% (find-angg "LATEX/2014-1-GA-P2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && latex    2014-1-GA-P2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && pdflatex 2014-1-GA-P2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2014-1-GA-P2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2014-1-GA-P2.dvi"))
% (find-dvipage  "~/LATEX/2014-1-GA-P2.dvi")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2014-1-GA-P2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvipdf         2014-1-GA-P2.dvi 2014-1-GA-P2.pdf")
% (ee-cp "~/LATEX/2014-1-GA-P2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2014-1-GA-P2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2014-1-GA-P2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2014-1-GA-P2.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2014-1-GA-P2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2014-1-GA-P2.pdf
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

% (find-LATEX "2014-1-GA-P1.tex")
% (find-LATEX "2014-1-GA-P2-gab.tex")

\def\nip{\par\noindent}
\def\uu{{\vec u}}
\def\vv{{\vec v}}
\def\ww{{\vec w}}
\def\Vec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\VEC#1{{\overrightarrow{(#1)}}}
\def\Pr{{\text{Pr}}}
\def\Pru{\Pr_\uu}
\def\Prv{\Pr_\vv}
\def\Prw{\Pr_\ww}

\def\smpyr#1#2#3#4#5#6{
  \begin{smallmatrix}
  #1 \\
  #2 & #3 \\
  #4 & #5 & #6 \\
  \end{smallmatrix}
}
\def\apyr#1#2#3#4#5#6{
  \begin{array}{|r|r|r|}
  \hline
  #1 & & \\ \hline
  #2 & #3 & \\ \hline
  #4 & #5 & #6 \\ \hline
  \end{array}
}

\def\Pyr{\apyr}
\def\sizepyr#1#2#3#4#5#6#7{{\text{#1 \apyr{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}{#7}}}}
\def\pyr#1#2#3#4#5#6{{\text{\small \apyr{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}}}}
\def\pyr#1#2#3#4#5#6{\smpyr{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}}
\def\pyr#1#2#3#4#5#6{\left[\smpyr{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}\right]}
\def\hpyr#1#2#3{\pyr{#1}0{#2}00{#3}}


% (find-LATEXgrep "grep -nH -e Pontos *.tex")
% (find-LATEX "2010-1-C2-prova-2.tex")
\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}


{\setlength{\parindent}{0em}
\par Geometria Analítica - Segunda Prova (P2)
\par PURO-UFF - 2014.2
\par 4/jun/2014 - Turma A
\par Prof: Eduardo Ochs
}

% $\Pyr a b c d e f$
% $\pyr a b c d e f$

\bsk

Vamos usar a notação $\pyr a b c d e f$ tanto para o
polinômio $ay^2 + by + cxy + d + ex + fx^2$ quanto para o conjunto
dos pontos $(x,y)$ em $\R^2$ nos quais ele é zero. Um polinômio
$\pyr abcdef$ é {\sl homogêneo} (de grau 2) se $b=d=e=0$. Dada
uma cônica $\pyr abcdef$, a {\sl cônica homogênea associada}
a ela é $\pyr a0c00f$, e o seu {\sl discriminante} é $c^2-4af$.



\bsk
\bsk

\nip 1) \Pontos{2.0} Represente graficamente
\ssk
\nip a) \pontos{0.1} três curvas de nível de $F(x,y)=y-x^2$,
\nip b) \pontos{0.1} três curvas de nível de $F(x,y)=x^2+y^2$,
\nip c) \pontos{0.1} três curvas de nível de $F(x,y)=xy-1$,
\nip d) \pontos{0.1} três curvas de nível de $U(x,y)=\frac x4 + \frac y2 - 1$,
\nip e) \pontos{0.1} três curvas de nível de $V(x,y)=-\frac x4 + \frac y2 - 1$,
\nip f) \pontos{0.5} três curvas de nível de $P(x,y)=V(x,y)-U(x,y)^2$,
\nip g) \pontos{0.5} três curvas de nível de $E(x,y)=U(x,y)^2+V(x,y)^2$,
\nip h) \pontos{0.5} três curvas de nível de $H(x,y)=U(x,y)V(x,y)$.


\bsk
\bsk

\nip 2) \Pontos{5.0} 

\ssk

\nip a) \pontos{1.0} Para cada um dos polinômios do problema (1)
represente-o na forma $\pyr abcdef$ e calcule seu discriminante.

\nip b) \pontos{1.0} Demonstre que se $(x,y) \in \hpyr abc$ então
$(kx,ky) \in \hpyr abc$ e $(x,y) \in \hpyr {ka}{kb}{kc}$ para qualquer
$k$ real.

\nip c) \pontos{1.0} Encontre os dois pontos da forma $(x,1)$ que
pertencem a $\hpyr 1 1 {-6}$. Use o item anterior para encontrar duas
retas contidas em $\hpyr 1 1 {-6}$, e encontre dois pontos da forma
$(1,y)$ que pertencem a $\hpyr 1 1 {-6}$.

\nip d) \pontos {1.0} Use o que você descobriu no item anterior
para expressar $\hpyr 1 1 {-6}$ como o produto de duas retas que
passam pela origem, isto é, $\hpyr 1 1 {-6} = \pyr 0 \alpha 00
\beta 0 \cdot \pyr 0 \gamma 00 \delta 0$.

\nip e) \pontos {1.0} Fatore a cônica homogênea associada ao
$H(x,y)$ do item h da questão 1 como o produto de duas retas. Estas
retas são paralelas a outras retas que apareceram em outros itens
da questão 1... quais?

\nip f) \pontos {1.0} Fatore a cônica homogênea associada ao
$P(x,y)$ do item h da questão 1 como o produto de duas retas.



\newpage


\nip 3) \Pontos{3.0} Sejam:
\par $C_0=(-1,0)$, $R=3$,
\par $C_0'=(0,3)$, $R'=1$,
\par $C$ o círculo de centro $C_0$ e raio $R$,
\par $C'$ o círculo de centro $C_0'$ e raio $R'$.
\par Sabemos que $(-1,3) \in C \cap C'$.
\nip a) \pontos{1.5} Encontre o outro ponto de $C \cap C'$.
\nip b) \pontos{0.5} Teste o seu resultado.
\nip c) \pontos{1.0} Generalize o que você fez - defina um
        método que calcula o outro ponto de $C \cap C'$ quando $C$ e
        $C'$ são quaisquer e um dos pontos da interseção é
        conhecido.


\bsk
\bsk
\bsk
\bsk

\begin{quotation}
{\footnotesize
% \setlength{\parindent}{0em}
Lembre que GA é um curso de {\sl escrita matemática}!

As questões acima testam mais coisas que foram discutidas em sala
do que parece... por isso você é responsável por interpretar
cada questão corretamente e escolher o modo mais adequado de
respondê-la. Lembre da idéia de que qualquer leitor deve ser
capaz de seguir facilmente cada um dos seus passos, e escrever bem nos
ajuda a conferir que a gente não cometeu erros...

Marque claramente o que é e o que não é rascunho.

{\sl Boa prova! $=)$}
}
\end{quotation}










\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: