% (find-LATEX "2025-1-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C2-P2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C2-P2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2025-1-C2-P2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C2-P2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C2-P2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2025-1-C2-P2")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2025-1-C2-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C2-P2.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C2-P2.pdf
%               file:///tmp/2025-1-C2-P2.pdf
%           file:///tmp/pen/2025-1-C2-P2.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2-P2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C2-P2" "2" "c2m251p2" "c2p2")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.defs-edovs»		(to "defs-edovs")
% «.defs-edoexs»	(to "defs-edoexs")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.questao-1»		(to "questao-1")
% «.questao-2»		(to "questao-2")
% «.questao-3»		(to "questao-3")
% «.lembre-que-mangas»	(to "lembre-que-mangas")
% «.gab-1»		(to "gab-1")
% «.gab-2»		(to "gab-2")
% «.gab-2d»		(to "gab-2d")
% «.gab-3»		(to "gab-3")
% «.gab-3-2»		(to "gab-3-2")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

% «defs-edovs»  (to ".defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")

% «defs-edoexs»  (to ".defs-edoexs")
\input 2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex")

% (c2m232edolsp 3 "defs-bodies")
% (c2m232edolsa   "defs-bodies")

\sa  {(**)}{\ensuremath{({*}{*})}}
\sa {(***)}{\ensuremath{({*}{*}{*})}}
\sa{(****)}{\ensuremath{({*}{*}{*}{*})}}
\def\mac{\mathsf{mac}}

\sa  {*1}{\ensuremath{(*_1)}}
\sa  {*2}{\ensuremath{(*_2)}}
\sa  {*3}{\ensuremath{(*_3)}}
\sa  {*4}{\ensuremath{(*_4)}}
\sa  {*5}{\ensuremath{(*_5)}}
\sa  {*6}{\ensuremath{(*_6)}}
\sa  {*7}{\ensuremath{(*_7)}}

\def\P#1{\left( #1 \right)}
\sa{[EL3]}{\CFname{EL}{_3}}
\sa{(EL3)}{
  \P{\begin{array}{rcl}
     f'+fg & = & h \\
        G' & = & g \\
         f & = & e^{-G}(\intx{e^Gh} + C) \\
     \end{array}
    }}

\pu


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m251p2p 1 "title")
% (c2m251p2a   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2025.1}

\bsk

P2 (segunda prova)

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m251p2p 2 "links")
% (c2m251p2a   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}

\newpage

% «questao-1»  (to ".questao-1")
% (c2m251p2p 3 "questao-1")
% (c2m251p2a   "questao-1")
% 2jT272: (c2m242p2p 3 "questao-1")
%         (c2m242p2a   "questao-1")
%         (c2m241p2p 3 "questao-1")
%         (c2m241p2a   "questao-1")
% (find-angg "MAXIMA/2024-2-C2-EDOVS.mac")

{\bf Questão 1}

\scalebox{0.49}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

\vspace*{-0.4cm}

\T(Total: 5.0 pts)

Lembre que no curso eu mostrei que o meu modo preferido de escrever o
``método'' para resolver EDOs com variáveis separáveis --- ``EDOVSs''
--- é o ``método'' \ga{[M]} abaixo... eu pus o termo ``método'' entre
aspas porque alguns dos passos da \ga{[M]} são gambiarras nas quais a
gente não pode confiar totalmente, e aí a gente precisa sempre testar
as nossas soluções. O $\ga{[F3]}$ abaixo --- a ``fórmula'' --- é uma
versão resumida do \ga{[M]}.
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\\\[-5pt]
  \ga{[F3]} &=& \ga{(F3)} \\
  \end{array}
$$

\vspace*{-5cm}

}\anothercol{


Seja $\ga{*1}$ esta EDOVSs:
%
$$\begin{array}{rcll}
  \D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{-2(x+1)}{2(y-1)} & \qquad\ga{*1} \\
  \end{array}
$$

a) \B (1.0 pts) Desenhe os tracinhos do campo de direções da EDO (*)
nos pontos com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$. Aqui você vai ter que desenhar
25 tracinhos e vai ter que caprichar -- um tracinho com coeficiente
angular $\frac12$ tem que ser visualmente bem diferente de um com
coeficiente angular 1 e de um com coeficiente angular $2$.

\ssk

b) \B (0.5 pts) Encontre as duas soluções gerais da EDO $(*)$ -- a
solução ``positiva'' e a ``negativa'' -- e dê nomes para elas.

\ssk

c) \B (0.5 pts) Teste a sua solução ``negativa''.

\ssk

d) \B (1.0 pts) Sejam $P_1=(-1,0)$ e $P_2=(3,4)$. Encontre a solução
particular que passa pelo ponto $P_1$ e a que passa pelo ponto $P_2$.
Dê nomes pra elas e teste-as.

\ssk

e) \B (1.0 pts) Verifique que a solução que você encontrou que passa
por $P_1$ não passa por $P_2$ e que a solução que você encontrou que
passa por $P_2$ não passa por $P_1$.

\ssk

f) \B (1.0 pts) Faça os gráficos das soluções que você encontrou no
item (d). Dica: as funções que você deve ter encontrado passam por
vários pontos com coordenadas inteiras; comece desenhando esses
pontos.

\bsk

\standout{Muito importante:} leia a página do ``Lembre que...''!

% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")

}}


\newpage

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

% «questao-2»  (to ".questao-2")
% 2jT273: (c2m242p2p 4 "questao-2")
%         (c2m242p2a   "questao-2")
% (c2m241p2p 4 "questao-2")
% (c2m241p2a   "questao-2")
% (c2m232p2p 3 "questao-2")
% (c2m232p2a   "questao-2")

{\bf Questão 2}

\T(Total: 4.0 pts)

\msk

Sejam \ga{*2} e \ga{*3} as EDOs abaixo:
%
$$\begin{array}{rcll}
  y'' - 3y' - 10y &=& 0 & \qquad \ga{*2} \\
  y'' - 4y' + 13y &=& 0 & \qquad \ga{*3} \\
  \end{array}
$$

a) \B (0.5 pts) Encontre as soluções básicas e a solução geral da EDO
\ga{*2}. Dê um nome para cada uma delas.

\ssk

b) \B (1.0 pts) Encontre uma solução $g(x)$ da EDO \ga{*2} que
obedeça isto aqui: $g(0)=2$, $g'(0)=3$.

\ssk

c) \B (0.5 pts) Encontre as solução básicas complexas e as soluções
básicas reais da EDO \ga{*3}. Dê um nome para cada uma delas.

\ssk

d) \B (2.0 pts) Escolha uma das soluções básicas reais que você obteve
no item (c) e verifique que ela realmente é solução da EDO \ga{*3}.
Além disso verifique que $e^{4x}\cos(5x)$ não é solução da EDO
\ga{*3}.

\bsk

Lembre que eu disse nas dicas pra P2 que a prova teria um item em que
as contas ficariam bem curtas se vocês soubessem definir funções
intermediárias e sem definir funções intermediárias as contas ficariam
gigantescas... é o item (d) acima.


% \msk
% d) \B (0.5 pts) Teste a solução que você encontrou no item anterior.


\bsk
\bsk



}\anothercol{

% «questao-3»  (to ".questao-3")
% (c2m251p2p 4 "questao-3")
% (c2m251p2a   "questao-3")
% 2jT273: (c2m241p2p 4 "questao-4")
%         (c2m241p2a   "questao-4")
% (c2m241edosexatasp 5 "uma-questao-de-prova")
% (c2m241edosexatasa   "uma-questao-de-prova")


{\bf Questão 3}

\T(Total: 2.0 pts)

\msk

4) Sejam $\ga{*4}$, $\ga{*5}$ e $\ga{*6}$ estas EDOs:
%
$$\begin{array}{rl}
    20xy^3\,dx + 30x^2y^2\,dy = 0 & \ga{*5} \\
  20x^2y^3\,dx + 30x^3y^2\,dy = 0 & \ga{*6} \\
  (8xy^2+14x)\,dx + (8x^2y+5)\,dy = 0 & \ga{*7} \\
  \end{array}
$$

a) \B(0.1 pts) Mostre que a $\ga{*5}$ é exata.

b) \B(0.1 pts) Mostre que $\ga{*6}$ não é exata.

c) \B(0.4 pts) Encontre a solução geral de $\ga{*5}$.

d) \B(0.4 pts) Teste a sua solução geral da $\ga{*5}$.

e) \B(0.1 pts) Mostre que $\ga{*7}$ é exata.

f) \B(0.9 pts) Encontre a solução geral {\sl implícita} da $\ga{*7}$.
Aqui você não precisa encontrar a solução geral explícita -- as contas
pra encontrar a solução geral explícita são grandes demais.

\ssk

Lembre que você pode usar este método:
%
$$\begin{array}[t]{rcl}
  \ga{[E5]} &=& \ga{(E5)} \\
  \end{array}
$$


\bsk

 
}}

\newpage

% «lembre-que-mangas»  (to ".lembre-que-mangas")
% (c2m251p2p 5 "lembre-que-mangas")
% (c2m251p2a   "lembre-que-mangas")

{\bf Lembre que... mangas}

%M (%i1) edo  : 'diff(y,x) = -x/y;
%M (%o1) {\frac{d}{d\,x}}\,y=-\left({\frac{x}{y}}\right)
%M (%i2) imp  : ode2(edo,y,x);
%M (%o2) -\left({\frac{y^2}{2}}\right)={\frac{x^2}{2}}+\mathrm{\%c}
%M (%i3) exps : solve(imp,y);
%M (%o3) \left[ y=-\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} , y=\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} \right] 
%M (%i4) exps : subst(%c=-C3/2, %);
%M (%o4) \left[ y=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} , y=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} \right] 
%M (%i5) define(f1(x), rhs(exps[1]));
%M (%o5) \mathrm{f1}\left(x\right):=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i6) define(f2(x), rhs(exps[2]));
%M (%o6) \mathrm{f2}\left(x\right):=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i7) define(f3(x), subst(C3=25, f2(x)));
%M (%o7) \mathrm{f3}\left(x\right):=\sqrt{25-x^2}
%M (%i8)    3=f3(4);
%M (%o8) 3=3
%M (%i9) is(3=f3(4));
%M (%o9) \mathbf{true}
%L maximahead:sa("manga", "")
\pu

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

{}

Lembre que:

\begin{itemize}

\item nós estamos usando o termo ``mangas'' pra palavras ou símbolos
  que podem ter vários significados diferentes,

\item o `$=$' é uma manga,

\item NO MEU CRITÉRIO DE CORREÇÃO distinguir os vários tipos de `$=$'
  vale boa parte dos pontos de cada questão,

\item a gente geralmente usa partículas em português pra distinguir os
  vários tipos de `$=$'s,

\item as partículas que nós usamos mais vezes no curso são ``então'',
  ``lembre que'', ``sabemos que'' -- sendo que estas às vezes são
  omitidas -- e ``seja'', ``queremos que'', ``vamos supor que'',
  ``vamos testar se'',

\item nós usamos testes e chutar-e-testar bastante no curso, mas nos
  livros eles aparecem pouquíssimo -- os livros costumam mostrar só o
  que dá certo,

\item no curso eu muitas vezes usava `$\smile$' e `$\frown$' pra
  indicar ``deu certo'' e ``deu errado''.

\item uma das minhas desculpas pra usar o Maxima no curso é que quando
  a gente traduz as contas de C2 pra Maxima os `$=$'s com significados
  diferentes têm traduções totalmente diferentes.

\end{itemize}

}\anothercol{

Um exemplo em Maxima:

\bsk

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {10cm}
$\scalebox{0.65}{\ga{manga}}$

}}



\newpage

% «gab-1»  (to ".gab-1")
% (c2m251p2p 6 "gab-1")
% (c2m251p2a   "gab-1")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-C2-P2.mac")

{\bf Questão 1: gabarito em Maxima}

%M (%i1) [transpose(matrix(S5p)),
%M  transpose(matrix(S5n))];
%M (%o1) \left[ \begin{pmatrix}g\left(x\right)=-\left(2\,\left(x+1\right)\right)\cr h\left(y\right)=2\,\left(y-1\right)\cr G\left(x\right)=-\left(x+1\right)^2\cr H\left(y\right)=\left(y-1\right)^2\cr \mathrm{Hinv}\left(y\right)=\sqrt{y}+1\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}g\left(x\right)=-\left(2\,\left(x+1\right)\right)\cr h\left(y\right)=2\,\left(y-1\right)\cr G\left(x\right)=-\left(x+1\right)^2\cr H\left(y\right)=\left(y-1\right)^2\cr \mathrm{Hinv}\left(y\right)=1-\sqrt{y}\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i2) EDOVS_M   _s_ S5p;
%M (%o2) \begin{pmatrix}{\frac{d}{d\,x}}\,y&\mbox{ = }&{\frac{-\left(2\,\left(x+1\right)\right)}{2\,\left(y-1\right)}}\cr 2\,\left(y-1\right)\,dx&\mbox{ = }&-\left(2\,\left(x+1\right)\,dx\right)\cr \int {2\,\left(y-1\right)}{\;dy}\big.&\mbox{ = }&\int {-\left(2\,\left(x+1\right)\right)}{\;dx}\big.\cr \mbox{ || }&&\mbox{ || }\cr \left(y-1\right)^2+\mathrm{C1}&\mbox{ = }&-\left(x+1\right)^2+\mathrm{C2}\cr \left(y-1\right)^2&\mbox{ = }&-\left(x+1\right)^2+\mathrm{C3}\cr \left| y-1\right| +1&\mbox{ = }&\sqrt{-\left(x+1\right)^2+\mathrm{C3}}+1\cr \mbox{ || }&&\cr y&&\cr \end{pmatrix}
%M (%i3) EDOVS_edo _s_ S5p;
%M (%o3) {\frac{d}{d\,x}}\,y=-\left({\frac{x+1}{y-1}}\right)
%M (%i4) EDOVS_imp _s_ S5p;
%M (%o4) \left(y-1\right)^2=\mathrm{C3}-\left(x+1\right)^2
%M (%i5) EDOVS_exp _s_ S5p;
%M (%o5) y=\sqrt{\mathrm{C3}-\left(x+1\right)^2}+1
%M (%i6) EDOVS_f   _s_ S5p;
%M (%o6) \sqrt{\mathrm{C3}-\left(x+1\right)^2}+1
%M (%i7) item_1a();
%M (%o7) \myvcenter{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/P2_001.pdf}}
%L maximahead:sa("gab-1", "")
\pu

%M (%i8) item_1b();
%M (%o8) \begin{pmatrix}\mathrm{fp}\left(x\right):=\sqrt{\mathrm{C3}-\left(x+1\right)^2}+1\cr \mathrm{fn}\left(x\right):=1-\sqrt{\mathrm{C3}-\left(x+1\right)^2}\cr \end{pmatrix}
%M (%i9) item_1c();
%M (%o9) {\frac{d}{d\,x}}\,\left(1-\sqrt{\mathrm{C3}-\left(x+1\right)^2}\right)={\frac{x+1}{\sqrt{\mathrm{C3}-\left(x+1\right)^2}}}
%M (%i10)   ev(%, diff);
%M (%o10) {\frac{x+1}{\sqrt{\mathrm{C3}-\left(x+1\right)^2}}}={\frac{x+1}{\sqrt{\mathrm{C3}-\left(x+1\right)^2}}}
%M (%i11) item_1d();
%M (%o11) \begin{pmatrix}\mathrm{f\_P1}\left(x\right):=1-\sqrt{1-\left(x+1\right)^2}\cr \mathrm{f\_P2}\left(x\right):=\sqrt{25-\left(x+1\right)^2}+1\cr \end{pmatrix}
%M (%i12)   subst(P1, y=f_P1(x));
%M (%o12) 0=0
%M (%i13)   subst(P2, y=f_P2(x));
%M (%o13) 4=4
%M (%i14) "item 1e"$
%M (%i15)   subst(P1, y=f_P2(x));
%M (%o15) 0=6
%M (%i16)   subst(P2, y=f_P1(x));
%M (%o16) 4=1-\sqrt{15}\,i
%M (%i17) item_1f();
%M (%o17) \myvcenter{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/P2_002.pdf}}
%L maximahead:sa("gab-1 2", "")
\pu

\scalebox{0.3}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {12cm}
\ga{gab-1}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{gab-1 2}

}}



\newpage

% «gab-2»  (to ".gab-2")

{\bf Questão 2: gabarito em Maxima}

%M (%i1) load("~/MAXIMA/2025-1-C2-P2.mac")$
%M (%i2) star2;
%M (%o2) {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,y-3\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)-10\,y=0
%M (%i3) star3;
%M (%o3) {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,y-4\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)+13\,y=0
%M (%i4) sol_star2 : ode2(star2,y,x);
%M (%o4) y=\mathrm{\%k1}\,e^{5\,x}+\mathrm{\%k2}\,e^ {- 2\,x }
%M (%i5) sol_star3 : ode2(star3,y,x);
%M (%o5) y=e^{2\,x}\,\left(\mathrm{\%k1}\,\sin \left(3\,x\right)+\mathrm{\%k2}\,\cos \left(3\,x\right)\right)
%M (%i6)        EDOLCC;
%M (%o6) \begin{pmatrix}\mbox{ f'' }+\left(-b-a\right)\,\mbox{ f' }+a\,b\,f&\mbox{ = }&0\cr D^2\,f+\left(-b-a\right)\,D\,f+a\,b\,f&\mbox{ = }&0\cr \left(D^2+\left(-b-a\right)\,D+a\,b\right)\,f&\mbox{ = }&0\cr \left(D-a\right)\,\left(D-b\right)\,f&\mbox{ = }&0\cr \left(D-a\right)\,\left(D-b\right)\,e^{b\,x}&\mbox{ = }&0\cr \left(D-a\right)\,\left(D-b\right)\,e^{a\,x}&\mbox{ = }&0\cr \end{pmatrix}
%M (%i7)        EDOLCC _s_ Sstar2;
%M (%o7) \begin{pmatrix}\mbox{ f'' }+\left(-3\right)\,\mbox{ f' }+\left(-\left(10\,f\right)\right)&\mbox{ = }&0\cr D^2\,f+\left(-3\right)\,D\,f+\left(-\left(10\,f\right)\right)&\mbox{ = }&0\cr \left(D^2+\left(-3\right)\,D+\left(-10\right)\right)\,f&\mbox{ = }&0\cr \left(D-5\right)\,\left(D+2\right)\,f&\mbox{ = }&0\cr \left(D-5\right)\,\left(D+2\right)\,e^ {- 2\,x }&\mbox{ = }&0\cr \left(D-5\right)\,\left(D+2\right)\,e^{5\,x}&\mbox{ = }&0\cr \end{pmatrix}
%M (%i8) expand(EDOLCC _s_ Sstar3);
%M (%o8) \begin{pmatrix}\mbox{ f'' }+\left(-4\right)\,\mbox{ f' }+13\,f&\mbox{ = }&0\cr D^2\,f+\left(-4\right)\,D\,f+13\,f&\mbox{ = }&0\cr \left(D^2+\left(-4\right)\,D+13\right)\,f&\mbox{ = }&0\cr \left(D-3\,i-2\right)\,\left(D+3\,i-2\right)\,f&\mbox{ = }&0\cr \left(D-3\,i-2\right)\,\left(D+3\,i-2\right)\,e^{2\,x-3\,i\,x}&\mbox{ = }&0\cr \left(D-3\,i-2\right)\,\left(D+3\,i-2\right)\,e^{3\,i\,x+2\,x}&\mbox{ = }&0\cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("gab-2", "")
\pu

%M (%i9) item_2a();
%M (%o9) \begin{pmatrix}\mathrm{f1}\left(x\right):=e^{5\,x}\cr \mathrm{f2}\left(x\right):=e^ {- 2\,x }\cr \mathrm{f3}\left(x\right):=a\,e^{5\,x}+b\,e^ {- 2\,x }\cr \end{pmatrix}
%M (%i10) item_2b();
%M (%o10) g\left(x\right):=e^{5\,x}+e^ {- 2\,x }
%M (%i11) item_2c();
%M (%o11) \begin{pmatrix}\mathrm{f4}\left(x\right):=e^{\left(3\,i+2\right)\,x}\cr \mathrm{f5}\left(x\right):=e^{\left(2-3\,i\right)\,x}\cr \mathrm{f6}\left(x\right):=e^{2\,x}\,\sin \left(3\,x\right)\cr \mathrm{f7}\left(x\right):=e^{2\,x}\,\cos \left(3\,x\right)\cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("gab-2 2", "")
\pu

%M (%i12) "2d (f6):"$
%M (%i13) gradef(h,x, 2*h)$
%M (%i14) gradef(s,x, 3*c)$
%M (%i15) gradef(c,x,-3*s)$
%M (%i16) f6 : h*s;
%M (%o16) h\,s
%M (%i17) diff(f6,x);
%M (%o17) 2\,h\,s+3\,c\,h
%M (%i18) diff(f6,x,2);
%M (%o18) 12\,c\,h-5\,h\,s
%M (%i19) Lstar3(f6);
%M (%o19) -\left(4\,\left(2\,h\,s+3\,c\,h\right)\right)+8\,h\,s+12\,c\,h
%M (%i20) expand(%);
%M (%o20) 0
%L maximahead:sa("gab-2 3", "")
\pu

%M (%i21) "2d (f8):"$
%M (%i22) gradef(h,x, 4*h);
%M (%o22) h
%M (%i23) gradef(s,x, 5*c);
%M (%o23) s
%M (%i24) gradef(c,x,-5*s);
%M (%o24) c
%M (%i25) f8 : h*s;
%M (%o25) h\,s
%M (%i26) diff(h*s,x);
%M (%o26) 4\,h\,s+5\,c\,h
%M (%i27) diff(h*c,x);
%M (%o27) 4\,c\,h-5\,h\,s
%M (%i28) diff(f8,x);
%M (%o28) 4\,h\,s+5\,c\,h
%M (%i29) diff(f8,x,2);
%M (%o29) 40\,c\,h-9\,h\,s
%M (%i30) Lstar3(f8);
%M (%o30) -\left(4\,\left(4\,h\,s+5\,c\,h\right)\right)+4\,h\,s+40\,c\,h
%M (%i31) expand(%);
%M (%o31) 20\,c\,h-12\,h\,s
%L maximahead:sa("gab-2 4", "")
\pu

\scalebox{0.32}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {9cm}
\ga{gab-2}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {9cm}
\ga{gab-2 2}

\vspace*{1.5cm}
\def\hboxthreewidth {9cm}
\ga{gab-2 3}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {9cm}
\ga{gab-2 4}

}}


\newpage



% «gab-2d»  (to ".gab-2d")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-C2-P2.mac" "gab-2-tests")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-C2-P2.mac" "gab-2d-tests")
% (c2m251p2p 7 "gab-2d")
% (c2m251p2a   "gab-2d")
% (c2m251p2p 6 "gab-2")
% (c2m251p2a   "gab-2")

% (find-angg "MAXIMA/2025-1-C2-P2.mac" "gab-2-tests")

{\bf Questão 2d: gabarito}

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

$\begin{array}[t]{rrcl}
 \text{Sejam:}
   &   L &=& D^2 - 4D + 13, \\
   & f_6 &=& f_6(x) \\
        &&=& e^{2x}\sen 3x, \\
   & f_8 &=& e^{4x}\sen 5x. \\ \\[-10pt]
 \multicolumn{4}{l}{\text{Vamos calcular $L(f_6)$.}} \\
 \text{Sejam:}
   &   h &=& e^{2x}, \\
   &   s &=& \sen 3x, \\
   &   c &=& \cos 3x. \\
 \text{Então:}
   &    h' &=& 2h \\
   &    s' &=& 3c \\
   &    c' &=& -3s \\
   &   f_6 &=& hs \\
   &  f_6' &=& (hs)' \\
          &&=& h's + hs' \\
          &&=& 2hs + h·-3c \\
          &&=& 2hs - 3hc \\
   & f_6'' &=& (f_6')' \\
          &&=& (2hs - 3hc)' \\
          &&=& 2(hs)' - 3(hc)' \\
          &&=& 2(2hs - 3hc) -3 (h'c + hc') \\
          &&=& 2(2hs - 3hc) -3 (2hc + h·3s) \\
          &&=& 2(2hs - 3hc) -3 (2hc + 3hs) \\
          &&=& 4hs - 6hc -6hc - 9hs \\
          &&=& -5hs - 12hc \\
   &  Lf_6 &=& (D^2 - 4D + 13)f_6 \\
          &&=& f_6'' - 4f_6' +13f_6 \\
          &&=& (-5hs - 12hc) - 4(2hs - 3hc) +13hs \\
          &&=& -5hs - 12hc - 8hs +12hc +13hs \\
          &&=& (-5-8+13)hs + (-12+12)hc \\
          &&=& 0 \\
 \end{array}
$

}\anothercol{

$\begin{array}[t]{rrcl}
 \multicolumn{4}{l}{\text{Agora vamos calcular $L(f_8)$.}} \\
 \text{Sejam:}
   &   h &=& e^{4x},  \;\;\;\;\;\;\;\standout{$←$ redefinição!} \\
   &   s &=& \sen 5x,           \;\;\standout{$←$ redefinição!} \\
   &   c &=& \cos 6x.         \;\;\;\standout{$←$ redefinição!} \\
 \text{Então:}
   &     h' &=& 4h \\
   &     s' &=& 5c \\
   &     c' &=& -5s \\
   &  (hs)' &=& h's + hs' \\
           &&=& 4hs + h·5c \\
           &&=& 4hs + 5hc \\
   &  (hc)' &=& h'c + hc' \\
           &&=& 4hc + h·-5s \\
           &&=& 4hc - 5hs \\
   &   f_8' &=& (hs)' \\
           &&=& 4hs + 5hc \\
   &  f_8'' &=& (f_8')' \\
           &&=& (4hs + 5hc)' \\
           &&=& 4(hs)' + 5(hc)' \\
           &&=& 4(4hs + 5hc) + 5(4hc - 5hs) \\
           &&=& 16hs + 20hc + 20hc - 25hs \\
           &&=& (16-25)hs + (20+20)hc \\
           &&=& -9hs + 40hc \\
   &  Lf_8 &=& (D^2 - 4D + 13)f_8 \\
          &&=& f_8'' - 4f_8' +13f_8 \\
          &&=& (-9hs + 40hc) - 4(4hs + 5hc) +13hs \\
          &&=& -9hs + 40hc - 16hs - 20hc +13hs \\
          &&=& (-9-16+13)hs + (40-20)hc \\
          &&=& -12hs + 20hc \\
 \end{array}
$
}\anothercol{
}}

\newpage

% «gab-3»  (to ".gab-3")
% (c2m251p2p 9 "gab-3")
% (c2m251p2a   "gab-3")

{\bf Questão 3: gabarito em Maxima}

%M (%i1) load("~/MAXIMA/2025-1-C2-P2.mac")$
%M (%i2) "3a:"$
%M (%i3) z_x : 20 * x   * y^3;
%M (%o3) 20\,x\,y^3
%M (%i4) z_y : 30 * x^2 * y^2;
%M (%o4) 30\,x^2\,y^2
%M (%i5) z_x _y = z_y _x;
%M (%o5) 60\,x\,y^2=60\,x\,y^2
%M (%i6) [maxxp,maxyp] : [2,3];
%M (%o6) \left[ 2 , 3 \right] 
%M (%i7) [ca(z_x), ca(z_y), ca(z_x _y)];
%M (%o7) \left[ \begin{pmatrix}0&20&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&30\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&60&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i8) "3b:"$
%M (%i9) z_x : 20 * x^2 * y^3;
%M (%o9) 20\,x^2\,y^3
%M (%i10) z_y : 30 * x^3 * y^2;
%M (%o10) 30\,x^3\,y^2
%M (%i11) z_x _y = z_y _x;
%M (%o11) 60\,x^2\,y^2=90\,x^2\,y^2
%M (%i12) [maxxp,maxyp] : [3,3];
%M (%o12) \left[ 3 , 3 \right] 
%M (%i13) [ca(z_x), ca(z_y), ca(z_x _y), ca(z_y _x)]; 
%M (%o13) \left[ \begin{pmatrix}0&0&20&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&0&30\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&60&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&90&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%L maximahead:sa("P2-Q3", "")
\pu

%M (%i14) "3c:"$
%M (%i15) z_x : 20 * x   * y^3;
%M (%o15) 20\,x\,y^3
%M (%i16) z_y : 30 * x^2 * y^2;
%M (%o16) 30\,x^2\,y^2
%M (%i17) [z_x _intx, z_y _inty];
%M (%o17) \left[ 10\,x^2\,y^3 , 10\,x^2\,y^3 \right] 
%M (%i18) z : z_x _intx;
%M (%o18) 10\,x^2\,y^3
%M (%i19) [maxxp,maxyp] : [2,3];
%M (%o19) \left[ 2 , 3 \right] 
%M (%i20) S    : ['z=z,     'z_x=z_x,     'z_y=z_y];
%M (%o20) \left[ z=10\,x^2\,y^3 , z_x =20\,x\,y^3 , z_y =30\,x^2\,y^2 \right] 
%M (%i21) Sca  : ['z=ca(z), 'z_x=ca(z_x), 'z_y=ca(z_y)];
%M (%o21) \left[ z=\begin{pmatrix}0&0&10\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix} , z_x =\begin{pmatrix}0&20&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix} , z_y =\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&30\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i22) E5     _s_ S;
%M (%o22) \begin{pmatrix}d\,\left(10\,x^2\,y^3\right)&\mbox{ = }&20\,x\,y^3\,\mathrm{dx}+30\,x^2\,y^2\,\mathrm{dy}&\mbox{ = }&0\cr {\frac{d}{d\,x}}\,\left(10\,x^2\,y^3\right)&\mbox{ = }&20\,x\,y^3+30\,x^2\,y^2\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)&\mbox{ = }&0\cr 10\,x^2\,y^3&\mbox{ = }&C&&\cr \end{pmatrix}
%M (%i23) E5     _s_ Sca;
%M (%o23) \begin{pmatrix}d\,\begin{pmatrix}0&0&10\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix}&\mbox{ = }&\begin{pmatrix}0&20&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix}\,\mathrm{dx}+\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&30\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix}\,\mathrm{dy}&\mbox{ = }&0\cr {\frac{d}{d\,x}}\,\begin{pmatrix}0&0&10\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix}&\mbox{ = }&\begin{pmatrix}0&20&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&30\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix}\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)&\mbox{ = }&0\cr \begin{pmatrix}0&0&10\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix}&\mbox{ = }&C&&\cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("P2-Q3 2", "")

%M (%i24) imp  : z = C;
%M (%o24) 10\,x^2\,y^3=C
%M (%i25) exps : solve(imp, y);
%M (%o25) \left[ y={\frac{\left(\sqrt{3}\,i-1\right)\,C^{{\frac{1}{3}}}}{2\,10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}} , y=-\left({\frac{\left(\sqrt{3}\,i+1\right)\,C^{{\frac{1}{3}}}}{2\,10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}}\right) , y={\frac{C^{{\frac{1}{3}}}}{10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}} \right] 
%M (%i26) exp  : exps[3];
%M (%o26) y={\frac{C^{{\frac{1}{3}}}}{10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}}
%M (%i27) "3d:"$
%M (%i28) edo  : E5_edo _s_ S;
%M (%o28) 30\,x^2\,y^2\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)+20\,x\,y^3=0
%M (%i29) test : subst(exp, edo);
%M (%o29) 3\,10^{{\frac{1}{3}}}\,C^{{\frac{2}{3}}}\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,\left({\frac{C^{{\frac{1}{3}}}}{10^{{\frac{1}{3}}}\,x^{{\frac{2}{3}}}}}\right)\right)\,x^{{\frac{2}{3}}}+{\frac{2\,C}{x}}=0
%M (%i30) ev(test,diff);
%M (%o30) 0=0
%M (%i31) "3e:"$
%M (%i32) z_x : 8*x*y^2 + 14*x;
%M (%o32) 8\,x\,y^2+14\,x
%M (%i33) z_y : 8*x^2*y + 5;
%M (%o33) 8\,x^2\,y+5
%M (%i34) z_x _y = z_y _x;
%M (%o34) 16\,x\,y=16\,x\,y
%L maximahead:sa("P2-Q3 3", "")

%M (%i35) "3f:"$
%M (%i36) [maxxp,maxyp] : [2,3];
%M (%o36) \left[ 2 , 3 \right] 
%M (%i37) [z_x, z_y, z_x _intx, z_y _inty];
%M (%o37) \left[ 8\,x\,y^2+14\,x , 8\,x^2\,y+5 , 4\,x^2\,y^2+7\,x^2 , 4\,x^2\,y^2+5\,y \right] 
%M (%i38) [ca(z_x), ca(z_y), ca(z_x _intx), ca(z_y _inty)];
%M (%o38) \left[ \begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&8&0\cr 0&0&0\cr 0&14&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&8\cr 5&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&4\cr 0&0&0\cr 0&0&7\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&4\cr 5&0&0\cr 0&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i39) z : 4*x^2*y^2 + 5*y + 7*x^2;
%M (%o39) 4\,x^2\,y^2+5\,y+7\,x^2
%M (%i40) ca(z);
%M (%o40) \begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&4\cr 5&0&0\cr 0&0&7\cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("P2-Q3 4", "")
\pu

%M (%i41) S    : ['z=z,     'z_x=z_x,     'z_y=z_y];
%M (%o41) \left[ z=4\,x^2\,y^2+5\,y+7\,x^2 , z_x =8\,x\,y^2+14\,x , z_y =8\,x^2\,y+5 \right] 
%M (%i42) Sca  : ['z=ca(z), 'z_x=ca(z_x), 'z_y=ca(z_y)];
%M (%o42) \left[ z=\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&4\cr 5&0&0\cr 0&0&7\cr \end{pmatrix} , z_x =\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&8&0\cr 0&0&0\cr 0&14&0\cr \end{pmatrix} , z_y =\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&8\cr 5&0&0\cr \end{pmatrix} \right] 
%M (%i43) E5     _s_ Sca;
%M (%o43) \begin{pmatrix}d\,\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&4\cr 5&0&0\cr 0&0&7\cr \end{pmatrix}&\mbox{ = }&\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&8&0\cr 0&0&0\cr 0&14&0\cr \end{pmatrix}\,\mathrm{dx}+\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&8\cr 5&0&0\cr \end{pmatrix}\,\mathrm{dy}&\mbox{ = }&0\cr {\frac{d}{d\,x}}\,\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&4\cr 5&0&0\cr 0&0&7\cr \end{pmatrix}&\mbox{ = }&\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&8&0\cr 0&0&0\cr 0&14&0\cr \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&0\cr 0&0&8\cr 5&0&0\cr \end{pmatrix}\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,y\right)&\mbox{ = }&0\cr \begin{pmatrix}0&0&0\cr 0&0&4\cr 5&0&0\cr 0&0&7\cr \end{pmatrix}&\mbox{ = }&C&&\cr \end{pmatrix}
%M (%i44) imp  : z = C;
%M (%o44) 4\,x^2\,y^2+5\,y+7\,x^2=C
%L maximahead:sa("P2-Q3 5", "")
\pu

\scalebox{0.27}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
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\ga{P2-Q3}

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\ga{P2-Q3 2}

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\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{P2-Q3 3}

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}}

\newpage

% «gab-3-2»  (to ".gab-3-2")
% (c2m251p2p 10 "gab-3-2")
% (c2m251p2a    "gab-3-2")

{\bf Questão 3: gabarito em Maxima (cont.)}

\scalebox{0.42}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

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\ga{P2-Q3 4}

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\ga{P2-Q3 5}

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}}




% (c2m232edovsp 6 "defs-e-exemplos")
% (c2m232edovsa   "defs-e-exemplos")


%\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
%
%$$\ga{reset}
%  \begin{array}{rcl}
%  \ga{[M]}   &=& \ga{(M)}   \\ \\[-5pt]
%  \ga{[F3]}  &=& \ga{(F3)}  \\ \\[-5pt]
%  \ga{[EL3]} &=& \ga{(EL3)} \\ \\[-5pt]
%  \end{array}
%$$
%
%}\anothercol{
%}}


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

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