% (find-LATEX "2025-2-C3-topologia.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-2-C3-topologia.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-2-C3-topologia.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2025-2-C3-topologia.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-2-C3-topologia.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-2-C3-topologia.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C3-topologia.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-2-C3-topologia"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-2-C3-topologia.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2025-2-C3-topologia")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2025-2-C3-topologia.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-2-C3-topologia.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-2-C3-topologia.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2025-2-C3-topologia.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2025-2-C3-topologia.pdf
%               file:///tmp/2025-2-C3-topologia.pdf
%           file:///tmp/pen/2025-2-C3-topologia.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2025-2-C3-topologia.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-2-C3-topologia" "3" "c3m252to" "c3to")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
%
% «.interior»			(to "interior")
% «.infinitas-bob»		(to "infinitas-bob")
% «.exercicio-5»		(to "exercicio-5")
% «.algumas-traducoes»		(to "algumas-traducoes")
% «.algumas-traducoes-2»	(to "algumas-traducoes-2")
% «.exercicio-6»		(to "exercicio-6")
% «.fecho»			(to "fecho")
% «.exercicio-7»		(to "exercicio-7")
% «.aviso-sobre-a-p2»		(to "aviso-sobre-a-p2")
% «.algumas-nots-novas»		(to "algumas-nots-novas")
% «.maximos-numa-elipse»	(to "maximos-numa-elipse")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

\def\BA{\mathsf{B}}
\def\BF{\overline{\mathsf{B}}}


\newpage %-- title

%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m252top 1 "title")
% (c3m252toa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 3 - 2025.2}

\bsk

Aulas 24 e 25: abertos e fechados em $\R^2$

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2025.2-C3.html}

\end{center}

\newpage %-- links

% «links»  (to ".links")
% (c3m252top 2 "links")
% (c3m252toa   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

% 3fT86:  (c3m222topp 1 "title")
%         (c3m222topa   "title")
% 3hT150: (c3m232top 1 "title")
%         (c3m232toa   "title")

\par \Ca{3hT150} (2023.2) Versão anterior destes slides
\ssk

% «links-bortolossi»  (to ".links-bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "121" "4. Continuidade, noções de topologia...")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "121" "4.1. Porque contínuas são importantes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "129" "4.3. Weierstrass em n variáveis")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "139" "distância euclidiana")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "142" "bola aberta")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "148" "conjunto aberto")

\par \Ca{Bort4p1} (p.121) 4 Continuidade, noções de topologia e o teorema de Weierstrass
\par \Ca{Bort4p1} (p.121) 4.1 Porque funções contínuas são importantes?
\par \Ca{Bort4p9} (p.129) 4.3 O teorema de Weierstrass no caso com $n$ variáveis
\par \Ca{Bort4p19} (p.139) Distância euclidiana
\par \Ca{Bort4p22} (p.142) definição de bola aberta
\par \Ca{Bort4p28} (p.148) definição de conjunto aberto

}\anothercol{
}}

\newpage


{\bf Introdução}

Dê uma olhada no capítulo 4 do Bortolossi...

Comece pela seção 4.1, ``Por que funções contínuas são importantes'',

depois leia a seção 4.3, sobre o Teorema de Weirstrass em $n$ variáveis,

e relembre a definição de distância euclidiana na p.139.

\msk

Nós vamos começar entendendo as definições das páginas 142

até 148, e vamos reescrevê-las de um jeito bem mais curto.

\msk

Nós vamos ver como fazer hipóteses sobre os exercícios

dos próximos dois slides, como testar essas hipóteses,

e como descartar as hipóteses erradas.

\newpage

% «nove-subconjuntos»  (to ".nove-subconjuntos")
% (c3m211afp 3 "nove-subconjuntos")
% (c3m211afa   "nove-subconjuntos")

{\bf Nove subconjuntos de $\R^2$}

(Compare com a p.130 do Bortolossi...)


\msk

\def\eee{\text{\; e \;}}

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  C_1 &=& \setofxyst{ 2<y≤3 }, \\
  C_2 &=& \setofxyst{ 2<y≤3 \eee 1≤x<4 }, \\
  C_3 &=& \setofxyst{   d((x,y),(1,2))≤2 }, \\
  C_4 &=& \setofxyst{ 1<d((x,y),(1,2))≤2 }, \\
  C_5 &=& \setofxyst{   d((x,y),(1,2))≤2 \eee 1<x }, \\
  C_6 &=& \setofxyst{ y>x }, \\
  \end{array}
$$


\def\vc#1{\myvcenter{#1}}

$$
  % (find-latexscan-links "C3" "20210908_C_6")
  % (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210908_C_6.pdf")
  C_7 \;=\;
  \vc{\includegraphics[height=2cm]{2021-1-C3/20210908_C_6.pdf}},
  %
  \quad
  %
  % (find-latexscan-links "C3" "20210908_C_7")
  % (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210908_C_7.pdf")
  C_8 \;=\;
  \vc{\includegraphics[height=2cm]{2021-1-C3/20210908_C_7.pdf}},
  %
  \quad
  %
  % (find-latexscan-links "C3" "20210908_C_9")
  % (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210908_C_9.pdf")
  C_9 \;=\;
  \vc{\includegraphics[height=2cm]{2021-1-C3/20210908_C_9.pdf}}.
$$

\newpage

% «exercicios-1-e-2»  (to ".exercicios-1-e-2")
% (c3m222topp 4 "exercicios-1-e-2")
% (c3m222topa   "exercicios-1-e-2")
% (c3m211afp 4 "exercicios-1-e-2")
% (c3m211afa   "exercicios-1-e-2")

{\bf Exercício 1.}

%\msk

Represente graficamente os conjuntos $C_1, \ldots, C_6$.

\bsk


{\bf Exercício 2.}

%\msk

Represente os conjuntos $C_7$, $C_8$, $C_9$

em ``notação de conjuntos'' --- isto é,

na forma $\setofxyst{\ldots}$.


\newpage

% «bolas»  (to ".bolas")
% (c3m211afp 5 "bolas")
% (c3m211afa   "bolas")

{\bf Bolas abertas e fechadas}

Se $P$ é um ponto de $\R^n$ então a

{\sl bola fechada de raio $ε$ em torno de $P$}, $\BF_ε(P)$, e a

{\sl bola aberta de raio $ε$ em torno de $P$}, $\BA_ε(P)$,

são definidas assim:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \BF_ε(P) &=& \setofst{Q∈\R^n}{d(P,Q)≤ε} \\
  \BA_ε(P) &=& \setofst{Q∈\R^n}{d(P,Q)<ε} \\
  \end{array}
$$

\msk

Por exemplo, se $P=6∈\R^1$ então:
%
$$\scalebox{0.85}{$
  \begin{array}{rcl}
  \BF_2(6) &=& \setofst{Q∈\R^1}{d(6,Q)≤2} \\
           &=& \setofst{x∈\R}{d(6,x)≤2} \\
           &=& \setofst{x∈\R}{\sqrt{(6-x)^2}≤2} \\
           &=& \setofst{x∈\R}{      |x-6|   ≤2} \\
           &=& \setofst{x∈\R}{-2 ≤   x-6    ≤2} \\
           &=& \setofst{x∈\R}{-2+6 ≤ x      ≤2+6} \\
           &=& [4,8] \\
  \end{array}
  $}
$$

\newpage

% «exercicio-3»  (to ".exercicio-3")
% (c3m211afp 6 "exercicio-3")
% (c3m211afa   "exercicio-3")

{\bf Exercício 3.}

Represente graficamente:

\msk

a) $\BF_1((2,2))$,

b) $\BA_1((2,2))$.

\msk

Dica: estes conjuntos vão parecer muito mais com

``bolas de verdade'' do que o conjunto $\BF_2(6)$ do

slide anterior.

\bsk

Lembre que a gente desenha a fronteira de um conjunto

tracejada quando a gente quer indicar que os pontos da

fronteira não pertencem ao conjunto e a gente desenha

ela sólida quando quer indicar que os pontos dela

pertencem ao conjunto. Veja os desenhos dos

conjuntos $C_8$ e $C_9$.


\newpage

% «exercicio-4»  (to ".exercicio-4")
% (c3m211afp 7 "exercicio-4")
% (c3m211afa   "exercicio-4")

{\bf Exercício 4.}

Aqui você vai ter que ser capaz de visualizar bolas sobrepostas

a conjuntos que você já desenhou sem desenhar estas bolas.

Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

\msk

a) $\BA_{0.1} ((0, 2.5))⊆C_1$

b) $\BA_{0.5} ((0, 2.5))⊆C_1$

c) $\BF_{0.5} ((0, 2.5))⊆C_1$

d) $\BA_{0.1} ((1, 3))⊆C_2$

e) $\BA_{0.1} ((2.5, 2.5))⊆C_2$

f) $\BA_{1} ((2, 2))⊆C_3$

g) $\BF_{1} ((2, 2))⊆C_3$

h) $\BA_{0.5} ((1, 0.5))⊆C_4$

i) $\BA_{0.1} ((0.5, 2))⊆C_5$

j) $\BA_{0.001} ((1.1, 1.01))⊆C_8$

\newpage

% «interior»  (to ".interior")
% (c3m242top 9 "interior")
% (c3m242toa   "interior")
% (c3m222topp 9 "interior")
% (c3m222topa   "interior")
% (c3m211afp 8 "interior")
% (c3m211afa   "interior")

{\bf O interior de um conjunto (e conjuntos abertos)}

Def: o {\sl interior} de um conjunto $A⊂\R^n$, $\Int(A)$,

é definido como:
%
$$\Int(A) \;\;=\;\; \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A}.$$

Note que isto sempre é verdade: $\Int(A)⊂A$.

Dizemos que um conjunto $A$ é {\sl aberto} quando $A⊂\Int(A)$.



\newpage

% «infinitas-bob»  (to ".infinitas-bob")
% (c3m242top 10 "infinitas-bob")
% (c3m242toa    "infinitas-bob")
% (c3m222topp 10 "infinitas-bob")
% (c3m222topa    "infinitas-bob")

{\bf Infinitas operações / seja com o Bob}

Pra entender a definição de interior e as próximas você vai precisar
fazer um número infinito de operações pra chegar no resultado, e pra
isso você vai ter que usar algumas técnicas que nós vimos em Cálculo 2
no semestre passado. Os links abaixo vão pras versões deste semestre
do material sobre essas técnicas, que ficou bem melhor do que o do
semestre passado.

\msk

Veja este PDF, a partir da página 11 dele:

{\footnotesize

% (c2m222srp 11 "set-comprehensions")
% (c2m222sra    "set-comprehensions")
%    http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf}

% 2fT70:  (c2m222srp 11 "set-comprehensions")
%         (c2m222sra    "set-comprehensions")
% 2hT130: (c2m232srp 20 "um-jogo-2")
%         (c2m232sra    "um-jogo-2")
% 2hT134: (c2m232srp 24 "def-inf-e-sup")
%         (c2m232sra    "def-inf-e-sup")
%\par \Ca{2fT70} ``Set comprehensions''
%\par \Ca{2hT130} Um jogo colaborativo (2)

}

\ssk

e relembre as definições de inf e sup daqui:

{\footnotesize

% (c2m222tfcsp 1)
%    http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-TFC1-e-TFC2.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-TFC1-e-TFC2.pdf}

}



% (c2m222tfcsp 1 "title")
% (c2m222tfcsa   "title")






\newpage

% «exercicio-5»  (to ".exercicio-5")
% (c3m242top 11 "exercicio-5")
% (c3m242toa    "exercicio-5")
% (c3m211afp 9 "exercicio-5")
% (c3m211afa   "exercicio-5")

{\bf Exercício 5.}

Seja $A = [2,4] ⊂ \R^1$.

Verifique que $A$ não é aberto usando

a definição do slide anterior.

Dica: como $A = [2,4]$, dá pra começar por:
%
\def\iff{\Leftrightarrow}
%
$$\begin{array}{lrcl}
                 & A & \multicolumn{2}{l}{\text{não é aberto}} \\ 
   \iff \ph{m}   & A & \not⊂ & \Int(A) \\
   \iff          & A & \not⊂ & \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A} \\
   \iff          & [2,4] & \not⊂ & \setofst{P∈[2,4]}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆[2,4]} \\
  \end{array}
$$

\msk

Pros passos seguintes você vai precisar usar

muitas das ``traduções'' dos próximos dois slides.

\newpage

% «algumas-traducoes»  (to ".algumas-traducoes")
% (c3m242top 12 "algumas-traducoes")
% (c3m242toa    "algumas-traducoes")
% (c3m211afp 14 "algumas-traducoes")
% (c3m211afa    "algumas-traducoes")

{\bf Algumas traduções}

\def\iff{\Leftrigharrow}

$$\begin{array}{rcl}
  A⊂B   &=&   ∀a∈A. a∈B \\
  A=B   &=&   (A⊂B)∧(B⊂A) \\
  ¬(P∧Q) &=& ¬P∨¬Q \\
  ¬(P∨Q) &=& ¬P∧¬Q \\
  ¬(∀a∈A.P(a)) &=& ∃a∈A.¬P(a) \\
  ¬(∃a∈A.P(a)) &=& ∀a∈A.¬P(a) \\
  x∈\setofst{a∈A}{P(a)} &=& x∈A∧P(x) \\
  ¬(P→Q) &=& P∧¬Q \\ \relax
  [20,42) &=& \setofst{x∈\R}{20≤x<42} \\
  20≤x<42 &=& 20≤x ∧ x<42 \\
  \end{array}
$$

\bsk

Lembre que `$∧$' é ``e'', `$∨$' é ``ou'', `$¬$' é ``não'', `$→$' é
``implica''.


\newpage

% «algumas-traducoes-2»  (to ".algumas-traducoes-2")
% (c3m242top 13 "algumas-traducoes-2")
% (c3m242toa    "algumas-traducoes-2")
% (c3m211afp 15 "algumas-traducoes-2")
% (c3m211afa    "algumas-traducoes-2")

{\bf Alguns exemplos de traduções}

$$\begin{array}{l}
  [a,b] ⊂ [20, 42) \\
  = \;\; ∀x∈[a,b]. x∈[20, 42) \\
  = \;\; ∀x∈[a,b]. 20≤x<42 \\
  = \;\; ∀x∈\R. x∈[a,b] → 20≤x<42 \\
  = \;\; ∀x∈\R. a≤x≤b → 20≤x<42   \\[10pt]
  %
  ¬([a,b] ⊂ [20, 42)) \\
  = \;\; ¬(∀x∈\R. a≤x≤b → 20≤x<42) \\
  = \;\; ∃x∈\R. ¬(a≤x≤b → 20≤x<42) \\
  = \;\; ∃x∈\R. ¬(a≤x≤b)∧(20≤x<42) \\
  = \;\; ∃x∈\R. ¬(a≤x ∧ x≤b)∧(20≤x<42) \\
  = \;\; ∃x∈\R. (¬(a≤x) ∨ ¬(x≤b))∧(20≤x<42) \\
  = \;\; ∃x∈\R. (x<a ∨ b<x)∧(20≤x<42) \\
  \end{array}
$$

% (c3q192 18 "20190920" "Subconjuntos de R2; fecho e interior")
% (c3q192 19 "20190926" "Abertos e fechados; imagem inversa; Teorema de Weierstrass; triangulo e xy")
% (c3q192 20 "20190927" "Mais imagem inversa e Teorema de Weierstrass")

\newpage

% «exercicio-6»  (to ".exercicio-6")
% (c3m242top 14 "exercicio-6")
% (c3m242toa    "exercicio-6")
% (c3m211afp 10 "exercicio-6")
% (c3m211afa    "exercicio-6")

{\bf Exercício 6.}

\ssk

Represente graficamente:

\ssk

a) $\Int(C_8)$,

b) $\Int(C_4)$,

c) $\Int(C_5)$,

d) $\Int(\BA_1((2,2)))$.

\newpage

% «fecho»  (to ".fecho")
% (c3m242top 15 "fecho")
% (c3m242toa    "fecho")
% (c3m211afp 11 "fecho")
% (c3m211afa    "fecho")

{\bf O fecho de um conjunto (e conjuntos fechados)}

Def: o {\sl fecho} de um conjunto $A⊂\R^2$, $\ovl{A}$,

é definido como:
%
$$\ovl{A} \;\;=\;\; \setofst{P∈\R^2}{∀ε>0.\, \BA_ε(P)∩A \neq ∅}$$

Compare com a definição do interior:
%
$$\Int(A) \;\;=\;\; \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A}.$$

Isto aqui sempre é verdade: $A ⊂ \ovl{A}$.

Quando $\ovl{A} ⊂ A$ dizemos que $A$ é um conjunto {\sl fechado}.


\newpage

% «exercicio-7»  (to ".exercicio-7")
% (c3m242top 16 "exercicio-7")
% (c3m242toa    "exercicio-7")
% (c3m211afp 12 "exercicio-7")
% (c3m211afa    "exercicio-7")
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -niH --null -e bounds 2022*.tex")

%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(3,2))
%L spec   = "(1,1)o--(2,1)c"
%L pws    = PwSpec.from(spec)
%L curve  = pws:topict()
%L p = Pict { curve:prethickness("2pt") }
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("15pt"):sa("Exercicio 7"):output()
\pu

{\bf Exercício 7.}

\unitlength=20pt

Digamos que:
%
$$D_1 \;\;=\;\;
  \ga{Exercicio 7}
$$

\msk

Represente graficamente:

a) $\ovl{C_8}$

b) $\ovl{D_1}$

c) $\Int(D_1)$


\newpage

% «aviso-sobre-a-p2»  (to ".aviso-sobre-a-p2")
% (c3m242top 17 "aviso-sobre-a-p2")
% (c3m242toa    "aviso-sobre-a-p2")

{\bf Um aviso sobre a P2 (de 2021.2)}

Em quase todos os problemas deste PDF é muito

mais fácil mostrar que uma resposta está errada

do que mostrar que ela está certa... e o método

pra mostrar que uma resposta está errada vai

ser um dos assuntos principais da P2.

\msk

% (Vou explicar ele daqui a pouco!)



% (find-bortolossi4page)
% (find-bortolossi4page (+ -120 121) "Cap 4")
% (find-bortolossi4page (+ -120 121) "4.1. Porque contínuas são importantes")
% (find-bortolossi4page (+ -120 123) "4.2. Continuidade em várias variáveis")
% (find-bortolossi4page (+ -120 129) "4.3. Weierstrass em n variáveis")
% (find-bortolossi4page (+ -120 139)   "distância euclidiana")
% (find-bortolossi4page (+ -120 142)   "bola aberta")
% (find-bortolossi4page (+ -120 142)   "bola fechada")
% (find-bortolossi4page (+ -120 143)   "conjunto limitado")
% (find-bortolossi4page (+ -120 143)   "ponto de fronteira")
% (find-bortolossi4page (+ -120 144)   "fronteira de um conjunto")
% (find-bortolossi4page (+ -120 145)   "conjunto fechado")
% (find-bortolossi4page (+ -120 146)   "conjunto compacto")
% (find-bortolossi4page (+ -120 147)   "o teorema de Weierstrass")
% (find-bortolossi4page (+ -120 148)   "ponto interior")
% (find-bortolossi4page (+ -120 148)   "conjunto aberto")
% (find-bortolossi4page (+ -120 151) "4.4. Exercícios")


\newpage

% «algumas-nots-novas»  (to ".algumas-nots-novas")
% (c3m242top 18 "algumas-nots-novas")
% (c3m242toa    "algumas-nots-novas")
% (c3m222topp 10 "algumas-nots-novas")
% (c3m222topa    "algumas-nots-novas")

{\bf Imagem inversa}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Algumas das igualdades abaixo são definições,

as outras são exemplos.
%
$$\begin{array}{rcl}
  H(x,y)    &=& xy \\
  H_I       &=& \setofxyst{H(x,y)∈I} \\
  H_{[a,b]} &=& \setofxyst{H(x,y)∈[a,b]} \\
  H_{[0,1]} &=& \setofxyst{H(x,y)∈[0,1]} \\
  H^{-1}(a) &=& \setofxyst{H(x,y)=a} \\
  H^{-1}(I) &=& \setofxyst{H(x,y)∈I} \\
  H^{-1}([0,1]) &=& \setofxyst{H(x,y)∈[0,1]} \\
                &=& H_{[0,1]} \\
  \end{array}
$$

\bsk

{\bf Exercício 8.}

Represente graficamente:
%
$$\begin{array}{rcl}
  C_{1} &=& H^{-1}(0) \\
  C_{2} &=& H^{-1}(1) \\
  C_{3} &=& H^{-1}([0,1]) \\
  C_{4} &=& H^{-1}((0,1))\\
  C_{5} &=& \Int(C_3)\\
  C_{6} &=& \overline{C_4} \\
  C_{7} &=& H^{-1}(4) \\
  C_{8} &=& H^{-1}([0,4]) \\
  C_{9} &=& \setofxyst{1≤x \text{ e } 1≤y} \\
  C_{10} &=& C_8∩C_9 \\
  \end{array}
$$


}\anothercol{

{\bf Conjuntos limitados e compactos}

Um conjunto $C∈\R^2$ é {\sl limitado} quando ele

obedece isto:
%
$$∃r∈\R.\,C⊂B_r((0,0))$$.

Um conjunto $C∈\R^2$ é {\sl compacto} quando ele é

fechado e limitado.




\bsk
\bsk
\bsk

{\bf Exercício 9.}

Preencha a tabela abaixo com `$\True$'s e `$\False$'s.

\bsk

$\begin{array}{lcccccccccc}
   & C_1
   & C_2
   & C_3
   & C_4
   & C_5
   & C_6
   & C_7
   & C_8
   & C_{10} \\
   \text{é aberto} \\
   \text{é fechado} \\
   \text{é limitado} \\
   \text{é compacto} \\
 \end{array}
$

}}


\newpage

% «maximos-numa-elipse»  (to ".maximos-numa-elipse")
% (c3m242top 19 "maximos-numa-elipse")
% (c3m242toa    "maximos-numa-elipse")
% (c3m222topp 19 "maximos-numa-elipse")
% (c3m222topa    "maximos-numa-elipse")
{\bf Máximos numa elipse}


\scalebox{0.52}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

Dê uma olhada nas figuras das páginas 355 e 356 do Bortolossi,

no capítulo 10 dele:

\ssk

{\scriptsize

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "na borda da elipse")
% (find-bortolossi10page (+ -350 355)   "máximos de x^2+y^2 numa elipse")
% (find-bortolossi10page (+ -350 356)   "máximos de x^2+y^2 na borda da elipse")
%    http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf\#page=5}

\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf\#page=6}

}

Ele usa:
%
$$\begin{array}{rcl}
  f(x,y) &=& x^2+y^2 \\
  g(x,y) &=& \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} \\
  D_2 &=& \setofxyst{g(x,y)≤1} \\
  D_3 &=& \setofxyst{g(x,y)=1} \\
  \end{array}
$$

$D_2$ é uma elipse ``cheia'' incluindo o interior dela, e

$D_3$ é só a fronteira de $D_2$.

Note que $(-2,0),(2,0),(0,3),(0,-3)∈D_3$.

\bsk

{\bf Exercício 10.}

a) Desenhe algumas curvas de nível de $f(x,y)$.

\msk

b) Na página 354 o Bortolossi desenha curvas de nível
dentro de um quadrado. Desenhe algumas curvas de nível
de $f(x,y)$ dentro da ``elipse cheia'' $D_2$.

\msk

c) Tente descobrir {\sl no olhômetro} quais são os máximos
e mínimos de $f(x,y)$ em $D_2$. Dica: o Bortolossi leva
várias páginas fazendo isso --- leia o texto dele!


}\anothercol{

  {\bf Dica:} o objetivo do item (c) é você aprender a resolver só com
  curvas de nível as idéias que o Bortolossi apresenta usando figuras
  em 3D. Se você não conseguir fazer a tradução das figuras 3D pra
  curvas de nível direto você pode começar desenhando ``cortes'' sobre
  as figuras 3D, como na questão do mini-teste 1 de 2020.2:

\ssk

{\scriptsize

% (c3m202tudop 83 "title")
% (c3m202tudoa   "title")
%    http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-tudo.pdf#page=83
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-tudo.pdf\#page=83}

}

\bsk


...e repare que quando o Bortolossi chega no capítulo 12 ele passa a
usar quase só curvas de nível e gradientes --- ele praticamente
abandona as figuras 3D:

\ssk

{\scriptsize

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "12. Otimização com")
%    http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-12.pdf
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-12.pdf}

}

}}


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-2-C3-topologia")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% outline-regexp: "\\\\newpage"
% ee-tla: "c3to"
% ee-tla: "c3m252to"
% End:
