% (find-LATEX "2025-1-C2-int-partes.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C2-int-partes.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C2-int-partes.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2025-1-C2-int-partes.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C2-int-partes.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-int-partes.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-int-partes.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C2-int-partes"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C2-int-partes.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2025-1-C2-int-partes")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2025-1-C2-int-partes.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-int-partes.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-int-partes.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C2-int-partes.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C2-int-partes.pdf
%               file:///tmp/2025-1-C2-int-partes.pdf
%           file:///tmp/pen/2025-1-C2-int-partes.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2-int-partes.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C2-int-partes" "2" "c2m251ip" "c2ip")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.links-miranda»	(to "links-miranda")
% «.links-leithold»	(to "links-leithold")
% «.links-stewart»	(to "links-stewart")
% «.links-cederj»	(to "links-cederj")
% «.links-quadros»	(to "links-quadros")
% «.introducao»		(to "introducao")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m251ipp 1 "title")
% (c2m251ipa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2025.1}

\bsk

Aulas 10 e 11: integração por partes

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m251ipp 2 "links")
% (c2m251ipa   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

% «links-miranda»  (to ".links-miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "199" "6.3 Integração por Partes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "205" "Exercícios")
\par \Ca{Miranda199} 6.3 Integração por Partes
\par \Ca{Miranda205} Exercícios

\ssk

% «links-leithold»  (to ".links-leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "531" "9.1. Integração por partes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "536" "Exercícios 9.1")
\par \Ca{Leit9p4} (p.531) 9.1 Integração por partes
\par \Ca{Leit9p9} (p.536) Exercícios 9.1

\ssk

% «links-stewart»  (to ".links-stewart")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "420" "7.1 Integração por Partes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "423" "7.1 Exercícios")
\par \Ca{StewPtCap7p5} (p.420) 7.1 Integração por Partes
\par \Ca{StewPtCap7p8} (p.423) 7.1 Exercícios

\ssk

% «links-cederj»  (to ".links-cederj")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj" "33" "integração por partes")
\par \Ca{CederjC2V2p35} (p.33) 19 Integração por partes


\bsk

% «links-quadros»  (to ".links-quadros")
% (find-angg ".emacs" "c2q241" "abr08")
\par \Ca{2iQ27} Quadros da aula 10 (08/abr/2024)
\par \Ca{2iQ31} Quadros da aula 10 (08/abr/2024) - definição do [IP]
\par \Ca{2iQ33} Quadros da aula 11 (09/abr/2024)

}\anothercol{
}}

\newpage

% «introducao»  (to ".introducao")
% (c2m241ipp 3 "introducao")
% (c2m241ipa   "introducao")

{\bf Introdução}

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}


\scalebox{0.45}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{

Lembre que:
%
$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[TFC2]} &=& \ga{(TFC2)} \\
  \ga{[II]}   &=& \ga{(II)}   \\
  \ga{[II]} \bsm{F(x):=fg \\ F'(x):=f'g+fg'}
              &=& \P{ \intx{f'g+fg'} = fg } \\
  \end{array}
$$

Vou definir:
%
$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[IP]} &=& \ga{(IP)}   \\
  \end{array}
$$

Compare com:
\par \Ca{StewPtCap7p5} (p.420) 7.1 Integração por Partes
\ssk

A gente vai evitar usar diferenciais, e portanto a gente vai evitar
usar essa fórmula aqui, que vários livros usam -- a ``fórmula da
integração por partes com diferenciais'':
%
$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[IPD]} &=& \P{ 
  \int u \, dv = uv - \int v \, du
  }
  \end{array}
$$

O meu truque preferido pra não me enrolar quando eu uso a fórmula
\ga{[IP]} é usar anotações em underbraces. Ao inves de usar só isso aqui,
%
$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[IP]} &=& \ga{(IP)}   \\
  \ga{[IP]} \bsm{ f := x \\ f':=1 \\ g:=e^x \\ g':=e^x }
            &=& \P{ \intx{x e^x} = x e^x - \intx{1·e^x} } \\
  \end{array}
$$

eu vou acrescentar umas anotações, deste jeito:
%
$$\begin{array}{lcl}
  \intx{\und{x}{f} \und{e^x}{g'}}
  = \und{x}{f} \und{e^x}{g} - \intx{\und{1}{f'} \und{e^x}{g'}}
  \qquad
  \text{por } \ga{[IP]} \bsm{ f := x \\ f':=1 \\ g:=e^x \\ g':=e^x }
  \end{array}
$$

}\anothercol{


{\bf Exercício 1}

Complete as igualdades e as justificativas.

Note que os exercícios a, b, c e d abaixo são baseados

nos exercícios 3, 4, 6 e 7 desta página do Stewart:

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "423" "7.1 Exercícios")
\par \Ca{StewPtCap7p8} (p.423) 7.1 Exercícios

\bsk

\def\porIP{\text{por }\ga{[IP]}[\Rq]}

$\begin{array}{llcl}
  \text{a)} & \intx{ \und{x}{f} \und{\cos5x}{g'}} = \Rq & \porIP \\\\[-10pt]
  \text{b)} & \intx{ \und{x}{f} \und{e^{-x}}{g'}} = \Rq & \porIP \\\\[-10pt]
  \text{c)} & \intt{ \und{t}{f} \und{\sen2t}{g'}} = \Rq & \porIP \\\\[-10pt]
  \text{d)} & \intx{ \und{(x^2+2x)}{f} \und{\cos x}{g'}} = \Rq & \porIP \\
  \end{array}
$


\bsk

{\bf Exercício 2}

Calcule
%
$$\intx{x^2 e^x}
$$

e justifique cada um dos passos em que você usar a regra $\ga{[IP]}$.

Dica: aqui não é fácil encontrar o melhor modo de escrever a
resposta... você vai precisar reescrever o seu desenvolvimento várias
vezes usando os personagens a, b e c da Dica 7 e vai precisar nomear
os seus objetos.



% (find-stewart71ptpage (+ 27 423)   "7.1 Exercícios")





}}


\newpage

{\bf Aviso}

\scalebox{0.9}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

A P1 vai ter uma questão de integração por partes em que o resultado
final vai valer 10\% dos pontos e os itens de ``complete as igualdades
e as justificativas'' vão valer 90\% dos pontos.

\ssk

Na ``vida real'' é bem raro aparecerem problemas que a gente resolve
usando integração por partes, então a gente vai usar integração por
partes mais pra treinar justificativas e modos de escrever.



}\anothercol{
}}



% (c2m241exsubstp 9 "uma-integral")
% (c2m241exsubsta   "uma-integral")


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-1-C2-int-partes")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2ip"
% ee-tla: "c2m251ip"
% End:
