|
Warning: this is an htmlized version!
The original is here, and the conversion rules are here. |
% (find-LATEX "2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C2-comprimento-de-arco"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2023-2-C2-comprimento-de-arco")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf
% file:///tmp/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf
% file:///tmp/pen/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C2-comprimento-de-arco" "C2" "c2m232coa" "c2coa")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.pontos-magicos-0» (to "pontos-magicos-0")
% «.pontos-magicos-1» (to "pontos-magicos-1")
% «.pontos-magicos-2» (to "pontos-magicos-2")
% «.pontos-magicos-4» (to "pontos-magicos-4")
% «.pontos-magicos-8» (to "pontos-magicos-8")
% «.algumas-contas» (to "algumas-contas")
% «.pescs-defs» (to "pescs-defs")
% «.pescs» (to "pescs")
% «.pontos-magicos-rev» (to "pontos-magicos-rev")
% «.tres-tipos» (to "tres-tipos")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m232coa" "2023-2-C2-comprimento-de-arco")
% (code-eevvideo "c2m232coa" "2023-2-C2-comprimento-de-arco")
% (code-eevlinksvideo "c2m232coa" "2023-2-C2-comprimento-de-arco")
% (find-c2m232coavideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
\def\P#1{\left(#1\right)}
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m232coap 1 "title")
% (c2m232coaa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo C2 - 2023.2}
\bsk
Aula 25: comprimento de arco
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% _ _ _
% | | (_)_ __ | | _____
% | | | | '_ \| |/ / __|
% | |___| | | | | <\__ \
% |_____|_|_| |_|_|\_\___/
%
% «links» (to ".links")
% (c2m232coap 2 "links")
% (c2m232coaa "links")
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -nH --null -e arco 202*tex")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "257" "4.2 O Teorema do Valor Médio")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "258" "teorema da existência")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "337" "pontos amostrais arbitrários")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "410" "O Teorema do Valor Médio para Integrais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "488" "8.1 Comprimento de Arco")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "586" "Comprimento de arco")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "768" "13.3 Comprimento de Arco e Curvatura")
\par \Ca{StewPtCap4p14} (p.257) 4.2 O Teorema do Valor Médio
\par \Ca{StewPtCap4p15} (p.258) teorema da existência
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) pontos amostrais arbitrários
\par \Ca{StewPtCap6p33} (p.410) O Teorema do Valor Médio para Integrais
\par \Ca{StewPtCap8p5} (p.488) 8.1 Comprimento de arco
\par \Ca{StewPtCap10p16} (p.586) Comprimento de arco
\par \Ca{StewPtCap13p18} (p.768) 13.3 Comprimento de Arco e Curvatura
\ssk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "213" "marcas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "224" "Teorema do valor médio para integrais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "301" "9.5 Comprimento de Arco")
\par \Ca{MirandaP213} marcas
\par \Ca{MirandaP224} Teorema do valor médio para integrais
\par \Ca{MirandaP301} 9.5 Comprimento de arco
\ssk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "232" "4.3.2. Teorema do Valor Médio")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "324" "ponto escolhido")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "340" "5.7. O teorema do valor médio para")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "388" "6.3. Comprimento de arco")
\par \Ca{Leit4p18} (p.232) 4.3.2. Teorema do Valor Médio
\par \Ca{Leit5p41} (p.324) ponto escolhido
\par \Ca{Leit5p57} (p.340) 5.7 O teorema do valor médio para integrais
\par \Ca{Leit6p17} (p.388) 6.3 Comprimento de arco do gráfico de uma função
% (find-es "maxima" "qdraw-mis")
% Quadro de 2023.1:
% \par \Ca{2gQ63} (2023.1) Introdução a comprimento de arco
}\anothercol{
}}
\newpage
{\bf Introdução}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Cada um dos três livros que nós estamos usando -- Stewart,
Miranda, Leithold -- tem pelo menos um capítulo com várias
``aplicações da integral''. Em cada uma dessas ``aplicações'' a
gente aprende como pegar um certo conceito de Geometria ou Física,
como volumes, comprimento de arco, áreas de superfícies de
revolução, ou centro de massa e aí expressar a quantidade que a
gente quer calcular como um somatório, e depois a gente transforma
esse somatório numa integral. O método é sempre o mesmo, e ele tem
dois passos: ``expressar como somatório'' e ``transformar o
somatório numa integral''. O passo de ``expressar como somatório''
é sempre trabalhoso e exige um olhômetro afiado pra gente entender
os argumentos geométricos e as contas correspondentes a eles, e o
passo de ``transformar o somatório numa integral'' exige um truque
no qual a gente usa ``partições pontilhadas'' ao invés de
``partições'', e se a gente escolhe os `$m_i$'s das partições
pontilhadas exatamente do jeito certo -- se a gente escolhe os
pontos \standout{m}ágicos usando o Teorema do Valor
\standout{M}édio para Integrais -- aí o limite dos somatórios vira
algo bem simples...
}\anothercol{
Normalmente em Cálculo 2 a gente apresenta a demonstração da
``fórmula'' de cada uma das ``aplicações'' super rápido, e quase
ninguém entende as demonstrações -- mas as pessoas decoram as
fórmulas e {\sl às vezes} conseguem aplicar elas na prova... e
depois elas esquecem tudo.
\msk
Neste semestre eu vou tentar apresentar os passos mais importantes
de uma dessas ``aplicações'' -- a fórmula pro comprimento de arco --
com exemplos simples, figuras e exercícios... se tudo der certo
depois vai ficar fácil entender as outras aplicações. Tomara que
funcione! $\smile$
}}
\newpage
{\bf Pontos ``mágicos''}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Eu vou dizer que os ``pontos mágicos'' pra uma função $f(x)$ no
intervalo $[a,b]$ -- ou: os pontos mágicos pra integral
$\Intx{a}{b}{f(x)}$ -- são os pontos $m∈[a,b]$ que obedecem isto
aqui:
%
$$\Intx{a}{b}{f(x)} \;=\; f(m)(b-a)
$$
Os pontos mágicos vão fazer os nossos somatórios virarem integrais
de um modo magicamente simples. Por exemplo:
%
$$\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{2} f(m_i)(b_i-a_i) \\
= \; f(m_1)(b_1-a_1)
+ f(m_2)(b_2-a_2) \\
= \; \Intx{a_1}{b_1}{f(x)}
+ \Intx{a_2}{b_2}{f(x)} \\
= \; \Intx{a_1}{b_2}{f(x)}
\end{array}
$$
A figura da próxima página mostra os dois pontos mágicos para a
minha parábola preferida, $f(x) = 4-(x-2)^2$, no intervalo $[0,4]$.
As figuras das páginas 6 a 9 mostram os pontos mágicos pra $f(x)$
nos subintervalos de várias partições do intervalo $[2,4]$.
% (de vários tipos de objetos 3D, e calculados de vários formas)
}\anothercol{
Os pontos mágicos geralmente são bem difíceis de calcular na mão;
usando o Maxima eu consegui descobrir que os pontos mágicos da
próxima página são:
%
$$x=\frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} \quad \text{e} \quad
x=\frac{2\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}}.
$$
Os pontos mágicos das outras páginas têm fórmulas horríveis -- eu
usei o Maxima pra calculá-los e pra fazer os desenhos.
\msk
{\sl Os livros usam argumentos que mostram que os pontos mágicos
existem, mas não calculam eles explicitamente.}
\msk
O Stewart e o Miranda chamam os pontos mágicos de `$x_i^*$'s ao
invés de `$m_i$'s, e o Leithold chama eles de `$\xi_i$'s. {\sl Essas
notações não deixam claro o quão mágicos esses pontos são.}
$\frown$
\msk
Dê uma olhada aqui: \Ca{StewPtCap4p15}. Ele diz:
\begin{quote}
O Teorema do Valor Médio é um exemplo do que é chamado {\sl
teorema de existência}. Da mesma forma que o Teorema do Valor
Intermediário, o Teorema dos Valores Extremos e o Teorema de
Rolle, ele garante que existe um número com certa propriedade, mas
não nos diz como achá-lo.
\end{quote}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «pontos-magicos-0» (to ".pontos-magicos-0")
% (c2m232coap 5 "pontos-magicos-0")
% (c2m232coaa "pontos-magicos-0")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_0")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_0.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_0.pdf}
\newpage
% «pontos-magicos-1» (to ".pontos-magicos-1")
% (c2m232coap 6 "pontos-magicos-1")
% (c2m232coaa "pontos-magicos-1")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_1")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_1.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_1.pdf}
\newpage
% «pontos-magicos-2» (to ".pontos-magicos-2")
% (c2m232coap 7 "pontos-magicos-2")
% (c2m232coaa "pontos-magicos-2")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_2")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_2.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_2.pdf}
\newpage
% «pontos-magicos-4» (to ".pontos-magicos-4")
% (c2m232coap 8 "pontos-magicos-4")
% (c2m232coaa "pontos-magicos-4")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_4")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_4.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_4.pdf}
\newpage
% «pontos-magicos-8» (to ".pontos-magicos-8")
% (c2m232coap 9 "pontos-magicos-8")
% (c2m232coaa "pontos-magicos-8")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_8")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_8.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_8.pdf}
\newpage
% «algumas-contas» (to ".algumas-contas")
% (c2m232coap 10 "algumas-contas")
% (c2m232coaa "algumas-contas")
{\bf Algumas contas}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
$$\begin{array}[t]{rcl}
\sqrt {1 + \P{\frac{b}{a}}^2}
&=& \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \\
&=& \sqrt{\frac{a^2}{a^2} + \frac{b^2}{a^2}} \\
&=& \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}} \\
&=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2}\,\sqrt{\frac{1}{a^2}} \\
&=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2}\,\frac{1}{a} \\
\end{array}
\quad
\begin{array}[t]{rcl}
\sqrt {1 + (\frac{b}{a})^2} \; a
&=& \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \; a \\
&=& \sqrt{\frac{a^2}{a^2} + \frac{b^2}{a^2}} \; a \\
&=& \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}} \; a \\
&=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2}\,\sqrt{\frac{1}{a^2}} \; a \\
&=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2}\,\frac{1}{a} \, a \\
&=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2} \\
\end{array}
$$
%
$$\def\a{x_0}
\def\b{x_1}
\def\c{y_0}
\def\d{y_1}
\def\ba{\b-\a}
\def\dc{\d-\c}
\def\pba{(\ba)}
\def\pdc{(\dc)}
\begin{array}{rcl}
\sqrt{1 + \P{\frac{\dc}{\ba}}^2} \; \pba &=& \sqrt{\pba^2 + \pdc^2} \\ \\[-11pt]
\sqrt{1 + f'(m_1)^2} \; \pba &=& \sqrt{\pba^2 + \pdc^2} \\
\end{array}
$$
\bsk
Compare com:
\par \Ca{StewPtCap8p6} (p.489)
\par \Ca{MirandaP302}
\par \Ca{Leit6p19} (p.390)
}\anothercol{
}}
\newpage
% «pescs-defs» (to ".pescs-defs")
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(7,4))
%L spec0 = [[ (0,1)--(2,1)--(4,3)--(5,3)--(6,1)--(7,1) ]]
%L spec1a = [[ (2,0)c (4,0)c (5,0)c (6,0)c ]]
%L spec1b = [[ (2,0)c (3,0)c (4,0)c (5,0)c (6,0)c ]]
%L spec2a = [[ (2.2,1.2)c (4.4,3)c (5.5,2)c ]]
%L spec2b = [[ (2.2,1.2)c (3.3,2.3)c (4.4,3)c (5.5,2)c ]]
%L pws = PwSpec.from(spec0)
%L pws:topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("dirichlet 1"):output()
%L p0 = Pict { PwSpec.from(spec0) :topict(),
%L }:prethickness("1.5pt"):predotdims(0.4,0.3)
%L pA = Pict { PwSpec.from(spec0) :topict(),
%L PwSpec.from(spec1a):topict():Color("Red"),
%L PwSpec.from(spec2a):topict():Color("Orange"),
%L }:prethickness("1.5pt"):predotdims(0.4,0.3)
%L pB = Pict { PwSpec.from(spec0) :topict(),
%L PwSpec.from(spec1b):topict():Color("Red"),
%L PwSpec.from(spec2b):topict():Color("Orange"),
%L }:prethickness("1.5pt"):predotdims(0.4,0.3)
%L p0:pgat("pgatc"):sa("fig 0"):output()
%L pA:pgat("pgatc"):sa("fig A"):output()
%L pB:pgat("pgatc"):sa("fig B"):output()
\pu
\def\tabelaA{
\begin{array}{ccccc}
i & a_i & b_i & I_i & m_i \\\hline
1 & 2 & 4 & [2,4] & 2.2 \\
2 & 4 & 5 & [4,5] & 4.4 \\
3 & 5 & 6 & [5,6] & 5.5 \\
\end{array}
}
\def\tabelaB{
\begin{array}{ccccc}
i & a_i & b_i & I_i & m_i \\\hline
1 & 2 & 3 & [2,3] & 2.2 \\
2 & 3 & 4 & [3,4] & 3.3 \\
3 & 4 & 5 & [4,5] & 4.4 \\
4 & 5 & 6 & [5,6] & 5.5 \\
\end{array}
}
\unitlength=15pt
\newpage
% «pescs» (to ".pescs")
% (c2m232coap 11 "pescs")
% (c2m232coaa "pescs")
{\bf Somas de Riemann com pontos escolhidos}
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Uma {\sl partição pontilhada}, ou uma {\sl partição com pontos
escolhidos}, é um par $(P,Q)$ onde: $P$ é uma partição de um
intervalo $[a,b]$ com $N$ subintervalos e $Q=(m_1,\ldots,m_N)$,
$∀i∈\{1,\ldots,N\}.m_i∈[a_i,b_i]$.
\msk
Se $(P,Q)$ é uma partição pontilhada, então:
%
$$\int_{P,Q} f(x) \, dx \;=\; \sum_{i=1}^N f(m_i)(b_i-a_i)
$$
Cada um dos livros que estamos usando define isso de um jeito
ligeiramente diferente. Se você tiver tempo e curiosidade dê uma
olhada nestas páginas:
\msk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "337" "pontos amostrais arbitrários")
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) pontos amostrais
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "324" "ponto escolhido")
\par \Ca{Leit5p41} (p.324) ponto escolhido
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "213" "marcas")
\par \Ca{MirandaP213} marcas
\bsk
{\bf Exercício}
As figuras da direita definem uma função $f(x)$ e duas partições
pontilhadas do intervalo $[2,6]$; vou chamá-las de ``partição
pontilhada da esquerda'' (``p.p.esq.'') e ``partição pontilhada da
direita'' (``p.p.dir.''). Na p.p.esq.\ nós temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
\int_{P,Q} f(x)\,dx &=& 1.2·(4-2) \\[-1pt]
&+& 3.0·(5-4) \\
&+& 2.0·(6-5) \\
\end{array}
$$
Seja $g(x) = \sqrt{1+f'(x)^2}$.
a) Quanto é $\int_{P,Q} f(x)\,dx$ na p.p.dir.?
b) Faça o gráfico de $f'(x)$.
c) Faça o gráfico de $g(x)$.
% (c2m232srp 14 "particoes")
% (c2m232sra "particoes")
}\anothercol{
\vspace*{0pt}
$$f(x) \;=\; \ga{fig 0}
$$
$$\begin{array}[t]{l}
\ga{fig A} \\
P=\{2,4,5,6\} \\
Q=(2.2,4.4,5.5) \\
\tabelaA \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}[t]{l}
\ga{fig B} \\
P=\{2,3,4,5,6\} \\
Q=(2.2,3.3,4.4,5.5) \\
\tabelaB \\
\end{array}
$$
\bsk
{\bf Exercício (cont.)}
d) Quanto é $\int_{P,Q} g(x)\,dx$ na p.p.esq.?
e) Quanto é $\int_{P,Q} g(x)\,dx$ na p.p.dir.?
f) Quanto é $\Intx{2}{6}{\sqrt{1+f'(x)^2}}$?
g) Quanto é $\sum_{i=1}^{N} \sqrt{(b_i-a_i)^2+(f(b_i)-f(a_i))^2}$ na p.p.esq.?
h) Quanto é $\sum_{i=1}^{N} \sqrt{(b_i-a_i)^2+(f(b_i)-f(a_i))^2}$ na p.p.dir.?
}}
\newpage
% «pontos-magicos-rev» (to ".pontos-magicos-rev")
% (c2m232coap 12 "pontos-magicos-rev")
% (c2m232coaa "pontos-magicos-rev")
{\bf Revisão de pontos mágicos}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Lembre que:
$$f(x) \;=\; \ga{fig 0}
$$
$$\begin{array}[t]{l}
\ga{fig A} \\
P=\{2,4,5,6\} \\
Q=(2.2,4.4,5.5) \\
\tabelaA \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}[t]{l}
\ga{fig B} \\
P=\{2,3,4,5,6\} \\
Q=(2.2,3.3,4.4,5.5) \\
\tabelaB \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
{\bf Exercício}
Vou definir $M(a,b)$ desta forma:
%
$$M(a,b) \;=\; \setofst{x∈[a,b]}{f'(x) = \textstyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$$
Considere que a igualdade $f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ retorna
``falso'' nos pontos em que $f(x)$ não é derivável.
\msk
Diga quem são os conjuntos abaixo.
a) $M(0,2)$
b) $M(2,4)$
c) $M(0,4)$
d) $M(2,6)$
e) $M(2,7)$
\bsk
\bsk
\bsk
Obs: compare:
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "257" "4.2 O Teorema do Valor Médio")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "410" "O Teorema do Valor Médio para Integrais")
\par \Ca{StewPtCap4p14} (p.257) 4.2 O TVM
\par \Ca{StewPtCap6p33} (p.410) O TVM para Integrais
}}
\newpage
% «tres-tipos» (to ".tres-tipos")
% (c2m232coap 13 "tres-tipos")
% (c2m232coaa "tres-tipos")
{\bf Três tipos de pontos mágicos}
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(5,5))
%L specf = [[ (0,1)--(1,1)--(2,3)--(3,4)--(4,4)--(5,4) ]]
%L specg = [[ (0,1)--(1,1)--(4,4)--(5,4) ]]
%L PwSpec.from(specf):topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("dois tipos f"):output()
%L PwSpec.from(specg):topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("dois tipos g"):output()
\pu
\vspace*{1cm}
$% (find-latexscan-links "C2" "dois_tipos_f")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/dois_tipos_f.pdf")
\includegraphics[height=4.5cm]{2023-2-C2/dois_tipos_f.pdf}
\quad
% (find-latexscan-links "C2" "dois_tipos_g")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/dois_tipos_g.pdf")
\includegraphics[height=4.5cm]{2023-2-C2/dois_tipos_g.pdf}
%\ga{dois tipos f}
%\ga{dois tipos g}
$
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in mis*.png; do echo convert $i $(basename $i .png).pdf; done
for i in mis*.png; do convert $i $(basename $i .png).pdf; done
for i in dois_tipos*.png; do echo convert $i $(basename $i .png).pdf; done
for i in dois_tipos*.png; do convert $i $(basename $i .png).pdf; done
laf mis*
cp -v mis* ~/LATEX/2023-2-C2/
laf dois_tipos*
cp -v dois_tipos* ~/LATEX/2023-2-C2/
% (find-latexscan-links "C2" "mis_1")
% (find-latexscan-links "C2" "dois_tipos_f")
% (find-latexscan-links "C2" "dois_tipos_g")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2023.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-comprimento-de-arco veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-comprimento-de-arco pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2coa"
% ee-tla: "c2m232coa"
% End: