% (find-angg "LATEX/2009may12-MD-gab.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009may12-MD-gab.tex && latex    2009may12-MD-gab.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009may12-MD-gab.tex && pdflatex 2009may12-MD-gab.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009may12-MD-gab.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009may12-MD-gab.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009may12-MD-gab.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009may12-MD-gab.ps 2009may12-MD-gab.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -P pk -D 600 -o 2009may12-MD-gab.ps 2009may12-MD-gab.dvi && ps2pdf 2009may12-MD-gab.ps 2009may12-MD-gab.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009may12-MD-gab.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009may12-MD-gab.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009may12-MD-gab.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009may12-MD-gab.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009may12-MD-gab.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009may12-MD-gab.dnt

%*
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

% (find-angg "LATEX/2009apr29-MD.tex")
% (find-dvipage "~/LATEX/2009apr29-MD.dvi")

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\long\def\gab#1{
  \par\noindent
  {\bf (#1)}
  }
\def\Q{\mathbb{Q}}

% (find-dn4exfile "edrxheadfoot.tex")
% \edrxnotes{MD 2009apr29}

%%%%%
%
% página 1
%
%%%%%

\par Matemática discreta
\par PURO-UFF - 2009.1
\par Gabarito parcial da folha de exercícios de 29/abril/2009
\par 12/maio/2009
\msk

\gab{3}      $a|b \iff ÎkÝ\N.\,ak=b$
\gab{4} Def: $D(a,b) \iff ÎkÝ\N.\,ak=b$
\gab{5} $10·2=20$, então existe um $kÝ\N$ --- $k=2$ --- tal que
        $10k=20$. Mais formalmente,
%:
%:     --------
%:     10·2=20
%:  --------------ίI
%:  ÎkÝ\N.\,10k=20
%:  --------------¯{(def)}
%:     D(10,20)
%:  
%:     ^gab5
%:  
$$\ded{gab5}$$

\gab{6} O ``$ίI$'' corresponde ao esquema 7 (p.57).
\gab{7}
%:
%:     --------
%:     10·1=10
%:  --------------ίI
%:  ÎkÝ\N.\,10k=10
%:  --------------¯{(def)}
%:     D(10,10)
%:  
%:     ^gab7
%:  
$$\ded{gab7}$$

\gab{8}
%:
%:     --------
%:     10·0=0
%:  --------------ίI
%:  ÎkÝ\N.\,10k=0
%:  --------------¯{(def)}
%:     D(10,0)
%:  
%:     ^gab8
%:  
$$\ded{gab8}$$

\gab{9}
%:
%:  ýkÝ\N.\,0k=0
%:  ================
%:  ýkÝ\N.\,¬(0k=10)
%:  ----------------\text{(ver"p.59)}
%:  ¬ÎkÝ\N.\,0k=10
%:  --------------¯{(def)}
%:  ¬D(0,10)
%:
%:  ^gab9
%:
$$\ded{gab9}$$

\gab{10} Esquema 8 (p.58) e $(ýx.¬P(x)) \bij ¬(Îx.P(x))$ (p.59).

\bsk

{\sl Uma observação sobre os exercícios 10--21: enunciados do tipo
  ``prove do modo mais formal que você puder'' são abertos demais ---
  uma prova com questões desse tipo seria impossível de corrigir,
  porque quase qualquer resposta sincera seria válida... por isso
  esses exercícios (aliás, problemas) apareceram como exercícios de
  uma lista de exercícios, não como problemas valendo nota ou como
  questões de uma ``prova simulada''... aliás, nesse tipo de problema
 é\ bem comum que num dia escrevamos a resposta do melhor modo que nos
  ocorrer naquele momento, e no dia seguinte, relendo, a gente
  encontre modos de melhorar a resposta... (obs: dêem uma olhada na
  seção ``Omitindo passos'' do Scheinerman, pp.22--23).}

\newpage

Nós ainda não vimos formalmente as propriedades da relação de
ordem em $\N$, $\Z$, $\Q$ e $\R$... mas `$<$' é uma relação {\sl
  anti-reflexiva} e {\sl anti-simétrica} (p.80), e `$\le$' é uma {\sl
  ordem total} (p.464)...

\gab{11}
%
%:  \text{`$<$'"é"uma"ordem"total"em"$\R$}
%:  --------------------------------------¯{(def)}
%:  ýaÝ\R.\,ýbÝ\R.\,a\neq"b<->(a<b∨a>b)
%:  -----------------------------------ý¯E
%:    ýbÝ\R.\,10n\neq"b<->(10n<b∨10n>b)
%:    ---------------------------------ý¯E
%:    10n\neq"2<->(10n<2∨10n>2)
%:    -------------------------
%:    (10n<2∨10n>2)<->10n\neq"2
%:    -------------------------¯{(def)}
%:     (P(n)∨R(n))<->Q(n)
%:
%:     ^gab11
%:
$$\ded{gab11}$$

\gab{12}
%:
%:  ýaÝ\R.\,ýbÝ\R.\,a<"b->a\neq"b
%:  -----------------------------ý¯E
%:    ýbÝ\R.\,10n<"b->10n\neq"b
%:    -------------------------
%:       10n<"2->10n\neq"2
%:       -----------------¯{(def)}
%:          P(n)->Q(n)
%:
%:          ^gab12
%:
$$\ded{gab12}$$

\gab{13}
%:
%:  ýaÝ\R.\,ýbÝ\R.\,a>"b->a\neq"b
%:  -----------------------------ý¯E
%:    ýbÝ\R.\,10n>"b->10n\neq"b
%:    -------------------------
%:       10n>"2->10n\neq"2
%:       -----------------¯{(def)}
%:          R(n)->Q(n)
%:
%:          ^gab13
%:
$$\ded{gab13}$$

\gab{14}
%:
%:  [R(n)]^1
%:  -----¯{(def)}
%:  10n>2           10>0
%:  --------------------
%:    10n+10>2+0
%:    ----------
%:    10(n+1)>2
%:    ---------¯{(def)}
%:     R(n+1)
%:    --------"->¯I;1
%:    R(n)->R(n+1)
%:    ------------ý¯I
%:    ýnÝ\N.\,R(n)->R(n+1)
%:
%:    ^gab14
%:
$$\ded{gab14}$$

\gab{15}
%:
%:  [¬P(n)]^1
%:  -----¯{(def)}
%:  ¬(10n<2)
%:  --------
%:  10n\ge"2        10>0
%:  --------------------
%:    10n+10\ge"2+0
%:    ----------
%:    10(n+1)\ge"2
%:    ------------
%:    ¬(10(n+1)<2)
%:    ---------¯{(def)}
%:     ¬P(n+1)
%:    --------"->¯I;1
%:    ¬P(n)->¬P(n+1)
%:    ------------ý¯I
%:    ýnÝ\N.\,¬P(n)->¬P(n+1)
%:
%:    ^gab15
%:
$$\ded{gab15}$$

\newpage

\gab{16}
%:
%:  ------
%:  10·0<2
%:  ------¯{(def)}
%:   P(0)
%:
%:   ^gab16
%:
$$\ded{gab16}$$

\gab{17}
%:
%:    ------
%:    10·1>2
%:    ------¯{(def)}
%:      Q(1)
%:   ----------
%:   Q(0)->Q(1)
%:   ----------¯{(def)}
%:      I(0)
%:
%:      ^gab17
%:
$$\ded{gab17}$$

\gab{18} Similar ao 17
\gab{19} Similar ao 17

\msk

\gab{21}
%:
%:  ---------
%:  10·0\neq2           ýnÝ\N.\,I(n)
%:  ---------¯{(def)}   ------------¯{(def)}
%:     Q(0)             ýnÝ\N.\,Q(n)->Q(n+1)
%:     -------------------------------------¯{ind}
%:            ýnÝ\N.\,Q(n)
%:            ------------¯{(def)}
%:            ýnÝ\N.\,10n\neq2
%:            ----------------
%:            ýnÝ\N.\,¬10n=2
%:            --------------
%:            ¬ÎnÝ\N.\,10n=2
%:            --------------¯{(def)}
%:              ¬D(10,2)
%:
%:              ^gab21
%:
$$\ded{gab21}$$

%*

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: