% (find-angg "LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c  () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && latex    2013-1-GA-prova-P2-A.tex"))
% (defun cp () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && pdflatex 2013-1-GA-prova-P2-A.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2013-1-GA-prova-P2-A.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.dvi"))
% (find-dvipage    "~/LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.dvi")
% (find-xpdfpage   "~/LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.pdf")
% (find-evincepage "~/LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.pdf")
% (ee-cp "~/LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2013-1-GA-prova-P2-A")
% http://angg.twu.net/LATEX/2013-1-GA-prova-P2-A.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
%\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\psm#1{\left(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right)}
\def\Pr{\mathsf{Pr}}

% (find-LATEX "2010-1-MD-prova-VS2.tex")
\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}
% \def\pontos#1{}

% (find-kopkadaly4page (+ 12 262) " \\overrightarrow{expr}")
% (find-kopkadaly4text (+ 12 262) " \\overrightarrow{expr}")
\def\psmen{{\psm{8\\9}}}
\def\psmxy{{\psm{x\\y}}}
\def\psmaabb{{\psm{\alpha\\\beta}}}
\def\psmabcd{\psm{a&b\\c&d}}
\def\pv#1{(\overrightarrow{#1})}
\def\pvs#1{(\overrightarrow{#1})_Æ}
\def\vv{\vec v}
\def\uu{\vec u}
\def\h{\frac{1}{2}}

%\def\mycoords{((-1,-1),\pv{1,1},\pv{-2,0})}  % A
%\def\mycoords{((-1,-1),\pv{0,2},\pv{-1,-1})} % B
\def\mycoords{((-1,-1),\pv{-2,0},\pv{1,1})}  % C


{\setlength{\parindent}{0em}
\par Geometria Analítica - P2
\par PURO-UFF - 2013.1
\par 2/agosto/2013
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk

{\bf 1)} \pontos{0.5}
Mostre que $\Pr_\psmen \psmxy = \psmabcd \psmxy$ para alguma matriz
$\psmabcd$. Quem são $a$, $b$, $c$, $d$?

\msk

{\bf 2)} \pontos{1.0}
Mostre que $\Pr_\psmaabb \psmxy = \psmabcd \psmxy$ para alguma matriz
$\psmabcd$. Quem são $a$, $b$, $c$, $d$? Note que a sua resposta
para a (1) deve ser um caso particular desta fórmula.

\msk

{\bf 3)} % \Pontos{1.0}
Sejam $r=\setofst{A+t\vv}{tÝR}$, $BÝ\R^2$, e $C$ o ponto de $r$ mais
próximo de $B$. Você conhece uma fórmula, envolvendo
projeção, que calcula $C$ a partir de $A$, $B$ e $\vv$. Use-a
pra mostrar que:

\ssk

(a) \pontos{1.0} Se $A=(1,1)$, $\vv=\pv{2,1}$, $B=\psmxy$ então $C
= \psm{e\\f} + \psmabcd \psmxy$ para alguma matriz $\psmabcd$ e algum
vetor $\psm{e\\f}$. Quem são $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$?

\ssk

(b) \pontos{1.0} Se $A=(A_1,A_2)$, $\vv=\pv{v_1,v_2}$, $B=\psmxy$
então $C = \psm{e\\f} + \psmabcd \psmxy$ para alguma matriz
$\psmabcd$ e algum vetor $\psm{e\\f}$. Quem são $a$, $b$, $c$, $d$,
$e$, $f$? Note que a sua resposta para a (2a) deve ser um caso
particular desta fórmula.

\ssk

(c) \pontos{1.0} Teste a fórmula do item (a) usando dois pontos
escolhidos no olhômetro.


\bsk
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

4) \pontos{2.0} Lembre que definimos o modo de converter pontos e
vetores num sistema de coordenadas $Æ=(O_Æ,\uu,\vv)$ para pontos e
vetores no sistema de coordenadas usual desta forma: $(a,b)_Æ =
O_Æ+a\uu+b\vv$, $\pv{a,b}_Æ = a\uu+b\vv$.

Para qualquer sistema de coordenadas $Æ$ podemos definir o {\it eixo
  $Æ$-horizontal}, o {\it eixo $Æ$-vertical}, e a {\it
  $Æ$-hipérbole canônica} assim:

$r_{xÆ} = \setofst{(x,0)_Æ}{xÝ\R}$,

$r_{yÆ} = \setofst{(0,y)_Æ}{yÝ\R}$,

$H_Æ = \setofst{(t,\frac{1}{t})_Æ}{tÝ\R \bsl \{0\}}$.

\ssk

\def\ps#1{(#1)_Æ}

Represente graficamente $r_{xÆ}$, $r_{yÆ}$ e $H_Æ$ para o caso
$Æ=\mycoords$, e desenhe no gráfico também os pontos
$\ps{0,2}$, $\ps{0,1}$, $\ps{0,-1}$, $\ps{0,-2}$, e os seguintes
segmentos orientados:

\par $\ps{-2,0} \to \ps{-2,-\h}$,
\par $\ps{-1,0} \to \ps{-1,-1}$,
\par $\ps{-\h,0} \to \ps{-\h,-2}$,
\par $\ps{\h,0} \to \ps{\h,2}$,
\par $\ps{1,0} \to \ps{1,1}$,
\par $\ps{2,0} \to \ps{2,\h}$,
\ssk
\par $\ps{3,2} \to \ps{3,0}$.


\newpage

5) \pontos{2.0} Se $PÝ\R^2$ é $(a,b)_Æ$ é fácil calcular as
coordenadas cartesianas de $P$ - basta calcular $O_Æ+a\uu+b\vv$.
Digamos que $(a,b)_Æ = (x,y)$; o algoritmo que calcula $x$ e $y$ a
partir de $a$ e $b$ é óbvio. Mostre um método para calcular
$a$ e $b$ a partir de $x$ e $y$ (o oposto!) usando matrizes inversas e
vetores, que funcione para qualquer sistema de coordenadas $Æ$, e
teste-o com o $Æ$ da questão anterior, usando dois pontos
diferentes.

\bsk

6) \pontos{2.0} O {\sl produto cruzado} de dois vetores $\uu, \vv Ý
\R^3$ é definido desta forma:

$\pv{u_1,u_2,u_3} × \pv{v_1,v_2,v_3} =
 \pv{u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1}$.

Mostre que $\uu×\vv = -\vv×\uu$.



\vskip 2cm

Escreva as suas respostas muito claramente e verifique com muito
  cuidado tudo o que você escreveu. {\sl Boa prova!}






\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: