% (find-LATEX "2023-2-C2-somas-de-riemann.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C2-somas-de-riemann.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C2-somas-de-riemann.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-somas-de-riemann.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-1-C2-somas-de-riemann.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C2-somas-de-riemann"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2023-2-C2-somas-de-riemann")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf
%               file:///tmp/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf
%           file:///tmp/pen/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2-somas-de-riemann.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise1")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C2-somas-de-riemann" "C2" "c2m232sr" "c2sr")

% «.defs»			(to "defs")
% «.defs-T-and-B»		(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»		(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»		(to "defs-pict2e")
% «.title»			(to "title")
% «.links»			(to "links")
% «.descontinuidades»		(to "descontinuidades")
% «.descontinuidades-2»		(to "descontinuidades-2")
% «.descontinuidades-4»		(to "descontinuidades-4")
% «.descontinuidades-8»		(to "descontinuidades-8")
% «.descontinuidades-16»	(to "descontinuidades-16")
% «.descontinuidades-32»	(to "descontinuidades-32")
% «.descontinuidades-64»	(to "descontinuidades-64")
% «.descontinuidades-128»	(to "descontinuidades-128")
% «.montanhas»			(to "montanhas")
% «.montanhas-figs»		(to "montanhas-figs")
% «.miranda-sup-inf»		(to "miranda-sup-inf")
% «.particoes»			(to "particoes")
% «.def-particao»		(to "def-particao")
% «.particoes-exercs»		(to "particoes-exercs")
% «.dica-simplificacao»		(to "dica-simplificacao")
% «.aviso»			(to "aviso")
% «.aviso-2»			(to "aviso-2")
% «.um-jogo»			(to "um-jogo")
% «.um-jogo-2»			(to "um-jogo-2")
% «.imagens-figuras»		(to "imagens-figuras")
% «.imagens-de-intervalos»	(to "imagens-de-intervalos")
% «.imagens-exercicio»		(to "imagens-exercicio")
% «.imagens-exercicio-grid»	(to "imagens-exercicio-grid")
% «.def-inf-e-sup»		(to "def-inf-e-sup")
% «.descontinua»		(to "descontinua")
% «.para-todo-e-existe»		(to "para-todo-e-existe")
% «.visualizando-fas-e-exs»	(to "visualizando-fas-e-exs")
% «.acima-e-abaixo»		(to "acima-e-abaixo")
% «.algumas-somas»		(to "algumas-somas")
% «.instrucoes-des-defs»	(to "instrucoes-des-defs")
% «.instrucoes-des-1»		(to "instrucoes-des-1")
% «.instrucoes-des-2»		(to "instrucoes-des-2")
% «.instrucoes-des-ex»		(to "instrucoes-des-ex")
% «.instrucoes-des-grid»	(to "instrucoes-des-grid")
% «.instrucoes-des-ex-2»	(to "instrucoes-des-ex-2")
% «.def-integral»		(to "def-integral")
% «.into-e-intu»		(to "into-e-intu")
% «.dirichlet»			(to "dirichlet")
%
% «.djvuize»			(to "djvuize")



% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links     "c2m232sr" "2023-2-C2-somas-de-riemann")
% (code-eevvideo      "c2m232sr" "2023-2-C2-somas-de-riemann")
% (code-eevlinksvideo "c2m232sr" "2023-2-C2-somas-de-riemann")
% (find-c2m232srvideo "0:00")

\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima}              % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L V = nil                           -- (find-angg "LUA/Pict2e1.lua" "MiniV")
%L dofile "Piecewise1.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

\def\Rext{\overline{\R}}
\def\V{\mathbf{V}}
\def\F{\mathbf{F}}

\def\into{\overline ∫}
\def\intu{\underline∫}
\def\intou{\overline{\underline∫}}
\def\INTx#1#2#3#4{#1_{x=#2}^{x=#3} #4 \, dx}
\def\INTP  #1#2#3{#1_{#2}          #3 \, dx}

\def\mname#1{\ensuremath{[\text{#1}]}}
\def\minf{\mname{inf}}
\def\msup{\mname{sup}}
\def\sse {\text{sse}}

\def\sumiN#1{\sum_{i=1}^N #1 (b_i-a_i)}

\sa{into_P     f(x) dx}{\INTP{\into} {P}{f(x)}}
\sa{intu_P     f(x) dx}{\INTP{\intu} {P}{f(x)}}
\sa{intou_P    f(x) dx}{\INTP{\intou}{P}{f(x)}}
\sa{into_Q     f(x) dx}{\INTP{\into} {Q}{f(x)}}
\sa{intu_Q     f(x) dx}{\INTP{\intu} {Q}{f(x)}}
\sa{intou_Q    f(x) dx}{\INTP{\intou}{Q}{f(x)}}
\sa{into_ab2k  f(x) dx}{\INTP{\into} {[a,b]_{2^k}}{f(x)}}
\sa{intu_ab2k  f(x) dx}{\INTP{\intu} {[a,b]_{2^k}}{f(x)}}
\sa{intou_ab2k f(x) dx}{\INTP{\intou}{[a,b]_{2^k}}{f(x)}}
\sa{into_xab   f(x) dx}{\INTx{\into} {a}{b}{f(x)}}
\sa{intu_xab   f(x) dx}{\INTx{\intu} {a}{b}{f(x)}}
\sa{intou_xab  f(x) dx}{\INTx{\intou}{a}{b}{f(x)}}
\sa{int_xab    f(x) dx}{\INTx{\int}  {a}{b}{f(x)}}

% (find-LATEX "2022-1-C2-infs-e-sups.tex" "defs")
\def\Intover     #1#2{\overline {∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intunder    #1#2{\underline{∫}_{#1}#2\,dx}
\def\Intoverunder#1#2{\Intover{#1}{#2} - \Intunder{#1}{#2}}
\def\Intxover     #1#2#3{\overline {∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intxunder    #1#2#3{\underline{∫}_{x=#1}^{x=#2}#3\,dx}
\def\Intoverunder   #1#2{\overline{\underline{∫}}_{#1}      #2\,dx}
\def\Intxoverunder#1#2#3{\overline{\underline{∫}}_{x=#1}^{x=#2} #3\,dx}
\def\IntPoverunder  #1#2{\overline{\underline{∫}}_{#1} #2\,dx}



\pu



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m232srp 1 "title")
% (c2m232sra   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2023.2}

\bsk

Aulas 13 até 16: Somas de Riemann

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m232srp 2 "links")
% (c2m232sra   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

% (c2m221tfc1p 34 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1a    "descontinuidades")
\par Umas figuras (minhas) que mostram como
\par definir a integral como dois limites:
\par \Ca{2eT95} A integral como limite
% \par \Ca{2fT91} Algumas definições: partição, inf e sup, integral

\ssk

\par Alguns slides da introdução ao curso:
\par \Ca{2hT11} Atirei o pau no gato - tempo infinito
\par \Ca{2hT12} Imagens de intervalos

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 329" "somas superiores")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 331" "pontos amostrais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 337" "pontos amostrais arbitrários")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 337" "Definição de integral definida")
\par Stewart:
\par \Ca{StewPtCap5p8} (p.329) somas superiores e inferiores
\par \Ca{StewPtCap5p10} (p.331) pontos amostrais
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) definição da integral definida

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "213" "marcas")
\par Miranda:
\par \Ca{Miranda207} 7.1 Áreas e somas de Riemann
\par \Ca{Miranda212} 7.2 Integral definida
\par \Ca{Miranda213} marcas
\par \Ca{Miranda217} 7.3. Definição 3: Soma superior e inferior

\ssk

\par Leithold:
\par \Ca{Leit5p35} (p.318) Figura 3
\par \Ca{Leit5p36} (p.319) Figura 4
\par \Ca{Leit5p41} (p.324) 5.5. A integral definida

\ssk

\par Livro de Análise do Ross:
\par \Ca{RossAp16} (p.269) The Riemann Integral

\msk


}\anothercol{

Quadros de 2023.2:
\par \Ca{2hQ39} Quadros da aula 13 (25/set/2023)

\msk

\par Vou (re)usar muito material destes PDFzinhos:
\par \Ca{2fT60} 2022.2, aulas 13, 14 e 16: Somas de Riemann
\par \Ca{2fT89} 2022.2, aula 19, 14 e 16: o TFC1 e o TFC2
\par \Ca{2eT39} 2022.1, aula 15: infs e sups

\msk

Quadros de 2023.1:
\par \Ca{2gQ32} Quadros da aula 15 (23/maio/2023)
\par \Ca{2gQ34} Quadros da Aula 16 (26/maio/2023)
\par \Ca{2gQ37} Quadros da Aula 18 (02/junho/2023)
\par \Ca{2gQ39} Quadros da Aula 19 (06/junho/2023)

}}


\newpage

% «descontinuidades»  (to ".descontinuidades")
% (c2m232srp 3 "descontinuidades")
% (c2m232sra   "descontinuidades")
% (c2m221tfc1p 34 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1a    "descontinuidades")

{\bf Spoiler: descontinuidades}

% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "PwFunction-tests")
% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "PwFunction-tests" "f_parabola_complicada")

%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(8,5))
%L f_parabola_preferida = function (x)
%L     return 4 - (x-2)^2
%L   end
%L f_parabola_complicada = function (x)
%L     if x <= 4 then return f_parabola_preferida(x) end
%L     if x <  5 then return 5 - x end
%L     if x <  6 then return 7 - x end
%L     if x <  7 then return 3 end
%L     if x == 7 then return 4 end
%L     return 0.5
%L   end
%L pwf = PwFunction.from(f_parabola_complicada, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L pwf:pw(0, 8):pgat("pgatc"):sa("Parabola complicada"):output()
%L
%L f_parabola_complicada_2 = function (x)
%L     if x <= 4 then return f_parabola_preferida(x) end
%L     if x <  5 then return 5 - x end
%L     if x <  6 then return 7 - x end
%L     if x <  7 then return 3 end
%L     if x == 7 then return 5 end
%L     return 0.5
%L   end
%L pwf = PwFunction.from(f_parabola_complicada_2, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L pwf:pw(0, 8):pgat("pgatc"):sa("Parabola complicada 2"):output()
%L
\pu


\scalebox{0.65}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{

Digamos que $f:[a,b]→\R$ é uma função qualquer.

Vamos definir o conjunto dos pontos de descontinuidade da $f$,

ou, pra abreviar, o ``conjunto das descontinuidades da $f$'', assim:
%
$$\mathsf{desc}(f) \;\; = \;\;
  \setofst{x∈[a,b]}{f \text{ é descontinua em $x$}}
$$

A expressão ``$f$ tem um número finito de pontos de descontinuidade'',

que eu vou abreviar pra ``$f$ tem finitas descontinuidades'' apesar

disso soar bem estranho em português, vai querer dizer:
%
$$\mathsf{desc}(f) \text{\;\;é um conjunto finito}$$

O conjunto vazio é finito, então toda $f$ contínua ``tem finitas

descontinuidades''. Essa função aqui tem finitas descontinuidades:
%
$$\unitlength=7.5pt
  \ga{Parabola complicada}
$$


A função de Dirichlet, que nós vimos aqui,
% (c2m211somas2p 46 "dirichlet")
% (c2m211somas2a    "dirichlet")
\par \Ca{2dT104} (2021.2) A função de Dirichlet
\par tem infinitas descontinuidades.


%}\anothercol{
}}


\newpage

% «descontinuidades-2»  (to ".descontinuidades-2")
% (c2m232srp 4 "descontinuidades-2")
% (c2m232sra   "descontinuidades-2")
% (c2m221tfc1p 35 "descontinuidades-2")
% (c2m221tfc1a    "descontinuidades-2")
% No semestre passado esta figura foi um exercício:
%   (c2m211somas2p 45 "exercicio-18")
%   (c2m211somas2a    "exercicio-18")


{\bf Spoiler: descontinuidades (2)}

%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(8,5))
%L rie  = Riemann.fromf(f_parabola_complicada,   seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L rie2 = Riemann.fromf(f_parabola_complicada_2, seqn(0, 4, 32), seq(4, 8))
%L rie :setab(0, 7.5)
%L rie2:setab(0, 7.5)
%L parabola_complicada_inf_sup_def = function (n, name) 
%L     local p = PictList {
%L       -- rie:areainfsup(n):Color("Orange"),
%L       -- rie:areasup(n):Color("Orange"),
%L       -- rie:areasup(n):color("orange!50!yellow"),
%L       rie:areasup(n):color("orange!75!white"),
%L       rie:areainf(n):Color("Red"),
%L       rie.pwf:pw(0, 8)
%L     }
%L     p:pgat("pgatc"):sa(name):output()
%L   end
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def = function (n, name) 
%L     local p = PictList {
%L       -- rie2:areainfsup(n):Color("Orange"),
%L       -- rie2:areasup(n):Color("Orange"),
%L       -- rie2:areasup(n):color("orange!50!yellow"),
%L       rie2:areasup(n):color("orange!75!white"),
%L       rie2:areainf(n):Color("Red"),
%L       rie2.pwf:pw(0, 8)
%L     }
%L     p:pgat("pgatc"):sa(name):output()
%L   end
%L parabola_complicada_inf_sup_def( 4, "Parabola complicada diff 4")
%L parabola_complicada_inf_sup_def( 8, "Parabola complicada diff 8")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(16, "Parabola complicada diff 16")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(32, "Parabola complicada diff 32")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(64, "Parabola complicada diff 64")
%L parabola_complicada_inf_sup_def(128, "Parabola complicada diff 128")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def( 4, "Parabola complicada 2 diff 4")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def( 8, "Parabola complicada 2 diff 8")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(16, "Parabola complicada 2 diff 16")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(32, "Parabola complicada 2 diff 32")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(64, "Parabola complicada 2 diff 64")
%L parabola_complicada_2_inf_sup_def(128, "Parabola complicada 2 diff 128")
\pu

\unitlength=10pt

Sejam
%
$$f(x) \;=\; \ga{Parabola complicada}
  \quad
  \text{e}
  \quad
  g(x) \;=\; \ga{Parabola complicada 2}
  \; .
$$

  

As figuras dos próximos slides mostram
%
$$\IntPoverunder{[0,7.5]_{2^k}}{f(x)}
  \quad
  \text{e}
  \quad
  \IntPoverunder{[0,7.5]_{2^k}}{g(x)}
$$

para vários valores de $k$. Use-as pra entender porque

``na integral as descontinuidades não importam'' ---

se só tivermos um número finito de descontinuidades.

\unitlength=10pt
\def\paracompn#1{\newpage $$\scalebox{3}{$\ga{Parabola complicada diff #1}$}$$}
\unitlength=20pt
\def\paracompn#1{\newpage $$\scalebox{1.5}{$\ga{Parabola complicada diff #1}$}$$}
\def\paracompn#1{\newpage
  \vspace*{0.4cm}
  $$\scalebox{0.85}{$\ga{Parabola complicada diff #1}$}
    \qquad
    \scalebox{0.85}{$\ga{Parabola complicada 2 diff #1}$}
  $$
}

\newpage

% «descontinuidades-4»  (to ".descontinuidades-4")
% (c2m232srp 5 "descontinuidades-4")
% (c2m232sra   "descontinuidades-4")
\paracompn{4}

\newpage

% «descontinuidades-8»  (to ".descontinuidades-8")
% (c2m232srp 6 "descontinuidades-8")
% (c2m232sra   "descontinuidades-8")
\paracompn{8}

\newpage

% «descontinuidades-16»  (to ".descontinuidades-16")
% (c2m232srp 7 "descontinuidades-16")
% (c2m232sra   "descontinuidades-16")
\paracompn{16}

\newpage

% «descontinuidades-32»  (to ".descontinuidades-32")
% (c2m232srp 8 "descontinuidades-32")
% (c2m232sra   "descontinuidades-32")
\paracompn{32}

\newpage

% «descontinuidades-64»  (to ".descontinuidades-64")
% (c2m232srp 9 "descontinuidades-64")
% (c2m232sra   "descontinuidades-64")
\paracompn{64}

\newpage

% «descontinuidades-128»  (to ".descontinuidades-128")
% (c2m232srp 10 "descontinuidades-128")
% (c2m232sra    "descontinuidades-128")
\paracompn{128}

\newpage

% «montanhas»  (to ".montanhas")
% (c2m232srp 11 "montanhas")
% (c2m232sra    "montanhas")
% (c2m231srp 3 "montanhas")
% (c2m231sra   "montanhas")
% (c2m222srp 8 "exercicio-4")
% (c2m222sra   "exercicio-4")
% (c2m221somas3p 4 "exercicio-1")
% (c2m221somas3a   "exercicio-1")

{\bf Montanhas}

\def\sumo{\sum_{i=1}^{8}}
\def\sumoo#1{\sumo #1 (x_i - x_{i-1})}

\scalebox{0.85}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

Seja $f(x)$ a função da próxima página -- ``as montanhas''.

Você vai receber (pelo menos) uma cópia dessa página.

Faça cada item abaixo em um dos 12 gráficos da $f(x)$.

\msk

Represente graficamente cada um dos somatórios abaixo.

Se você tiver dificuldade com algum desses somatórios

faça ele em vários passos, como nestes slides:

% (c2m222srp 6 "somatorios")
% (c2m222sra   "somatorios")
% (c2m231srp 7 "particoes")
% (c2m231sra   "particoes")
\par \Ca{2fT65} Somatórios
\par \Ca{2gT85} Partições, informalmente

\msk

a) $\sumoo{f(x_i)}$

\ssk

b) $\sumoo{f(x_{i-1})}$

\ssk

c) $\sumoo{\max(f(x_{i-1}), f(x_i))}$

\ssk

d) $\sumoo{\min(f(x_{i-1}), f(x_i))}$

\ssk

e) $\sumoo{f(\frac{x_{i-1} + x_i}{2})}$

\ssk

f) $\sumoo{\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}}$

}\anothercol{
}}


\newpage


%  __  __                   _        _           
% |  \/  | ___  _   _ _ __ | |_ __ _(_)_ __  ___ 
% | |\/| |/ _ \| | | | '_ \| __/ _` | | '_ \/ __|
% | |  | | (_) | |_| | | | | || (_| | | | | \__ \
% |_|  |_|\___/ \__,_|_| |_|\__\__,_|_|_| |_|___/
%                                                
% «montanhas-figs»  (to ".montanhas-figs")
% (c2m232srp 12 "montanhas-figs")
% (c2m232sra    "montanhas-figs")
% (c2m231srp 4 "montanhas-figs")
% (c2m231sra   "montanhas-figs")
% (c2m222srp 9 "mountains")
% (c2m222sra   "mountains")
% (c2m221somas3p 3 "mountains")
% (c2m221somas3a   "mountains")

% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "Xtoxytoy-test2")
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(23,9))
%L spec   = "(0,1)--(5,6)--(7,4)--(11,8)--(15,4)--(17,6)--(23,0)"
%L xs     = {    1,3,    6,     9,  11, 13,   16,19,    21      }
%L labely = -1
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L xtos   = Xtoxytoy.from(pws:fun(), xs)
%L vlines = xtos:topict("v")
%L curve  = pws:topict()
%L labels = PictList {}
%L for i,x in ipairs(xs) do
%L   labels:addputstrat(v(x,labely), "\\cell{x_"..(i-1).."}")
%L end
%L p = PictList { vlines, curve:prethickness("2pt"), labels }
%L p:pgat("pA", "mountain"):output()
\pu

\unitlength=8pt

\vspace*{-0.25cm}
\hspace*{-0.5cm}
$\scalebox{0.55}{$
 \begin{array}{ccccc}
 \mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
 \mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
 \mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
 \mountain && \mountain && \mountain \\[20pt]
 \end{array}
 $}
$

\newpage

%            _                                               
%  _ __ ___ (_)_ __          ___   _ __ ___   __ ___  __     
% | '_ ` _ \| | '_ \        / _ \ | '_ ` _ \ / _` \ \/ /     
% | | | | | | | | | |      |  __/ | | | | | | (_| |>  <      
% |_| |_| |_|_|_| |_|____   \___| |_| |_| |_|\__,_/_/\_\____ 
%                  |_____|                            |_____|
%
% «miranda-sup-inf»  (to ".miranda-sup-inf")
% (c2m232srp 13 "miranda-sup-inf")
% (c2m232sra    "miranda-sup-inf")
% (c2m231srp 5 "montanhas-min-e-max")
% (c2m231sra   "montanhas-min-e-max")
% (c2m222srp 10 "soma-superior-e")
% (c2m222sra    "soma-superior-e")

{\bf Miranda: somas inferiores e superiores}

\scalebox{0.65}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

Nas páginas 217 e 218 o Miranda define as notações $I(f,P)$ e
$S(f,P)$, e lá no meio dessas definições ele define
%
$$\min_{x∈I} f(x)
  \qquad
  \text{e}
  \qquad
  \max_{x∈I} f(x)
$$

usando o truque do ``vire-se'': ele mostra uma figura e o leitor tem
que se virar pra entender o que essas notações querem dizer... veja:

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "soma superior")
% (find-dmirandacalcpage 217   "soma superior e inferior")
% (find-dmirandacalcpage 218   "min_")
\Ca{Miranda217} (Definição 3)

\bsk

{\bf Mais itens pra fazer na figura das montanhas}

a) Entenda o que essas notações do Miranda querem dizer

e verifique que na figura das montanhas temos:
%
$$\def\lneqq{<}
  %
  \begin{array}{ccccc}
   && \D \max(f(x_1),f(x_2))
     &\lneqq& \D \max_{x∈[x_1,x_2]}f(x) \\
   \D     \min_{x∈[x_2,x_3]}f(x)
     &\lneqq& \min(f(x_2),f(x_3)) \\
  \end{array}
$$

e depois represente nas montanhas:

\ssk

b) $\sumoo{(\max_{x∈[x_{i-1},x_i]} f(x))}$

\ssk

c) $\sumoo{(\min_{x∈[x_{i-1},x_i]} f(x))}$

}\anothercol{
}}



\newpage

% «particoes»  (to ".particoes")
% (c2m232srp 14 "particoes")
% (c2m232sra    "particoes")
% (c2m232srp 7 "particoes")
% (c2m232sra   "particoes")
% (c2m231srp 7 "particoes")
% (c2m231sra   "particoes")
% (c2m212somas1p 9 "particoes")
% (c2m212somas1a   "particoes")

{\bf Partições, informalmente}

\scalebox{0.44}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{

Informalmente uma partição de um intervalo $[a,b]$ é um modo de
decompor $[a,b]$ em intervalos menores consecutivos. Por exemplo,
%
$$[2,7] = [2,3.5]∪[3.5,4]∪[4,6]∪[6,7]$$

A definição ``certa'' é mais complicada... vamos vê-la daqui a pouco.
O caso geral da igualdade acima é:
%
$$[a,b] = [a_1,b_1]∪[a_2,b_2]∪\ldots∪[a_N,b_N],$$

onde:

$N$ é o número de intervalos,

$a=a_1$, $b=b_N$, (``extremidades'')

$a_i<b_i$ para todo $i$ em que isto faz sentido ($i=1,\ldots,N$)

$b_i=a_{i+1}$ para todo $i$ e.q.i.f.s.; neste caso, $i=1,\ldots,N-1$

\bsk

Um jeito prático de definir uma partição é usando uma tabela.

Por exemplo, esta tabela
%
$$\begin{array}{cccc}
  i & a_i & b_i & I_i \\\hline
  1 & 2   & 3.5 & [2, 3.5] \\
  2 & 3.5 & 4   & [3.5, 4] \\
  3 & 4   & 6   & [4,   6] \\
  4 & 6   & 7   & [6,   7] \\
  \end{array}
$$

corresponde à partição de $[2,7]$ do início deste slide.

\bsk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "212" "7.2. Integral definida")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "17 324" "5.5. A integral definida")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 331" "pontos amostrais")

Compare com:

\par \Ca{Miranda212} 7.2 Integral definida
\par \Ca{Leit5p41} (p.324) 5.5 A integral definida
\par \Ca{StewPtCap5p8} (p.329) somas superiores e inferiores
\par \Ca{StewPtCap5p10} (p.331) pontos amostrais
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) definição da integral definida

}\anothercol{

Uma definição um pouco melhor de partição é a seguinte.

Digamos que $P$ seja um subconjunto não-vazio e finito de $\R$,

e que o menor elemento de $P$ seja $a$ e o maior seja $b$.

\ColorRed{Então $P$ é uma partição do intervalo $[a,b]$.}

\msk

Exemplo: a partição $P=\{2,3.5,4,6,7\}$ corresponde a:
%
$$[2,7] = [2,3.5]∪[3.5,4]∪[4,6]∪[6,7]$$



Pra fazer a tradução da ``versão conjunto'' pra ``versão tabela''
ponha os elementos de $P$ em ordem e chame-os de $b_0,\ldots,b_N$;
defina cada $a_i$ como sendo $b_{i-1}$ -- por exemplo, $a_1 = b_0$ --
e encontre $a$, $b$, e $N$. Depois que você tem a ``versão tabela'' é
bem fácil obter a ``versão união de intervalos''.

\bsk

Quando dizemos algo como ``Seja $P$ a partição $\{2.5,4,6\}$'' estamos
criando um contexto no qual há uma partição ``default'' definida... e
neste contexto vamos ter valores definidos para $N$, $a$, $b$, e para
cada $a_i$ e $b_i$. Por exemplo...

\msk

Seja $P$ a partição $\{2.5,4,6\}$. Então
%
$$\begin{array}{rcl}
  \sum_{i=1}^N f(b_i)·(b_i-a_i)
     &=& \sum_{i=1}^2 f(b_i)·(b_i-a_i) \\
     &=& f(b_1)·(b_1-a_1) \\
     &+& f(b_2)·(b_2-a_2) \\
     &=& f(4)·(4-2.5) \\
     &+& f(6)·(6-4) \\
  \end{array}
$$


}}


\newpage

% «exercicio-4»  (to ".exercicio-4")
% (c2m212somas1p 10 "exercicio-4")
% (c2m212somas1a    "exercicio-4")
% (c2sop 10 "exercicio-4")
% (c2soa    "exercicio-4")
% (c2m202somas1p 8 "exercicio-4")
% (c2m202somas1    "exercicio-4")

% «exercicio-5»  (to ".exercicio-5")
% (c2m212somas1p 11 "exercicio-5")
% (c2m212somas1a    "exercicio-5")
% (c2m202somas1p 9 "exercicio-5")
% (c2m202somas1    "exercicio-5")

% «ponto-decimal»  (to ".ponto-decimal")
% Ah, obs, repara que eu vou usar a convencao internacional e vou
% sempre escrever "1.5" ao inves de "1,5" - e recomendo que voces usem
% ela tambem pra gente poder usar a virgula pra outras coisas. Por
% exemplo, na pagina 9 temos P = {2, 3.5, 4, 6, 7}, e se a gente
% escrever "3,5" ao inves de "3.5" vamos ter que usar ";"s como
% separadores entres os numeros...

% «partition-sum»  (to ".partition-sum")
% (c2m211somas1p 12 "partition-sum")
% (c2m211somas1a    "partition-sum")

% «subst»  (to ".subst")
% (c2m202somas1p 11 "subst")
% (c2m202somas1     "subst")


\newpage

%  ____        __                    _   _                 
% |  _ \  ___ / _|  _ __   __ _ _ __| |_(_) ___ __ _  ___  
% | | | |/ _ \ |_  | '_ \ / _` | '__| __| |/ __/ _` |/ _ \ 
% | |_| |  __/  _| | |_) | (_| | |  | |_| | (_| (_| | (_) |
% |____/ \___|_|   | .__/ \__,_|_|   \__|_|\___\__,_|\___/ 
%                  |_|                                     
%
% «def-particao»  (to ".def-particao")
% (c2m232srp 15 "def-particao")
% (c2m232sra    "def-particao")
% (c2m231srp 7 "def-particao")
% (c2m231sra   "def-particao")
% (c2m222tfcsp 3 "def-particao")
% (c2m222tfcsa   "def-particao")

{\bf A definição de partição}

\scalebox{0.85}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

Se $P$ é um subconjunto \ColorRed{finito} e \ColorRed{não-vazio} de $\R$,

então podemos interpretar $P$ como uma partição...

Por exemplo, se $P=\{200,20,42,99,63,33,20,20\}$

então $P=\{20,33,42,63,99,200\}$, e aí vamos interpretar

esse conjunto de 6 pontos -- ordenados em ordem crescente --

como uma partição do intervalo $I = [a,b] = [20,200]$ em

5 subintervalos (``$N=5$''), assim:

$$\begin{array}{ccccccl}
  20 & 33 & 42 & 63 & 99 & 200 \\
  x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 \\
  a_1 & b_1 &     &     &     &     & I_1=[a_1,b_1] \\
      & a_2 & b_2 &     &     &     & I_2=[a_2,b_2] \\
      &     & a_3 & b_3 &     &     & I_3=[a_3,b_3] \\
      &     &     & a_4 & b_4 &     & I_4=[a_4,b_4] \\
      &     &     &     & a_5 & b_5 & I_5=[a_5,b_5] \\
   a  &     &     &     &     &  b  & I  = [a,b] = [x_0,x_N]\\
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}


\newpage

% «particoes-exercs»  (to ".particoes-exercs")
% (c2m232srp 16 "particoes-exercs")
% (c2m232sra    "particoes-exercs")
% (c2m231srp 11 "particoes-exercs")
% (c2m231sra    "particoes-exercs")
% (c2m212somas1p 9 "particoes")
% (c2m212somas1a   "particoes")

{\bf Exercícios sobre partições}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

a) Converta esta ``partição''
%
$$[4,12] = [4,5]∪[5,6]∪[6,9]∪[9,10]∪[10,12]$$

para uma tabela. Neste caso quem são $a$, $b$ e $N$?

\bsk

b) Seja $P=\{2.5,3,4,6,10\}$.

Converta $P$ para o ``formato tabela'' e para o

``formato união de subintervalos'', que é este aqui:
%
$$[a,b] = [a_1,b_1]∪\ldots∪[a_N,b_N].$$


\msk

c) Seja $P=\{4,2,1,1.5\}$.

Interprete $P$ como uma partição. Diga quem são o $N$,

o $a$ e o $b$ dela e monte a tabela dos subintervalos dela.

\msk

d) Seja $P=[2,4]_6$.

Diga quem são os pontos da partição $P$.

\msk

e) Seja $P=[2,5]_{2^3}$.

Diga quem são os pontos da partição $P$.

}\anothercol{

% «dica-simplificacao»  (to ".dica-simplificacao")
% (c2m232srp 16 "dica-simplificacao")
% (c2m232sra    "dica-simplificacao")
% (c2m231srp 12 "dica-simplificacao")
% (c2m231sra    "dica-simplificacao")
% (c2m211somas1p 16 "exercicio-9-dicas")
% (c2m211somas1a    "exercicio-9-dicas")

{\bf Uma dica sobre simplificação}

No Ensino Médio às vezes convencem a gente de que uma fração como
$\frac64$
%
% \ColorRed{\underline{\underline{tem}}}
\standout{tem}
%
que ser simplificada pra $\frac32$, mas se a gente tem que listar uma
sequência de números começando em 0 em que cada número novo é o
anterior mais $\frac14$ eu acho bem melhor escrever essa sequência
como
%
$$\frac04, \frac14, \frac24, \frac34, \frac44, \frac54, \frac64, \ldots$$
%
do que como:
%
$$0, \frac14, \frac12, \frac34, 1, \frac54, \frac32, \ldots$$

\bsk

Lembre destes trechos da Dica 7: \Ca{2gT4}

\ssk
% (c2m231introp 3 "releia-a-dica-7")
% (c2m231introa   "releia-a-dica-7")

``Uma solução bem escrita é fácil de ler e fácil de verificar'', e
``Se as outras pessoas acharem que ler a sua solução é um sofrimento,
isso é mau sinal; se as outras pessoas acharem que a sua solução está
claríssima e que elas devem estudar com você, isso é bom sinal''.

}}



\newpage

% «aviso»  (to ".aviso")
% (c2m232srp 17 "aviso")
% (c2m232sra    "aviso")
% (c2m231srp 6 "aviso")
% (c2m231sra   "aviso")

{\bf Aviso}

\scalebox{0.72}{\def\colwidth{7.5cm}\firstcol{

As próximas páginas têm definições precisas de:
partição, inf e sup, $\minf$ e $\msup$, integral definida,
e um monte de definições intermediárias que a
gente vai precisar pra entender as definições
mais importantes...

\msk

{\sl O objetivo desta parte do curso é fazer vocês aprenderem um monte
  de \standout{técnicas} pra entenderem definições complicadas
  ``visualizando o que elas querem dizer''. Estas técnicas vão ser uma
  das partes do curso que vão ser mais úteis pras matérias seguintes.

  % mas esses assuntos vão valer bem poucos pontos na prova.

}

\msk

Aparentemente cada um dos exercícios deste PDF tem um monte de
``dicas'' de como fazê-lo. A gente normalmente imagina que essas dicas
sejam só sugestões de um modo de chegar até o resultado final, mas
aqui não é bem assim...

}\anothercol{

% (c2m231introp 21 "aulas-expositivas")
% (c2m231introa    "aulas-expositivas")

Lembre que neste slide daqui, da ``Introdução ao curso'',

\ssk

\Ca{2hT22} Sobre aulas expositivas

\ssk

eu falei em ``músculos mentais diferentes''. Essa idéia vai valer aqui
também; por exemplo, nos slides sobre o ``Jogo colaborativo'' eu digo
que é pro jogador $P$ escrever as suas jogadas num determinado formato
e pro jogador $O$ escrever as suas respostas num outro formato, e digo
que se o jogador $P$ não entender imediatamente a resposta do jogador
$O$ é porque o jogador $P$ tem que rever certos exercícios básicos de
``set comprehensions''...

\msk

{\sl Escrever as jogadas exatamente nesses formatos vai exercitar uma
  série de músculos mentais bem específicos.}

}\anothercol{
}}


\newpage

% «aviso-2»  (to ".aviso-2")
% (c2m232srp 18 "aviso-2")
% (c2m232sra    "aviso-2")

{\bf Aviso (2)}

\scalebox{0.65}{\def\colwidth{8.5cm}\firstcol{

Quando a gente vê um artista do Cirque de Soleil fazendo um número
de aéreos a gente reconhece imediatamente que ele tem uma
coordenação motora absurda e que ele tá usando um monte de músculos
que a gente nunca usou e um monte de outros músculos que a gente nem
sabia que existiam...

\msk

Quando a gente vê uma pessoa que entende bem -- {\sl e que é capaz de
  explicar claramente} -- cada detalhe de uma definição bizarramente
complicada como essa daqui, que o Stewart fez altos malabarismos pra
ela caber em 9 linhas,

\ssk

\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) % Definição da integral definida

\ssk

é a mesma coisa, só que essa pessoa treinou músculos mentais. {\sl Nos
  exercícios deste PDFzinho a gente vai treinar vários dos músculos
  mentais que essas pessoas mais usam -- e pra isso a gente vai fazer
  devagar e por escrito e com desenhos muitas coisas que elas fazem de
  cabeça.}


% 2gQ32



}\anothercol{

Também dá pra comparar o que a gente vai fazer aqui com a historinha
deste slide:

\ssk

\Ca{2hT11} Atirei o pau no gato

\ssk

Algumas mudanças de nota no Atirei o pau no gato exigem que a gente
levante uns dedos da flauta ao mesmo tempo que a gente abaixa
outros... a gente só consegue aprender isso treinando muitas vezes
muito devagar, e enquanto a gente não treina bastante o som fica
horrível.


}}


\newpage

% «um-jogo»  (to ".um-jogo")
% (c2m232srp 19 "um-jogo")
% (c2m232sra    "um-jogo")
% (c2m231srp 27 "um-jogo")
% (c2m231sra    "um-jogo")
% (c2m221isp 6 "exercicio-2")
% (c2m221isa   "exercicio-2")
% (c2m221isp 10 "exercicio-2-dica")
% (c2m221isa    "exercicio-2-dica")
% (c2m221isp 10 "exercicio-2-dica")
% (c2m221isa    "exercicio-2-dica")

{\bf Um jogo colaborativo}

%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(2,2))
%L spec   = [[ (0,0)--(0,1)--(1,1)--(1,0)--(0,0)--(0,1)
%L          ]]
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L curve  = pws:topict()
%L p = PictList {
%L     [[ \def\closeddot{\circle*{0.4}}% ]],
%L     [[ \def\opendot  {\circle*{0.4}\color{white}\circle*{0.3}}% ]],
%L     Pict2e.region0(v(0,0), v(1,0), v(1,1), v(0,1)):Color("Orange"),
%L     -- curve:prethickness("3pt")
%L  }
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("10pt"):sa("Prop A'"):output()
%L
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(2,2))
%L spec   = [[ (0,0)--(0,1)--(1,1)--(1,0)--(0,0)--(0,1)
%L          ]]
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L curve  = pws:topict()
%L p = PictList {
%L     [[ \def\closeddot{\circle*{0.4}}% ]],
%L     [[ \def\opendot  {\circle*{0.4}\color{white}\circle*{0.3}}% ]],
%L     Pict2e.region0(v(0,0), v(1,0), v(1,1), v(0,1)):Color("Orange"),
%L     curve:prethickness("2pt")
%L  }
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("10pt"):sa("Prop A''"):output()
\pu

\scalebox{0.52}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{

...ou: como debugar representações gráficas.

Pense num jogo colaborativo. Os jogadores se chamam $P$
(``proponente''), e $O$ (``oponente''). O $P$ quer encontrar uma
representação gráfica pro conjunto $A$, e à primeira vista o $O$ quer
mostrar que o $P$ está errado... mas na verdade o objetivo dos dois é
fazer com que o $P$ chegue numa representação gráfica que não tem erro
nenhum.

\msk

Digamos que
%
$$A = \setofxyst{x∈[1,2), \; y∈[1,2)}.$$

O $P$ desenha uma representação gráfica \ColorRed{com um nome
  diferente de $A$} e ``propõe'' ela --- por exemplo, o $P$ diz isso
aqui:
%
\pu
%
$$A' = \ga{Prop A'}$$

O oponente $O$ diz: ``verifica o ponto $(1,1)$''. Os dois verificam o
ponto $(1,1)$ do $A'$ e vêem que o desenho do $A'$ é ambíguo no ponto
$(1,1)$, já que esse é um ponto de fronteira e o $P$ não desenhou ele
nem como linha grossa sólida nem com linha tracejada... então a
resposta pra pergunta ``$(1,1)∈A'$?'' não é nem $\True$ nem $\False$,
é ``erro'', e portanto $A≠A'$, e o $P$ ainda não conseguiu a
representação gráfica certa. O oponente $O$ ganha essa rodada, e o $P$
tem que propôr outra representação gráfica.

}\anothercol{

  Aí o $P$ propõe uma outra representação gráfica, \ColorRed{com um
    outro nome, diferente de $A$ e de $A'$}. Por exemplo, $P$ propõe
  isso aqui:
%
$$A'' = \ga{Prop A''}$$

O oponente $O$ diz: ``verifica o ponto $(0,0)$''. Os dois verificam, e
vêem que:
%
$$(0,0)\not∈A, \quad (0,0)∈A''$$

E portanto $A≠A''$, e o $P$ ainda não conseguiu a representação
gráfica certa. O oponente $O$ ganha mais essa rodada.

\bsk

Quando o $P$ propõe um desenho que o $O$ não consegue mostrar que está
errado o $P$ ganha a rodada.

\bsk

Até vocês terem prática vocês vão jogar como o $P$, vão me mostrar as
representações gráficas de vocês, e eu vou jogar como o $O$. Quando
vocês tiverem mais prática vocês vão conseguir chutar representações
gráficas (como o jogador $P$) e testá-las (fazendo o papel do jogador
$O$ vocês mesmos).

}}


\newpage

% «um-jogo-2»  (to ".um-jogo-2")
% (c2m232srp 20 "um-jogo-2")
% (c2m232sra    "um-jogo-2")
% (c2m221isp 9 "exercicio-2")
% (c2m221isa   "exercicio-2")
% (find-pdf-page "~/2022.1-C2/C2-quadros-manha.pdf" 10)
% (c2m212somas24p 4 "subconjunto-do-plano")
% (c2m212somas24a   "subconjunto-do-plano")

%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-1,-1), v(4,3))
%L spec   = [[ (0,0)--(0,2)--(2,2)
%L             (0.3,0)--(0.75,0) (1.25,0)--(1.7,0)
%L             (2,0.3)--(2,0.75) (2,1.25)--(2,1.7)
%L             (0,0)o (2,0)o (2,2)c (0,2)c
%L          ]]
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L curve  = pws:topict()
%L p = PictList {
%L     [[ \def\closeddot{\circle*{0.4}}% ]],
%L     [[ \def\opendot  {\circle*{0.4}\color{white}\circle*{0.3}}% ]],
%L     Pict2e.region0(v(0,0), v(2,0), v(2,2), v(0,2)):Color("Orange"),
%L     curve:prethickness("3pt")
%L  }
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("20pt"):sa("Exercicio 2 exemplo"):output()
\pu

{\bf Um jogo colaborativo (2)}

\scalebox{0.60}{\def\colwidth{9.5cm}\firstcol{

Represente graficamente os seguintes conjuntos:
%
$$\begin{array}{rcl}
  A &=& \setofxyst{x∈[1,2), \; y∈[1,2)} \\
  B &=& \setofst{(x,2x)}{x∈[1,2)} \\
  C &=& \setofxyst{0≤x \;∧\; x+y<2} \\
  \end{array}
$$

Dica: todos eles vão dar subconjuntos do plano feitos de
infinitos pontos, e você vai ter que adaptar as convenções
que usamos pra desenhar intervalos pra desenhar {\sl regiões}.

\msk

Use bolinhas cheias pra indicar ``este ponto pertence ao
conjunto'', bolinhas ocas pra indicar ``este ponto não
pertence ao conjunto'', linhas grossas contínuas pra
indicar ``esse trecho da fronteira pertence ao conjunto''
e linhas tracejadas pra indicar ``esse trecho da fronteira
não pertence ao conjunto''. Por exemplo:
%
$$\ga{Exercicio 2 exemplo}$$

}\anothercol{

\def\undt#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}
\def\undg  #1{\undt{#1}{gerador}}
\def\undf  #1{\undt{#1}{filtro}}
\def\unde  #1{\undt{#1}{expr}}

Dica: se você não tem nenhuma prática com as duas notações da forma
$\setofst{\ldots}{\ldots}$ -- por exemplo:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \setofst{\undg{a∈\{1,2,3,4\}}}{\undf{a≥3}} &=& \{3,4\} \\
  \setofst{\unde{10a}}{\undg{a∈\{1,2,3,4\}}} &=& \{10,20,30,40\}\\
  \end{array}
$$

então comece fazendo alguns exercícios daqui:
\ssk

% (mpgp 8 "comprehension")
% (mpga   "comprehension")
\Ca{MpgP8} (até a p.12) Set Comprehensions

\ssk

Todos os exercícios dessa parte do MPG dão conjuntos finitos, e os
conjuntos $A$, $B$ e $C$ da coluna da esquerda são infinitos.

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27  15" "círculo cheio")
% \par \Ca{StewPtCap1p10} (p.15) círculos cheios e vazios




}}

\newpage

%  ___                                           __ _           
% |_ _|_ __ ___   __ _  __ _  ___ _ __  ___ _   / _(_) __ _ ___ 
%  | || '_ ` _ \ / _` |/ _` |/ _ \ '_ \/ __(_) | |_| |/ _` / __|
%  | || | | | | | (_| | (_| |  __/ | | \__ \_  |  _| | (_| \__ \
% |___|_| |_| |_|\__,_|\__, |\___|_| |_|___(_) |_| |_|\__, |___/
%                      |___/                          |___/     
%
% «imagens-figuras»  (to ".imagens-figuras")
% (c2m232srp 21 "imagens-figuras")
% (c2m232sra    "imagens-figuras")
% (c2m231srp 13 "imagens-figuras")
% (c2m231sra    "imagens-figuras")
% (c2m221somas3p 5 "imagens-figuras")
% (c2m221somas3a   "imagens-figuras")

% (find-angg "LUA/Piecewise1.lua" "Xtoxytoy-test3")

%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(8,4))
%L 
%L cthick = "2pt"     -- curve
%L dthick = "0.25pt"  -- dots
%L sthick = "4pt"     -- segments
%L 
%L -- Curve:
%L cspec   = "(0,2)--(2,4)--(6,0)--(8,2)"
%L cpws    = PwSpec.from(cspec)
%L curve   = cpws:topict():prethickness(cthick)
%L 
%L -- Segments:
%L sspec = "(1,0)c--(2,0)--(4,0)c" ..
%L        " (1,3)c--(2,4)--(4,2)c" ..
%L        " (0,2)c--(0,4)c"
%L spws   = PwSpec.from(sspec)
%L segs   = spws:topict():prethickness(sthick):Color("Orange")
%L 
%L -- Dots:
%L dotsn = function (nsubsegs)
%L     local xs    = seqn(1, 4, nsubsegs)
%L     local dots0 = Xtoxytoy.from(cpws:fun(), xs)
%L     local dots  = dots0:topict("vhxpy"):prethickness(dthick):Color("Red")
%L     return dots
%L   end
%L 
%L PictList { curve, dotsn(1)  } :pgat("pgatc", "ImageOne")   :output()
%L PictList { curve, dotsn(3)  } :pgat("pgatc", "ImageThree") :output()
%L PictList { curve, dotsn(6)  } :pgat("pgatc", "ImageSix")   :output()
%L PictList { curve, dotsn(12) } :pgat("pgatc", "ImageTwelve"):output()
%L PictList { curve, segs }      :pgat("pgatc", "ImageSegs")  :output()
\pu



\newpage

% «imagens-de-intervalos»  (to ".imagens-de-intervalos")
% (c2m232srp 21 "imagens-de-intervalos")
% (c2m232sra    "imagens-de-intervalos")
% (c2m231srp 13 "imagens-de-intervalos")
% (c2m231sra    "imagens-de-intervalos")
% (c2m221somas3p 6 "imagens-figuras-2")
% (c2m221somas3a   "imagens-figuras-2")

{\bf Imagens de intervalos}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{

{}

Se $f:\R→\R$ então em princípio a expressão $f(\{7,8,9\})$ deveria dar
um erro, porque $f$ é uma função que espera receber um número, e
$\{7,8,9\}$ é um conjunto... mas aí normalmente a gente define que o
comportamento da $f$ quando ela recebe um conjunto vai ser este aqui:
%
$$f(A) \;\;=\;\; \setofst{f(a)}{a∈A}$$

A gente diz que $f(A)$ é \ColorRed{a imagem do conjunto $A$}.

\bsk

Algumas pessoas -- como o Carlos, aqui: \Ca{2gT12} --

acham que isto é sempre verdade:
%
$$f([a,b]) = [f(a),f(b)].$$

\standout{Não seja como o Carlos!!! Seja como o Bob!!!}

\bsk

Nas figuras à direita temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
  f(\{1,4\}) &=& \{f(1),f(4)\} \\
             &=& \{3,2\} \\
             &=& \{2,3\} \\
  f(\{1,2,3,4\}) &=& \{f(1),f(2),f(3),f(4)\} \\
                 &=& \{2,3,4,3\} \\
                 &=& \{2,3,4\} \\
  f([1,4]) &=& [2,4] \\{}
  [f(1),f(4)] &=& [3,2] \\
              &=& \setofst{y∈\R}{3≤y≤2} \\
              &=& ∅ \\
              &≠& f([1,4]) \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

\vspace*{0cm}

$\phantom{mmmm}
 \scalebox{2}{$
  \begin{array}{l}
    {\ImageOne}    \\
    {\ImageThree}  \\
    {\ImageSix}  \\
    {\ImageTwelve} \\
    {\ImageSegs}   \\
  \end{array}
 $}
$

}}



% (c2m222srp 14 "exercicio-7")
% (c2m222sra    "exercicio-7")

\newpage


%  ___                                                               
% |_ _|_ __ ___   __ _  __ _  ___ _ __  ___    _____  _____ _ __ ___ 
%  | || '_ ` _ \ / _` |/ _` |/ _ \ '_ \/ __|  / _ \ \/ / _ \ '__/ __|
%  | || | | | | | (_| | (_| |  __/ | | \__ \ |  __/>  <  __/ | | (__ 
% |___|_| |_| |_|\__,_|\__, |\___|_| |_|___/  \___/_/\_\___|_|  \___|
%                      |___/                                         
%
% «imagens-exercicio»  (to ".imagens-exercicio")
% (c2m232srp 22 "imagens-exercicio")
% (c2m232sra    "imagens-exercicio")
% (c2m231srp 14 "imagens-exercicio")
% (c2m231sra    "imagens-exercicio")
% (c2m221somas3p 7 "exercicio-2")
% (c2m221somas3a   "exercicio-2")
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(8,4))
%L spec   = "(0,2)--(2,4)--(6,0)--(8,2)"
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L curve  = pws:topict()
%L p = PictList { curve:prethickness("1pt") }
%L p:pgat("pgatc", "falsoseno"):output()
\pu

{\bf Imagens de intervalos: exercício}

\scalebox{0.8}{\def\colwidth{6.5cm}\firstcol{

Seja $f(x)$ esta função:

\msk
%
$f(x) = \falsoseno$

\msk

Calcule estas imagens de intervalos:

\msk

\begin{tabular}[t]{l}
a) $f([0,1])$ \\
b) $f([1,2])$ \\
c) $f([0,2])$ \\
d) $f([2,3])$ \\
e) $f([1,3])$ \\
f) $f([0,3])$ \\
g) $f([0,4])$ \\
h) $f([4,8])$ \\
i) $f([0,8])$ \\
j) $f([1,7])$ \\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}[t]{l}
a') $f((0,1))$ \\
b') $f((1,2))$ \\
c') $f((0,2))$ \\
d') $f((2,3))$ \\
e') $f((1,3))$ \\
f') $f((0,3))$ \\
g') $f((0,4))$ \\
h') $f((4,8))$ \\
i') $f((0,8))$ \\
j') $f((1,7))$ \\
\end{tabular}

}\anothercol{

{\bf Dicas:}

\msk

1) Faça os itens (a) até (j) primeiro. Os itens (a') até (j') são bem
mais difíceis, e em alguns deles os resultados vão ser conjuntos
fechados ou ``semi-abertos''.

\msk

2) O Leithold define intervalos

semi-abertos aqui: \Ca{Leit1p7}

\msk

3) Nos casos em que você tiver dificuldade de encontrar o $f(I)$
desenhe num gráfico só:

\msk

a função $f(x)$,

o conjunto $I$ (no eixo $x$),

o conjunto $\setofst{(x,f(x)))}{x∈I}$

\phantom{i} (sobre o gráfico da $f$),

e o conjunto $f(I)$ (no eixo $y$).



% \msk
% 
% Daqui a pouco nós vamos ver um modo de testar as respostas dos itens
% desse exercício, e um modo de resolver ele por chutar e testar... mas
% aguente um pouquinho!


}}

\newpage

% «imagens-exercicio-grid»  (to ".imagens-exercicio-grid")
% (c2m232srp 23 "imagens-exercicio-grid")
% (c2m232sra    "imagens-exercicio-grid")

\vspace*{-0.4cm}
\hspace*{-0.7cm}
$\scalebox{0.69}{$
 \def\linha{
   \falsoseno &&
   \falsoseno &&
   \falsoseno &&
   \falsoseno &&
   \falsoseno &&
   \falsoseno \\[20pt]
 }
 \begin{array}{cccccccccccc}
 \linha
 \linha
 \linha
 \linha
 \linha
 \linha
 \linha
 \end{array}
 $}
$
\vspace*{-1cm}


\newpage

%  ____        __   _        __                          
% |  _ \  ___ / _| (_)_ __  / _|   ___   ___ _   _ _ __  
% | | | |/ _ \ |_  | | '_ \| |_   / _ \ / __| | | | '_ \ 
% | |_| |  __/  _| | | | | |  _| |  __/ \__ \ |_| | |_) |
% |____/ \___|_|   |_|_| |_|_|    \___| |___/\__,_| .__/ 
%                                                 |_|    
% «def-inf-e-sup»  (to ".def-inf-e-sup")
% (c2m232srp 24 "def-inf-e-sup")
% (c2m232sra    "def-inf-e-sup")
% (c2m231srp 9 "def-inf-e-sup")
% (c2m231sra   "def-inf-e-sup")
% (c2m222tfcsp 4 "def-inf-e-sup")
% (c2m222tfcsa   "def-inf-e-sup")
% (c2m221isp 3 "algumas-definicoes")
% (c2m221isa   "algumas-definicoes")

{\bf As definições de inf e sup}

\scalebox{0.9}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

Digamos que $f:\R→\R$ e $B⊂\R$.

Vamos definir $\inf(f(B))$ e $\sup(f(B))$ ---

e também $\inf(D)$ e $\sup(D)$, pra $D⊂\R$ ---

desta forma:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \Rext &=& \R∪\{-∞,+∞\} \\
  C  &=& \setofst{(x,f(x))}{x∈B} \\
  D  &=& \setofst{f(x)}{x∈B} \\
  E &=& \setofst{y∈\R}{∃x∈B.\ f(x)=y} \\
  U &=& \setofst{y∈\Rext}{∀d∈D.\;d≤y} \\
  L &=& \setofst{y∈\Rext}{∀d∈D.\;y≤d} \\
  (α=\sup(D)) &=& α∈U ∧ (∀u∈U.\;α \le u) \\
  (β=\inf(D)) &=& β∈L ∧ (∀ℓ∈L.\;ℓ \le β) \\
  \end{array}
$$

% Com isto podemos definir a integral definida.

% A definição formal dela está na próxima página.

}\anothercol{
}}

\newpage

%  ____                            _   _                   
% |  _ \  ___  ___  ___ ___  _ __ | |_(_)_ __  _   _  __ _ 
% | | | |/ _ \/ __|/ __/ _ \| '_ \| __| | '_ \| | | |/ _` |
% | |_| |  __/\__ \ (_| (_) | | | | |_| | | | | |_| | (_| |
% |____/ \___||___/\___\___/|_| |_|\__|_|_| |_|\__,_|\__,_|
%                                                          
% «descontinua»  (to ".descontinua")
% (c2m232srp 25 "descontinua")
% (c2m232sra    "descontinua")
% (c2m231srp 15 "descontinua")
% (c2m231sra    "descontinua")
% (c2m221isp 12 "exercicio-5")
% (c2m221isa    "exercicio-5")
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(9,7))
%L spec   = "(0,3)--(2,1)o (2,3)c (2,5)o--(7,0)"
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L curve  = pws:topict()
%L p = PictList { curve:prethickness("2pt") }
%L p:addputstrat(v(2.7,5.5), "\\cell{(2,5)}")
%L p:addputstrat(v(7.7,0.5), "\\cell{(7,0)}")
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("17pt"):sa("Exercicio 5"):output()
\pu

{\bf Agora uma função descontínua}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\ssk

Sejam
%
$f(x) = \scalebox{0.7}{$\ga{Exercicio 5}$}$

e $B=[1,3]$.

\bsk

{\bf Exercício}

a) Represente graficamente estes conjuntos ---

as definições deles são as mesmas do slide anterior:
%
$$\begin{array}{rcl}
  % \Rext &=& \R∪\{-∞,+∞\} \\
  C &=& \setofst{(x,f(x))}{x∈B} \\
  D &=& \setofst{f(x)}{x∈B} \\
  E &=& \setofst{y∈\R}{∃x∈B.\ f(x)=y} \\
  U &=& \setofst{y∈\Rext}{∀d∈D.\;d≤y} \\
  L &=& \setofst{y∈\Rext}{∀d∈D.\;y≤d} \\
  % (α=\inf(D)) &=& α∈L ∧ (∀ℓ∈L.\;ℓ \le α) \\
  % (β=\sup(D)) &=& β∈U ∧ (∀u∈U.\;β \le u) \\
  \end{array}
$$

Dica pro $L$ e pro $U$: desenhe
\par o infinito perto, como aqui:
\ssk
\par \Ca{2eT40} Uma figura
% (c2m221isp 2 "uma-figura")
% (c2m221isa   "uma-figura")

}\anothercol{

Lembre que
%
$$\begin{array}{rcl}
  B &=& [1,3] \\
  D &=& f(B) \\
  \end{array}
$$

e que definimos o inf e o sup desta forma:
%
$$\begin{array}{rcl}
  (α=\sup(D)) &=& α∈U ∧ (∀u∈U.\;α \le u) \\
  (β=\inf(D)) &=& β∈L ∧ (∀ℓ∈L.\;ℓ \le β) \\
  \end{array}
$$

Isso é uma definição estranha e indireta... pode ser que a gente
calcule $(42=\inf(D))$ e $(99=\inf(D))$ por ela e os dois dêem
verdadeiro -- se isso acontecer então $\inf(D)$ não vai um número!!!

\bsk

{\bf Exercício (cont.)}

\ssk

Calcule:

\ssk

b) $(6=\sup(D))$

c) $(5=\sup(D))$

d) $(4=\sup(D))$

e) $(2=\sup(D))$

f) $(1=\sup(D))$

g) $(0=\sup(D))$


}}



% (c2m222tfcsp 3 "def-particao")
% (c2m222tfcsa   "def-particao")
% \Ca{2fT91} A definição de partição
% \Ca{2fT93} A definição do $[a,b]_n$
% \Ca{2fT94} Alguns exercícios sobre partições

% 2fT73

\newpage

% «para-todo-e-existe»  (to ".para-todo-e-existe")
% (c2m232srp 26 "para-todo-e-existe")
% (c2m232sra    "para-todo-e-existe")
% (c2m222srp 16 "para-todo-e-existe")
% (c2m222sra    "para-todo-e-existe")
% (c2m212somas2p 14 "para-todo-e-existe")
% (c2m212somas2a    "para-todo-e-existe")

{\bf ``Para todo'' ($∀$) e ``existe'' ($∃$)}

\msk

$\scalebox{0.9}{$
  \begin{array}{rcl}
  (∀a∈\{2,3,5\}.a^2<10) &=& (a^2<10)[a:=2] \;∧ \\&&
                            (a^2<10)[a:=3] \;∧ \\&&
                            (a^2<10)[a:=5] \\
                        &=& (2^2<10) ∧
                            (3^2<10) ∧
                            (5^2<10) \\
                        &=& (4<10) ∧
                            (9<10) ∧
                            (25<10) \\
                        &=& \V ∧ \V ∧ \F \\
                        &=& \F \\[5pt]
  (∃a∈\{2,3,5\}.a^2<10) &=& (a^2<10)[a:=2] \;∨ \\&&
                            (a^2<10)[a:=3] \;∨ \\&&
                            (a^2<10)[a:=5] \\
                        &=& (2^2<10) ∨
                            (3^2<10) ∨
                            (5^2<10) \\
                        &=& (4<10) ∨
                            (9<10) ∨
                            (25<10) \\
                        &=& \V ∨ \V ∨ \F \\
                        &=& \V \\
  \end{array}
 $}
$

\newpage

% «visualizando-fas-e-exs»  (to ".visualizando-fas-e-exs")
% (c2m232srp 27 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m232sra    "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m222srp 17 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m222sra    "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m212somas2p 15 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m212somas2a    "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m211substp 24 "visualizando-fas-e-exs")
% (c2m211substa    "visualizando-fas-e-exs")

{\bf Visualizando `$∀$'s e `$∃$'s}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

Dá pra {\sl visualizar} o que a expressão
%
$$(∀x∈\{1,\ldots,7\}. \, 2≤x<4∨x=6)$$

``quer dizer'' visualizando os `$\V$'s e `$\F$'s de expressões mais
simples, e combinando esses ``mapas'' de `$\V$'s e `$\F$'s. E digamos
que:
%
$$\begin{array}{rcl}
  F(x) &=& (2≤x), \\
  G(x) &=& (x≤4), \\
  H(x) &=& (x=6) \\
  \end{array}
$$

Então temos:
%
$$\begin{array}{ll}
   & (∀x∈\{1,\ldots,7\}. \, 2≤x<4∨x=6) \\ 
  =& (∀x∈\{1,\ldots,7\}. \, (2≤x ∧ x<4)∨x=6) \\ 
  =& (∀x∈\{1,\ldots,7\}. \, (F(x) ∧ G(x)) ∨ H(x)) \\ 
  \end{array}
$$


Às vezes vamos ter que fazer figuras com muitos `$\V$'s e `$\F$'s,
e vai ser mais fácil visualizar onde estão os `$\V$'s e `$\F$'s
delas se usarmos sinais mais fáceis de distinguir...

\msk

Vou usar essa convenção aqui:

O $\V$ é uma bolinha preta, ou sólida: $•$

O $\F$ é uma bolinha branca, ou oca: $∘$

\vspace*{-5cm}

}\anothercol{

%\vspace*{0cm}

Compare:

\bsk

$\scalebox{0.8}{$
 \begin{array}{r}
  %
  \def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
  \def\V    {\mbc{\mathbf{V}}}
  \def\F    {\mbc{\mathbf{F}}}
  %
  \begin{array}{lcl}
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x)            &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mm}x<4)     &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4)          &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmm}x=6) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.2≤x<4∨     x=6) &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
  \end{array}
  %
  \\ \\
  %
  \def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
  \def\V    {\mbc{\mathbf{V}}}
  \def\F    {\mbc{\mathbf{F}}}
  %
  \begin{array}{lcl}
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x))              &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmii}G(x))    &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x))         &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmmmi}H(x)) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)∨ H(x))   &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
  \end{array}
  %
  \\ \\
  %
  \def\mbc#1{\hbox to 8pt{\hss$#1$\hss}}
  \def\V    {\mbc{\mathbf{V}}}
  \def\V    {\mbc{•}}
  \def\F    {\mbc{∘}}
  %
  \begin{array}{lcl}
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x))              &=& \F∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V∧\V \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmii}G(x))    &=& \V∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x))         &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\F∧\F \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.\ph{mmmmmmmi}H(x)) &=& \F∧\F∧\F∧\F∧\F∧\V∧\F \\
  (∀x∈\{1,\ldots,7\}.F(x)∧G(x)∨ H(x))   &=& \F∧\V∧\V∧\F∧\F∧\V∧\F \\
  \end{array}
  \end{array}
 $}
$

\bsk

É isso que a gente vai fazer pra analisar expressões
como $(∀x∈A.▁▁▁)$ e $(∃x∈A.▁▁▁)$ e descobrir quais
são verdadeiras e quais não --- \ColorRed{mesmo quando o conjunto
$A$ é um conjunto infinito}, como $\N$, $\R$ ou $[2,10]$.

\msk

Você \standout{pode} fazer as suas próprias definições --- como o meu
``$•=\V$ e $∘=\F$'' --- mas elas \standout{têm} que ficar claras o
suficiente... releia isto:

\ssk

\Ca{2gT4} ``Releia a Dica 7''

% {\footnotesize
% 
% % (c2m212introp 3 "dica-7")
% % (c2m212introa   "dica-7")
% %    http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf#page=3
% \url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf\#page=3}
% 
% }

}}



\newpage

% «acima-e-abaixo»  (to ".acima-e-abaixo")
% (c2m232srp 28 "acima-e-abaixo")
% (c2m232sra    "acima-e-abaixo")
% (c2m222srp 15 "acima-e-abaixo")
% (c2m222sra    "acima-e-abaixo")

{\bf Retângulos acima e abaixo}

\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

Lembre que eu contei que em cursos tradicionais de Cálculo 2 --
aqueles em que as pessoas passam centenas de horas fazendo contas à
mão, e mais outras centenas de horas estudando por aqueles livros que
fingem que certas coisas dificílimas são óbvias -- as pessoas acabam
aprendendo algumas coisas super úteis que não aparecem listadas
explicitamente no programa do curso...

\msk

Uma dessas coisas é aprender a entender definições que {\sl
  aparentemente} envolvem um número infinito de contas. Se a gente for
como o Bob a gente consegue visualizar o que essas definições ``querem
dizer''.

\msk

As definições formais de ``retângulo acima (ou abaixo) da curva'' e
``melhor retângulo acima (ou abaixo) da curva'' são assim -- elas
aparentemente precisam de infinitas contas.

}\anothercol{
}}

\newpage

%  ___           _                  _                 _       __     
% |_ _|_ __  ___| |_ _ __ ___    __| | ___  ___    __| | ___ / _|___ 
%  | || '_ \/ __| __| '__/ __|  / _` |/ _ \/ __|  / _` |/ _ \ |_/ __|
%  | || | | \__ \ |_| |  \__ \ | (_| |  __/\__ \ | (_| |  __/  _\__ \
% |___|_| |_|___/\__|_|  |___/  \__,_|\___||___/  \__,_|\___|_| |___/
%                                                                    
% «instrucoes-des-defs»  (to ".instrucoes-des-defs")
% (c2m231srp 21 "instrucoes-des-defs")
% (c2m231sra    "instrucoes-des-defs")
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(7,5))
%L spec   = "(0,2)--(2,4)--(5,1)--(7,3)"
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L curve  = pws:topict()
%L p = PictList { curve:prethickness("2pt") }
%L p:pgat("pgatc", "falsoseno"):output()
\pu
%
\sa{Color A}{\ColorRed}
\sa{Color B}{\ColorOrange}
\sa{Color C}{\ColorGreen}
\def\COLOR#1#2{\ga{Color #1}{#2}}
\def\undem#1#2{\underbrace{#1}_{\text{em }#2}}
\def\undemc#1#2#3{\underbrace{#2}_{\COLOR{#1}{\text{em }#3}}}
%
\def\fx #1{f(\undemc{A}{\mathstrut #1}{(#1,0)})}
\def\Fx #1{  \undemc{A}{\mathstrut #1}{(#1,0)} }
\def\fxy#1#2{\undemc{B}{\fx{#1}<#2}{(#1,f(#1))}}
\def\fafxy#1{\undemc{C}{∀x∈\{1,2,3\}. \fxy{x}{#1}}{(0,#1)}}
\def\LAND{\;\;∧\;\;}

\newpage

%  ___           _                  _           
% |_ _|_ __  ___| |_ _ __ ___    __| | ___  ___ 
%  | || '_ \/ __| __| '__/ __|  / _` |/ _ \/ __|
%  | || | | \__ \ |_| |  \__ \ | (_| |  __/\__ \
% |___|_| |_|___/\__|_|  |___/  \__,_|\___||___/
%                                               
% «instrucoes-des-1»  (to ".instrucoes-des-1")
% (c2m232srp 29 "instrucoes-des-1")
% (c2m232sra    "instrucoes-des-1")
% (c2m231srp 21 "instrucoes-des-1")
% (c2m231sra    "instrucoes-des-1")
% (c2m222srp 20 "instrucoes-des-1")
% (c2m222sra    "instrucoes-des-1")

{\bf Instruções de desenho (explícitas)}

\msk

Sejam $f(x) = \falsoseno$ ,

\msk

e $P(y) \;=\; \fafxy{y} .$

\bsk

As anotações sob as chaves são ``instruções de desenho''

que o Bob vai usar pra calcular cada $P(y)$ de cabeça,

e pra visualizar o que $P(y)$ ``quer dizer''...

\ssk

Na próxima página eu fiz as figuras pra $P(3.5)$.


% (c2m221isp 5 "exercicio-1")
% (c2m221isa   "exercicio-1")

\newpage

%  ___           _                  _              __ _       
% |_ _|_ __  ___| |_ _ __ ___    __| | ___  ___   / _(_) __ _ 
%  | || '_ \/ __| __| '__/ __|  / _` |/ _ \/ __| | |_| |/ _` |
%  | || | | \__ \ |_| |  \__ \ | (_| |  __/\__ \ |  _| | (_| |
% |___|_| |_|___/\__|_|  |___/  \__,_|\___||___/ |_| |_|\__, |
%                                                       |___/ 
% «instrucoes-des-2»  (to ".instrucoes-des-2")
% (c2m232srp 30 "instrucoes-des-2")
% (c2m232sra    "instrucoes-des-2")
% (c2m231srp 22 "instrucoes-des-2")
% (c2m231sra    "instrucoes-des-2")
% (c2m222srp 21 "instrucoes-des-2")
% (c2m222sra    "instrucoes-des-2")

% (c2m221isp 2 "uma-figura")
% (c2m221isa   "uma-figura")
%
%L fromep    = PwSpec.fromep
%L thick     = function (th) return "\\linethickness{"..th.."}" end
%L
%L p = PictList {
%L   thick("1pt"),
%L   fromep(" (0,2)--(2,4)--(5,1)--(7,3)  "),
%L   thick("2pt"),
%L   fromep(" (1,0)c (2,0)c (3,0)c          "):color("red"),
%L   fromep(" (1,3)c (2,4)o (3,3)c          "):color("orange"),
%L   fromep(" (0,3.5)o                      "):Color("Green"),
%L }
%L p = (p
%L       :setbounds(v(0,0), v(7,5))
%L       :pgat("gat")
%L       :pgat("p")
%L       :preunitlength("10pt")
%L       :sa("instrucoes des")
%L     )
%L p:output()
\pu

\def\Fxy#1#2#3#4{\undemc{B}{\mathstrut #1<#2}{(#3,#4)}}
\def\Bxy#1#2#3{\undemc{B}{\mathstrut\COLOR{B}{#1}}{(#2,#3)}}

\scalebox{0.65}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

$\begin{array}[t]{rcl}
 P(3.5) &=& \fafxy{3.5} \\
 \\[-5pt]
 &=& \undemc{C}{ (\fxy{1}{3.5})
           \LAND (\fxy{2}{3.5})
           \LAND (\fxy{3}{3.5})}
                      {(0,3.5)} \\
 \\[-5pt]
 &=& \undemc{C}{ (\Fxy 3{3.5}13)
           \LAND (\Fxy 4{3.5}24)
           \LAND (\Fxy 3{3.5}33)}
                     {(0,3.5)} \\
 \\[-5pt]
 &=& \undemc{C}{ (\Bxy{•}{1}{3}) \LAND (\Bxy{∘}{2}{4}) \LAND (\Bxy{•}{3}{3})}
             {(0,3.5)} \\
 \\[-5pt]
 &=& \undemc{C}{ \mathstrut{\COLOR{C}{∘}} }{(0,3.5)} \\
 \end{array}
$

}\anothercol{

\vspace*{6cm}

\def\closeddot{\circle*{0.3}}
\def\opendot  {\circle*{0.3}\color{white}\circle*{0.2}}

\def\closeddot{\circle*{0.5}}
\def\opendot  {\circle*{0.5}\color{white}\circle*{0.3}}

$\scalebox{2}{$
  \ga{instrucoes des}
 $}
$

}}

\newpage

%  ___           _                  _                       
% |_ _|_ __  ___| |_ _ __ ___    __| | ___  ___    _____  __
%  | || '_ \/ __| __| '__/ __|  / _` |/ _ \/ __|  / _ \ \/ /
%  | || | | \__ \ |_| |  \__ \ | (_| |  __/\__ \ |  __/>  < 
% |___|_| |_|___/\__|_|  |___/  \__,_|\___||___/  \___/_/\_\
%                                                           
% «instrucoes-des-ex»  (to ".instrucoes-des-ex")
% (c2m232srp 31 "instrucoes-des-ex")
% (c2m232sra    "instrucoes-des-ex")
% (c2m231srp 23 "instrucoes-des-ex")
% (c2m231sra    "instrucoes-des-ex")
% (c2m222srp 19 "exercicio-8")
% (c2m222sra    "exercicio-8")

%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(6,4))
%L spec   = "(0,1)--(2,3)--(4,1)--(6,3)"
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L curve  = pws:topict()
%L p = PictList { curve:prethickness("0.5pt") }
%L p:pgat("pgatc"):sa("instrthin"):output()
\pu

{\bf Instruções de desenho: exercício}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Sejam:

$\begin{array}{rcl}
 f(x) &=& \ga{instrthin}       \;, \\
 \\[-7pt]
 P(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)<y \;, \\
 Q(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)≤y \;, \\
 R(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)≥y \;, \\
 S(y) &=& ∀x∈\{1,2,3\}. f(x)>y \;, \\
 \\[-7pt]
 P'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)<y \;, \\
 Q'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)≤y \;, \\
 R'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)≥y \;, \\
 S'(y) &=& ∀x∈[3,5]. f(x)>y \;. \\
 \end{array}
$

\bsk

Para cada uma das expressões à direita visualize-a, represente-a
graficamente numa das cópias do gráfico da $f(x)$ da próxima página, e
dê o resultado dela.

Note que aqui eu não estou dando instruções de desenho {\sl
  explícitas} -- você vai ter que escolher como você vai fazer pra
visualizar cada expressão.


}\anothercol{

a) $P(3.5), P(3.0), \ldots, P(0.5)$  

b) $Q(3.5), Q(3.0), \ldots, Q(0.5)$  

c) $R(3.5), R(3.0), \ldots, R(0.5)$  

d) $S(3.5), S(3.0), \ldots, S(0.5)$  

\msk

e) $P'(3.5), P'(3.0), \ldots, P'(0.5)$

f) $Q'(3.5), Q'(3.0), \ldots, Q'(0.5)$  

g) $R'(3.5), R'(3.0), \ldots, R'(0.5)$  

h) $S'(3.5), S'(3.0), \ldots, S'(0.5)$  

\bsk

Nos itens (e) até (f) os seus desenhos vão ter infinitas bolinhas...
aliás, você vai ter que fazer desenhos que {\sl finjam} que têm
infinitas bolinhas, e nos quais o leitor consiga entender o que você
quis representar... veja este slide antigo:

\ssk

% (c2m212somas2p 53 "dirichlet-3")
% (c2m212somas2a    "dirichlet-3")
% (c2m211somas24p 34 "que-finja-ter-infinitas")
% (c2m211somas24a    "que-finja-ter-infinitas")
%      http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf#page=29
% \url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf\#page=29}
%
\Ca{2dT142} ``E pra conjuntos infinitos?''


}}

\newpage

%  ___           _                  _                        _     _ 
% |_ _|_ __  ___| |_ _ __ ___    __| | ___  ___    __ _ _ __(_) __| |
%  | || '_ \/ __| __| '__/ __|  / _` |/ _ \/ __|  / _` | '__| |/ _` |
%  | || | | \__ \ |_| |  \__ \ | (_| |  __/\__ \ | (_| | |  | | (_| |
% |___|_| |_|___/\__|_|  |___/  \__,_|\___||___/  \__, |_|  |_|\__,_|
%                                                 |___/              
%
% «instrucoes-des-grid»  (to ".instrucoes-des-grid")
% (c2m232srp 32 "instrucoes-des-grid")
% (c2m232sra    "instrucoes-des-grid")
% (c2m231srp 24 "instrucoes-des-grid")
% (c2m231sra    "instrucoes-des-grid")
% (c2m222srp 23 "exercicio-8-figs")
% (c2m222sra    "exercicio-8-figs")

\def\IT{\ga{instrthin}}
\def\ITS{\IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT }
\def\ITS{\IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT & \IT }

$\scalebox{0.7}{$
 \begin{matrix}
 \ITS \\
 \ITS \\
 \ITS \\
 \ITS \\
 \ITS \\
 \ITS \\
 \ITS \\
 \ITS \\
 \end{matrix}
 $}
$


\newpage

% «instrucoes-des-ex-2»  (to ".instrucoes-des-ex-2")
% (c2m232srp 33 "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m232sra    "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m231srp 25 "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m231sra    "instrucoes-des-ex-2")
% (c2m222srp 24 "exercicio-9")
% (c2m222sra    "exercicio-9")

{\bf Instruções de desenho: outro exercício}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

A seção ``Mais sobre bolinhas'' daqui:

\ssk

{\scriptsize

% 2dT137 Parte 4: mais sobre bolinhas
% 2dT142
% (c2m212somas2p 53 "dirichlet-3")
% (c2m212somas2a    "dirichlet-3")
% (c2m211somas24p 29 "mais-sobre-bolinhas")
% (c2m211somas24a    "mais-sobre-bolinhas")
%    http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf#page=29
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-somas-2-4.pdf\#page=29}

}

\ssk

tem dicas sobre como visualizar subconjuntos

``definidos por proposições'', como este aqui:
%
$$\setofst{x∈A}{P(a)}$$

A gente primeiro marca cada ponto de $A$ com uma

bolinha ou preta ou branca, e depois a gente pega

o conjunto das bolinhas pretas e interpreta ele

como um outro conjunto -- o resultado.

\msk

Use isto pra visualizar cada um dos conjuntos

à direita e pra encontrar uma descrição mais simples

para cada um deles. Geralmente essas ``descrições

mais simples'' vão ser em notação de intervalos.

\msk

As funções $P, \ldots, S, P', \ldots, S'$ são as do exercício 8.

O símbolo $\Rext$ denota a ``reta real estendida'':
%
$$\begin{array}{rcl}
  \Rext &=& \R ∪ \{-∞,+∞\} \\
        &=& (-∞,+∞) ∪ \{-∞,+∞\} \\
        &=& [-∞,+∞] \\
  \end{array}
$$

Para mais detalhes, veja:

{\scriptsize

% https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line}

}



}\anothercol{

a) $\setofst{y∈[0,3]}{P(y)}$

b) $\setofst{y∈[0,3]}{Q(y)}$

c) $\setofst{y∈[0,3]}{R(y)}$

d) $\setofst{y∈[0,3]}{S(y)}$

\msk

a') $\setofst{y∈[0,3]}{P'(y)}$

b') $\setofst{y∈[0,3]}{Q'(y)}$

c') $\setofst{y∈[0,3]}{R'(y)}$

d') $\setofst{y∈[0,3]}{S'(y)}$

\msk

e) $\setofst{y∈\R}{P(y)}$

f) $\setofst{y∈\R}{Q(y)}$

g) $\setofst{y∈\R}{R(y)}$

h) $\setofst{y∈\R}{S(y)}$

\msk

i) $\setofst{y∈\Rext}{P(y)}$

j) $\setofst{y∈\Rext}{Q(y)}$

k) $\setofst{y∈\Rext}{R(y)}$

l) $\setofst{y∈\Rext}{S(y)}$


}}

\newpage

%     _    _                                                                 
%    / \  | | __ _ _   _ _ __ ___   __ _ ___   ___  ___  _ __ ___   __ _ ___ 
%   / _ \ | |/ _` | | | | '_ ` _ \ / _` / __| / __|/ _ \| '_ ` _ \ / _` / __|
%  / ___ \| | (_| | |_| | | | | | | (_| \__ \ \__ \ (_) | | | | | | (_| \__ \
% /_/   \_\_|\__, |\__,_|_| |_| |_|\__,_|___/ |___/\___/|_| |_| |_|\__,_|___/
%            |___/                                                           
%
% «algumas-somas»  (to ".algumas-somas")
% (c2m232srp 29 "algumas-somas")
% (c2m232sra    "algumas-somas")

% (c2m231srp 10 "algumas-somas")
% (c2m231sra    "algumas-somas")
% (c2m221somas3p 13 "metodos-nomes")
% (c2m221somas3a    "metodos-nomes")

{\bf Algumas somas de Riemann}

\scalebox{0.65}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Vou definir:
%
$$\begin{array}{ccl}
  \mname{L}    &=& \sumiN {f(a_i)}                    \\[2pt]
  \mname{R}    &=& \sumiN {f(b_i)}                    \\[2pt]
  \mname{Trap} &=& \sumiN {\frac{f(a_i) + f(b_i)}{2}} \\[2pt]
  \mname{M}    &=& \sumiN {f(\frac{a_i+b_i}{2})}      \\[2pt]
  \mname{min}  &=& \sumiN {\min(f(a_i), f(b_i))}      \\[2pt]
  \mname{max}  &=& \sumiN {\max(f(a_i), f(b_i))}      \\[2pt]
  \mname{inf}  &=& \sumiN {\inf(f([a_i,b_i]))}        \\[2pt]
  \mname{sup}  &=& \sumiN {\sup(f([a_i,b_i]))}        \\
  \end{array}
$$

Compare com: os exercícios das montanhas, 

as páginas 208--210 do Miranda (\Ca{Miranda208}), e:

{\footnotesize

\url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_de_Riemann}

}

\msk

Nas duas últimas linhas o $f([a_i,b_i])$ é a \ColorRed{imagem

de um intervalo}. Temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
  f(A) &=& \setofst{f(a)}{a∈A} \\
  f(\{7,8,9\}) &=& \setofst{f(a)}{a∈\{7,8,9\}} \\
               &=& \{f(7), f(8), f(9)\} \\
  \end{array}
$$

% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -niH --null -e imagens 202*.tex")

}\anothercol{
}}

% (c2m222p2p 4 "questao-3")
% (c2m222p2a   "questao-3")
% (find-dmirandacalcpage 212 "7.2. Integral definida")
% (find-leitholdptpage (+ 17 324) "5.5. A integral definida")
% Veja: \Ca{Miranda212}, \Ca{Leit5p41} (p.324, seção 5.5).

% 2fT125


\newpage

%  ____        __   _       _                       _ 
% |  _ \  ___ / _| (_)_ __ | |_ ___  __ _ _ __ __ _| |
% | | | |/ _ \ |_  | | '_ \| __/ _ \/ _` | '__/ _` | |
% | |_| |  __/  _| | | | | | ||  __/ (_| | | | (_| | |
% |____/ \___|_|   |_|_| |_|\__\___|\__, |_|  \__,_|_|
%                                   |___/             
%
% «def-integral»  (to ".def-integral")
% (c2m232srp 35 "def-integral")
% (c2m232sra    "def-integral")
% (c2m231srp 11 "def-integral")
% (c2m231sra    "def-integral")
% (c2m222tfcsp 5 "def-integral")
% (c2m222tfcsa   "def-integral")

\vspace*{-0.3cm}

$$\scalebox{0.44}{$
  \begin{array}{rcl}
  [a,b]_N &=& \setofst{a+k(\frac{b-a}{N})}{k∈\{0,\ldots,N\}} \\
          &=& \{ a+0(\frac{b-a}{N}),
              \; a+1(\frac{b-a}{N}),
              \; \ldots,
              \; a+N(\frac{b-a}{N}) \} \\
          &=& \{ a,
              \; a + \frac{b-a}{N},
              \; a + 2\frac{b-a}{N},
              \; a + 3\frac{b-a}{N},
              \; \ldots, \; b\} \\
  \D \ga{into_P  f(x) dx} &=&    \msup_P \\[-5pt]
                          &=& \D \sum_{i=1}^{N} \sup(f([a_i,b_i])) (b_i-a_i) \\
  \D \ga{intu_P  f(x) dx} &=&    \minf_P \\[-5pt]
                          &=& \D \sum_{i=1}^{N} \inf(f([a_i,b_i])) (b_i-a_i) \\ \\[-5pt]
  \D \ga{intou_P f(x) dx} &=& \D \INTP{\into}{P}{f(x)}
                               - \INTP{\intu}{P}{f(x)} \\ \\[-5pt]
  \D \ga{into_xab  f(x) dx} &=& \D \lim_{k→∞} \ga{into_ab2k f(x) dx} \\
  \D \ga{intu_xab  f(x) dx} &=& \D \lim_{k→∞} \ga{intu_ab2k f(x) dx} \\ \\[-5pt]
  \D \ga{intou_xab f(x) dx} &=& \D \ga{into_xab f(x) dx}
                                 - \ga{intu_xab f(x) dx} \\ \\[-5pt]
  \D \left( \ga{int_xab f(x) dx} \text{\;\;existe} \right)
                             &=& \D \left( \ga{into_xab  f(x) dx}
                                         = \ga{intu_xab  f(x) dx} \right)     \\ \\[-7pt]
                             &=& \D \left( \ga{intou_xab f(x) dx} = 0 \right) \\ \\[-7pt]
  \D \ga{int_xab f(x) dx}    &=& \D \ga{into_xab f(x) dx}
                                 \qquad \text{(se a integral existir)} \\  \\[-7pt]
                             &=& \D \ga{intu_xab f(x) dx}
                                 \qquad \text{(se a integral existir)} \\
  \end{array}
  $}
$$



\newpage

%  ___       _                 ___       _         
% |_ _|_ __ | |_ ___     ___  |_ _|_ __ | |_ _   _ 
%  | || '_ \| __/ _ \   / _ \  | || '_ \| __| | | |
%  | || | | | || (_) | |  __/  | || | | | |_| |_| |
% |___|_| |_|\__\___/   \___| |___|_| |_|\__|\__,_|
%                                                  
% «into-e-intu»  (to ".into-e-intu")
% (c2m232srp 36 "into-e-intu")
% (c2m232sra    "into-e-intu")
% (c2m231srp 26 "into-e-intu")
% (c2m231sra    "into-e-intu")
% (c2m222tfcsp 8 "exercicio-3")
% (c2m222tfcsa   "exercicio-3")

{\bf Aproximações por cima e por baixo}

%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(9,7))
%L spec   = "(0,3)--(2,1)o (2,3)c (2,5)o--(7,0)"
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L curve  = pws:topict()
%L p = PictList { curve:prethickness("2pt") }
%L p:addputstrat(v(2.7,5.5), "\\cell{(2,5)}")
%L p:addputstrat(v(7.7,0.5), "\\cell{(7,0)}")
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("17pt"):sa("Exercicio 2"):output()
\pu

\scalebox{0.8}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}

Sejam:
%
$f(x) = \scalebox{0.5}{$\ga{Exercicio 2}$} \;, $

\msk

$P=\{3,4,5\}$,

$Q=\{1,3,4,5\}$,

\msk

e \ColorRed{por enquanto} considere que:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \sup(f(B)) &=& \max_{x∈B} f(x) \quad \text{e} \\
  \inf(f(B)) &=& \min_{x∈B} f(x).
  \end{array}
$$

\msk


}\anothercol{

{\bf Exercício.}

Represente graficamente:

\msk\par a) $\ga{into_P  f(x) dx}$
\msk\par b) $\ga{intu_P  f(x) dx}$
\msk\par c) $\ga{intou_P f(x) dx}$
\bsk\par d) $\ga{into_Q  f(x) dx}$
\msk\par e) $\ga{intu_Q  f(x) dx}$
\msk\par f) $\ga{intou_Q f(x) dx}$
\bsk\par g) $\INTP{\intou}{[1,5]_2}{f(x)}$
\msk\par h) $\INTP{\intou}{[1,5]_4}{f(x)}$

}}


\newpage

% «dirichlet»  (to ".dirichlet")
% (c2m232srp 99 "dirichlet")
% (c2m232sra    "dirichlet")
% (c2m231srp 29 "dirichlet")
% (c2m231sra    "dirichlet")
% (c2m222tfcsp 9 "exercicio-4")
% (c2m222tfcsa   "exercicio-4")
% (c2m212somas2p 51 "dirichlet")
% (c2m212somas2a    "dirichlet")
% https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_function
% 2gQ39

% «integral-como-limite»  (to ".integral-como-limite")
% 2eT95 - Integral como limite
% (c2m221tfc1p 34 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1p 36 "descontinuidades")
% (c2m221tfc1a    "descontinuidades")

% «TFC1»  (to ".TFC1")
% 2eT74 - TFC1:
% (c2m221tfc1p 15 "exemplo-1")
% (c2m221tfc1a    "exemplo-1")




\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

%  ____  _             _         
% |  _ \(_)_   ___   _(_)_______ 
% | | | | \ \ / / | | | |_  / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ /  __/
% |____// | \_/  \__,_|_/___\___|
%     |__/                       
%
% «djvuize»  (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")

cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done

f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o  5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }

f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf       ~/2023.2-C2/
       cp -fv        $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C2/
       cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}

f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza



%  __  __       _        
% |  \/  | __ _| | _____ 
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | |  | | (_| |   <  __/
% |_|  |_|\__,_|_|\_\___|
%                        
% <make>

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-somas-de-riemann veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-somas-de-riemann pdf

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2sr"
% ee-tla: "c2m232sr"
% End:
