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and the conversion rules are here.
% (find-angg "LATEX/2016-2-GA-algebra.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2016-2-GA-algebra.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2016-2-GA-algebra.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2016-2-GA-algebra"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf
%               file:///tmp/2016-2-GA-algebra.pdf
%           file:///tmp/pen/2016-2-GA-algebra.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf

% Ãndice improvisado, com links pras pÃginas:
% (find-LATEXsh "grep gaap162 2016-2-GA-algebra.tex")

% «.repl»			(to "repl")
% «.picturedots»		(to "picturedots")
% «.pictOuv»			(to "pictOuv")
% «.pictABCDE»			(to "pictABCDE")
% «.cells»			(to "cells")
% «.tikz-defs»			(to "tikz-defs")
%
% «.matrizes»			(to "matrizes")
% «.comprehension»		(to "comprehension")
% «.comprehension-ex123»	(to "comprehension-ex123")
% «.comprehension-prod»		(to "comprehension-prod")
% «.comprehension-gab»		(to "comprehension-gab")
% «.comprehension-tables»	(to "comprehension-tables")
% «.pontos-e-vetores»		(to "pontos-e-vetores")
% «.propriedades»		(to "propriedades")
% «.retas»			(to "retas")
% «.Fxy»			(to "Fxy")
% «.pictureFxy»			(to "pictureFxy")
% «.coordenadas»		(to "coordenadas")
% «.sistemas»			(to "sistemas")
% «.sistemas-2»			(to "sistemas-2")
% «.parametrizadas»		(to "parametrizadas")
% «.sistemas-3»			(to "sistemas-3")
% «.sistemas-3-exercs»		(to "sistemas-3-exercs")
% «.projecoes»			(to "projecoes")
% «.notacao-:»			(to "notacao-:")
% «.construcoes»		(to "construcoes")
% «.angulos»			(to "angulos")
% «.arcsen-arccos»		(to "arcsen-arccos")
% «.circulos»			(to "circulos")
% «.circulos-exercs»		(to "circulos-exercs")
% «.C-inter-r»			(to "C-inter-r")
% «.vetores-unitarios»		(to "vetores-unitarios")
% «.elipses»			(to "elipses")
% «.elipses-e-sis-coords»	(to "elipses-e-sis-coords")
% «.elipses-exercs»		(to "elipses-exercs")
% «.distancia-ponto-reta»	(to "distancia-ponto-reta")
% «.R3-retas-e-planos»		(to "R3-retas-e-planos")
% «.R3-retas-e-planos-2»	(to "R3-retas-e-planos-2")
% «.determinantes-em-R3»	(to "determinantes-em-R3")
% «.determinantes-em-R3-2»	(to "determinantes-em-R3-2")
% «.cross-prod»			(to "cross-prod")
% «.alguns-usos-do-x»		(to "alguns-usos-do-x")





\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
\usepackage{tikz}
\usepackage{boxedminipage}
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
\directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
\directlua{texfile(tex.jobname)}
\directlua{verbose()}
\directlua{output(preamble1)}
\def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
\def\eval#1{\directlua{#1}}
\def\pu{\directlua{pu()}}
% 
% \directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
  \directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end
\pu


% «repl» (to ".repl")
\def\repl{\eval{                    % (find-es "lua5" "lua-repl-2016")
  loadluarepl("lua-repl/")
  if os.getenv("REPL")=="1" then sync:run() end
}}
%\repl
% (find-es "lua5" "lua-repl-2016" "2016-2-GA-algebra")


\edrxcolors    % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")

% (find-LATEX "edrx15.sty" "picture-cells")

% «picturedots» (to ".picturedots")
% (find-LATEX "edrxpict.lua" "pictdots")
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")
% (to "comprehension-gab")
%
\def\beginpicture(#1,#2)(#3,#4){\expr{beginpicture(v(#1,#2),v(#3,#4))}}
\def\pictaxes{\expr{pictaxes()}}
\def\pictdots#1{\expr{pictdots("#1")}}
\def\picturedots(#1,#2)(#3,#4)#5{%
  \vcenter{\hbox{%
  \beginpicture(#1,#2)(#3,#4)%
  \pictaxes%
  \pictdots{#5}%
  \end{picture}%
  }}%
}

\unitlength=5pt

%L p = function (a, b) return O + a*uu + b*vv end

%L --  «pictOuv» (to ".pictOuv")
%L pictOOuuvv = function (OO, xx, yy, OOtext, xxtext, yytext, vtextdist, Otextdist)
%L     local bprint, out = makebprint()
%L     local xxpos = OO + xx/2 + xx:rotright():unit(vtextdist)
%L     local yypos = OO + yy/2 + yy:rotleft() :unit(vtextdist)
%L     local OOpos = OO + (-xx-yy):unit(Otextdist or vtextdist)
%L     local f = function (str) return (str:gsub("!", "\\")) end
%L     bprint("\\Vector%s%s", OO, OO+xx)
%L     bprint("\\Vector%s%s", OO, OO+yy)
%L     bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", OOpos, f(OOtext))
%L     bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", xxpos, f(xxtext))
%L     bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", yypos, f(yytext))
%L     return out()
%L   end
%L -- sysco = pictOOuuvv
\def\pictOuv(#1,#2){
  {\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(0,0,4,4)}}
  \pictaxes
  {\linethickness{1.0pt}
   \expr{pictOOuuvv(O, uu, vv,  "O", "!uu", "!vv", #1, #2)}
  }
}

%L -- «pictABCDE» (to ".pictABCDE")
%L tt = v(1, 0)
%L pictABCDE = function (aang, bang, cang, dang, eang)
%L     local bprint, out = makebprint()
%L     local AA, BB, CC, DD, EE = p(1,1), p(1,3), p(3,3), p(1,2), p(2,2)
%L     local f = function (str) return (str:gsub("!", "\\")) end
%L     bprint("\\Line%s%s", AA, BB)
%L     bprint("\\Line%s%s", BB, CC)
%L     bprint("\\Line%s%s", DD, EE)
%L     bprint("\\put%s{\\closeddot}", AA)
%L     bprint("\\put%s{\\closeddot}", BB)
%L     bprint("\\put%s{\\closeddot}", CC)
%L     bprint("\\put%s{\\closeddot}", DD)
%L     bprint("\\put%s{\\closeddot}", EE)
%L     bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", AA + tt:rot(aang), "A")
%L     bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", BB + tt:rot(bang), "B")
%L     bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", CC + tt:rot(cang), "C")
%L     bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", DD + tt:rot(dang), "D")
%L     bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", EE + tt:rot(eang), "E")
%L     return out()
%L   end
\def\pictABCDE(#1,#2,#3,#4,#5){
  {\linethickness{1.0pt}
   \expr{pictABCDE(#1,#2,#3,#4,#5)}
  }
}

\pu


% «cells» (to ".cells")
% (find-es "tex" "fbox")

\def\cellhr#1{\hbox to 0pt    {\cellfont${#1}$\hss}}
\def\cellhc#1{\hbox to 0pt{\hss\cellfont${#1}$\hss}}
\def\cellhl#1{\hbox to 0pt{\hss\cellfont${#1}$}}
\def\cellva#1{\setbox0#1\raise \dp0       \box0}
\def\cellvm#1{\setbox0#1\lower \celllower \box0}
\def\cellvb#1{\setbox0#1\lower \ht0       \box0}

\def\cellnw  #1{\cellva{\cellhl{#1}}}
 \def\celln  #1{\cellva{\cellhc{#1}}}
  \def\cellne#1{\cellva{\cellhr{#1}}}
\def\cellw   #1{\cellvm{\cellhl{#1}}}
 \def\celle  #1{\cellvm{\cellhr{#1}}}
\def\cellsw  #1{\cellvb{\cellhl{#1}}}
 \def\cells  #1{\cellvb{\cellhc{#1}}}
  \def\cellse#1{\cellvb{\cellhr{#1}}}

\newdimen\cellsep
\cellsep=4pt
\def\addcellsep{%
  \setbox0=\hbox{\kern\cellsep\box0\kern\cellsep}%
  \ht0=\ht0 plus \cellsep%
  \dp0=\dp0 plus \cellsep%
  \box0%
}
\def\cellsp#1{%
  \setbox0=\hbox{#1}%
  \addcellsep%
  \box0%
}





% «tikz-defs» (to ".tikz-defs")
%
% \mygrid and \myaxes
% (find-es "tikz" "mygrid")
\tikzset{mycurve/.style=very thick}
\tikzset{axis/.style=semithick}
\tikzset{tick/.style=semithick}
\tikzset{grid/.style=gray!20,very thin}
\tikzset{anydot/.style={circle,inner sep=0pt,minimum size=1.2mm}}
\tikzset{opdot/.style={anydot, draw=black,fill=white}}
\tikzset{cldot/.style={anydot, draw=black,fill=black}}
%
\def\mygrid(#1,#2) (#3,#4){
  \clip              (#1-0.4, #2-0.4) rectangle (#3+0.4, #4+0.4);
  \draw[step=1,grid] (#1-0.2, #2-0.2) grid      (#3+0.2, #4+0.2);
  \draw[axis] (-10,0) -- (10,0);
  \draw[axis] (0,-10) -- (0,10);
  \foreach \x in {-10,...,10} \draw[tick] (\x,-0.2) -- (\x,0.2);
  \foreach \y in {-10,...,10} \draw[tick] (-0.2,\y) -- (0.2,\y);
}
\def\myaxes(#1,#2) (#3,#4){
  \clip              (#1-0.4, #2-0.4) rectangle (#3+0.4, #4+0.4);
 %\draw[step=1,grid] (#1-0.2, #2-0.2) grid      (#3+0.2, #4+0.2);
  \draw[axis] (-20,0) -- (20,0);
  \draw[axis] (0,-20) -- (0,20);
  \foreach \x in {-20,...,20} \draw[tick] (\x,-0.2) -- (\x,0.2);
  \foreach \y in {-20,...,20} \draw[tick] (-0.2,\y) -- (0.2,\y);
}

% Grid color
\tikzset{grid/.style=gray!50,very thin}

\def\tikzp#1{\mat{\begin{tikzpicture}#1\end{tikzpicture}}}

\def\mydraw       #1;{\draw [mycurve]  \expr{#1};}
\def\mydot        #1;{\node [cldot] at \expr{#1} [] {};}
\def\myldot #1 #2 #3;{\node [cldot] at \expr{#1} [label=#2:${#3}$] {};}
\def\myseg     #1 #2;{\draw [mycurve]  \expr{#1} -- \expr{#2};}
\def\mylabel #1 #2 #3;{\node []     at \expr{#1} [label=#2:${#3}$] {};}
\def\myseggrid  #1 #2;{\draw [grid]    \expr{#1} -- \expr{#2};}

% \myvgrid, for things like this:
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-GA-material.pdf" 6)
\def\myvgrid{
  \myseggrid p(0,0) p(0,4);
  \myseggrid p(1,0) p(1,4);
  \myseggrid p(2,0) p(2,4);
  \myseggrid p(3,0) p(3,4);
  \myseggrid p(4,0) p(4,4);
  \myseggrid p(0,0) p(4,0);
  \myseggrid p(0,1) p(4,1);
  \myseggrid p(0,2) p(4,2);
  \myseggrid p(0,3) p(4,3);
  \myseggrid p(0,4) p(4,4);
  \draw [->] \expr{p(0,0)} -- \expr{p(0,1)};
  \draw [->] \expr{p(0,0)} -- \expr{p(1,0)};
}




\def\erro{\operatorname{erro}}
\def\setofpt  #1 #2 #3 #4 {\setofet{(#1,#2)+t\VEC{#3,#4}}}
\def\setofpu  #1 #2 #3 #4 {\setofeu{(#1,#2)+u\VEC{#3,#4}}}

% (find-LATEXfile "2016-1-GA-material.tex" "setofet")
\def\setofet  #1{\setofst{#1}{tâ\R}}
\def\setofeu  #1{\setofst{#1}{uâ\R}}
\def\setofpt  #1 #2 #3 #4 {\setofet{(#1,#2)+t\VEC{#3,#4}}}
\def\setofpu  #1 #2 #3 #4 {\setofeu{(#1,#2)+u\VEC{#3,#4}}}





%  __  __       _        _              
% |  \/  | __ _| |_ _ __(_)_______  ___ 
% | |\/| |/ _` | __| '__| |_  / _ \/ __|
% | |  | | (_| | |_| |  | |/ /  __/\__ \
% |_|  |_|\__,_|\__|_|  |_/___\___||___/
%                                       
% «matrizes» (to ".matrizes")
% (gaap162 1 "matrizes")

MultiplicaÃÃo de matrizes:

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}

$\und{\pmat{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}}{3Ã3}
 \und{\pmat{1000 \\ 100 \\ 10}}{3Ã1}
 = \und{\pmat{1230 \\ 4560 \\ 7890}}{3Ã1}
$

$\und{\pmat{a & b \\ c & d \\ e & f}}{3Ã2}
 \und{\pmat{g & h & i & j \\ k & l & m & n}}{2Ã4}
 = \und{\pmat{ag+bk & ah+bl & ai+bm & aj+bn \\
              cg+dk & ch+dl & ci+dm & cj+dn \\
              eg+fk & eh+fl & ei+fm & ej+fn \\}}{3Ã4}
$

$\und{\pmat{g & h & i & j \\ k & l & m & n}}{2Ã4}
 \und{\pmat{a & b \\ c & d \\ e & f}}{3Ã2}
 = \; \text{erro \qquad (porque $4â3$)}
$

$\pmat{1 & 2 \\ 3 & 4} \pmat{100 & 0 \\ 10 & 0} = \pmat{120 & 0 \\ 340 & 0}$

\ssk

$\pmat{100 & 0 \\ 10 & 0} \pmat{1 & 2 \\ 3 & 4} = \pmat{100 & 200 \\ 10 & 20}$

\ssk

$\pmat{2 \\ 3 \\ 4}^T \pmat{100 \\ 10 \\ 1} = \pmat{2 & 3 & 4} \pmat{100 \\ 10 \\ 1} = (234) = 234$

\bsk

Soma de matrizes:

$\pmat{10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60} + \pmat{2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7} = \pmat{12 & 23 & 34 \\ 45 & 56 & 67}$

$\pmat{10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60} + \pmat{2 & 3 \\ 5 & 6 } = \; \text{erro}$

\bsk

MultiplicaÃÃo de número por matriz:

$10 \pmat{2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7} = \pmat{20 & 30 & 40 \\ 50 & 60 & 70}$



\bsk

\def\V{\mathbf{V}}
\def\F{\mathbf{F}}

OperaÃÃes lÃgicas:

\ssk

$\begin{array}[t]{rcl}
 \text{``E'':} \\
 \F\&\F &=& \F \\
 \F\&\V &=& \F \\
 \V\&\F &=& \F \\
 \V\&\V &=& \V \\
 \end{array}
 %
 \quad
 %
 \begin{array}[t]{rcl}
 \text{``Ou'':} \\
 \Fâ\F &=& \F \\
 \Fâ\V &=& \V \\
 \Vâ\F &=& \V \\
 \Vâ\V &=& \V \\
 \end{array}
 %
 \quad
 %
 \begin{array}[t]{rcl}
 \text{``Implica'':}\hss \\
 \Fâ\F &=& \V \\
 \Fâ\V &=& \V \\
 \Vâ\F &=& \F \\
 \Vâ\V &=& \V \\
 \end{array}
 %
 \quad
 %
 \begin{array}[t]{rcl}
 \text{``NÃo'':} \\
 Â\F &=& \V \\
 Â\V &=& \F \\
 \end{array}
$

\bsk

Se $x=6$,

$\und{\und{2<\und{x}{6}}{\V} \&
      \und{\und{x}{6}<5}{\F}
     }{\F}
$




\newpage

%   ____                               _                    _             
%  / ___|___  _ __ ___  _ __  _ __ ___| |__   ___ _ __  ___(_) ___  _ __  
% | |   / _ \| '_ ` _ \| '_ \| '__/ _ \ '_ \ / _ \ '_ \/ __| |/ _ \| '_ \ 
% | |__| (_) | | | | | | |_) | | |  __/ | | |  __/ | | \__ \ | (_) | | | |
%  \____\___/|_| |_| |_| .__/|_|  \___|_| |_|\___|_| |_|___/_|\___/|_| |_|
%                      |_|                                                
%
% «comprehension» (to ".comprehension")
% (gaap162 2 "comprehension")

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}
\def\ug#1{\und{#1}{ger}}
\def\uf#1{\und{#1}{filt}}
\def\ue#1{\und{#1}{expr}}

``Set comprehensions''

\msk

NotaÃÃo explÃcita, com geradores, filtros

e ``;'' separando os geradores e filtros da expressÃo:

$\begin{array}{lll}
\{\ug{aâ\{1,2,3,4\}}; \ue{10a}\}     &=& \{10,20,30,40\} \\
\{\ug{aâ\{1,2,3,4\}}; \ue{a}\}       &=& \{1,2,3,4\} \\
\{\ug{aâ\{1,2,3,4\}}, \uf{aâ3}; \ue{a}\} &=& \{3,4\} \\
\{\ug{aâ\{1,2,3,4\}}, \uf{aâ3}; \ue{10a}\} &=& \{30,40\} \\
\{\ug{aâ\{10,20\}}, \ug{bâ\{3,4\}}; \ue{a+b}\} &=& \{13,14,23,24\} \\
\{\ug{aâ\{1,2\}}, \ug{bâ\{3,4\}}; \ue{(a,b)}\} &=& \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} \\
\end{array}
$





% (setq last-kbd-macro (kbd "C-w \\ uf{ C-y }"))
% (setq last-kbd-macro (kbd "C-w \\ ue{ C-y }"))

\msk
\msk

NotaÃÃes convencionais com ``$|$'':

$\begin{array}{lll}
\setofst{10a}{aâ\{1,2,3,4\}} &=&
  \{\ug{aâ\{1,2,3,4\}}; \ue{10a}\} \\
\setofst{a}{aâ\{1,2,3,4\}} &=&
  \{\ug{aâ\{1,2,3,4\}}; \ue{a}\} \\
\setofst{aâ\{1,2,3,4\}}{aâ3} &=& \\
\setofst{a}{aâ\{1,2,3,4\}, aâ3} &=&
  \{\ug{aâ\{1,2,3,4\}}, \uf{aâ3}; \ue{a}\} \\
\setofst{10a}{aâ\{1,2,3,4\}, aâ3} &=&
  \{\ug{aâ\{1,2,3,4\}}, \uf{aâ3}; \ue{10a}\} \\
  \{\ug{aâ\{10,20\}}, \ug{bâ\{3,4\}}; \ue{a+b}\} \\
  \{\ug{aâ\{1,2\}}, \ug{bâ\{3,4\}}; \ue{(a,b)}\} \\
\end{array}
$

\msk
\msk

Truque:

$\setofst{\text{gerador}}{\text{filtros}} =
 \{\text{gerador},\text{filtros};\ue{\text{variÃvel do gerador}}\}$

$\setofst{\text{expr}}{\text{geradores e filtros}} =
 \{\text{geradores e filtros}; \text{expr}\}
$

\newpage

%  _____                   _      _           
% | ____|_  _____ _ __ ___(_) ___(_) ___  ___ 
% |  _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \/ __|
% | |___ >  <  __/ | | (__| | (__| | (_) \__ \
% |_____/_/\_\___|_|  \___|_|\___|_|\___/|___/
%                                             
% «comprehension-ex123» (to ".comprehension-ex123")
% (gaap162 3 "comprehension-ex123")

{\bf ExercÃcios}

\ssk

1) Represente graficamente:

$\begin{array}{rcl}
 A & := & \{(1,4), (2,4), (1,3)\} \\
 B & := & \{(1,3), (1,4), (2,4)\} \\
 C & := & \{(1,3), (1,4), (2,4), (2,4)\} \\
 D & := & \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} \\
 E & := & \{(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)\} \\
\end{array}
$

\msk

2) Calcule e represente graficamente:

$\begin{array}{rcl}
 A & := & \{xâ\{1,2\}; (x,3-x)\} \\
 B & := & \{xâ\{1,2,3\}; (x,3-x)\} \\
 C & := & \{xâ\{0,1,2,3\}; (x,3-x)\} \\
 D & := & \{xâ\{0,0.5,1, \ldots, 3\}; (x,3-x)\} \\
 E & := & \{xâ\{1,2,3\}, yâ\{3,4\}; (x,y)\} \\
 F & := & \{xâ\{3,4\}, yâ\{1,2,3\}; (x,y)\} \\
 G & := & \{xâ\{3,4\}, yâ\{1,2,3\}; (y,x)\} \\
 H & := & \{xâ\{3,4\}, yâ\{1,2,3\}; (x,2)\} \\
 I & := & \{xâ\{1,2,3\}, yâ\{3,4\}, x+y<6; (x,y)\} \\
 J & := & \{xâ\{1,2,3\}, yâ\{3,4\}, x+y>4; (x,y)\} \\
 K & := & \{xâ\{1,2,3,4\}, yâ\{1,2,3,4\}; (x,y)\} \\
 L & := & \{x,yâ\{0,1,2,3,4\}; (x,y)\} \\
 M & := & \{x,yâ\{0,1,2,3,4\}, y=3; (x,y)\} \\
 N & := & \{x,yâ\{0,1,2,3,4\}, x=2; (x,y)\} \\
 O & := & \{x,yâ\{0,1,2,3,4\}, x+y=3; (x,y)\} \\
 P & := & \{x,yâ\{0,1,2,3,4\}, y=x; (x,y)\} \\
 Q & := & \{x,yâ\{0,1,2,3,4\}, y=x+1; (x,y)\} \\
 R & := & \{x,yâ\{0,1,2,3,4\}, y=2x; (x,y)\} \\
 S & := & \{x,yâ\{0,1,2,3,4\}, y=2x+1; (x,y)\} \\
\end{array}
$

\msk

3) Calcule e represente graficamente:

$\begin{array}{rcl}
 A & := & \setofst{(x,0)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 B & := & \setofst{(x,x/2)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 C & := & \setofst{(x,x)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 D & := & \setofst{(x,2x)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 E & := & \setofst{(x,1)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 F & := & \setofst{(x,1+x/2)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 G & := & \setofst{(x,1+x)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 H & := & \setofst{(x,1+2x)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 I & := & \setofst{(x,2)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 J & := & \setofst{(x,2+x/2)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 K & := & \setofst{(x,2+x)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 L & := & \setofst{(x,2+2x)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 M & := & \setofst{(x,2)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 N & := & \setofst{(x,2-x/2)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 O & := & \setofst{(x,2-x)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
 P & := & \setofst{(x,2-2x)}{xâ\{0,1,2,3\}} \\
\end{array}
$


\newpage

%  ____                _                  _   
% |  _ \ _ __ ___   __| |   ___ __ _ _ __| |_ 
% | |_) | '__/ _ \ / _` |  / __/ _` | '__| __|
% |  __/| | | (_) | (_| | | (_| (_| | |  | |_ 
% |_|   |_|  \___/ \__,_|  \___\__,_|_|   \__|
%                                             
% «comprehension-prod» (to ".comprehension-prod")
% (gaap162 4 "comprehension-prod")

Produto cartesiano de conjuntos:

$AÃB:=\{aâA,bâB;(a,b)\}$

Exemplo: $\{1,2\}Ã\{3,4\} = \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$.

\ssk

Uma notaÃÃo: $A^2 = AÃA$.

Exemplo: $\{3,4\}^2 = \{3,4\}Ã\{3,4\} = \{(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)\}$.

\msk

Sejam:

$A = \{1,2,4\}$,

$B = \{2,3\}$,

$C = \{2,3,4\}$.


\msk

{\bf ExercÃcios}

\ssk

4) Calcule e represente graficamente:

\begin{tabular}{lll}
a) $AÃA$ & d) $BÃA$ & g) $CÃA$ \\
b) $AÃB$ & e) $BÃB$ & h) $CÃB$ \\
c) $AÃC$ & f) $BÃC$ & i) $CÃC$ \\
\end{tabular}

\msk

5) Calcule e represente graficamente:

$\begin{array}{rcl}
 A &:=& \{x,yâ\{0,1,2,3\};(x,y)\} \\
 B &:=& \{x,yâ\{0,1,2,3\}, y=2; (x,y)\} \\
 C &:=& \{x,yâ\{0,1,2,3\}, x=1; (x,y)\} \\
 D &:=& \{x,yâ\{0,1,2,3\}, y=x; (x,y)\} \\
 E &:=& \{x,yâ\{0,1,2,3,4\}, y=2x; (x,y)\} \\
 F &:=& \{(x,y)â\{0,1,2,3,4\}^2, y=2x; (x,y)\} \\
 G &:=& \{(x,y)â\{0,1,2,3,4\}^2, y=x; (x,y)\} \\
 H &:=& \{(x,y)â\{0,1,2,3,4\}^2, y=x/2; (x,y)\} \\
 I &:=& \{(x,y)â\{0,1,2,3,4\}^2, y=x/2+1; (x,y)\} \\
 J &:=& \setofst {(x,y)â\{0,1,2,3,4\}^2} {y=2x} \\
 K &:=& \setofst {(x,y)â\{0,1,2,3,4\}^2} {y=x} \\
 L &:=& \setofst {(x,y)â\{0,1,2,3,4\}^2} {y=x/2} \\
 M &:=& \setofst {(x,y)â\{0,1,2,3,4\}^2} {y=x/2+1} \\
 N &:=& \setofst {(x,y)â\{1,2,3\}^2} {0x+0y=0} \\
 O &:=& \setofst {(x,y)â\{1,2,3\}^2} {0x+0y=2} \\
 P &:=& \setofst {(x,y)â\{1,2,3\}^2} {xây} \\
 \end{array}
$


\newpage

%   ____       _                _ _        
%  / ___| __ _| |__   __ _ _ __(_) |_ ___  
% | |  _ / _` | '_ \ / _` | '__| | __/ _ \ 
% | |_| | (_| | |_) | (_| | |  | | || (_) |
%  \____|\__,_|_.__/ \__,_|_|  |_|\__\___/ 
%                                          
% «comprehension-gab» (to ".comprehension-gab")
% (gaap162 5 "comprehension-gab")
% (to "picturedots")

Gabarito:

% \bhbox{$\picturedots(-1,-2)(5,5){ 3,1 3,2 3,3 }$}

1)
$
A = B = C = \picturedots(0,0)(3,4){ 1,4 2,4 1,3 }
\quad
D = \picturedots(0,0)(3,4){ 1,4 2,4 1,3 2,3 }
\quad
E = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,2 2,1 3,0 }
$

\bsk

2)
$     A = \picturedots(0,0)(4,4){     1,2 2,1     }
\quad B = \picturedots(0,0)(4,4){     1,2 2,1 3,0 }
\quad C = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,2 2,1 3,0 }
\quad D = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 .5,2.5 1,2 1.5,1.5 2,1 2.5,.5 3,0 }
$

\msk

$
\quad E = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 3,3   1,4 2,4 3,4 }
\quad F = \picturedots(0,0)(4,4){ 3,1 4,1   3,2 4,2   3,3 4,3 }
\quad G = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 3,3   1,4 2,4 3,4 }
\quad H = \picturedots(0,0)(4,4){ 3,2 4,2 }
\quad I = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3       1,4         }
\quad J = \picturedots(0,0)(4,4){     2,3 3,3   1,4 2,4 3,4 }
$

\msk

$
\quad K = \picturedots(0,0)(4,4){     1,4 2,4 3,4 4,4
                                      1,3 2,3 3,3 4,3
                                      1,2 2,2 3,2 4,2
                                      1,1 2,1 3,1 4,1 }
\quad L = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,4 1,4 2,4 3,4 4,4
                                  0,3 1,3 2,3 3,3 4,3
                                  0,2 1,2 2,2 3,2 4,2
                                  0,1 1,1 2,1 3,1 4,1
                                  0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 }
\quad M = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,3 2,3 3,3 4,3 }
\quad N = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 }
\quad O = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,2 2,1 3,0 }
\quad P = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 }
$

\msk

$
\quad Q = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,2 2,3 3,4 }
\quad R = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
\quad S = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,3 }
$

\bsk

3)
$     A = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,0  2,0 3,0   }
\quad B = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,.5 2,1 3,1.5 }
\quad C = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1  2,2 3,3   }
\quad D = \picturedots(0,0)(4,7){ 0,0 1,2  2,4 3,6   }
$

$
\quad E = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,1   2,1 3,1   }
\quad F = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,1.5 2,2 3,2.5 }
\quad G = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,2   2,3 3,4   }
\quad H = \picturedots(0,0)(4,7){ 0,1 1,3   2,5 3,7   }
$

$
\quad I = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2   2,2 3,2   }
\quad J = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2.5 2,3 3,3.5 }
\quad K = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,3   2,4 3,5   }
\quad L = \picturedots(0,0)(4,8){ 0,2 1,4   2,6 3,8   }
$

$
\quad M = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2   2,2 3,2   }
\quad N = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,1.5 2,1 3,.5 }
\quad O = \picturedots(0,-1)(4,4){ 0,2 1,1   2,0 3,-1  }
\quad P = \picturedots(0,-5)(4,3){ 0,2 1,0   2,-2 3,-4   }
$

\bsk

4)
$     AÃA = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,1 2,1 4,1   1,2 2,2 4,2   1,4 2,4 4,4 }
\quad BÃA = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,1 3,1       2,2 3,2       2,4 3,4     }
\quad CÃA = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,1 3,1 4,1   2,2 3,2 4,2   2,4 3,4 4,4 }
$

\msk

$
\quad AÃB = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,2 4,2   1,3 2,3 4,3 }
\quad BÃB = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2       2,3 3,3     }
\quad CÃB = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 4,2   2,3 3,3 4,3 }
$

\msk

$
\quad AÃC = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,2 4,2   1,3 2,3 4,3   1,4 2,4 4,4 }
\quad BÃC = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2       2,3 3,3       2,4 3,4     }
\quad CÃC = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 4,2   2,3 3,3 4,3   2,4 3,4 4,4 }
$

\bsk

5)
$     A = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,3 2,3 3,3
                                  0,2 1,2 2,2 3,2
                                  0,1 1,1 2,1 3,1
                                  0,0 1,0 2,0 3,0 }
\quad B = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2 2,2 3,2 }
\quad C = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,0 1,1 1,2 1,3 }
\quad D = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 }
\quad E = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
$

\msk

$
\quad F = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4         }
\quad G = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 }
\quad H = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 2,1 4,2         }
\quad I = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 2,2 4,3         }
$

\msk

$
\quad J = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4         }
\quad K = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 }
\quad L = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 2,1 4,2         }
\quad M = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 2,2 4,3         }
$

\msk

$
\quad N = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 3,3
                                  1,2 2,2 3,2
                                  1,1 2,1 3,1 }
\quad O = \picturedots(0,0)(4,4){             }
\quad P = \picturedots(0,0)(4,4){         3,3
                                      2,2 3,2
                                  1,1 2,1 3,1 }
$


\newpage

%                                     _                    _               _____ 
%   ___ ___  _ __ ___  _ __  _ __ ___| |__   ___ _ __  ___(_) ___  _ __   |_   _|
%  / __/ _ \| '_ ` _ \| '_ \| '__/ _ \ '_ \ / _ \ '_ \/ __| |/ _ \| '_ \    | |  
% | (_| (_) | | | | | | |_) | | |  __/ | | |  __/ | | \__ \ | (_) | | | |   | |  
%  \___\___/|_| |_| |_| .__/|_|  \___|_| |_|\___|_| |_|___/_|\___/|_| |_|   |_|  
%                     |_|                                                        
%
% «comprehension-tables» (to ".comprehension-tables")
% (gaap162 6 "comprehension-tables")
% (find-es "tex" "vrule")

\def\tbl#1#2{\fbox{$\begin{array}{#1}#2\end{array}$}}
\def\tbl#1#2{\fbox{$\sm{#2}$}}
\def\V{\mathbf{V}}
\def\F{\mathbf{F}}

% "Stop":
\def\S{\omit$|$\hss}
\def\S{\omit\vrule\hss}
\def\S{\omit\vrule$($\hss}
\def\S{\omit\vrule$\scriptstyle($\hss}
\def\S{\omit\vrule\phantom{$\scriptstyle($}\hss}   % stop

Alguns exemplos de como calcular as ``set comprehensions''

dos exercÃcios das pÃginas 3 e 4 usando tabelas:

\msk

\def\s{\mathstrut}
\def\s{\phantom{$|$}}
\def\s{\phantom{|}}
\def\s{}

2A)

$A := \{xâ\{1,2\}; (x,3-x)\}$

$A = \{(1,2), (2,1)\}$

\tbl{ccc}{
 \s x & (x,3-x) \\\hline
 \s 1 & (1,2) \\
 \s 2 & (2,1) \\
}

\msk

2I)

$I := \{xâ\{1,2,3\}, yâ\{3,4\}, x+y<6; (x,y)\}$

$I = \{(1,3),(1,4),(1,5)\}$

\tbl{ccc}{
 \s x & y & x+y<6 & (x,y) \\\hline
 \s 1 & 3 & \V & (1,3) \\
 \s 1 & 4 & \V & (1,4) \\
 \s 2 & 3 & \V & (1,3) \\
 \s 2 & 4 & \F & \S \\
 \s 3 & 3 & \F & \S \\
 \s 3 & 4 & \F & \S \\
}


\msk

3D)

$D := \setofst{(x,2x)}{xâ\{0,1,2,3\}}$

$D = \{xâ\{0,1,2,3\}; (x,2x)\}$

$D = \{(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)\}$

\tbl{ccc}{
 \s x & (x,2x) \\\hline
 \s 0 & (0,0) \\
 \s 1 & (1,2) \\
 \s 2 & (2,4) \\
 \s 3 & (3,6) \\
}

\msk

5P)

$P := \setofst {(x,y)â\{1,2,3\}^2} {xây}$

$P = \{(x,y)â\{1,2,3\}^2, xây; (x,y)\}$

$P = \{(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)\}$

\tbl{ccc}{
 \s (x,y) & x & y & xây & (x,y) \\\hline
 \s (1,1) & 1 & 1 & \V & (1,1) \\
 \s (1,2) & 1 & 2 & \F & \S    \\
 \s (1,3) & 1 & 3 & \F & \S    \\
 \s (2,1) & 2 & 1 & \V & (2,1) \\
 \s (2,2) & 2 & 2 & \V & (2,2) \\
 \s (2,3) & 2 & 3 & \F & \S    \\
 \s (3,1) & 3 & 1 & \V & (3,1) \\
 \s (3,2) & 3 & 2 & \V & (3,2) \\
 \s (3,3) & 3 & 3 & \V & (3,3) \\
}


\newpage

%                    _                               _                      
%  _ __   ___  _ __ | |_ ___  ___    ___  __   _____| |_ ___  _ __ ___  ___ 
% | '_ \ / _ \| '_ \| __/ _ \/ __|  / _ \ \ \ / / _ \ __/ _ \| '__/ _ \/ __|
% | |_) | (_) | | | | || (_) \__ \ |  __/  \ V /  __/ || (_) | | |  __/\__ \
% | .__/ \___/|_| |_|\__\___/|___/  \___|   \_/ \___|\__\___/|_|  \___||___/
% |_|                                                                       
%
% «pontos-e-vetores» (to ".pontos-e-vetores")
% (gaap162 7 "pontos-e-vetores")

{\bf Pontos e vetores}

\ssk

Se $a,b,c$ sÃo números entÃo

$(a,b)$ Ã um ponto de $\R^2$,

$\VEC{a,b}$ Ã um vetor em $\R^2$,

$(a,b,c)$ Ã um ponto de $\R^3$,

$\VEC{a,b,c}$ Ã um vetor em $\R^3$.

\msk

Por enquanto nÃs sà vamos usar $\R^2$ --

a {\sl terceira parte do curso} vai ser sobre $\R^3$.

\msk

Se $A$ Ã um ponto (de $\R^2$) e $\vv$ Ã um vetor (em $\R^2$)

entÃo $A_1$, $A_2$, $\vv_1$, $\vv_2$ sÃo números
e $A=(A_1A_2)$, $\vv=\VEC{\vv_1,\vv_2}$

(as operaÃÃes $(\_,\_)$, $\VEC{\_,\_}$, $\__1$, $\__2$ ``montam'' e
``desmontam'' pontos e vetores).

\msk

OperaÃÃes com pontos e vetores (obs: $a,b,c,d,kâ\R$):

\ssk

% (gaq161 1)

1) $(a,b) + \VEC{c,d} = (a+c,b+d)$

2) $\VEC{a,b} + \VEC{c,d} = \VEC{a+c,b+d}$

3) $(a,b) - (c,d) = \VEC{a-c,b-d}$

4) $(a,b) - \VEC{c,d} = (a-c,b-d)$

5) $\VEC{a,b} - \VEC{c,d} = \VEC{a-c,b-d}$

6) $kÂ\VEC{a,b} = \VEC{ka,kb}$

7) $\VEC{a,b}Â\VEC{c,d} = ac+bd$ \quad (!!!!)

\ssk

As outras operaÃÃes dÃo erro. Por exemplo:

$\VEC{a,b}+(c,d) = \erro$

$(a,b)+(c,d) = \erro$

$(a,b)Âk = \erro$

\bsk

{\bf ExercÃcios}

\ssk

\def\V(#1){\VEC{#1}}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\unds#1#2#3{\und {#1} {\sm{ \text{[regra #2]} \\ #3 }} }

% (find-es "tex" "boxedminipage")

6) Calcule:

\begin{minipage}[t]{2.25in}

a) $(2,3)+(\V(4,5)+\V(10,20))$

b) $((2,3)+\V(4,5))+\V(10,20)$

c) $4Â((20,30)-(5,10))$

d) $\V(2,3)Â\V(5,10)$

e) $\V(5,10)Â\V(2,3)$

f) $(\V(2,3)Â\V(5,10))Â\V(10,100)$

g) $\V(2,3)Â(\V(5,10)Â\V(10,100))$

h) $(\V(5,10)Â\V(10,100))Â\V(2,3)$

i) $(\V(10,100)Â\V(5,10))Â\V(2,3)$

j) $(\V(10,100)Â\V(2,3))Â\V(5,10)$

\end{minipage}
%
\begin{minipage}[t]{2in}

Obs: dois modos de resolvê-los:

\msk

a)
$\unds {(2,3)+(\unds {\V(4,5)+\V(10,20)}
                     2
                     {=\;\V(14,25)}     )}
       1
       {=\;(16,28)}
$

\msk

a) $\begin{array}[t]{l}
      (2,3)+(\V(4,5)+\V(10,20)) \\
    = (2,3)+\V(14,25) \\
    = (16,28) \\
    \end{array}
   $

\end{minipage}


\newpage

%                             _          _           _           
%  _ __  _ __ ___  _ __  _ __(_) ___  __| | __ _  __| | ___  ___ 
% | '_ \| '__/ _ \| '_ \| '__| |/ _ \/ _` |/ _` |/ _` |/ _ \/ __|
% | |_) | | | (_) | |_) | |  | |  __/ (_| | (_| | (_| |  __/\__ \
% | .__/|_|  \___/| .__/|_|  |_|\___|\__,_|\__,_|\__,_|\___||___/
% |_|             |_|                                            
%
% «propriedades» (to ".propriedades")
% (gaap162 8 "propriedades")

{\bf Propriedades}

\ssk

Serà que $\V(2,3)Â\V(5,10) = \V(5,10)Â\V(2,3)$ ``vale sempre''? Isto Ã,

serà que $\V(a,b)Â\V(c,d) = \V(c,d)Â\V(a,b)$ vale $âa,b,c,dâ\R$?

\ssk

{\sl Que propriedades as operaÃÃes sobre pontos e vetores obedecem?}

\msk

Podemos comeÃar pelas propriedades com nomes famosos...

\ssk

$\begin{array}{ll}
 \text{Comutatividade:} & AÂB=BÂA \\
                        & A+B=B+A \\
                        & A-B=B-A \\
 \text{Associatividade:} & (AÂB)ÂC=AÂ(BÂC) \\
                         & (A+B)+C=A+(B+C) \\
                         & (A-B)-C=A-(B-C) \\
 \text{Distributividade:} & AÂ(B+C)=AÂB+AÂC \\
                          & AÂ(B-C)=AÂB-AÂC \\
                          & (A+B)ÂC=AÂC+BÂC \\
                          & (A-B)ÂC=AÂC-BÂC \\
 \end{array}
$

\msk

{\bf ExercÃcios}

7) V/F/Justifique:

C1) (\;\;) $(a,b)+\V(c,d) = \V(c,d)+(a,b)$

C2) (\;\;) $\V(a,b)+\V(c,d) = \V(c,d)+\V(a,b)$

C3) (\;\;) $(a,b)-(c,d) = (c,d)-(a,b)$

C4) (\;\;) $(a,b)-\V(c,d) = \V(c,d)-(a,b)$

C5) (\;\;) $\V(a,b)-\V(c,d) = \V(c,d)-\V(a,b)$

C6) (\;\;) $kÂ\V(a,b) = \V(a,b)Âk$

C7) (\;\;) $\V(a,b)Â\V(c,d) = \V(c,d)Â\V(a,b)$

A11) (\;\;) $((a,b)+\V(c,d))+\V(d,e) = (a,b)+(\V(c,d)+\V(d,e))$

A12) (\;\;) $(\V(a,b)+\V(c,d))+\V(d,e) = \V(a,b)+(\V(c,d)+\V(d,e))$

D6) \, (\;\;) $(a+b)Â\V(u_1,u_2) = aÂ\V(u_1,u_2) + bÂ\V(u_1,u_2)$

D62) (\;\;) $kÂ(\V(u_1,u_2)+\V(v_1,v_2)) = kÂ\V(u_1,u_2) + kÂ\V(v_1,v_2)$

\msk

\newpage

%           _            
%  _ __ ___| |_ __ _ ___ 
% | '__/ _ \ __/ _` / __|
% | | |  __/ || (_| \__ \
% |_|  \___|\__\__,_|___/
%                        
% «retas» (to ".retas")
% (gaap162 9 "retas")

{\bf Retas}

\ssk

{\bf ExercÃcios}

\ssk

% (find-LATEXfile "2016-1-GA-material.tex" "em sala em 16/dez/2015")

8) Represente graficamente as retas abaixo.

Dica: encontre dois pontos de cada reta e marque-os no grÃfico.

Nas parametrizadas indique no grÃfico os pontos associados a $t=0$ e $t=1$.

$r_a = \setofxyst{ x+2y=0 }$

$r_b = \setofxyst{ x+2y=4 }$

$r_c = \setofxyst{ x+2y=2 }$

$r_d = \setofxyst{ 2x+3y=0 }$

$r_e = \setofxyst{ 2x+3y=6 }$

$r_f = \setofxyst{ 2x+3y=3 }$

$r_l = \setofxyst{ y=4 }$

$r_m = \setofxyst{ y=4+x }$

$r_n = \setofxyst{ y=4-2x }$

$r_g = \setofpt 3 -1 -1 1 $

$r_h = \setofpt 3 -1 -2 1 $

$r_i = \setofpt 3 -1 1 -1 $

$r_j = \setofpt 0 3 2 0 $

$r_k = \setofpt 2 0 0 1 $

$s_a = \setofxyst{ \V(x,y)Â\V(1,2)=0 }$

$s_b = \setofxyst{ \V(x,y)Â\V(1,2)=4 }$

$s_c = \setofxyst{ \V(x,y)Â\V(1,2)=2 }$

$s_d = \setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,3)=0 }$

$s_e = \setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,3)=6 }$

$s_f = \setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,3)=3 }$

$r'_l = \setofxyst{ 0x+1y=4 }$

$r'_m = \setofxyst{ (-1)x+1y=4 }$

$r'_n = \setofxyst{ 2x+1y=4 }$

$s_l = \setofxyst{ \V(x,y)Â\V(0,1)=4 }$

$s_m = \setofxyst{ \V(x,y)Â\V(-1,1)=4 }$

$s_n = \setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,1)=4 }$



\newpage

%  _____    __                  __  
% |  ___|  / / __  __    _   _  \ \ 
% | |_    | |  \ \/ /   | | | |  | |
% |  _|   | |   >  < _  | |_| |  | |
% |_|     | |  /_/\_( )  \__, |  | |
%          \_\      |/   |___/  /_/ 
%
% «Fxy» (to ".Fxy")
% (gaap162 10 "Fxy")
% (find-LATEX "2016-2-C2-integral.tex" "pict2e")
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")

% «pictureFxy» (to ".pictureFxy")
\def\tcell#1{\lower\celllower\hbox to 0pt{\hss\cellfont#1\hss}}
\def\pictureFxy(#1,#2)(#3,#4)#5{%
  \vcenter{\hbox{%
  \beginpictureb(#1,#2)(#3,#4){.7}%
  {\color{GrayPale}%
   \Line(#1,0)(#3,0)%
   \Line(0,#2)(0,#4)%
  }
  \expr{pictFxy("#5")}
  \end{picture}%
  }}%
}
\unitlength=10pt
\celllower=3pt

\unitlength=8pt
\celllower=3pt
\def\cellfont{\scriptsize}

Um bom modo de comeÃar a entender visualmente o comportamento de uma
funÃÃo $F(x,y):\R^2â\R$ Ã fazendo diagramas como os abaixo, em que a
gente escreve sobre cada ponto $(x,y)$ o valor de $F(x,y)$ naquele
ponto... por exemplo, se $F(x,y)=x^2+y^2$ entÃo $F(3,4)=9+16=25$, e a
gente escreve ``25'' no ponto $(3,4)$. Exemplos:

\msk

$\sm{F(x,y)\\\;\;\;\;=\,x} â
 \pictureFxy(-1,-2)(5,2){x}
 \quad
 \sm{F(x,y)\\\;\;\;\;=\,y} â
 \pictureFxy(-1,-2)(5,2){y}
 \quad
 \sm{F(x,y)\\=\,x+y} â
 \pictureFxy(-1,-2)(5,2){x+y}
$

\msk

Repare que dà pra usar o diagrama de $F(x,y)=x+y$ pra ver onde
$x+y=0$, onde $x+y=3$, etc.

\msk

{\bf ExercÃcios}

\ssk

9) FaÃa diagramas como os acima para as funÃÃes:

a) $F(x,y) = \V(x,y)Â\V(2,3)$

b) $F(x,y) = \V(x,y)Â\V(3,1)$

c) $F(x,y) = \V(x,y)Â\V(2,-1)$

d) $F(x,y) = x^2+y^2$ \qquad ($x,yâ\{-5,-4,\ldots,5\}^2$)

e) $F(x,y) = x^2-y$ 

f) $F(x,y) = y^2-x$ 

g) $F(x,y) = xy$ 

\msk

10) Use os diagramas do exercÃcio anterior para esboÃar os conjuntos abaixo

(que vÃo ser retas ou curvas):

a0) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,3)=0 }$

a2) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,3)=2 }$

a4) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,3)=4 }$

a-2) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,3)=-2 }$

b0) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(3,1)=0 }$

b3) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(3,1)=3 }$

b6) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(3,1)=6 }$

% b-3) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(3,1)=-3 }$

c0) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,-1)=0 }$

c2) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,-1)=2 }$

c4) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,-1)=4 }$

% c-2) $\setofxyst{ \V(x,y)Â\V(2,-1)=-2 }$

d25) $\setofxyst{ x^2+y^2=25 }$

d4) $\setofxyst{ x^2+y^2=4 }$

d1) $\setofxyst{ x^2+y^2=1 }$

d0) $\setofxyst{ x^2+y^2=0 }$

e0) $\setofxyst{ x^2-y=0 }$

e1) $\setofxyst{ x^2-y=1 }$

f0) $\setofxyst{ y^2-x=0 }$

f1) $\setofxyst{ y^2-x=1 }$

g0) $\setofxyst{ xy=0 }$

% g4) $\setofxyst{ xy=4 }$




%   ___                     
%  / _ \    _   _    __   __
% | | | |  | | | |   \ \ / /
% | |_| |  | |_| |_   \ V / 
%  \___( )  \__,_( )   \_/  
%      |/        |/         
%
% «coordenadas» (to ".coordenadas")
% (gaap162 11 "coordenadas")

{\setlength{\parindent}{0em}

{\bf Sistemas de coordenadas}

\ssk

Em cada uma das figuras abaixo vamos definir o sistema de coordenadas
$Σ$ por:

$Σ=(O,\uu,\vv)$,

$(a,b)_Σ = O+a\uu+b\vv$.

\msk

{\bf ExercÃcio}

\ssk

11) Sejam:

$B = (1,3)_Σ$, \phantom{$E = (2,2)_Σ$} $C = (3,3)_Σ$,

$D = (1,2)_Σ$, $E = (2,2)_Σ$,

$A = (1,1)_Σ$.

Em cada um dos casos abaixo desenhe a figura formada pelos pontos $A$,
$B$, $C$, $D$ e $E$ e pelos segmentos de reta $\overline{AB}$,
$\overline{BC}$ e $\overline{DE}$.

(O item (a) jà està feito.)

}

\msk

{

\unitlength=12pt
\def\closeddot{\circle*{0.4}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}

a)
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-1,-1)(11,9)%
   \eval{O,uu,vv = v(3,1), v(2,1), v(-1,1)}
   \pictOuv(0.5, 0.7)
   \pictABCDE(180, 180, 0, 180, 0)
   \end{picture}%
  }}
$
%
\quad
%
b)
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-1,-1)(6,6)
   \eval{O, uu, vv  = v(2, 2), v(1, 0), v(0, 1)}
   \pictOuv(0.5, 0.7)
   \end{picture}%
  }}
$

c)
$\unitlength=10pt
 \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-6,-1)(3,6)
   \eval{O, uu, vv  = v(-5, 1), v(2, 0), v(0, 1)}
   \pictOuv(0.5, 0.7)
   \end{picture}%
 }}
$
%
\quad
%
d)
$\unitlength=10pt
 \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-1,-1)(5,9)
   \eval{O, uu, vv = v(1, 1), v(1, 0), v(0, 2)}
   \pictOuv(0.5, 0.7)
   \end{picture}%
 }}
$
%
\quad
%
e)
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-1,-1)(6,6)
   \eval{O, uu, vv = v(2, 2), v(0, 1), v(1, 0)}
   \pictOuv(-0.5, 0.7)
   \end{picture}%
 }}
$


f)
$\unitlength=10pt
 \vcenter{\hbox{%
    \beginpicture(-8,-4)(6,8)
    \eval{O, uu, vv = v(4, 4), v(-2, 1), v(-1, -2)}
   \pictOuv(0.5, 0.7)
   \end{picture}%
 }}
$
%
\quad
%
g)
$\vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-4,-1)(5,6)
   \eval{O, uu, vv = v(-3, 1), v(1, 0), v(1, 1)}
   \pictOuv(0.5, 0.7)
   \end{picture}%
 }}
$

}


\newpage






%  ____  _     _                           
% / ___|(_)___| |_ ___ _ __ ___   __ _ ___ 
% \___ \| / __| __/ _ \ '_ ` _ \ / _` / __|
%  ___) | \__ \ ||  __/ | | | | | (_| \__ \
% |____/|_|___/\__\___|_| |_| |_|\__,_|___/
%                                          
% «sistemas» (to ".sistemas")
% (gaap162 12 "sistemas")

{\setlength{\parindent}{0em}

{\bf Sistemas de equaÃÃes e}

{\bf sistemas de coordenadas}

\ssk

%L p = function (a, b) return O + a*uu + b*vv end

\begin{minipage}[t]{2.5in}

No item (f) da pÃgina anterior temos:

\ssk


$\unitlength=8pt
 \def\cellfont{}
 \def\cellfont{\footnotesize}
 \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-8,-4)(6,8)
   \eval{O, uu, vv = v(4, 4), v(-2, 1), v(-1, -2)}
   \pictOuv(0.5, 0.7)
   \end{picture}%
 }}
 \quad
 {\footnotesize
 \begin{array}{l}
 O       = (4,4) \\
 \uu     = \V(-2,1) \\
 \vv     = \V(-1,-2) \\
 \end{array}
 }
$

% \ssk

$(a,b)_Σ = (4,4) + a\V(-2,1) + b\V(-1,-2)$

$(a,b)_Σ = (4-2a-b, 4+a-2b) \quad\; (*)$

\ssk

$\begin{array}[t]{rcl}
   (a,b)_Σ &=& (x,y) \\\hline
   %----------------
   (0,0)_Σ &=& (4,4) \\
   (1,0)_Σ &=& (2,5) \\
   (0,1)_Σ &=& (3,2) \\
 A=(1,1)_Σ &=& ?_a \\
 B=(1,3)_Σ &=& ?_b \\
 C=(3,3)_Σ &=& ?_c \\
 D=(1,2)_Σ &=& ?_d \\
 E=(2,2)_Σ &=& ?_e \\
       ?_f &=& (0,6) \\
       ?_g &=& (-1,4) \\
       ?_h &=& (5,1) \\
       ?_i &=& (1,2) \\
       ?_j &=& (1,1) \\
       ?_k &=& (2,1) \\
 \end{array}
 %
$

\ssk

Os itens (a) atà (h) acima (``$?_a$'' a ``$?_h$'') sÃo fÃceis de
resolver ``no olhÃ∧metro'' usando o grÃfico, e à fÃcil conferir os
resultados algebricamente usando a fÃrmula $(*)$.

\msk

No item (i) dà pra ver pelo grÃfico que os valores de $a$ e $b$ em
$(a,b)_Σ = (1,2)$ vÃo ser fracionÃrios e difÃceis de chutar -- mas
podemos obtê-los {\sl algebricamente}, resolvendo um {\sl sistema de
  equaÃÃes}.

\end{minipage}
%
\qquad
%
\begin{minipage}[t]{2.25in}

\begin{boxedminipage}[t]{2.25in}

\footnotesize

SoluÃÃo do ``$?_i$'':

\ssk

$\begin{array}{rcl}
   (a,b)_Σ &=& (1,2) \\
   (4-2a-b, 4+a-2b) &=& (1,2) \\
   4-2a-b &=& 1 \\
   4+a-2b &=& 2 \\
   -2a-b  &=& -3 \\
   a-2b   &=& -2 \\
   -2a+3  &=& b \\
   a      &=& -2+2b \\
   -2(-2+2b)+3 &=& \color{red}{b} \\
   4-4b+3 &=& b \\
   7      &=& 5b \\
   b      &=& \frac 7 5 \\
   a      &=& -2 + 2 \frac 7 5 \\
          &=& \frac{-10}{5} + \frac{14}{5} \\
          &=& \frac{4}{5} \\
   (\frac{4}{5}, \frac{7}{5})_Σ &=& (1,2) \\
 \end{array}
 %
$

\end{boxedminipage}

\bsk

\begin{boxedminipage}[t]{2.25in}
\footnotesize

Uma generalizaÃÃo:

\ssk

$\begin{array}{rcl}
   (a,b)_Σ &=& (x,y) \\
   (4-2a-b, 4+a-2b) &=& (x,y) \\
   4-2a-b &=& x \\
   4+a-2b &=& y \\
   4-2a-x &=& b \\
 \end{array}
$

\ssk

$\begin{array}{rcl}
   a &=& y+2b-4 \\
     &=& y+2(4-2a-x)-4 \\
     &=& y+8-4a-2x-4 \\
     &=& y-2x+4-4a \\
   5a &=& y-2x+4 \\
    a &=& (y-2x+4)/5 \\
      &=& \frac15 y - \frac25 x + \frac45 \\
      &=& \frac45 - \frac25 x + \frac15 y \\
  % b &=& 4-2(\frac15 y - \frac25 x + \frac45)-x \\
    b &=& 4-2(\frac45 - \frac25 x + \frac15 y)-x \\
      &=& \frac{20}5 - \frac85 + \frac45 x - \frac25 y  -\frac55 x \\
      &=& \frac{12}5 - \frac15 x - \frac25 y \\
 \end{array}
 %
$

\ssk

$(\frac45 - \frac25 x + \frac15y,
  \frac{12}5 - \frac15 x - \frac25 y)_Σ = (x,y)
$

\ssk

Vamos chamar a fÃrmula acima de $(**)$.

\end{boxedminipage}

\end{minipage}

\bsk

{\bf ExercÃcios}

12a) Resolva ``$?_j$'' pelo sistema.

12b) Resolva ``$?_k$'' pelo sistema.

12c) Verifique que as suas soluÃÃes de ``$?_a$'' atà ``$?_k$'' obedecem
$(*)$ e $(**)$.

12d) Resolva ``$?_j$'' e ``$?_k$'' por $(**)$.

}

\newpage



%  ____  _     _                             ____  
% / ___|(_)___| |_ ___ _ __ ___   __ _ ___  |___ \ 
% \___ \| / __| __/ _ \ '_ ` _ \ / _` / __|   __) |
%  ___) | \__ \ ||  __/ | | | | | (_| \__ \  / __/ 
% |____/|_|___/\__\___|_| |_| |_|\__,_|___/ |_____|
%                                                  

% «sistemas-2» (to ".sistemas-2")
% (gaap162 13 "sistemas-2")

{\setlength{\parindent}{0em}

{\bf Sistemas de equaÃÃes e}

{\bf sistemas de coordenadas (2)}

\ssk

Um outro modo de organizar os problemas da pÃgina anterior à o
seguinte.

Temos as equaÃÃes $[x]$, $[y]$, $[a]$, $[b]$ abaixo,

\ssk

$\begin{array}{crcl}
   {}[x] & x &=& 4-2a-b \\
   {}[y] & y &=& 4+a-2b \\
   {}[a] & a &=& \frac45 -\frac25 x + \frac15 y  \\
   {}[b] & b &=& \frac{12}5 -\frac15 x - \frac25 y \\
 \end{array}
$

\ssk

e queremos preencher a tabela abaixo de tal forma que em cada linha

as equaÃÃes $[x]$, $[y]$, $[a]$, $[b]$ sejam obedecidas:

$\begin{array}{rrrr}
   a & b & x & y \\\hline
   %----------------
 0 & 0 & 4 & 4 \\
 1 & 0 & 2 & 5 \\
 0 & 1 & 3 & 2 \\
 1 & 1 & Â & Â \\
 1 & 3 & Â & Â \\
 3 & 3 & Â & Â \\
 1 & 2 & Â & Â \\
 2 & 2 & Â & Â \\
 Â & Â & 0 & 6 \\
 Â & Â &-1 & 4 \\
 Â & Â & 5 & 1 \\
 Â & Â & 1 & 2 \\
 Â & Â & 1 & 1 \\
 Â & Â & 2 & 1 \\
 \end{array}
 %
$

\msk

Note que:

1) quando as lacunas sÃo em $x$ e $y$ Ã mais rÃpido usar as equaÃÃes
$[x]$ e $[y]$,

2) quando as lacunas sÃo em $a$ e $b$ Ã mais rÃpido usar as equaÃÃes
$[a]$ e $[b]$,

3) as equaÃÃes $[a]$ e $[b]$ sÃo {\sl consequências} das $[x]$ e $[y]$,

4) $[x]$ e $[y]$ sÃo consequências de $(a,b)_Σ = (4-2a-b, 4+a-2b) = (x,y)$,

5) $\psm{x\\ y\\}
    = \psm{4-2a-b\\ 4+a-2b\\}
    = \psm{4\\ 4\\} + \psm{-2a-b\\ a-2b\\}
    = \psm{4\\ 4\\} + \psm{-2 & -1\\ 1 & -2\\} \psm{a\\ b\\}
   $

6) $\psm{x\\ y\\}
    = \psm{O_1 +au_1 +bv_1 \\ O_2 + au_2 + bv_2\\}
    = \psm{O_1\\ O_2\\} + \psm{u_1 & v_1\\ u_2 & v_2\\} \psm{a\\ b\\}
   $

\msk

{\bf ExercÃcios}

\ssk

13a) No item (g) duas pÃginas atrÃs temos $O=(-3,1)$, $\uu=\V(1,0)$,
$\vv=\V(1,1)$, $(a,b)_Σ = (-3+a+b, 1+b)$. Obtenha as equaÃÃes $[x]$,
$[y]$, $[a]$, $[b]$ para este caso.

13b) FaÃa o mesmo para o item (a), onde $O=(3,1)$, $\uu=\V(2,1)$,
$\vv=\V(-1,1)$.

}


\newpage


%  ____                                _        _              _           
% |  _ \ __ _ _ __ __ _ _ __ ___   ___| |_ _ __(_)______ _  __| | __ _ ___ 
% | |_) / _` | '__/ _` | '_ ` _ \ / _ \ __| '__| |_  / _` |/ _` |/ _` / __|
% |  __/ (_| | | | (_| | | | | | |  __/ |_| |  | |/ / (_| | (_| | (_| \__ \
% |_|   \__,_|_|  \__,_|_| |_| |_|\___|\__|_|  |_/___\__,_|\__,_|\__,_|___/
%                                                                          
% «parametrizadas» (to ".parametrizadas")
% (gaap162 14 "parametrizadas")

{\setlength{\parindent}{0em}

{\bf InterseÃÃes de retas parametrizadas}

\ssk

%L r0, rv = v(2,3), v(1,1)
%L s0, sw = v(2,3), v(2,-1)
%L rt = function (t) return r0 + t*rv end
%L su = function (u) return s0 + u*sw end
\pu
\def\rt#1{\expr{rt(#1):xy()}}
\def\su#1{\expr{su(#1):xy()}}

% \rt 0 \rt 1 \rt 2
% \su 0 \su 1 \su 2


Se $r = \setofpt 3 3 2 -1 $

e $s = \setofpu 4 1 -1 1 $,

entÃo $r$ e $s$ se intersectam no ponto $P=(1,4)$,

que està associado a $t=-1$ (em $r$) e a $u=3$ (em $s$).

Graficamente,

\msk

%L inter  = v(1,4)
%L r0, rv = v(3,3), v(2,-1)
%L s0, sw = v(4,1), v(-1,1)
\pu
% (find-pgfmanualpage  44 "3.9    Adding Labels Next to Nodes")
% (find-pgfmanualtext  44 "3.9    Adding Labels Next to Nodes")
$\tikzp{[scale=0.5,auto]
    \mygrid (-1,-1) (7,5);
    \draw[mycurve] \rt{-2} -- \rt{5};
    \draw[mycurve] \su{-2} -- \su{5};
    \node [cldot] at \rt{0} [label=60:${t{=}0}$] {};
    \node [cldot] at \rt{1} [label=60:${t{=}1}$] {};
    \node [cldot] at \su{0} [label=200:${u{=}0}$] {};
    \node [cldot] at \su{1} [label=200:${u{=}1}$] {};
    \node [cldot] at \su{3} [label=60:$P$] {};
  }
$

\msk

Algebricamente, podemos convencer alguÃm do nosso resultado assim:

$(1,4) = (3,3)+(-1)\VEC{2,-1} â r$,

$(1,4) = (4,1)+3\VEC{-1,1} â s$,

$(1,4) â râs$.

\ssk

Repare que poderÃamos ter encontrado $(x,y)=Pârâs$ usando um sistema:

$(x,y) = (3+2t, 3-t)$ 

$(x,y) = (4-u, 1+u)$ 

Primeiro encontramos $t$ e $u$ tais que $(3+2t, 3-t) = (4-u, 1+u)$,

depois encontramos $(x,y) = (3+2t, 3-t) = (4-u, 1+u)$.

\msk

{\bf ExercÃcio}

\ssk

14) Em cada um dos casos abaixo represente graficamente $r$ e $s$,

encontre $Pârâs$, e verifique algebricamente que o seu $P$ està certo.

a) $r = \setofpt 1 0 0 3 $, $s = \setofpu 0 4 2 0 $

b) $r = \setofpt 1 0 3 1 $, $s = \setofpu 0 2 2 3 $

c) $r = \setofet{ (1+3t,t) }$, $s = \setofeu{ (2u,2+3u) } $

d) $r = \setofpt 0 3 2 -1 $, $s = \setofpu 1 0 1 3 $

\ssk

Obs: no (d) o olhÃ∧metro nÃo basta, você vai precisar resolver um sistema.

}

\newpage




%  ____  _     _                             _____ 
% / ___|(_)___| |_ ___ _ __ ___   __ _ ___  |___ / 
% \___ \| / __| __/ _ \ '_ ` _ \ / _` / __|   |_ \ 
%  ___) | \__ \ ||  __/ | | | | | (_| \__ \  ___) |
% |____/|_|___/\__\___|_| |_| |_|\__,_|___/ |____/ 
%                                                  
% «sistemas-3» (to ".sistemas-3")
% (gaap162 15 "sistemas-3")

{\bf Sistemas de corrdenadas (3)}

\def\xx{\vec x}
\def\yy{\vec y}
\def\aa{\vec a}
\def\bb{\vec b}
\def\cc{\vec c}
\def\dd{\vec d}
\def\ee{\vec e}
\def\ff{\vec f}
\def\gg{\vec g}
\def\hh{\vec h}

\ssk

HÃ muitas notaÃÃes possÃveis para lidar com situaÃÃes em que temos
vÃrios sistemas de coordenadas ao mesmo tempo -- vamos ver {\sl uma}
delas.

Vamos ter:

$\bullet$ as coordenadas $x,y$ e os eixos $x$ e $y$,

$\bullet$ as coordenadas $a,b$ e os eixos $a$ e $b$,

$\bullet$ as coordenadas $c,d$ e os eixos $d$ e $d$,

$\bullet$ as coordenadas $e,f$ e os eixos $e$ e $f$,

\noindent e alÃm disso vamos ter as origens $O_{xy}$, $O_{ab}$,
$O_{cd}$, $O_{ef}$ de cada um dos sistemas de coordenadas e os vetores
$\xx$, $\yy$, $\aa$, $\bb$, $\cc$, $\dd$, $\ee$, $\ff$.

\msk

Um exemplo concreto:

$\unitlength=15pt
 \def\closeddot{\circle*{0.2}}
 \def\cellfont{\scriptsize}
 \def\cellfont{}
 \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-1,-2)(6,6)%
   \pictgrid%
   \pictaxes%
   {\linethickness{1.0pt}
    \expr{pictOOuuvv(v(0,0),  v(1,0),   v(0,1),  "!;!;O_{xy}", "!xx", "!yy", 0.5, 0.7)}
    \expr{pictOOuuvv(v(2,-1), v(1,0),   v(0,1),  "!;!;O_{ab}", "!aa", "!bb", 0.5, 0.7)}
    \expr{pictOOuuvv(v(5,5),  v(-2,0),  v(0,-2), "!;!;O_{cd}", "!cc", "!dd", 0.5, 0.5)}
    \expr{pictOOuuvv(v(1,5),  v(-1,-1), v(1,-1), "!;!;O_{ef}", "!ee", "!ff", 0.5, 0.5)}
   }
   \put(1,1){\closeddot}
   \put(3,1){\closeddot}
   \put(5,1){\closeddot}
   \put(1,3){\closeddot}
   \put(3,3){\closeddot}
   \end{picture}%
  }}%
  %
  \qquad
  %
  \begin{array}{l}
    \begin{array}{lll}
      O_{xy}=(0,0)  & \xx=\V(1,0) & \yy=\V(0,1) \\
      O_{ab}=(2,-1) & \aa=\V(1,0) & \bb=\V(0,1) \\
      O_{cd}=(5,5)  & \cc=\V(-2,0) & \dd=\V(0,-2) \\
      O_{ef}=(1,5)  & \cc=\V(-1,-1) & \dd=\V(1,-1) \\
    \end{array}
    %
    \\[5pt]
    \\
    %
    \begin{array}{lllll}
      (x,y)_{xy} & = & O_{xy} + x\xx + y\yy & = & (x,y) \\
      (a,b)_{ab} & = & O_{ab} + a\aa + b\bb & = & (a+2,b-1) \\
      (c,d)_{cd} & = & O_{cd} + c\cc + d\dd \\
      (e,f)_{ef} & = & O_{ef} + e\ee + f\ff \\
    \end{array}
  \end{array}
$

\bsk

Um ponto $P$ do plano tem coordenadas $P_x$ e $P_y$ no sistema $x,y$,
coordenadas $P_a$ e $P_b$ no sistema $a,b$, e assim por diante, e em
situaÃÃes em que estamos falando das coordenadas de um ponto sà --
como nos problemas das pÃginas 13 e 14 -- nÃs vamos nos referir Ãs
coordenadas deste ponto como $x$, $y$, ..., $e$, $f$.

Usando as definiÃÃes de $(\_,\_)_{xy}$, $(\_,\_)_{ab}$,
$(\_,\_)_{cd}$, $(\_,\_)_{ef}$ acima temos:

\msk

$(P_x,P_y)_{xy} = (P_a,P_b)_{ab} = (P_c,P_d)_{cd} = (P_e,P_f)_{ef}$

$(x,y)_{xy} = (a,b)_{ab} = (c,d)_{cd} = (e,f)_{ef}$

\bsk

{\bf ExercÃcios}

\ssk

15a) Complete, usando o diagrama acima e olhÃ∧metro:

$\begin{array}{cllll}
 \text{ponto} & (\_,\_)_{xy} & (\_,\_)_{ab} & (\_,\_)_{cd} & (\_,\_)_{ef} \\\hline
 P & (1,1)_{xy} & (-1,2)_{ab} & (2,2)_{cd} &            \\
 Q & (3,1)_{xy} & (1,2)_{ab}  & (1,2)_{cd} & (1,3)_{ef} \\
 R & (5,1)_{xy} \\
 S & (1,3)_{xy} \\
 T & (3,3)_{xy} \\
 \end{array}
$

\ssk

15b) Calcule as seguintes distÃncias {\sl em cada sistema de
  coordenadas:} $d(P,Q)$, $d(P,R)$, $d(P,S)$, $d(S,T)$, $d(P,T)$.
Dica: $d_{ef}(Q,R) = \sqrt{(R_e-Q_e)^2 + (R_f-Q_f)^2}$.

15c) Calcule os seguintes vetores em cada sistema de coordenadas:
$\Vec{PP}$, $\Vec{PQ}$, $\Vec{PR}$, $\Vec{PS}$, $\Vec{PT}$. Dica:
$(\Vec{PQ})_{ef} = \Vec{(Q_e-P_e,Q_f-P_f)}_{ef}$.

\newpage

%  ____  _     _                             _____           
% / ___|(_)___| |_ ___ _ __ ___   __ _ ___  |___ /  _____  __
% \___ \| / __| __/ _ \ '_ ` _ \ / _` / __|   |_ \ / _ \ \/ /
%  ___) | \__ \ ||  __/ | | | | | (_| \__ \  ___) |  __/>  < 
% |____/|_|___/\__\___|_| |_| |_|\__,_|___/ |____/ \___/_/\_\
%                                                            
% «sistemas-3-exercs» (to ".sistemas-3-exercs")
% (gaap162 16 "sistemas-3-exercs")

(ExercÃcios, cont.)

\ssk

15d) Calcule os seguintes produtos escalares em cada sistema de
coordenadas: $\Vec{PQ}Â\Vec{PS}$ e $\Vec{PQ}Â\Vec{PT}$. Dica:
$\V(α,β)_{ef} Â_{ef} \V(γ,∧)_{ef} = αγ+β∧$.

15e) Verifique em cada um dos sistemas de coordenadas se estas
afirmaÃÃes sÃo verdadeiras: $\Vec{PQ}â\Vec{PS}$, $\Vec{PQ}â\Vec{PT}$.
Dica: $\uu_{ef} â_{ef} \vv_{ef}$ se e sà se $\uu_{ef} Â_{ef} \vv_{ef}
= 0$.

\ssk

15f) Leia as pÃginas 9-14 e 16-19 do livro do CEDERJ. Note que ele nÃo
comeÃa usando coordenadas desde o inÃcio como a gente fez... ele
comeÃa supondo que os pontos jà estÃo desenhados num papel, e sÃ
quando se estabelece um sistema de coordenadas esses pontos passam a
ter coordenadas.

15g) Leia as pÃginas 16-17 do Reis/Silva.

\bsk
\bsk

{\bf Coordenadas ``tortas''}

\ssk

Em todos os sistemas de coordenadas da pÃgina anterior os dois vetores
da ``base'' têm o mesmo comprimento e sÃo (geometricamente) ortogonais
um ao outro... mas quando definimos precisamente ``ortogonalidade'' no
curso nÃs usamos uma definiÃÃo {\sl algÃbrica}, isto Ã, uma {\sl
  conta}: $\uuâ\vv$ à verdade se e sà se $\uuÂ\vv=0$ -- e nÃs vimos no
exercÃcio 15d que o resultado de $\uuÂ\vv=0$ depende do sistema de
coordenadas...

Quando usamos coordenadas ``tortas'', como no sistema $O_{gh}$, $\gg$,
$\hh$ abaixo, a noÃÃo de ortogonalidade {\sl pode} mudar.

$\unitlength=15pt
 \def\closeddot{\circle*{0.2}}
 \def\cellfont{\scriptsize}
 \def\cellfont{}
 \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-1,-2)(6,6)%
   \pictgrid%
   \pictaxes%
   {\linethickness{1.0pt}
    \expr{pictOOuuvv(v(0,0),  v(1,0),   v(0,1),  "!;!;O_{xy}", "!xx", "!yy", 0.5, 0.7)}
    \expr{pictOOuuvv(v(1,5),  v(0,-1), v(1,-1),  "!;!;O_{gh}", "!gg", "!hh", 0.5, 0.5)}
   }
   \put(1,1){\closeddot}
   \put(3,1){\closeddot}
   \put(5,1){\closeddot}
   \put(1,3){\closeddot}
   \put(3,3){\closeddot}
   \end{picture}%
  }}%
  %
  \qquad
  %
  \begin{array}{l}
    \begin{array}{lll}
      O_{xy}=(0,0)  & \xx=\V(1,0) & \yy=\V(0,1) \\
      O_{gh}=(1,5)  & \gg=\V(0,-1) & \hh=\V(1,-1) \\
    \end{array}
    %
    \\[5pt]
    \\
    %
    \begin{array}{lllll}
      (x,y)_{xy} & = & O_{xy} + x\xx + y\yy & = & (x,y) \\
      (g,h)_{gh} & = & O_{gh} + g\gg + h\hh \\
    \end{array}
  \end{array}
$

\msk

{\bf ExercÃcios}

\ssk

16a) Encontre as coordenadas $(\_,\_)_{gh}$ dos pontos $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$.

16b) Calcule $d_{gh}(S,P)$, $d_{gh}(S,Q)$, $d_{gh}(S,T)$.

16c) Calcule $d_{gh}(S,P)$, $d_{gh}(S,Q)$, $d_{gh}(S,T)$.

16d) Calcule $\Vec{SP} Â_{gh} \Vec{SQ}$ e $\Vec{SP} Â_{gh} \Vec{ST}$.

16e) Calcule $\Vec{SP} â_{gh} \Vec{SQ}$ e $\Vec{SP} â_{gh} \Vec{ST}$.

\bsk

{\sl Aviso importante: nÃs vamos usar ``coordenadas tortas''
  \underline{pouquÃssimo} em GA!!!}


\newpage


%  ____            _                          
% |  _ \ _ __ ___ (_) ___  ___ ___   ___  ___ 
% | |_) | '__/ _ \| |/ _ \/ __/ _ \ / _ \/ __|
% |  __/| | | (_) | |  __/ (_| (_) |  __/\__ \
% |_|   |_|  \___// |\___|\___\___/ \___||___/
%               |__/                          
%
% «projecoes» (to ".projecoes")
% (gaap162 17 "projecoes")

{\bf ProjeÃÃes}

\ssk

Atà agora nÃs sà vimos ``decomposiÃÃes'' da seguinte forma: tÃnhamos
$O$, $\uu$, $\vv$, $P$, e querÃamos $a$ e $b$ tais que $O + a\uu +
b\vv = P$ -- note que isto à equivalente a encontrar $a$ e $b$ tais
que $a\uu + b\vv = \Vec{OP}$, ou seja vimos como decompor o vetor
$\Vec{OP}$ em um múltiplo do vetor $\uu$ e um do vetor $\vv$...

Agora vamos partir de vetores $\uu$ e $\ww$ e ver como decompor o
vetor $\ww$ em $»\uu+\vv = \ww$ tais que isto forme um triÃngulo
retÃngulo. Mais precisamente: se $»\uu+\vv = \ww$ entÃo $\vv =
-»\uu+\ww$, e queremos que estes $»\uu$ e $\vv$ sejam ortogonaisa,
aliÃs, que $\uu$ e $\vv$ sejam ortogonais: $\uuâ\vv$, ou seja,
$\uuâ(-»\uu+\ww)$.

\ssk

{\sl DefiniÃÃo:} a {\sl projeÃÃo sobre $\uu$ de $\ww$}, $\Pr_{\uu}
\ww$, Ã o vetor $»\uu$ tal que $\uuâ(-»\uu+\ww)$.




\bsk

{\bf ExercÃcios}

17a) Sejam $\ww = \V(3,4)$, $\uu = \V(0,1)$, $A=(2,0)$, $B=A+\ww$.
Represente graficamente $A$, $B$, $\uu$, $\ww$, e para cada
$»â\{0,1,2,3,4,5\}$ desenhe no seu grÃfico o triÃngulo $\ww =
»\uu+\vv$ correspondente e calcule $\vv$ e $\uuÂ\vv$. Qual o $»$ que
faz com que $\uuâ\vv$?

17b) FaÃa a mesma coisa que no 17a, mas mudando o $\uu$ para
$\uu=\V(1,1)$.

\ssk

17c) Digamos que $\Pr_{\uu} \ww_1 = »_1 \uu_1$, $\Pr_{\uu} \ww_2 = »_1
\uu_2$, etc. Determine $»_1$, $»_2$, etc na figura abaixo à esquerda.

17d) Digamos que $\Pr_{\uu} \ww_1 = »_1 \uu_1$, $\Pr_{\uu} \ww_2 = »_1
\uu_2$, etc. Determine $»_1$, $»_2$, etc na figura abaixo à direita.


%L p = function (a, b) return O + a*uu + b*vv end
%L O, uu, vv = v(1, 1), v(2, 0), v(0, 2)

%L myvec = function (a, b, label)
%L     local bprint, out = makebprint()
%L     local AA, BB = p(0,0), p(a,b)
%L     local AB = BB-AA
%L     local CC = BB + AB:unit(0.7)
%L     local f = function (str) return (str:gsub("!", "\\")) end
%L     bprint("\\Vector%s%s", AA, BB)
%L     bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", CC, f(label))
%L     return out()
%L   end
\pu

% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")

$\unitlength=10pt
 \def\closeddot{\circle*{0.2}}
 \def\cellfont{\scriptsize}
 \def\cellfont{}
 \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-7,-7)(9,9)%
   %\pictgrid%
   {\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-3,-3,3,3)}}%
   \pictaxes%
   {\linethickness{1.0pt}
    \expr{myvec(2, 0, "!uu")}
    \expr{myvec(3, 1, "!ww_1")}
    \expr{myvec(3, 2, "!ww_2")}
    \expr{myvec(3, 3, "!ww_3")}
    \expr{myvec(2, 3, "!ww_4")}
    \expr{myvec(1, 3, "!ww_5")}
    \expr{myvec(0, 3, "!ww_6")}
    \expr{myvec(-1, 3, "!ww_7")}
    \expr{myvec(-2, 3, "!ww_8")}
    \expr{myvec(-3, 3, "!ww_9")}
    \expr{myvec(-3, 2, "!ww_{10}")}
    \expr{myvec(-3, 1, "!ww_{11}")}
    \expr{myvec(-3, 0, "!ww_{12}")}
    \expr{myvec(-3, -1, "!ww_{13}")}
    \expr{myvec(-3, -2, "!ww_{14}")}
    \expr{myvec(-3, -3, "!ww_{15}")}
    \expr{myvec(-2, -3, "!ww_{16}")}
    \expr{myvec(-1, -3, "!ww_{17}")}
    \expr{myvec(-0, -3, "!ww_{18}")}
   }
   \end{picture}%
  }}%
  \quad
  %
%L O, uu, vv = v(1, 1), v(1, 1), v(-1, 1)
  \pu
  %
  \unitlength=12pt
  \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-7,-6)(7,8)%
   %\pictgrid%
   {\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-3,-3,3,3)}}%
   \pictaxes%
   {\linethickness{1.0pt}
    \expr{myvec(2, 0, "!uu")}
    \expr{myvec(3, 1, "!ww_1")}
    \expr{myvec(3, 2, "!ww_2")}
    \expr{myvec(3, 3, "!ww_3")}
    \expr{myvec(2, 3, "!ww_4")}
    \expr{myvec(1, 3, "!ww_5")}
    \expr{myvec(0, 3, "!ww_6")}
    \expr{myvec(-1, 3, "!ww_7")}
    \expr{myvec(-2, 3, "!ww_8")}
    \expr{myvec(-3, 3, "!ww_9")}
    \expr{myvec(-3, 2, "!ww_{10}")}
    \expr{myvec(-3, 1, "!ww_{11}")}
    \expr{myvec(-3, 0, "!ww_{12}")}
    \expr{myvec(-3, -1, "!ww_{13}")}
    \expr{myvec(-3, -2, "!ww_{14}")}
    \expr{myvec(-3, -3, "!ww_{15}")}
    \expr{myvec(-2, -3, "!ww_{16}")}
    \expr{myvec(-1, -3, "!ww_{17}")}
    \expr{myvec(-0, -3, "!ww_{18}")}
   }
   \end{picture}%
  }}%
$

\bsk
\bsk

17e) Leia a p.55 do livro do CEDERJ.

17f) Leia as pÃgs 35 a 38 do Reis/Silva.

% (find-reissilvapage (+ -14 35) "2.7 ProjeÃÃo de vetores")

% (find-GA1page (+ -2 55) "Projecao ortogonal")


\newpage

%  _   _       _                          _       _ 
% | \ | | ___ | |_ __ _  ___ __ _  ___   ( )  _  ( )
% |  \| |/ _ \| __/ _` |/ __/ _` |/ _ \   \| (_) |/ 
% | |\  | (_) | || (_| | (_| (_| | (_) |      _     
% |_| \_|\___/ \__\__,_|\___\__,_|\___/      (_)    
%                                                   
% «notacao-:» (to ".notacao-:")
% (gaap162 18 "notacao-:")

\def\camat#1{\left\{\begin{array}{llll}#1\end{array}\right.}

{\bf NotaÃÃo com `:'}

\ssk

Em vÃrios lugares -- por exemplo, nas pÃginas 35-41 do livro do
CEDERJ, e na lista 3 da Ana Isabel -- a notaÃÃo preferida para retas e
outros conjuntos usa `:':
%
$$\begin{array}{rcl}
  r_a &:& 2x+3y=4 \\
  r_b &:& \camat{x = 2+3t \\ y = 4+5t} \\
  r_c &:& (2+3t, 4+5t) \\
  r_d &:& (2,4) + u\V(3,5) \\
 \end{array}
 \quad
 â
 \quad
 \begin{array}{rcl}
  r_a &=& \setofxyst{2x+3y=4} \\
  r_b &=& \setofexprt{(2+3t, 4+5t)} \\
  r_c &=& \setofexprt{(2+3t, 4+5t)} \\
  r_d &=& \setofexpru{(2,4) + u\V(3,5)} \\
 \end{array}
$$

Essas notaÃÃes com `:' sÃo bem compactas mas elas deixam implÃcito
quais sÃo os geradores.

\msk

% (reparametrizaÃÃes):

{\bf ExercÃcios}

Em cada um dos casos abaixo represente graficamente $r$ e $s$ e os
pontos de $r$ e $s$ que correspondem a $t=0$, $t=1$, $u=0$, $u=1$.

18a) $r: (2,4)+t\V(1,0)$, $s: (2,4)+u(2Â\V(1,0))$

18b) $r: (2,2)+t\V(2,1)$, $s: (2,4)+u(2Â\V(2,1))$

18c) $r: (2,4)+t\V(1,0)$, $s: ((2,4)+2Â\V(1,0))+u\V(1,0)$

18d) $r: (2,2)+t\V(2,1)$, $s: ((2,2)+2Â\V(2,1))+u\V(2,1)$

{\sl Importante:} muitas pessoas da sala jà sabem desenhar cada uma
das retas acima em segundos e quase sem fazer contas. Se você ainda
nÃo sabe como fazer isso descubra quem sÃo essas pessoas e aprenda com
elas!

\ssk

18e) Traduza cada uma das retas $r_a$, ..., $r_k$ da p.9 para a
notaÃÃo com `:'.

\ssk

Ãs vezes o nome das retas à suprimido e dizemos sà ``a reta com
equaÃÃo $2x+3y=4$'' ou ``a reta $2x+3y=4$'', e quando precisamos
escrever o nome dessa reta no grÃfico nÃs escrevemos ``$2x+3y=4$'' do
lado da reta ao invÃs de escrevermos `$r$' ou `$s$'.

Na p.14 nÃs encontramos a interseÃÃo de duas retas $r:(3+2t,3-t)$ e
$s:(4-u,1+u)$ da seguinte forma: primeiro encontramos os valores de
$t$ e $u$ que resolviam $(3+2t,3-t) = (4-u,1+u)$, depois fizemos
$(x,y) = (3+2t,3-t)$.

18f) Se $s':(4-t,1+t)$ entÃo $s=s'$, e este mÃtodo deveria funcionar
para encontrarmos $râs'$: primeiro encontramos o valor de $t$ que
resolve $(3+2t,3-t) = (4-t,1+t)$, depois fazemos $(x,y) = (3+2t,3-t)$.
O que dà errado?

18g) Se $r:(2t,t)$ e $s:(2u,u+3)$ entÃo $r$ e $s$ sÃo paralelas. O que
dà errado se tentamos resolver o sistema $(2t,t)=(2u,u+3)$?

18h) Se $r:(2t,t)$ e $s:(2u+2,u+1)$ entÃo $r$ e $s$ sÃo coincidentes.
O que dà errado se tentamos resolver o sistema $(2t,t)=(2u+2,u+1)$?

18i) Represente graficamente as retas $r:y=4-2x$, $x=0$, $x=1$, $y=0$,
$y=1$, $y=2$ e encontre a interseÃÃo de $r$ como cada uma das outras
retas algebricamente e no grÃfico.

18j) Sejam $r:y=4-2x$, $A$ a interseÃÃo de $r$ com $x=0$, $B$ a
interseÃÃo de $r$ com $x=1$, $s:A+t\Vec{AB}$. Expresse $r$ na forma
$r:(\_+\_t, \_+\_t)$ e compare o resultado com $s:(x,4-2x)$.


\newpage

%   ____                _                                  
%  / ___|___  _ __  ___| |_ _ __ _   _  ___ ___   ___  ___ 
% | |   / _ \| '_ \/ __| __| '__| | | |/ __/ _ \ / _ \/ __|
% | |__| (_) | | | \__ \ |_| |  | |_| | (_| (_) |  __/\__ \
%  \____\___/|_| |_|___/\__|_|   \__,_|\___\___/ \___||___/
%                                                          
% «construcoes» (to ".construcoes")
% (gaap162 19 "construcoes")

{\bf ConstruÃÃes}

Você deve se lembrar que na Geometria do ensino mÃdio tudo era feito
com ``construÃÃes'' com rÃgua, compasso, esquadro, etc, e nessas
construÃÃes cada objeto novo era feito apoiado nos mais antigos...
agora vamos fazer algo parecido, mas ``construindo'' (definindo) novos
pontos, vetores, conjuntos, números, etc, a partir dos anteriores.

\msk

Exemplos:

a)
\begin{tabular}[t]{l}
Sejam $r$ uma reta e $A$ um ponto de $\R^2$. \\
Sejam $B$ e $C$ dois pontos diferentes de $r$. \\
Seja $D = B + \Pr_{\Vec{BC}} \Vec{BA}$. \\
EntÃo $D$ Ã o ponto de $r$ mais prÃximo de $A$. \\
\end{tabular}

\ssk

b)
\begin{tabular}[t]{l}
Sejam $r$ uma reta e $A$ um ponto de $\R^2$. \\
Sejam $B$ e $C$ dois pontos diferentes de $r$. \\
Sejam $\uu=\Vec{BC}$ e $\vv=\Vec{BA}$. \\
Sejam $D=\Pr_{\uu} \vv$, $\ww=\Vec{DA}$, $s:D+t\ww$, $r':D+t\uu$. \\
EntÃo $râs$, $r=r'$, e \\
o ponto de $r'$ mais prÃximo de $A$ Ã o que tem $t=0$. \\
\end{tabular}

\ssk

c)
\begin{tabular}[t]{l}
Sejam $r:B+t\uu$ uma reta e $A$ um ponto de $\R^2$. \\
Seja $\ww$ um vetor nÃo-nulo ortogonal a $\uu$. \\
Seja $s:A+t\ww$. \\
Seja $Dârâs$. \\
EntÃo $râs$ e $D$ Ã o ponto de $r$ mais prÃximo de $A$. \\
\end{tabular}

\msk

Você vai precisar se familiarizar com a linguagem dessas construÃÃes.

A coisa mais bÃsica à aprender a aplicÃ-las em casos particulares.

\msk

{\bf ExercÃcios}

\ssk

19a) Sejam $A=(2,0)$, $r:y=2+x$, $B=(-2,0)$, $C=(0,2)$ na construÃÃo
(a). Represente todos os objetos graficamente.

19b) FaÃa o mesmo na (b), mas agora $r:y=2+\frac{x}{2}$, $A=(3,1)$, e
você escolhe $B$ e $C$. Verifique se as afirmaÃÃes do ``EntÃo $râs$,
$r=r'$...'' sÃo verdade neste caso. Repare que ainda nÃo sabemos ver
se elas serÃo verdadeiras {\sl sempre!}

\ssk

A construÃÃo (c) tem um passo, o ``seja $Dârâs$'', que à bem curto em
português e bem simples graficamente, mas que à trabalhoso
matematicamente. FaÃa o mesmo que no item anterior, mas em três casos:

19c) $\uu=\V(2,0)$, e escolha $A$, $B$, $\ww$, etc.

19c') idem, mas com $\uu=\V(1,3)$.

19c'') idem, ainda com $\uu=\V(1,3)$, mas agora escolha $A$, $B$,
$\ww$, etc para que as contas sejam simples e todos os números sejam
inteiros.



\newpage

%     _                      _           
%    / \   _ __   __ _ _   _| | ___  ___ 
%   / _ \ | '_ \ / _` | | | | |/ _ \/ __|
%  / ___ \| | | | (_| | |_| | | (_) \__ \
% /_/   \_\_| |_|\__, |\__,_|_|\___/|___/
%                |___/                   
%
% «angulos» (to ".angulos")
% (gaap162 20 "angulos")

{\bf Ãngulos}

\ssk

Ãngulos aparecem em vÃrias situaÃÃes em GA -- as principais por
enquanto vÃo ser a fÃrmula que relaciona produto escalar e cossenos
(livro do CEDERJ, p.55) e parametrizaÃÃo de cÃrculos.

Lembre que se fizermos o conjunto
%
$$C = \setofst{(\cosθ, \senθ)}{θâ\R}$$
%
isto dà o ``cÃrculo unitÃrio'', um cÃrculo de raio 1 centrado na
origem:

$\qquad
 \unitlength=18pt
 \def\closeddot{\circle*{0.2}}
 \def\closeddot{\circle*{0.25}}
 \def\cellfont{}
 \def\t #1 {θ{=}#1°}
 \def\p{\phantom}
 %
 \vcenter{\hbox{%
  \beginpicture(-3,-2)(3,2)%
  \pictaxes%
  {\linethickness{1.0pt}
   \put(0,0){\circle{2}}
  }
  \put( 0,1){\closeddot}
  \put(-1,0){\closeddot}
  \put( 1,0){\closeddot}
  \put(0,-1){\closeddot}
  \put(2.0, 0){\cell{\mat{\t 0 \p{ai}\\ \t 360 }}}
  \put(0, 1.4){\cell{\p{aaaaaa}\t  90 }}
  \put(0,-1.4){\cell{\p{aaaaaai}\t 270 }}
  \put(-1.9,0){\cell{\mat{\t 180 \\ \p{a}}}}
  \end{picture}%
 }}%
$


Compare com as retas parametrizadas da p.14 -- là na reta $r$ tÃnhamos
$x=3+2t$, $y=3-t$, $y=4.5-\frac{x}{2}$, e em $C$ temos $x=\cosθ$,
$y=\senθ$, $x^2+y^2=1$.

O Ãngulo $θ$ pode ser dado tanto em graus quanto em radianos, e temos
$180°=Ï$, $1°=\frac{Ï}{180}$, $234°=234\frac{Ï}{180}$, etc... alÃm
disso $(\cos 360°,\sen 360°)=(\cos 0°,\sen 0°)=(1,0)$, e $θ=360°$ e
$θ=0°$ correspondem ao mesmo ponto do cÃrculo.

Para alguns valores de $θ$ Ã fÃcil calcular os valores exatos de
$x=\cosθ$ e $y=\senθ$...

\def\imp{\;â\;}
\def\imp{\;\;â\;\;}

$θ=45° \imp x=y,       \; x^2+y^2=1 \imp x^2=\frac12 \imp x=\frac{â2}{2}$

$θ=60° \imp x=\frac12, \; x^2+y^2=1 \imp y^2=\frac34 \imp y=\frac{â3}{2}$

\msk

{\bf ExercÃcio}

20) Complete a tabela abaixo.

$\def\a#1{\hbox to 2em{$#1$\hss}}
 %
 \begin{array}{rcc}
    θ\;\a{}    & x=\cosθ &  y=\senθ \\ \hline
    0°=\a{0}       & 1 & 0 \\
   30°=\a{\fracÏ6} & â3/2 & 1/2 \\
   45°=\a{}        & â2/2 & â2/2\\
   60°=\a{}        & 1/2 & \\
   90°=\a{\fracÏ2} & 0 & 1 \\
  120°=\a{}        & & \\
  135°=\a{}        & & \\
  150°=\a{}        & & \\
  180°=\a{Ï}      & -1 & 0 \\
  210°=\a{}       & & \\
  225°=\a{}       & & \\
  240°=\a{}       & & \\
  270°=\a{}       & & \\
  300°=\a{}       & & \\
  315°=\a{}       & & \\
  330°=\a{}       & & \\
  360°=\a{2Ï}    & 1 & 0 \\
 \end{array}
$

\newpage

%                                   ___                                 
%   __ _ _ __ ___ ___  ___ _ __    ( _ )     __ _ _ __ ___ ___ ___  ___ 
%  / _` | '__/ __/ __|/ _ \ '_ \   / _ \/\  / _` | '__/ __/ __/ _ \/ __|
% | (_| | | | (__\__ \  __/ | | | | (_>  < | (_| | | | (_| (_| (_) \__ \
%  \__,_|_|  \___|___/\___|_| |_|  \___/\/  \__,_|_|  \___\___\___/|___/
%                                                                       
% «arcsen-arccos» (to ".arcsen-arccos")
% (gaap162 21 "arcsen-arccos")

{\bf Arcsen e arccos}

\ssk

Sejam $r(x)=âx$ e $q(x)=x^2$. EntÃo $r(q(x))=x$ para alguns valores de
$x$, mas nÃo para todos: $r(q(3))=3$, mas $r(q(-5))=5$... mais
precisamente,

$r(q(x))=x$ para $xâ[0,+â)$ e

$q(r(x))=x$ para $xâ[0,+â)$.

As funÃÃes $\arcsen$ e $\arccos$ sÃo ``inversas parciais'' do $\sen$ e
do $\cos$, como $r$ e $q$ sÃo ``inversas parciais'' uma da outra.

\msk

{\bf ExercÃcios}

\ssk

Sejam $A=\{-1, -â3/2, -â2/2, -1/2, 0, 1/2, â2/2, â3/2, 1 \}$,

$B=\{-90°, -60°, -45°, -30°, 0°, 30°, 45°, 60°, 90°\}$,

$C=\{0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°\}$.

\msk

21a) Complete as tabelas abaixo:
%
$$
 \begin{array}{cc}
     x & θ=\arccos x \\ \hline
    -1 & 180°=Ï \\
 -â3/2 & \\
 -â2/2 & \\
  -1/2 & \\
     0 & 90°=Ï/4\\
   1/2 & \\
  â2/2 & \\
  â3/2 & \\
     1 & 0°=0 \\
 \end{array}
 %
 \qquad
 %
 \begin{array}{cc}
     y & θ=\arcsen y \\ \hline
    -1 & -90°=-Ï/2 \\
 -â3/2 & \\
 -â2/2 & \\
  -1/2 & \\
     0 & 0°=0 \\
   1/2 & \\
  â2/2 & \\
  â3/2 & \\
     1 & 90°=Ï/2 \\
 \end{array}
$$

\ssk

21b) Calcule $\sen(\arccos(x))$ para cada $x$ em $A$.

21c) Calcule $\cos(\arcsen(y))$ para cada $y$ em $A$.

$$
 \begin{array}{cc}
     x & y=\sen(\arccos x) \\ \hline
    -1 & \\
 -â3/2 & \\
 -â2/2 & \\
  -1/2 & \\
     0 & \\
   1/2 & \\
  â2/2 & \\
  â3/2 & \\
     1 & \\
 \end{array}
 %
 \qquad
 %
 \begin{array}{cc}
     y & x=\cos(\arcsen y) \\ \hline
    -1 & \\
 -â3/2 & \\
 -â2/2 & \\
  -1/2 & \\
     0 & \\
   1/2 & \\
  â2/2 & \\
  â3/2 & \\
     1 & \\
 \end{array}
$$

\newpage


%   ____ _                _           
%  / ___(_)_ __ ___ _   _| | ___  ___ 
% | |   | | '__/ __| | | | |/ _ \/ __|
% | |___| | | | (__| |_| | | (_) \__ \
%  \____|_|_|  \___|\__,_|_|\___/|___/
%                                     
% «circulos» (to ".circulos")
% (gaap162 22 "circulos")

{\bf CÃrculos}

\ssk

Um conjunto como
%
$$C = \setofxyst{(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2}$$
%
à um cÃrculo com centro $C_0 = (3,4)$ e raio $R=5$. O modo mais legal
da gente entender isso à aprendendo a encontrar os quatro pontos
``mais Ãbvios'' de $C$, e aà desenhando-os a gente consegue descobrir
o centro (``$C_0$'') de $C$ e o raio (``$R$'') de $C$.

Truque: dos quatro pontos mais Ãbvios de $C$ dois têm $(x-3)^2=0$ e
portanto $(y-4)^2 = 5^2$, e os outros dois têm $(y-4)^2 = 0$ e
portanto $(x-3)^2 = 5^2$.

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}

Temos:
%
$$\def\t{\text}
 \begin{array}{rclclclcl}
 (x-3)^2=0 &â&    x=3 \\
           &\t{e}& (y-4)^2=5^2 &â& y-4=Â5 \\
           &  &                &â& y=4Â5 \\
           &  &                &â& y=9      &\t{e}& (x,y)=(3,9) \\
           &  &                &\t{ou}& y=-1 &\t{e}& (x,y)=(3,-1) \\[5pt]
 (y-4)^2=0 &â&    y=4 \\
           &\t{e}& (x-3)^2=5^2 &â& x-3=Â5 \\
           &  &                &â& x=3Â5 \\
           &  &                &â& x=8      &\t{e}& (x,y)=(8,4) \\
           &  &                &\t{ou}& x=-2 &\t{e}& (x,y)=(-2,4) \\
 \end{array}
$$
%
ou, mais visualmente:
%
$$\und{(\und{\und{x}{3}   - 3}{0} )^2}{0} +
  \und{(\und{\und{y}{4Â5} - 4}{Â5})^2}{5^2}
  = 5^2
  \qquad
  \und{(\und{\und{x}{3Â5} - 3}{Â5})^2}{5^2} +
  \und{(\und{\und{y}{4}   - 4}{0} )^2}{0}
  = 5^2
$$

O caso geral Ã:
%
$$C = \setofxyst{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2}$$
%
$$\und{(\und{\und{x}{x_0}   - x_0}{0} )^2}{0} +
  \und{(\und{\und{y}{y_0ÂR} - y_0}{ÂR})^2}{R^2}
  = R^2
  \qquad
  \und{(\und{\und{x}{x_0ÂR} - x_0}{ÂR})^2}{R^2} +
  \und{(\und{\und{y}{y_0}   - y_0}{0} )^2}{0}
  = R^2
$$
%
$$\{(x_0,y_0+R), (x_0,y_0-R), (x_0+R,y_0), (x_0,y_0+R)\} \subset C$$


\newpage

%   ____ _                _                                          
%  / ___(_)_ __ ___ _   _| | ___  ___ _    _____  _____ _ __ ___ ___ 
% | |   | | '__/ __| | | | |/ _ \/ __(_)  / _ \ \/ / _ \ '__/ __/ __|
% | |___| | | | (__| |_| | | (_) \__ \_  |  __/>  <  __/ | | (__\__ \
%  \____|_|_|  \___|\__,_|_|\___/|___(_)  \___/_/\_\___|_|  \___|___/
%                                                                    
% «circulos-exercs» (to ".circulos-exercs")
% (gaap162 23 "circulos-exercs")

{\bf ExercÃcios}

\def\smile{=)}

\ssk

23a) Seja $C = \setofxyst{(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2}$. Temos $(3+5,4),
(3-5,4), (3,4+5), (3,4-5) â C$. Destes pontos um està acima, outro
abaixo, outro à esquerda, outro à direita do centro $C_0=(3,4)$ de
$C$. Qual à qual?

23b) Seja $C = \setofxyst{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2}$. Temos
$(x_0+R,y_0), (x_0-R,y_0), (x_0,y_0+R), (x_0,y_0-R) â C$. Destes
pontos um està acima, outro abaixo, outro à esquerda, outro à direita
do centro $C_0=(x_0,y_0)$ de $C$. Qual à qual?

23c) Encontre quatro pontos diferentes, $P_1, P_2, P_3, P_4$, tais que
$d(P_1, (4,3))=2$, ..., $d(P_4, (4,3))=2$.

\ssk

23d) Decifre $\smile$ e entenda:

\ssk

$\begin{array}{rcl}
 \setofPst{d(P,(4,3))=2}
 &=& \setofxyst{d((x,y),(4,3))=2} \\
 &=& \setofxyst{||(x,y)-(4,3)||=2} \\
 &=& \setofxyst{||\V(x-4,y-3)||=2} \\
 &=& \setofxyst{â{(x-4)^2+(y-3)^2}=2} \\
 &=& \setofxyst{(x-4)^2+(y-3)^2=2^2} \\
 \end{array}
$

\ssk

23e) Discuta com seus colegas como ``pronunciar em português'' cada um
dos conjuntos do item anterior. Dicas: ``o conjunto dos pontos Ã
distÃncia \_\_\_ de \_\_\_'', ``o conjunto dos pontos $P$ tais que
\_\_\_'', ``o conjunto dos pontos $(x,y)$ que obedecem \_\_\_'',

23f) Use um mÃtodo parecido com os da pÃgina anterior para encontrar
as quatro soluÃÃes mais Ãbvias de $((x+6)/3)^2+(2x+5)^2=1$.

\newpage



%   ____  __                          
%  / ___| \ \   ___ __ _ _ __    _ __ 
% | |      \ \ / __/ _` | '_ \  | '__|
% | |___    \ \ (_| (_| | |_) | | |   
%  \____|    \_\___\__,_| .__/  |_|   
%                       |_|           
%
% «C-inter-r» (to ".C-inter-r")
% (gaap162 24 "C-inter-r")

{\bf InterseÃÃo de cÃrculo e reta}

\ssk

Sejam

$C = \setofxyst{(x-6)^2+(y-5)^2=5^2}$ e

$r = \setofxyst{y=2-x/3}$,

$s = \setofxyst{y=1-x/6}$.

\msk

24a) Represente graficamente $C$ e $r$.

24b) O cÃrculo $C$ tem 12 pontos com coordenadas inteiras -- os 4
pontos Ãbvios e mais oito. Dê as coordenadas destes 8 ``pontos menos
Ãbvios'' de $C$.

24c) Sejam $I$ e $I'$ os dois pontos da interseÃÃo entre $C$ e $r$;
mais formalmente, $Câr = \{I,I'\}$. Encontre no olhÃ∧metro as
coordenadas de $I$ e $I'$.

24d) Teste as suas respostas do item anterior verificando que $I$ e
$I'$ obedecem tanto a equaÃÃo de $r$ quanto a de $C$.

24e) Sejam $M=\frac{I+I'}{2}$ e $r'$ a reta que passa por $C_0$ e $M$.
Verifique que $râr'$.

\bsk



24f) Represente graficamente $C$ e $s$ e tente obter no olhÃ∧metro as
coordenadas de $\{J,J'\}=Câs$. Verifique que um destes pontos ($J$,
digamos) tem coordenadas inteiras e $J'$ nÃo -- Ã praticamente
impossÃvel encontrar as coordenadas exatas de $J'$ no olhÃ∧metro, vamos
precisar de um mÃtodo algÃbrico.

\def\setofxst #1{\setofst{xâ\R}{#1}}

24g) Se $(x,y)âCâs$ entÃo $(x-6)^2+(y-5)^2=5^2$, $y=1-x/6$ e
%
$$(x-6)^2+((\und{1-x/6}{y})-5)^2 = 5^2 \qquad (*).$$
%
Expanda $(*)$ para obter uma equaÃÃo de segundo grau em $x$ e
resolva-a. Chame as duas soluÃÃes de $x_1$ e $x_2$; mais formalmente,
%
$$\{x_1,x_2\} = \setofxst{(x-6)^2+((1-x/6)-5)^2 = 5^2}.$$

24h) Sejam:

$\begin{array}{rcl}
 y_1 &=& 1-x_1/6 \\
 y_2 &=& 1-x_2/6 \\
 J   &=& (x_1, y_1) \\
 J'  &=& (x_2, y_2) \\
 \end{array}
$

Verifique que $J$ e $J'$ obedecem as equaÃÃes de $C$ e de $s$.

%24i) Sejam:
%
%$\begin{array}{rcl}
% s' &\multicolumn{2}{l}{\text{uma reta ortogonal a $s$ que passa por $C_0} \\
% N  &â& sâs' \\
% J   &=& (x_1, y_1) \\
% J'  &=& (x_2, y_2) \\
% \end{array}
%$




\newpage

%  _   _       _ _             _           
% | | | |_ __ (_) |_ __ _ _ __(_) ___  ___ 
% | | | | '_ \| | __/ _` | '__| |/ _ \/ __|
% | |_| | | | | | || (_| | |  | | (_) \__ \
%  \___/|_| |_|_|\__\__,_|_|  |_|\___/|___/
%                                          
% «vetores-unitarios» (to ".vetores-unitarios")
% (gaap162 25 "vetores-unitarios")

{\bf Vetores unitÃrios}

\ssk

Um vetor $\vv$ Ã {\sl unitÃrio} se $||\vv||=1$.

Para cada vetor $\ww$ nÃo-nulo podemos obter um vetor $\uu$ com a
mesma direÃÃo e sentido que $\ww$, mas tal que $\uu$ seja unitÃrio --
por exemplo, se $\ww=\V(4,0)$ entÃo $\uu=\V(1,0)$. O truque à este:
$\uu = \frac{1}{||\ww||}\ww$.

Vamos usar (temporariamente!) a seguinte notaÃÃo para a
``unitarizaÃÃo'' de um vetor:
%
$$\vv' := \frac{1}{||\vv||}\vv$$

\msk

{\bf ExercÃcios}

25a) calcule $\V(3,0)'$, $\V(2,0)'$, $\V(0,2)'$, $\V(0,1)'$,
$\V(0,-2)'$, $\V(3,4)'$, $\V(1,1)'$, $\V(\frac{1}{10},0)'$,
$\V(\frac{1}{100},0)'$, $\V(0,0)'$.

25b) Se $||\vv||=234$ entÃo $||5\vv||=5Â234$, e, como regra geral,
esperarÃamos que $||k\vv||=k||\vv||$ fosse verdade para todo $kâ\R$ e
todo vetor $\vv$... mas isso {\sl nÃo à verdade!} Verifique que
$||(-2)\V(3,0)|| \neq (-2)||\V(3,0)||$.

\msk

25c) A ``demonstraÃÃo'' abaixo està errada -- se ela estiver certa
entÃo, por exemplo, $||(-2)Â\V(3,0)|| = (-2)Â||\V(3,0)||$. Descubra qual
à o passo dela que està errado. Dica: faÃa $k=-2$, $a=3$, $b=0$ e
calcule cada uma das expressÃes entre `$=$'s.
%
$$\begin{array}{rclcl}
  ||kÂ\V(a,b)|| &=& ||\V(ka,kb)|| \\
                &=& â{\V(ka,kb)Â\V(ka,kb)} \\
                &=& â{(ka)^2 + (kb)^2} \\
                &=& â{k^2a^2 + k^2b^2} \\
                &=& â{k^2(a^2 + b^2)} \\
                &=& kâ{a^2 + b^2} \\
                &=& kâ{\V(a,b)Â\V(a,b)} \\
                &=& kÂ||\V(a,b)|| \\
  \end{array}
$$

25d) Demonstre que $||kÂ\V(a,b)|| = |k|Â||\V(a,b)||$ ($âk,a,bâ\R$).

25e) Demonstre que $\vv = ||\vv||\vv'$ (para $\vv$ nÃo-nulo).

25f) Demonstre que $\uuÂ\vv = ||\uu||Â||\vv||Â(\uu'Â\vv')$ (para $\uu$
e $\vv$ nÃo-nulos).

25g) Sejam $\uu$ e $\vv$ dois vetores unitÃrios ortogonais entre si, e
$\ww=a\uu + b\vv$. Demonstre que $\Pr_{\uu} \ww = \Pr_{\uu} (a\uu +
b\vv)= \Pr_{\uu} (a\uu) = a\uu$ e que $||\Pr_{\uu} \ww|| = a$.

\def\ang{\operatorname{ang}}

25h) (Re)leia a pÃginas 54 e 55 do livro do CEDERJ, e dê uma olhada
nas pÃginas seguintes atà a 58. Agora você jà deve ser capaz de
entender tudo ou quase tudo da ``regra do cosseno'',
%
$$\uuÂ\vv = ||\uu|| Â ||\vv|| Â \cos(\ang(\uu,\vv))$$
%
que pra gente à um {\sl teorema} e pra ele à uma {\sl definiÃÃo}.
Vamos ver a demonstraÃÃo completa em sala em breve, mas ela Ã
complicada e quem estiver mais preparado vai entendê-la melhor.

% (find-GA1page (+ -2 54) "Projecao ortogonal")
% (find-GA1page (+ -2 55) "Projecao ortogonal")






% (gaq161  8 "20160427" "||kv|| = |k| ||v||")









\newpage

%  _____ _ _                     
% | ____| (_)_ __  ___  ___  ___ 
% |  _| | | | '_ \/ __|/ _ \/ __|
% | |___| | | |_) \__ \  __/\__ \
% |_____|_|_| .__/|___/\___||___/
%           |_|                  
%
% «elipses» (to ".elipses")
% (gaap162 26 "elipses")

{\bf Elipses}

\ssk

Elipses sÃo ``cÃrculos amassados''.

CÃrculos ``amassados na horizontal'' e ``amassados na vertical'' sÃo
bem mais simples matematicamente que os ``amassados na diagonal'', e
sà vamos estudar {\sl a sÃrio} os ``amassados na diagonal'' depois da
P1, exceto pelo exercÃcio abaixo...
%
$$
  \unitlength=8pt
  \def\pictellipse#1{{\linethickness{1.0pt}\expr{Ellipse.new(#1):pict()}}}
  \def\pictEllipse(#1)(#2)#3{%
    \vcenter{\hbox{%
     \beginpicture(#1)(#2)%
     \pictaxes%
     \pictellipse{#3}
     \end{picture}%
    }}%
   }
  \def\tmat#1{\begin{tabular}{cccccc}#1\end{tabular}}
  %
  \begin{array}{ccc}
   \pictEllipse(-4,-3)(4,3){v(0,0), v(3,0), v(0,2)} &
   \pictEllipse(-3,-4)(3,4){v(0,0), v(1,0), v(0,3)} &
   \pictEllipse(-4,-4)(4,4){v(0,0), v(2,3), v(1,-1)} \\
   \tmat{Horizontal: \\ fÃcil} &
   \tmat{Vertical: \\ fÃcil} &
   \tmat{Diagonal: \\ difÃcil} \\
  \end{array}
$$

Os ``pontos mais Ãbvios'' de uma elipse parametrizada sÃo os que têm
$θ=0°$, $θ=90°$, $θ=180°$, $θ=270°$.

Os ``pontos mais Ãbvios'' de uma elipse com equaÃÃo $u^2+v^2=1$ sÃo os
que têm $(u,v)=(0,1)$, $(u,v)=(-1,0)$, $(u,v)=(1,0)$, $(u,v)=(0,-1)$.

Por exemplo:

$$E = \setofst { \und{(0,0)}{E_0=O_{uv}} +
                 \cos θ \und{\V(3,0)}{\uu} + 
                 \sen θ \und{\V(0,2)}{\vv} }
               { θâ\R }
$$
%
$$E' = \setofxyst { (\und{x/3}{u})^2 + (\und{y/2}{v})^2 = 1 }
$$

As elipses $E$ e $E'$ acima têm os mesmos pontos mais Ãbvios:

%L O, uu, vv = v(0,0), v(3,0), v(0,2)
\pu
$$
 \def\closeddot{\circle*{0.2}}
 \def\closeddot{\circle*{0.25}}
 \def\cellfont{}
 \def\t #1 {θ{=}#1°}
 \def\uv(#1){(u,v){=}(#1)}
 \def\p{\phantom}
 %
  \unitlength=12pt
  \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-5,-4)(5,4)%
   %\pictgrid%
   {\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-1,-1,1,1, .2)}}%
   \pictaxes%
   {\linethickness{1.0pt}
    \expr{pictOOuuvv(O, uu, vv, "O_{uv}", "!uu", "!vv", 0.5, 0.8)}
    \expr{Ellipse.new(v(0,0), v(3,0), v(0,2)):pict()}
   }
   \put( 0,2){\closeddot}
   \put(-3,0){\closeddot}
   \put( 3,0){\closeddot}
   \put(0,-2){\closeddot}
   %\put( 5.5, 0){\cell{\mat{\t 0 \p{aaaaa}   \\ \uv(0,1) }}}
   \put( 5.5, 0){\cell{\mat{\t 0 \p{aaaaa}   \\ \uv(1,0) }}}
   \put(-5.7, 0){\cell{\mat{\p{aaaaa} \t 180 \\ \uv(-1,0) }}}
   \put(0,  3.1){\cell{\mat{\t 90  \\ \uv(0,1) }}}
   \put(0, -3.1){\cell{\mat{\t 270 \\ \uv(0,-1) }}}
   \end{picture}%
  }}%
$$

\newpage

%  _____ _ _                              ____   ____     
% | ____| (_)_ __  ___  ___  ___    ___  / ___| / ___|___ 
% |  _| | | | '_ \/ __|/ _ \/ __|  / _ \ \___ \| |   / __|
% | |___| | | |_) \__ \  __/\__ \ |  __/  ___) | |___\__ \
% |_____|_|_| .__/|___/\___||___/  \___| |____/ \____|___/
%           |_|                                           
%
% «elipses-e-sis-coords» (to ".elipses-e-sis-coords")
% (gaap162 27 "elipses-e-sis-coords")

{\bf Elipses e sistemas de coordenadas}

\ssk

A ``caixa'' de uma elipse com equaÃÃo $u^2+v^2=1$ Ã a figura -- um
paralelogramo -- delimitada pelas retas $u=-1$, $u=1$, $v=1$, $v=-1$.

Os ``nove pontos Ãbvios'' da caixa de uma elipse sÃo os que têm
$uâ\{-1,0,1\}$ e $vâ\{-1,0,1\}$, ou seja, $(-1,1)_{uv}$, $(0,1)_{uv}$,
$(1,1)_{uv}$, $(-1,0)_{uv}$, ... $(1,-1)_{uv}$. Um deles à o
``centro'', quatro sÃo ``vÃrtices'' e quatro sÃo ``pontos mÃdios dos
lados''.

Um bom truque para desenhar uma elipse à comeÃar desenhando sua caixa.
A elipse està toda dentro da caixa, e tangencia a caixa exatamente nos
pontos mÃdios dos lados.

Repare que a elipse que acabamos de desenhar ``vem'' de um sistema de
coordenadas (ou, em terminologia mais formal, a elipse ``Ã induzida''
pelo sistema de coordenadas):
%
$$\begin{array}{l}
  O_{uv}=(0,0) \quad \uu=\V(3,0) \quad \vv=\V(0,2) \\
  \begin{array}{rcl}
    (u,v)_{uv} &=& O_{uv} + u\uu + v\uu \\
               &=& (0,0) + u\V(3,0) + v\V(0,2) \\
               &=& (3u,2v) \\
    (x,y) &=& (3u,2v) \\
    (u,v) &=& (x/3,y/2) \\
  \end{array} \\[5pt]
  E  = \setofst{O_{uv} + \cosθ\,\uu + \senθ\,\vv}{θâ\R} \\
  E' = \setofxyst{u^2+v^2=1} \\  
  \end{array}
$$

\bsk

\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\closeddot{\circle*{0.25}}
\eval{O,uu,vv = v(0,0), v(3,0), v(0,2)}

$$
 \def\cellfont{}
 \def\t #1 {θ{=}#1°}
 \def\uv(#1){(u,v){=}(#1)}
 \def\p{\phantom}
 %
  \unitlength=20pt
  \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-5,-4)(6,4)%
   %\pictgrid%
   {\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-1,-1,1,1, .4)}}%
   \pictaxes%
   {\linethickness{1.0pt}
    \expr{pictOOuuvv(O, uu, vv, "O_{uv}", "!uu", "!vv", 0.5, 0.8)}
    \expr{Ellipse.new(v(0,0), v(3,0), v(0,2)):pict()}
   }
   \put(-3, 2){\closeddot}
   \put( 0, 2){\closeddot}
   \put( 3, 2){\closeddot}
   \put(-3, 0){\closeddot}
   \put( 0, 0){\closeddot}
   \put( 3, 0){\closeddot}
   \put(-3,-2){\closeddot}
   \put( 0,-2){\closeddot}
   \put( 3,-2){\closeddot}
   %
   \put( -3,3){\celln{u=-1}}
   \put(  0,3){\celln{u=0}}
   \put(  3,3){\celln{u=1}}
   \put(4.5, 2){\celle {v=1}}
   \put(4.5, 0){\cellne{v=0}}
   \put(4.5,-2){\celle {v=-1}}
   %
   \put(-3, 0){\lower 2pt\hbox{\cellsw{(-1, 0)_{uv}}}}
   \put(-3,-2){\lower 2pt\hbox{\cellsw{(-1,-1)_{uv}}}}
   \put( 0,-2){\lower 2pt\hbox{\cellsw{( 0,-1)_{uv}}}}
   \put( 3,-2){\lower 2pt\hbox{\cellsw{( 1,-1)_{uv}}}}
   \end{picture}%
  }}%
$$


\newpage

%  _____ _ _                                                    
% | ____| (_)_ __  ___  ___  ___ _    _____  _____ _ __ ___ ___ 
% |  _| | | | '_ \/ __|/ _ \/ __(_)  / _ \ \/ / _ \ '__/ __/ __|
% | |___| | | |_) \__ \  __/\__ \_  |  __/>  <  __/ | | (__\__ \
% |_____|_|_| .__/|___/\___||___(_)  \___/_/\_\___|_|  \___|___/
%           |_|                                                 
%
% «elipses-exercs» (to ".elipses-exercs")
% (gaap162 28 "elipses-exercs")

{\bf ExercÃcios}

\ssk

Sejam $Σ_1$, ..., $Σ_6$ os seguintes sistemas de coordenadas (obs:
$(u,v)_{uv} = O_{uv} + u\uu + v \vv$):

\unitlength=10pt
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}

\def\pictOuv(#1,#2){
  {\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-1,-1,1,1)}}
  \pictaxes
  {\linethickness{1.0pt}
   \expr{pictOOuuvv(O, uu, vv,  "O", "!uu", "!vv", #1, #2)}
  }
}

\bsk

$
  \mat{
  Σ_1)
  \vcenter{\hbox{%
    \eval{O,uu,vv = v(0,0), v(3,0), v(0,2)} 
    \beginpicture(-4,-3)(4,3)%
      \pictOuv(0.6, 0.8)
    \end{picture}%
   }}%
  %
  \\ \\
  %
  Σ_6)
  \vcenter{\hbox{%
    \eval{O,uu,vv = v(1,1), v(2,0), v(1,1)} 
    \beginpicture(-3,-1)(4,3)%
      \pictOuv(0.6, 0.8)
    \end{picture}%
   }}%
  }
  %
  \qquad
  \begin{array}{rlll}
  Σ_2) & O_{uv}=(0,2) & \uu=\V(3,0) & \vv=\V(0,2) \\
  Σ_3) & O_{uv}=(0,2) & \uu=\V(0,2) & \vv=\V(-3,0) \\
  Σ_4) & O_{uv}=(1,2) & \uu=\V(1,0) & \vv=\V(0,2) \\
  Σ_5) & O_{uv}=(0,0) & \uu=\V(1,1) & \vv=\V(-2,2) \\
  \end{array}
$

\bsk

26a) Em cada um dos casos $Σ_1$, ..., $Σ_6$ acima represente
graficamente:

$\bullet$ $O_{uv}$, $\uu$, $\vv$

$\bullet$ as retas $u=0$, $v=0$, $u=1$, $v=1$, $u=-1$, $v=-1$

$\bullet$ os pontos $(0,0)_{uv}$, $(0,1)_{uv}$, $(-1,0)_{uv}$,
$(1,0)_{uv}$, $(0,-1)_{uv}$

$\bullet$ a caixa da elipse

$\bullet$ a elipse induzida pelo sistema de coordenadas

$\bullet$ os pontos $θ=0°$, $θ=90°$, $θ=180°$, $θ=270°$ da elipse $E'
= \setofst{O_{uv} + \cosθ\,\uu + \senθ\,\vv}{θâ\R}$

\msk

26b) Em cada um dos casos $Σ_1$, ..., $Σ_6$ acima encontre as
coordenadas $x, y, u, v$ dos pontos $(0,0)_{uv}$, $(0,1)_{uv}$,
$(-1,0)_{uv}$, $(1,0)_{uv}$, $(0,-1)_{uv}$ (faÃa uma tabela como a da
p.13).

\ssk

26c) Em cada um dos casos $Σ_1$, ..., $Σ_6$ acima encontre as equaÃÃes
%
$$\begin{array}{rcl}
 x &=& \_\_ u + \_\_ v + \_\_ \\
 y &=& \_\_ u + \_\_ v + \_\_ \\
 u &=& \_\_ x + \_\_ y + \_\_ \\
 v &=& \_\_ x + \_\_ y + \_\_ \\
 \end{array}
$$
%
que relacionam as coordenadas $x, y, u, v$ (dica: veja a p.13).

\ssk

26d) Para cada um dos casos $Σ_1$, ..., $Σ_6$ encontre uma expressÃo
da forma
%
$$E' = \setofxyst { (\und{\_\_x+\_\_y+\_\_}{u})^2 + (\und{\_\_x+\_\_y+\_\_}{v})^2= 1 }
$$
%
que descreva a elipse induzida pelo sistema de coordenadas. Dicas: em
$Σ_1$ temos
%
$E' = \setofxyst { (\und{x/2}{u})^2 + (\und{y/3}{v})^2= 1 },
$
%
e os pontos mais Ãbvios de cada $E'$ devem ser os mesmos que os do $E$
correspondente.

\newpage




%      _    __  ____          __  
%   __| |  / / |  _ \   _ __  \ \ 
%  / _` | | |  | |_) | | '__|  | |
% | (_| | | |  |  __/  | |     | |
%  \__,_| | |  |_| ( ) |_|     | |
%          \_\     |/         /_/ 
%
% «distancia-ponto-reta» (to ".distancia-ponto-reta")
% (gaap162 29 "distancia-ponto-reta")

{\bf DistÃncia entre ponto e reta em $\R^2$}

\ssk

Sejam $A$ e $r$ um ponto e uma reta em $\R^2$.

Seja $B$ o ponto de $r$ mais prÃximo de $A$. EntÃo $d(A,r)=d(A,B)$.

\msk

NÃs sabemos calcular $B$ usando projeÃÃo:

se $r=\setofst{P+t\vv}{tâ\R}$ entÃo $B:=P+\Pr_{\vv}\Vec{PA}$, e
%
$$\begin{array}{rcl}
  d(A,r) &=& d(A,B) \\
         &=& d(A, P+\Pr_{\vv}\Vec{PA}) \\
  \end{array}
$$

mas as contas ficam grandes -- vamos ver um mÃtodo mais rÃpido.

\msk

Sejam $A=(A_x,A_y)$ e $r:y=mx+b$ um ponto e uma reta em $\R^2$.

Seja $B=(B_x,B_y)$ o ponto de $r$ mais prÃximo de $A$.

Seja $v=\setofst{(A_x,y)}{yâ\R}$ uma reta vertical passando por $A$.

Seja $h=\setofst{(x,B_y)}{xâ\R}$ uma reta horizontal passando por $B$.

Seja $C=(C_x,C_y)ârâv$. Note que $C_x=A_x$.

Seja $D=(D_x,D_y)âhâv$. Note que $D_x=A_x=C_x$ e $D_y=B_y$.

A figura -- no caso em que $r:y=2x+1$ e $A=(2,7)$ -- Ã:
%L
%L -- (find-LATEX "edrxtikz.lua" "Line")
%L B = v(4,3)
%L A = B + v(-2,4)
%L C = B + v(-2,-1)
%L D = B + v(-2,0)
%L r = Line.new(C, v(2,1), -2.2, 2.2)
%L pute = function (P) return formatt("\\put%s", P) end
%L seg0 = function (P, Q) return Line.new(P, Q-P, 0, 1) end
%L seg  = function (P, Q) return Line.new(P, Q-P, 0, 1):pict() end
\pu
$$
  \unitlength=10pt
  \def\closeddot{\circle*{0.25}}
  \def\closeddot{\circle*{0.3}}
  \def\pute#1{\expr{pute(#1)}}
  \vcenter{\hbox{%
   \beginpicture(-2,-1)(8,8)%
   \pictaxes%
   \pute{A}{\closeddot} \pute{A+v(-.3, 0)}{\cellw {A}}
   \pute{B}{\closeddot} \pute{B+v( .2,-.2)}{\cellse{B}}
   \pute{C}{\closeddot} \pute{C+v( .2,-.2)}{\cellse{C}}
   \pute{D}{\closeddot} \pute{D+v(-.3, 0)}{\cellw {D}}
   \pute{r:t(2.5)}{\cell{r}}
   \expr{r:pict()}
   \expr{seg(A,B)}
   \expr{seg(A,C)}
   \expr{seg(B,D)}
   \end{picture}%
  }}%
$$

O truque -- que vamos demonstrar em breve -- Ã que $C=(A_x, mA_x+b)$ e:
%
$$\begin{array}{rcl}
  d(A,r) &=& d(A,B) \\
         &=& d(A,C)/â{1+m^2} \\
         &=& |C_y-A_y| / â{1+m^2} \\
         &=& |mA_x+b-A_y| / â{1+m^2}. \\ 
  \end{array}
$$

\msk

{\bf ExercÃcio}

\ssk

Em cada um dos casos abaixo represente $r$, $A$, $B$, $C$, $D$
graficamente, des\-cu\-bra as coordenadas de $B$, $C$ e $D$, calcule
$d(A,C)$ e $d(A,B)$ e verifique que $d(A,B) = d(A,C)/â{1+m^2}$.



\newpage

%  ____ /\ _____ 
% |  _ \/\|___ / 
% | |_) |   |_ \ 
% |  _ <   ___) |
% |_| \_\ |____/ 
%                
% «R3-retas-e-planos» (to ".R3-retas-e-planos")
% (gaap162 30 "R3-retas-e-planos")

{\bf Retas e planos em $\R^3$}

\ssk

Obs: adaptado da aula de 4/jul/2016:

\url{http://angg.twu.net/2016.1-GA/2016.1-GA.pdf}

\msk

% {\bf Retas em $\R^3$}

Sejam:

$r_1 = \setofexprt{(2,2,0)+t\V(0,-1,0)}$

$r_2 = \setofexprt{(2,2,1)+t\V(0,-1,0)}$

$r_3 = \setofexprt{(2,2,0)+t\V(0,1,1)}$

$r_4 = \setofexprt{(0,2,1)+t\V(1,0,0)}$

$r_4 = \setofexprt{(1,2,1)+t\V(2,0,0)}$

Quais destas retas se interceptam?

Em que pontos? Em que `$t$'s?

Quais destas retas sÃo paralelas?

Quais destas retas sÃo coincidentes?

A terminologia para retas que nÃo se interceptam e nÃo sÃo

paralelas à estranha -- ``retas {\sl reversas}''.

\msk

As retas acima sÃo {\sl parametrizadas}.

O que à uma {\sl equaÃÃo de reta} em $\R^3$?

$\setofxyst{4x+5y=6}$ Ã uma reta em $\R^2$;

$\setofxyzst{4x+5y+6z=7}$ Ã um {\sl plano} em $\R^3$...

\msk

ExercÃcio: encontre

três pontos nÃo colineares de $\setofxyzst{z=0}$,

três pontos nÃo colineares de $\setofxyzst{z=2}$,

três pontos nÃo colineares de $\setofxyzst{x=1}$,

três pontos nÃo colineares de $\setofxyzst{y=3}$,

três pontos nÃo colineares de $\setofxyzst{\frac x2 + \frac y3 + \frac z4 = 1}$,

e visualize cada um destes planos.

\msk

Alguns dos nossos planos preferidos:

$Ï_{xy} = \setofxyzst{z=0}$ ($x$ e $y$ variam, $z=0$)

$Ï_{xz} = \setofxyzst{y=0}$ ($x$ e $z$ variam, $y=0$)

$Ï_{yz} = \setofxyzst{x=0}$ ($y$ e $z$ variam, $x=0$)

\ssk

NotaÃÃo (temporÃria):

$[\text{equaÃÃo}] = \setofxyzst{\text{equaÃÃo}}$

Obs: $Ï_{xy} = [z=0]$, $Ï_{xz} = [y=0]$, $Ï_{yz} = [x=0]$.

\msk

ExercÃcio: visualize:

$Ï_1 = [x=1]$,     \qquad $Ï_8 = [y=x]$,     
                                      
$Ï_2 = [y=1]$,     \qquad $Ï_9 = [y=2x]$,    
                                      
$Ï_3 = [z=1]$,     \qquad $Ï_{10} = [z=x]$,  
                                      
$Ï_4 = [z=4]$,     \qquad $Ï_{11} = [z=x+1]$,

$Ï_5 = [z=2]$,

Quais deles planos sÃo paralelos?

Quais deles planos se cortam? Onde?



\newpage

%  ____ /\ _____     ________  
% |  _ \/\|___ /    / /___ \ \ 
% | |_) |   |_ \   | |  __) | |
% |  _ <   ___) |  | | / __/| |
% |_| \_\ |____/   | ||_____| |
%                   \_\    /_/ 
%
% «R3-retas-e-planos-2» (to ".R3-retas-e-planos-2")
% (gaap162 31 "R3-retas-e-planos-2")

{\bf Retas e planos em $\R^3$ (2)}

\ssk

DÃ pra parametrizar planos em $\R^3$...

Sejam

$Ï_6 = \setofst{\und{(2,2,0) + a\V(1,0,0) + b\V(0,1,0)}
                    {(a,b)_{Σ_6}}
                }{a,bâ\R}$,

$Ï_7 = \setofst{\und{(3,2,1) + a\V(1,0,0) + b\V(0,1,0)}
                    {(a,b)_{Σ_7}}
                }{a,bâ\R}$.

Calcule e visualize:

$(0,0)_{Σ_6}$, $(1,0)_{Σ_6}$, $(0,1)_{Σ_6}$, $(1,1)_{Σ_6}$,

$(0,0)_{Σ_7}$, $(1,0)_{Σ_7}$, $(0,1)_{Σ_7}$, $(1,1)_{Σ_7}$,

e resolva:

$(a,b)_{Σ_6} = (0,3,0)$,

$(a,b)_{Σ_7} = (2,4,1)$,

$(a,b)_{Σ_7} = (2,4,0)$.

\msk

Nossos três modos preferidos de descrever planos em $\R^3$ (por equaÃÃes) sÃo:

$[z = ax+by+c]$ (``$z$ em funÃÃo de $x$ e $y$''),

$[y = ax+bz+c]$ (``$y$ em funÃÃo de $x$ e $z$''),

$[x = ay+bz+c]$ (``$x$ em funÃÃo de $y$ e $z$'').



% (find-LATEX "2016-2-GA-algebra.tex" "Fxy")
\msk

Na p.10 nÃs vimos este tipo de diagrama aqui, que nos ajuda a visualizar

as curvas de nÃvel de funÃÃes de $x$ e $y$:

$\sm{F(x,y)\\=\,x+2y} â
 \pictureFxy(-1,-2)(5,2){x+2*y}
$

Use diagramas deste tipo para visualizar

$[z=x+y]$, 

$[z=x+y+2]$, 

$[z=x-y+4]$.

\msk

Sejam:

$Ï_{12} = [z = x+y]$,

$Ï_{13} = [z = x-y+4]$ 

ExercÃcio: encontre pontos de $r=Ï_{12}âÏ_{13}$ tais que

a) $x=0$, b) $x=1$, c) $x=3$; depois

d) encontre uma parametrizaÃÃo para $r$,

e) encontre uma parametrizaÃÃo para $r$ na qual $t=x$.

\msk

Alguns dos nossos modos preferidos de descrever retas em $\R^3$:

$[y=ax+b, z=cx+d]$ (``$y$ e $z$ em funÃÃo de $x$''),

$[x=ay+b, z=cy+d]$ (``$x$ e $z$ em funÃÃo de $y$''),

$[x=az+b, y=cz+d]$ (``$x$ e $y$ em funÃÃo de $z$'').

Encontre uma descriÃÃo da forma $[y=ax+b, z=cx+d]$ para a $r$ acima.

(Dica: use o ``chutar e testar''!)



\newpage


%  ____       _       
% |  _ \  ___| |_ ___ 
% | | | |/ _ \ __/ __|
% | |_| |  __/ |_\__ \
% |____/ \___|\__|___/
%                     
% «determinantes-em-R3» (to ".determinantes-em-R3")
% (gaap162 32 "determinantes-em-R3")

{\bf Determinantes em $\R^3$}

\ssk

Lembre que o determinante em $\R^2$ mede {\sl Ãreas} (de paralelogramos),

e Ãs vezes ele responde números negativos:
%
$$\vsm{a&b\\c&d\\}
  = ac-bd \qquad
  \vsm{c&d\\a&b\\} = bd-ac = -\vsm{a&b\\c&d\\}
$$

Vamos usar a seguinte notaÃÃo (temporÃria):

$[\uu,\vv]
  = [\V(u_1, u_2), \V(v_1, v_2)]
  = \vsm{u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \\}
  \qquad \text{(em $\R^2$)}
$

$[\uu,\vv,\ww]
  = [\V(u_1, u_2, u_3), \V(v_1, v_2, v_3), \V(w_1, w_2, w_3)]
  = \vsm{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\}
  \qquad \text{(em $\R^3$)}
$

``$[\uu,\vv]$'' e ``$[\uu,\vv,\ww]$'' querem dizer

``empilhe os vetores numa matriz quadrada e tire o determinante dela''.

\msk

A definiÃÃo de determinante em $\R^3$ -- como conta -- Ã:

$$\begin{array}{rcl}
  \vmat{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\}
  &=& \pmat{u_1v_2w_3 + u_2v_3w_4 + u_3v_4w_5 \\
         -u_3v_2w_1 - u_4v_3w_2 - u_5v_4w_3 \\
        } \\
  &=& \pmat{u_1v_2w_3 + u_2v_3w_1 + u_3v_1w_2 \\
         -u_3v_2w_1 - u_1v_3w_2 - u_2v_1w_3 \\
        }
  \end{array}
$$

\def\ii{\vec{\mathbf{i}}}
\def\jj{\vec{\mathbf{j}}}
\def\kk{\vec{\mathbf{k}}}

As seguintes definiÃÃes sÃo padrÃo:

$$\ii=\V(1,0,0) \qquad \jj=\V(0,1,0) \qquad \kk=\V(0,0,1)$$

ExercÃcio: calcule

a) $[\ii,\jj,\kk]$

b) $[\ii,\kk,\jj]$

c) $[\jj,\ii,\kk]$

d) $[\jj,\kk,\ii]$

e) $[\kk,\ii,\jj]$

f) $[\kk,\jj,\ii]$

g) $[\ii,\jj,\ii]$

g) $[2\ii,3\jj,4\kk]$

h) $[a\ii,b\jj,c\kk]$

i) $[a\ii+b\jj+c\kk,d\jj+e\kk,f\kk]$

j) $[a\ii, b\ii+c\jj, d\ii+e\jj+f\kk]$

% (find-angg ".emacs" "gaq161")
% (gaq161 58 "20160704" "Visualizar R^3")



\newpage

%  ____       _                          ____ /\ _____    ________  
% |  _ \  ___| |_ ___    ___ _ __ ___   |  _ \/\|___ /   / /___ \ \ 
% | | | |/ _ \ __/ __|  / _ \ '_ ` _ \  | |_) |   |_ \  | |  __) | |
% | |_| |  __/ |_\__ \ |  __/ | | | | | |  _ <   ___) | | | / __/| |
% |____/ \___|\__|___/  \___|_| |_| |_| |_| \_\ |____/  | ||_____| |
%                                                        \_\    /_/ 
% «determinantes-em-R3-2» (to ".determinantes-em-R3-2")
% (gaap162 33 "determinantes-em-R3-2")

{\bf Determinantes em $\R^3$ (2)}

\ssk

Lembre que o determinante em $\R^2$ mede Ãreas, que sÃo ``base vezes altura'',

e que a gente pode deslizar um lado ($\vv$) do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$

``numa direÃo paralela a $\uu$'', sem alterar nem a ``base'' nem a ``altura''...

Algebricamente: $[\uu,\vv] = [\uu,\vv+a\uu]$.

E deslizando o $\uu$, temos $[\uu,\vv] = [\uu+a\vv,\vv]$.

\msk

Em $\R^3$ podemos pensar que o determinante $[\uu,\vv,\ww]$ mede

a Ãrea da base --- a Ãrea do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ ---

vezes a altura.

Se $\uu$, $\vv$ e $\ww$ sÃo ortogonais entre si entÃo

a ``Ãrea da base'' Ã $||\uu||Â||\vv||$, e a ``altura'' Ã $||\ww||$.

\ssk

(Obs: em $\R^3$, $\V(a,b,c)Â\V(d,e,f) = ad+be+cf$, $||\vv|| = \sqrt{\uuÂ\vv}$,

$\uuâ\vv = (\uuÂ\vv=0)$, $\Pr_{\uu}\vv = \frac{\uuÂ\vv}{\uuÂ\uu}\uu$.)

\msk

Propriedades mais importantes dos determinantes em $\R^3$:

$[a\uu,b\vv,c\ww] = abc[\uu,\vv,\ww]$

$[\uu,\vv,\ww] = [\uu,\vv,\ww+a\uu+b\vv]$

$[\uu,\vv,\ww] = [\uu,\vv+a\uu+b\ww,\ww]$

$[\uu,\vv,\ww] = [\uu+a\vv+b\ww,\vv,\ww]$

\msk

Quase todas as idÃias sobre determinantes em $\R^3$ que a gente vai
ver agora ficam mais fÃceis de entender se a gente as entende em três
etapas: 1) com $\uu$, $\vv$, $\ww$ ortogonais entre si, e todos com
comprimento 1; 2) usando vetores $\uu'=a\uu$, $\vv'=b\vv$, $\ww'=c\ww$
construÃdos a partir dos anteriores; estes $\uu'$, $\vv'$ e $\ww'$ sÃo
ortogonais entre si, mas podem ter qualquer comprimento, 3) usando
vetores $\uu''=\uu'$, $\vv''=\vv'+d\uu'$ e $\ww'=\ww'+e\uu'+f\vv'$.

\msk

{\bf ExercÃcio importantÃssimo} (encontrar coeficientes):

a) Encontre $a,b,c$ tais que $\V(a,b,c)Â\V(x,y,z) = 2x+3y+4z$

b) Encontre $a,b,c,d$ tais que $\V(a,b,c)Â\V(x,y,z)+d = 2x+3y+4z+5$

c) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{1&2&3 \\ 4&5&6 \\ x&y&z \\} = \V(a,b,c)Â\V(x,y,z)$

d) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ x&y&z \\} = \V(a,b,c)Â\V(x,y,z)$

e) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \\}
   = \V(a,b,c)Â\V(w_1,w_2,w_3)$

% (find-fline "/tmp/33.jpg")



\newpage

%                                                   _ 
%   ___ _ __ ___  ___ ___       _ __  _ __ ___   __| |
%  / __| '__/ _ \/ __/ __|_____| '_ \| '__/ _ \ / _` |
% | (__| | | (_) \__ \__ \_____| |_) | | | (_) | (_| |
%  \___|_|  \___/|___/___/     | .__/|_|  \___/ \__,_|
%                              |_|                    
%
% «cross-prod» (to ".cross-prod")
% (gaap162 34 "cross-prod")

{\bf O produto cruzado ($Ã$) em $\R^3$}

\ssk

\def\area{\textsf{Ãrea}}

O ``produto cruzado'' (ou ``produto vetorial'') $\uuÃ\vv$ Ã definido como

se ele fosse ``uma parte da conta do determinante'': $(\uuÃ\vv)Â\ww = [\uu,\vv,\ww]$.

ExercÃcio: verifique que no item (e) acima temos

$\uuÃ\vv = \V(\uu_2\vv_3-\uu_3\vv_2, \uu_3\vv_1-\uu_1\vv_3, \uu_1\vv_2-\uu_2\vv_1)$.

\msk

{\sl IdÃia importantÃssima:}

1) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ Ã ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, entÃo o volume $[\uu,\vv,\ww]$ Ã exatamente a Ãrea do
paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ (exceto talvez pelo sinal);

2) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ Ã ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, entÃo o volume $[\uu,\vv,\ww+a\uu+b\vv]$ Ã exatamente a
Ãrea do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ (exceto talvez pelo
sinal);

3) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ Ã ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, entÃo o volume $[\uu,\vv,a\uu+b\vv+c\ww]$ Ã
$cÂ\area(\uu,\vv)$ (exceto talvez pelo sinal);

4) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ Ã ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, entÃo $(\uuÃ\vv)Â(a\uu+b\vv+c\ww)$ Ã $cÂ\area(\uu,\vv)$
(exceto talvez pelo sinal);

5) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ Ã ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, entÃo $\uuÃ\vv = \area(\uu,\vv)Â\ww$ (exceto talvez
pelo sinal).

\msk

{\bf ExercÃcio:}

Use o (5) acima para tentar descobrir quais sÃo as duas respostas
possÃveis para $\uuÃ\vv$ nos casos a e b abaixo, e depois compare as
suas respostas com resposta ``algÃbrica'' dada pela fÃrmula là no alto
da pÃgina.

a) $\uu=\V(3,0,0)$, $\vv=\V(0,4,0)$, $\ww=\V(0,0,1)$

b) $\uu=\V(0,3,0)$, $\vv=\V(0,3,3)$, $\ww=\V(1,0,0)$



\newpage

% (find-fline "/tmp/34.jpg")


%   ___                    
%  / _ \ _ __  ___   __  __
% | | | | '_ \/ __|  \ \/ /
% | |_| | |_) \__ \   >  < 
%  \___/| .__/|___/  /_/\_\
%       |_|                
%
% «alguns-usos-do-x» (to ".alguns-usos-do-x")
% (gaap162 35 "alguns-usos-do-x")
% (gaq 31)

{\bf Alguns usos do `$Ã$'}

\ssk

1) $||\uuÃ\vv|| = \area(\uu,\vv)$

2) $\uuÃ\vv$ sempre dà um vetor ortogonal a $\uu$ e $\vv$

3) $\uuÃ\vv=\V(0,0,0)$ se e sà se $\area(\uu,\vv)=0$, ou seja, se
$\uu$ e $\vv$ sÃo colineares

(i.e., paralelos).

4) Digamos que

$r  = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,

$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,

$B = A+\ww$.

EntÃo $r$ e $r'$ sÃo reversas se e sà se $[\uu,\vv,\ww] \neq 0$.

(Se $[\uu,\vv,\ww]=0$ entÃo $r$ e $r'$ sÃo ou paralelas, ou coincidentes, ou se cortam).

5) Pra testar se quatro pontos $A,B,C,Dâ\R^3$ sÃo coplanares,

encontre $\uu,\vv,\ww$ tais que $A+\uu=B$, $A+\vv=C$, $A+\ww=D$;

temos $[\uu,\vv,\ww]=0$ se e sà se $A,B,C,D$ forem coplanares.

6) (DifÃcil!) Sejam

$r  = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,

$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,

$B = A+\ww$.

\def\ut#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}

EntÃo: $d(r,r') = \ut{\ut{[\uu,\vv,\ww]}{volume} / \ut{\area(\uu,\vv)}{Ãrea da base}}{altura}$.

7) (DifÃcil!) Sejam

$r  = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,

$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,

$B = A+\ww$.

Como a gente encontra uma reta $s$ que corte $r$ e $r'$ e seja ortogonal a ambas?

Sejam $C_t = A+t \uu$ e $D_{t'} = B+t' \vv$.

Queremos que $\Vec{C_tD_{t'}}$ seja ortogonal a $\uu$ e $\vv$,

ou seja, que $\Vec{C_tD_{t'}}$ seja paralelo a $\uuÃ\vv$,

ou seja, que $\Vec{C_tD_{t'}}Ã(\uuÃ\vv)=\V(0,0,0)$,

ou seja, que $(D_{t'}-C_t)Ã(\uuÃ\vv)=\V(0,0,0)$,

ou seja, que $((B+t'\vv)-(A+t \uu))Ã(\uuÃ\vv)=\V(0,0,0)$,

ou seja, que $(t'\vv - t\uu + \Vec{AB})Ã(\uuÃ\vv)=\V(0,0,0)$,

o que dà um sistema que nos permite encontrar $t$ e $t'$ com poucas contas...

Sabendo $t$ e $t'$ sabemos $C_t$ e $D_{t'}$, e a reta $s$ passa por $C_t$ e $D_{t'}$.

\bsk

{\sl Agora você deve ser capaz de resolver os exercÃcios 1 a 20 da lista 9 da}

{\sl Ana Isabel! Yaaaaay!} $=)$ $=)$ $=)$



\end{document}















% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-anchor-format:     "«%s»"
% End: