'' e vamos como usar essa ``notação de físicos'' como uma
\ColorRed{abreviação} pra uma notação muito menos ambígua que
matemáticos ``estritos'' aceitam.
}}
\newpage
% __ __ _ ____ ___ ____ _ _
% | \/ | __ _| |_ |___ \ / _ \___ \/ | / |
% | |\/| |/ _` | __| __) | | | |__) | | | |
% | | | | (_| | |_ / __/| |_| / __/| |_| |
% |_| |_|\__,_|\__| |_____|\___/_____|_(_)_|
%
% «material-de-2021.1» (to ".material-de-2021.1")
% (c3m212nfp 3 "material-de-2021.1")
% (c3m212nfa "material-de-2021.1")
% (c3m212typesp 11 "material-de-2021.1")
% (c3m212typesa "material-de-2021.1")
{\bf Material do semestre passado}
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
No semestre passado eu usei a ``notação de físicos'' pela primeira
vez no curso de Cálculo 3, e dei uma parte do curso alternando
entre três livros: o do Bortolossi (``notação de matemáticos''), o
do Silvanus Thompson (``notação de físicos''), e o do Thomas (que
usa as duas notações). Desta vez eu vou fazer a mesma coisa, só
que de um jeito mais organizado que o do semestre passado, porque:
1) eu vou reusar bastante material do semestre passado, 2) agora
que eu acho que sei ``todas'' as regras necessárias pra traduzir a
``notação de físicos'' pra ``notação de matemáticos''... obs: esse
``agora eu acho que sei todas as regras'' quer dizer ``agora eu
tenho um conjunto de regras de tradução que {\sl parece} ser
suficiente pra traduzir {\sl tudo que a gente vai usar} da
`notação de físicos' em Cálculo 3 pra `notação de
matemáticos'\,''. Ninguém que eu conheço sabe fazer essa tradução
formalmente, e eu estou conversando de vez em quando com umas
pessoas de outras universidades pra ver se elas concordam com a
minha tradução...
}\def\colwidth{13cm}\anothercol{
Aqui tem uma lista -- ainda bem incompleta -- de PDFs e vídeos do
semestre passado sobre ``notação de físicos'':
\bsk
% (c3m211nfp 1 "title")
% (c3m211nfa "title")
% (c3m211nfa "title" "Aula 14: Notação de físicos")
Aula 14: Notação de físicos
\u{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf}
\bsk
% (c3m211nfa "video-1")
% (find-c3m211nfvideo "0:00" "30/jul/2021: introdução à NF, versão preliminar")
30/jul/2021: introdução à NF, versão preliminar:
\u{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-notacao-de-fisicos.mp4}
\u{https://www.youtube.com/watch?v=fMNgr5wDMek}
\bsk
% (c3m211nfa "video-2")
% (find-c3m211nf2video "0:00" "4/ago/2021: Segundo vídeo sobre notação de físicos")
4/ago/2021: Segundo vídeo sobre notação de físicos
\u{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-notacao-de-fisicos-2.mp4}
\u{https://www.youtube.com/watch?v=bjBlOqO-7Do}
\bsk
% (c3m211nfa "video-3")
% (find-c3m211nfstrvideo "0:00" "6/ago/2021: Silvanus Thompson: triângulo")
6/ago/2021: Silvanus Thompson: triângulo
\u{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-notacao-de-fisicos-s-tr.mp4}
\u{https://www.youtube.com/watch?v=hOWVxOgv9p0}
\bsk
% (c3m211nfa "video-4")
% (find-c3m211nfsescvideo "0:00" "6/ago/2021: Silvanus Thompson: o exemplo da escada")
6/ago/2021: Silvanus Thompson: o exemplo da escada
\u{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-notacao-de-fisicos-s-esc.mp4}
\u{https://www.youtube.com/watch?v=-0QxJty23hQ}
\bsk
% (c3m211qa "video-4")
% (find-c3m211q4video "0:00" "20/ago/2021 - Thompson/Gardner")
20/ago/2021 - Thompson/Gardner
\u{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-4.mp4}
\u{https://www.youtube.com/watch?v=d0fnURoPI9Q}
}}
\newpage
% «silvanus-thompson» (to ".silvanus-thompson")
% (c3m212nfp 4 "silvanus-thompson")
% (c3m212nfa "silvanus-thompson")
% (c3m211nfp 3 "silvanus-thompson")
% (c3m211nfa "silvanus-thompson")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
{\bf Silvanus P.~Thompson: Calculus Made Easy (1910)}
Vou usar bastante o livro do Silvanus P.~Thompson...
Ele está em inglês, mas descobri uma versão em \LaTeX{} dele
feita a partir de uma versão em domínio público --- esta aqui:
\ssk
{\footnotesize
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf}
}
\ssk
que eu consigo modificar. Vou tentar traduzir algumas
páginas dessa versão pra português.
\msk
Links pra uma versão em HTML do livro
e pra comentários sobre ela:
\ssk
{\footnotesize
\url{https://calculusmadeeasy.org/}
\url{https://avidemia.com/calculus-made-easy/}
\url{https://news.ycombinator.com/item?id=27991120}
\url{https://news.ycombinator.com/from?site=calculusmadeeasy.org}
}
\bsk
\standout{Obs:} o Silvanus não distingue $dx$ de $Δx$.
\newpage
% «primeiro-exemplo» (to ".primeiro-exemplo")
% (c3m212typesp 10 "primeiro-exemplo")
% (c3m212typesa "primeiro-exemplo")
% (c3m211nfp 6 "primeiro-exemplo")
% (c3m211nfa "primeiro-exemplo")
{\bf Um primeiro exemplo}
Digamos que $y=\sqrt{x}$.
Podemos considerar que $x$ e $y$ ``variam juntos'',
``obedecendo certas restrições''. O conjunto dos pontos $(x,y)$
que obedecem essas restrições é $\setofxyst{y = \sqrt{x}}$
e o gráfico é:
%
% (find-latexscan-links "C3" "20210804_sqrt")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210804_sqrt.pdf")
$$\myvcenter{\includegraphics[height=4cm]{2021-1-C3/20210804_sqrt.pdf}}
\qquad
\begin{array}{rcl}
x_0,x_1&∈&\R \\
y_0 &=& \sqrt{x_0} \\
y_1 &=& \sqrt{x_1} \\
Δx &=& x_1 - x_0 \\
Δy &=& y_1 - y_0 \\
\\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf Um primeiro exemplo (2)}
Em geral vamos considerar que $x_0$ é ``mais fixo'' do que $x_1$.
Quando dizemos ``diminua $Δx$; ele era 1 e passa a ser 0.5''
o $x_0$ não muda e o $x_1$ sim --- e temos $y_0 = \sqrt{x_0}$, $y_1 = \sqrt{x_1}$,
$Δy = y_1-y_0$.
\msk
O Silvanus Thompson usa os termos ``independent variable''
e ``dependent variable''. Neste exemplo nós vamos considerar
que $x_0$ e $x_1$ são as variáveis independentes, e que a partir
dos valores delas dá pra calcular os valores das variáveis
dependentes, que são $Δx$, $y_0$, $y_1$, e $Δy$.
% (find-sthompsonpage (+ 11 14) "dependent variable")
% (find-sthompsontext (+ 11 14) "dependent variable")
\msk
Também daria pra considerar que as variáveis independentes
são $x_0$ e $Δx$... aí $x_1$ passaria a ser uma das variáveis
dependentes.
\newpage
% «omitir-nomes» (to ".omitir-nomes")
% (c3m211nfp 8 "omitir-nomes")
% (c3m211nfa "omitir-nomes")
{\bf O truque de omitir nomes de funções}
\ssk
O ``normal'' seria a gente dizer que $y = f(x) = \sqrt{x}$,
mas os ``físicos'' às vezes dizem só:
%
$$y = y(x) = \sqrt{x}$$
e aí em contextos em que a letra $y$ é usada como
um nome de função ela é interpretada como $f$...
Aí a gente vai ter coisas como:
%
\def\limdx{\lim_{Δx→0}}
%
$$\frac{dy}{dx} = \limdx \frac{Δy}{Δx} = f'(x_0)$$
Veja as contas do próximo slide.
\newpage
% «omitir-nomes-2» (to ".omitir-nomes-2")
% (c3m211nfp 9 "omitir-nomes-2")
% (c3m211nfa "omitir-nomes-2")
{\bf O truque de omitir nomes de funções (2)}
\vspace*{-0.25cm}
$$\begin{array}{rcl}
y = y(x) = f(x)
\qquad
\qquad
\D \frac{dy}{dx} &=& \D \limdx \frac{Δy}{Δx} \\[10pt]
&=& \D \limdx \frac{y_1 - y_0}{Δx} \\[10pt]
&=& \D \limdx \frac{y(x_1) - y(x_0)}{Δx} \\[10pt]
&=& \D \limdx \frac{y(x_0 + Δx) - y(x_0)}{Δx} \\[10pt]
&=& \D \limdx \frac{f(x_0 + Δx) - f(x_0)}{Δx} \\[10pt]
&=& f'(x_0) \\
\end{array}
$$
\newpage
% «regras-de-traducao» (to ".regras-de-traducao")
% (c3m212nfp 9 "regras-de-traducao")
% (c3m212nfa "regras-de-traducao")
% «omitir-nomes-3» (to ".omitir-nomes-3")
% (c3m212nfp 10 "omitir-nomes-3")
% (c3m212nfa "omitir-nomes-3")
% {\bf O truque de omitir nomes de funções (3)}
{\bf Algumas regras de tradução}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9.5cm}\firstcol{
% Os truques que usamos no slide anterior são estes aqui:
\begin{itemize}
\item O $y=y(x)$ à esquerda diz que quando o $y$ aparece ``fazendo
papel de variável'' ele pode ser substituído por $y(x)$. Repare
que o $y$ antes do `$=$' em $y=y(x)$ ``faz papel de variável'' e
o $y$ depois do `$=$' ``faz papel de nome de função''.
\item A regra $y=y(x)$ vale ``para todo $x$'' -- inclusive para
`$x$'zes com índices, como $x_0$ e $x_1$. Portanto $y_0=y(x_0)$
e $y_1=y(x_1)$.
\item O $y(x) = f(x)$ diz que um $y$ ``que faz papel de nome de
função'' pode ser substituído por um $f$. Obs: na ``notação de
matemáticos'' o conjunto dos símbolos que fazem papel de
variáveis \ColorRed{TEM} que ser disjunto do conjunto dos
símbolos que fazem papel de função.
\item Na igualdade $\frac{dy}{dx} = \limdx \frac{Δy}{Δx}$ o `$dx$'
e o `$dy$' podem ser tratados como diferenciais -- o livro do
Thomas explica isso na seção 3.8. Então num certo sentido ``$dx$
é o limite de $Δx$ e $dy$ é o limite de $Δy$'', mas dá um certo
trabalho formalizar isso de um jeito que funcione direito.
\end{itemize}
}\anothercol{
\begin{itemize}
\item Quando $\asf{var}$ é uma variável o significado default de
$Δ\asf{var}$ é $\asf{var}_1 - \asf{var}_0$ --- então
$Δx = x_1-x_0$ e $Δy = y_1-y_0$.
\item Como $Δx = x_1-x_0$ então $x_1 = x_0+Δx$ --- e
$y(x_1) = y(x_0+Δx)$.
\item $f'(x_0) = \limdx \frac{f(x_0 + Δx) - f(x_0)}{Δx}$ é
exatamente a definição de derivada que vimos em Cálculo 1.
\item Subscrito às vezes vai querer dizer derivada:
$y_x = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} y$.
\item Quando um subscrito puder dizer tanto derivada total quanto
derivada parcial a interpretação preferida é a como derivada
parcial. Obs: ainda não vimos derivadas parciais e derivadas
totais, vamos ver em breve.
\end{itemize}
}}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m211nfp 10 "exercicio-1")
% (c3m211nfa "exercicio-1")
{\bf Exercício 1}
\ssk
Assista este vídeo do 6:13 até o 12:56:
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-notacao-de-fisicos.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=fMNgr5wDMek}
}
\ssk
Ele explica como a regra da cadeia vira algo super curto
na ``notação de físicos''.
\msk
a) Calcule $z_{xx}$ usando a ``notação de físicos''.
b) Traduza as suas contas pra notação convencional.
\msk
No item a você encontrou uma fórmula geral.
Agora vamos aplicá-las em casos específicos pra testá-la.
\msk
c) Especialize as suas contas do item a pro caso
\phantom{c) }$z(y) = \sen y$, $y(x) = e^{4x}$.
d) Calcule $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx} \sen(e^{4x})$ pelo método convencional.
% «exercicio-1-maxima» (to ".exercicio-1-maxima")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^% ")
%
% * (eepitch-maxima)
% * (eepitch-kill)
% * (eepitch-maxima)
% y(x) := exp(4*x);
% z(y) := sin(y);
% z(y(x));
% diff(z(y(x)), x);
% diff(diff(z(y(x)), x), x);
\newpage
% «exercicio-1-dica» (to ".exercicio-1-dica")
% (c3m212nfp 11 "exercicio-1-dica")
% (c3m212nfa "exercicio-1-dica")
{\bf Exercício 1: dica}
No exercício 1 você vai ter que calcular algo como $\ddx(f'(g(x)))$,
e quase todo mundo se enrola nisso.
\msk
Leia a ``gambiarra'' da segunda coluna do slide 9 daqui,
\ssk
{\footnotesize
% (c2m212introp 9 "substituicao-2")
% (c2m212introa "substituicao-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf#page=9
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf#page=9}
}
\ssk
e calcule o resultado desta substituição:
$$\left(
\ddx (h(k(x)) = h'(k(x))·k'(x))
\right)
\bsm{
h(u) := f'(u) \\
k(x) := g(x) \\[5pt]
h'(u) := f''(u) \\
k'(x) := g'(x) \\
}
= \ColorRed{?}
$$
\newpage
% _ _ ____ _____
% | | ___ _ __ __| | ___ ___ / ___|_ _|
% | | / _ \ '_ \ / _` |/ _ \ / _ \ \___ \ | |
% | |__| __/ | | | (_| | (_) | | (_) | ___) || |
% |_____\___|_| |_|\__,_|\___/ \___/ |____/ |_|
%
% «lendo-o-ST» (to ".lendo-o-ST")
% (c3m212nfp 12 "lendo-o-ST")
% (c3m212nfa "lendo-o-ST")
{\bf Lendo o Silvanus Thompson}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
Neste semestre nós vamos aprender alguns tópicos pelo livro do
Silvanus Thompson --- nós vamos ler algumas seções do livro e
entender elas em detalhes, depois vamos pular um monte de seções
que têm demonstrações informais de coisas que vocês viram em
Cálculo 1, e vamos ler algumas seções lá adiante.
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% (find-sthompsonpage (+ 11 5) "as to become x + dx")
% (find-sthompsontext (+ 11 5) "as to become x + dx")
Na página 5 do Thompson ele diz isso aqui:
\begin{quote}
Let us think of $x$ as a quantity that can grow by a small
amount so as to become $x + dx$, where $dx$ is the small
increment added by growth. The square of this is
$x^2 + 2x · dx + (dx)^2$ . The second term is not negligible
because it is a first-order quantity; while the third term is of
the second order of smallness (...)
\end{quote}
}\anothercol{
Nós vamos modernizar a notação do Thompson um pouco. Nós vamos usar
o subscrito `${}_0$' pra indicar ``antes'' e o subscrito `${}_1$'
pra indicar depois, vamos fazer desenhos pondo o ``antes'' e o
``depois'' lado a lado, e vamos distinguir $dx$ e $Δx$. Pra gente
$Δx$ vai indicar a diferença $x_1-x_0$, que não vai ser
necessariamente muito pequena, e só vamos escrever ela como $dx$
quando soubermos que $(dx)^2$ é infinitesimal/desprezível/etc, e
quando soubermos que podemos fazer as contas {\sl fingindo} que
$(dx)^2=0$; pra transformar essas contas com $(dx)^2=0$ em contas
formais nós vamos ter que acrescentar limites nos lugares certos ou
usar uns ``termos de erro'' como $𝐛o(x)$ ou $𝐛O(x)$.
\msk
Também vamos distinguir ``igual'' de ``aproximadamente''. Por
exemplo, na página 12 o Thompson diz ``$\sqrt{32361} = 179.89$'', mas
nós vamos escrever isso como ``$\sqrt{32361} ≈ 179.89$''.
}}
\newpage
% _____ _ _
% |_ _| __(_) __ _ _ __ __ _ _ _| | ___
% | || '__| |/ _` | '_ \ / _` | | | | |/ _ \
% | || | | | (_| | | | | (_| | |_| | | (_) |
% |_||_| |_|\__,_|_| |_|\__, |\__,_|_|\___/
% |___/
%
% «silvanus-triangle» (to ".silvanus-triangle")
% (c3m212nfp 13 "silvanus-triangle")
% (c3m212nfa "silvanus-triangle")
% (c3m211nfp 14 "silvanus-triangle")
% (c3m211nfa "silvanus-triangle")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
{\bf Silvanus Thompson: o exemplo do triângulo (p.10)}
Links:
{\scriptsize
% (find-sthompsonpage (+ 11 10) "triangle (Fig. 4)")
% (find-sthompsontext (+ 11 10) "triangle (Fig. 4)")
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=21
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=21}
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-notacao-de-fisicos-s-tr.mp4}
}
$$
% (find-latexscan-links "C3" "20210806_silvanus_triang_circ")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210806_silvanus_triang_circ.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=3cm]{2021-1-C3/20210806_silvanus_triang_circ.pdf}
}
\quad
% (find-latexscan-links "C3" "20210806_silvanus_triang_1")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210806_silvanus_triang_1.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=3cm]{2021-1-C3/20210806_silvanus_triang_1.pdf}
}
\quad
% (find-latexscan-links "C3" "20210806_silvanus_triang_a_d")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210806_silvanus_triang_a_d.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=4cm]{2021-1-C3/20210806_silvanus_triang_a_d.pdf}
}
$$
\newpage
% _____ _
% | ____|___ ___ __ _ __| | __ _
% | _| / __|/ __/ _` |/ _` |/ _` |
% | |___\__ \ (_| (_| | (_| | (_| |
% |_____|___/\___\__,_|\__,_|\__,_|
%
% «silvanus-escada» (to ".silvanus-escada")
% (c3m212nfp 14 "silvanus-escada")
% (c3m212nfa "silvanus-escada")
{\bf Silvanus Thompson: o exemplo da escada (p.11)}
Links:
{\scriptsize
% (find-sthompsonpage (+ 11 11) "ladder")
% (find-sthompsontext (+ 11 11) "ladder")
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=22
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=22}
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-notacao-de-fisicos-s-esc.mp4}
}
$$
% (find-latexscan-links "C3" "20210806_silvanus_escada_3d")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210806_silvanus_escada_3d.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=3cm]{2021-1-C3/20210806_silvanus_escada_3d.pdf}
}
\quad
% (find-latexscan-links "C3" "20210806_silvanus_escada")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210806_silvanus_escada.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=3cm]{2021-1-C3/20210806_silvanus_escada.pdf}
}
\quad
% (find-latexscan-links "C3" "20210806_silvanus_escada_antes")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210806_silvanus_escada_antes.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=3.2cm]{2021-1-C3/20210806_silvanus_escada_antes.pdf}
}
\quad
% (find-latexscan-links "C3" "20210806_silvanus_escada_depois")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210806_silvanus_escada_depois.pdf")
\myvcenter{
\includegraphics[height=4cm]{2021-1-C3/20210806_silvanus_escada_depois.pdf}
}
$$
\newpage
% «escada-contas» (to ".escada-contas")
% (c3m212nfp 15 "escada-contas")
% (c3m212nfa "escada-contas")
{\bf Silvanus Thompson: o exemplo da escada: contas}
\msk
% (find-latexscan-links "C3" "20210806_silvanus_escada_contas")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210806_silvanus_escada_contas.pdf")
\includegraphics[height=7.0cm]{2021-1-C3/20210806_silvanus_escada_contas.pdf}
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m212nfp 16 "exercicio-2")
% (c3m212nfa "exercicio-2")
{\bf Exercício 2}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% (find-sthompsonpage (+ 11 25) "V. Next Stage. What to do with Constants")
Nas páginas 25 e 26 o Thompson faz uma contas e conclui
que se $y = x^3+5$ então $\frac{dy}{dx} = 3x^2$. Entenda as contas dele
e traduza-as pra notação modernizada.
Link:
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=36
\u{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf\#page=36}
\newpage
{\bf Exercício 2: dicas}
$$\begin{array}{rcl}
y_0 &=& x_0^3+5 \\
y_1 &=& x_1^3+5 \\
&=& (x_0+Δx)^3+5 \\
(x_0+Δx)^3 &=& x_0^3 + 3x_0^2Δx + 3x_0(Δx)^2 + (Δx)^3 \\
\end{array}
$$
Tente simplificar $\frac{Δy}{Δx}$, leia o Thompson supondo que
$Δx$ é muito pequeno, e tente entender como ele lida
com termos que ele considera ``desprezíveis''.
\bsk
Mais uma idéia: quando $y=y(x)$
e $Δx$ é muito pequeno temos $\frac{dy}{dx}Δx ≈ Δy$.
O Thompson escreve isto como $\frac{dy}{dx}dx = dy$.
\newpage
% «exercicio-2-dicas-2» (to ".exercicio-2-dicas-2")
% (c3m212nfp 17 "exercicio-2-dicas-2")
% (c3m212nfa "exercicio-2-dicas-2")
{\bf Exercício 2: mais dicas}
Repare que você está tentando aprender três ``notações'' ao mesmo
tempo: a do livro do Thompson (``T''), a versão modernizada da notação
do Thompson (``M''), e a ``notação de matemáticos'' do livro do
Bortolossi (``B'')...
Se você tiver um procedimento pra traduzir, por exemplo, a notação T
pra notação B, você pode usá-lo pra aprender a fazer a tradução
oposta, de B pra T... você pode fazer uma tabela com expressões e
contas na primeira notação e as traduções delas pra segunda notação e
usar essa tabela pra tentar descobrir como a tradução da segunda
notação pra primeira deve funcionar.
\newpage
% «variaveis-novas» (to ".variaveis-novas")
% (c3m212nfp 19 "variaveis-novas")
% (c3m212nfa "variaveis-novas")
{\bf O truque das variáveis novas}
\scalebox{0.85}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
No capítulo 6 o Thompson calcula $\ddx((x^2 + c) + (ax^4 + b))$
organizando as contas mais ou menos desta forma:
$$\begin{array}{rcl}
y &=& (x^2 + c) + (ax^4 + b) \\
\frac{dy}{dx} &=& \frac{d((x^2+c) + (ax^4+b))}{dx} \\
&=& \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\
&=& 2x + 4ax^3 \\
\end{array}
$$
No capítulo 9 -- ``Introducing a useful dodge'' --
o Thompson mostra como a gente pode simplificar contas
como essa introduzindo ``variáveis dependentes'' novas.
\bsk
{\bf Exercício 3.}
Entenda os exemplos (1)--(4) das páginas 66--68 do Thompson.
\bsk
{\bf Exercício 4.}
Faça os exercícios (1)--(4) das páginas 66--68 do Thompson.
}}
\newpage
% «derivadas-parciais» (to ".derivadas-parciais")
% (c3m212nfp 20 "derivadas-parciais")
% (c3m212nfa "derivadas-parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-bortolossi5page (+ -161 162) "5. Derivadas parciais")
% (find-bortolossi5page (+ -162 168) "Mais ainda")
% (find-bortolossi5page (+ -162 177) "5.5. Exercícios")
{\bf Derivadas parciais}
Nós vamos aprender derivadas parciais começando por
como calcular derivadas parciais de funções simples.
A explicação do Bortolossi é mais fácil de entender
que a do Thompson mas o truque de introduzir
variáveis novas do Thompson vai ser incrivelmente útil.
\msk
Leia as páginas 168 e 169 do capítulo 5 do Bortolossi.
Comece do último parágrafo da 168 -- o que começa com
``Mais ainda''. Leia a página 169 toda.
\bsk
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c3m212nfp 20 "exercicio-5")
% (c3m212nfa "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
Faça todos os itens do exercício 1 da página 177
do capítulo 5 do Bortolossi.
\newpage
% «derivadas-parciais-th» (to ".derivadas-parciais-th")
% (c3m212nfp 21 "derivadas-parciais-th")
% (c3m212nfa "derivadas-parciais-th")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% (find-sthompsonpage (+ 11 172) "XVI. Partial Differentiation")
{\bf Derivadas parciais no Thompson}
Leia o início do capítulo XVI do Thompson --
da página 172 até a 174.
Entenda os exemplos (1) até (3).
\msk
Obs: a maioria dos livros modernos usa
uma definição de ``derivada total'' que não é
totalmente compatível com a definição de
``diferencial total'' do Thompson...
Fique preparado!
\bsk
{\bf Exercício 6.}
Faça os exercícios (1)--(6) das páginas
177 e 178 do Thompson.
\newpage
% «derivadas-parciais-e-ts» (to ".derivadas-parciais-e-ts")
% (c3m212nfp 22 "derivadas-parciais-e-ts")
% (c3m212nfa "derivadas-parciais-e-ts")
{\bf Derivadas parciais e derivadas totais}
Digamos que $z = z(x,y)$ e $y = y(x)$.
\msk
Vamos começar com um caso bem concreto --- um que
eu usei em EDOs com variáveis separáveis em C2... link:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m211edovsa "title")
% (c2m211edovsa "title" "Aula 25: EDOs com variáveis separáveis")
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-edovs.pdf}
}
\msk
O nosso caso bem concreto vai ser:
$z = z(x,y) = x^2 + y^2$,
$y = y(x) = \sqrt{1 - x^2}$.
quando nós \ColorRed{só} consideramos o $z = z(x,y) = x^2 + y^2$
as derivadas parciais de $z$ são $z_x = 2x$ e $z_y = 2y$,
mas quando \ColorRed{também} consideramos o $y = y(x) = \sqrt{1 - x^2}$
aí temos $z = z(x,y(x)) = x^2 + \sqrt{1-x^2}^2 = 1$, e $\frac{dz}{dx}=0$.
\msk
Esta derivada $\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx} z(x,y(x))$ é chamada de
\ColorRed{derivada total} de $z$ com relação a $y$.
\newpage
% «exercicio-7» (to ".exercicio-7")
% (c3m212nfp 23 "exercicio-7")
% (c3m212nfa "exercicio-7")
{\bf Exercício 7.}
Digamos que $z = z(x,y) = (x+2)(y+3)$
e que $y = y(x) = \sen x$.
a) Calcule $\frac{∂z}{∂x}$, $\frac{∂z}{∂y}$.
b) Calcule $\frac{dz}{dx}$.
c) Calcule $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}z$.
\msk
\ColorRed{Convenção:} quando uma expressão como $z_x$ puder
ser interpretada tanto como uma derivada parcial quanto
como uma derivada total o default é interpretá-la
como derivada parcial.
\newpage
% «exercicio-8» (to ".exercicio-8")
% (c3m212nfp 24 "exercicio-8")
% (c3m212nfa "exercicio-8")
{\bf Exercício 8.}
Digamos que $z=z(x,y)$ e $y=y(x)$.
(Isto é uma versão mais geral do exercício 7).
\ssk
a) Calcule $\frac{d}{dx}z$.
\ssk
b) Calcule $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}z$.
\newpage
Tudo que vem depois daqui vai ser reescrito.
\newpage
% «exercicio-5-maxima» (to ".exercicio-5-maxima")
% (c3m212nfp 26 "exercicio-5-maxima")
% (c3m212nfa "exercicio-5-maxima")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-bortolossi5page (+ -162 177) "5.5. Exercícios")
%
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^% ")
%
% * (eepitch-maxima)
% * (eepitch-kill)
% * (eepitch-maxima)
% load("/usr/share/emacs/site-lisp/maxima/emaxima.lisp")$
% display2d:'emaxima$
% **
% ** Item a:
% **
% f : sqrt(r^2 + s^2);
% [diff(f, r), diff(f, s)];
% **
% ** Item b:
% **
% f : t/s - s/t;
% [diff(f, s), diff(f, t)];
% **
% ** Item c:
% **
% f : 2*x^4*y^3 - x*y^2 + 3*y + 1;
% [diff(f, x), diff(f, y)];
% **
% ** Item d:
% **
% f : (t+v) / (t-v) ;
% g : sqrt((t+v) / (t-v)) ;
% h : log(sqrt((t+v) / (t-v)));
% [diff(f, t), diff(f, v)];
% [diff(g, t), diff(g, v)];
% [diff(h, t), diff(h, v)];
% **
% ** Item e:
% **
% f : (x^3 - y^2)^2;
% [diff(f, x), diff(f, y)];
% **
% ** Item f:
% **
% f : x*exp(y) + y*sin(x);
% [diff(f, x), diff(f, y)];
% **
% ** Item g:
% **
% f : exp(x) * log(x*y);
% [diff(f, x), diff(f, y)];
% **
% ** Item h:
% **
% f : x * cos(x/y);
% [diff(f, x), diff(f, y)];
{\bf Exercício 5: gabarito}
% «exercicio-5-latex» (to ".exercicio-5-latex")
% (c3m212nfp 26 "exercicio-5-latex")
% (c3m212nfa "exercicio-5-latex")
{\footnotesize
\begin{maximasession}
\maximaoutput*
\i3. f : sqrt(r^2 + s^2); \\
\o3. \sqrt{s^2+r^2} \\
\i4. [diff(f, r), diff(f, s)]; \\
\o4. \left[ {{r}\over{\sqrt{s^2+r^2}}} , {{s}\over{\sqrt{s^2+r^2}}} \right] \\
\i5. f : t/s - s/t; \\
\o5. {{t}\over{s}}-{{s}\over{t}} \\
\i6. [diff(f, s), diff(f, t)]; \\
\o6. \left[ -{{t}\over{s^2}}-{{1}\over{t}} , {{s}\over{t^2}}+{{1}\over{s}} \right] \\
\i7. f : 2*x^4*y^3 - x*y^2 + 3*y + 1; \\
\o7. 2\,x^4\,y^3-x\,y^2+3\,y+1 \\
\i8. [diff(f, x), diff(f, y)]; \\
\o8. \left[ 8\,x^3\,y^3-y^2 , 6\,x^4\,y^2-2\,x\,y+3 \right] \\
\i9. f : (t+v) / (t-v) ; \\
\o9. {{v+t}\over{t-v}} \\
\i10. g : sqrt((t+v) / (t-v)) ; \\
\o10. \sqrt{{{v+t}\over{t-v}}} \\
\i11. h : log(sqrt((t+v) / (t-v))); \\
\o11. {{\log \left({{v+t}\over{t-v}}\right)}\over{2}} \\
\i12. [diff(f, t), diff(f, v)]; \\
\o12. \left[ {{1}\over{t-v}}-{{v+t}\over{\left(t-v\right)^2}} , {{v+t}\over{\left(t-v\right)^2}}+{{1}\over{t-v}} \right] \\
\i13. [diff(g, t), diff(g, v)]; \\
\o13. \left[ {{{{1}\over{t-v}}-{{v+t}\over{\left(t-v\right)^2}}}\over{2\,\sqrt{{{v+t}\over{t-v}}}}} , {{{{v+t}\over{\left(t-v\right)^2}}+{{1}\over{t-v}}}\over{2\,\sqrt{{{v+t}\over{t-v}}}}} \right] \\
\i14. [diff(h, t), diff(h, v)]; \\
\o14. \left[ {{\left(t-v\right)\,\left({{1}\over{t-v}}-{{v+t}\over{\left(t-v\right)^2}}\right)}\over{2\,\left(v+t\right)}} , {{\left(t-v\right)\,\left({{v+t}\over{\left(t-v\right)^2}}+{{1}\over{t-v}}\right)}\over{2\,\left(v+t\right)}} \right] \\
\i15. f : (x^3 - y^2)^2; \\
\o15. \left(x^3-y^2\right)^2 \\
\i16. [diff(f, x), diff(f, y)]; \\
\o16. \left[ 6\,x^2\,\left(x^3-y^2\right) , -4\,y\,\left(x^3-y^2\right) \right] \\
\i17. f : x*exp(y) + y*sin(x); \\
\o17. x\,e^{y}+\sin x\,y \\
\i18. [diff(f, x), diff(f, y)]; \\
\o18. \left[ e^{y}+\cos x\,y , x\,e^{y}+\sin x \right] \\
\i19. f : exp(x) * log(x*y); \\
\o19. e^{x}\,\log \left(x\,y\right) \\
\i20. [diff(f, x), diff(f, y)]; \\
\o20. \left[ e^{x}\,\log \left(x\,y\right)+{{e^{x}}\over{x}} , {{e^{x}}\over{y}} \right] \\
\i21. f : x * cos(x/y); \\
\o21. x\,\cos \left({{x}\over{y}}\right) \\
\i22. [diff(f, x), diff(f, y)]; \\
\o22. \left[ \cos \left({{x}\over{y}}\right)-{{x\,\sin \left({{x}\over{y}}\right)}\over{y}} , {{x^2\,\sin \left({{x}\over{y}}\right)}\over{y^2}} \right] \\
\end{maximasession}
}
\newpage
% «quadraticas-exemplos» (to ".quadraticas-exemplos")
% (c3m212nfp 32 "quadraticas-exemplos")
% (c3m212nfa "quadraticas-exemplos")
% (c3m211nfp 18 "quadraticas-exemplos")
% (c3m211nfa "quadraticas-exemplos")
% (c3m211qp 2 "figuras-3D")
% (c3m211qa "figuras-3D")
{\bf Quadratics - tests}
% (c3m211cnp 3 "exercicio-1")
% (c3m211cna "exercicio-1")
% (find-LATEX "2021-1-C3-3D.lua" "QuadraticFunction-tests")
%L
%L V3.__index.p1 = V{2, -0.5}
%L V3.__index.p2 = V{1, 1.5}
%L V3.__index.p3 = V{0, 2}
%L
%L V3.__index.p1 = V{2, -0.5}
%L V3.__index.p2 = V{0.5, 1.7}
%L V3.__index.p3 = V{0, 0.5}
%L qf = QuadraticFunction {x0=3, y0=2, a=2, Dx=0, Dy=0, Dxx=0, Dyy=0, Dxy=1}
%L srf = Surface.new(qf, 3, 2)
\pu
\def\QuadraticInPerspective#1{
\beginpicture(0,-3)(10,6)
\pictgray{\expr{v3():xygrid(4,3) }}
\expr {v3():axeswithticks(4,3,3) }
\expr {#1:diagonals(8, "c") }
\expr {#1:square (8, "0") }
\pictgray{\expr{#1:square (2, "p") }}
\expr {#1:square (8, "c") }
\end{picture}}
$$\unitlength=10pt
\QuadraticInPerspective{srf}
$$
\newpage
%L qf = QuadraticFunction {x0=3, y0=2, a=2, Dx=0, Dy=0, Dxx=1, Dyy=1, Dxy=0}
%L srf = Surface.new(qf, 3, 2)
\pu
$$\unitlength=10pt
\QuadraticInPerspective{srf}
$$
\newpage
%L qf = QuadraticFunction {x0=3, y0=2, a=2, Dx=0, Dy=0, Dxx=1, Dyy=-1, Dxy=0}
%L srf = Surface.new(qf, 3, 2)
\pu
$$\unitlength=10pt
\QuadraticInPerspective{srf}
$$
\newpage
% (c3m202planotangp 27 "3D-fig")
% (c3m202planotanga "3D-fig")
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "beginpicture")
%L rv = savevars(function (...)
%L ex,ey,vx,vy, A0, A,B,C,D,E,F,E,G = ... end,
%L ex,ey,vx,vy, A0, A,B,C,D,E,F,E,G)
%L
%L ex = v3(1,0,0)
%L ey = v3(0,1,0)
%L vx = v3(0,0,0.5)
%L vy = v3(0,0,1.5)
%L vz = v3(0,0,0.5)
%L A0 = v3(2,1,0); B0 = A0 + ex; C0 = A0 + ey; D0 = B0 + ey
%L A = A0 + vz
%L B = A + ex
%L C = A + ey
%L D = A + ex + ey
%L E = B + vx
%L F = E + ey
%L G = C + vy
%L H = G + ex
%L I = H + vx
%L
%L V3.__index.p1 = V{2, -0.5}
%L V3.__index.p2 = V{1, 1.25}
%L V3.__index.p3 = V{0, 2}
%L
\pu
$\vcenter{\hbox{%
\unitlength=20pt
\beginpicture(0,-4)(8,8)
%P \pictgray{<v3():xygrid(3,3)>}
%P <v3():axeswithticks(3,3,3)>
%P \pictgray{\Line<A0><A> \Line<B0><B> \Line<C0><C> \Line<D0><D>}
%P \Line<A><B><D><C><A>
%P \Line<A><E><B> \Line<E><F><I><E>
%P \Line<A><G><C> \Line<G><H><I><G>
%P \Line<D><F>
\pu
\end{picture}%
}}
$
%
%L rv()
\pu
\newpage
% «thomas» (to ".thomas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas")
% (find-thomas11-1page (+ 25 159) "3.2" "Differentiation rules")
% (find-thomas11-1page (+ 26 171) "3.3" "The derivative as a rate of change")
% (find-thomas11-1page (+ 28 183) "3.4" "Derivatives of trigonometric functions")
% (find-thomas11-1page (+ 30 190) "3.5" "The chain rule and parametric equations")
% (find-thomas11-1page (+ 32 205) "3.6" "Implicit differentiation")
% (find-thomas11-1page (+ 34 213) "3.7 Related Rates")
% (find-thomas11-1page (+ 35 221) "3.8 Linearization and Differentials")
% «bortolossi» (to ".bortolossi")
% (find-bortolossi7page (+ -238 256) "matriz jacobiana")
% (find-bortolossi7page (+ -238 261) "Teorema 7.6")
% (find-bortolossi7page (+ -238 263) "7.3. Composição de funções")
% (find-bortolossi7page (+ -238 266) "7.5. A regra da cadeia em Cálculo 2")
% (find-bortolossi7page (+ -238 266) "Teorema 7.7")
% «segundo-exemplo» (to ".segundo-exemplo")
% (c3m211nfp 6 "segundo-exemplo")
% (c3m211nfa "segundo-exemplo")
{\bf Um segundo exemplo}
Digamos que o conjunto dos pontos $(x,y)$
``que obedecem as restrições'' é esse aqui:
%
$$\setofst{(x,y)∈\R^2}{x^2+y^2=5}$$
e que $(x_0,y_0) = (3,4)$.
\bsk
\bsk
Os físicos consideram que ``é óbvio'' que (em geral!) variáveis
``variam continuamente'', então se $x_1=x_0+Δx$ e $y_1=y_0+Δy$
e $Δx$ é muito pequeno então $Δy$ é muito pequeno também.
(Veja o vídeo!...)
% O meu modo preferido de formalizar a notação de físicos é esse aqui.
% Silvanus P. Thompson:
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "silvanus")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "kelley" "complete_idiots_guide")
% https://calculusmadeeasy.org/2.html negligible
% https://calculusmadeeasy.org/16.html
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
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% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C3/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C3/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C3-notacao-de-fisicos veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C3-notacao-de-fisicos pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3nf"
% ee-tla: "c3m212nf"
% End: