% (find-LATEX "2025-2-C3-P1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-2-C3-P1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-2-C3-P1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2025-2-C3-P1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-2-C3-P1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-2-C3-P1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C3-P1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-2-C3-P1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-2-C3-P1.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2025-2-C3-P1")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2025-2-C3-P1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-2-C3-P1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-2-C3-P1.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2025-2-C3-P1.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2025-2-C3-P1.pdf
%               file:///tmp/2025-2-C3-P1.pdf
%           file:///tmp/pen/2025-2-C3-P1.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2025-2-C3-P1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-2-C3-P1" "3" "c3m252p1" "c3p1")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.questao-1»		(to "questao-1")
% «.questao-2»		(to "questao-2")
% «.questao-2a»		(to "questao-2a")
% «.gab-1»		(to "gab-1")
% «.gab-2»		(to "gab-2")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu


\newpage %-- title

%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m252p1p 1 "title")
% (c3m252p1a   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 3 - 2025.2}

\bsk

Aula nn: ponha o título aqui

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2025.2-C3.html}

\end{center}

\newpage %-- links

% «links»  (to ".links")
% (c3m252p1p 2 "links")
% (c3m252p1a   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}

\newpage


% «questao-1»  (to ".questao-1")
% (c3m252p1p 3 "questao-1")
% (c3m252p1a   "questao-1")
% (c3m242p1p 3 "questao-1")
% (c3m242p1a   "questao-1")
% (c3m241p1p 3 "questao-1")
% (c3m241p1a   "questao-1")

{\bf Questão 1}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

\T(Total: 6.0 pts)

O diagrama de numerozinhos da última folha da prova corresponde a uma
superfície $z=F(x,y)$ que tem 7 faces. Também é possível interpretá-lo
como uma superfície com 8 ou mais faces, mas vamos considerar que a
superfície com só 7 faces é que é a correta.

\msk

a) \B (0.5 pts) Mostre como dividir o plano em 7 polígonos que são as
projeções destas faces no plano do papel.

\msk

b) \B (0.5 pts) Chame estas faces de face NE (``nordeste''), C
(``centro''), SW (``sudoeste''), W (``oeste''), S (``sul''), NW
(``noroeste'') e SE (``sudeste''), e chame as equações dos planos
delas de $F_{NE}(x,y)$, $F_{C}(x,y)$, etc. Dê as equações destes
planos.

\msk

c) \B (0.5 pts) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  P_{C} &=& \setofxyzst{z = F_{C}(x,y)}, \\
  P_{S} &=& \setofxyzst{z = F_{S}(x,y)}, \\
  r &=& P_{C} ∩ P_{S}. \\
  \end{array}
$$

Represente a reta $r$ graficamente como numerozinhos.

\msk

d) \B (0.5 pts) Dê uma parametrização para a reta do item anterior.
Use notação de conjuntos.

\msk

e) \B (0.5 pts) Seja
%
$$C_z \;=\; \setofst{(x,y)∈[0,10]^2}{F(x,y)=z}$$

Desenhe os conjuntos $C_1$, $C_3$ e $C_5$.

}\anothercol{

{}

f) \B (0.5 pts) Seja
% 
$$A \;=\; \{0,1,\ldots,10\} × \{0,1,\ldots,10\};$$

note que os numerozinhos do diagrama de numerozinhos estão todos sobre
pontos de $A$. Para cada ponto $(x,y)∈A$ represente graficamente
$(x,y)+\frac13 \vec∇F(x,y)$.

\ssk

Obs: quando $\vec∇F(x,y)=0$ desenhe uma bolinha preta sobre o ponto
$(x,y)$, e quando $\vec∇F(x,y)$ não existir faça um `$×$' sobre o
numerozinho que está no ponto $(x,y)$.

\msk

g) \B (3.0 pts) Sejam
% 
$$\begin{array}{rcl}
  P(t) &=& (1,2) + t\VEC{2,1}, \\
  Q(t) &=& (1,1) + t\VEC{2,1}, \\
  g(t) &=& F(P(t)), \\
  h(t) &=& F(Q(t)) \\
\end{array}
$$

Considere que o domínio de todas estas funções é $t∈[0,4]$. Faça os
gráficos das funções $g(t)$ e $h(t)$ e dê definições por casos para
elas. Os detalhes mais difíceis de acertar valem mais pontos, e alguns
detalhes são tão difíceis de acertar que se você conseguir boas
aproximações pra eles você vai ganhar a pontuação total nessa questão.

}}


\newpage

%   ___                  _                ____  
%  / _ \ _   _  ___  ___| |_ __ _  ___   |___ \ 
% | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \    __) |
% | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) |  / __/ 
%  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |_____|
%                                               
% «questao-2»  (to ".questao-2")
% (c3m251p1p 4 "questao-2")
% (c3m251p1a   "questao-2")
% (c3m222p1p 4 "questao-2")
% (c3m222p1a   "questao-2")
% (to "gab-2")

{\bf Questão 2}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

\T(Total: 4.0 pts)

Seja
%
$$F(x,y) = (x+2)(x-y)(y+2).$$

Nesta questão você vai ter que fazer várias cópias do diagrama de
numerozinhos da função $F(x,y)$ para os pontos com
$x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$.

% Os numerozinhos vão ser estes aqui:
% %
% $$\begin{array}{rrrrr}
%   8 &  0 &  -4 & -4 &  0 \\
%   9 &  2 &  -1 &  0 &  5 \\
%   8 &  2 &   0 &  2 &  8 \\
%   5 &  0 &  -1 &  2 &  9 \\
%   0 & -4 &  -4 &  0 &  8 \\
%   \end{array}
% $$

\msk

% «questao-2a»  (to ".questao-2a")
% (c3m251p1p 4 "questao-2a")
% (c3m251p1a   "questao-2a")

a) \B (0.5 pts) Faça o diagrama de numerozinhos pra função $F(x,y)$.

\msk

b) \B (2.5 pts) Desenhe o ``campo gradiente'' da função $F$ nestes
pontos, mas multiplicando cada $\vec∇F(x,y)$ por $\frac{1}{10}$ pros
vetores não ficarem uns em cima dos outros. Deixa eu traduzir isso pra
termos mais básicos: faça uma cópia do diagrama de numerozinhos da
$F(x,y)$, e sobre cada $(x,y)$ com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$ desenhe a
seta $(x,y)+\frac{1}{10}\vec∇F(x,y)$.

\msk

c) \B (1.0 pts) Faça uma outra cópia desse diagrama de numerozinhos e
desenhe sobre ela as curvas de nível da função $F(x,y)$ para $z=0$,
$z=6$, $z=12$, $z=-6$ e $z=-12$.


}\anothercol{

{}

{\bf Dicas:}

1) O vetor gradiente num ponto $(x,y)$ é sempre ortogonal à curva de
nível que passa pelo ponto $(x,y)$.

\ssk

2) Os vetores gradientes mais importantes são os que você vai usar
pras curvas de nível do item (c). Se você não tiver tempo de fazer
todos dê prioridade pra esses!

\ssk

3) Faça quantos rascunhos quiser. Eu só vou corrigir seus desenhos que
disserem ``versão final'', e eles têm que ser os mais caprichados
possíveis.


}}



\newpage

% %   ___                  _                ____  
% %  / _ \ _   _  ___  ___| |_ __ _  ___   |___ \ 
% % | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \    __) |
% % | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) |  / __/ 
% %  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |_____|
% %                                               
% % «questao-2»  (to ".questao-2")
% % (c3m251p1p 4 "questao-2")
% % (c3m251p1a   "questao-2")
% % (c3m222p1p 4 "questao-2")
% % (c3m222p1a   "questao-2")
% % (to "gab-2")
% 
% {\bf Questão 2}
% 
% \scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
% 
% \vspace*{-0.5cm}
% 
% \T(Total: 4.5 pts)
% 
% Seja
% %
% $$F(x,y) = (x+2)(x-y)(y+2).$$
% 
% Nesta questão você vai ter que fazer várias cópias do diagrama de
% numerozinhos da função $F(x,y)$ para os pontos com
% $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$.
% 
% % Os numerozinhos vão ser estes aqui:
% % %
% % $$\begin{array}{rrrrr}
% %   8 &  0 &  -4 & -4 &  0 \\
% %   9 &  2 &  -1 &  0 &  5 \\
% %   8 &  2 &   0 &  2 &  8 \\
% %   5 &  0 &  -1 &  2 &  9 \\
% %   0 & -4 &  -4 &  0 &  8 \\
% %   \end{array}
% % $$
% 
% \msk
% 
% % «questao-2a»  (to ".questao-2a")
% % (c3m251p1p 4 "questao-2a")
% % (c3m251p1a   "questao-2a")
% 
% a) \B (1.0 pts) Desenhe o ``campo gradiente'' da função $F$ nestes
% pontos, mas multiplicando cada $\vec∇F(x,y)$ por $\frac{1}{10}$ pros
% vetores não ficarem uns em cima dos outros. Deixa eu traduzir isso pra
% termos mais básicos: faça uma cópia do diagrama de numerozinhos da
% $F(x,y)$, e sobre cada $(x,y)$ com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$ desenhe a
% seta $(x,y)+\frac{1}{10}\vec∇F(x,y)$.
% 
% \msk
% 
% b) \B (3.5 pts) Faça uma outra cópia desse diagrama de numerozinhos e
% desenhe sobre ela as curvas de nível da função $F(x,y)$ para $z=0$,
% $z=6$, $z=12$, $z=-6$ e $z=-12$.
% 
% 
% }\anothercol{
% 
% {}
% 
% % \bsk
% 
%   {\bf Dicas:}
% 
%   1) O vetor gradiente num ponto $(x,y)$ é sempre ortogonal à curva de
%   nível que passa pelo ponto $(x,y)$.
% 
%   2) Faça quantos rascunhos quiser. Eu só vou corrigir seus desenhos
%   pros itens (a) e (b) que disserem ``versão final'', e eles têm que
%   ser os mais caprichados possíveis.
% 
% 
% }}
% 
% 


\newpage


% «barranco-defs»  (to ".barranco-defs")  
% (c3m252p1p 5 "barranco-defs")
% (c3m252p1a   "barranco-defs")
% (find-angg "GNUPLOT/2025-2-C3-P1.dem")
% (find-bgprocess "gnuplot ~/GNUPLOT/2025-2-C3-P1.dem")

% (find-eepitch-intro "3.3. `eepitch-preprocess-line'")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%?%L ?")
%
%%L * (eepitch-lua51)
%%L * (eepitch-kill)
%%L * (eepitch-lua51)
%%L Path.prependtopath "~/LUA/?.lua"
%L require "Cabos3"
%L require "Numerozinhos1"
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(10,10))
%L
%L bigstr1 = [[
%L   6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
%L   6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
%L   6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
%L   4 4 4 4 5 6 6 6 6 6 6
%L   2 2 2 3 4 5 6 6 6 6 6
%L   1 1 1 2 3 4 5 6 6 6 6 
%L   0 0 0 1 2 3 4 5 6 6 6
%L   0 0 0 0 1 2 4 5 6 6 6
%L   0 0 0 0 0 2 4 5 6 6 6
%L   0 0 0 0 0 2 4 5 6 6 6
%L   0 0 0 0 0 2 4 5 6 6 6
%L ]]
%L bigstr2 = [[
%L   6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L   6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L   A - 6 - 6 - 6 - B - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | . | / | \ | . | . | . | . | . |
%L   4 - 4 - 4 - 4 - 5 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | / | . | . | \ | . | . | . | . |
%L   C - 2 - D - 3 - 4 - 5 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | . | . | . | . | \ | . | . | . |
%L   1 - 1 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | . | . | . | . | . | \ | . | . |
%L   E - 0 - F - 1 - 2 - 3 - G - 5 - H - 6 - 6
%L   | . | . | \ | . | . | / | . | . | . | . |
%L   0 - 0 - 0 - 0 - 1 - 2 - 4 - 5 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | . | \ | / | . | . | . | . | . |
%L   0 - 0 - 0 - 0 - I - 2 - 4 - 5 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L   0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 2 - 4 - 5 - 6 - 6 - 6
%L   | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L   0 - 0 - 0 - 0 - J - 2 - K - 5 - L - 6 - 6
%L ]]
%L clabels = CabosNaDiagonal.from(bigstr2)
%L lbls    = clabels.strgrid:labels()
%L spec    = lbls:subst("B--D--F--I--G--H--B A--B C--D E--F I--J G--K H--L")
%L ns = Numerozinhos.from(0, 0, bigstr1)
%L p1 = ns:show0 {u="25pt"}:sa("barranco")
%L ns:setspec(spec)
%L p2 = ns:show0():sa("barranco 2")
%L p3 = Pict { p1, p2 }
%L p4 = Pict { p1, p2, [[\ga{barranco} \ga{barranco com linhas}]] }
%L p3:output()
%L -- p4:output()
%%L = p4:show("")
%%L = Show.bigstr
%%L * (etv)
\pu

% «questao-1-grids»  (to ".questao-1-grids")
% (c3m242p1p 4 "questao-1-grids")
% (c3m242p1a   "questao-1-grids")
% (c3m241p1p 5 "questao-1-grids")
% (c3m241p1a   "questao-1-grids")

\def\barra{\scalebox{0.35}{\ga{barranco}}}
\def\barras{\barra \quad \barra \quad \barra}

$\begin{array}{l}
 \barras \\ \\[-5pt]
 \barras \\
 \end{array}
$


\newpage



% «gab-1»  (to ".gab-1")
% (c3m242p1p 7 "gab-1")
% (c3m242p1a   "gab-1")

{\bf Questão 1: gabarito (1a)}

\bsk

$\scalebox{0.9}{\ga{barranco 2}}$


\newpage

% «gab-1»  (to ".gab-1")
% (c3m251p1p 6 "gab-1")
% (c3m251p1a   "gab-1")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-C3-P1-Q1.mac")

\setcounter{MaxMatrixCols}{15}

%M (%i4) item_c;
%M (%o4) \begin{pmatrix}-2&\left[ 0 , 0 , -4 \right] \cr -1&\left[ 1 , 1 , -2 \right] \cr 0&\left[ 2 , 2 , 0 \right] \cr 1&\left[ 3 , 3 , 2 \right] \cr 2&\left[ 4 , 4 , 4 \right] \cr 3&\left[ 5 , 5 , 6 \right] \cr 4&\left[ 6 , 6 , 8 \right] \cr \end{pmatrix}
%M (%i6) item_e;
%M (%o6) \begin{pmatrix}\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\mbox{ X }&\left[ 1 , 1 \right] &\left[ 1 , 1 \right] &\left[ 1 , 1 \right] &\mbox{ X }&\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("P1-Q1", "")
\pu

%L -- (find-LATEX "2025-1-C3-P2.tex" "minidraw")
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%L PwSpec.from("(0,0)--(1,0)--(1.33,0.66)--(1.5,0.5)--(3,2)o (3,3)c--(4,6)--(4.5,8)--(6,8)")
%L     :topict():pgat("pgatc",{sa="1f"}):preunitlength("10pt")
%L     :output()
\pu



{\bf Questão 1: mini-gabarito}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

1a) \;\; $\scalebox{1.0}{\ga{barranco 2}}$

\msk

1b) \;\; $
  \def\myline#1#2{F_{#1}(x,y) &=& #2}
  \begin{array}{rcl}
    \myline {NW}  {2x-4}  \\
    \myline {NE}  {x}     \\
    \myline {SW}  {x-2}   \\
    \myline {SE}  {2x-8}  \\
    \myline {W}   {0}     \\
    \myline {E}   {8}     \\
    \myline {C}   {y+x-4} \\
  \end{array}$

\msk

1d) \;\; $r = \setofst{(2,2,0) + t\VEC{1,1,-2}}{t∈\R}$

\msk

}\anothercol{

1f) \;\; $\ga{1f}$

\msk

1g) \;\; $
  \def\myline#1#2{#1 & \text{quando $#2$}}
  h(t) =
  \begin{cases}
    \myline   {0}        {t<1}       \\
    \myline   {2t-2}     {1≤t<4/3}   \\
    \myline   {2-t}      {4/3≤t<3/2} \\
    \myline   {t-1}      {3/2≤t<3}   \\
    \myline   {3t-6}     {3≤t<4}     \\
    \myline   {4t-10}    {4≤t<9/2}   \\
    \myline   {8}        {9/2≤t}     \\
  \end{cases}$




}}

\newpage


\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{P1-Q1}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{P1-Q1 2}

}}


\newpage

% «gab-2»  (to ".gab-2")
% (c3m251p1p 7 "gab-2")
% (c3m251p1a   "gab-2")
% (to "questao-2")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-C3-P1-Q2.mac" "gab")

%M (%i1) map(numerozinhos, [F,gradF]);
%M (%o1) \scalebox{0.8}{$\left[ \begin{pmatrix}0&-12&-16&-12&0\cr 0&-6&-6&0&12\cr 0&-2&0&6&16\cr 0&0&2&6&12\cr 0&0&0&0&0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}\left[ -16 , 0 \right] &\left[ -8 , -7 \right] &\left[ 0 , -12 \right] &\left[ 8 , -15 \right] &\left[ 16 , -16 \right] \cr \left[ -9 , 0 \right] &\left[ -3 , -5 \right] &\left[ 3 , -8 \right] &\left[ 9 , -9 \right] &\left[ 15 , -8 \right] \cr \left[ -4 , 0 \right] &\left[ 0 , -3 \right] &\left[ 4 , -4 \right] &\left[ 8 , -3 \right] &\left[ 12 , 0 \right] \cr \left[ -1 , 0 \right] &\left[ 1 , -1 \right] &\left[ 3 , 0 \right] &\left[ 5 , 3 \right] &\left[ 7 , 8 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 1 \right] &\left[ 0 , 4 \right] &\left[ 0 , 9 \right] &\left[ 0 , 16 \right] \cr \end{pmatrix} \right]$}
%M (%i2) setrange(2)$
%M (%i3) myqdrawp(xyrange(), item_b_grads);
%M (%o3) \myvcenter{\includegraphics[height=5cm]{2025-1-C3/P1-Q2_001.pdf}}
%M (%i4) myqdrawp(xyrange(), item_b_grads, item_b_curvas);
%M (%o4) \myvcenter{\includegraphics[height=5cm]{2025-1-C3/P1-Q2_002.pdf}}
%L maximahead:sa("P1-Q2", "")
\pu

{\bf Questão 2: mini-gabarito}

\scalebox{0.4}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {12cm}
\ga{P1-Q2}

}\anothercol{
}}


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-2-C3-P1")


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