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% (find-LATEX "2023-1-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-1-C2-P2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-1-C2-P2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2023-1-C2-P2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-1-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-1-C2-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-1-C2-P2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-1-C2-P2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2023-1-C2-P2")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2023-1-C2-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-1-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-1-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2023-1-C2-P2.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2023-1-C2-P2.pdf
% file:///tmp/2023-1-C2-P2.pdf
% file:///tmp/pen/2023-1-C2-P2.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2023-1-C2-P2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise1")
% (find-MM-aula-links "2023-1-C2-P2" "C2" "c2m231p2" "c2p2")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.title» (to "title")
% «.questao-1» (to "questao-1")
% «.questao-2» (to "questao-2")
% «.questao-3» (to "questao-3")
% «.questao-4» (to "questao-4")
% «.anexo-L» (to "anexo-L")
% «.anexo-R» (to "anexo-R")
% «.anexo» (to "anexo")
% «.questao-1-gab» (to "questao-1-gab")
% «.questao-2-gab» (to "questao-2-gab")
% «.links» (to "links")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m231p2" "2023-1-C2-P2")
% (code-eevvideo "c2m231p2" "2023-1-C2-P2")
% (code-eevlinksvideo "c2m231p2" "2023-1-C2-P2")
% (find-c2m231p2video "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\sa{[M]}{\CFname{M}{}}
\sa{[F]}{\CFname{F}{}}
\sa{[S]}{\CFname{S}{}}
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -nH --null -e mname 202{1,2}*.tex")
\def\sumiN#1{\sum_{i=1}^N #1 (b_i-a_i)}
\def\mname#1{\text{[#1]}}
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L -- dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L -- dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L -- dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L -- dofile "Lazy5.lua" -- (find-LATEX "Lazy5.lua")
%L -- dofile "2022-1-C2-P2.lua" -- (find-LATEX "2022-1-C2-P2.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L -- V = nil -- (find-angg "LUA/Pict2e1.lua" "MiniV")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m231p2p 1 "title")
% (c2m231p2a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2023.1}
\bsk
P2 (Segunda prova)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2023.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% _ _____ ____ _____ ______
% / | | ____| _ \ / _ \ \ / / ___|
% | | | _| | | | | | | \ \ / /\___ \
% | |_ | |___| |_| | |_| |\ V / ___) |
% |_(_) |_____|____/ \___/ \_/ |____/
%
% «questao-1» (to ".questao-1")
% (c2m231p2p 2 "questao-1")
% (c2m231p2a "questao-1")
% (c2m222p2p 2 "questao-1")
% (c2m222p2a "questao-1")
% (find-es "maxima" "separable-2")
% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2-edovs")
% (find-es "maxima" "2023-1-C2-P2-edovs")
{\bf Questão 1}
\sa{(M)}{
\left(\begin{array}{rcl}
\D \dydx &=& \D \frac{g(x)}{h(y)} \\
h(y)\,dy &=& g(x)\,dx \\
\inty{h(y)} &=& \intx{g(x)} \\
\mcc{\veq} & & \mcc{\veq} \\
\mcc{H(y)+C1} & & \mcc{G(x)+C2} \\
H(y) &=& G(x)+C2-C1 \\
&=& G(x)+C3 \\
H^{-1}(H(y)) &=& H^{-1}(G(x)+C3) \\
\mcc{\veq} & & \\
\mcc{y} & & \\
\end{array}
\right)
}
\sa{(F)}{
\left(\begin{array}{rcl}
\D \dydx &=& \D \frac{g(x)}{h(y)} \\
H^{-1}(H(y)) &=& H^{-1}(G(x)+C3) \\
\mcc{\veq} & & \\
\mcc{y} & & \\
\end{array}
\right)
}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
\vspace*{-0.4cm}
\T(Total: 4.0 pts)
Lembre que no curso eu mostrei que o meu modo preferido de escrever o
``método'' para resolver EDOs com variáveis separáveis --- ``EDOVSs''
--- é a ``demonstração'' \ga{[M]} abaixo... eu pus o termo
``demonstração'' entre aspas porque alguns dos passos da \ga{[M]} são
gambiarras nas quais a gente não pode confiar totalmente, e aí a gente
precisa sempre testar as nossas soluções. O \ga{[F]} abaixo --- a
``fórmula'' --- é uma versão resumida do \ga{[M]}.
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\\\[-5pt]
\ga{[F]} &=& \ga{(F)} \\
\end{array}
$$
\vspace*{-5cm}
}\anothercol{
{}
Seja $(*)$ esta EDOVS:
%
$$\frac{dy}{dx} \;=\; - \frac{1}{2y}
$$
a) \B (2.0 pts) Encontre as duas soluções gerais da EDO $(*)$ -- a
solução ``positiva'' e a ``negativa'' -- e teste-as.
\msk
b) \B (1.0 pts) Encontre a solução particular que passa pelo ponto
$(3,2)$ e teste-a.
\msk
c) \B (1.0 pts) Encontre a solução particular que passa pelo ponto
$(4,-3)$ e teste-a.
\bsk
\standout{Muito importante:} em todas as questões desta prova exceto a
questão sobre somas de Riemann eu vou corrigir as respostas de vocês
como se eu fosse o ``colega menos seu amigo e sem paciência pra
adivinhar nada'' da Dica 7 e do slide sobre contextos... por exemplo,
se você escrever só ``$a=42$'' eu vou interpretar isso como ``aqui
essa pessoa tá dizendo que é óbvio que `$a=42$' é sempre verdade -- e
isso é falso!!!'', e aí babau. Ou seja, a parte em português das
questões de vocês vai ser MUUUUITO importante!
\msk
A prova tem um anexo que é um gabarito de uma prova antiga, e que tem
exemplos de uso de várias partículas em português como ``seja'',
``isto é'', ``temos'' e ``então''. Esse anexo não tem exemplos de
todas as partículas mais comuns -- por exemplo, faltam o ``queremos
que'', o ``vamos testar se'' e o ``lembre que'' -- mas acho que ele
deve ajudar bastante.
% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")
}}
\newpage
% ____ _____ ____ ___ _ ____ ____
% |___ \ | ____| _ \ / _ \| | / ___/ ___|___
% __) | | _| | | | | | | | | | | | | / __|
% / __/ _ | |___| |_| | |_| | |__| |__| |___\__ \
% |_____(_) |_____|____/ \___/|_____\____\____|___/
%
% «questao-2» (to ".questao-2")
% (c2m231p2p 3 "questao-2")
% (c2m231p2a "questao-2")
% (c2m222p2p 3 "questao-2")
% (c2m222p2a "questao-2")
% «edolccs» (to ".edolccs")
% (c2m222p2p 3 "edolccs")
% (c2m222p2a "edolccs")
% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2-edolccs")
{\bf Questão 2}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
\vspace*{-0.4cm}
\T(Total: 4.0 pts)
Lembre que nós vimos dois tipos de EDOs lineares com coeficientes
constantes --- ``EDOLCCs'' --- no curso: o primeiro tipo tinha
soluções básicas da forma $e^{ax}$ e $e^{bx}$, onde $a$ e $b$ são
reais, e o segundo tipo tinha ``soluções básicas complexas'' da forma
$e^{(a+ib)x}$ e $e^{(a-ib)x}$ e ``soluções básicas reais'' da forma
$e^{αx}\cos βx$ e $e^{αx}\sen βx$; as soluções básicas reais eram
combinações lineares das soluções básicas complexas e vice-versa.
\msk
Sejam $(**)$ e $({*}{*}{*})$ as EDOs abaixo:
%
$$\begin{array}{rcll}
y'' + y' - 20y &=& 0 & \qquad (**) \\
y'' + 4y' + 29y &=& 0 & \qquad ({*}{*}{*}) \\
\end{array}
$$
A EDO $(**)$ é do primeiro tipo e a EDO $({*}{*}{*})$ é do segundo tipo.
}\anothercol{
{}
a) \B (0.5 pts) Encontre as soluções básicas e a solução geral da EDO
$(**)$. Dê um nome para cada uma delas.
\msk
b) \B (1.5 pts) Encontre uma solução da EDO $(**)$ -- vou chamá-la de
$g(x)$ -- que obedece $g(0) = 4$ e $g'(0)=5$, e teste-a. Dica: você
vai ter que resolver um sistema pra descobrir a quantidade certa de
cada ``vetor'' na combinação linear!
\bsk
c) \B (0.5 pts) Diga quais são as ``soluções básicas complexas'' e as
``soluções básicas reais'' para a EDO $({*}{*}{*})$.
\msk
d) \B (1.5 pts) Escolha uma das suas ``soluções básicas reais'' do
item anterior e verifique que ela realmente é uma solução da EDO
$({*}{*}{*})$.
% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")
}}
\newpage
% ___ _ _____
% / _ \ _ _ ___ ___| |_ __ _ ___ |___ /
% | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \ |_ \
% | |_| | |_| | __/\__ \ || (_| | (_) | ___) |
% \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/ |____/
%
% «questao-3» (to ".questao-3")
% (c2m231p2p 4 "questao-3")
% (c2m231p2a "questao-3")
% (c2m222p2p 4 "questao-3")
% (c2m222p2a "questao-3")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(7,6))
%L spec = "(0,2)--(1,2)--(2,1)o (2,2)c (2,4)o--(3,3)--(4,3)o--(5,3)o--(7,3) (4,2)c (5,5)c"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L pws:topict():prethickness("1pt"):pgat("pgatc"):sa("F(x)"):output()
\pu
\unitlength=10pt
{\bf Questão 3}
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{
\vspace*{-0.25cm}
\T(Total: 1.0 pts)
Lembre que nós vimos estes tipos de Somas de Riemann,
%
$$\scalebox{0.95}{$
\begin{array}{ccl}
\mname{L} &=& \sumiN {f(a_i)} \\[2pt]
\mname{R} &=& \sumiN {f(b_i)} \\[2pt]
\mname{Trap} &=& \sumiN {\frac{f(a_i) + f(b_i)}{2}} \\[2pt]
\mname{M} &=& \sumiN {f(\frac{a_i+b_i}{2})} \\[2pt]
\mname{min} &=& \sumiN {\min(f(a_i), f(b_i))} \\[2pt]
\mname{max} &=& \sumiN {\max(f(a_i), f(b_i))} \\[2pt]
\mname{inf} &=& \sumiN {\inf(f([a_i,b_i]))} \\[2pt]
\mname{sup} &=& \sumiN {\sup(f([a_i,b_i]))} \\
\end{array}
$}
$$
% e vimos que o $\mname{Trap}$ pode ser interpretado tanto como uma soma
% de trapézios como como uma soma de retângulos.
\msk
Seja $f(x)$ a função dos gráficos à direita.
Represente graficamente cada um dos somatórios abaixo.
\def\Sitem#1#2#3{#1) $\mname{#2}_{\{#3\}}$}
\msk
\begin{tabular}{lll}
\Sitem a {sup} {1,6} &
\Sitem b {sup} {1,3,6} &
\Sitem c {sup} {1,3,5,6} \\
\Sitem d {inf} {1,6} &
\Sitem e {inf} {1,3,6} &
\Sitem f {inf} {1,3,5,6} \\
\Sitem g {max} {1,5} &
\Sitem h {max} {1,3,5} &
\Sitem i {max} {1,3,4,5} \\
\Sitem j {min} {1,5} &
\Sitem k {min} {1,3,5} &
\Sitem l {min} {1,3,4,5} \\
\end{tabular}
% d) $\mname{Trap}_{\{1,3,5\}}$ usando retângulos
% e) $\mname{Trap}_{\{1,3,5\}}$ usando trapézios
\msk
Indique claramente qual desenho é a resposta final de cada item e
quais desenhos são rascunhos.
}\anothercol{
\vspace*{-2cm}
\def\Fx{\scalebox{1.1}{$\ga{F(x)}$}}
$\begin{matrix}
\Fx & \Fx & \Fx & \Fx & \Fx \\ \\[-5pt]
\Fx & \Fx & \Fx & \Fx & \Fx \\ \\[-5pt]
\Fx & \Fx & \Fx & \Fx & \Fx \\ \\[-5pt]
\Fx & \Fx & \Fx & \Fx & \Fx \\ \\[-5pt]
\Fx & \Fx & \Fx & \Fx & \Fx \\ \\[-5pt]
\Fx & \Fx & \Fx & \Fx & \Fx \\
\end{matrix}
$
\vspace*{-2cm}
}}
\newpage
% _ _ ____ _ _ _
% | || | / ___| ___ | (_) __| | ___ ___
% | || |_ \___ \ / _ \| | |/ _` |/ _ \/ __|
% |__ _| ___) | (_) | | | (_| | (_) \__ \
% |_|(_) |____/ \___/|_|_|\__,_|\___/|___/
%
% «questao-4» (to ".questao-4")
% (c2m231p2p 5 "questao-4")
% (c2m231p2a "questao-4")
{\bf Questão 4}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
\vspace*{-0.25cm}
\T(Total: 2.0 pts)
\msk
Seja
%
$$A \;=\; \setofxyst{0≤x≤\pi, \; 0≤y≤1+\cos x}.
$$
Seja $B$ o sólido que obtemos rodando a região $A$ em torno do eixo
$x$ e seja $C$ o sólido que obtemos rodando a região $A$ em torno do
eixo $y$.
\msk
a) \B (0.2 pts) Faça um esboço da região $A$.
\ssk
b) \B (0.8 pts) Calcule o volume de $B$.
\ssk
c) \B (1.0 pts) Calcule o volume de $C$.
\bsk
\standout{Importante:} nos itens (b) e (c) você provavelmente vai
chegar em integrais difíceis de resolver. Você não precisa resolver
elas, basta chegar em respostas que sejam integrais definidas.
}\anothercol{
}}
\newpage
% «anexo-L» (to ".anexo-L")
\def\anexoL{
A substituição é:
%
$$\ga{[S]} \;=\;
\bmat{
G(x) := x^4 + 5 \\
H(y) := y^2 + 3 \\
g(x) := 4x^3 \\
h(y) := 2y \\
H^{-1}(x) := \sqrt{x-3} \\
}
$$
a) Seja:
%
$$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^3}{2y} \qquad (*)$$
b)
%
$\begin{array}[t]{lrcl}
\text{Seja:} & H^{-1}(x) &=& \sqrt{x-3}. \\
\text{Temos:} & H^{-1}(H(y)) &=& \sqrt{H(y)-3} \\
& &=& \sqrt{(y^2+3)-3} \\
& &=& y. \\
\end{array}
$
\msk
c) $\begin{array}[t]{lrcl}
& y &=& H^{-1}(G(x)+C_3) \\
&&=& \sqrt{(G(x)+C_3)-3} \\
&&=& \sqrt{((x^4+5)+C_3)-3} \\
&&=& \sqrt{x^4+2+C_3} \\
\text{Seja:} &
f(x) &=& \sqrt{x^4+2+C_3}. \\
\end{array}
$
}
% «anexo-R» (to ".anexo-R")
\def\anexoR{
d) $\begin{array}[t]{l}
\text{Será que $f(x)$ obedece $(*)$?} \\
\text{Temos }
f'(x) = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 2 + C_3}},
\text{ e com isso:}
\\
\\[-5pt]
\left(
f'(x) = \frac{4x^3}{2f(x)}
\right)
\bmat{
f(x) = \sqrt{x^4+2+C_3} \\
f'(x) = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 2 + C_3}} \\
}
\\
= \;\;
\left(
\frac{2x^3}{\sqrt{x^4 + 2 + C_3}}
= \frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+2+C_3}}
\right)
\qquad \smile \\
\end{array}
$
\bsk
e) $\begin{array}[t]{lrcl}
\text{Se} & f(x_1) &=& y_1, \\
\text{i.e.,} & f(1) &=& 2, \\
\text{então} & f(1) &=& \sqrt{1^4+2+C_3} \\
&&=& \sqrt{3+C_3} \\
&&=& 2 \\
& 2^2 &=& \sqrt{3+C_3}^2 \\
& 4 &=& 3+C_3 \\
& C_3 &=& 1 \\
& f(x) &=& \sqrt{x^4+2+C_3} \\
& &=& \sqrt{x^4+3} \\
\text{Seja:} & f_1(x) &=& \sqrt{x^4+3}. \\
\end{array}
$
\bsk
f) $\begin{array}[t]{lrcl}
\text{Será que} & f_1(x_1) &=& y_1, \\
\text{i.e.,} & f_1(1) &=& 2? \\
& \sqrt{1^4+3} &=& \sqrt{4} \\
&&=& 2 \qquad \smile \\
\end{array}
$
}
% «anexo» (to ".anexo")
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
{\bf Anexo: gabarito de uma}
{\bf questão da P2 de 2022.2}
\ssk
\anexoL
}\anothercol{
\anexoR
}}
\newpage
{\bf Mini-gabarito}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
% «questao-1-gab» (to ".questao-1-gab")
% (c2m231p2p 7 "questao-1-gab")
% (c2m231p2a "questao-1-gab")
% (find-es "maxima" "2023-1-C2-P2-edovs")
1a) $f_1(x) = \ph{ii} \sqrt{- x - C_3}$,
\ph{aai} $f_2(x) = - \sqrt{- x - C_3}$
1b) $f_3(x) = \ph{ii} \sqrt{7 - x}$ \ph{iii} (passa por $(x,y)=(3,2)$)
1c) $f_4(x) = - \sqrt{13 - x}$ \ph{i} (passa por $(x,y)=(4,-3)$)
\bsk
% «questao-2-gab» (to ".questao-2-gab")
% (c2m231p2p 7 "questao-2-gab")
% (c2m231p2a "questao-2-gab")
% (find-es "maxima" "2023-1-C2-P2-edolccs")
2) $y''+y'-20y = (D+5)(D-4)y$,
\ph{aa} $y''+4y'+29y = (D-(-2+5i))(D-(-2-5i))y$,
2a) $f_1(x) = e^{4x}$, $f_2(x) = e^{-5x}$
2b) $g(x) = \frac{25}{9} e^{4x} + \frac{11}{9} e^{-5x}$
2c) $f_1(x) = e^{(-2+5i)x}$, $f_2(x) = e^{(-2-5i)x}$,
\ph{aai} $f_3(x) = e^{-2x}\cos 5x$, $f_2(x) = e^{-2x}\sen 5x$
\bsk
\def\area{\textsf{área}}
\def\vol {\textsf{vol}}
4b) $\begin{array}[t]{rcl}
r(x) &=& 1+\cos x \\
\area(x) &=& π(1+\cos x)^2 \\
\vol &=& \Intx{0}{π}{π(1+\cos x)^2} \\
\end{array}$
4c) $\begin{array}[t]{rcl}
y &=& 1+\cos x \\
y-1 &=& \cos x \\
x &=& \arccos(y-1) \\
\area(y) &=& π(\arccos(y-1))^2 \\
\vol &=& \Inty{0}{2}{π(\arccos(y-1))^2} \\
\end{array}$
}\anothercol{
}}
\newpage
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(7,6))
%L spec = "(0,1)--(1,1)--(2,4)--(3,5)--(4,4)o (4,3)c (4,1)o--(6,3)--(7,3)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L pws:topict():prethickness("1pt"):pgat("pgatc"):sa("F(x)"):output()
\pu
% «links» (to ".links")
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.1-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-1-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2023.1-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2023-1-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-1-C2-P2 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-1-C2-P2 pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2p2"
% ee-tla: "c2m231p2"
% End: