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% (find-LATEX "2024-2-C2-P1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C2-P1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C2-P1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C2-P1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C2-P1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-P1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-P1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C2-P1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C2-P1.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
% (code-eec-LATEX "2024-2-C2-P1")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C2-P1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C2-P1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C2-P1.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C2-P1.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C2-P1.pdf
% file:///tmp/2024-2-C2-P1.pdf
% file:///tmp/pen/2024-2-C2-P1.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2-P1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C2-P1" "2" "c2m242p1" "c2p1")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.defs-V» (to "defs-V")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.dicas» (to "dicas")
% «.anexo» (to "anexo")
% «.anexo-2» (to "anexo-2")
%
% «.questao-1» (to "questao-1")
% «.questao-2» (to "questao-2")
% «.questao-3» (to "questao-3")
% «.questao-4» (to "questao-4")
% «.questao-4-grids» (to "questao-4-grids")
% «.gab-1» (to "gab-1")
% «.gab-1a» (to "gab-1a")
% «.gab-1b» (to "gab-1b")
% «.gab-2» (to "gab-2")
% «.gab-3» (to "gab-3")
% «.gab-4» (to "gab-4")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"} % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()} % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()} % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
% «defs-V» (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m242p1p 1 "title")
% (c2m242p1a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.2}
\bsk
P1 (Primeira prova)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m242p1p 2 "links")
% (c2m242p1a "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}
\newpage
% «dicas» (to ".dicas")
% (c2m242p1p 3 "dicas")
% (c2m242p1a "dicas")
% ACRESCENTAR:
% (find-TH "2024-rev" "isso-me-atrapalha")
{\bf Dicas:}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{
1) Nestas questões o que vai contar mais pontos é você organizar as
contas de modo que cada passo seja fácil de entender, de verificar, e
de justificar -- ``chegar no resultado certo'' vai valer relativamente
pouco.
\ssk
2) Recomendo que vocês usem o método das ``caixinhas de anotações''
nas mudanças de variável... numa caixinha de anotações a primeira
linha diz a relação entre a variável nova e a antiga, todas as outras
linhas são consequências da primeira, e dentro da caixinha de
anotações você pode usar as gambiarras com variáveis dependentes e
diferenciais, como isto aqui: $dx = 42\,du$...
\ssk
3) ...por exemplo:
%
$$\bmat{
s = \sen θ \\
\sqrt{1-s^2} = \cos θ \\
\frac{ds}{dθ} = \cos θ \\
ds = \cos θ \, dθ \\
θ = \arcsen s \\
}
$$
\msk
4) Façam o requerimento de revisão de prova! Eu vou ser super rígido
na correção mas a banca de revisão não costuma ser!
}\anothercol{
% (c2m241p1p 3 "questoes-12-dicas")
% (c2m241p1a "questoes-12-dicas")
% (c2m231p1p 2 "questoes-123-dicas")
% (c2m231p1a "questoes-123-dicas")
{}
}}
\newpage
% «anexo» (to ".anexo")
% (c2m242p1p 4 "anexo")
% (c2m242p1a "anexo")
% (find-TH "2024-rev" "para-alinhar")
{\bf Anexo}
\scalebox{0.52}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{
Os {\sl meus} critérios de correção vão ser os que estão no PDFzinho
``Introdução ao curso'':
\msk
\url{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2-intro.pdf}
\msk
A gente já discutiu eles em sala muitas vezes, e vocês já devem ter
relido eles muitas vezes também. {\sl Esse PDFzinho tem várias páginas
sobre as bancas de revisão de provas e sobre porque em muitos casos eu
vou recomendar que as pessoas façam requerimentos de revisão de provas
pra que as provas delas sejam recorrigidas com outros critérios.}
\ssk
Eu avisei no dia da prova que depois eu iria escrever bem mais coisas
sobre como essas bancas de revisão têm funcionado. Esse material que
eu só consegui organizar depois da prova está neste link:
\msk
\url{http://anggtwu.net/2024-rev.html}
\msk
Vou copiar as seções 3 e 5 dessa página pra cá.
\bsk
% (find-TH "2024-rev" "para-alinhar")
{\large \bf 3. Para alinhar...}
\ssk
No processo administrativo contra mim apareceram várias frases
como:
\begin{itemize}
\item Para alinhar o trabalho dos professores...
\item Reprove todo os alunos que não souberem o suficiente
\end{itemize}
}\anothercol{
\begin{itemize}
\item Com respeito às boas práticas de ensino...
\item Com base na experiência que os professores desta banca têm com as disciplinas...
\item O seu material não está dando o resultado que você acha que está
\item Peça ajuda
\end{itemize}
...mas eu {\sl continuo} sem saber praticamente nada...
\begin{itemize}
\item sobre como eles dão os cursos deles,
\item sobre o que eles consideram "suficiente" em cada matéria,
\item sobre o que eles consideram "boas práticas",
\item sobre qual é "a experiência que os professores desta banca têm com as disciplinas",
\item sobre o material que eles usam nos cursos deles,
\item sobre o que eles consideram que é "pedir ajuda",
\item e sobre o que eles consideram que é "ajudar"...
\end{itemize}
}}
\newpage
% «anexo-2» (to ".anexo-2")
% (c2m242p1p 4 "anexo-2")
% (c2m242p1a "anexo-2")
% (find-TH "2024-rev" "isso-me-atrapalha")
{\bf Anexo (cont.)}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
% (find-TH "2024-rev" "isso-me-atrapalha")
{\large \bf 5. Isso me atrapalha?}
\ssk
Isso - das bancas de revisão usando critérios de correção que eu não
consigo descobrir quais são - me atrapalha? Olha, {\sl sim} - deixa eu
explicar porquê.
\ssk
Durante um certo tempo eu consegui convencer os meus alunos de que o
meu curso de Cálculo 2 seria ``muito presencial'': eu iria adaptar ele
pro nível dos alunos, e os alunos que não sabiam o suficiente de
Matemática do Ensino Médio iriam conseguir se virar bem - {\sl se eles
participassem das aulas, fizessem os exercícios, me mostrassem as
dúvidas que eles estavam tendo, e treinassem um pouco em casa}... e os
alunos que tentassem só aprender métodos de resolver integrais e EDOs
em casa por vídeos que eles nunca me mostram quais são provavelmente
iriam se dar mal nas provas, porque eles não iriam aprender as
técnicas pra evitar erros que a gente iria aprender em sala, e além
disso ia ser relativamente difícil colar nas provas...
\ssk
}\anothercol{
Aí as bancas de revisão começaram a aprovar alunos que só mostravam
que sabiam um pouquinho de como aplicar certos métodos, e resolveram
não dar bola pros casos em que vários alunos cometiam exatamente o
mesmo erro bobo exatamente no mesmo ponto das contas... e com isso a
``moral da tropa'' em sala caiu muito - antes muitos alunos faziam
muitos exercícios em grupo na sala "porque não tem outro jeito", mas
agora esse ``porque não tem outro jeito'' não é mais verdade... aí com
isso vários alunos desistem de participar ativamente das aulas, e
resolvem que vão só tentar descobrir os critérios de correção da banca
de revisão - e vão tentar descobrir a) os vídeos certos pra assistir
em casa, e b) jeitos que colar que a banca de revisão aceite.
\ssk
Várias páginas da minha ``Introdução ao curso de Cálculo 2'' de 2024.2
são sobre isso. Dê uma olhada:
\ssk
{\footnotesize
\url{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2-intro.pdf}
}
}}
\newpage
% «questao-1» (to ".questao-1")
% (c2m242p1p 3 "questao-1")
% (c2m242p1a "questao-1")
% (c2m242mvp 18 "simplificando-raizes")
% (c2m242mva "simplificando-raizes")
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{
{}
{\bf Questão 1}
\T(Total: 4.0 pts)
Sejam \ga{(*)} e \ga{(**)} estas integrais:
%
$$\intx{x^3 \sqrt{1-x^2}^3} \qquad \ga{(*)}$$
$$\intx{4x^3 \sqrt{25-x^2}^3} \qquad \ga{(**)}$$
a) \B (2.0 pts) Suponha que a gente sabe integrar \ga{(*)}. Transforme
a \ga{(**)} em algo que a gente sabe integrar.
\ssk
b) \B (1.0 pts) Suponha que a gente não sabe integrar \ga{(*)}.
Resolva \ga{(*)} por subtituição trigonométrica.
\ssk
c) \B (1.0 pts) Teste o resultado que você obteve no item (b).
\bsk
\bsk
% «questao-2» (to ".questao-2")
% (c2m242p1p 6 "questao-2")
% (c2m242p1a "questao-2")
{\bf Questão 2}
\T(Total: 2.5 pts)
a) \B (2.0 pts) Transforme
%
$$\frac{x^3+6\,x^2-22\,x-55}{x^2+4\,x-21}$$
em algo fácil de integrar.
\ssk
b) \B (0.5 pts) Integre:
%
$$\intx{\frac{x^3+6\,x^2-22\,x-55}{x^2+4\,x-21}}$$
}\anothercol{
% «questao-3» (to ".questao-3")
% (c2m242p1p 4 "questao-3")
% (c2m242p1a "questao-3")
{\bf Questão 3}
\T(Total: 2.5 pts)
a) \B (2.0 pts) Transforme
%
$$(\cos x)(\cos 5x)^2$$
em algo fácil de integrar usando o ``método do $E$'', que na
terminologia do Maxima é o método do \textsf{exponentialize} e do
\textsf{demoivre}. As dicas são essas aqui:
% Algumas definições, fórmulas e substituições:
\msk
$\begin{array}[t]{l}
c = \cos θ \\
s = \sen θ \\
t = \tan θ \\
z = \sec θ \\
E = e^{iθ} \\
\end{array}
%
\begin{array}[t]{l}
c^2+s^2=1 \\
z^2=t^2+1 \\
\sqrt{1-s^2} = c \\
\sqrt{t^2+1} = z \\
\sqrt{z^2-1} = t \\
\end{array}
%
\begin{array}[t]{l}
\frac{ds}{dθ} = c \\
\frac{dc}{dθ} = -s \\
\frac{dt}{dθ} = z^2 \\
\frac{dz}{dθ} = zt \\
\end{array}
%
\begin{array}[t]{l}
E = c+is \\
c = \frac{E+E^{-1}}{2} \\
s = \frac{E-E^{-1}}{2i} \\
e^{ikθ} + e^{-ikθ} = 2 \cos kθ \\
e^{ikθ} - e^{-ikθ} = 2i \sen kθ \\
\end{array}
$
\msk
b) \B (0.5 pts) Integre:
%
$$\intx{(\cos x)(\cos 5x)^2}$$
\bsk
% «questao-4» (to ".questao-4")
% (c2m242p1p 4 "questao-4")
% (c2m242p1a "questao-4")
{\bf Questão 4
}
\T(Total: 1.0 pts)
\msk
Seja $f(t)$ a função no topo da página seguinte.
Seja
%
$$F(x) \;=\; \Intt{3}{x}{f(t)}.$$
Desenhe o gráfico de $F(x)$ em algum dos grids vazios da próxima
página. Indique claramente qual é a versão final e quais desenhos são
rascunhos.
}}
\newpage
% «questao-4-grids» (to ".questao-4-grids")
% (c2m242p1p 5 "questao-4-grids")
% (c2m242p1a "questao-4-grids")
% (c2m232p1p 4 "questao-5-grids")
% (c2m232p1a "questao-5-grids")
% (c2m231p1p 4 "questao-5-grids")
% (c2m231p1a "questao-5-grids")
% (c2m222p1p 4 "questao-5-grids")
% (c2m222p1a "questao-5-grids")
%L -- (find-angg "LUA/Pict2e1-1.lua" "FromYs")
%L fry = FromYs.from {ys={0,-1,1,-2,2,-3,3,-3,2,-2,1,-1,0}, Y0=0} :setall()
%L fry = FromYs.from {ys={0,-1,-3,3,1,0,1,2,1,0,-1,-2,-1,0}, Y0=0} :setall()
%L fry = FromYs.from {ys={2,1,0,1,2,-2,1,-2,0,-2,0,1,2,1,0,-1,-2,-1,0}, Y0=-3} :setall()
%L fry = FromYs.from {ys={2,-1,1,-2,-1,0,1,2,0,1,2,0,-1,0,-2,1,-2}, Y0=-2} :setall()
%L Pict {
%L fry:ypict() :sa("fig f"),
%L fry:ypict() :prethickness("1pt"):sa("fig f"),
%L fry:Ypict() :sa("fig F"),
%L fry:grid(-5,5):sa("grid F"),
%L } :output()
\pu
\unitlength=8pt
$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{ll}
\ga{fig f} \phantom{mm} & \ga{fig f} \\ \\
\ga{grid F} & \ga{grid F} \\ \\
\ga{grid F} & \ga{grid F} \\
\end{array}
$}
$
\newpage
% «gab-1» (to ".gab-1")
% (c2m242p1p 8 "gab-1")
% (c2m242p1a "gab-1")
{\bf Questão 1: gabarito}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\vspace*{0.0cm}
% «gab-1a» (to ".gab-1a")
% (c2m242p1p 8 "gab-1a")
% (c2m242p1a "gab-1a")
%
$\text{1a)}
\begin{array}[t]{l}
\intx{4x^3 \sqrt{25-x^2}^3} \\
= \; \intx{4x^3 \sqrt{5^2-x^2}^3} \\
= \; \intx{4x^3 \sqrt{5^2-(5^2)\frac{x^2}{5^2}}^3} \\
= \; \intx{4x^3 \sqrt{5^2(1-\frac{x^2}{5^2})}^3} \\
= \; \intx{4x^3 \left(\sqrt{5^2(1-\frac{x^2}{5^2})}\right)^3} \\
= \; \intx{4x^3 \left(\sqrt{5^2}\sqrt{(1-\frac{x^2}{5^2})}\right)^3} \\
= \; \intx{4x^3 \sqrt{5^2}^3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}^3} \\
%
= \; \intx{4x^3 · 5^3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}^3} \\
= \; 4 · 5^3 \intx{x^3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}^3} \\
= \; 4 · 5^3 \intx{x^3\sqrt{1-(\frac{x}{5})^2}^3} \\
= \; 4 · 5^3 \intu{(5u)^3\sqrt{1-u^2}^3 · 5}\\
= \; 4 · 5^3 \intu{5^3u^3 · 5 \sqrt{1-u^2}^3}\\
= \; 4 · 5^3 \intu{5^4 u^3\sqrt{1-u^2}^3}\\
= \; 4 · 5^4 · 5^3 \intu{u^3\sqrt{1-u^2}^3}\\
%
%= \; \intx{4x^3 · 5^{\frac{2}{3}}\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}^3} \\
%= \; 4 · 5^{\frac{2}{3}} \intx{x^3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}^3} \\
%= \; 4 · 5^{\frac{2}{3}} \intx{x^3\sqrt{1-(\frac{x}{5})^2}^3} \\
%= \; 4 · 5^{\frac{2}{3}} \intu{(5u)^3\sqrt{1-u^2}^3 · 5}\\
%= \; 4 · 5^{\frac{2}{3}} \intu{5^3u^3 · 5 \sqrt{1-u^2}^3}\\
%= \; 4 · 5^{\frac{2}{3}} \intu{5^4 u^3\sqrt{1-u^2}^3}\\
%= \; 4 · 5^4 · 5^{\frac{2}{3}} \intu{u^3\sqrt{1-u^2}^3}\\
\end{array}
\;\;
\begin{array}[t]{l}
\\
\\[6.65cm]
\bmat{
u = x/5 \\
x = 5u \\
dx = 5du \\
}
\end{array}
$
}\anothercol{
\vspace*{0.0cm}
% «gab-1b» (to ".gab-1b")
% (c2m242p1p 8 "gab-1b")
% (c2m242p1a "gab-1b")
%
$\def\s{{\senθ}}
\def\c{{\cosθ}}
\def\sqs{{\sqrt{1-s^2}}}
\def\sqx{{\sqrt{1-x^2}}}
%
\text{1b)}
\begin{array}[t]{l}
\intx{x^3\sqrt{1-x^2}^3} \\
= \; \ints{s^3\sqrt{1-s^2}^3} \\
= \; \intth{(\s)^3(\c)^3\c} \\
= \; \intth{(\s)^3(\c)^4} \\
= \; \intth{(\c)^4(\s)^3} \\
= \; \intth{(\c)^4(\s)^2\s} \\
= \; \intth{(\c)^4(1-(\c)^2)\s} \\
= \; \intc{c^4(1-c^2)(-1)} \\
= \; \intc{c^4(c^2-1)} \\
= \; \intc{c^6-c^4} \\
= \; \frac{c^7}{7} - \frac{c^5}{5} \\
= \; \frac{(\c)^7}{7} - \frac{(\c)^5}{5} \\
= \; \frac{(\sqs)^7}{7} - \frac{(\sqs)^5}{5} \\
= \; \frac{(\sqx)^7}{7} - \frac{(\sqx)^5}{5} \\
%= \; \frac{(\sqx)^2(\sqx)^5}{7} - \frac{(\sqx)^5}{5} \\
%= \; \frac{(1-x^2)(\sqx)^5}{7} - \frac{(\sqx)^5}{5} \\
%= \; \frac{5(1-x^2)(\sqx)^5}{35} - \frac{7(\sqx)^5}{35} \\
%= \; \frac{(\sqx)^5}{35} (5(1-x^2) - 7) \\
%= \; \frac{(\sqx)^5}{35} (5 - 5x^2 - 7) \\
%= \; \frac{(\sqx)^5}{35} (-2 - 5x^2) \\
\end{array}
\;\;
\begin{array}[t]{l}
\\
\\[-1cm]
\bmat{
s = \sen θ \\
\sqrt{1-s^2} = \cos θ \\
\frac{ds}{dθ} = \cos θ \\
ds = \cos θ \, dθ \\
θ = \arcsen s \\
}
\\
\\[0cm]
\bmat{
c = \cos θ \\
\frac{dc}{dθ} = -\sen θ \\
\senθ\,dθ = (-1)dc \\
}
\end{array}
$
}}
\newpage
% «gab-2» (to ".gab-2")
% (c2m242p1p 9 "gab-2")
% (c2m242p1a "gab-2")
% (find-es "maxima" "2024.2-C2-P1" "questao-2")
{\bf Questão 2: gabarito}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\vspace*{-0.0cm}
$\begin{array}{rcl}
x^3+6x^2-22x-55
&=& (x^2+4x-21)(x+2)-9x-13 \\
x^2+4x-21
&=& (x-3)(x+7) \\\\[-5pt]
\D \frac{x^3+6x^2-22x-55}{x^2+4x-21}
&=& \D {\frac{(x^2+4x-21)(x+2)-9x-13}{x^2+4x-21}} \\\\[-10pt]
&=& \D x+2 + {\frac{-9x-13}{x^2+4x-21}} \\\\[-10pt]
&=& \D x+2 + {\frac{-9x-13}{(x-3)(x+7)}} \\\\[-10pt]
&=& \D x+2 + {\frac{-4}{x-3}} + {\frac{-5}{x+7}} \\\\[-5pt]
\D \intx {{\frac{x^3+6x^2-22x-55}{x^2+4x-21}}}
&=& \D \intx {x+2 + {\frac{-4}{x-3}} + {\frac{-5}{x+7}}} \\\\[-10pt]
&=& \D \frac{x^2}{2} + 2x -4\log(x-3) -5\log(x+7) \\
\end{array}
$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «gab-3» (to ".gab-3")
% (c2m242p1p 10 "gab-3")
% (c2m242p1a "gab-3")
% (find-es "maxima" "2024.2-C2-P1")
% (find-es "maxima" "2024.2-C2-P1" "questao-3")
{\bf Questão 3: gabarito}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
$$\begin{array}{rcl}
\cos θ &=& \frac12(E+E^{-1}) \\
\cos 5θ &=& \frac12(E^5+E^{-5}) \\
(\cos 5θ)^2 &=& (\frac12(E^5+E^{-5}))^2 \\
&=& \frac14(E^{10}+2+E^{-10}) \\
(\cos θ)(\cos 5θ)^2
&=& \frac12(E+E^{-1})
·\frac14(E^{10}+2+E^{-10}) \\
&=& \frac18(E+E^{-1})
(E^{10}+2+E^{-10}) \\
&=& \frac18
\pmat{\;E\;\;\;\;(E^{10}+2+E^{-10}) \\
+E^{-1} (E^{10}+2+E^{-10})} \\
&=& \frac18
\pmat{E^{11} + 2E + E^{-9} \\
+ E^9 + 2E^{-1} + E^{-11}} \\
&=& \frac18
((E^{11}+E^{-11}) + (E^9+E^{-9}) + 2(E + E^{-1})) \\
&=& \frac18 (2 \cos11θ + 2\cos9θ + 4\cosθ) \\
&=& \frac14 \cos11θ + \frac14 \cos9θ + \frac12 \cosθ \\
\\[-10pt]
\intth{(\cos θ)(\cos 5θ)^2}
&=& \intth{\frac14 \cos11θ + \frac14 \cos9θ + \frac12 \cosθ} \\
&=& \frac1{4·11} \sen11θ + \frac1{4·9} \sen9θ + \frac12 \senθ \\
\\[-10pt]
\intx{(\cos x)(\cos 5x)^2}
&=& \frac1{4·11} \sen11x + \frac1{4·9} \sen9x + \frac12 \sen x \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «questoes-12» (to ".questoes-12")
% (c2m241p1p 2 "questoes-12")
% (c2m241p1a "questoes-12")
% (c2m232p1p 2 "questoes-123")
% (c2m232p1a "questoes-123")
% (c2m231p1p 2 "questoes-123")
% (c2m231p1a "questoes-123")
% (c2m222p1p 1 "questao-1")
% (c2m222p1a "questao-1")
% (c2m222p1p 2 "subst-trig")
% (c2m222p1a "subst-trig")
% (c2m222mva "title")
% (c2m222mva "title" "Aula 10: Mudança de variáveis")
% (c2m222tudop 49)
% (c2m222striga "title")
% (c2m222striga "title" "Aulas 11 e 12: substituição trigonométrica")
% (find-es "maxima" "subst-trig-questions")
% (find-es "maxima" "subst-trig-questions" "F(2,1)")
% (c2m232p1p 3 "questoes-45")
% (c2m232p1a "questoes-45")
% (c2m231p1p 3 "questoes-45")
% (c2m231p1a "questoes-45")
% (c2m241p1p 5 "questao-1-gab")
% (c2m241p1a "questao-1-gab")
% (find-es "maxima" "2024-1-C2-P1")
% (c2m231p1p 5 "questao-1-gab")
% (c2m231p1a "questao-1-gab")
% (c2m222p1p 5 "questao-1-gab")
% (c2m222p1a "questao-1-gab")
% (c2m241p1p 6 "questao-2-gab")
% (c2m241p1a "questao-2-gab")
% (c2m232p1p 6 "questao-2-gab")
% (c2m232p1a "questao-2-gab")
% (c2m231p1p 6 "questao-2-gab")
% (c2m231p1a "questao-2-gab")
% (c2m222p1p 6 "questao-2-gab")
% (c2m222p1a "questao-2-gab")
\newpage
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ?")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T linsolve ([A+B=4, 3*A-2*B=5], [A, B]);
%T linsolve ([A+B=2, 5*A-4*B=3], [A, B]);
%T
%T f : (4*x + 5) / ((x-2)*(x+3));
%T partfrac(f, x);
%T F : integrate(f, x);
% (c2m232p1p 8 "questao-4-gab")
% (c2m232p1a "questao-4-gab")
% (c2m231p1p 8 "questao-4-gab")
% (c2m231p1a "questao-4-gab")
% (c2m222p1p 7 "questao-3-gab")
% (c2m222p1a "questao-3-gab")
% (c2m221atisp 21 "1-then-2")
% (c2m221atisa "1-then-2")
\newpage
% «gab-4» (to ".gab-4")
% (c2m242p1p 10 "gab-4")
% (c2m242p1a "gab-4")
% (c2m241p1p 5 "questao-4-gab")
% (c2m241p1a "questao-4-gab")
% (c2m231p1p 9 "questao-5-gab")
% (c2m231p1a "questao-5-gab")
% (c2m222p1p 9 "questao-5-gab")
% (c2m222p1a "questao-5-gab")
{\bf Questão 4: gabarito}
\unitlength=10pt
$$\begin{array}{r}
f(x) \;=\; \ga{fig f} \\ \\
F(x) \;=\; \Intt{3}{x}{f(t)}
\;=\; \ga{fig F} \\
\end{array}
$$
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C2-P1")
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2p1"
% ee-tla: "c2m242p1"
% End: