|
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% (find-LATEX "2022-1-C2-TFC1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-1-C2-TFC1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-1-C2-TFC1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C2-TFC1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-1-C2-TFC1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C2-TFC1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-TFC1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-1-C2-TFC1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-1-C2-TFC1.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-1-C2-TFC1")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-1-C2-TFC1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C2-TFC1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-1-C2-TFC1.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-1-C2-TFC1.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-1-C2-TFC1.pdf
% file:///tmp/2022-1-C2-TFC1.pdf
% file:///tmp/pen/2022-1-C2-TFC1.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-TFC1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-1-C2-TFC1" "2" "c2m221tfc1" "c2t1")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.intro-2022» (to "intro-2022")
% «.algumas-propriedades» (to "algumas-propriedades")
%
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-parabola» (to "defs-parabola")
% «.title» (to "title")
% «.intro-1» (to "intro-1")
% «.intro-2» (to "intro-2")
% «.intro-3» (to "intro-3")
% «.exemplo-1» (to "exemplo-1")
% «.exemplo-1-left» (to "exemplo-1-left")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-4-dicas» (to "exercicio-4-dicas")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.exercicio-6» (to "exercicio-6")
% «.descontinuidades» (to "descontinuidades")
% «.descontinuidades-2» (to "descontinuidades-2")
% «.tfc1-complicado-1» (to "tfc1-complicado-1")
% «.tfc1-complicado-2» (to "tfc1-complicado-2")
% «.exercicio-7» (to "exercicio-7")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.tfc1-complicado-3» (to "tfc1-complicado-3")
% «.TFC2-exemplo» (to "TFC2-exemplo")
% «.TFC2-exemplo-2» (to "TFC2-exemplo-2")
% «.exercicio-8» (to "exercicio-8")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% (c2m221tfc1a "video-1")
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m221tfc1" "2022-1-C2-TFC1")
% (code-eevvideo "c2m221tfc1" "2022-1-C2-TFC1")
% (code-eevlinksvideo "c2m221tfc1" "2022-1-C2-TFC1")
% (find-c2m221tfc1video "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
% (find-LATEX "2022-1-C2-infs-e-sups.tex" "defs")
\def\Intover #1#2{\overline {∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intunder #1#2{\underline{∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intoverunder#1#2{\Intover{#1}{#2} - \Intunder{#1}{#2}}
\def\Intxover #1#2#3{\overline {∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intxunder #1#2#3{\underline{∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intoverunder #1#2{\overline{\underline{∫}}_{#1} #2\,dx}
\def\Intxoverunder#1#2#3{\overline{\underline{∫}}_{x=#1}^{x=#2} #3\,dx}
\def\IntPoverunder #1#2{\overline{\underline{∫}}_{#1} #2\,dx}
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m221tfc1p 1 "title")
% (c2m221tfc1a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2022.1}
\bsk
Aula 23: o TFC1
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% ___ _ ____ ___ ____ ____
% |_ _|_ __ | |_ _ __ ___ |___ \ / _ \___ \|___ \
% | || '_ \| __| '__/ _ \ __) | | | |__) | __) |
% | || | | | |_| | | (_) | / __/| |_| / __/ / __/
% |___|_| |_|\__|_| \___/ |_____|\___/_____|_____|
%
% «intro-2022» (to ".intro-2022")
{\bf Introdução (2022.1)}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Este PDF é uma versão reescrita deste aqui, de 2021.2:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m212tfc1p 2 "intro-1")
% (c2m212tfc1a "intro-1")
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-TFC1.pdf}
}
\msk
Neste semestre o nosso primeiro mini-teste vai ser na
última aula da semana de 22 a 24 de junho/2022, e ele
vai ser parecido com o mini-teste 3 do semestre passado:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m212mt3p 3 "questao")
% (c2m212mt3a "questao")
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-MT3.pdf}
}
\msk
Os primeiros slides deste PDF são novos e são uma
preparação pra vocês conseguirem fazer o mini-teste.
Depois que vocês estiverem preparados pro mini-teste
a gente provavelmente vai ver o resto do material daqui
mais ou menos na mesma ordem do semestre passado.
\msk
{\bf Dica:} assista este vídeo do semestre passado:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m212tfc1a "video-1")
\url{http://www.youtube.com/watch?v=XvzrNtle-c0}
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-2-C2-TFC1.mp4}
}
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «algumas-propriedades» (to ".algumas-propriedades")
% (c2m221tfc1p 3 "algumas-propriedades")
% (c2m221tfc1a "algumas-propriedades")
{\bf Algumas propriedades da integral}
Dê uma olhada na seção 7.4 do Daniel Miranda:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 220 "7.4 Propriedades da Integral")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=220
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=220}
}
Nós queremos que estas três propriedades aqui valham sempre:
%
$$\begin{array}{rclc}
k\Intx{a}{b}{f(x)} &=& \Intx{a}{b}{kf(x)} & (*) \\[5pt]
\Intx{a}{b}{f(x)} + \Intx{b}{c}{f(x)} &=& \Intx{a}{c}{f(x)} & (**) \\[5pt]
\Intx{a}{b}{k} &=& k(b-a) & (***) \\
\end{array}
$$
ou seja, queremos que elas valham tanto em casos ``normais''
como em casos ``estranhos''...
\newpage
%L para = function (x) return 4*x - x^2 end
%L vex = function (str) return Code.ve("x => "..str) end
%L rievex = function (str) return Riemann.fromf(vex(str), seq(0, 4, 0.125)) end
%L rievexa = function (str, a, b)
%L local rie = rievex(str)
%L return PictList {
%L rie.pwf:areaify(a, b):Color("Orange"),
%L rie:lineify(0, 4),
%L }
%L end
%L rievexaout = function (str, a, b, name)
%L local p = rievexa(str, a, b)
%L p:pgat("pgatc"):sa(name):output()
%L end
%L
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(4,4))
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 4, "Fig 1a 1")
%L rievexaout("para(x)", 0, 4, "Fig 1a 2")
%L
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,-2), v(4,2))
%L rievexaout(" para(x)/2", 0, 4, "Fig 1b 1")
%L rievexaout("-para(x)/2", 0, 4, "Fig 1b 2")
%L
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(4,2))
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 3, "Fig 2a 1")
%L rievexaout("para(x)/2", 3, 4, "Fig 2a 2")
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 4, "Fig 2a 3")
%L
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(4,2))
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 4, "Fig 2b 1")
%L rievexaout("para(x)/2", 3, 4, "Fig 2b 2")
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 3, "Fig 2b 3")
\pu
\unitlength=10pt
\unitlength=7.5pt
\def\undga#1#2{\underbrace{\textstyle #2}_{\ga{#1}}}
\def\undqq#1#2{\underbrace{\textstyle #2}_{???}}
$$\begin{array}{lrclc}
(*): & k\Intx{a}{b}{f(x)} &=& \Intx{a}{b}{kf(x)} & \\[10pt]
(*) \bsm{ a:=0 \\
b:=4 \\
k=2 }:
& 2· \undga{Fig 1a 1}{\Intx{0}{4}{f(x)}}
&=& \undga{Fig 1a 2}{\Intx{0}{4}{2· f(x)}} \\[10pt]
(*) \bsm{ a:=0 \\
b:=4 \\
k=-1 }:
& (-1)· \undga{Fig 1b 1}{\Intx{0}{4}{f(x)}}
&=& \undga{Fig 1b 2}{\Intx{0}{4}{(-1)· f(x)}} \\[10pt]
\end{array}
$$
$$\begin{array}{lrclc}
(**): & \Intx{a}{b}{f(x)} + \Intx{b}{c}{f(x)} &=& \Intx{a}{c}{f(x)} \\[5pt]
(**) \bsm{ a:=0 \\
b:=3 \\
c:=4 }:
& \undga{Fig 2a 1}{\Intx{0}{3}{f(x)}}
+ \undga{Fig 2a 2}{\Intx{3}{4}{f(x)}}
&=& \undga{Fig 2a 3}{\Intx{0}{4}{f(x)}} \\[5pt]
(**) \bsm{ a:=0 \\
b:=4 \\
c:=3 }:
& \undga{Fig 2b 1}{\Intx{0}{4}{f(x)}}
+ \undqq{Fig 2b 2}{\Intx{4}{3}{f(x)}}
&=& \undga{Fig 2b 3}{\Intx{0}{3}{f(x)}} \\[50pt]
& \undga{Fig 2b 1}{\Intx{0}{4}{f(x)}}
- \undga{Fig 2b 2}{\Intx{3}{4}{f(x)}}
&=& \undga{Fig 2b 3}{\Intx{0}{3}{f(x)}} \\[5pt]
\end{array}
$$
\newpage
A terceira regra que queremos que valha sempre,
inclusive em casos estranhos, é essa aqui:
%
$$\begin{array}{crclc}
\Intx{a}{b}{k} &=& k(b-a) & (***) \\
\end{array}
$$
Ela vai valer também quando $k<0$,
quando $b<a$, e também vamos ter
%
$$\begin{array}{crclc}
\Intx{a}{b}{f(x)} &=& k(b-a) \\
\end{array}
$$
a) quando $a≤b$ e $f(x) = k$ em todo ponto de $[a,b]$,
b) quando $a≤b$ e $f(x) = k$ em todo ponto de $(a,b)$,
c) quando $a≤b$ e $f(x) = k$ em todo ponto de $[a,b]$
{\sl exceto num conjunto finito de pontos.}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m221tfc1p 7 "exercicio-1")
% (c2m221tfc1a "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,-2), v(7,4))
%L spec = "(0,0)--(1,0)o (1,2)c--(2,2)o (2,3)c--(4,3)c (4,-1)o--(6,-1)o (6,0)c--(7,0)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L pws:topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("Ex 1"):output()
\pu
\unitlength=7.5pt
\ssk
Seja $f(x) \; = \;\; \ga{Ex 1}$ \; .
Note que:
$\Intx{1}{2}{f(x)} = 2·(2-1)$,
$\Intx{3}{4}{f(x)} = 3·(4-3)$,
$\Intx{4}{6}{f(x)} = -1·(6-4)$,
\msk
Calcule:
a) $\Intx{1.5}{2}{f(x)}$
b) $\Intx{2}{4}{f(x)}$
c) $\Intx{1.5}{4}{f(x)}$
d) $\Intx{1.5}{6}{f(x)}$
\newpage
{\bf Exercício 2.}
\msk
Sejam $f(x) \; = \;\; \ga{Ex 1}$
e $F(β) = \Intx{2}{β}{f(x)}$.
\msk
a) Calcule $F(2), F(2.5), F(3), \ldots, F(6)$.
b) Calcule $F(1.5), F(1), F(0.5), F(0)$.
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m221tfc1p 9 "exercicio-3")
% (c2m221tfc1a "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
No exercício 2 você obteve alguns valores da função $F(β)$,
mas não todos... por exemplo, você {\sl ainda} não calculou $F(2.1)$.
\msk
a) Desenhe num gráfico só todos os pontos $(x,F(x))$
que você calculou nos itens (a) e (b) do exercício 2.
Dica: o conjunto que você quer desenhar é este aqui:
$\{(0,F(0)), \, (0.5,F(0.5)), \ldots, (6,F(6))\}$.
\msk
b) Tente descobrir --- lendo os próximos slides, assitindo
o vídeo, e discutindo com os seus colegas --- qual é o jeito
certo de ligar os pontos do item (a).
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m221tfc1p 10 "exercicio-4")
% (c2m221tfc1a "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
A função $G(x)$ do mini-teste 3 do semestre passado é esta aqui:
%
%L putcellat = function (xy, str) return pformat("\\put%s{\\cell{%s}}", xy, str) end
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,-2), v(15,5))
%L spec =
%L "(0,-1)--(1,-1)--(2,0)--(3,-1)--(3.5,0)--" ..
%L "(4,1)--(5,0)--(6,1)--(8,1)--(9,5)--(10,2)--(11,4)--(12,3)--(13,4)--(15,2)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L p = PictList {
%L pws:topict():prethickness("1.5pt"),
%L putcellat(v(5, -0.7), "5"),
%L putcellat(v(10,-0.7), "10")
%L }
%L p:pgat("pgatc"):sa("Ex 4"):output()
\pu
%
$$G(x) \;\;=\;\;\,
\unitlength=15pt
\scalebox{0.7}{$\ga{Ex 4}$}
$$
Relembre como calcular coeficientes angulares e derivadas
no olhômetro e faça um gráfico da função $G'(x)$.
\ssk
Dica 1: $G'(3.5)=2$.
Dica 2: $G'(4)$ não existe --- use uma bolinha
vazia pra representar isso no seu gráfico.
\newpage
% «exercicio-4-dicas» (to ".exercicio-4-dicas")
% (c2m221tfc1p 11 "exercicio-4-dicas")
% (c2m221tfc1a "exercicio-4-dicas")
{\bf Dicas pro exercício 4}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Se o gráfico da $G(x)$ é um segmento de reta no intervalo $[a,b]$
então a derivada $G'(x)$ é constante no intervalo aberto $(a,b)$,
e podemos calculá-la pelo coeficiente angular de uma reta secante...
\msk
Escolha dois pontos $x_0,x_1∈[a,b]$ com $x_0≠x_1$, e aí faça isto
aqui:
%
$$\begin{array}{rcl}
(x_0,y_0) &=& (x_0,G(x_0)) \\
(x_1,y_1) &=& (x_1,G(x_1)) \\
Δx &=& x_1-x_0 \\
Δy &=& y_1-y_0 \\
G'(c) &=& \frac{Δy}{Δx} \\
\end{array}
$$
A última linha, $G'(c) = \frac{Δy}{Δx}$, vai ser verdade para qualquer
$c∈(a,b)$.
Dê uma olhada no capítulo 2 do Daniel Miranda se precisar:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 65 "II Derivadas")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=65
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=65}
}
\ssk
E se você precisar relembrar limites laterais e derivadas
laterais, dê uma olhada das seções 1.4 e 3.2.3 do livro:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 22 "1.4 Limites Laterais")
% (find-dmirandacalcpage 74 "3.2.3 Derivadas Laterais")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=22
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=22}
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=74
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=74}
}
}\anothercol{
}}
\newpage
% ___ _ _
% |_ _|_ __ | |_ _ __ ___ __| |_ _ ___ __ _ ___
% | || '_ \| __| '__/ _ \ / _` | | | |/ __/ _` |/ _ \
% | || | | | |_| | | (_) | (_| | |_| | (_| (_| | (_) |
% |___|_| |_|\__|_| \___/ \__,_|\__,_|\___\__,_|\___/
%
% «intro-1» (to ".intro-1")
% (c2m221tfc1p 12 "intro-1")
% (c2m221tfc1a "intro-1")
{\bf Introdução (2021.2)}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Digamos que $f:[a,b] \to \R$ é uma função integrável.
Digamos que $c∈[a,b]$.
Digamos que a função $F:[a,b] \to \R$ é \ColorRed{definida} por:
%
$$F(t) \;\; = \Intx{c}{t}{f(x)}.$$
O TFC1 tem duas versões.
A versão mais simples diz o seguinte:
se a função $f$ é contínua então para todo $t∈(a,b)$ vale:
%
$$F'(t) \;\; = f(t). \qquad \qquad (*)$$
A versão mais complicada do TFC1, que vamos ver
depois, não supõe que a função $f$ é contínua.
\msk
Nós vamos ver um argumento visual que mostra que
a igualdade $(*)$ é verdade. Esse argumento visual é
\ColorRed{quase} uma demonstração formal, num sentido que eu
vou explicar depois.
}}
\newpage
% «intro-2» (to ".intro-2")
% (c2m221tfc1p 3 "intro-2")
% (c2m221tfc1a "intro-2")
{\bf Introdução (2)}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Digamos que $f:[a,b] \to \R$ é uma função \ColorRed{contínua}.
Digamos que $c∈[a,b]$.
Digamos que a função $F:[a,b] \to \R$ é \ColorRed{definida} por:
%
$$F(t) \;\; = \Intx{c}{t}{f(x)}.$$
\def\eqq{\overset{\ColorRed{???}}{=}}
Então:
%
$$\begin{array}{rcl}
F'(t) &=& \D \lim_{ε→0} \frac{F(t+ε)-F(t)}{ε} \\
&=& \D \lim_{ε→0} \frac{ \Intx{c}{t+ε}{f(x)} - \Intx{c}{t}{f(x)} }{ε} \\
&=& \D \lim_{ε→0} \frac{ \Intx{t}{t+ε}{f(x)} }{ε} \\[12pt]
&=& \D \lim_{ε→0} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)} \\[12pt]
&\eqq& f(t) \\
\end{array}
$$
}}
\newpage
% «intro-3» (to ".intro-3")
% (c2m221tfc1p 4 "intro-3")
% (c2m221tfc1a "intro-3")
{\bf Introdução (3)}
Digamos que $f:[a,b] \to \R$ é uma função \ColorRed{contínua}.
Digamos que $c∈[a,b]$.
Digamos que a função $F:[a,b] \to \R$ é \ColorRed{definida} por:
%
$$F(t) \;\; = \Intx{c}{t}{f(x)}.$$
O nosso argumento visual vai mostrar que:
%
$$\begin{array}{rcl}
\D \lim_{ε→0} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}
&=& f(t). \\
\end{array}
$$
\newpage
% _____ _ _
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% |_|
%
% «exemplo-1» (to ".exemplo-1")
% (c2m221tfc1p 15 "exemplo-1")
% (c2m221tfc1a "exemplo-1")
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "TFC1-tests")
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(7,5))
%L tfc1_fig_parabola = function (scale)
%L local f = function (x) return 4*x - x^2 end
%L local tfc1 = TFC1.fromf(f, seqn(0, 4, 64))
%L tfc1:setxts(0,1,4, 5, scale):setpwg()
%L local p = PictList {
%L tfc1:areaify_f():Color("Orange"),
%L tfc1:areaify_g():Color("Orange"),
%L tfc1:lineify_f(),
%L tfc1:lineify_g(),
%L }
%L return p
%L end
%L
%L tfc1_fig_parabola(1/2):pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola 1/2"):output()
%L tfc1_fig_parabola(1) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola 1"):output()
%L tfc1_fig_parabola(2) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola 2"):output()
%L tfc1_fig_parabola(4) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola 4"):output()
%L tfc1_fig_parabola(8) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola 8"):output()
%L tfc1_fig_parabola(16) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola 16"):output()
%L tfc1_fig_parabola(32) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola 32"):output()
%L tfc1_fig_parabola(64) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola 64"):output()
%L tfc1_fig_parabola(-1) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola -1"):output()
%L tfc1_fig_parabola(-2) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola -2"):output()
%L tfc1_fig_parabola(-4) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola -4"):output()
%L tfc1_fig_parabola(-8) :pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola -8"):output()
%L tfc1_fig_parabola(-16):pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola -16"):output()
%L tfc1_fig_parabola(-32):pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola -32"):output()
%L tfc1_fig_parabola(-64):pgat("pgat"):sa("TFC1 parabola -64"):output()
\pu
\unitlength=10pt
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{5cm}\firstcol{
{\bf Primeiro exemplo:}
$f(x)$ é a nossa parábola
preferida, e $t=1$.
\msk
Primeira figura: $ε=2$.
Segunda figura: $ε=1$.
Terceira figura: $ε=1/2$.
\msk
À esquerda: $\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$.
À direita: $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$.
\msk
Repare que a área em
laranja à esquerda sempre
tem base $ε$ e a área em
laranja à direita sempre
tem base $ε·\frac{1}{ε}=1$.
}\anothercol{
\unitlength=10pt
$$\ga{TFC1 parabola 1/2}$$
$$\ga{TFC1 parabola 1}$$
$$\ga{TFC1 parabola 2}$$
}}
\newpage
\unitlength=25pt
\def\myint{\Intx{1}{1+ε}{f(x)}}
\def\myinte#1{
$\begin{array}{rl}
\D \myint & \text{e} \\[15pt]
\D \frac{1}{ε} \myint & \text{quando $ε=#1$:} \\
\end{array}
$}
\msk
\myinte{2}
$$\ga{TFC1 parabola 1/2}$$
\newpage
\myinte{1}
$$\ga{TFC1 parabola 1}$$
\newpage
\myinte{1/2}
$$\ga{TFC1 parabola 2}$$
\newpage
\myinte{1/4}
$$\ga{TFC1 parabola 4}$$
\newpage
\myinte{1/8}
$$\ga{TFC1 parabola 8}$$
\newpage
\myinte{1/16}
$$\ga{TFC1 parabola 16}$$
\newpage
\myinte{1/32}
$$\ga{TFC1 parabola 32}$$
\newpage
\myinte{1/64}
$$\ga{TFC1 parabola 64}$$
\newpage
% «exemplo-1-left» (to ".exemplo-1-left")
% (c2m221tfc1p 14 "exemplo-1-left")
% (c2m221tfc1a "exemplo-1-left")
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{5cm}\firstcol{
{\bf Agora com $ε$ negativo!...}
\msk
$f(x)$ é a nossa parábola
preferida, e $t=1$.
\msk
Primeira figura: $ε=-1$.
Segunda figura: $ε=-1/2$.
Terceira figura: $ε=-1/4$.
\msk
À esquerda: $\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$.
À direita: $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$.
% \msk
%
% Repare que a área em
%
% laranja à esquerda sempre
%
% tem base $ε$ e a área em
%
% laranja à direita sempre
%
% tem base $ε·\frac{1}{ε}=1$.
}\anothercol{
\unitlength=10pt
$$\ga{TFC1 parabola -1}$$
$$\ga{TFC1 parabola -2}$$
$$\ga{TFC1 parabola -4}$$
}}
\newpage
\myinte{-1}
$$\ga{TFC1 parabola -1}$$
\newpage
\myinte{-1/2}
$$\ga{TFC1 parabola -2}$$
\newpage
\myinte{-1/4}
$$\ga{TFC1 parabola -4}$$
\newpage
\myinte{-1/8}
$$\ga{TFC1 parabola -8}$$
\newpage
\myinte{-1/16}
$$\ga{TFC1 parabola -16}$$
\newpage
\myinte{-1/32}
$$\ga{TFC1 parabola -32}$$
\newpage
\myinte{-1/64}
$$\ga{TFC1 parabola -64}$$
\newpage
% _____ _ _ ____
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ | ___|
% | _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \ |___ \
% | |___ > < __/ | | (__| | (__| | (_) | ___) |
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%
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m221tfc1p 32 "exercicio-5")
% (c2m221tfc1a "exercicio-5")
% (c2m221tfc1p 22 "exercicio-1")
% (c2m221tfc1a "exercicio-1")
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "TFC1-tests")
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(7,5))
%L exerc_1_spec = "(0,2)--(1,1)--(2,3)--(3,4)--(4,3)"
%L exerc_2_spec = "(0,2)--(1,0)--(2,1)o (2,2)c (2,3)o--(3,4)--(4,3)"
%L
%L tfc1_exercs_1_2 = function (spec, scale)
%L local tfc1 = TFC1.fromspec(spec)
%L tfc1:setxts(0,2,4, 5, scale)
%L local p = PictList {
%L tfc1:areaify_f():Color("Orange"),
%L tfc1.pws:topict(),
%L }
%L return p
%L end
%L tfc1_exerc1 = function (scale) return tfc1_exercs_1_2(exerc_1_spec, scale) end
%L tfc1_exerc2 = function (scale) return tfc1_exercs_1_2(exerc_2_spec, scale) end
%L tfc1_exerc1(1/2) :pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc1 1/2"):output()
%L tfc1_exerc1(1) :pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc1 1"):output()
%L tfc1_exerc1(2) :pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc1 2"):output()
%L tfc1_exerc1(-1/2):pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc1 -1/2"):output()
%L tfc1_exerc1(-1) :pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc1 -1"):output()
%L tfc1_exerc1(-2) :pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc1 -2"):output()
%L tfc1_exerc2(1/2):pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc2 1/2"):output()
%L tfc1_exerc2(1) :pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc2 1"):output()
%L tfc1_exerc2(2) :pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc2 2"):output()
%L tfc1_exerc2(-1/2):pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc2 -1/2"):output()
%L tfc1_exerc2(-1) :pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc2 -1"):output()
%L tfc1_exerc2(-2) :pgat("pgat"):sa("TFC1 exerc2 -2"):output()
\pu
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{6cm}\firstcol{
{\bf Exercício 5.}
Seja $f(x)$ a função à direita.
Seja $t=2$.
\msk
a) Desenhe $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$
para $ε=2$, $ε=1$, $ε=1/2$.
\msk
b) Desenhe $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$
para $ε=-2$, $ε=-1$, $ε=-1/2$.
\msk
Dica: comece entendendo as
áreas em laranja à direita!
\msk
c) Quanto você acha que dá
$\lim_{ε→0^+} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}$?
\msk
d) Quanto você acha que dá
$\lim_{ε→0^-} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}$?
}\hspace*{-1cm}\anothercol{
\unitlength=7.5pt
$$\ga{TFC1 exerc1 1/2} \quad \ga{TFC1 exerc1 -1/2}$$
$$\ga{TFC1 exerc1 1} \quad \ga{TFC1 exerc1 -1}$$
$$\ga{TFC1 exerc1 2} \quad \ga{TFC1 exerc1 -2}$$
}}
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c2m221tfc1p 33 "exercicio-6")
% (c2m221tfc1a "exercicio-6")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "firstcol-anothercol")
\scalebox{1.0}{\def\colwidth{6cm}\firstcol{
{\bf Exercício 6.}
Seja $f(x)$ a função à direita.
Seja $t=2$.
\msk
a) Desenhe $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$
para $ε=2$, $ε=1$, $ε=1/2$.
\msk
b) Desenhe $\frac{1}{ε}\Intx{t}{t+ε}{f(x)}$
para $ε=-2$, $ε=-1$, $ε=-1/2$.
\msk
Dica: comece entendendo as
áreas em laranja à direita!
\msk
c) Quanto você acha que dá
$\lim_{ε→0^+} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}$?
\msk
d) Quanto você acha que dá
$\lim_{ε→0^-} \frac{1}{ε} \Intx{t}{t+ε}{f(x)}$?
}\hspace*{-1cm}\anothercol{
\unitlength=7.5pt
\def\PPP#1{\ParR{\expr{Pwil(#1)}}}
$$\ga{TFC1 exerc2 1/2} \quad \ga{TFC1 exerc2 -1/2}$$
$$\ga{TFC1 exerc2 1} \quad \ga{TFC1 exerc2 -1}$$
$$\ga{TFC1 exerc2 2} \quad \ga{TFC1 exerc2 -2}$$
}}
\newpage
% «descontinuidades» (to ".descontinuidades")
% (c2m221tfc1p 34 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1a "descontinuidades")
{\bf Descontinuidades}
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "PwFunction-tests")
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "PwFunction-tests" "f_parabola_complicada")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(8,5))
%L f_parabola_preferida = function (x)
%L return 4 - (x-2)^2
%L end
%L f_parabola_complicada = function (x)
%L if x <= 4 then return f_parabola_preferida(x) end
%L if x < 5 then return 5 - x end
%L if x < 6 then return 7 - x end
%L if x < 7 then return 3 end
%L if x == 7 then return 4 end
%L return 0.5
%L end
%L pwf = PwFunction.from(f_parabola_complicada, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L pwf:pw(0, 8):pgat("pgatc"):sa("Parabola complicada"):output()
%L
%L f_parabola_complicada_2 = function (x)
%L if x <= 4 then return f_parabola_preferida(x) end
%L if x < 5 then return 5 - x end
%L if x < 6 then return 7 - x end
%L if x < 7 then return 3 end
%L if x == 7 then return 5 end
%L return 0.5
%L end
%L pwf = PwFunction.from(f_parabola_complicada_2, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L pwf:pw(0, 8):pgat("pgatc"):sa("Parabola complicada 2"):output()
%L
\pu
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Digamos que $f:[a,b]→\R$ é uma função qualquer.
Vamos definir o conjunto dos pontos de descontinuidade da $f$,
ou, pra abreviar, o ``conjunto das descontinuidades da $f$'', assim:
%
$$\mathsf{desc}(f) \;\; = \;\;
\setofst{x∈[a,b]}{f \text{ é descontinua em $x$}}
$$
A expressão ``$f$ tem um número finito de pontos de descontinuidade'',
que eu vou abreviar pra ``$f$ tem finitas descontinuidades'' apesar
disso soar bem estranho em português, vai querer dizer:
%
$$\mathsf{desc}(f) \text{\;\;é um conjunto finito}$$
O conjunto vazio é finito, então toda $f$ contínua ``tem finitas
descontinuidades''. Essa função aqui tem finitas descontinuidades:
%
$$\unitlength=7.5pt
\ga{Parabola complicada}
$$
A função de Dirichlet, que nós vimos aqui,
% (c2m211somas2p 46 "dirichlet")
% (c2m211somas2a "dirichlet")
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2.pdf\#page=46}
}
tem infinitas descontinuidades.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «descontinuidades-2» (to ".descontinuidades-2")
% (c2m221tfc1p 35 "descontinuidades-2")
% (c2m221tfc1a "descontinuidades-2")
% No semestre passado esta figura foi um exercício:
% (c2m211somas2p 45 "exercicio-18")
% (c2m211somas2a "exercicio-18")
{\bf Descontinuidades (2)}
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(8,5))
%L rie = Riemann.fromf(f_parabola_complicada, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L rie2 = Riemann.fromf(f_parabola_complicada_2, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L rie :setab(0, 7.5)
%L rie2:setab(0, 7.5)
%L parabola_complicada_inf_sup_def = function (n, name)
%L local p = PictList {
%L -- rie:areainfsup(n):Color("Orange"),
%L -- rie:areasup(n):Color("Orange"),
%L -- rie:areasup(n):color("orange!50!yellow"),
%L rie:areasup(n):color("orange!75!white"),
%L rie:areainf(n):Color("Red"),
%L rie.pwf:pw(0, 8)
%L }
%L p:pgat("pgatc"):sa(name):output()
%L end
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def = function (n, name)
%L local p = PictList {
%L -- rie2:areainfsup(n):Color("Orange"),
%L -- rie2:areasup(n):Color("Orange"),
%L -- rie2:areasup(n):color("orange!50!yellow"),
%L rie2:areasup(n):color("orange!75!white"),
%L rie2:areainf(n):Color("Red"),
%L rie2.pwf:pw(0, 8)
%L }
%L p:pgat("pgatc"):sa(name):output()
%L end
%L parabola_complicada_inf_sup_def( 4, "Parabola complicada diff 4")
%L parabola_complicada_inf_sup_def( 8, "Parabola complicada diff 8")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(16, "Parabola complicada diff 16")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(32, "Parabola complicada diff 32")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(64, "Parabola complicada diff 64")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(128, "Parabola complicada diff 128")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def( 4, "Parabola complicada 2 diff 4")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def( 8, "Parabola complicada 2 diff 8")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(16, "Parabola complicada 2 diff 16")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(32, "Parabola complicada 2 diff 32")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(64, "Parabola complicada 2 diff 64")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(128, "Parabola complicada 2 diff 128")
\pu
\unitlength=10pt
Sejam
%
$$f(x) \;=\; \ga{Parabola complicada}
\quad
\text{e}
\quad
g(x) \;=\; \ga{Parabola complicada 2}
\; .
$$
As figuras dos próximos slides mostram
%
$$\IntPoverunder{[0,7.5]_{2^k}}{f(x)}
\quad
\text{e}
\quad
\IntPoverunder{[0,7.5]_{2^k}}{g(x)}
$$
para vários valores de $k$. Use-as pra entender porque
``na integral as descontinuidades não importam'' ---
se só tivermos um número finito de descontinuidades.
\unitlength=10pt
\def\paracompn#1{\newpage $$\scalebox{3}{$\ga{Parabola complicada diff #1}$}$$}
\unitlength=20pt
\def\paracompn#1{\newpage $$\scalebox{1.5}{$\ga{Parabola complicada diff #1}$}$$}
\def\paracompn#1{\newpage
\vspace*{0.4cm}
$$\scalebox{0.85}{$\ga{Parabola complicada diff #1}$}
\qquad
\scalebox{0.85}{$\ga{Parabola complicada 2 diff #1}$}
$$
}
\paracompn{4}
\paracompn{8}
\paracompn{16}
\paracompn{32}
\paracompn{64}
\paracompn{128}
\newpage
% «tfc1-complicado-1» (to ".tfc1-complicado-1")
% (c2m221tfc1p 42 "tfc1-complicado-1")
% (c2m221tfc1a "tfc1-complicado-1")
{\bf A versão complicada do TFC1}
Vou dizer que uma função $f:[a,b]→\R$ é ``boa''
quando ela é integrável e tem finitas descontinuidades.
\msk
(O termo ``função boa'' é péssimo de propósito ---
é pra deixar óbvio que essa é uma definição temporária,
que vai valer só durante poucos slides...)
\msk
Vou dizer que uma função $G:[a,b]→\R$ obedece
%
$$G'(x) = f(x)$$
quando $G$ for contínua em $[a,b]$ e $G$ obedecer isto aqui:
%
$$∀x∈((a,b) \; ∖ \; \mathsf{desc}(f)). \; G'(x)=f(x)$$
ou seja, neste caso ``$G'(x) = f(x)$'' é uma abreviação
pra algo complicado.
\newpage
% «tfc1-complicado-2» (to ".tfc1-complicado-2")
% (c2m221tfc1p 43 "tfc1-complicado-2")
% (c2m221tfc1a "tfc1-complicado-2")
% «exercicio-7» (to ".exercicio-7")
% (c2m221tfc1p 43 "exercicio-7")
% (c2m221tfc1a "exercicio-7")
{\bf A versão complicada do TFC1 (2)}
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,-2), v(4,3))
%L spec = "(0,1)--(1,1)o (1,2)c--(2,2)o (2,-1)c--(4,-1)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L pws:topict():prethickness("1pt"):pgat("pgatc"):sa("TFCcomplicEx"):output()
\pu
\scalebox{0.95}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Antes de prosseguir vamos fazer um exercício.
\bsk
{\bf Exercício 7.}
Seja:
$$f(x) \;\;=\;\;
\unitlength=7.5pt
\ga{TFCcomplicEx}
$$
a) Qual é o domínio da $f$? (Ele está ``implícito no gráfico''...)
b) Encontre uma função $G$ que obedece $G'(x)=f(x)$ e $G(0)=0$.
c) Encontre uma função $H$ que obedece $H'(x)=f(x)$ e $H(0)=1$.
d) Faça o gráfico da função $M(x) = H(x) - G(x)$.
e) Encontre uma função $K$ que obedece $K'(x)=f(x)$ e $K(4)=-1$.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «tfc1-complicado-3» (to ".tfc1-complicado-3")
% (c2m221tfc1p 43 "tfc1-complicado-3")
% (c2m221tfc1a "tfc1-complicado-3")
{\bf A versão complicada do TFC1 (3)}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Digamos que $f:[a,b]→\R$ é ``boa''.
Digamos que $c∈[a,b]$ e que $G'(x) = f(x)$.
Digamos que
%
$$F(x) \;\; = \;\; \Intt{c}{x}{f(t)}.$$
Então $F$ e $G$ ``diferem por uma constante'',
como as funções $G$, $H$ e $K$ do exercício 3.
Isso é o ``TFC1 na versão complicada''.
Eu não vou demonstrá-lo. \quad $\frown$
\msk
Seja $k$ essa constante. Temos:
%
$$∀x∈[a,b]. \; G(x) = F(x) + k.$$
\msk
Isso tem um monte de consequências bacanas.
Por exemplo: $F(c) = 0$, $G(c) = k$, e,
se $α,β∈[a,b]$,
%
$$\begin{array}{rcl}
\Intt{α}{β}{f(t)} &=& \Intt{c}{β}{f(t)} - \Intt{c}{α}{f(t)} \\
&=& F(β) - F(α) \\
&=& (G(β) - k) - (G(α) - k) \\
&=& G(β) - G(α). \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
Isso nos dá um \ColorRed{método} pra calcular integrais
da função $f$. Se $α,β∈[a,b]$,
\msk
1) encontramos \ColorRed{uma} solução $G(x)$
da EDO $G'(x) = f(x)$,
\msk
2) usamos a fórmula
%
$$\Intt{α}{β}{f(t)} \;\; = \;\; G(β) - G(α).$$
\msk
Você viu no exercício anterior que a EDO
$G'(x) = f(x)$ tem infinitas soluções...
Qualquer solução serve, e não precisamos
calcular a constante $k$.
\bsk
\bsk
\ColorRed{Esse método é o TFC2.}
}}
\newpage
{\bf O TFC2}
\msk
Digamos que $f:[a,b]→\R$ é ``boa''.
Digamos que $α,β∈[a,b]$ e que $G'(x) = f(x)$.
\msk
Então:
$$\Intt{α}{β}{f(t)} \;\; = \;\; G(β) - G(α).$$
% \qquad \mname{TFC2}
\newpage
% «TFC2-exemplo» (to ".TFC2-exemplo")
{\bf TFC2: um exemplo}
\ssk
A nossa parábola preferida é $f(x) = 4 - (x-2)^2$,
ou seja, $f(x) = 4x - x^2$.
Digamos que $G(x) = 2x^2 - \frac{x^3}{3}$.
Então $G'(x) = f(x)$, e o resultado desta
substituição aqui vai dar uma igualdade verdadeira...
$$\left(
\Intt{α}{β}{f(t)} \;\; = \;\; G(β) - G(α)
\right)
\;
\bmat{
f(x) := 4x - x^2 \\
G(x) := 2x^2 - \frac{x^3}{3} \\
β := 4 \\
α := 0 \\
}
$$
\newpage
% «TFC2-exemplo-2» (to ".TFC2-exemplo-2")
{\bf TFC2: um exemplo (2)}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Temos:
%
$$\begin{array}{c}
\left(
\D \Intt{α}{β}{f(t)} \;\; = \;\; G(β) - G(α)
\right)
\;
\bmat{
f(x) := 4 - (x-2)^2 \\
G(x) := 2x^2 - \frac{x^3}{3} \\
β := 4 \\
α := 0 \\
}
\\[25pt]
= \;\;
\left( \D
\Intt{0}{4}{4-(t-2)^2} \;\; = \;\;
\left(2·4^2-\frac{4^3}{3}\right) -
\left(2·0^2-\frac{0^3}{3}\right)
\right)
\;
\\
\end{array}
$$
e:
%
$$\begin{array}{rcl}
\D \Intt{0}{4}{4-(t-2)^2}
&=&
\left(2·4^2-\frac{4^3}{3}\right) -
\left(2·0^2-\frac{0^3}{3}\right) \\
&=&
\left(32 - \frac{64}{3}\right) - 0 \\[5pt]
&=& \frac{96}{3} - \frac{64}{3} \\[5pt]
&=& \frac{32}{3}. \\
\\
\end{array}
$$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-8» (to ".exercicio-8")
% (c2m221tfc1p 48 "exercicio-8")
% (c2m221tfc1a "exercicio-8")
{\bf Exercício 8.}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Este exercício vai servir pra explicar porque é
que eu não uso o ``$+C$'' na fórmula do TFC2 ---
mas isso só daqui a várias páginas.
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-5,-4), v(5,4))
%L spec = [[ (-5,0)--(-3,0)o
%L (-3,-1)c--(-2,-1)o
%L (-2,-2)c--(-1,-2)o
%L (-1,-3)c--(0,-3)o
%L (0,3)o--(1,3)c
%L (1,2)o--(2,2)c
%L (2,1)o--(3,1)c
%L (3,0)o--(5,0)
%L ]]
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L pws:topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("Intro +C"):output()
\pu
\msk
\unitlength=7.5pt
Sejam
%
$$f(x) \;=\; \ga{Intro +C}
\quad
\text{e}
$$
%
$$F(x) \;=\;
\begin{cases}
\D α + \Intt{β}{x}{f(t)} & \text{quando $x<0$}, \\[10pt]
\D γ + \Intt{δ}{x}{f(t)} & \text{quando $0<x$}. \\
\end{cases}
$$
\msk
Sejam $α=4$, $β=-1$, $γ=3$, $δ=1$.
Faça os gráficos de $F(x)$ de $F'(x)$.
}\anothercol{
{\bf Exercício 9.}
Sejam $f(x)$ e $F(x)$ as
mesmas do exercício 8,
mas agora considere
que $α=3$, $β=-2$,
$γ=6$, $δ=2$.
\msk
Faça os gráficos de
$F(x)$ e de $F'(x)$.
}}
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2022.1-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2022-1-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2022.1-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2022-1-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-1-C2-TFC1 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-1-C2-TFC1 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2t1"
% ee-tla: "c2m221tfc1"
% End: