Warning: this is an htmlized version!
The original is across this link,
and the conversion rules are here.
% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-exercs-P2.tex && latex    2010-1-C2-exercs-P2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-exercs-P2.tex && pdflatex 2010-1-C2-exercs-P2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-C2-exercs-P2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-C2-exercs-P2.ps 2010-1-C2-exercs-P2.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-C2-exercs-P2.ps 2010-1-C2-exercs-P2.dvi && ps2pdf 2010-1-C2-exercs-P2.ps 2010-1-C2-exercs-P2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

%\input 2010-1-C2-exercs-P2.dnt

%*
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def*{\ensuremath{\bullet}}
\def\zz{\zeta}

% (find-es "tex" "newcounter")
\newcounter{myex}
\long\def\newex{
  \par\noindent
  \refstepcounter{myex}
  {\bf (\arabic{myex})}
  }

Cálculo 2 - 2010jun09

Exercícios de preparação para a P2 e para um trabalho -

{\bf versão preliminar}

\bsk


Definição: uma {\sl partição} é um objeto matemático composto de três
partes:

* um valor de $n\N$,

* uma seqüência $(x_0, x_1, \ldots, x_n)$ com $x_0 \le x_1 \le \ldots
  \le x_n$,

* uma seqüência $(\zz_1, \ldots, \zz_n)$ com $\zz_1[x_0,x_1], \ldots,
  \zz_n[x_{n-1},x_n]$.

Uma {\sl partição do intervalo $[a,b]$} é uma partição na qual $x_0=a$
e $x_n=b$.

\msk

Repare que temos várias escolhas ``óbvias'' de partições para um
intervalo $[a,b]$ ``em $n$ subintervalos''. Por exemplo, podemos
dividir o intervalo original em $n$ subintervalos iguais, e aí:

* fazer $\zz_i=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}$ para todo $i$, {\sl ou}

* fazer $\zz_i=x_{i-1}$ para todo $i$, {\sl ou}

* fazer $\zz_i=x_i$ para todo $i$.

Mas a noção de partição é bem mais geral que isto, e a folha de
exercícios sobre Integral de Riemann (aquela manuscrita, com data de
16/nov/2009 no cabeçalho) tinha alguns exemplos nos quais os
subintervalos tinham comprimentos diferentes.

Quando conhecemos uma função $f:\R \to \R$ e uma partição $P$ a
expressão $\sum_{i=1}^n f(\zz_i) (x_i-x_{i-1})$ ``pode ser calculada''
--- sabemos que ela representa um número, e mesmo que não consigamos
calcular o seu valor ``na mão'', fazendo contas exatas simbolicamente,
devemos ser capazes podemos calculá-la\footnote{na verdade sabemos
calcular uma {\sl aproximação} para ela.} com uma calculadora ou
computador.

Repare que se fixamos $f$ e $P$ a expressão $\sum_{i=1}^n f(\zz_i)
(x_i-x_{i-1})$ ``faz sentido'', isto é, ``pode ser calculada'' --- mas
a expressão $f(\zz_i) (x_i-x_{i-1})$ só ``faz sentido'' {\sl dentro}
do sinal de somatório, porque ela faz referência ao valor de $i$.

\msk

Mini-exercícios:

\newex Defina as três partições ``óbvias'' em 1001 subintervalos
para o intervalo $[3,4]$.

\newex Defina as três partições ``óbvias'' em $2k$ subintervalos
para o intervalo $[c, d]$.

\newex Defina as três partições ``óbvias'' em $n$ subintervalos
para o intervalo $[a, b]$.

\msk

Note que quando dizemos ``$P$ é uma partição em 1001 subintervalos
para o intervalo $[3,4]$'' nós estamos fixando o $n$ da partição $P$
($n=1001$) e também $a = x_0 = 3$ e $b = x_{n} = x_{1001} = 4$. Quando
dizemos ``...em $2k$ subintervalos para o intervalo $[c,d]$'' nós
estamos declarando que $k$, $c$ e $d$ são números com valores
conhecidos --- mas que nós vamos nos referir aos seus valores pelos
nomes `$k$', `$c$' e `$d$'. Quando dizemos ``...em $n$ subintervalos
para o intervalo $[a,b]$'' algo um pouco mais sutil acontece: {\sl
passamos a considerar que $n$, $a$ e $b$ são números conhecidos.}

\newpage


\noindent (Abreviações: ``VSR'' = ``volume de sólido de revolução'',

\noindent ``ASR'' =``área de superfície de revolução''.)

\bsk

O trabalho que eu passei sobre deduzir as fórmulas para VSRs e ASRs
tem vários objetivos:

* fazer vocês calcularem certas coisas (p.ex., área de um pedaço de
cone) em casos particulares,

* fazer vocês tentarem generalizar um método de calcular algo,
trocando quantidades numéricas por variáveis,

* fazer vocês testarem as fórmulas com variáveis que vocês obtiveram,

* fazer vocês encontrarem modos de apresentar uma dedução de uma
fórmula,

* fazer vocês começarem a aprender a trabalhar com uma ``função
qualquer'', um ``intervalo qualquer'' e uma ``partição qualquer'',

\msk

Exercícios (vários destes foram feitos em sala, mas lembrem da
recomendação de que vocês os refizessem em casa!... Vários deles podem
virar partes do trabalho sobre VSRs e ASRs, e todos são úteis como
preparação para a P2):

\msk

\newex Escolha uma função $f$ e uma partição $P$. Existe uma
``aproximação óbvia'' para $f$ por uma função-escada $g:[a,b] \to \R$.
Represente graficamente $f$ e $g$.

\newex Escolha uma função $f$ e uma partição $P$. Defina formalmente
(com uma definição por casos) a ``aproximação óbvia para $f$ por uma
função-escada''.

\newex Generalize o que você fez no exercício anterior: suponha que
$f:\R \to \R$ é uma função qualquer e que $P$ é uma partição qualquer
(de um intervalo $[a,b]$ qualquer), e dê uma definição formal, por
casos (use `$\ldots$' onde precisar) da ``aproximação óbvia para $f$
por uma função escada''.

\newex Escolha uma função $f$ e uma partição $P$. Existe uma
``aproximação óbvia'' para $f$ por uma função poligonal $g:[a,b] \to
\R$, cujos ``vértices'' são os pontos $(x_0,f(x_0)), \ldots,
(x_n,f(x_n))$.

\newex Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $(2,1)$ e
$(6,4)$.

\newex Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $(x_0,y_0)$ e
$(x_1,y_1)$. Teste a sua equação com os pontos do exercício anterior.

\newex Dê uma definição formal, por casos, da função poligonal
$g:[2,7] \to \R$ cujos vértices são os pontos $(x_0,y_0)=(2,1)$,
$(x_1,y_1)=(6,4)$, $(x_2,y_2)=(7,4)$. Mostre como usar a sua definição
para calcular $g(3)$, $g(6)$ e $g(6.5)$; mostre o que acontece quando
tentamos calcular $g(10)$ usando a sua definição.

\newex Agora suponha que $f:\R \to \R$ é uma função qualquer e $P$ é
uma partição qualquer. Generalize a definição formal do item anterior.


\newpage

(Lembre que em todos os exemplos que vimos em sala as rotações eram
feitas em torno do eixo horizontal, $y=0$ --- vamos continuar usando
esta rotação).

\msk

\newex Nós vimos em sala que o SR gerado pelo segmento horizontal que
liga os pontos $(2,3)$ e $(4,3)$ é um cilindro. Explique como calcular
o volume deste cilindro, e calcule-o explicitamente. Sugestões de
terminologia: $A_B$ é a área da base, $r_B$ é o raio da base, $h$ é a
altura. {\sl Lembre de sempre usar desenhos e explicações em português
pra deixar claro o que você está fazendo.}

\newex Mostre como calcular o volume do SR gerado pelo segmento
horizontal de altura $y_1$ e base $[x_0,x_1]$.

\newex Mostre como calcular o volume do SR gerado por cada segmento
horizontal de uma função-escada.

\newex Seja $f:\R \to \R$ uma função qualquer, $P$ uma partição para o
intervalo $[a,b]$. Defina uma função $g:[a,b] \to \R$ que é uma
aproximação de $f$ por uma função escada (explique como!), e encontre
um somatório que expressa o volume do SR gerado por $G$.

\msk

\newex Mostre como planificar o pedaço de cone obtido pela rotação do
segmento que liga os pontos $(2,1)$ a $(6,4)$. Represente graficamente
a ``versão planificada'' desse cone. Sugestões de terminologia: $r_I$,
$r_E$, $c_I$, $c_E$, $$, $h$, etc.

\newex Calcule a área do pedaço de cone (planificado) do exercício
anterior.

\newex Mostre como planificar o pedaço de cone obtido pela rotação do
segmento que liga os pontos $(x_0,y_0)$ a $(x_1,y_1)$. Mostre como as
quantidades $r_I$, $r_E$, $c_I$, $c_E$, $$, $h$, $A_I$, $A_E$ (onde
$A_I$ e $A_E$ são as áreas do ``pacman interno'' e do ``pacman
externo'') se relacionam. Encontre uma fórmula para $A_E-A_I$ --- a
área da versão planificada do pedaço de cone --- a partir de
$(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$.

\newex Se $g:[a,b] \to \R$ é uma função poligonal com vértices
$(x_0,y_0), \ldots, (x_n,y_n)$ então existe pelo menos um modo
``óbvio'' de construir uma partição $P$ ``associada à $g$''. Descreva
esta partição, primeiro para o caso no qual os vértices são
$(x_0,y_0)=(2,1)$, $(x_1,y_1)=(6,4)$, $(x_2,y_2)=(7,4)$, depois para o
caso geral. Obs: não esqueça os `$\zz_i$'s!

\newex Se $g:[a,b] \to \R$ é uma função poligonal a rotação do gráfico
de $g$ em torno do eixo horizontal é uma figura composta por vários
pedaços de cones. Explique como obter a ASR de cada um destes pedaços
de cones e encontre um somatório que calcula a área total. {\sl Se
você não estiver seguro da fórmula que você obteve, teste-a no caso em
que os vértices são $(2,1)$, $(6,4)$, $(7,4)$.}



\newpage

Agora vamos ver como passar de somatórios para integrais.

A fórmula exata\footnote{na verdade ela é a {\sl definição formal} do
valor da integral.} que relaciona somatórios e integrais é a seguinte:
se $f:[a,b] \to \R$ é integrável, então:
%
$$\int_{x=a}^{x=b} f(x) \, dx =
  \lim_{P \text{ part } [a,b] \atop |P| \to 0}
  \sum_{i=1}^n f(\zz_i) (x_i-x_{i-1})
$$
%
onde ``$P \text{ part } [a,b]$'' é uma abreviatura para $P$ é uma
partição do intervalo $[a,b]$.

% (find-texbookpage (+ 11 145) "stacked")
% (find-kopkadaly4page (+ 12 138) "Mathematical formulas")
% (find-kopkadaly4page (+ 12 189) "Mathematical formulas")

Repare que {\sl dentro do limite} a partição $P$ (e daí o $n$, os
`$x_i$'s e os `$\zz_i$'s) estão definidos.

Nós vamos usar uma versão meio acochambrada desta fórmula:
%
$$\int_{x=a}^{x=b} f(x) \, dx \approx
  % \lim_{P \text{ part } [a,b] \atop |P| \to 0}
  \sum_{i=1}^n f(\zz_i) (x_i-x_{i-1})
$$
%

Se tivermos dentro do somatório uma função $f(\zz_i)$ ``com a forma
certa'' vamos poder {\sl converter o somatório numa integral}.

(Exemplos e detalhes depois.)







%*

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: