[INCLUDE TH/speedbar.blogme] [SETFAVICON dednat4/dednat4-icon.png] [SETFAVICON IMAGES/forthsun.png] [# (defun c () (interactive) (find-blogme3-sh0-if "2009.1-C1")) ;; http://angg.twu.net/2009.1-C1.html ;; file:///home/edrx/TH/L/2009.1-C1.html #] [lua: LR = R ] [lua: def [[ SCAN 3 cod,date,ext R("2009.1/$cod/$date.$ext", "$date") ]] def [[ ^ 1 text "$text" ]] def [[ \subseteq 1 _ "⊆" ]] def [[ \forall 1 _ "∀" ]] def [[ \exists 1 _ "∃" ]] ] [htmlize [J 2009.1 - Cálculo 1] [_TARGETS Courant => http://gigapedia.org/items/80541/introduction-to-calculus-and-analysis--vol-1---1965- Spivak => http://gigapedia.com/items/107053/calculus 2009.1 -> (find-TH "2009.1") hjb => http://www.professores.uff.br/hjbortol/ hjbc1 => http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2008.2/gma00108/index.html http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2008.2/gma00108/gma00108.news.html http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2008.2/gma00108/gma00108.cronograma.html 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Horários, sala, etc: veja a [__ 2009.1 página sobre os cursos que eu estou dando].] [P Alguns [R 2009.1/C1/ scans]: [BR] [SCAN C1 2009-apr-01 pdf]: exercícios de imagens de intervalos (ficaram difíceis demais) [BR] [SCAN C1 2009-apr-06 pdf]: limites e continuidade via imagens de intervalos [BR] [SCAN C1 2009-apr-08 pdf]: revisão de alguns fatos básicos sobre lógica e conjuntos [BR] [SCAN C1 2009-apr-15 pdf]: alguns teoremas importantes [BR] [SCAN C1 2009-apr-22 pdf]: dois tipos de caixas [BR] [SCAN C1 2009-apr-29 pdf]: um monte de exercícios pequenos sobre uma trajetória no plano [BR] [SCAN C1 2009-may-14-C1-gab pdf]: gabarito parcial do "monte de exercícios pequenos" acima [BR] [SCAN C1 2009-1-C1-prova-1 pdf]: primeira prova [BR] [SCAN C1 2009-1-C1-prova-1-gab pdf]: gabarito da primeira prova ] [# # http://angg.twu.net/2009.1/C1/2009-apr-01.pdf # http://angg.twu.net/2009.1/C1/2009-apr-06.pdf # http://angg.twu.net/2009.1/C1/2009-apr-08.pdf # http://angg.twu.net/2009.1/C1/2009-apr-15.pdf # http://angg.twu.net/2009.1/C1/2009-apr-22.pdf # http://angg.twu.net/2009.1/C1/2009-apr-29.pdf # http://angg.twu.net/2009.1/C1/2009-may-14-C1-gab.pdf #] [# Calendário de Cálculo I (com datas corridas, incluindo dias sem aulas) March 2009 Su Mo Tu We Th Fr Sa 1 2 3 4 5 6 7 8< 9>10<11>12 13 14 aulas 1 e 2 15<16>17<18>19 20 21 aulas 3 e 4 22<23>24<25>26 27 28 aulas 5 e 6 29<30>31 aula 7 April 2009 Su Mo Tu We Th Fr Sa < 1> 2 3 4 aula 8 5< 6> 7< 8> 9 10 11 aula 9 e 10 12<13>14<15>16 17 18 aulas 11 e 12 19<20>21<22>23 24 25 aulas 13 e 14 26<27>28<29>30 aula 15 e 16 May 2009 Su Mo Tu We Th Fr Sa 1 2 3< 4> 5< 6> 7 8 9 aulas 17 e 18 10<11>12<13>14 15 16 aulas 19 e 20 17<18>19<20>21 22 23 aulas 21 e 22 24<25>26<27>28 29 30 aulas 23 e 24 31 June 2009 Su Mo Tu We Th Fr Sa < 1> 2< 3> 4 5 6 aulas 25 e 26 7< 8> 9<10>11 12 13 aulas 27 e 28 14<15>16<17>18 19 20 aulas 29 e 30 21<22>23<24>25 26 27 aulas 31 e 32 28<29>30 aula 33 (resultados e vista de prova) July 2009 Su Mo Tu We Th Fr Sa < 1> 2 3 4 aula 34 5< 6> 7< 8> 9 10 11 aulas 35 (prova de reposição), aula 36 (VS) 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 #] [P Cronograma (incompleto):] [MES MARÇO [AULA 1 2009-mar-09 Números naturais, inteiros, racionais, reais; porque os reais são difíceis. Operações com novos "tipos de dados": valores de verdade, conjuntos, funções. Demonstrações. ] [AULA 2 2009-mar-11 Dispensei todo mundo por causa do trote. ] [AULA 3 2009-mar-16 Algumas funções: [BR] f(x) = x-1 [BR] g(x) = (x-1)(x-2)/(x-2) [BR] h(x) = (x[^ 2]-3x+2)/(x-2) [BR] g e h não estão definidas em x=3. Funções como operações; funções definidas por casos. Operações com valores de verdade; e, ou, não e implicação como funções. Operações como um anão dentro de uma caixa preta. Subconjuntos como funções que respondem "sim" ou "não". Notação de intervalos - bolas pretas e brancas - força bruta. Que subconjuntos de R[^ 2] são gráficos. Os três casos nos quais G',G'',G''' [\subseteq] A×B não são gráficos de uma função. Gráfico induz função. Domínio da função dada pelo gráfico. Como traçar o gráfico da parábola? Derivadas vão nos ajudar a traçar gráficos. Um caso onde limites são necessários. Funções definidas por gráficos. O que é uma função "qualquer"? ] [AULA 4 2009-mar-18 (Fiquei doente - tenho que ver como repor essa aula) ] [AULA 5 2009-mar-23 Para calcular derivadas precisamos de limites... derivada de x[^ 2], e sua interpretação gráfica; definição formal de limite, e o que ela diz nos casos f(x)=sen(1/x), g(x)=x·sen(1/x), h(x)=|x| ] [AULA 6 2009-mar-25 Testando se algumas funções são contínuas usando a definição; como mostrar que uma sentença da forma [\forall]x[Q >]0 [\exists]y[Q >]0 P(x,y) é verdadeira ou falsa; exemplo, [\forall]y[Q >]0 [\exists]x[Q >]0 0[Q <]x[Q <]y ] [AULA 7 2009-mar-30 Tentei chegar às propriedades de limites via imagens de intervalos (e a aula ficou complicada demais e não funcionou) ] ] [br] [MES ABRIL [AULA 8 2009-abr-01 Aula em cima de uma [R 2009.1/C1/2009-apr-01.pdf lista de exercícios] sobre imagens de intervalos ] [AULA 9 2009-abr-06 Continuidade via imagens de intervalos (usamos [R 2009.1/C1/2009-apr-06.pdf estas folhas]) ] [AULA 10 2009-abr-08 Revisão de alguns fatos básicos sobre lógica e conjuntos (usamos [R 2009.1/C1/2009-apr-08.pdf estas folhas]) ] [AULA 11 2009-abr-13 ] [AULA 12 2009-abr-15 Alguns teoremas sobre limites, continuidade e desigualdades ([R 2009.1/C1/2009-apr-15.pdf aqui]) ] [AULA 13 2009-abr-20 (Feriado) ] [AULA 14 2009-abr-22 Mais uma tentativa de fazer uma ponte entre a visão algébrica de desigualdades e a sua interpretação gráfica: [R 2009.1/C1/2009-apr-15.pdf dois tipos de caixas] ] [AULA 15 2009-abr-27 Uma trajetória no plano, p(t)=(x(t),y(t)) ] [AULA 16 2009-abr-29 [R 2009.1/C1/2009-apr-29.pdf Muitos exercícios pequenos] sobre a trajetória da aula anterior ] ] [br] [MES MAIO [AULA 17 2009-mai-04 ] [AULA 18 2009-mai-06 ] [AULA 19 2009-mai-11 ] [AULA 20 2009-mai-13 ] [AULA 21 2009-mai-18 Revisão. ] [PROVA 22 2009-mai-20 [# (find-LATEX "2009-1-C1-prova-1.tex") (find-pspage "~/LATEX/2009-1-C1-prova-1.pdf") #] [R 2009.1/C1/2009-1-C1-prova-1.pdf Primeira prova.] Matéria: limite, derivada, vários modos de calcular limites e derivadas, funções contínuas e deriváveis, gráficos. ] [AULA 23 2009-mai-25 Transformações em gráficos: relação entre o gráfico de f(x) e os de f(x+1), f(x-1), f(x/2); gráfico da função inversa. Regra da derivada da função inversa. ] [AULA 24 2009-mai-27 ] ] [br] [MES JUNHO [AULA 25 2009-jun-01 Translações e dilatações de gráficos. Gráfico da função inversa. Derivada da função inversa. Derivada do arcsen. Funções implícitas e derivadas de funções implícitas. ] [AULA 26 2009-jun-03 Taxas relacionadas. Revisão de funções injetivas, sobrejetivas, bijetivas, crescentes e decrescentes. Teorema do valor intermediário. Teorema do valor médio. Inversas de funções deriváveis crescentes e decrescentes. Teorema de Weierstrass. ] [AULA 27 2009-jun-08 Existência de soluções de equações. Método de Newton. Concavidades. Máximos e mínimos locais. ] [AULA 28 2009-jun-10 Série de Taylor para polinômios, para e^x, sen x, cos x. Cálculo de e^x, sen x, cos x. Série de Taylor para 1/(x-1). Introdução à idéia de raio de convergência. ] [AULA 29 2009-jun-15 Primitivas. Antidiferenciação. Relação entre primitivas e áreas. ] [AULA 30 2009-jun-17 Teoremas pendentes: anulamento/confronto, a^x como e^((ln a)x), derivada do ln, limites no infinito ] [AULA 31 2009-jun-22 Revisão e exercícios. ] [AULA 32 2009-jun-24 Revisão e exercícios. ] [PROVA 33 2009-jun-29 Segunda prova. Matéria: teoremas do anulamento e do valor intermediário; teoremas da limitação e de Weiestrass; teoremas de Rolle e do valor médio. ] ] [br] [MES JULHO [PROVA 34 2009-jul-01 Prova de reposição (versão 1, na data original, pra quem não vai poder fazer na segunda data). ] [PROVA 35 2009-jul-06 Prova de reposição (versão 2). ] [PROVA 36 2009-jul-08 Verificação suplementar. [IT Note que a VS foi remarcada - ela tinha sido marcada originalmente para 2009-jul06.] ] [AULA 37 2009-jul-13 ] ] [# % % (eedn4a-bounded) % (find-sh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o tmp.ps tmp.dvi") % (find-sh0 "cd ~/LATEX/ && dvired -D 300 -P pk -o tmp.ps tmp.dvi") % (find-pspage "~/LATEX/tmp.ps") {\myttchars \footnotesize \begin{verbatim} Taxas relacionadas. Revisão de funções injetivas, sobrejetivas, bijetivas, crescentes e decrescentes. Teorema do valor intermediário. Teorema do valor médio. Inversas de funções deriváveis crescentes e decrescentes. Teorema de Weierstrass. Uma aula (quase) sem contas: quando é que uma função tem inversa e muitas idéias relacionadas Definição: uma função f _atinge_ y quando existe um x tal que f(x)=y. Definição: uma função f _atinge_ y em A quando existe um x em A tal que f(x)=y. Exemplos: Um polinômio p(x) tem raiz quando p atinge o 0. A função f(x)=x^2+1 não atinge o 0. A função f(x)=x^2+1 atinge o 1 uma vez só. A função f(x)=x^2+1 atinge o 2 duas vezes. A função f(x)=x^2+1 atinge o 2 exatamente uma vez em [0,\infty]. A função sen(x) atinge o 0 infinitas vezes. A função sen(x) atinge o 0 exatamente uma vez em [-pi/2,pi/2]. A função sen(x) atinge o 1/7 infinitas vezes. A função sen(x) atinge o 1 infinitas vezes. A função sen(x)-1 atinge o 0 infinitas vezes. A função exp(x)=e^x atinge cada número real positivo exatamente uma vez. A função exp(x)=e^x não atinge o 0. A função exp(x)=e^x não atinge nenhum número negativo. Definição: a imagem de f é o conjunto dos pontos ("y"s) atingidos pela f. Definição: f é _crescente_ se para todos a,b no domínio de f com a [-1,1] x |-> sen x O domínio de s é [-pi/2,pi/2]. O contradomínio de s é [-1,1]. A imagem de f é [-1,1]. A função sen:R->R tem domínio e contradomínio R, mas a sua imagem é só [-1,1]. Definição: f é _injetiva_ quando ela atinge cada ponto do contradomínio no máximo uma vez. Exemplos: A função sen não é injetiva. A função exp é injetiva. Qualquer função crescente é injetiva: a f(a) f(a)!=f(b). Definição: f é _sobrejetiva_ quando atinge cada ponto do contradomínio pelo menos uma vez. Exemplos: A função exp não é sobrejetiva. A função f: (-infty,infty) -> (0,infty) é sobrejetiva (e injetiva também). x |-> e^x Definição: f é _bijetiva_ quando atinge cada ponto do contradomínio exatamente uma vez. Fato (quase óbvio): f é bijetiva se e só se é injetiva e sobrejetiva. Teorema (do anulamento): Se f:[a,b]->R é contínua e f(a) e f(b) têm sinais contrários então f atinge o 0. Observação: isto é fácil de entender graficamente, mas a prova é estranha - veja o Apêndice 2 do Guidorizzi (vol.1) - e ela só vale porque R "não tem buracos"... a função g: Q -> R que leva cada racional x no mesmo racional x visto como um número real nunca atinge a raiz de 2. Definição: se a<=c então b está _entre_ a e c quando a<=b<=c. Definição: se a>=c então b está _entre_ a e c quando a>=b>=c. Definição: se ac então b está _estritamente entre_ a e c quando a>b>c. Obs: se a=c não há nenhum número estritamente entre a e c. Se f é crescente e b está entre a e c então f(b) está entre f(a) e f(b). Se f é crescente e b está estritamente entre a e c então f(b) está estritamente entre f(a) e f(b). Se f: [a,b] -> R é crescente então f não atinge nenhum y fora de [f(a),f(b)]. Se f: [a,b] -> R é crescente então a imagem de f está contida em [f(a),f(b)] - e como f é injetiva nenhum ponto de [f(a),f(b)] é atingido mais de uma vez. Teorema (do valor intermediário): Se g: [a,b] -> R é contínua então g atinge todos os valores entre g(a) e g(b). Prova: se y está entre g(a) e g(b) então 0 está entre g(a)-y e g(b)-y; defina f: [a,b] -> R x |-> g(x)-y e use o Teorema do Anulamento pra encontrar um x tal que f(x)=0 (e g(x)=y). Se f: [a,b] -> R é crescente e contínua então: cada ponto de [f(a),f(b)] é atingido pelo menos uma vez (pelo TVI); cada ponto de [f(a),f(b)] é atingido no máximo uma vez (porque f é injetiva); e pontos fora de [f(a),f(b)] nunca são atingidos. Daí: se f: [a,b] -> R é crescente e contínua então f é uma bijeção entre [a,b] e [f(a),f(b)], e podemos definir uma função g: [f(a),f(b)] -> [a,b] que é a inversa de f - a função g leva cada y em [f(a),f(b)] no único x tal que f(x)=y. A função s: [-pi/2,pi/2] -> [-1,1] é crescente e contínua. x |-> sen x Ela tem uma inversa: arcsen: [-1,1] -> [-pi/2,pi/2], que leva cada y em [-1,1] no único x em [-pi/2,pi/2] tal que s(x)=y. E ainda nem falamos de derivadas... Mínimos locais e máximos locais =============================== Se f: [a,e] -> R, um ponto c em [a,e] vai ser um _mínimo local_ de f quando f só atingir valores >=f(c) em algum intervalo [b,d] contendo c. Se f: [a,e] -> R, um ponto c em [a,e] vai ser um _máximo local_ de f quando f só atingir valores <=f(c) em algum intervalo [b,d] contendo c. Se f é derivável em c e f'(c)>0 então f não é um mínimo local em c. Se f é derivável em c e f'(c)>0 então f não é um máximo local em c. Se f é derivável em c e f'(c)<0 então f não é um mínimo local em c. Se f é derivável em c e f'(c)<0 então f não é um máximo local em c. Se f é derivável em c e c é um mínimo local de f então f'(c)=0. Se f é derivável em c e c é um máximo local de f então f'(c)=0. A função f(x)=x^3 tem f'(0)=0, mas 0 não é nem mínimo local nem máximo local. Às vezes podemos usar a segunda derivada pra ver se um ponto com f'(x)=0 é mínimo local ou máximo local - mas isto não funciona sempre: se f(x)=x^4 o 0 é mínimo local, mas f(0)=f'(0)=f''(0)=0. Teorema de Rolle ================ (Ele é uma versão "horizontal" do Teorema do valor médio). Se f: [a,d] -> R é derivável e f(a)=f(d) então existe um b em [a,d] tal que f'(d)=0. A demonstração depende do Teorema de Weierstrass, e para entendê-lo precisamos definir (informalmente, pelo menos) "sup" e "inf". O sup de um conjunto A é o menor número ">=A". O sup é uma espécie de máximo, mas o sup(A) não precisa pertencer a A. sup(N)=infty. O inf de um conjunto A é o maior número "<=A". O inf é uma espécie de mínimo, mas o inf(A) não precisa pertencer a A. inf({1, 1/2, 1/3, ...})=0. Teorema da limitação ==================== Se f: [a,b] -> R é contínua então -infty < inf(imagem(f)) <= sup(imagem(f)) < infty, ou seja, a imagem de f é "limitada" - seu sup e seu inf são reais. Teorema de Weierstrass ====================== Se f: [a,d] -> R é contínua então existem b,c em [a,d] tais que f(b)=inf(imagem(f)) e f(c)=sup(imagem(f)), ou seja, o sup e o inf são atingidos. As demonstrações do teorema da limitação e do teorema de Weierstrass também dependem de R "não ter furos" - ela não funcionaria para intervalos abertos ou para intervalos em Q. Voltando ao teorema de Rolle: se f: [a,d] -> R é derivável e não é constante, escolha b,c em [a,d] tais que f(b)=inf(imagem(f)) e f(c)=sup(imagem(f)); algum deles está "no meio" do intervalo [a,d], ou seja, não é nem a nem d. Chame-o de x - isto é, x=b ou x=c, e x está em (a,d). Ele é um mínimo local ou máximo local, e portanto f'(x)=0. Se f for constante para todo x em (a,d) temos f'(x)=0. Repare que o sen é derivável em [-pi/2,pi/2], mas o arcsen só é derivável em (-1,1) - nos pontos -1 e 1 a sua derivada seria infinita. A partir de agora quando eu disser "f é derivável em [a,b]" isto _às vezes_ vai ser um abuso de linguagem - uma abreviatura para "f é contínua em [a,b] e derivável em todos os pontos de (a,b)". \end{verbatim} } segunda 2009jun8: Cálculo 1: aula péssima. Era pra ser TVI, TVM e função inversa, mas não funcionou. quarta 2009jun10: Hoje em Cálculo 1: não teve aula porque só 7 alunos vieram, e aí a gente só olhou as provas. A aula que eu preparei sobre TVI, TVM etc não foi usada. Segunda 2009jun15: Aula muito boa - quase tudo aí em cima. Quarta 2009jun17: Aula muito pequena sobre o valor de f(b) quando f'(x) é limitado, e um pouquinho sobre concavidades. Passei uns exercícios: Lista 8 do Humberto: 8-12 Lista 15 do Humberto: 1-5, 7-9 Guidorizzi, vol.1: p.123, 1, 2, 4, 6, 7, 10, 11, 12, 13 p.237: 13, 16, 17, 18, 19 % #] [P Material auxiliar: o [__ hjb Humberto Bortolossi] costuma dar Cálculo 1 na UFF de Niterói, e ele produz e disponibiliza toneladas de PDFs. Um [__ hjbc1 link pra a versão de 2008.2 do curso dele], e links rápidos para as listas de exercícios [__ L01 1], [__ L02 2], [__ L03 3], [__ L04 4], [__ L05 5], [__ L06 6], [__ L07 7], [__ L08 8], [__ L09 9], [__ L10 10], [__ L11 11], [__ L12 12], [__ L13 13], [__ L14 14], [__ L15 15], [__ L16 16], [__ L17 17], [__ L18 18], [__ L19 19], e para os PDFs das aulas: [__ A01 1], [__ A02 2], [__ A03 3], [__ A04 4], [__ A05 5], [__ A06 6], [__ A07 7], [__ A08 8], [__ A09 9], [__ A10 10], [__ A11 11], [__ A12 12], [__ A13 13], [__ A14 14], [__ A15 15], [__ A16 16], [__ A17 17], [__ A18 18], [__ A19 19], [__ A20 20], [__ A21 21], [__ A22 22], [__ A23 23], [__ A24 24]. ] [# Ementa: #] ] [# # Local Variables: # coding: raw-text-unix # modes: (fundamental-mode blogme-mode) # End: #]