% (find-LATEX "2024-1-C2-ex-subst.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-1-C2-ex-subst.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-1-C2-ex-subst.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-1-C2-ex-subst.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-1-C2-ex-subst.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-ex-subst.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-1-C2-macaco.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-1-C2-ex-subst"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-1-C2-ex-subst.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2024-1-C2-ex-subst")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-1-C2-ex-subst.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C2-ex-subst.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C2-ex-subst.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-1-C2-ex-subst.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-1-C2-ex-subst.pdf
%               file:///tmp/2024-1-C2-ex-subst.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-1-C2-ex-subst.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C2-ex-subst.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2 CME3")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-1-C2-ex-subst" "2" "c2m241exsubst" "c2es")

% «.defs»			(to "defs")
% «.defs-T-and-B»		(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»		(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»		(to "defs-pict2e")
% «.defs-cme3»			(to "defs-cme3")
% «.defs-rednames»		(to "defs-rednames")
% «.defs-edovs»			(to "defs-edovs")
% «.defs-maxima»		(to "defs-maxima")
% «.title»			(to "title")
% «.links»			(to "links")
%
% «.introducao»			(to "introducao")
% «.funcoes»			(to "funcoes")
% «.dica»			(to "dica")
% «.mais-sobre-chutar-e-testar»	(to "mais-sobre-chutar-e-testar")
% «.equacoes-diferenciais»	(to "equacoes-diferenciais")
% «.antes-de-continuar»		(to "antes-de-continuar")
% «.uma-integral»		(to "uma-integral")
% «.regra-da-cadeia»		(to "regra-da-cadeia")
% «.regra-da-cadeia-ex»		(to "regra-da-cadeia-ex")
% «.muito-importante»		(to "muito-importante")
%
% «.abstrato-e-concreto»	(to "abstrato-e-concreto")
% «.EDOs»			(to "EDOs")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-cme3»  (to ".defs-cme3")
% (c2m241exsubstp 3 "defs-cme3")
% (c2m241exsubsta   "defs-cme3")
% (c2m231macacop  5 "defs-cme3")
% (c2m231macacoa    "defs-cme3")
%L dofile "CME3.lua"               -- (find-angg "LUA/CME3.lua")
\def\CME#1{\expr{CME("#1")}}
\pu

% «defs-rednames»  (to ".defs-rednames")
% (c2m241exsubstp 9 "defs-rednames")
% (c2m241exsubsta   "defs-rednames")
% (c2m231macacop 5 "defs-rednames")
% (c2m231macacoa   "defs-rednames")
\def\redname#1{{\color{Red3}\text{#1}}}
\sa    {RC}{\redname{[RC]}}
\sa   {RCL}{\redname{[RCL]}}
\sa    {II}{\redname{[II]}}
\sa  {TFC2}{\redname{[TFC2]}}
\sa{defdif}{\redname{[defdif]}}
\sa     {4}{\redname{[4]}}
\sa     {5}{\redname{[5]}}
\sa     {6}{\redname{[6]}}
\sa     {7}{\redname{[7]}}
\sa     {8}{\redname{[8]}}
\sa    {II}{\redname{[II]}}
\sa    {S1}{\redname{[S${}_1$]}}

% «defs-edovs»  (to ".defs-edovs")
% (c2m241exsubstp 13 "defs-edovs")
% (c2m241exsubsta    "defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

\def\bigeq#1{\Bigl(#1\Bigr)}
\def\bigeq#1{\Bigl(#1\Bigr)}




%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m241exsubstp 1 "title")
% (c2m241exsubsta   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.1}

\bsk

Aulas 7 a 9: exercícios de substituição

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.1-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m241exsubstp 2 "links")
% (c2m241exsubsta   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

\par \Ca{2iQ12} Quadros da aula 6 (27/mar/2024)
\par \Ca{2iQ14} Quadros da aula 7 (01/abr/2024)
\par \Ca{2iQ16} Quadros da aula 8 (02/abr/2024)
\par \Ca{2iQ22} Quadros da aula 9 (03/abr/2024)

\bsk

A regra da cadeia em vários livros:
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "flemming" "139" "4.13 Derivada de função composta")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "87" "3.5 A Regra da Cadeia")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj" "113" "12. A regra da cadeia")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "179" "3.4 A Regra da Cadeia")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "181" "3.6. Regra da Cadeia")
%
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "100" "2.5 The Chain Rule")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cabral" "75" "3.4 Derivada da Composta")
% (find-es "ead" "bortolossi-108-email")
%
\par \Ca{MirandaP87} 3.5 A regra da cadeia
\par \Ca{Leit3p45} (p.181) 3.6 A derivada de uma função composta e...
\par \Ca{StewPtCap3p26} (p.179) 3.4 A regra da cadeia
\par \Ca{CederjC1V1p115} (p.113) Aula 12: A regra da cadeia
\par \Ca{FlemmingP147} (p.139) 4.13 Derivada da função composta

\bsk

\par A fórmula do TFC2 nem sempre vale:
\ssk

% 2dT231: (c2m212intsp 5 "x^-2")
%         (c2m212intsa   "x^-2")
\par \Ca{2dT231} (2021.2) $F(x)=-x^{-1}$, $F'(x)=x^{-2}$
\ssk
% 2fT107: (c2m222dicasp1p 2 "links")
%         (c2m222dicasp1a   "links")
% 2fT110: (c2m222p1p 3 "questao-3")
%         (c2m222p1a   "questao-3")
% 2fT114: (c2m222p1p 7 "questao-3-gab")
%         (c2m222p1a   "questao-3-gab")
\par \Ca{2fT107} (2022.2) Dicas pra P1
\par \Ca{2fT110} (2022.2) P1, questão 3
\par \Ca{2fT114} (2022.2) P1, questão 3, gabarito
\ssk
% 2gT108: (c2m231dicasp1p 2 "links")
%         (c2m231dicasp1a   "links")
% 2gT111: (c2m231p1p 3 "questoes-45")
%         (c2m231p1a   "questoes-45")
% 2gT116: (c2m231p1p 8 "questao-4-gab")
%         (c2m231p1a   "questao-4-gab")
\par \Ca{2gT108} (2023.1) Dicas pra P1
\par \Ca{2gT111} (2023.1) P1, questão 4
\par \Ca{2gT116} (2023.1) P1, questão 4, gabarito
\ssk
% 2hT179: (c2m232dicasp1p 2 "sobre-as-questoes")
%         (c2m232dicasp1a   "sobre-as-questoes")
% 2hT188: (c2m232p1p 3 "questoes-45")
%         (c2m232p1a   "questoes-45")
% 2hT193: (c2m232p1p 8 "questao-4-gab")
%         (c2m232p1a   "questao-4-gab")
\par \Ca{2hT179} (2023.2) Dicas pra P1
\par \Ca{2hT188} (2023.2) P1, questão 4
\par \Ca{2hT193} (2023.2) P1, questão 4, gabarito

}\anothercol{

}}

\newpage

% «introducao»  (to ".introducao")
% (c2m241exsubstp 3 "introducao")
% (c2m241exsubsta   "introducao")

{\bf Introdução}

\scalebox{0.65}{\def\colwidth{8.5cm}\firstcol{

Vários alunos -- obs: eram alunos super dedicados, mas que tinham
feito um Ensino Médio super precário, e que tavam tentando tirar o
atraso correndo -- já me contaram que quando eles tentavam tirar
certas dúvidas com o Reginaldo ele respondia coisas como:

\begin{quotation}
  ``Isso é matéria de ensino médio! Isso aí você já deveria saber. Vai
  estudar pelo livro.''
\end{quotation}

Eu vou chamar isso de ``Método Reginaldo''.

\bsk

Eu vou tentar fazer algo totalmente diferente. As pessoas {\sl
  deveriam} estar chegando em Cálculo sabendo obter casos particulares
de fórmulas e teoremas muito bem, mas não estão...

}\anothercol{

Eu {\sl acho} que o modo mais rápido de tirar as dúvidas dessas
pessoas é usando a operação de substituição que nós vamos ver aqui,
``[:=]'', que é uma versão \standout{simplificada} das operações de
substituição ``de verdade'' que são usadas em $λ$-cálculo e em
programas como o Lean, e que lidam bem com variáveis livres e ligadas,
com tipos dependentes, que usam índices de deBruijn nos lugares
certos, etc... mas ainda falta! Eu já tenho bastante material sobre
isso, mas ele está espalhado...

\ssk

Ah, e um dia eu vou fazer uma versão desse PDF com um apêndice enorme
com um monte de exemplos em que esse ``[:=]'' simplificado funciona
bem e esclarece idéias complicadas (já tenho um monte no material do
semestre passado!), e com um monte de exemplos em que esse ``[:=]''
simplificado funciona mal e a gente precisa das versões mais
complicadas... mas ainda falta.

}}


\newpage

% «funcoes»  (to ".funcoes")
% (c2m241exsubstp 3 "funcoes")
% (c2m241exsubsta   "funcoes")
% 2dT9: (c2m212introp 8 "substituicao")
%       (c2m212introa   "substituicao")
%       (c2m212introa   "substituicao" "substituir funções ``usando português'':")

{\bf Funções}


\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Isso aqui é um exemplo de coisa que segundo o Reginaldo ``vocês já
deveriam saber'', porque é matéria de Ensino Médio:

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
Digamos que $f(x)=x^2$. Então:
%
$$\begin{array}{rclcrcl}
  f(200)  &=& 200^2            \\
  f(3u+4) &=& (3u+4)^2         \\
  f(42x^3+99) &=& (42x^3+99)^2 \\
  f(a+b)  &=& (a+b)^2 \\
  f(g(x)) &=& g(x)^2 \\
  42+f(200) &=& 42+200^2 \\
  h(f(200)) &=& h(200^2) \\
  h(f(x)) &=& h(x^2) \\
  h(f(a+b)) &=& h((a+b)^2) \\
  \end{array}
$$
\end{minipage}}
\end{center}

}\anothercol{

% \Ca{2iQ15}

{\bf Exercício 1.}

a) Calcule o resultado desta substituição:
%
$$\CME{ (f(3mu+4)) s [f(y) := y^5+y^6] }$$

Agora seja:

$$\ga{S1} = \CME{[f(y) := y^5 + y^6]}$$

Calcule o resultado destas substituições:
%
\def\foo#1#2{ #1) & $#2\,\ga{S1}$ \\ }

\bsk
\begin{tabular}{lr}
\foo b {f(200)}
\foo c {f(3u+4)}
\foo d {f(42x^3+99)}
\foo e {f(a+b)}
\foo f {f(g(x))}
\foo g {42+f(200)}
\foo h {h(f(200))}
\foo i {h(f(x))}
\foo j {h(f(a+b))}
\foo k {f(f(200))}
\foo l {h(x)}
\foo m {h(y)}
\end{tabular}

}}


\newpage

% «dica»  (to ".dica")
% (c2m241exsubstp 5 "dica")
% (c2m241exsubsta   "dica")

{\bf Dica}

\def\CMETEX#1{\expr{CME_totex "#1"}}
\def\CMEVBT#1{\expr{CME_tovbt "#1"}}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

%$$\CMETEX{f(g(h(x))) s [g(y):=sqrt{y}+y^3] = f.(sqrt{h(x)}+h(x)^3)}$$
%$$\CMEVBT{f(g(h(x))) s [g(y):=sqrt{y}+y^3] = f.(sqrt{h(x)}+h(x)^3)}$$

Entenda isto aqui:
%
$$\begin{array}{c}
  \CMETEX{f(g(4/5)) s [g(y):=sqrt{y}+y^3] = f.(sqrt{4/5}+(4/5)^3)}$$
  \\\\[-5pt]
  \CMEVBT{f(g(4/5))} \,
  \bmat{ \CMEVBT{g(y)} := \CMEVBT{sqrt{y}+y^3} }
  \;=\;
  \CMEVBT{f.(sqrt{4/5}+(4/5)^3)}
  \\\\[-5pt]
  \CMEVBT{f(g(4/5)) s [g(y):=sqrt{y}+y^3] = f.(sqrt{4/5}+(4/5)^3)}$$
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}

\newpage

% «mais-sobre-chutar-e-testar»  (to ".mais-sobre-chutar-e-testar")
% (c2m241exsubstp 6 "mais-sobre-chutar-e-testar")
% (c2m241exsubsta   "mais-sobre-chutar-e-testar")

{\bf Mais sobre chutar e testar}

\def\AA   #1#2{(x^2+1=50) \bmat{x:=#1} = #2}
\def\AAA#1#2#3{(x^2+1=50) \bmat{x:=#1} = #2 = #3}
\def\AAV  #1#2{(x^2+1=50) \bmat{x:=#1} = #2 = \True}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

Uma solução pra equação $x^2+1=50$ é um modo de preencher os dois
`$\Rq$'s daqui que faça as duas igualdades externas serem verdadeiras:
%
$$\AAA{\Rq}{\Rq}{\True}$$

As soluções são $x=7$ e $x=-7$. Olha:
%
$$\begin{array}{c}
  \AAV{7}{(7^2+1=50)} \\
  \AAV{-7}{((-7)^2+1=50)} \\
  \end{array}
$$

Como é difícil chegar direto na solução eu costumo pedir pras pessoas
começarem preenchendo os dois `$\Rq$'s daqui,
%
$$\AA{\Rq}{\Rq}$$

começando pelo da esquerda, pra fazer com que a igualdade externa seja
verdadeira. Por exemplo:
%
$$\AA{\ColorRed{4}}{\ColorRed{(4^2+1=50)}}$$

Se a pessoa consegue pelo menos preencher o `$\Rq$' da esquerda
daqui
%
$$\AA{\Rq}{\Rq}$$

com uma expressão qualquer, como aqui,
%
$$\AA{\ColorRed{a+b}}{\Rq}$$

}\anothercol{

...aí eu geralmente consigo convencer ela de que ela pode usar isto
pra treinar substituições... por exemplo:
%
$$\begin{array}{c}
  \AA{\ColorRed{a+b}}{\ColorRed{((a+b)^2+1=50)}} \\
  \AA{\ColorRed{2}}{\ColorRed{(2^2+1=50)}} \\
  \AA{\ColorRed{3}}{\ColorRed{(3^2+1=50)}} \\
  \end{array}
$$

Depois que ela treinou isso bastante eu posso pedir que ela faça algo
parecido usando este molde aqui,
%
$$\AAA{\Rq}{\Rq}{\Rq}$$

e substituindo o último `$\Rq$' por $\True$ ou $\False$. Por exemplo:
%
$$\begin{array}{c}
  \AAA{\ColorRed{5}}{\ColorRed{(5^2+1=50)}}{\ColorRed{\False}} \\
  \AAA{\ColorRed{6}}{\ColorRed{(6^2+1=50)}}{\ColorRed{\False}} \\
  \AAA{\ColorRed{7}}{\ColorRed{(7^2+1=50)}}{\ColorRed{\True}} \\
  \end{array}
$$

e aí {\sl geralmente} as pessoas conseguem voltar pro problema
original do início da coluna da esquerda e entender ele. Mas às vezes
isso não funciona -- e aí eu tenho que lembrar a pessoa que ela se
comprometeu a ler essas coisas aqui pra entender a metodologia do
curso:

\bsk

\par \Ca{Slogans01:10} até 08:51: duas histórias verídicas sobre GA
\par \Ca{2iT5}, \Ca{2iT6} ``Meu objetivo é reprovar pessoas como você''

}}




\newpage

% «equacoes-diferenciais»  (to ".equacoes-diferenciais")
% (c2m241exsubstp 7 "equacoes-diferenciais")
% (c2m241exsubsta   "equacoes-diferenciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "528" "solução de uma equação diferencial")
% (find-stewart72ptpage (+ -489  528)   "solução de uma equação diferencial")
% (find-stewart72pttext (+ -489  528)   "solução de uma equação diferencial")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "zill-cullen" "6" "EXPLICIT AND IMPLICIT SOLUTIONS")

\def\BBBB#1#2#3#4{(f'(x)=2f(x)) \bmat{f(x):=#1 \\ f'(x):=#2} = #3 = #4}

{\bf Equações diferenciais}

\scalebox{0.49}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

O Stewart define a solução de uma equação diferencial nesta página
aqui,

\par \Ca{StewPtCap9p8} (p.528) Equações diferenciais gerais

e com estas frases (obs: a ``equação 4'' é $y'=xy$):

\begin{quotation}
  Uma função $f$ é denominada {\sl solução} de uma equação diferencial se a
  equação é satisfeita quando $y=f(x)$ e suas derivadas são
  substituídas na equação. Assim, $f$ é uma solução da Equação 4 se
  %
  $$f(x)=xf(x)$$
  %
  para todos os valores de $x$ em algum intervalo.
\end{quotation}


\msk

Eu vou ser um pouco mais porco que ele, e ao invés de falar ``em algum
intervalo'' eu vou falar ``sempre''.

\ssk

Pra mim $f(x)=e^{2x}$ é uma solução da equação diferencial
$f(x)=2f'(x)$ porque isto aqui é verdade:
%
$$\BBBB{e^{2x}}{2e^{2x}}{(e^{2x}=e^{2x})}{\True}
$$

}\anothercol{

...e uma solução da equação diferencial $f(x)=2f'(x)$ é algo que a
gente pôe no primeiro `$\Rq$' daqui,
%
$$\BBBB{\Rq}{\Rq}{\Rq}{\True}$$

num modo de completar isso que faz com que todas as igualdades
externas sejam verdadeiras.

\msk

Por exemplo, vamos testar se $f(x)=42$ é uma solução da equação
diferencial $f(x)=e^{2x}$. Temos:
%
$$\begin{array}{l}
  \BBBB{42}{\Rq}{\Rq}{\Rq} \\\\[-10pt]
  \BBBB{42}  {0}{\Rq}{\Rq} \\\\[-10pt]
  \BBBB{42}  {0}{(0=2·42)}{\Rq} \\\\[-10pt]
  \BBBB{42}  {0}{(0=2·42)}{\False} \\\\[-10pt]
  \end{array}
$$

\bsk

{\bf Exercício 2.}

a) Verifique que $f(x)=0$ é uma solução da equação diferencial
$f(x)=e^{2x}$.

b) Verifique que $f(x)=99x$ não é uma solução da equação diferencial
$f(x)=e^{2x}$. Dica: você vai ter que decifrar isto aqui:
``$(99=2·99x)=\False$ porque $99=2·99x$ não é verdade sempre''.

}}


\newpage

% «antes-de-continuar»  (to ".antes-de-continuar")
% (c2m231macacop 5 "EDOs-RC-TFC2")
% (c2m231macacoa   "EDOs-RC-TFC2")

{\bf Antes de continuar...}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

Antes da gente continuar faça todos os itens da

coluna da direita -- são exercícios que eu preparei

alguns semestres atrás.

\msk

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{4}    &=& \bigeq{ f'(x) = x^4               } \\
  \ga{5}    &=& \bigeq{ f'(x) = 2f(x)             } \\
  \ga{6}    &=& \bigeq{ f''(x) + f'(x) = 6f(x)    } \\
  \ga{7}    &=& \bigeq{ f'(x) = -\frac{1}{f(x)}   } \\
  \ga{8}    &=& \bigeq{ f'(x) = -\frac{x}{f(x)}   } \\
  \ga{RC}   &=& \bigeq{ f(g(x))' = f'(g(x)) g'(x) } \\
  \ga{TFC2} &=& \bigeq{ \Intx{a}{b}{f'(x)} = f(b) - f(a) } \\
  \end{array}
$$

Note que as expressões $\ga{4}$, $\ga{5}$, $\ga{6}$, $\ga{7}$,
$\ga{8}$, são as EDOs deste problema aqui:

\ssk

\Ca{2dT13} EDOs por chutar e testar.

\bsk

{\bf Exercício}

Calcule o resultado de cada uma das substituições à direita. Lembre
que o resultado de uma substituição é sempre uma {\sl expressão} --
{\sl não simplifique ela}. Deixa eu fazer uma comparação com C: o
resultado de substituir cada ocorrência do caracter {\tt 'a'} pelo
caracter {\tt '2'} no string {\tt "a+5"} é o string {\tt "2+5"}, não o
string {\tt "7"}, e nem o número {\tt 7}.

}\anothercol{



$\begin{tabular}[t]{rl}
  a) & $f(g(x)) \CME{[x := 42]}$ \\
  b) & $f(g(x)) \CME{[g(x) := 200*x]}$ \\
  c) & $f(g(x)) \CME{[f(y) := y^2+y^3]}$ \\
  d) & $f(g(x)) \CME{[f(y) := e^{y}]}$ \\
  e) & $f(g(x)) \CME{[g(x) := 4*x]}$ \\
  f) & $f(g(x)) \CME{.[f(y) := e^{y} ;; g(x) := 4*x]}$ \\
  g) & $f(g(x)) \CME{[f(y) := y^{1/2}]}$ \\
  h) & $f(g(x)) \CME{[f(y) := sqrt{y}]}$ \\
  i) & $f(g(x)) \CME{[f(y) := sqrt{y}]}$ \\
  j) & $f(g(x)) \CME{.[g(x) := e^x ;; g'(x) := e^x]}$ \\
  k) & $f(g(x))' \CME{.[g(x) := e^x ;; g'(x) := e^x]}$ \\
  l) & $\ga{RC}  \CME{.[f(y) := e^y ;; f'(y) := e^y]}$ \\
  m) & $\ga{RC}  \CME{.[f(y) := y^{1/2} ;; f'(y) := {1//2} mul y^{-1/2}]}$ \\
  n) & $\ga{RC}  \CME{.[f(y) := sqrt{y} ;; f'(y) := 1 // 2 mul sqrt{y}]}$ \\
  o) & $\ga{6}   \CME{.[f  (x) :=       e^{2 mul x} ;;
                        f' (x) := 2 mul e^{2 mul x} ;;
                        f''(x) := 4 mul e^{2 mul x}]}$ \\
  p) & $\ga{6}   \CME{.[f  (x) :=       e^{3 mul x} ;;
                        f' (x) := 3 mul e^{3 mul x} ;;
                        f''(x) := 9 mul e^{3 mul x}]}$ \\
  q) & $\ga{TFC2}\CME{.[f  (x) := {1//2} mul x^2 ;;
                        f' (x) := x ;;
                        a      := 0 ;;
                        b      := 2 ]}$ \\
  r) & $\ga{8}   \CME{.[f  (x) := sqrt{1 - x^2} ;;
                        f' (x) := -1 // x mul sqrt{1 - x^2}]}$ \\
  \end{tabular}
$

}}


\newpage

% «uma-integral»  (to ".uma-integral")
% (c2m241exsubstp 9 "uma-integral")
% (c2m241exsubsta   "uma-integral")

{\bf Uma integral}

\scalebox{0.53}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

Nas aulas 8 e 9 -- links:

\ssk

\par \Ca{2iQ16} Quadros da aula 8 (2/abr/2024)
\par \Ca{2iQ22} Quadros da aula 9 (3/abr/2024)

\ssk

nós vimos um argumento visual que mostrava isto aqui,
%
$$\Intx{1}{2}{x} = 1.5$$

\def\Por#1{\qquad\text{por }#1}
\sa{just1}{\Por{\ga{II}    \bmat{ F(x):=x^2/2 \\ F'(x):=x }}}
\sa{just2}{\Por{\ga{TFC2}  \bmat{ F(x):=x^2/2 \\ F'(x):=x }}}
\sa{just3}{\Por{\ga{TFC2}  \bsm { F(x):=x^2/2 \\ F'(x):=x \\ a:=1 \\ b:=2 }}}
\sa{just4}{\Por{\ga{defdif}\bsm { F(x):=x^2/2 \\ F'(x):=x \\ a:=1 \\ b:=2 }}}

e depois o argumento mais formal abaixo,

que dava o mesmo resultado:
%
$$\begin{array}{rcll}
  \D \ddx \, x^2    &=& 2x \\
  \D \ddx \, \frac{x^2}{2} &=& x \\
  \D \intx{x}       &=& \D \frac{x^2}{2}                 & \ga{just1} \\
  \D \Intx{a}{b}{x} &=& \D \Difx{a}{b}{\D \frac{x^2}{2}} & \ga{just2} \\
  \D \Intx{1}{2}{x} &=& \D \Difx{1}{2}{\D \frac{x^2}{2}} & \ga{just3} \\
                    &=& \D \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} & \ga{just4} \\
                    &=& \D \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \\
                    &=& 1.5 \\
  \end{array}
$$



}\anothercol{

Usamos estes nomes pras fórmulas:
%
$$\begin{array}{rcl}
      \ga{II} &=& \bigeq{ \intx      {F'(x)} = F(x) } \\
    \ga{TFC2} &=& \bigeq{ \Intx{a}{b}{F'(x)} = \Difx{a}{b}{F(x)} } \\
  \ga{defdif} &=& \bigeq{ \Difx{a}{b}{F(x)} = F(b)-F(a) } \\
  \end{array}
$$

}}

\newpage

% «regra-da-cadeia»  (to ".regra-da-cadeia")
% (c2m241exsubstp 10 "regra-da-cadeia")
% (c2m241exsubsta    "regra-da-cadeia")

{\bf A regra da cadeia}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11.2cm}\firstcol{

Imagina que eu passo esse exercício aqui,
%
$$\ddx \sen 42x = \Rq$$

e uma pessoa resolve ele desse jeito:

\begin{quotation}
  Queremos encontrar a derivada de $f(x)=\sen 42x$. Para tal vamos
  usar a regra da cadeia. Aplicando o método chegamos ao resultado,
  que é $f'(x)=\cos 42x$.
\end{quotation}

Repara: essa pessoa gastou um bocado de tempo e energia escrevendo a
parte em português da resposta dela, e isso não ajudou ela em nada, só
atrapalhou... ela chegou no resultado errado, e a solução dela ficou
num formato super difícil de debugar -- não dá pra eu apontar pra um
símbolo dela e dizer ``confere isso aqui''!...

\bsk

Compare a solução dela com esta aqui, em três passos:
%
\sa{S2?}{\bmat{f(x):=\Rq    \\ g(x):=\Rq}}
\sa {S2}{\bmat{f(x):=\sen x \\ g(x):=42x}}
\sa{S4?}{\bsm {f(x):=\Rq    \\ g(x):=\Rq \\ f'(x):=\Rq \\ g'(x):=\Rq }}
\sa{S4H}{\bsm {f(x):=\sen x \\ g(x):=42x \\ f'(x):=\Rq \\ g'(x):=\Rq }}
\sa {S4}{\bsm {f(x):=\sen x \\ g(x):=42x \\ f'(x):=\cos x \\ g'(x):=42 }}
%
$$
\begin{array}{lcl}
  \ga{RC}           &=& \bigeq{ \ddx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) } \\
  \ga{RC}  \ga{S4?} &=& \bigeq{ \ddx \sen 42x = \Rq } \\
  \ga{RC}  \ga{S4}  &=& \bigeq{ \ddx \sen 42x = \cos(42x)·42 } \\
\end{array}
$$


}\anothercol{

Se a pessoa não faz a menor idéia de como eu consegui descobrir o que
pôr nos cinco `$\Rq$'s da minha solução em três passos dali da
esquerda eu posso expandir a minha solução deste jeito...
%
\sa{S2?}{\bmat{f(x):=\Rq    \\ g(x):=\Rq}}
\sa {S2}{\bmat{f(x):=\sen x \\ g(x):=42x}}
\sa{S4?}{\bsm {f(x):=\Rq    \\ g(x):=\Rq \\ f'(x):=\Rq \\ g'(x):=\Rq }}
\sa{S4H}{\bsm {f(x):=\sen x \\ g(x):=42x \\ f'(x):=\Rq \\ g'(x):=\Rq }}
\sa {S4}{\bsm {f(x):=\sen x \\ g(x):=42x \\ f'(x):=\cos x \\ g'(x):=42 }}
%
$$
\begin{array}{lcl}
  \ga{RC}           &=& \bigeq{ \ddx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) } \\
  \ga{RC}  \ga{S4?} &=& \bigeq{ \ddx \sen 42x = \Rq } \\
  \ga{RCL}          &=& \bigeq{ \ddx f(g(x)) } \\
  \ga{RCL} \ga{S2?} &=& \bigeq{ \ddx \sen 42x } \\
  \ga{RCL} \ga{S2}  &=& \bigeq{ \ddx \sen 42x } \\
  \ga{RC}  \ga{S2}  &=& \bigeq{ \ddx \sen 42x = f'(42x) g'(x) } \\
  \ga{RC}  \ga{S4H} &=& \bigeq{ \ddx \sen 42x = \Rq } \\
  \ga{RC}  \ga{S4}  &=& \bigeq{ \ddx \sen 42x = \cos(42x)·42 } \\
\end{array}
$$

repare que eu introduzi um monte de passos novos, e comecei resolvendo
um problema menor que só tinha dois `$\Rq$'s -- este aqui:
%
$$
\begin{array}{lcl}
  \ga{RCL}          &=& \bigeq{ \ddx f(g(x)) } \\
  \ga{RCL} \ga{S2?} &=& \bigeq{ \ddx \sen 42x } \\
\end{array}
$$

}}


\newpage

{\bf Renomear}

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\sa{A}{\bigeq{\D \ddx f(g(x))}}
\sa{B}{\bigeq{\D \ddx h(k(x))}}
\sa{C}{\bigeq{\D \ddx g(f(x))}}
\sa{D}{\bigeq{\D \frac{d}{dt} g(f(t))}}
\sa{S1}{\bmat{f:=h \\ g:=k}}
\sa{S2}{\bmat{h:=g \\ g:=k}}
\sa{S3}{\bmat{x:=t}}
\sa{S4}{\bmat{f:=g \\ f':=g' \\ g:=f \\ g':=f' \\ x:=t}}
\sa{S4}{\bsm {f:=g \\ f':=g' \\ g:=f \\ g':=f' \\ x:=t}}
\sa{BB}{\und{\ga{A} \ga{S1}}{\ga{B}}}
\sa{CC}{\und{\ga{BB}\ga{S2}}{\ga{C}}}
\sa{DD}{\und{\ga{CC}\ga{S3}}{\ga{D}}}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Note que:
%
$$\ga{DD}
$$

e portanto isto aqui
%
$$\ga{RC} \bsm{f:=h \\ f':=h' \\ g:=k \\ g':=k'}
          \bsm{h:=f \\ h':=f' \\ k:=g \\ k':=g'}
          \bmat{x:=t}
$$

deve dar uma versão da regra da cadeia que usa letras diferentes das
originais... você consegue descobrir o resultado da substituição acima
de cabeça? Se não conseguir faça todos os passos à mão.

}\anothercol{

O Maxima tem uma operação de substituição, \textsf{subst}, em que as
substituições são feitas em ordem, e uma outra, \textsf{psubst}, em
que as substituições são feitas em paralelo. Veja:

\ssk
\url{https://maxima.sourceforge.io/docs/manual/maxima_33.html\#psubst}

\bsk

Se o nosso `$[:=]$' for a substituição em paralelo então a gente pode
fazer isto aqui:
%
$$\ga{A}\ga{S4} = \ga{D}$$

só que uma vez -- em 2022.1 -- eu tentei definir formalmente a
substituição em paralelo em sala e deu super errado, ninguém entendeu
nada... e aí eu vi que era melhor evitar os casos em que a
substituição simples e a substituição em paralelo se comportam de
formas diferentes.




}}


\newpage

% «regra-da-cadeia-ex»  (to ".regra-da-cadeia-ex")
% (c2m241exsubstp 12 "regra-da-cadeia-ex")
% (c2m241exsubsta    "regra-da-cadeia-ex")

{\bf Regra da cadeia: exercícios}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{

% {\bf Regra da cadeia (Miranda):}

{\bf Exercícios do Miranda}

Lembre que:
%
$$\ga{RC} = \bigeq{ \ddx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) }$$

Resolva os exercícios 1--6 e 8--12 daqui:
\par \Ca{MirandaP89} 

usando os métodos que você quiser, e depois reescreva o resultado
final de cada um neste formato com uma justificativa detalhada à
direita, que nós vimos no slide 9:
%
\def\Por#1{\quad\text{por }#1}
%
$$\begin{array}{rcll}
  \D \frac{d}{dt} (3t+4)^5 &=& 5(3t+4)^4·3 &
    \Por{\ga{RC}\bsm{
      f(x):= x^5 \\
      g(x):= 3x+4 \\
      f'(x):= 5x^4 \\
      g'(x):= 3 \\
    }\bmat{ x:=t \\ }
    } \\
  \end{array}
$$






}\anothercol{
}}


\newpage

% «muito-importante»  (to ".muito-importante")
% (c2m241exsubstp 13 "muito-importante")
% (c2m241exsubsta    "muito-importante")

{\bf Muito importante}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Cálculo 2 é cheio de fórmulas que parecem incompreensíveis à primeira
vista, porque são abstratas demais...

\ssk

Uma das utilidades mais importantes da operação `$[:=]$' pra gente vai
ser {\sl transformar fórmulas nas quais a gente não entende nada em
  casos particulares dessas fórmulas, que têm vários pedaços que a
  gente consegue entender}.

\ssk

Isso aqui é uma fórmula -- ou melhor, um ``método'' -- que vai ser um
dos assuntos da P2:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

{\bf Exercício muito importante:}

Calcule o resultado da substituição abaixo.

Você provavelmente vai conseguir entender as quatro igualdades de
baixo do resultado, mas as cinco igualdades de cima ainda não vão
fazer sentido nenhum pra você.

\msk

$$\ga{[M]} \, \ga{reset-S1}\ga{(S)} \;=\; \Rq$$


}}





\newpage

% % «abstrato-e-concreto»  (to ".abstrato-e-concreto")
% % (c2m241exsubstp 4 "abstrato-e-concreto")
% % (c2m241exsubsta   "abstrato-e-concreto")
% 
% {\bf Mais abstrato, mais concreto}
% 
% $$\begin{array}{rcl}
%   \redname{[A]} &=& \bigeq{\D
%     \Intx{a}{b}{f(x)}
%     = \Intx{0}{b}{f(x)}
%     - \Intx{0}{a}{f(x)}
%     }
%   \\\\[-5pt]
%   \redname{[B]} &=& \bigeq{\D
%     \Intx{1}{2}{f(x)}
%     = \Intx{0}{2}{f(x)}
%     - \Intx{0}{1}{f(x)}
%     }
%   \\\\[-5pt]
%   \redname{[C]} &=& \bigeq{\D
%     \Intx{1}{2}{x}
%     = \Intx{0}{2}{x}
%     - \Intx{0}{1}{x}
%   }
%   \\
% \end{array}
% $$


\newpage

% «EDOs»  (to ".EDOs")
% (c2m241exsubstp 4 "EDOs")
% (c2m241exsubsta   "EDOs")



\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}



% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2es"
% ee-tla: "c2m241exsubst"
% End:
