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% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009apr29-C1.tex && pdflatex 2009apr29-C1.tex"))
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% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips        -P pk -o 2009apr29-C1.ps 2009apr29-C1.dvi && ps2pdf 2009apr29-C1.ps")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009apr29-C1.ps")
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% (find-twusfile "2009.1/C1/")
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% (find-pspage  "/tmp/pen/2009apr29-C1.pdf")
% (find-fline "/tmp/pen/")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009apr29-C1.dnt

%*
% (eedn4a-bounded)

% (find-kopkadaly4page (+ 12 631) "Index" "noindent")
% (find-kopkadaly4page (+ 12  46) "Index" "noindent")

\par Cálculo I
\par PURO-UFF - 2009.1
\par Exercícios - 29/abril/2009
\bsk

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}

% (find-es "tex" "newcounter")
\newcounter{myex}
\long\def\newex{
  \par\noindent
  \refstepcounter{myex}
  {\bf (\arabic{myex})}
  }

% (find-dn4exfile "edrxheadfoot.tex")
\edrxnotes{C1 2009apr29}

\def\sen{\operatorname{sen}}

As duas funções abaixo definem uma trajetória de um ponto no plano:

$x(t) =
 \begin{cases}
 1             & \text{quando $t<0$} \\
 \cos(t)       & \text{quando $0 \le t \le \pi$} \\
 (t-\pi)^2 - 1 & \text{quando $\pi<t$} \\
 \end{cases}
$

$y(t) =
 \begin{cases}
 t        & \text{quando $t<0$} \\
 \sen(t)  & \text{quando $0 \le t \le \pi$} \\
 -(t-\pi) & \text{quando $\pi<t$} \\
 \end{cases}
$

Vamos usar uma abreviação: $p(t) = (x(t),y(t))$.

Note que para cada valor de $t$ o valor de $p(t)$ é um ponto do plano
$(x,y)$ ---

se quisermos pensar nele como um vetor ele é o ``vetor posição''.

Às vezes vamos escrever vetores horizontalmente --- $p(x) = (x(t),y(t))$ ---,

às vezes verticalmente: $p(x) = \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}$.

\msk

\newex Para cada um dos valores de $t$ abaixo,   \label{vals-of-t}

$-3, -2, -1, 0$

$\frac{1}{6\pi}, \frac{2}{6\pi}, \frac{3}{6\pi}, \frac{4}{6\pi}, \frac{5}{6\pi},$

$\pi, \pi+\frac12, \pi+1, \pi+2$

calcule $x(t)$ e $y(t)$.

\newex Para cada um dos valores de $t$ do exercício \ref{vals-of-t}
desenhe o ponto $p(t)$ no plano $(x,y)$. \label{plot-points}

\newex Use os pontos que você desenhou no exercício \ref{plot-points}
e tente fazer um esboço da trajetória completa. (Obs: os exercícios
seguintes vão nos permitir melhorar muito este esboço).

\msk

Agora considere mais estas funções:

$\begin{array}{lll}
 x_1(t) = 1              & y_1(t) = t        \\ 
 x_2(t) = \cos(t)        & y_2(t) = \sen(t)  \\
 x_3(t) = (t-\pi)^2 - 1  & y_3(t) = -(t-\pi) \\
 x_4(t) = t^2 - 1        & y_4(t) = -t       \\
 x_5(t) = t^2            & y_5(t) = -t       \\
 \end{array}
$

Elas definem novas trajetórias:
$p_1=(x_1(t),y_1(t))$, 
$p_2=(x_2(t),y_2(t))$,
$p_3=(x_3(t),y_3(t))$, 
$p_4=(x_4(t),y_4(t))$, 
$p_5=(x_5(t),y_5(t))$.

\newex Desenhe o gráfico de $x_1(t)$ no plano $(t,x)$ (i.e., com o
eixo $t$ na horizontal e o $x_1(t)$ na vertical).

\newex Desenhe o gráfico de $x_2(t)$ no plano $(t,x)$.
\newex Desenhe o gráfico de $x_5(t)$ no plano $(t,x)$.
\newex Desenhe o gráfico de $x_4(t)$ no plano $(t,x)$.
\newex Desenhe o gráfico de $x_3(t)$ no plano $(t,x)$.
\newex Desenhe os gráficos de $y_1(t), y_2(t), y_3(t), y_4(t), y_5(t)$
no plano $(t,y)$.

\newex Desenhe o gráfico de $x(t)$ no plano $(t,x)$.
\newex Desenhe o gráfico de $y(t)$ no plano $(t,y)$.

\newpage

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Nos exercícios abaixo use a definição de derivada:
$$f'(x_0) = \lim_{\to0} \frac{f(x_0+) - f(x_0)}{}$$

Obs: em cada caso comece reescrendo a fórmula da definição
substituindo o $f$ pelo nome da função sendo derivada e o $x_0$ pelo
ponto onde a derivada vai ser calculada.

\newex Calcule a derivada da função $x_1(t)$ em $t=-1$.
\newex Calcule a derivada da função $x_1(t)$ para qualquer $t$.
\newex Calcule a derivada da função $x_5(t)$ para $t=1$.
\newex Calcule a derivada da função $x_4(t)$ para $t=2$.
\newex Calcule a derivada da função $x_4(t)$ para $t=1$.
\newex Calcule a derivada da função $x_4(t)$ para qualquer $t$.
\newex Calcule a derivada da função $x_3(t)$ para $t=\pi+1$.
\newex Calcule a derivada da função $x_3(t)$ para qualquer $t$.
\newex Seja $c(x) = x^3$. Calcule $c'(x)$ para qualquer $x$.
\newex Seja $q(x) = x^4$. Calcule $q'(x)$ para qualquer $x$.

\msk

Por enquanto acredite que a derivada do seno é o cosseno (i.e., $\sen'
\theta = \cos \theta$) e que a derivada do cosseno é $-1$ vezes o seno
(i.e., $\cos' \theta = - \sen \theta$); vamos ver um argumento
geométrico para isto depois.

\newex Calcule a derivada da função $x_2(t)$ para todo $t$.
\newex Calcule a derivada da função $y_2(t)$ para todo $t$.
\newex Calcule a derivada da função $x(t)$ para todo $t$.
\newex Calcule a derivada da função $y(t)$ para todo $t$.
\newex Desenhe os gráficos de $x'_1(t), x'_2(t), x'_5(t), x'_4(t), x'_3(t)$ no plano $(t,x)$.
\newex Desenhe os gráficos de $y'_1(t), y'_2(t), y'_5(t), y'_4(t), y'_3(t)$ no plano $(t,y)$.
\newex Desenhe o gráfico de $x'(t)$ no plano $(t,x)$.
\newex Desenhe o gráfico de $y'(t)$ no plano $(t,y)$.
\newex Compare o gráfico de $x'(t)$ com os gráficos de $x'_1(t), x'_2(t), x'_5(t), x'_4(t)$ e $x'_3(t)$.
\newex Compare o gráfico de $y'(t)$ com os gráficos de $y'_1(t), y'_2(t), y'_5(t), y'_4(t)$ e $y'_3(t)$.

\msk

As funções $x(t)$ e $y(t)$ são definidas ``por casos'': elas
têm definições diferentes (em termos de funções mais simples) no casos
$t<0$, $0 \le t \le \pi$ e $\pi < t$.

\newex Porque é que quando $$ é bem pequeno $x(-1+)$ coincide com
$x_1(-1+)$? Quão pequeno esse $$ deve ser?

\newex Porque é que as derivadas $x'(t)$ e $y'(t)$ coincidem com as
derivadas das funções $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3$ em certos
intervalos?

\newpage

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Agora use o que você sabe de cálculo vetorial para calcular:

\newex $p_1(-1+) - p_1(1)$
\newex $p(-1+) - p(1)$
\newex $\frac{p(-1+) - p(1)}{}$
\newex $\lim_{ \to 0}{\frac{p(-1+) - p(1)}{}}$

\newex $p'(-1)$

\newex $p_5(1+) - p_5(1)$
\newex $p_3(+1+) - p_3(+1)$
\newex $p(+1+) - p(+1)$
\newex $\lim_{ \to 0}{\frac{p(+1+) - p(+1)}{}}$

\newex $p'(+1)$

\msk

O melhor modo de desenhar um vetor $p(t_1)-p(t_0)$ é como um ``vetor
de deslocamento'', pondo a sua base em $p(t_0)$ e a sua ponta em
$p(t_1)$.

Desenhe os vetores de deslocamento:

(Dica: $\cos \frac{\pi}{6} = \sen \frac{2\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} =
0.86602... \approx 0.85$, e $\frac{\pi}{6} = 0.52359... \approx 0.5$).

\newex $p(-1)-p(-2)$
\newex $p(0)-p(-1)$
\newex $p(\frac{3}{6})-p(0)$
\newex $p(\frac{2}{6})-p(0)$
\newex $p(\frac{}{6})-p(0)$
\newex $p(\frac{6}{6})-p(\frac{3}{6})$
\newex $p(\frac{5}{6})-p(\frac{3}{6})$
\newex $p(\frac{4}{6})-p(\frac{3}{6})$
\newex $p(\pi+2)-p(\pi+\frac{1}{2})$
\newex $p(\pi+1)-p(\pi+\frac{1}{2})$
\newex $p(\pi+\frac{1}{2})-p(\pi+\frac{1}{2})$

\msk

Podemos encarar um vetor $\frac{p(t_1)-p(t_0)}{t_1-t_0}$ como uma
``aproximação para o vetor velocidade''. O melhor modo de
representá-lo é apoiando-o em $p(t_0)$, e quando $t_1$ tende a $t_0$
este vetor tende ao ``vetor velocidade instantânea'' da trajetória $p$
no instante $t_0$, $p'(t)$.

Represente no gráfico:

\newex $(p(-1)-p(-2))/(-1-(-2))$
\newex $(p(0)-p(-1))/(0-(-1))$
\newex $(p(\frac{3}{6})-p(0))/(\frac{3}{6}-0)$
\newex $(p(\frac{2}{6})-p(0))/(\frac{2}{6}-0)$
\newex $(p(\frac{}{6})-p(0))/(\frac{}{6}-0)$
\newex $(p(\frac{6}{6})-p(\frac{3}{6}))/(\frac{6}{6}-\frac{3}{6})$
\newex $(p(\frac{5}{6})-p(\frac{3}{6}))/(\frac{5}{6}-\frac{3}{6})$
\newex $(p(\frac{4}{6})-p(\frac{3}{6}))/(\frac{4}{6}-\frac{3}{6})$
\newex $(p(\pi+2)-p(\pi+\frac{1}{2}))/(\pi+2-(\pi+\frac{1}{2}))$
\newex $(p(\pi+1)-p(\pi+\frac{1}{2}))/(\pi+1-(\pi+\frac{1}{2}))$
\newex $(p(\pi+\frac{1}{2})-p(\pi+\frac{1}{2}))/(\pi+\frac{1}{2}-(\pi+\frac{1}{2}))$

\newpage

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%
% página 4
%
%%%%%

Represente no gráfico os seguintes vetores velocidade:

\newex $p'(-1)$
\newex $p'(\pi+\frac{1}{2})$
\newex $p'(\pi+1)$
\newex $p'(\pi+2)$

\msk

Como entre $t=0$ e $t=$ a trajetória $p(t)$ percorre o círculo de
raio 1 centrado na origem com uma velocidade radial constante, dá pra
deduzir que o vetor velocidade tem que ser perpendicular ao vetor
posição, e ambos devem ter módulo 1; quando $0 \le t \le \pi$ o vetor
posição vai ser $p(t) = (\cos t, \sen t)$ e o vetor velocidade vai ser
$p'(t) = (\cos t+\frac2, \sen t+\frac2) = (-\sen t, \cos t)$ --- ou
seja, $(\cos' t, \sen' t) = (-\sen t, \cos t)$.

Represente no gráfico os seguintes vetores velocidade:

\newex $p'(\frac{}{6})$
\newex $p'(\frac{2}{6})$
\newex $p'(\frac{3}{6})$
\newex $p'(\frac{4}{6})$
\newex $p'(\frac{5}{6})$

\msk

\newex Verifique que $p'_1(0) = p'_2(0)$.
\newex Verifique que $p'_2() = p'_3()$.

\bsk

Considere esta outra trajetória: $x(t) = t$, e

$y(t) =
 \begin{cases}
 -t       & \text{quando $t<0$} \\
 t        & \text{quando $t \ge 0$} \\
 \end{cases}
$

\newex Represente-a no plano $(x,y)$.
\newex Faça o gráfico de $x'(t)$ no plano $(t,x)$.
\newex Faça o gráfico de $y'(t)$ no plano $(t,y)$.
\newex Represente os vetores velocidade desta trajetória no plano $(x,y)$.
\newex Esta trajetória tem alguma mudança brusca de velocidade? Ela é
possível fisicamente? E a trajetória $p(t)$?




% (/ pi 6)
% (sqrt 0.75)
% (cos (/ pi 6))
% (sin (/ pi 6))






%*

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: