|
Warning: this is an htmlized version!
The original is here, and the conversion rules are here. |
% (find-angg "LATEX/2016-2-GA-algebra.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2016-2-GA-algebra.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2016-2-GA-algebra.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2016-2-GA-algebra"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf
% file:///tmp/2016-2-GA-algebra.pdf
% file:///tmp/pen/2016-2-GA-algebra.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2016-2-GA-algebra.pdf
% Índice improvisado, com links pras páginas:
% (find-LATEXsh "grep gaap162 2016-2-GA-algebra.tex")
% «.repl» (to "repl")
% «.picturedots» (to "picturedots")
% «.pictOuv» (to "pictOuv")
% «.pictABCDE» (to "pictABCDE")
% «.cells» (to "cells")
% «.tikz-defs» (to "tikz-defs")
%
% «.matrizes» (to "matrizes")
% «.comprehension» (to "comprehension")
% «.comprehension-ex123» (to "comprehension-ex123")
% «.comprehension-prod» (to "comprehension-prod")
% «.comprehension-gab» (to "comprehension-gab")
% «.comprehension-tables» (to "comprehension-tables")
% «.pontos-e-vetores» (to "pontos-e-vetores")
% «.propriedades» (to "propriedades")
% «.retas» (to "retas")
% «.Fxy» (to "Fxy")
% «.pictureFxy» (to "pictureFxy")
% «.coordenadas» (to "coordenadas")
% «.sistemas» (to "sistemas")
% «.sistemas-2» (to "sistemas-2")
% «.parametrizadas» (to "parametrizadas")
% «.sistemas-3» (to "sistemas-3")
% «.sistemas-3-exercs» (to "sistemas-3-exercs")
% «.projecoes» (to "projecoes")
% «.notacao-:» (to "notacao-:")
% «.construcoes» (to "construcoes")
% «.angulos» (to "angulos")
% «.arcsen-arccos» (to "arcsen-arccos")
% «.circulos» (to "circulos")
% «.circulos-exercs» (to "circulos-exercs")
% «.C-inter-r» (to "C-inter-r")
% «.vetores-unitarios» (to "vetores-unitarios")
% «.elipses» (to "elipses")
% «.elipses-e-sis-coords» (to "elipses-e-sis-coords")
% «.elipses-exercs» (to "elipses-exercs")
% «.distancia-ponto-reta» (to "distancia-ponto-reta")
% «.R3-retas-e-planos» (to "R3-retas-e-planos")
% «.R3-retas-e-planos-2» (to "R3-retas-e-planos-2")
% «.determinantes-em-R3» (to "determinantes-em-R3")
% «.determinantes-em-R3-2» (to "determinantes-em-R3-2")
% «.cross-prod» (to "cross-prod")
% «.alguns-usos-do-x» (to "alguns-usos-do-x")
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color} % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
\usepackage{tikz}
\usepackage{boxedminipage}
%
\catcode`\^^J=10 % (find-es "luatex" "spurious-omega")
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
\def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
\def\eval#1{\directlua{#1}}
\def\pu{\directlua{pu()}}
%
\usepackage{edrx15} % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
%
% \directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end
\pu
% «repl» (to ".repl")
\def\repl{\eval{ % (find-es "lua5" "lua-repl-2016")
loadluarepl("lua-repl/")
if os.getenv("REPL")=="1" then sync:run() end
}}
\repl
% (find-es "lua5" "lua-repl-2016" "2016-2-GA-algebra")
\edrxcolors % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "picture-cells")
% «picturedots» (to ".picturedots")
% (find-LATEX "edrxpict.lua" "pictdots")
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")
% (to "comprehension-gab")
%
\def\beginpicture(#1,#2)(#3,#4){\expr{beginpicture(v(#1,#2),v(#3,#4))}}
\def\pictaxes{\expr{pictaxes()}}
\def\pictdots#1{\expr{pictdots("#1")}}
\def\picturedots(#1,#2)(#3,#4)#5{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(#1,#2)(#3,#4)%
\pictaxes%
\pictdots{#5}%
\end{picture}%
}}%
}
\unitlength=5pt
%L p = function (a, b) return O + a*uu + b*vv end
%L -- «pictOuv» (to ".pictOuv")
%L pictOOuuvv = function (OO, xx, yy, OOtext, xxtext, yytext, vtextdist, Otextdist)
%L local bprint, out = makebprint()
%L local xxpos = OO + xx/2 + xx:rotright():unit(vtextdist)
%L local yypos = OO + yy/2 + yy:rotleft() :unit(vtextdist)
%L local OOpos = OO + (-xx-yy):unit(Otextdist or vtextdist)
%L local f = function (str) return (str:gsub("!", "\\")) end
%L bprint("\\Vector%s%s", OO, OO+xx)
%L bprint("\\Vector%s%s", OO, OO+yy)
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", OOpos, f(OOtext))
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", xxpos, f(xxtext))
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", yypos, f(yytext))
%L return out()
%L end
%L -- sysco = pictOOuuvv
\def\pictOuv(#1,#2){
{\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(0,0,4,4)}}
\pictaxes
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictOOuuvv(O, uu, vv, "O", "!uu", "!vv", #1, #2)}
}
}
%L -- «pictABCDE» (to ".pictABCDE")
%L tt = v(1, 0)
%L pictABCDE = function (aang, bang, cang, dang, eang)
%L local bprint, out = makebprint()
%L local AA, BB, CC, DD, EE = p(1,1), p(1,3), p(3,3), p(1,2), p(2,2)
%L local f = function (str) return (str:gsub("!", "\\")) end
%L bprint("\\Line%s%s", AA, BB)
%L bprint("\\Line%s%s", BB, CC)
%L bprint("\\Line%s%s", DD, EE)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", AA)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", BB)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", CC)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", DD)
%L bprint("\\put%s{\\closeddot}", EE)
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", AA + tt:rot(aang), "A")
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", BB + tt:rot(bang), "B")
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", CC + tt:rot(cang), "C")
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", DD + tt:rot(dang), "D")
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", EE + tt:rot(eang), "E")
%L return out()
%L end
\def\pictABCDE(#1,#2,#3,#4,#5){
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictABCDE(#1,#2,#3,#4,#5)}
}
}
\pu
% «cells» (to ".cells")
% (find-es "tex" "fbox")
\def\cellhr#1{\hbox to 0pt {\cellfont${#1}$\hss}}
\def\cellhc#1{\hbox to 0pt{\hss\cellfont${#1}$\hss}}
\def\cellhl#1{\hbox to 0pt{\hss\cellfont${#1}$}}
\def\cellva#1{\setbox0#1\raise \dp0 \box0}
\def\cellvm#1{\setbox0#1\lower \celllower \box0}
\def\cellvb#1{\setbox0#1\lower \ht0 \box0}
\def\cellnw #1{\cellva{\cellhl{#1}}}
\def\celln #1{\cellva{\cellhc{#1}}}
\def\cellne#1{\cellva{\cellhr{#1}}}
\def\cellw #1{\cellvm{\cellhl{#1}}}
\def\celle #1{\cellvm{\cellhr{#1}}}
\def\cellsw #1{\cellvb{\cellhl{#1}}}
\def\cells #1{\cellvb{\cellhc{#1}}}
\def\cellse#1{\cellvb{\cellhr{#1}}}
\newdimen\cellsep
\cellsep=4pt
\def\addcellsep{%
\setbox0=\hbox{\kern\cellsep\box0\kern\cellsep}%
\ht0=\ht0 plus \cellsep%
\dp0=\dp0 plus \cellsep%
\box0%
}
\def\cellsp#1{%
\setbox0=\hbox{#1}%
\addcellsep%
\box0%
}
% «tikz-defs» (to ".tikz-defs")
%
% \mygrid and \myaxes
% (find-es "tikz" "mygrid")
\tikzset{mycurve/.style=very thick}
\tikzset{axis/.style=semithick}
\tikzset{tick/.style=semithick}
\tikzset{grid/.style=gray!20,very thin}
\tikzset{anydot/.style={circle,inner sep=0pt,minimum size=1.2mm}}
\tikzset{opdot/.style={anydot, draw=black,fill=white}}
\tikzset{cldot/.style={anydot, draw=black,fill=black}}
%
\def\mygrid(#1,#2) (#3,#4){
\clip (#1-0.4, #2-0.4) rectangle (#3+0.4, #4+0.4);
\draw[step=1,grid] (#1-0.2, #2-0.2) grid (#3+0.2, #4+0.2);
\draw[axis] (-10,0) -- (10,0);
\draw[axis] (0,-10) -- (0,10);
\foreach \x in {-10,...,10} \draw[tick] (\x,-0.2) -- (\x,0.2);
\foreach \y in {-10,...,10} \draw[tick] (-0.2,\y) -- (0.2,\y);
}
\def\myaxes(#1,#2) (#3,#4){
\clip (#1-0.4, #2-0.4) rectangle (#3+0.4, #4+0.4);
%\draw[step=1,grid] (#1-0.2, #2-0.2) grid (#3+0.2, #4+0.2);
\draw[axis] (-20,0) -- (20,0);
\draw[axis] (0,-20) -- (0,20);
\foreach \x in {-20,...,20} \draw[tick] (\x,-0.2) -- (\x,0.2);
\foreach \y in {-20,...,20} \draw[tick] (-0.2,\y) -- (0.2,\y);
}
% Grid color
\tikzset{grid/.style=gray!50,very thin}
\def\tikzp#1{\mat{\begin{tikzpicture}#1\end{tikzpicture}}}
\def\mydraw #1;{\draw [mycurve] \expr{#1};}
\def\mydot #1;{\node [cldot] at \expr{#1} [] {};}
\def\myldot #1 #2 #3;{\node [cldot] at \expr{#1} [label=#2:${#3}$] {};}
\def\myseg #1 #2;{\draw [mycurve] \expr{#1} -- \expr{#2};}
\def\mylabel #1 #2 #3;{\node [] at \expr{#1} [label=#2:${#3}$] {};}
\def\myseggrid #1 #2;{\draw [grid] \expr{#1} -- \expr{#2};}
% \myvgrid, for things like this:
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-1-GA-material.pdf" 6)
\def\myvgrid{
\myseggrid p(0,0) p(0,4);
\myseggrid p(1,0) p(1,4);
\myseggrid p(2,0) p(2,4);
\myseggrid p(3,0) p(3,4);
\myseggrid p(4,0) p(4,4);
\myseggrid p(0,0) p(4,0);
\myseggrid p(0,1) p(4,1);
\myseggrid p(0,2) p(4,2);
\myseggrid p(0,3) p(4,3);
\myseggrid p(0,4) p(4,4);
\draw [->] \expr{p(0,0)} -- \expr{p(0,1)};
\draw [->] \expr{p(0,0)} -- \expr{p(1,0)};
}
\def\erro{\operatorname{erro}}
\def\setofpt #1 #2 #3 #4 {\setofet{(#1,#2)+t\VEC{#3,#4}}}
\def\setofpu #1 #2 #3 #4 {\setofeu{(#1,#2)+u\VEC{#3,#4}}}
% (find-LATEXfile "2016-1-GA-material.tex" "setofet")
\def\setofet #1{\setofst{#1}{t∈\R}}
\def\setofeu #1{\setofst{#1}{u∈\R}}
\def\setofpt #1 #2 #3 #4 {\setofet{(#1,#2)+t\VEC{#3,#4}}}
\def\setofpu #1 #2 #3 #4 {\setofeu{(#1,#2)+u\VEC{#3,#4}}}
% __ __ _ _
% | \/ | __ _| |_ _ __(_)_______ ___
% | |\/| |/ _` | __| '__| |_ / _ \/ __|
% | | | | (_| | |_| | | |/ / __/\__ \
% |_| |_|\__,_|\__|_| |_/___\___||___/
%
% «matrizes» (to ".matrizes")
% (gaap162 1 "matrizes")
Multiplicação de matrizes:
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
$\und{\pmat{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}}{3×3}
\und{\pmat{1000 \\ 100 \\ 10}}{3×1}
= \und{\pmat{1230 \\ 4560 \\ 7890}}{3×1}
$
$\und{\pmat{a & b \\ c & d \\ e & f}}{3×2}
\und{\pmat{g & h & i & j \\ k & l & m & n}}{2×4}
= \und{\pmat{ag+bk & ah+bl & ai+bm & aj+bn \\
cg+dk & ch+dl & ci+dm & cj+dn \\
eg+fk & eh+fl & ei+fm & ej+fn \\}}{3×4}
$
$\und{\pmat{g & h & i & j \\ k & l & m & n}}{2×4}
\und{\pmat{a & b \\ c & d \\ e & f}}{3×2}
= \; \text{erro \qquad (porque $4≠3$)}
$
$\pmat{1 & 2 \\ 3 & 4} \pmat{100 & 0 \\ 10 & 0} = \pmat{120 & 0 \\ 340 & 0}$
\ssk
$\pmat{100 & 0 \\ 10 & 0} \pmat{1 & 2 \\ 3 & 4} = \pmat{100 & 200 \\ 10 & 20}$
\ssk
$\pmat{2 \\ 3 \\ 4}^T \pmat{100 \\ 10 \\ 1} = \pmat{2 & 3 & 4} \pmat{100 \\ 10 \\ 1} = (234) = 234$
\bsk
Soma de matrizes:
$\pmat{10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60} + \pmat{2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7} = \pmat{12 & 23 & 34 \\ 45 & 56 & 67}$
$\pmat{10 & 20 & 30 \\ 40 & 50 & 60} + \pmat{2 & 3 \\ 5 & 6 } = \; \text{erro}$
\bsk
Multiplicação de número por matriz:
$10 \pmat{2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7} = \pmat{20 & 30 & 40 \\ 50 & 60 & 70}$
\bsk
\def\V{\mathbf{V}}
\def\F{\mathbf{F}}
Operações lógicas:
\ssk
$\begin{array}[t]{rcl}
\text{``E'':} \\
\F\&\F &=& \F \\
\F\&\V &=& \F \\
\V\&\F &=& \F \\
\V\&\V &=& \V \\
\end{array}
%
\quad
%
\begin{array}[t]{rcl}
\text{``Ou'':} \\
\F∨\F &=& \F \\
\F∨\V &=& \V \\
\V∨\F &=& \V \\
\V∨\V &=& \V \\
\end{array}
%
\quad
%
\begin{array}[t]{rcl}
\text{``Implica'':}\hss \\
\F→\F &=& \V \\
\F→\V &=& \V \\
\V→\F &=& \F \\
\V→\V &=& \V \\
\end{array}
%
\quad
%
\begin{array}[t]{rcl}
\text{``Não'':} \\
¬\F &=& \V \\
¬\V &=& \F \\
\end{array}
$
\bsk
Se $x=6$,
$\und{\und{2<\und{x}{6}}{\V} \&
\und{\und{x}{6}<5}{\F}
}{\F}
$
\newpage
% ____ _ _
% / ___|___ _ __ ___ _ __ _ __ ___| |__ ___ _ __ ___(_) ___ _ __
% | | / _ \| '_ ` _ \| '_ \| '__/ _ \ '_ \ / _ \ '_ \/ __| |/ _ \| '_ \
% | |__| (_) | | | | | | |_) | | | __/ | | | __/ | | \__ \ | (_) | | | |
% \____\___/|_| |_| |_| .__/|_| \___|_| |_|\___|_| |_|___/_|\___/|_| |_|
% |_|
%
% «comprehension» (to ".comprehension")
% (gaap162 2 "comprehension")
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}
\def\ug#1{\und{#1}{ger}}
\def\uf#1{\und{#1}{filt}}
\def\ue#1{\und{#1}{expr}}
``Set comprehensions''
\msk
Notação explícita, com geradores, filtros
e ``;'' separando os geradores e filtros da expressão:
$\begin{array}{lll}
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}; \ue{10a}\} &=& \{10,20,30,40\} \\
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}; \ue{a}\} &=& \{1,2,3,4\} \\
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}, \uf{a≥3}; \ue{a}\} &=& \{3,4\} \\
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}, \uf{a≥3}; \ue{10a}\} &=& \{30,40\} \\
\{\ug{a∈\{10,20\}}, \ug{b∈\{3,4\}}; \ue{a+b}\} &=& \{13,14,23,24\} \\
\{\ug{a∈\{1,2\}}, \ug{b∈\{3,4\}}; \ue{(a,b)}\} &=& \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} \\
\end{array}
$
% (setq last-kbd-macro (kbd "C-w \\ uf{ C-y }"))
% (setq last-kbd-macro (kbd "C-w \\ ue{ C-y }"))
\msk
\msk
Notações convencionais com ``$|$'':
$\begin{array}{lll}
\setofst{10a}{a∈\{1,2,3,4\}} &=&
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}; \ue{10a}\} \\
\setofst{a}{a∈\{1,2,3,4\}} &=&
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}; \ue{a}\} \\
\setofst{a∈\{1,2,3,4\}}{a≥3} &=& \\
\setofst{a}{a∈\{1,2,3,4\}, a≥3} &=&
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}, \uf{a≥3}; \ue{a}\} \\
\setofst{10a}{a∈\{1,2,3,4\}, a≥3} &=&
\{\ug{a∈\{1,2,3,4\}}, \uf{a≥3}; \ue{10a}\} \\
\{\ug{a∈\{10,20\}}, \ug{b∈\{3,4\}}; \ue{a+b}\} \\
\{\ug{a∈\{1,2\}}, \ug{b∈\{3,4\}}; \ue{(a,b)}\} \\
\end{array}
$
\msk
\msk
Truque:
$\setofst{\text{gerador}}{\text{filtros}} =
\{\text{gerador},\text{filtros};\ue{\text{variável do gerador}}\}$
$\setofst{\text{expr}}{\text{geradores e filtros}} =
\{\text{geradores e filtros}; \text{expr}\}
$
\newpage
% _____ _ _
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ ___
% | _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \/ __|
% | |___ > < __/ | | (__| | (__| | (_) \__ \
% |_____/_/\_\___|_| \___|_|\___|_|\___/|___/
%
% «comprehension-ex123» (to ".comprehension-ex123")
% (gaap162 3 "comprehension-ex123")
{\bf Exercícios}
\ssk
1) Represente graficamente:
$\begin{array}{rcl}
A & := & \{(1,4), (2,4), (1,3)\} \\
B & := & \{(1,3), (1,4), (2,4)\} \\
C & := & \{(1,3), (1,4), (2,4), (2,4)\} \\
D & := & \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\} \\
E & := & \{(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)\} \\
\end{array}
$
\msk
2) Calcule e represente graficamente:
$\begin{array}{rcl}
A & := & \{x∈\{1,2\}; (x,3-x)\} \\
B & := & \{x∈\{1,2,3\}; (x,3-x)\} \\
C & := & \{x∈\{0,1,2,3\}; (x,3-x)\} \\
D & := & \{x∈\{0,0.5,1, \ldots, 3\}; (x,3-x)\} \\
E & := & \{x∈\{1,2,3\}, y∈\{3,4\}; (x,y)\} \\
F & := & \{x∈\{3,4\}, y∈\{1,2,3\}; (x,y)\} \\
G & := & \{x∈\{3,4\}, y∈\{1,2,3\}; (y,x)\} \\
H & := & \{x∈\{3,4\}, y∈\{1,2,3\}; (x,2)\} \\
I & := & \{x∈\{1,2,3\}, y∈\{3,4\}, x+y<6; (x,y)\} \\
J & := & \{x∈\{1,2,3\}, y∈\{3,4\}, x+y>4; (x,y)\} \\
K & := & \{x∈\{1,2,3,4\}, y∈\{1,2,3,4\}; (x,y)\} \\
L & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}; (x,y)\} \\
M & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=3; (x,y)\} \\
N & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, x=2; (x,y)\} \\
O & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, x+y=3; (x,y)\} \\
P & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=x; (x,y)\} \\
Q & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=x+1; (x,y)\} \\
R & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=2x; (x,y)\} \\
S & := & \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=2x+1; (x,y)\} \\
\end{array}
$
\msk
3) Calcule e represente graficamente:
$\begin{array}{rcl}
A & := & \setofst{(x,0)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
B & := & \setofst{(x,x/2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
C & := & \setofst{(x,x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
D & := & \setofst{(x,2x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
E & := & \setofst{(x,1)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
F & := & \setofst{(x,1+x/2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
G & := & \setofst{(x,1+x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
H & := & \setofst{(x,1+2x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
I & := & \setofst{(x,2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
J & := & \setofst{(x,2+x/2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
K & := & \setofst{(x,2+x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
L & := & \setofst{(x,2+2x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
M & := & \setofst{(x,2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
N & := & \setofst{(x,2-x/2)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
O & := & \setofst{(x,2-x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
P & := & \setofst{(x,2-2x)}{x∈\{0,1,2,3\}} \\
\end{array}
$
\newpage
% ____ _ _
% | _ \ _ __ ___ __| | ___ __ _ _ __| |_
% | |_) | '__/ _ \ / _` | / __/ _` | '__| __|
% | __/| | | (_) | (_| | | (_| (_| | | | |_
% |_| |_| \___/ \__,_| \___\__,_|_| \__|
%
% «comprehension-prod» (to ".comprehension-prod")
% (gaap162 4 "comprehension-prod")
Produto cartesiano de conjuntos:
$A×B:=\{a∈A,b∈B;(a,b)\}$
Exemplo: $\{1,2\}×\{3,4\} = \{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$.
\ssk
Uma notação: $A^2 = A×A$.
Exemplo: $\{3,4\}^2 = \{3,4\}×\{3,4\} = \{(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)\}$.
\msk
Sejam:
$A = \{1,2,4\}$,
$B = \{2,3\}$,
$C = \{2,3,4\}$.
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
4) Calcule e represente graficamente:
\begin{tabular}{lll}
a) $A×A$ & d) $B×A$ & g) $C×A$ \\
b) $A×B$ & e) $B×B$ & h) $C×B$ \\
c) $A×C$ & f) $B×C$ & i) $C×C$ \\
\end{tabular}
\msk
5) Calcule e represente graficamente:
$\begin{array}{rcl}
A &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3\};(x,y)\} \\
B &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3\}, y=2; (x,y)\} \\
C &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3\}, x=1; (x,y)\} \\
D &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3\}, y=x; (x,y)\} \\
E &:=& \{x,y∈\{0,1,2,3,4\}, y=2x; (x,y)\} \\
F &:=& \{(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2, y=2x; (x,y)\} \\
G &:=& \{(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2, y=x; (x,y)\} \\
H &:=& \{(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2, y=x/2; (x,y)\} \\
I &:=& \{(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2, y=x/2+1; (x,y)\} \\
J &:=& \setofst {(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2} {y=2x} \\
K &:=& \setofst {(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2} {y=x} \\
L &:=& \setofst {(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2} {y=x/2} \\
M &:=& \setofst {(x,y)∈\{0,1,2,3,4\}^2} {y=x/2+1} \\
N &:=& \setofst {(x,y)∈\{1,2,3\}^2} {0x+0y=0} \\
O &:=& \setofst {(x,y)∈\{1,2,3\}^2} {0x+0y=2} \\
P &:=& \setofst {(x,y)∈\{1,2,3\}^2} {x≥y} \\
\end{array}
$
\newpage
% ____ _ _ _
% / ___| __ _| |__ __ _ _ __(_) |_ ___
% | | _ / _` | '_ \ / _` | '__| | __/ _ \
% | |_| | (_| | |_) | (_| | | | | || (_) |
% \____|\__,_|_.__/ \__,_|_| |_|\__\___/
%
% «comprehension-gab» (to ".comprehension-gab")
% (gaap162 5 "comprehension-gab")
% (to "picturedots")
Gabarito:
% \bhbox{$\picturedots(-1,-2)(5,5){ 3,1 3,2 3,3 }$}
1)
$
A = B = C = \picturedots(0,0)(3,4){ 1,4 2,4 1,3 }
\quad
D = \picturedots(0,0)(3,4){ 1,4 2,4 1,3 2,3 }
\quad
E = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,2 2,1 3,0 }
$
\bsk
2)
$ A = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,1 }
\quad B = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,1 3,0 }
\quad C = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,2 2,1 3,0 }
\quad D = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 .5,2.5 1,2 1.5,1.5 2,1 2.5,.5 3,0 }
$
\msk
$
\quad E = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 3,3 1,4 2,4 3,4 }
\quad F = \picturedots(0,0)(4,4){ 3,1 4,1 3,2 4,2 3,3 4,3 }
\quad G = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 3,3 1,4 2,4 3,4 }
\quad H = \picturedots(0,0)(4,4){ 3,2 4,2 }
\quad I = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 1,4 }
\quad J = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,3 3,3 1,4 2,4 3,4 }
$
\msk
$
\quad K = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,4 2,4 3,4 4,4
1,3 2,3 3,3 4,3
1,2 2,2 3,2 4,2
1,1 2,1 3,1 4,1 }
\quad L = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,4 1,4 2,4 3,4 4,4
0,3 1,3 2,3 3,3 4,3
0,2 1,2 2,2 3,2 4,2
0,1 1,1 2,1 3,1 4,1
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 }
\quad M = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,3 2,3 3,3 4,3 }
\quad N = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 }
\quad O = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,2 2,1 3,0 }
\quad P = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 }
$
\msk
$
\quad Q = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,2 2,3 3,4 }
\quad R = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
\quad S = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,3 }
$
\bsk
3)
$ A = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,0 2,0 3,0 }
\quad B = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,.5 2,1 3,1.5 }
\quad C = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 }
\quad D = \picturedots(0,0)(4,7){ 0,0 1,2 2,4 3,6 }
$
$
\quad E = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,1 2,1 3,1 }
\quad F = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,1.5 2,2 3,2.5 }
\quad G = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 1,2 2,3 3,4 }
\quad H = \picturedots(0,0)(4,7){ 0,1 1,3 2,5 3,7 }
$
$
\quad I = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2 2,2 3,2 }
\quad J = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2.5 2,3 3,3.5 }
\quad K = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,3 2,4 3,5 }
\quad L = \picturedots(0,0)(4,8){ 0,2 1,4 2,6 3,8 }
$
$
\quad M = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2 2,2 3,2 }
\quad N = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,1.5 2,1 3,.5 }
\quad O = \picturedots(0,-1)(4,4){ 0,2 1,1 2,0 3,-1 }
\quad P = \picturedots(0,-5)(4,3){ 0,2 1,0 2,-2 3,-4 }
$
\bsk
4)
$ A×A = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,1 2,1 4,1 1,2 2,2 4,2 1,4 2,4 4,4 }
\quad B×A = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,1 3,1 2,2 3,2 2,4 3,4 }
\quad C×A = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,1 3,1 4,1 2,2 3,2 4,2 2,4 3,4 4,4 }
$
\msk
$
\quad A×B = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,2 4,2 1,3 2,3 4,3 }
\quad B×B = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 2,3 3,3 }
\quad C×B = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 4,2 2,3 3,3 4,3 }
$
\msk
$
\quad A×C = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,2 2,2 4,2 1,3 2,3 4,3 1,4 2,4 4,4 }
\quad B×C = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 2,3 3,3 2,4 3,4 }
\quad C×C = \picturedots(0,0)(4,4){ 2,2 3,2 4,2 2,3 3,3 4,3 2,4 3,4 4,4 }
$
\bsk
5)
$ A = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,3 1,3 2,3 3,3
0,2 1,2 2,2 3,2
0,1 1,1 2,1 3,1
0,0 1,0 2,0 3,0 }
\quad B = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,2 1,2 2,2 3,2 }
\quad C = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,0 1,1 1,2 1,3 }
\quad D = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 }
\quad E = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
$
\msk
$
\quad F = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
\quad G = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 }
\quad H = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 2,1 4,2 }
\quad I = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 2,2 4,3 }
$
\msk
$
\quad J = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,2 2,4 }
\quad K = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 }
\quad L = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,0 2,1 4,2 }
\quad M = \picturedots(0,0)(4,4){ 0,1 2,2 4,3 }
$
\msk
$
\quad N = \picturedots(0,0)(4,4){ 1,3 2,3 3,3
1,2 2,2 3,2
1,1 2,1 3,1 }
\quad O = \picturedots(0,0)(4,4){ }
\quad P = \picturedots(0,0)(4,4){ 3,3
2,2 3,2
1,1 2,1 3,1 }
$
\newpage
% _ _ _____
% ___ ___ _ __ ___ _ __ _ __ ___| |__ ___ _ __ ___(_) ___ _ __ |_ _|
% / __/ _ \| '_ ` _ \| '_ \| '__/ _ \ '_ \ / _ \ '_ \/ __| |/ _ \| '_ \ | |
% | (_| (_) | | | | | | |_) | | | __/ | | | __/ | | \__ \ | (_) | | | | | |
% \___\___/|_| |_| |_| .__/|_| \___|_| |_|\___|_| |_|___/_|\___/|_| |_| |_|
% |_|
%
% «comprehension-tables» (to ".comprehension-tables")
% (gaap162 6 "comprehension-tables")
% (find-es "tex" "vrule")
\def\tbl#1#2{\fbox{$\begin{array}{#1}#2\end{array}$}}
\def\tbl#1#2{\fbox{$\sm{#2}$}}
\def\V{\mathbf{V}}
\def\F{\mathbf{F}}
% "Stop":
\def\S{\omit$|$\hss}
\def\S{\omit\vrule\hss}
\def\S{\omit\vrule$($\hss}
\def\S{\omit\vrule$\scriptstyle($\hss}
\def\S{\omit\vrule\phantom{$\scriptstyle($}\hss} % stop
Alguns exemplos de como calcular as ``set comprehensions''
dos exercícios das páginas 3 e 4 usando tabelas:
\msk
\def\s{\mathstrut}
\def\s{\phantom{$|$}}
\def\s{\phantom{|}}
\def\s{}
2A)
$A := \{x∈\{1,2\}; (x,3-x)\}$
$A = \{(1,2), (2,1)\}$
\tbl{ccc}{
\s x & (x,3-x) \\\hline
\s 1 & (1,2) \\
\s 2 & (2,1) \\
}
\msk
2I)
$I := \{x∈\{1,2,3\}, y∈\{3,4\}, x+y<6; (x,y)\}$
$I = \{(1,3),(1,4),(1,5)\}$
\tbl{ccc}{
\s x & y & x+y<6 & (x,y) \\\hline
\s 1 & 3 & \V & (1,3) \\
\s 1 & 4 & \V & (1,4) \\
\s 2 & 3 & \V & (1,3) \\
\s 2 & 4 & \F & \S \\
\s 3 & 3 & \F & \S \\
\s 3 & 4 & \F & \S \\
}
\msk
3D)
$D := \setofst{(x,2x)}{x∈\{0,1,2,3\}}$
$D = \{x∈\{0,1,2,3\}; (x,2x)\}$
$D = \{(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)\}$
\tbl{ccc}{
\s x & (x,2x) \\\hline
\s 0 & (0,0) \\
\s 1 & (1,2) \\
\s 2 & (2,4) \\
\s 3 & (3,6) \\
}
\msk
5P)
$P := \setofst {(x,y)∈\{1,2,3\}^2} {x≥y}$
$P = \{(x,y)∈\{1,2,3\}^2, x≥y; (x,y)\}$
$P = \{(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)\}$
\tbl{ccc}{
\s (x,y) & x & y & x≥y & (x,y) \\\hline
\s (1,1) & 1 & 1 & \V & (1,1) \\
\s (1,2) & 1 & 2 & \F & \S \\
\s (1,3) & 1 & 3 & \F & \S \\
\s (2,1) & 2 & 1 & \V & (2,1) \\
\s (2,2) & 2 & 2 & \V & (2,2) \\
\s (2,3) & 2 & 3 & \F & \S \\
\s (3,1) & 3 & 1 & \V & (3,1) \\
\s (3,2) & 3 & 2 & \V & (3,2) \\
\s (3,3) & 3 & 3 & \V & (3,3) \\
}
\newpage
% _ _
% _ __ ___ _ __ | |_ ___ ___ ___ __ _____| |_ ___ _ __ ___ ___
% | '_ \ / _ \| '_ \| __/ _ \/ __| / _ \ \ \ / / _ \ __/ _ \| '__/ _ \/ __|
% | |_) | (_) | | | | || (_) \__ \ | __/ \ V / __/ || (_) | | | __/\__ \
% | .__/ \___/|_| |_|\__\___/|___/ \___| \_/ \___|\__\___/|_| \___||___/
% |_|
%
% «pontos-e-vetores» (to ".pontos-e-vetores")
% (gaap162 7 "pontos-e-vetores")
{\bf Pontos e vetores}
\ssk
Se $a,b,c$ são números então
$(a,b)$ é um ponto de $\R^2$,
$\VEC{a,b}$ é um vetor em $\R^2$,
$(a,b,c)$ é um ponto de $\R^3$,
$\VEC{a,b,c}$ é um vetor em $\R^3$.
\msk
Por enquanto nós só vamos usar $\R^2$ --
a {\sl terceira parte do curso} vai ser sobre $\R^3$.
\msk
Se $A$ é um ponto (de $\R^2$) e $\vv$ é um vetor (em $\R^2$)
então $A_1$, $A_2$, $\vv_1$, $\vv_2$ são números
e $A=(A_1A_2)$, $\vv=\VEC{\vv_1,\vv_2}$
(as operações $(\_,\_)$, $\VEC{\_,\_}$, $\__1$, $\__2$ ``montam'' e
``desmontam'' pontos e vetores).
\msk
Operações com pontos e vetores (obs: $a,b,c,d,k∈\R$):
\ssk
% (gaq161 1)
1) $(a,b) + \VEC{c,d} = (a+c,b+d)$
2) $\VEC{a,b} + \VEC{c,d} = \VEC{a+c,b+d}$
3) $(a,b) - (c,d) = \VEC{a-c,b-d}$
4) $(a,b) - \VEC{c,d} = (a-c,b-d)$
5) $\VEC{a,b} - \VEC{c,d} = \VEC{a-c,b-d}$
6) $k·\VEC{a,b} = \VEC{ka,kb}$
7) $\VEC{a,b}·\VEC{c,d} = ac+bd$ \quad (!!!!)
\ssk
As outras operações dão erro. Por exemplo:
$\VEC{a,b}+(c,d) = \erro$
$(a,b)+(c,d) = \erro$
$(a,b)·k = \erro$
\bsk
{\bf Exercícios}
\ssk
\def\V(#1){\VEC{#1}}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\unds#1#2#3{\und {#1} {\sm{ \text{[regra #2]} \\ #3 }} }
% (find-es "tex" "boxedminipage")
6) Calcule:
\begin{minipage}[t]{2.25in}
a) $(2,3)+(\V(4,5)+\V(10,20))$
b) $((2,3)+\V(4,5))+\V(10,20)$
c) $4·((20,30)-(5,10))$
d) $\V(2,3)·\V(5,10)$
e) $\V(5,10)·\V(2,3)$
f) $(\V(2,3)·\V(5,10))·\V(10,100)$
g) $\V(2,3)·(\V(5,10)·\V(10,100))$
h) $(\V(5,10)·\V(10,100))·\V(2,3)$
i) $(\V(10,100)·\V(5,10))·\V(2,3)$
j) $(\V(10,100)·\V(2,3))·\V(5,10)$
\end{minipage}
%
\begin{minipage}[t]{2in}
Obs: dois modos de resolvê-los:
\msk
a)
$\unds {(2,3)+(\unds {\V(4,5)+\V(10,20)}
2
{=\;\V(14,25)} )}
1
{=\;(16,28)}
$
\msk
a) $\begin{array}[t]{l}
(2,3)+(\V(4,5)+\V(10,20)) \\
= (2,3)+\V(14,25) \\
= (16,28) \\
\end{array}
$
\end{minipage}
\newpage
% _ _ _
% _ __ _ __ ___ _ __ _ __(_) ___ __| | __ _ __| | ___ ___
% | '_ \| '__/ _ \| '_ \| '__| |/ _ \/ _` |/ _` |/ _` |/ _ \/ __|
% | |_) | | | (_) | |_) | | | | __/ (_| | (_| | (_| | __/\__ \
% | .__/|_| \___/| .__/|_| |_|\___|\__,_|\__,_|\__,_|\___||___/
% |_| |_|
%
% «propriedades» (to ".propriedades")
% (gaap162 8 "propriedades")
{\bf Propriedades}
\ssk
Será que $\V(2,3)·\V(5,10) = \V(5,10)·\V(2,3)$ ``vale sempre''? Isto é,
será que $\V(a,b)·\V(c,d) = \V(c,d)·\V(a,b)$ vale $∀a,b,c,d∈\R$?
\ssk
{\sl Que propriedades as operações sobre pontos e vetores obedecem?}
\msk
Podemos começar pelas propriedades com nomes famosos...
\ssk
$\begin{array}{ll}
\text{Comutatividade:} & A·B=B·A \\
& A+B=B+A \\
& A-B=B-A \\
\text{Associatividade:} & (A·B)·C=A·(B·C) \\
& (A+B)+C=A+(B+C) \\
& (A-B)-C=A-(B-C) \\
\text{Distributividade:} & A·(B+C)=A·B+A·C \\
& A·(B-C)=A·B-A·C \\
& (A+B)·C=A·C+B·C \\
& (A-B)·C=A·C-B·C \\
\end{array}
$
\msk
{\bf Exercícios}
7) V/F/Justifique:
C1) (\;\;) $(a,b)+\V(c,d) = \V(c,d)+(a,b)$
C2) (\;\;) $\V(a,b)+\V(c,d) = \V(c,d)+\V(a,b)$
C3) (\;\;) $(a,b)-(c,d) = (c,d)-(a,b)$
C4) (\;\;) $(a,b)-\V(c,d) = \V(c,d)-(a,b)$
C5) (\;\;) $\V(a,b)-\V(c,d) = \V(c,d)-\V(a,b)$
C6) (\;\;) $k·\V(a,b) = \V(a,b)·k$
C7) (\;\;) $\V(a,b)·\V(c,d) = \V(c,d)·\V(a,b)$
A11) (\;\;) $((a,b)+\V(c,d))+\V(d,e) = (a,b)+(\V(c,d)+\V(d,e))$
A12) (\;\;) $(\V(a,b)+\V(c,d))+\V(d,e) = \V(a,b)+(\V(c,d)+\V(d,e))$
D6) \, (\;\;) $(a+b)·\V(u_1,u_2) = a·\V(u_1,u_2) + b·\V(u_1,u_2)$
D62) (\;\;) $k·(\V(u_1,u_2)+\V(v_1,v_2)) = k·\V(u_1,u_2) + k·\V(v_1,v_2)$
\msk
\newpage
% _
% _ __ ___| |_ __ _ ___
% | '__/ _ \ __/ _` / __|
% | | | __/ || (_| \__ \
% |_| \___|\__\__,_|___/
%
% «retas» (to ".retas")
% (gaap162 9 "retas")
{\bf Retas}
\ssk
{\bf Exercícios}
\ssk
% (find-LATEXfile "2016-1-GA-material.tex" "em sala em 16/dez/2015")
8) Represente graficamente as retas abaixo.
Dica: encontre dois pontos de cada reta e marque-os no gráfico.
Nas parametrizadas indique no gráfico os pontos associados a $t=0$ e $t=1$.
$r_a = \setofxyst{ x+2y=0 }$
$r_b = \setofxyst{ x+2y=4 }$
$r_c = \setofxyst{ x+2y=2 }$
$r_d = \setofxyst{ 2x+3y=0 }$
$r_e = \setofxyst{ 2x+3y=6 }$
$r_f = \setofxyst{ 2x+3y=3 }$
$r_l = \setofxyst{ y=4 }$
$r_m = \setofxyst{ y=4+x }$
$r_n = \setofxyst{ y=4-2x }$
$r_g = \setofpt 3 -1 -1 1 $
$r_h = \setofpt 3 -1 -2 1 $
$r_i = \setofpt 3 -1 1 -1 $
$r_j = \setofpt 0 3 2 0 $
$r_k = \setofpt 2 0 0 1 $
$s_a = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(1,2)=0 }$
$s_b = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(1,2)=4 }$
$s_c = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(1,2)=2 }$
$s_d = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=0 }$
$s_e = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=6 }$
$s_f = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=3 }$
$r'_l = \setofxyst{ 0x+1y=4 }$
$r'_m = \setofxyst{ (-1)x+1y=4 }$
$r'_n = \setofxyst{ 2x+1y=4 }$
$s_l = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(0,1)=4 }$
$s_m = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(-1,1)=4 }$
$s_n = \setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,1)=4 }$
\newpage
% _____ __ __
% | ___| / / __ __ _ _ \ \
% | |_ | | \ \/ / | | | | | |
% | _| | | > < _ | |_| | | |
% |_| | | /_/\_( ) \__, | | |
% \_\ |/ |___/ /_/
%
% «Fxy» (to ".Fxy")
% (gaap162 10 "Fxy")
% (find-LATEX "2016-2-C2-integral.tex" "pict2e")
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")
% «pictureFxy» (to ".pictureFxy")
\def\tcell#1{\lower\celllower\hbox to 0pt{\hss\cellfont#1\hss}}
\def\pictureFxy(#1,#2)(#3,#4)#5{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpictureb(#1,#2)(#3,#4){.7}%
{\color{GrayPale}%
\Line(#1,0)(#3,0)%
\Line(0,#2)(0,#4)%
}
\expr{pictFxy("#5")}
\end{picture}%
}}%
}
\unitlength=10pt
\celllower=3pt
\unitlength=8pt
\celllower=3pt
\def\cellfont{\scriptsize}
Um bom modo de começar a entender visualmente o comportamento de uma
função $F(x,y):\R^2→\R$ é fazendo diagramas como os abaixo, em que a
gente escreve sobre cada ponto $(x,y)$ o valor de $F(x,y)$ naquele
ponto... por exemplo, se $F(x,y)=x^2+y^2$ então $F(3,4)=9+16=25$, e a
gente escreve ``25'' no ponto $(3,4)$. Exemplos:
\msk
$\sm{F(x,y)\\\;\;\;\;=\,x} ⇒
\pictureFxy(-1,-2)(5,2){x}
\quad
\sm{F(x,y)\\\;\;\;\;=\,y} ⇒
\pictureFxy(-1,-2)(5,2){y}
\quad
\sm{F(x,y)\\=\,x+y} ⇒
\pictureFxy(-1,-2)(5,2){x+y}
$
\msk
Repare que dá pra usar o diagrama de $F(x,y)=x+y$ pra ver onde
$x+y=0$, onde $x+y=3$, etc.
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
9) Faça diagramas como os acima para as funções:
a) $F(x,y) = \V(x,y)·\V(2,3)$
b) $F(x,y) = \V(x,y)·\V(3,1)$
c) $F(x,y) = \V(x,y)·\V(2,-1)$
d) $F(x,y) = x^2+y^2$ \qquad ($x,y∈\{-5,-4,\ldots,5\}^2$)
e) $F(x,y) = x^2-y$
f) $F(x,y) = y^2-x$
g) $F(x,y) = xy$
\msk
10) Use os diagramas do exercício anterior para esboçar os conjuntos abaixo
(que vão ser retas ou curvas):
a0) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=0 }$
a2) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=2 }$
a4) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=4 }$
a-2) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,3)=-2 }$
b0) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(3,1)=0 }$
b3) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(3,1)=3 }$
b6) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(3,1)=6 }$
% b-3) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(3,1)=-3 }$
c0) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,-1)=0 }$
c2) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,-1)=2 }$
c4) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,-1)=4 }$
% c-2) $\setofxyst{ \V(x,y)·\V(2,-1)=-2 }$
d25) $\setofxyst{ x^2+y^2=25 }$
d4) $\setofxyst{ x^2+y^2=4 }$
d1) $\setofxyst{ x^2+y^2=1 }$
d0) $\setofxyst{ x^2+y^2=0 }$
e0) $\setofxyst{ x^2-y=0 }$
e1) $\setofxyst{ x^2-y=1 }$
f0) $\setofxyst{ y^2-x=0 }$
f1) $\setofxyst{ y^2-x=1 }$
g0) $\setofxyst{ xy=0 }$
% g4) $\setofxyst{ xy=4 }$
% ___
% / _ \ _ _ __ __
% | | | | | | | | \ \ / /
% | |_| | | |_| |_ \ V /
% \___( ) \__,_( ) \_/
% |/ |/
%
% «coordenadas» (to ".coordenadas")
% (gaap162 11 "coordenadas")
{\setlength{\parindent}{0em}
{\bf Sistemas de coordenadas}
\ssk
Em cada uma das figuras abaixo vamos definir o sistema de coordenadas
$Σ$ por:
$Σ=(O,\uu,\vv)$,
$(a,b)_Σ = O+a\uu+b\vv$.
\msk
{\bf Exercício}
\ssk
11) Sejam:
$B = (1,3)_Σ$, \phantom{$E = (2,2)_Σ$} $C = (3,3)_Σ$,
$D = (1,2)_Σ$, $E = (2,2)_Σ$,
$A = (1,1)_Σ$.
Em cada um dos casos abaixo desenhe a figura formada pelos pontos $A$,
$B$, $C$, $D$ e $E$ e pelos segmentos de reta $\overline{AB}$,
$\overline{BC}$ e $\overline{DE}$.
(O item (a) já está feito.)
}
\msk
{
\unitlength=12pt
\def\closeddot{\circle*{0.4}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}
a)
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-1)(11,9)%
\eval{O,uu,vv = v(3,1), v(2,1), v(-1,1)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\pictABCDE(180, 180, 0, 180, 0)
\end{picture}%
}}
$
%
\quad
%
b)
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-1)(6,6)
\eval{O, uu, vv = v(2, 2), v(1, 0), v(0, 1)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
c)
$\unitlength=10pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-6,-1)(3,6)
\eval{O, uu, vv = v(-5, 1), v(2, 0), v(0, 1)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
%
\quad
%
d)
$\unitlength=10pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-1)(5,9)
\eval{O, uu, vv = v(1, 1), v(1, 0), v(0, 2)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
%
\quad
%
e)
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-1)(6,6)
\eval{O, uu, vv = v(2, 2), v(0, 1), v(1, 0)}
\pictOuv(-0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
f)
$\unitlength=10pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-8,-4)(6,8)
\eval{O, uu, vv = v(4, 4), v(-2, 1), v(-1, -2)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
%
\quad
%
g)
$\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-4,-1)(5,6)
\eval{O, uu, vv = v(-3, 1), v(1, 0), v(1, 1)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
$
}
\newpage
% ____ _ _
% / ___|(_)___| |_ ___ _ __ ___ __ _ ___
% \___ \| / __| __/ _ \ '_ ` _ \ / _` / __|
% ___) | \__ \ || __/ | | | | | (_| \__ \
% |____/|_|___/\__\___|_| |_| |_|\__,_|___/
%
% «sistemas» (to ".sistemas")
% (gaap162 12 "sistemas")
{\setlength{\parindent}{0em}
{\bf Sistemas de equações e}
{\bf sistemas de coordenadas}
\ssk
%L p = function (a, b) return O + a*uu + b*vv end
\begin{minipage}[t]{2.5in}
No item (f) da página anterior temos:
\ssk
$\unitlength=8pt
\def\cellfont{}
\def\cellfont{\footnotesize}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-8,-4)(6,8)
\eval{O, uu, vv = v(4, 4), v(-2, 1), v(-1, -2)}
\pictOuv(0.5, 0.7)
\end{picture}%
}}
\quad
{\footnotesize
\begin{array}{l}
O = (4,4) \\
\uu = \V(-2,1) \\
\vv = \V(-1,-2) \\
\end{array}
}
$
% \ssk
$(a,b)_Σ = (4,4) + a\V(-2,1) + b\V(-1,-2)$
$(a,b)_Σ = (4-2a-b, 4+a-2b) \quad\; (*)$
\ssk
$\begin{array}[t]{rcl}
(a,b)_Σ &=& (x,y) \\\hline
%----------------
(0,0)_Σ &=& (4,4) \\
(1,0)_Σ &=& (2,5) \\
(0,1)_Σ &=& (3,2) \\
A=(1,1)_Σ &=& ?_a \\
B=(1,3)_Σ &=& ?_b \\
C=(3,3)_Σ &=& ?_c \\
D=(1,2)_Σ &=& ?_d \\
E=(2,2)_Σ &=& ?_e \\
?_f &=& (0,6) \\
?_g &=& (-1,4) \\
?_h &=& (5,1) \\
?_i &=& (1,2) \\
?_j &=& (1,1) \\
?_k &=& (2,1) \\
\end{array}
%
$
\ssk
Os itens (a) até (h) acima (``$?_a$'' a ``$?_h$'') são fáceis de
resolver ``no olhômetro'' usando o gráfico, e é fácil conferir os
resultados algebricamente usando a fórmula $(*)$.
\msk
No item (i) dá pra ver pelo gráfico que os valores de $a$ e $b$ em
$(a,b)_Σ = (1,2)$ vão ser fracionários e difíceis de chutar -- mas
podemos obtê-los {\sl algebricamente}, resolvendo um {\sl sistema de
equações}.
\end{minipage}
%
\qquad
%
\begin{minipage}[t]{2.25in}
\begin{boxedminipage}[t]{2.25in}
\footnotesize
Solução do ``$?_i$'':
\ssk
$\begin{array}{rcl}
(a,b)_Σ &=& (1,2) \\
(4-2a-b, 4+a-2b) &=& (1,2) \\
4-2a-b &=& 1 \\
4+a-2b &=& 2 \\
-2a-b &=& -3 \\
a-2b &=& -2 \\
-2a+3 &=& b \\
a &=& -2+2b \\
-2(-2+2b)+3 &=& \color{red}{b} \\
4-4b+3 &=& b \\
7 &=& 5b \\
b &=& \frac 7 5 \\
a &=& -2 + 2 \frac 7 5 \\
&=& \frac{-10}{5} + \frac{14}{5} \\
&=& \frac{4}{5} \\
(\frac{4}{5}, \frac{7}{5})_Σ &=& (1,2) \\
\end{array}
%
$
\end{boxedminipage}
\bsk
\begin{boxedminipage}[t]{2.25in}
\footnotesize
Uma generalização:
\ssk
$\begin{array}{rcl}
(a,b)_Σ &=& (x,y) \\
(4-2a-b, 4+a-2b) &=& (x,y) \\
4-2a-b &=& x \\
4+a-2b &=& y \\
4-2a-x &=& b \\
\end{array}
$
\ssk
$\begin{array}{rcl}
a &=& y+2b-4 \\
&=& y+2(4-2a-x)-4 \\
&=& y+8-4a-2x-4 \\
&=& y-2x+4-4a \\
5a &=& y-2x+4 \\
a &=& (y-2x+4)/5 \\
&=& \frac15 y - \frac25 x + \frac45 \\
&=& \frac45 - \frac25 x + \frac15 y \\
% b &=& 4-2(\frac15 y - \frac25 x + \frac45)-x \\
b &=& 4-2(\frac45 - \frac25 x + \frac15 y)-x \\
&=& \frac{20}5 - \frac85 + \frac45 x - \frac25 y -\frac55 x \\
&=& \frac{12}5 - \frac15 x - \frac25 y \\
\end{array}
%
$
\ssk
$(\frac45 - \frac25 x + \frac15y,
\frac{12}5 - \frac15 x - \frac25 y)_Σ = (x,y)
$
\ssk
Vamos chamar a fórmula acima de $(**)$.
\end{boxedminipage}
\end{minipage}
\bsk
{\bf Exercícios}
12a) Resolva ``$?_j$'' pelo sistema.
12b) Resolva ``$?_k$'' pelo sistema.
12c) Verifique que as suas soluções de ``$?_a$'' até ``$?_k$'' obedecem
$(*)$ e $(**)$.
12d) Resolva ``$?_j$'' e ``$?_k$'' por $(**)$.
}
\newpage
% ____ _ _ ____
% / ___|(_)___| |_ ___ _ __ ___ __ _ ___ |___ \
% \___ \| / __| __/ _ \ '_ ` _ \ / _` / __| __) |
% ___) | \__ \ || __/ | | | | | (_| \__ \ / __/
% |____/|_|___/\__\___|_| |_| |_|\__,_|___/ |_____|
%
% «sistemas-2» (to ".sistemas-2")
% (gaap162 13 "sistemas-2")
{\setlength{\parindent}{0em}
{\bf Sistemas de equações e}
{\bf sistemas de coordenadas (2)}
\ssk
Um outro modo de organizar os problemas da página anterior é o
seguinte.
Temos as equações $[x]$, $[y]$, $[a]$, $[b]$ abaixo,
\ssk
$\begin{array}{crcl}
{}[x] & x &=& 4-2a-b \\
{}[y] & y &=& 4+a-2b \\
{}[a] & a &=& \frac45 -\frac25 x + \frac15 y \\
{}[b] & b &=& \frac{12}5 -\frac15 x - \frac25 y \\
\end{array}
$
\ssk
e queremos preencher a tabela abaixo de tal forma que em cada linha
as equações $[x]$, $[y]$, $[a]$, $[b]$ sejam obedecidas:
$\begin{array}{rrrr}
a & b & x & y \\\hline
%----------------
0 & 0 & 4 & 4 \\
1 & 0 & 2 & 5 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
1 & 1 & · & · \\
1 & 3 & · & · \\
3 & 3 & · & · \\
1 & 2 & · & · \\
2 & 2 & · & · \\
· & · & 0 & 6 \\
· & · &-1 & 4 \\
· & · & 5 & 1 \\
· & · & 1 & 2 \\
· & · & 1 & 1 \\
· & · & 2 & 1 \\
\end{array}
%
$
\msk
Note que:
1) quando as lacunas são em $x$ e $y$ é mais rápido usar as equações
$[x]$ e $[y]$,
2) quando as lacunas são em $a$ e $b$ é mais rápido usar as equações
$[a]$ e $[b]$,
3) as equações $[a]$ e $[b]$ são {\sl consequências} das $[x]$ e $[y]$,
4) $[x]$ e $[y]$ são consequências de $(a,b)_Σ = (4-2a-b, 4+a-2b) = (x,y)$,
5) $\psm{x\\ y\\}
= \psm{4-2a-b\\ 4+a-2b\\}
= \psm{4\\ 4\\} + \psm{-2a-b\\ a-2b\\}
= \psm{4\\ 4\\} + \psm{-2 & -1\\ 1 & -2\\} \psm{a\\ b\\}
$
6) $\psm{x\\ y\\}
= \psm{O_1 +au_1 +bv_1 \\ O_2 + au_2 + bv_2\\}
= \psm{O_1\\ O_2\\} + \psm{u_1 & v_1\\ u_2 & v_2\\} \psm{a\\ b\\}
$
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
13a) No item (g) duas páginas atrás temos $O=(-3,1)$, $\uu=\V(1,0)$,
$\vv=\V(1,1)$, $(a,b)_Σ = (-3+a+b, 1+b)$. Obtenha as equações $[x]$,
$[y]$, $[a]$, $[b]$ para este caso.
13b) Faça o mesmo para o item (a), onde $O=(3,1)$, $\uu=\V(2,1)$,
$\vv=\V(-1,1)$.
}
\newpage
% ____ _ _ _
% | _ \ __ _ _ __ __ _ _ __ ___ ___| |_ _ __(_)______ _ __| | __ _ ___
% | |_) / _` | '__/ _` | '_ ` _ \ / _ \ __| '__| |_ / _` |/ _` |/ _` / __|
% | __/ (_| | | | (_| | | | | | | __/ |_| | | |/ / (_| | (_| | (_| \__ \
% |_| \__,_|_| \__,_|_| |_| |_|\___|\__|_| |_/___\__,_|\__,_|\__,_|___/
%
% «parametrizadas» (to ".parametrizadas")
% (gaap162 14 "parametrizadas")
{\setlength{\parindent}{0em}
{\bf Interseções de retas parametrizadas}
\ssk
%L r0, rv = v(2,3), v(1,1)
%L s0, sw = v(2,3), v(2,-1)
%L rt = function (t) return r0 + t*rv end
%L su = function (u) return s0 + u*sw end
\pu
\def\rt#1{\expr{rt(#1):xy()}}
\def\su#1{\expr{su(#1):xy()}}
% \rt 0 \rt 1 \rt 2
% \su 0 \su 1 \su 2
Se $r = \setofpt 3 3 2 -1 $
e $s = \setofpu 4 1 -1 1 $,
então $r$ e $s$ se intersectam no ponto $P=(1,4)$,
que está associado a $t=-1$ (em $r$) e a $u=3$ (em $s$).
Graficamente,
\msk
%L inter = v(1,4)
%L r0, rv = v(3,3), v(2,-1)
%L s0, sw = v(4,1), v(-1,1)
\pu
% (find-pgfmanualpage 44 "3.9 Adding Labels Next to Nodes")
% (find-pgfmanualtext 44 "3.9 Adding Labels Next to Nodes")
$\tikzp{[scale=0.5,auto]
\mygrid (-1,-1) (7,5);
\draw[mycurve] \rt{-2} -- \rt{5};
\draw[mycurve] \su{-2} -- \su{5};
\node [cldot] at \rt{0} [label=60:${t{=}0}$] {};
\node [cldot] at \rt{1} [label=60:${t{=}1}$] {};
\node [cldot] at \su{0} [label=200:${u{=}0}$] {};
\node [cldot] at \su{1} [label=200:${u{=}1}$] {};
\node [cldot] at \su{3} [label=60:$P$] {};
}
$
\msk
Algebricamente, podemos convencer alguém do nosso resultado assim:
$(1,4) = (3,3)+(-1)\VEC{2,-1} ∈ r$,
$(1,4) = (4,1)+3\VEC{-1,1} ∈ s$,
$(1,4) ∈ r∩s$.
\ssk
Repare que poderíamos ter encontrado $(x,y)=P∈r∩s$ usando um sistema:
$(x,y) = (3+2t, 3-t)$
$(x,y) = (4-u, 1+u)$
Primeiro encontramos $t$ e $u$ tais que $(3+2t, 3-t) = (4-u, 1+u)$,
depois encontramos $(x,y) = (3+2t, 3-t) = (4-u, 1+u)$.
\msk
{\bf Exercício}
\ssk
14) Em cada um dos casos abaixo represente graficamente $r$ e $s$,
encontre $P∈r∩s$, e verifique algebricamente que o seu $P$ está certo.
a) $r = \setofpt 1 0 0 3 $, $s = \setofpu 0 4 2 0 $
b) $r = \setofpt 1 0 3 1 $, $s = \setofpu 0 2 2 3 $
c) $r = \setofet{ (1+3t,t) }$, $s = \setofeu{ (2u,2+3u) } $
d) $r = \setofpt 0 3 2 -1 $, $s = \setofpu 1 0 1 3 $
\ssk
Obs: no (d) o olhômetro não basta, você vai precisar resolver um sistema.
}
\newpage
% ____ _ _ _____
% / ___|(_)___| |_ ___ _ __ ___ __ _ ___ |___ /
% \___ \| / __| __/ _ \ '_ ` _ \ / _` / __| |_ \
% ___) | \__ \ || __/ | | | | | (_| \__ \ ___) |
% |____/|_|___/\__\___|_| |_| |_|\__,_|___/ |____/
%
% «sistemas-3» (to ".sistemas-3")
% (gaap162 15 "sistemas-3")
{\bf Sistemas de corrdenadas (3)}
\def\xx{\vec x}
\def\yy{\vec y}
\def\aa{\vec a}
\def\bb{\vec b}
\def\cc{\vec c}
\def\dd{\vec d}
\def\ee{\vec e}
\def\ff{\vec f}
\def\gg{\vec g}
\def\hh{\vec h}
\ssk
Há muitas notações possíveis para lidar com situações em que temos
vários sistemas de coordenadas ao mesmo tempo -- vamos ver {\sl uma}
delas.
Vamos ter:
$\bullet$ as coordenadas $x,y$ e os eixos $x$ e $y$,
$\bullet$ as coordenadas $a,b$ e os eixos $a$ e $b$,
$\bullet$ as coordenadas $c,d$ e os eixos $d$ e $d$,
$\bullet$ as coordenadas $e,f$ e os eixos $e$ e $f$,
\noindent e além disso vamos ter as origens $O_{xy}$, $O_{ab}$,
$O_{cd}$, $O_{ef}$ de cada um dos sistemas de coordenadas e os vetores
$\xx$, $\yy$, $\aa$, $\bb$, $\cc$, $\dd$, $\ee$, $\ff$.
\msk
Um exemplo concreto:
$\unitlength=15pt
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-2)(6,6)%
\pictgrid%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictOOuuvv(v(0,0), v(1,0), v(0,1), "!;!;O_{xy}", "!xx", "!yy", 0.5, 0.7)}
\expr{pictOOuuvv(v(2,-1), v(1,0), v(0,1), "!;!;O_{ab}", "!aa", "!bb", 0.5, 0.7)}
\expr{pictOOuuvv(v(5,5), v(-2,0), v(0,-2), "!;!;O_{cd}", "!cc", "!dd", 0.5, 0.5)}
\expr{pictOOuuvv(v(1,5), v(-1,-1), v(1,-1), "!;!;O_{ef}", "!ee", "!ff", 0.5, 0.5)}
}
\put(1,1){\closeddot}
\put(3,1){\closeddot}
\put(5,1){\closeddot}
\put(1,3){\closeddot}
\put(3,3){\closeddot}
\end{picture}%
}}%
%
\qquad
%
\begin{array}{l}
\begin{array}{lll}
O_{xy}=(0,0) & \xx=\V(1,0) & \yy=\V(0,1) \\
O_{ab}=(2,-1) & \aa=\V(1,0) & \bb=\V(0,1) \\
O_{cd}=(5,5) & \cc=\V(-2,0) & \dd=\V(0,-2) \\
O_{ef}=(1,5) & \cc=\V(-1,-1) & \dd=\V(1,-1) \\
\end{array}
%
\\[5pt]
\\
%
\begin{array}{lllll}
(x,y)_{xy} & = & O_{xy} + x\xx + y\yy & = & (x,y) \\
(a,b)_{ab} & = & O_{ab} + a\aa + b\bb & = & (a+2,b-1) \\
(c,d)_{cd} & = & O_{cd} + c\cc + d\dd \\
(e,f)_{ef} & = & O_{ef} + e\ee + f\ff \\
\end{array}
\end{array}
$
\bsk
Um ponto $P$ do plano tem coordenadas $P_x$ e $P_y$ no sistema $x,y$,
coordenadas $P_a$ e $P_b$ no sistema $a,b$, e assim por diante, e em
situações em que estamos falando das coordenadas de um ponto só --
como nos problemas das páginas 13 e 14 -- nós vamos nos referir às
coordenadas deste ponto como $x$, $y$, ..., $e$, $f$.
Usando as definições de $(\_,\_)_{xy}$, $(\_,\_)_{ab}$,
$(\_,\_)_{cd}$, $(\_,\_)_{ef}$ acima temos:
\msk
$(P_x,P_y)_{xy} = (P_a,P_b)_{ab} = (P_c,P_d)_{cd} = (P_e,P_f)_{ef}$
$(x,y)_{xy} = (a,b)_{ab} = (c,d)_{cd} = (e,f)_{ef}$
\bsk
{\bf Exercícios}
\ssk
15a) Complete, usando o diagrama acima e olhômetro:
$\begin{array}{cllll}
\text{ponto} & (\_,\_)_{xy} & (\_,\_)_{ab} & (\_,\_)_{cd} & (\_,\_)_{ef} \\\hline
P & (1,1)_{xy} & (-1,2)_{ab} & (2,2)_{cd} & \\
Q & (3,1)_{xy} & (1,2)_{ab} & (1,2)_{cd} & (1,3)_{ef} \\
R & (5,1)_{xy} \\
S & (1,3)_{xy} \\
T & (3,3)_{xy} \\
\end{array}
$
\ssk
15b) Calcule as seguintes distâncias {\sl em cada sistema de
coordenadas:} $d(P,Q)$, $d(P,R)$, $d(P,S)$, $d(S,T)$, $d(P,T)$.
Dica: $d_{ef}(Q,R) = \sqrt{(R_e-Q_e)^2 + (R_f-Q_f)^2}$.
15c) Calcule os seguintes vetores em cada sistema de coordenadas:
$\Vec{PP}$, $\Vec{PQ}$, $\Vec{PR}$, $\Vec{PS}$, $\Vec{PT}$. Dica:
$(\Vec{PQ})_{ef} = \Vec{(Q_e-P_e,Q_f-P_f)}_{ef}$.
\newpage
% ____ _ _ _____
% / ___|(_)___| |_ ___ _ __ ___ __ _ ___ |___ / _____ __
% \___ \| / __| __/ _ \ '_ ` _ \ / _` / __| |_ \ / _ \ \/ /
% ___) | \__ \ || __/ | | | | | (_| \__ \ ___) | __/> <
% |____/|_|___/\__\___|_| |_| |_|\__,_|___/ |____/ \___/_/\_\
%
% «sistemas-3-exercs» (to ".sistemas-3-exercs")
% (gaap162 16 "sistemas-3-exercs")
(Exercícios, cont.)
\ssk
15d) Calcule os seguintes produtos escalares em cada sistema de
coordenadas: $\Vec{PQ}·\Vec{PS}$ e $\Vec{PQ}·\Vec{PT}$. Dica:
$\V(α,β)_{ef} ·_{ef} \V(γ,δ)_{ef} = αγ+βδ$.
15e) Verifique em cada um dos sistemas de coordenadas se estas
afirmações são verdadeiras: $\Vec{PQ}⊥\Vec{PS}$, $\Vec{PQ}⊥\Vec{PT}$.
Dica: $\uu_{ef} ⊥_{ef} \vv_{ef}$ se e só se $\uu_{ef} ·_{ef} \vv_{ef}
= 0$.
\ssk
15f) Leia as páginas 9-14 e 16-19 do livro do CEDERJ. Note que ele não
começa usando coordenadas desde o início como a gente fez... ele
começa supondo que os pontos já estão desenhados num papel, e só
quando se estabelece um sistema de coordenadas esses pontos passam a
ter coordenadas.
15g) Leia as páginas 16-17 do Reis/Silva.
\bsk
\bsk
{\bf Coordenadas ``tortas''}
\ssk
Em todos os sistemas de coordenadas da página anterior os dois vetores
da ``base'' têm o mesmo comprimento e são (geometricamente) ortogonais
um ao outro... mas quando definimos precisamente ``ortogonalidade'' no
curso nós usamos uma definição {\sl algébrica}, isto é, uma {\sl
conta}: $\uu⊥\vv$ é verdade se e só se $\uu·\vv=0$ -- e nós vimos no
exercício 15d que o resultado de $\uu·\vv=0$ depende do sistema de
coordenadas...
Quando usamos coordenadas ``tortas'', como no sistema $O_{gh}$, $\gg$,
$\hh$ abaixo, a noção de ortogonalidade {\sl pode} mudar.
$\unitlength=15pt
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-1,-2)(6,6)%
\pictgrid%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictOOuuvv(v(0,0), v(1,0), v(0,1), "!;!;O_{xy}", "!xx", "!yy", 0.5, 0.7)}
\expr{pictOOuuvv(v(1,5), v(0,-1), v(1,-1), "!;!;O_{gh}", "!gg", "!hh", 0.5, 0.5)}
}
\put(1,1){\closeddot}
\put(3,1){\closeddot}
\put(5,1){\closeddot}
\put(1,3){\closeddot}
\put(3,3){\closeddot}
\end{picture}%
}}%
%
\qquad
%
\begin{array}{l}
\begin{array}{lll}
O_{xy}=(0,0) & \xx=\V(1,0) & \yy=\V(0,1) \\
O_{gh}=(1,5) & \gg=\V(0,-1) & \hh=\V(1,-1) \\
\end{array}
%
\\[5pt]
\\
%
\begin{array}{lllll}
(x,y)_{xy} & = & O_{xy} + x\xx + y\yy & = & (x,y) \\
(g,h)_{gh} & = & O_{gh} + g\gg + h\hh \\
\end{array}
\end{array}
$
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
16a) Encontre as coordenadas $(\_,\_)_{gh}$ dos pontos $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$.
16b) Calcule $d_{gh}(S,P)$, $d_{gh}(S,Q)$, $d_{gh}(S,T)$.
16c) Calcule $d_{gh}(S,P)$, $d_{gh}(S,Q)$, $d_{gh}(S,T)$.
16d) Calcule $\Vec{SP} ·_{gh} \Vec{SQ}$ e $\Vec{SP} ·_{gh} \Vec{ST}$.
16e) Calcule $\Vec{SP} ⊥_{gh} \Vec{SQ}$ e $\Vec{SP} ⊥_{gh} \Vec{ST}$.
\bsk
{\sl Aviso importante: nós vamos usar ``coordenadas tortas''
\underline{pouquíssimo} em GA!!!}
\newpage
% ____ _
% | _ \ _ __ ___ (_) ___ ___ ___ ___ ___
% | |_) | '__/ _ \| |/ _ \/ __/ _ \ / _ \/ __|
% | __/| | | (_) | | __/ (_| (_) | __/\__ \
% |_| |_| \___// |\___|\___\___/ \___||___/
% |__/
%
% «projecoes» (to ".projecoes")
% (gaap162 17 "projecoes")
{\bf Projeções}
\ssk
Até agora nós só vimos ``decomposições'' da seguinte forma: tínhamos
$O$, $\uu$, $\vv$, $P$, e queríamos $a$ e $b$ tais que $O + a\uu +
b\vv = P$ -- note que isto é equivalente a encontrar $a$ e $b$ tais
que $a\uu + b\vv = \Vec{OP}$, ou seja vimos como decompor o vetor
$\Vec{OP}$ em um múltiplo do vetor $\uu$ e um do vetor $\vv$...
Agora vamos partir de vetores $\uu$ e $\ww$ e ver como decompor o
vetor $\ww$ em $λ\uu+\vv = \ww$ tais que isto forme um triângulo
retângulo. Mais precisamente: se $λ\uu+\vv = \ww$ então $\vv =
-λ\uu+\ww$, e queremos que estes $λ\uu$ e $\vv$ sejam ortogonaisa,
aliás, que $\uu$ e $\vv$ sejam ortogonais: $\uu⊥\vv$, ou seja,
$\uu⊥(-λ\uu+\ww)$.
\ssk
{\sl Definição:} a {\sl projeção sobre $\uu$ de $\ww$}, $\Pr_{\uu}
\ww$, é o vetor $λ\uu$ tal que $\uu⊥(-λ\uu+\ww)$.
\bsk
{\bf Exercícios}
17a) Sejam $\ww = \V(3,4)$, $\uu = \V(0,1)$, $A=(2,0)$, $B=A+\ww$.
Represente graficamente $A$, $B$, $\uu$, $\ww$, e para cada
$λ∈\{0,1,2,3,4,5\}$ desenhe no seu gráfico o triângulo $\ww =
λ\uu+\vv$ correspondente e calcule $\vv$ e $\uu·\vv$. Qual o $λ$ que
faz com que $\uu⊥\vv$?
17b) Faça a mesma coisa que no 17a, mas mudando o $\uu$ para
$\uu=\V(1,1)$.
\ssk
17c) Digamos que $\Pr_{\uu} \ww_1 = λ_1 \uu_1$, $\Pr_{\uu} \ww_2 = λ_1
\uu_2$, etc. Determine $λ_1$, $λ_2$, etc na figura abaixo à esquerda.
17d) Digamos que $\Pr_{\uu} \ww_1 = λ_1 \uu_1$, $\Pr_{\uu} \ww_2 = λ_1
\uu_2$, etc. Determine $λ_1$, $λ_2$, etc na figura abaixo à direita.
%L p = function (a, b) return O + a*uu + b*vv end
%L O, uu, vv = v(1, 1), v(2, 0), v(0, 2)
%L myvec = function (a, b, label)
%L local bprint, out = makebprint()
%L local AA, BB = p(0,0), p(a,b)
%L local AB = BB-AA
%L local CC = BB + AB:unit(0.7)
%L local f = function (str) return (str:gsub("!", "\\")) end
%L bprint("\\Vector%s%s", AA, BB)
%L bprint("\\put%s{\\cell{%s}}", CC, f(label))
%L return out()
%L end
\pu
% (find-LATEX "edrxgac2.tex" "pict2e")
$\unitlength=10pt
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-7,-7)(9,9)%
%\pictgrid%
{\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-3,-3,3,3)}}%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{myvec(2, 0, "!uu")}
\expr{myvec(3, 1, "!ww_1")}
\expr{myvec(3, 2, "!ww_2")}
\expr{myvec(3, 3, "!ww_3")}
\expr{myvec(2, 3, "!ww_4")}
\expr{myvec(1, 3, "!ww_5")}
\expr{myvec(0, 3, "!ww_6")}
\expr{myvec(-1, 3, "!ww_7")}
\expr{myvec(-2, 3, "!ww_8")}
\expr{myvec(-3, 3, "!ww_9")}
\expr{myvec(-3, 2, "!ww_{10}")}
\expr{myvec(-3, 1, "!ww_{11}")}
\expr{myvec(-3, 0, "!ww_{12}")}
\expr{myvec(-3, -1, "!ww_{13}")}
\expr{myvec(-3, -2, "!ww_{14}")}
\expr{myvec(-3, -3, "!ww_{15}")}
\expr{myvec(-2, -3, "!ww_{16}")}
\expr{myvec(-1, -3, "!ww_{17}")}
\expr{myvec(-0, -3, "!ww_{18}")}
}
\end{picture}%
}}%
\quad
%
%L O, uu, vv = v(1, 1), v(1, 1), v(-1, 1)
\pu
%
\unitlength=12pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-7,-6)(7,8)%
%\pictgrid%
{\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-3,-3,3,3)}}%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{myvec(2, 0, "!uu")}
\expr{myvec(3, 1, "!ww_1")}
\expr{myvec(3, 2, "!ww_2")}
\expr{myvec(3, 3, "!ww_3")}
\expr{myvec(2, 3, "!ww_4")}
\expr{myvec(1, 3, "!ww_5")}
\expr{myvec(0, 3, "!ww_6")}
\expr{myvec(-1, 3, "!ww_7")}
\expr{myvec(-2, 3, "!ww_8")}
\expr{myvec(-3, 3, "!ww_9")}
\expr{myvec(-3, 2, "!ww_{10}")}
\expr{myvec(-3, 1, "!ww_{11}")}
\expr{myvec(-3, 0, "!ww_{12}")}
\expr{myvec(-3, -1, "!ww_{13}")}
\expr{myvec(-3, -2, "!ww_{14}")}
\expr{myvec(-3, -3, "!ww_{15}")}
\expr{myvec(-2, -3, "!ww_{16}")}
\expr{myvec(-1, -3, "!ww_{17}")}
\expr{myvec(-0, -3, "!ww_{18}")}
}
\end{picture}%
}}%
$
\bsk
\bsk
17e) Leia a p.55 do livro do CEDERJ.
17f) Leia as págs 35 a 38 do Reis/Silva.
% (find-reissilvapage (+ -14 35) "2.7 Projeção de vetores")
% (find-GA1page (+ -2 55) "Projecao ortogonal")
\newpage
% _ _ _ _ _
% | \ | | ___ | |_ __ _ ___ __ _ ___ ( ) _ ( )
% | \| |/ _ \| __/ _` |/ __/ _` |/ _ \ \| (_) |/
% | |\ | (_) | || (_| | (_| (_| | (_) | _
% |_| \_|\___/ \__\__,_|\___\__,_|\___/ (_)
%
% «notacao-:» (to ".notacao-:")
% (gaap162 18 "notacao-:")
\def\camat#1{\left\{\begin{array}{llll}#1\end{array}\right.}
{\bf Notação com `:'}
\ssk
Em vários lugares -- por exemplo, nas páginas 35-41 do livro do
CEDERJ, e na lista 3 da Ana Isabel -- a notação preferida para retas e
outros conjuntos usa `:':
%
$$\begin{array}{rcl}
r_a &:& 2x+3y=4 \\
r_b &:& \camat{x = 2+3t \\ y = 4+5t} \\
r_c &:& (2+3t, 4+5t) \\
r_d &:& (2,4) + u\V(3,5) \\
\end{array}
\quad
⇒
\quad
\begin{array}{rcl}
r_a &=& \setofxyst{2x+3y=4} \\
r_b &=& \setofexprt{(2+3t, 4+5t)} \\
r_c &=& \setofexprt{(2+3t, 4+5t)} \\
r_d &=& \setofexpru{(2,4) + u\V(3,5)} \\
\end{array}
$$
Essas notações com `:' são bem compactas mas elas deixam implícito
quais são os geradores.
\msk
% (reparametrizações):
{\bf Exercícios}
Em cada um dos casos abaixo represente graficamente $r$ e $s$ e os
pontos de $r$ e $s$ que correspondem a $t=0$, $t=1$, $u=0$, $u=1$.
18a) $r: (2,4)+t\V(1,0)$, $s: (2,4)+u(2·\V(1,0))$
18b) $r: (2,2)+t\V(2,1)$, $s: (2,4)+u(2·\V(2,1))$
18c) $r: (2,4)+t\V(1,0)$, $s: ((2,4)+2·\V(1,0))+u\V(1,0)$
18d) $r: (2,2)+t\V(2,1)$, $s: ((2,2)+2·\V(2,1))+u\V(2,1)$
{\sl Importante:} muitas pessoas da sala já sabem desenhar cada uma
das retas acima em segundos e quase sem fazer contas. Se você ainda
não sabe como fazer isso descubra quem são essas pessoas e aprenda com
elas!
\ssk
18e) Traduza cada uma das retas $r_a$, ..., $r_k$ da p.9 para a
notação com `:'.
\ssk
Às vezes o nome das retas é suprimido e dizemos só ``a reta com
equação $2x+3y=4$'' ou ``a reta $2x+3y=4$'', e quando precisamos
escrever o nome dessa reta no gráfico nós escrevemos ``$2x+3y=4$'' do
lado da reta ao invés de escrevermos `$r$' ou `$s$'.
Na p.14 nós encontramos a interseção de duas retas $r:(3+2t,3-t)$ e
$s:(4-u,1+u)$ da seguinte forma: primeiro encontramos os valores de
$t$ e $u$ que resolviam $(3+2t,3-t) = (4-u,1+u)$, depois fizemos
$(x,y) = (3+2t,3-t)$.
18f) Se $s':(4-t,1+t)$ então $s=s'$, e este método deveria funcionar
para encontrarmos $r∩s'$: primeiro encontramos o valor de $t$ que
resolve $(3+2t,3-t) = (4-t,1+t)$, depois fazemos $(x,y) = (3+2t,3-t)$.
O que dá errado?
18g) Se $r:(2t,t)$ e $s:(2u,u+3)$ então $r$ e $s$ são paralelas. O que
dá errado se tentamos resolver o sistema $(2t,t)=(2u,u+3)$?
18h) Se $r:(2t,t)$ e $s:(2u+2,u+1)$ então $r$ e $s$ são coincidentes.
O que dá errado se tentamos resolver o sistema $(2t,t)=(2u+2,u+1)$?
18i) Represente graficamente as retas $r:y=4-2x$, $x=0$, $x=1$, $y=0$,
$y=1$, $y=2$ e encontre a interseção de $r$ como cada uma das outras
retas algebricamente e no gráfico.
18j) Sejam $r:y=4-2x$, $A$ a interseção de $r$ com $x=0$, $B$ a
interseção de $r$ com $x=1$, $s:A+t\Vec{AB}$. Expresse $r$ na forma
$r:(\_+\_t, \_+\_t)$ e compare o resultado com $s:(x,4-2x)$.
\newpage
% ____ _
% / ___|___ _ __ ___| |_ _ __ _ _ ___ ___ ___ ___
% | | / _ \| '_ \/ __| __| '__| | | |/ __/ _ \ / _ \/ __|
% | |__| (_) | | | \__ \ |_| | | |_| | (_| (_) | __/\__ \
% \____\___/|_| |_|___/\__|_| \__,_|\___\___/ \___||___/
%
% «construcoes» (to ".construcoes")
% (gaap162 19 "construcoes")
{\bf Construções}
Você deve se lembrar que na Geometria do ensino médio tudo era feito
com ``construções'' com régua, compasso, esquadro, etc, e nessas
construções cada objeto novo era feito apoiado nos mais antigos...
agora vamos fazer algo parecido, mas ``construindo'' (definindo) novos
pontos, vetores, conjuntos, números, etc, a partir dos anteriores.
\msk
Exemplos:
a)
\begin{tabular}[t]{l}
Sejam $r$ uma reta e $A$ um ponto de $\R^2$. \\
Sejam $B$ e $C$ dois pontos diferentes de $r$. \\
Seja $D = B + \Pr_{\Vec{BC}} \Vec{BA}$. \\
Então $D$ é o ponto de $r$ mais próximo de $A$. \\
\end{tabular}
\ssk
b)
\begin{tabular}[t]{l}
Sejam $r$ uma reta e $A$ um ponto de $\R^2$. \\
Sejam $B$ e $C$ dois pontos diferentes de $r$. \\
Sejam $\uu=\Vec{BC}$ e $\vv=\Vec{BA}$. \\
Sejam $D=\Pr_{\uu} \vv$, $\ww=\Vec{DA}$, $s:D+t\ww$, $r':D+t\uu$. \\
Então $r⊥s$, $r=r'$, e \\
o ponto de $r'$ mais próximo de $A$ é o que tem $t=0$. \\
\end{tabular}
\ssk
c)
\begin{tabular}[t]{l}
Sejam $r:B+t\uu$ uma reta e $A$ um ponto de $\R^2$. \\
Seja $\ww$ um vetor não-nulo ortogonal a $\uu$. \\
Seja $s:A+t\ww$. \\
Seja $D∈r∩s$. \\
Então $r⊥s$ e $D$ é o ponto de $r$ mais próximo de $A$. \\
\end{tabular}
\msk
Você vai precisar se familiarizar com a linguagem dessas construções.
A coisa mais básica é aprender a aplicá-las em casos particulares.
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
19a) Sejam $A=(2,0)$, $r:y=2+x$, $B=(-2,0)$, $C=(0,2)$ na construção
(a). Represente todos os objetos graficamente.
19b) Faça o mesmo na (b), mas agora $r:y=2+\frac{x}{2}$, $A=(3,1)$, e
você escolhe $B$ e $C$. Verifique se as afirmações do ``Então $r⊥s$,
$r=r'$...'' são verdade neste caso. Repare que ainda não sabemos ver
se elas serão verdadeiras {\sl sempre!}
\ssk
A construção (c) tem um passo, o ``seja $D∈r∩s$'', que é bem curto em
português e bem simples graficamente, mas que é trabalhoso
matematicamente. Faça o mesmo que no item anterior, mas em três casos:
19c) $\uu=\V(2,0)$, e escolha $A$, $B$, $\ww$, etc.
19c') idem, mas com $\uu=\V(1,3)$.
19c'') idem, ainda com $\uu=\V(1,3)$, mas agora escolha $A$, $B$,
$\ww$, etc para que as contas sejam simples e todos os números sejam
inteiros.
\newpage
% _ _
% / \ _ __ __ _ _ _| | ___ ___
% / _ \ | '_ \ / _` | | | | |/ _ \/ __|
% / ___ \| | | | (_| | |_| | | (_) \__ \
% /_/ \_\_| |_|\__, |\__,_|_|\___/|___/
% |___/
%
% «angulos» (to ".angulos")
% (gaap162 20 "angulos")
{\bf Ângulos}
\ssk
Ângulos aparecem em várias situações em GA -- as principais por
enquanto vão ser a fórmula que relaciona produto escalar e cossenos
(livro do CEDERJ, p.55) e parametrização de círculos.
Lembre que se fizermos o conjunto
%
$$C = \setofst{(\cosθ, \senθ)}{θ∈\R}$$
%
isto dá o ``círculo unitário'', um círculo de raio 1 centrado na
origem:
$\qquad
\unitlength=18pt
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\closeddot{\circle*{0.25}}
\def\cellfont{}
\def\t #1 {θ{=}#1°}
\def\p{\phantom}
%
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-3,-2)(3,2)%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\put(0,0){\circle{2}}
}
\put( 0,1){\closeddot}
\put(-1,0){\closeddot}
\put( 1,0){\closeddot}
\put(0,-1){\closeddot}
\put(2.0, 0){\cell{\mat{\t 0 \p{ai}\\ \t 360 }}}
\put(0, 1.4){\cell{\p{aaaaaa}\t 90 }}
\put(0,-1.4){\cell{\p{aaaaaai}\t 270 }}
\put(-1.9,0){\cell{\mat{\t 180 \\ \p{a}}}}
\end{picture}%
}}%
$
Compare com as retas parametrizadas da p.14 -- lá na reta $r$ tínhamos
$x=3+2t$, $y=3-t$, $y=4.5-\frac{x}{2}$, e em $C$ temos $x=\cosθ$,
$y=\senθ$, $x^2+y^2=1$.
O ângulo $θ$ pode ser dado tanto em graus quanto em radianos, e temos
$180°=π$, $1°=\frac{π}{180}$, $234°=234\frac{π}{180}$, etc... além
disso $(\cos 360°,\sen 360°)=(\cos 0°,\sen 0°)=(1,0)$, e $θ=360°$ e
$θ=0°$ correspondem ao mesmo ponto do círculo.
Para alguns valores de $θ$ é fácil calcular os valores exatos de
$x=\cosθ$ e $y=\senθ$...
\def\imp{\;⇒\;}
\def\imp{\;\;⇒\;\;}
$θ=45° \imp x=y, \; x^2+y^2=1 \imp x^2=\frac12 \imp x=\frac{√2}{2}$
$θ=60° \imp x=\frac12, \; x^2+y^2=1 \imp y^2=\frac34 \imp y=\frac{√3}{2}$
\msk
{\bf Exercício}
20) Complete a tabela abaixo.
$\def\a#1{\hbox to 2em{$#1$\hss}}
%
\begin{array}{rcc}
θ\;\a{} & x=\cosθ & y=\senθ \\ \hline
0°=\a{0} & 1 & 0 \\
30°=\a{\fracπ6} & √3/2 & 1/2 \\
45°=\a{} & √2/2 & √2/2\\
60°=\a{} & 1/2 & \\
90°=\a{\fracπ2} & 0 & 1 \\
120°=\a{} & & \\
135°=\a{} & & \\
150°=\a{} & & \\
180°=\a{π} & -1 & 0 \\
210°=\a{} & & \\
225°=\a{} & & \\
240°=\a{} & & \\
270°=\a{} & & \\
300°=\a{} & & \\
315°=\a{} & & \\
330°=\a{} & & \\
360°=\a{2π} & 1 & 0 \\
\end{array}
$
\newpage
% ___
% __ _ _ __ ___ ___ ___ _ __ ( _ ) __ _ _ __ ___ ___ ___ ___
% / _` | '__/ __/ __|/ _ \ '_ \ / _ \/\ / _` | '__/ __/ __/ _ \/ __|
% | (_| | | | (__\__ \ __/ | | | | (_> < | (_| | | | (_| (_| (_) \__ \
% \__,_|_| \___|___/\___|_| |_| \___/\/ \__,_|_| \___\___\___/|___/
%
% «arcsen-arccos» (to ".arcsen-arccos")
% (gaap162 21 "arcsen-arccos")
{\bf Arcsen e arccos}
\ssk
Sejam $r(x)=√x$ e $q(x)=x^2$. Então $r(q(x))=x$ para alguns valores de
$x$, mas não para todos: $r(q(3))=3$, mas $r(q(-5))=5$... mais
precisamente,
$r(q(x))=x$ para $x∈[0,+∞)$ e
$q(r(x))=x$ para $x∈[0,+∞)$.
As funções $\arcsen$ e $\arccos$ são ``inversas parciais'' do $\sen$ e
do $\cos$, como $r$ e $q$ são ``inversas parciais'' uma da outra.
\msk
{\bf Exercícios}
\ssk
Sejam $A=\{-1, -√3/2, -√2/2, -1/2, 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 \}$,
$B=\{-90°, -60°, -45°, -30°, 0°, 30°, 45°, 60°, 90°\}$,
$C=\{0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°\}$.
\msk
21a) Complete as tabelas abaixo:
%
$$
\begin{array}{cc}
x & θ=\arccos x \\ \hline
-1 & 180°=π \\
-√3/2 & \\
-√2/2 & \\
-1/2 & \\
0 & 90°=π/4\\
1/2 & \\
√2/2 & \\
√3/2 & \\
1 & 0°=0 \\
\end{array}
%
\qquad
%
\begin{array}{cc}
y & θ=\arcsen y \\ \hline
-1 & -90°=-π/2 \\
-√3/2 & \\
-√2/2 & \\
-1/2 & \\
0 & 0°=0 \\
1/2 & \\
√2/2 & \\
√3/2 & \\
1 & 90°=π/2 \\
\end{array}
$$
\ssk
21b) Calcule $\sen(\arccos(x))$ para cada $x$ em $A$.
21c) Calcule $\cos(\arcsen(y))$ para cada $y$ em $A$.
$$
\begin{array}{cc}
x & y=\sen(\arccos x) \\ \hline
-1 & \\
-√3/2 & \\
-√2/2 & \\
-1/2 & \\
0 & \\
1/2 & \\
√2/2 & \\
√3/2 & \\
1 & \\
\end{array}
%
\qquad
%
\begin{array}{cc}
y & x=\cos(\arcsen y) \\ \hline
-1 & \\
-√3/2 & \\
-√2/2 & \\
-1/2 & \\
0 & \\
1/2 & \\
√2/2 & \\
√3/2 & \\
1 & \\
\end{array}
$$
\newpage
% ____ _ _
% / ___(_)_ __ ___ _ _| | ___ ___
% | | | | '__/ __| | | | |/ _ \/ __|
% | |___| | | | (__| |_| | | (_) \__ \
% \____|_|_| \___|\__,_|_|\___/|___/
%
% «circulos» (to ".circulos")
% (gaap162 22 "circulos")
{\bf Círculos}
\ssk
Um conjunto como
%
$$C = \setofxyst{(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2}$$
%
é um círculo com centro $C_0 = (3,4)$ e raio $R=5$. O modo mais legal
da gente entender isso é aprendendo a encontrar os quatro pontos
``mais óbvios'' de $C$, e aí desenhando-os a gente consegue descobrir
o centro (``$C_0$'') de $C$ e o raio (``$R$'') de $C$.
Truque: dos quatro pontos mais óbvios de $C$ dois têm $(x-3)^2=0$ e
portanto $(y-4)^2 = 5^2$, e os outros dois têm $(y-4)^2 = 0$ e
portanto $(x-3)^2 = 5^2$.
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
Temos:
%
$$\def\t{\text}
\begin{array}{rclclclcl}
(x-3)^2=0 &⇒& x=3 \\
&\t{e}& (y-4)^2=5^2 &⇒& y-4=±5 \\
& & &⇒& y=4±5 \\
& & &⇒& y=9 &\t{e}& (x,y)=(3,9) \\
& & &\t{ou}& y=-1 &\t{e}& (x,y)=(3,-1) \\[5pt]
(y-4)^2=0 &⇒& y=4 \\
&\t{e}& (x-3)^2=5^2 &⇒& x-3=±5 \\
& & &⇒& x=3±5 \\
& & &⇒& x=8 &\t{e}& (x,y)=(8,4) \\
& & &\t{ou}& x=-2 &\t{e}& (x,y)=(-2,4) \\
\end{array}
$$
%
ou, mais visualmente:
%
$$\und{(\und{\und{x}{3} - 3}{0} )^2}{0} +
\und{(\und{\und{y}{4±5} - 4}{±5})^2}{5^2}
= 5^2
\qquad
\und{(\und{\und{x}{3±5} - 3}{±5})^2}{5^2} +
\und{(\und{\und{y}{4} - 4}{0} )^2}{0}
= 5^2
$$
O caso geral é:
%
$$C = \setofxyst{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2}$$
%
$$\und{(\und{\und{x}{x_0} - x_0}{0} )^2}{0} +
\und{(\und{\und{y}{y_0±R} - y_0}{±R})^2}{R^2}
= R^2
\qquad
\und{(\und{\und{x}{x_0±R} - x_0}{±R})^2}{R^2} +
\und{(\und{\und{y}{y_0} - y_0}{0} )^2}{0}
= R^2
$$
%
$$\{(x_0,y_0+R), (x_0,y_0-R), (x_0+R,y_0), (x_0,y_0+R)\} \subset C$$
\newpage
% ____ _ _
% / ___(_)_ __ ___ _ _| | ___ ___ _ _____ _____ _ __ ___ ___
% | | | | '__/ __| | | | |/ _ \/ __(_) / _ \ \/ / _ \ '__/ __/ __|
% | |___| | | | (__| |_| | | (_) \__ \_ | __/> < __/ | | (__\__ \
% \____|_|_| \___|\__,_|_|\___/|___(_) \___/_/\_\___|_| \___|___/
%
% «circulos-exercs» (to ".circulos-exercs")
% (gaap162 23 "circulos-exercs")
{\bf Exercícios}
\def\smile{=)}
\ssk
23a) Seja $C = \setofxyst{(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2}$. Temos $(3+5,4),
(3-5,4), (3,4+5), (3,4-5) ∈ C$. Destes pontos um está acima, outro
abaixo, outro à esquerda, outro à direita do centro $C_0=(3,4)$ de
$C$. Qual é qual?
23b) Seja $C = \setofxyst{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2}$. Temos
$(x_0+R,y_0), (x_0-R,y_0), (x_0,y_0+R), (x_0,y_0-R) ∈ C$. Destes
pontos um está acima, outro abaixo, outro à esquerda, outro à direita
do centro $C_0=(x_0,y_0)$ de $C$. Qual é qual?
23c) Encontre quatro pontos diferentes, $P_1, P_2, P_3, P_4$, tais que
$d(P_1, (4,3))=2$, ..., $d(P_4, (4,3))=2$.
\ssk
23d) Decifre $\smile$ e entenda:
\ssk
$\begin{array}{rcl}
\setofPst{d(P,(4,3))=2}
&=& \setofxyst{d((x,y),(4,3))=2} \\
&=& \setofxyst{||(x,y)-(4,3)||=2} \\
&=& \setofxyst{||\V(x-4,y-3)||=2} \\
&=& \setofxyst{√{(x-4)^2+(y-3)^2}=2} \\
&=& \setofxyst{(x-4)^2+(y-3)^2=2^2} \\
\end{array}
$
\ssk
23e) Discuta com seus colegas como ``pronunciar em português'' cada um
dos conjuntos do item anterior. Dicas: ``o conjunto dos pontos à
distância \_\_\_ de \_\_\_'', ``o conjunto dos pontos $P$ tais que
\_\_\_'', ``o conjunto dos pontos $(x,y)$ que obedecem \_\_\_'',
23f) Use um método parecido com os da página anterior para encontrar
as quatro soluções mais óbvias de $((x+6)/3)^2+(2x+5)^2=1$.
\newpage
% ____ __
% / ___| \ \ ___ __ _ _ __ _ __
% | | \ \ / __/ _` | '_ \ | '__|
% | |___ \ \ (_| (_| | |_) | | |
% \____| \_\___\__,_| .__/ |_|
% |_|
%
% «C-inter-r» (to ".C-inter-r")
% (gaap162 24 "C-inter-r")
{\bf Interseção de círculo e reta}
\ssk
Sejam
$C = \setofxyst{(x-6)^2+(y-5)^2=5^2}$ e
$r = \setofxyst{y=2-x/3}$,
$s = \setofxyst{y=1-x/6}$.
\msk
24a) Represente graficamente $C$ e $r$.
24b) O círculo $C$ tem 12 pontos com coordenadas inteiras -- os 4
pontos óbvios e mais oito. Dê as coordenadas destes 8 ``pontos menos
óbvios'' de $C$.
24c) Sejam $I$ e $I'$ os dois pontos da interseção entre $C$ e $r$;
mais formalmente, $C∩r = \{I,I'\}$. Encontre no olhômetro as
coordenadas de $I$ e $I'$.
24d) Teste as suas respostas do item anterior verificando que $I$ e
$I'$ obedecem tanto a equação de $r$ quanto a de $C$.
24e) Sejam $M=\frac{I+I'}{2}$ e $r'$ a reta que passa por $C_0$ e $M$.
Verifique que $r⊥r'$.
\bsk
24f) Represente graficamente $C$ e $s$ e tente obter no olhômetro as
coordenadas de $\{J,J'\}=C∩s$. Verifique que um destes pontos ($J$,
digamos) tem coordenadas inteiras e $J'$ não -- é praticamente
impossível encontrar as coordenadas exatas de $J'$ no olhômetro, vamos
precisar de um método algébrico.
\def\setofxst #1{\setofst{x∈\R}{#1}}
24g) Se $(x,y)∈C∩s$ então $(x-6)^2+(y-5)^2=5^2$, $y=1-x/6$ e
%
$$(x-6)^2+((\und{1-x/6}{y})-5)^2 = 5^2 \qquad (*).$$
%
Expanda $(*)$ para obter uma equação de segundo grau em $x$ e
resolva-a. Chame as duas soluções de $x_1$ e $x_2$; mais formalmente,
%
$$\{x_1,x_2\} = \setofxst{(x-6)^2+((1-x/6)-5)^2 = 5^2}.$$
24h) Sejam:
$\begin{array}{rcl}
y_1 &=& 1-x_1/6 \\
y_2 &=& 1-x_2/6 \\
J &=& (x_1, y_1) \\
J' &=& (x_2, y_2) \\
\end{array}
$
Verifique que $J$ e $J'$ obedecem as equações de $C$ e de $s$.
%24i) Sejam:
%
%$\begin{array}{rcl}
% s' &\multicolumn{2}{l}{\text{uma reta ortogonal a $s$ que passa por $C_0} \\
% N &∈& s∩s' \\
% J &=& (x_1, y_1) \\
% J' &=& (x_2, y_2) \\
% \end{array}
%$
\newpage
% _ _ _ _ _
% | | | |_ __ (_) |_ __ _ _ __(_) ___ ___
% | | | | '_ \| | __/ _` | '__| |/ _ \/ __|
% | |_| | | | | | || (_| | | | | (_) \__ \
% \___/|_| |_|_|\__\__,_|_| |_|\___/|___/
%
% «vetores-unitarios» (to ".vetores-unitarios")
% (gaap162 25 "vetores-unitarios")
{\bf Vetores unitários}
\ssk
Um vetor $\vv$ é {\sl unitário} se $||\vv||=1$.
Para cada vetor $\ww$ não-nulo podemos obter um vetor $\uu$ com a
mesma direção e sentido que $\ww$, mas tal que $\uu$ seja unitário --
por exemplo, se $\ww=\V(4,0)$ então $\uu=\V(1,0)$. O truque é este:
$\uu = \frac{1}{||\ww||}\ww$.
Vamos usar (temporariamente!) a seguinte notação para a
``unitarização'' de um vetor:
%
$$\vv' := \frac{1}{||\vv||}\vv$$
\msk
{\bf Exercícios}
25a) calcule $\V(3,0)'$, $\V(2,0)'$, $\V(0,2)'$, $\V(0,1)'$,
$\V(0,-2)'$, $\V(3,4)'$, $\V(1,1)'$, $\V(\frac{1}{10},0)'$,
$\V(\frac{1}{100},0)'$, $\V(0,0)'$.
25b) Se $||\vv||=234$ então $||5\vv||=5·234$, e, como regra geral,
esperaríamos que $||k\vv||=k||\vv||$ fosse verdade para todo $k∈\R$ e
todo vetor $\vv$... mas isso {\sl não é verdade!} Verifique que
$||(-2)\V(3,0)|| \neq (-2)||\V(3,0)||$.
\msk
25c) A ``demonstração'' abaixo está errada -- se ela estiver certa
então, por exemplo, $||(-2)·\V(3,0)|| = (-2)·||\V(3,0)||$. Descubra qual
é o passo dela que está errado. Dica: faça $k=-2$, $a=3$, $b=0$ e
calcule cada uma das expressões entre `$=$'s.
%
$$\begin{array}{rclcl}
||k·\V(a,b)|| &=& ||\V(ka,kb)|| \\
&=& √{\V(ka,kb)·\V(ka,kb)} \\
&=& √{(ka)^2 + (kb)^2} \\
&=& √{k^2a^2 + k^2b^2} \\
&=& √{k^2(a^2 + b^2)} \\
&=& k√{a^2 + b^2} \\
&=& k√{\V(a,b)·\V(a,b)} \\
&=& k·||\V(a,b)|| \\
\end{array}
$$
25d) Demonstre que $||k·\V(a,b)|| = |k|·||\V(a,b)||$ ($∀k,a,b∈\R$).
25e) Demonstre que $\vv = ||\vv||\vv'$ (para $\vv$ não-nulo).
25f) Demonstre que $\uu·\vv = ||\uu||·||\vv||·(\uu'·\vv')$ (para $\uu$
e $\vv$ não-nulos).
25g) Sejam $\uu$ e $\vv$ dois vetores unitários ortogonais entre si, e
$\ww=a\uu + b\vv$. Demonstre que $\Pr_{\uu} \ww = \Pr_{\uu} (a\uu +
b\vv)= \Pr_{\uu} (a\uu) = a\uu$ e que $||\Pr_{\uu} \ww|| = a$.
\def\ang{\operatorname{ang}}
25h) (Re)leia a páginas 54 e 55 do livro do CEDERJ, e dê uma olhada
nas páginas seguintes até a 58. Agora você já deve ser capaz de
entender tudo ou quase tudo da ``regra do cosseno'',
%
$$\uu·\vv = ||\uu|| · ||\vv|| · \cos(\ang(\uu,\vv))$$
%
que pra gente é um {\sl teorema} e pra ele é uma {\sl definição}.
Vamos ver a demonstração completa em sala em breve, mas ela é
complicada e quem estiver mais preparado vai entendê-la melhor.
% (find-GA1page (+ -2 54) "Projecao ortogonal")
% (find-GA1page (+ -2 55) "Projecao ortogonal")
% (gaq161 8 "20160427" "||kv|| = |k| ||v||")
\newpage
% _____ _ _
% | ____| (_)_ __ ___ ___ ___
% | _| | | | '_ \/ __|/ _ \/ __|
% | |___| | | |_) \__ \ __/\__ \
% |_____|_|_| .__/|___/\___||___/
% |_|
%
% «elipses» (to ".elipses")
% (gaap162 26 "elipses")
{\bf Elipses}
\ssk
Elipses são ``círculos amassados''.
Círculos ``amassados na horizontal'' e ``amassados na vertical'' são
bem mais simples matematicamente que os ``amassados na diagonal'', e
só vamos estudar {\sl a sério} os ``amassados na diagonal'' depois da
P1, exceto pelo exercício abaixo...
%
$$
\unitlength=8pt
\def\pictellipse#1{{\linethickness{1.0pt}\expr{Ellipse.new(#1):pict()}}}
\def\pictEllipse(#1)(#2)#3{%
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(#1)(#2)%
\pictaxes%
\pictellipse{#3}
\end{picture}%
}}%
}
\def\tmat#1{\begin{tabular}{cccccc}#1\end{tabular}}
%
\begin{array}{ccc}
\pictEllipse(-4,-3)(4,3){v(0,0), v(3,0), v(0,2)} &
\pictEllipse(-3,-4)(3,4){v(0,0), v(1,0), v(0,3)} &
\pictEllipse(-4,-4)(4,4){v(0,0), v(2,3), v(1,-1)} \\
\tmat{Horizontal: \\ fácil} &
\tmat{Vertical: \\ fácil} &
\tmat{Diagonal: \\ difícil} \\
\end{array}
$$
Os ``pontos mais óbvios'' de uma elipse parametrizada são os que têm
$θ=0°$, $θ=90°$, $θ=180°$, $θ=270°$.
Os ``pontos mais óbvios'' de uma elipse com equação $u^2+v^2=1$ são os
que têm $(u,v)=(0,1)$, $(u,v)=(-1,0)$, $(u,v)=(1,0)$, $(u,v)=(0,-1)$.
Por exemplo:
$$E = \setofst { \und{(0,0)}{E_0=O_{uv}} +
\cos θ \und{\V(3,0)}{\uu} +
\sen θ \und{\V(0,2)}{\vv} }
{ θ∈\R }
$$
%
$$E' = \setofxyst { (\und{x/3}{u})^2 + (\und{y/2}{v})^2 = 1 }
$$
As elipses $E$ e $E'$ acima têm os mesmos pontos mais óbvios:
%L O, uu, vv = v(0,0), v(3,0), v(0,2)
\pu
$$
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\closeddot{\circle*{0.25}}
\def\cellfont{}
\def\t #1 {θ{=}#1°}
\def\uv(#1){(u,v){=}(#1)}
\def\p{\phantom}
%
\unitlength=12pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-5,-4)(5,4)%
%\pictgrid%
{\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-1,-1,1,1, .2)}}%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictOOuuvv(O, uu, vv, "O_{uv}", "!uu", "!vv", 0.5, 0.8)}
\expr{Ellipse.new(v(0,0), v(3,0), v(0,2)):pict()}
}
\put( 0,2){\closeddot}
\put(-3,0){\closeddot}
\put( 3,0){\closeddot}
\put(0,-2){\closeddot}
%\put( 5.5, 0){\cell{\mat{\t 0 \p{aaaaa} \\ \uv(0,1) }}}
\put( 5.5, 0){\cell{\mat{\t 0 \p{aaaaa} \\ \uv(1,0) }}}
\put(-5.7, 0){\cell{\mat{\p{aaaaa} \t 180 \\ \uv(-1,0) }}}
\put(0, 3.1){\cell{\mat{\t 90 \\ \uv(0,1) }}}
\put(0, -3.1){\cell{\mat{\t 270 \\ \uv(0,-1) }}}
\end{picture}%
}}%
$$
\newpage
% _____ _ _ ____ ____
% | ____| (_)_ __ ___ ___ ___ ___ / ___| / ___|___
% | _| | | | '_ \/ __|/ _ \/ __| / _ \ \___ \| | / __|
% | |___| | | |_) \__ \ __/\__ \ | __/ ___) | |___\__ \
% |_____|_|_| .__/|___/\___||___/ \___| |____/ \____|___/
% |_|
%
% «elipses-e-sis-coords» (to ".elipses-e-sis-coords")
% (gaap162 27 "elipses-e-sis-coords")
{\bf Elipses e sistemas de coordenadas}
\ssk
A ``caixa'' de uma elipse com equação $u^2+v^2=1$ é a figura -- um
paralelogramo -- delimitada pelas retas $u=-1$, $u=1$, $v=1$, $v=-1$.
Os ``nove pontos óbvios'' da caixa de uma elipse são os que têm
$u∈\{-1,0,1\}$ e $v∈\{-1,0,1\}$, ou seja, $(-1,1)_{uv}$, $(0,1)_{uv}$,
$(1,1)_{uv}$, $(-1,0)_{uv}$, ... $(1,-1)_{uv}$. Um deles é o
``centro'', quatro são ``vértices'' e quatro são ``pontos médios dos
lados''.
Um bom truque para desenhar uma elipse é começar desenhando sua caixa.
A elipse está toda dentro da caixa, e tangencia a caixa exatamente nos
pontos médios dos lados.
Repare que a elipse que acabamos de desenhar ``vem'' de um sistema de
coordenadas (ou, em terminologia mais formal, a elipse ``é induzida''
pelo sistema de coordenadas):
%
$$\begin{array}{l}
O_{uv}=(0,0) \quad \uu=\V(3,0) \quad \vv=\V(0,2) \\
\begin{array}{rcl}
(u,v)_{uv} &=& O_{uv} + u\uu + v\uu \\
&=& (0,0) + u\V(3,0) + v\V(0,2) \\
&=& (3u,2v) \\
(x,y) &=& (3u,2v) \\
(u,v) &=& (x/3,y/2) \\
\end{array} \\[5pt]
E = \setofst{O_{uv} + \cosθ\,\uu + \senθ\,\vv}{θ∈\R} \\
E' = \setofxyst{u^2+v^2=1} \\
\end{array}
$$
\bsk
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\closeddot{\circle*{0.25}}
\eval{O,uu,vv = v(0,0), v(3,0), v(0,2)}
$$
\def\cellfont{}
\def\t #1 {θ{=}#1°}
\def\uv(#1){(u,v){=}(#1)}
\def\p{\phantom}
%
\unitlength=20pt
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-5,-4)(6,4)%
%\pictgrid%
{\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-1,-1,1,1, .4)}}%
\pictaxes%
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictOOuuvv(O, uu, vv, "O_{uv}", "!uu", "!vv", 0.5, 0.8)}
\expr{Ellipse.new(v(0,0), v(3,0), v(0,2)):pict()}
}
\put(-3, 2){\closeddot}
\put( 0, 2){\closeddot}
\put( 3, 2){\closeddot}
\put(-3, 0){\closeddot}
\put( 0, 0){\closeddot}
\put( 3, 0){\closeddot}
\put(-3,-2){\closeddot}
\put( 0,-2){\closeddot}
\put( 3,-2){\closeddot}
%
\put( -3,3){\celln{u=-1}}
\put( 0,3){\celln{u=0}}
\put( 3,3){\celln{u=1}}
\put(4.5, 2){\celle {v=1}}
\put(4.5, 0){\cellne{v=0}}
\put(4.5,-2){\celle {v=-1}}
%
\put(-3, 0){\lower 2pt\hbox{\cellsw{(-1, 0)_{uv}}}}
\put(-3,-2){\lower 2pt\hbox{\cellsw{(-1,-1)_{uv}}}}
\put( 0,-2){\lower 2pt\hbox{\cellsw{( 0,-1)_{uv}}}}
\put( 3,-2){\lower 2pt\hbox{\cellsw{( 1,-1)_{uv}}}}
\end{picture}%
}}%
$$
\newpage
% _____ _ _
% | ____| (_)_ __ ___ ___ ___ _ _____ _____ _ __ ___ ___
% | _| | | | '_ \/ __|/ _ \/ __(_) / _ \ \/ / _ \ '__/ __/ __|
% | |___| | | |_) \__ \ __/\__ \_ | __/> < __/ | | (__\__ \
% |_____|_|_| .__/|___/\___||___(_) \___/_/\_\___|_| \___|___/
% |_|
%
% «elipses-exercs» (to ".elipses-exercs")
% (gaap162 28 "elipses-exercs")
{\bf Exercícios}
\ssk
Sejam $Σ_1$, ..., $Σ_6$ os seguintes sistemas de coordenadas (obs:
$(u,v)_{uv} = O_{uv} + u\uu + v \vv$):
\unitlength=10pt
\def\closeddot{\circle*{0.2}}
\def\cellfont{\scriptsize}
\def\cellfont{}
\def\pictOuv(#1,#2){
{\color{GrayPale}\expr{pictpgrid(-1,-1,1,1)}}
\pictaxes
{\linethickness{1.0pt}
\expr{pictOOuuvv(O, uu, vv, "O", "!uu", "!vv", #1, #2)}
}
}
\bsk
$
\mat{
Σ_1)
\vcenter{\hbox{%
\eval{O,uu,vv = v(0,0), v(3,0), v(0,2)}
\beginpicture(-4,-3)(4,3)%
\pictOuv(0.6, 0.8)
\end{picture}%
}}%
%
\\ \\
%
Σ_6)
\vcenter{\hbox{%
\eval{O,uu,vv = v(1,1), v(2,0), v(1,1)}
\beginpicture(-3,-1)(4,3)%
\pictOuv(0.6, 0.8)
\end{picture}%
}}%
}
%
\qquad
\begin{array}{rlll}
Σ_2) & O_{uv}=(0,2) & \uu=\V(3,0) & \vv=\V(0,2) \\
Σ_3) & O_{uv}=(0,2) & \uu=\V(0,2) & \vv=\V(-3,0) \\
Σ_4) & O_{uv}=(1,2) & \uu=\V(1,0) & \vv=\V(0,2) \\
Σ_5) & O_{uv}=(0,0) & \uu=\V(1,1) & \vv=\V(-2,2) \\
\end{array}
$
\bsk
26a) Em cada um dos casos $Σ_1$, ..., $Σ_6$ acima represente
graficamente:
$\bullet$ $O_{uv}$, $\uu$, $\vv$
$\bullet$ as retas $u=0$, $v=0$, $u=1$, $v=1$, $u=-1$, $v=-1$
$\bullet$ os pontos $(0,0)_{uv}$, $(0,1)_{uv}$, $(-1,0)_{uv}$,
$(1,0)_{uv}$, $(0,-1)_{uv}$
$\bullet$ a caixa da elipse
$\bullet$ a elipse induzida pelo sistema de coordenadas
$\bullet$ os pontos $θ=0°$, $θ=90°$, $θ=180°$, $θ=270°$ da elipse $E'
= \setofst{O_{uv} + \cosθ\,\uu + \senθ\,\vv}{θ∈\R}$
\msk
26b) Em cada um dos casos $Σ_1$, ..., $Σ_6$ acima encontre as
coordenadas $x, y, u, v$ dos pontos $(0,0)_{uv}$, $(0,1)_{uv}$,
$(-1,0)_{uv}$, $(1,0)_{uv}$, $(0,-1)_{uv}$ (faça uma tabela como a da
p.13).
\ssk
26c) Em cada um dos casos $Σ_1$, ..., $Σ_6$ acima encontre as equações
%
$$\begin{array}{rcl}
x &=& \_\_ u + \_\_ v + \_\_ \\
y &=& \_\_ u + \_\_ v + \_\_ \\
u &=& \_\_ x + \_\_ y + \_\_ \\
v &=& \_\_ x + \_\_ y + \_\_ \\
\end{array}
$$
%
que relacionam as coordenadas $x, y, u, v$ (dica: veja a p.13).
\ssk
26d) Para cada um dos casos $Σ_1$, ..., $Σ_6$ encontre uma expressão
da forma
%
$$E' = \setofxyst { (\und{\_\_x+\_\_y+\_\_}{u})^2 + (\und{\_\_x+\_\_y+\_\_}{v})^2= 1 }
$$
%
que descreva a elipse induzida pelo sistema de coordenadas. Dicas: em
$Σ_1$ temos
%
$E' = \setofxyst { (\und{x/2}{u})^2 + (\und{y/3}{v})^2= 1 },
$
%
e os pontos mais óbvios de cada $E'$ devem ser os mesmos que os do $E$
correspondente.
\newpage
% _ __ ____ __
% __| | / / | _ \ _ __ \ \
% / _` | | | | |_) | | '__| | |
% | (_| | | | | __/ | | | |
% \__,_| | | |_| ( ) |_| | |
% \_\ |/ /_/
%
% «distancia-ponto-reta» (to ".distancia-ponto-reta")
% (gaap162 29 "distancia-ponto-reta")
{\bf Distância entre ponto e reta em $\R^2$}
\ssk
Sejam $A$ e $r$ um ponto e uma reta em $\R^2$.
Seja $B$ o ponto de $r$ mais próximo de $A$. Então $d(A,r)=d(A,B)$.
\msk
Nós sabemos calcular $B$ usando projeção:
se $r=\setofst{P+t\vv}{t∈\R}$ então $B:=P+\Pr_{\vv}\Vec{PA}$, e
%
$$\begin{array}{rcl}
d(A,r) &=& d(A,B) \\
&=& d(A, P+\Pr_{\vv}\Vec{PA}) \\
\end{array}
$$
mas as contas ficam grandes -- vamos ver um método mais rápido.
\msk
Sejam $A=(A_x,A_y)$ e $r:y=mx+b$ um ponto e uma reta em $\R^2$.
Seja $B=(B_x,B_y)$ o ponto de $r$ mais próximo de $A$.
Seja $v=\setofst{(A_x,y)}{y∈\R}$ uma reta vertical passando por $A$.
Seja $h=\setofst{(x,B_y)}{x∈\R}$ uma reta horizontal passando por $B$.
Seja $C=(C_x,C_y)∈r∩v$. Note que $C_x=A_x$.
Seja $D=(D_x,D_y)∈h∩v$. Note que $D_x=A_x=C_x$ e $D_y=B_y$.
A figura -- no caso em que $r:y=2x+1$ e $A=(2,7)$ -- é:
%L
%L -- (find-LATEX "edrxtikz.lua" "Line")
%L B = v(4,3)
%L A = B + v(-2,4)
%L C = B + v(-2,-1)
%L D = B + v(-2,0)
%L r = Line.new(C, v(2,1), -2.2, 2.2)
%L pute = function (P) return formatt("\\put%s", P) end
%L seg0 = function (P, Q) return Line.new(P, Q-P, 0, 1) end
%L seg = function (P, Q) return Line.new(P, Q-P, 0, 1):pict() end
\pu
$$
\unitlength=10pt
\def\closeddot{\circle*{0.25}}
\def\closeddot{\circle*{0.3}}
\def\pute#1{\expr{pute(#1)}}
\vcenter{\hbox{%
\beginpicture(-2,-1)(8,8)%
\pictaxes%
\pute{A}{\closeddot} \pute{A+v(-.3, 0)}{\cellw {A}}
\pute{B}{\closeddot} \pute{B+v( .2,-.2)}{\cellse{B}}
\pute{C}{\closeddot} \pute{C+v( .2,-.2)}{\cellse{C}}
\pute{D}{\closeddot} \pute{D+v(-.3, 0)}{\cellw {D}}
\pute{r:t(2.5)}{\cell{r}}
\expr{r:pict()}
\expr{seg(A,B)}
\expr{seg(A,C)}
\expr{seg(B,D)}
\end{picture}%
}}%
$$
O truque -- que vamos demonstrar em breve -- é que $C=(A_x, mA_x+b)$ e:
%
$$\begin{array}{rcl}
d(A,r) &=& d(A,B) \\
&=& d(A,C)/√{1+m^2} \\
&=& |C_y-A_y| / √{1+m^2} \\
&=& |mA_x+b-A_y| / √{1+m^2}. \\
\end{array}
$$
\msk
{\bf Exercício}
\ssk
Em cada um dos casos abaixo represente $r$, $A$, $B$, $C$, $D$
graficamente, des\-cu\-bra as coordenadas de $B$, $C$ e $D$, calcule
$d(A,C)$ e $d(A,B)$ e verifique que $d(A,B) = d(A,C)/√{1+m^2}$.
\newpage
% ____ /\ _____
% | _ \/\|___ /
% | |_) | |_ \
% | _ < ___) |
% |_| \_\ |____/
%
% «R3-retas-e-planos» (to ".R3-retas-e-planos")
% (gaap162 30 "R3-retas-e-planos")
{\bf Retas e planos em $\R^3$}
\ssk
Obs: adaptado da aula de 4/jul/2016:
\url{http://angg.twu.net/2016.1-GA/2016.1-GA.pdf}
\msk
% {\bf Retas em $\R^3$}
Sejam:
$r_1 = \setofexprt{(2,2,0)+t\V(0,-1,0)}$
$r_2 = \setofexprt{(2,2,1)+t\V(0,-1,0)}$
$r_3 = \setofexprt{(2,2,0)+t\V(0,1,1)}$
$r_4 = \setofexprt{(0,2,1)+t\V(1,0,0)}$
$r_4 = \setofexprt{(1,2,1)+t\V(2,0,0)}$
Quais destas retas se interceptam?
Em que pontos? Em que `$t$'s?
Quais destas retas são paralelas?
Quais destas retas são coincidentes?
A terminologia para retas que não se interceptam e não são
paralelas é estranha -- ``retas {\sl reversas}''.
\msk
As retas acima são {\sl parametrizadas}.
O que é uma {\sl equação de reta} em $\R^3$?
$\setofxyst{4x+5y=6}$ é uma reta em $\R^2$;
$\setofxyzst{4x+5y+6z=7}$ é um {\sl plano} em $\R^3$...
\msk
Exercício: encontre
três pontos não colineares de $\setofxyzst{z=0}$,
três pontos não colineares de $\setofxyzst{z=2}$,
três pontos não colineares de $\setofxyzst{x=1}$,
três pontos não colineares de $\setofxyzst{y=3}$,
três pontos não colineares de $\setofxyzst{\frac x2 + \frac y3 + \frac z4 = 1}$,
e visualize cada um destes planos.
\msk
Alguns dos nossos planos preferidos:
$π_{xy} = \setofxyzst{z=0}$ ($x$ e $y$ variam, $z=0$)
$π_{xz} = \setofxyzst{y=0}$ ($x$ e $z$ variam, $y=0$)
$π_{yz} = \setofxyzst{x=0}$ ($y$ e $z$ variam, $x=0$)
\ssk
Notação (temporária):
$[\text{equação}] = \setofxyzst{\text{equação}}$
Obs: $π_{xy} = [z=0]$, $π_{xz} = [y=0]$, $π_{yz} = [x=0]$.
\msk
Exercício: visualize:
$π_1 = [x=1]$, \qquad $π_8 = [y=x]$,
$π_2 = [y=1]$, \qquad $π_9 = [y=2x]$,
$π_3 = [z=1]$, \qquad $π_{10} = [z=x]$,
$π_4 = [z=4]$, \qquad $π_{11} = [z=x+1]$,
$π_5 = [z=2]$,
Quais deles planos são paralelos?
Quais deles planos se cortam? Onde?
\newpage
% ____ /\ _____ ________
% | _ \/\|___ / / /___ \ \
% | |_) | |_ \ | | __) | |
% | _ < ___) | | | / __/| |
% |_| \_\ |____/ | ||_____| |
% \_\ /_/
%
% «R3-retas-e-planos-2» (to ".R3-retas-e-planos-2")
% (gaap162 31 "R3-retas-e-planos-2")
{\bf Retas e planos em $\R^3$ (2)}
\ssk
Dá pra parametrizar planos em $\R^3$...
Sejam
$π_6 = \setofst{\und{(2,2,0) + a\V(1,0,0) + b\V(0,1,0)}
{(a,b)_{Σ_6}}
}{a,b∈\R}$,
$π_7 = \setofst{\und{(3,2,1) + a\V(1,0,0) + b\V(0,1,0)}
{(a,b)_{Σ_7}}
}{a,b∈\R}$.
Calcule e visualize:
$(0,0)_{Σ_6}$, $(1,0)_{Σ_6}$, $(0,1)_{Σ_6}$, $(1,1)_{Σ_6}$,
$(0,0)_{Σ_7}$, $(1,0)_{Σ_7}$, $(0,1)_{Σ_7}$, $(1,1)_{Σ_7}$,
e resolva:
$(a,b)_{Σ_6} = (0,3,0)$,
$(a,b)_{Σ_7} = (2,4,1)$,
$(a,b)_{Σ_7} = (2,4,0)$.
\msk
Nossos três modos preferidos de descrever planos em $\R^3$ (por equações) são:
$[z = ax+by+c]$ (``$z$ em função de $x$ e $y$''),
$[y = ax+bz+c]$ (``$y$ em função de $x$ e $z$''),
$[x = ay+bz+c]$ (``$x$ em função de $y$ e $z$'').
% (find-LATEX "2016-2-GA-algebra.tex" "Fxy")
\msk
Na p.10 nós vimos este tipo de diagrama aqui, que nos ajuda a visualizar
as curvas de nível de funções de $x$ e $y$:
$\sm{F(x,y)\\=\,x+2y} ⇒
\pictureFxy(-1,-2)(5,2){x+2*y}
$
Use diagramas deste tipo para visualizar
$[z=x+y]$,
$[z=x+y+2]$,
$[z=x-y+4]$.
\msk
Sejam:
$π_{12} = [z = x+y]$,
$π_{13} = [z = x-y+4]$
Exercício: encontre pontos de $r=π_{12}∩π_{13}$ tais que
a) $x=0$, b) $x=1$, c) $x=3$; depois
d) encontre uma parametrização para $r$,
e) encontre uma parametrização para $r$ na qual $t=x$.
\msk
Alguns dos nossos modos preferidos de descrever retas em $\R^3$:
$[y=ax+b, z=cx+d]$ (``$y$ e $z$ em função de $x$''),
$[x=ay+b, z=cy+d]$ (``$x$ e $z$ em função de $y$''),
$[x=az+b, y=cz+d]$ (``$x$ e $y$ em função de $z$'').
Encontre uma descrição da forma $[y=ax+b, z=cx+d]$ para a $r$ acima.
(Dica: use o ``chutar e testar''!)
\newpage
% ____ _
% | _ \ ___| |_ ___
% | | | |/ _ \ __/ __|
% | |_| | __/ |_\__ \
% |____/ \___|\__|___/
%
% «determinantes-em-R3» (to ".determinantes-em-R3")
% (gaap162 32 "determinantes-em-R3")
{\bf Determinantes em $\R^3$}
\ssk
Lembre que o determinante em $\R^2$ mede {\sl áreas} (de paralelogramos),
e às vezes ele responde números negativos:
%
$$\vsm{a&b\\c&d\\}
= ac-bd \qquad
\vsm{c&d\\a&b\\} = bd-ac = -\vsm{a&b\\c&d\\}
$$
Vamos usar a seguinte notação (temporária):
$[\uu,\vv]
= [\V(u_1, u_2), \V(v_1, v_2)]
= \vsm{u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \\}
\qquad \text{(em $\R^2$)}
$
$[\uu,\vv,\ww]
= [\V(u_1, u_2, u_3), \V(v_1, v_2, v_3), \V(w_1, w_2, w_3)]
= \vsm{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\}
\qquad \text{(em $\R^3$)}
$
``$[\uu,\vv]$'' e ``$[\uu,\vv,\ww]$'' querem dizer
``empilhe os vetores numa matriz quadrada e tire o determinante dela''.
\msk
A definição de determinante em $\R^3$ -- como conta -- é:
$$\begin{array}{rcl}
\vmat{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\}
&=& \pmat{u_1v_2w_3 + u_2v_3w_4 + u_3v_4w_5 \\
-u_3v_2w_1 - u_4v_3w_2 - u_5v_4w_3 \\
} \\
&=& \pmat{u_1v_2w_3 + u_2v_3w_1 + u_3v_1w_2 \\
-u_3v_2w_1 - u_1v_3w_2 - u_2v_1w_3 \\
}
\end{array}
$$
\def\ii{\vec{\mathbf{i}}}
\def\jj{\vec{\mathbf{j}}}
\def\kk{\vec{\mathbf{k}}}
As seguintes definições são padrão:
$$\ii=\V(1,0,0) \qquad \jj=\V(0,1,0) \qquad \kk=\V(0,0,1)$$
Exercício: calcule
a) $[\ii,\jj,\kk]$
b) $[\ii,\kk,\jj]$
c) $[\jj,\ii,\kk]$
d) $[\jj,\kk,\ii]$
e) $[\kk,\ii,\jj]$
f) $[\kk,\jj,\ii]$
g) $[\ii,\jj,\ii]$
g) $[2\ii,3\jj,4\kk]$
h) $[a\ii,b\jj,c\kk]$
i) $[a\ii+b\jj+c\kk,d\jj+e\kk,f\kk]$
j) $[a\ii, b\ii+c\jj, d\ii+e\jj+f\kk]$
% (find-angg ".emacs" "gaq161")
% (gaq161 58 "20160704" "Visualizar R^3")
\newpage
% ____ _ ____ /\ _____ ________
% | _ \ ___| |_ ___ ___ _ __ ___ | _ \/\|___ / / /___ \ \
% | | | |/ _ \ __/ __| / _ \ '_ ` _ \ | |_) | |_ \ | | __) | |
% | |_| | __/ |_\__ \ | __/ | | | | | | _ < ___) | | | / __/| |
% |____/ \___|\__|___/ \___|_| |_| |_| |_| \_\ |____/ | ||_____| |
% \_\ /_/
% «determinantes-em-R3-2» (to ".determinantes-em-R3-2")
% (gaap162 33 "determinantes-em-R3-2")
{\bf Determinantes em $\R^3$ (2)}
\ssk
Lembre que o determinante em $\R^2$ mede áreas, que são ``base vezes altura'',
e que a gente pode deslizar um lado ($\vv$) do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$
``numa direço paralela a $\uu$'', sem alterar nem a ``base'' nem a ``altura''...
Algebricamente: $[\uu,\vv] = [\uu,\vv+a\uu]$.
E deslizando o $\uu$, temos $[\uu,\vv] = [\uu+a\vv,\vv]$.
\msk
Em $\R^3$ podemos pensar que o determinante $[\uu,\vv,\ww]$ mede
a área da base --- a área do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ ---
vezes a altura.
Se $\uu$, $\vv$ e $\ww$ são ortogonais entre si então
a ``área da base'' é $||\uu||·||\vv||$, e a ``altura'' é $||\ww||$.
\ssk
(Obs: em $\R^3$, $\V(a,b,c)·\V(d,e,f) = ad+be+cf$, $||\vv|| = \sqrt{\uu·\vv}$,
$\uu⊥\vv = (\uu·\vv=0)$, $\Pr_{\uu}\vv = \frac{\uu·\vv}{\uu·\uu}\uu$.)
\msk
Propriedades mais importantes dos determinantes em $\R^3$:
$[a\uu,b\vv,c\ww] = abc[\uu,\vv,\ww]$
$[\uu,\vv,\ww] = [\uu,\vv,\ww+a\uu+b\vv]$
$[\uu,\vv,\ww] = [\uu,\vv+a\uu+b\ww,\ww]$
$[\uu,\vv,\ww] = [\uu+a\vv+b\ww,\vv,\ww]$
\msk
Quase todas as idéias sobre determinantes em $\R^3$ que a gente vai
ver agora ficam mais fáceis de entender se a gente as entende em três
etapas: 1) com $\uu$, $\vv$, $\ww$ ortogonais entre si, e todos com
comprimento 1; 2) usando vetores $\uu'=a\uu$, $\vv'=b\vv$, $\ww'=c\ww$
construídos a partir dos anteriores; estes $\uu'$, $\vv'$ e $\ww'$ são
ortogonais entre si, mas podem ter qualquer comprimento, 3) usando
vetores $\uu''=\uu'$, $\vv''=\vv'+d\uu'$ e $\ww'=\ww'+e\uu'+f\vv'$.
\msk
{\bf Exercício importantíssimo} (encontrar coeficientes):
a) Encontre $a,b,c$ tais que $\V(a,b,c)·\V(x,y,z) = 2x+3y+4z$
b) Encontre $a,b,c,d$ tais que $\V(a,b,c)·\V(x,y,z)+d = 2x+3y+4z+5$
c) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{1&2&3 \\ 4&5&6 \\ x&y&z \\} = \V(a,b,c)·\V(x,y,z)$
d) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ x&y&z \\} = \V(a,b,c)·\V(x,y,z)$
e) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \\}
= \V(a,b,c)·\V(w_1,w_2,w_3)$
% (find-fline "/tmp/33.jpg")
\newpage
% _
% ___ _ __ ___ ___ ___ _ __ _ __ ___ __| |
% / __| '__/ _ \/ __/ __|_____| '_ \| '__/ _ \ / _` |
% | (__| | | (_) \__ \__ \_____| |_) | | | (_) | (_| |
% \___|_| \___/|___/___/ | .__/|_| \___/ \__,_|
% |_|
%
% «cross-prod» (to ".cross-prod")
% (gaap162 34 "cross-prod")
{\bf O produto cruzado ($×$) em $\R^3$}
\ssk
\def\area{\textsf{área}}
O ``produto cruzado'' (ou ``produto vetorial'') $\uu×\vv$ é definido como
se ele fosse ``uma parte da conta do determinante'': $(\uu×\vv)·\ww = [\uu,\vv,\ww]$.
Exercício: verifique que no item (e) acima temos
$\uu×\vv = \V(\uu_2\vv_3-\uu_3\vv_2, \uu_3\vv_1-\uu_1\vv_3, \uu_1\vv_2-\uu_2\vv_1)$.
\msk
{\sl Idéia importantíssima:}
1) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então o volume $[\uu,\vv,\ww]$ é exatamente a área do
paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ (exceto talvez pelo sinal);
2) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então o volume $[\uu,\vv,\ww+a\uu+b\vv]$ é exatamente a
área do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ (exceto talvez pelo
sinal);
3) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então o volume $[\uu,\vv,a\uu+b\vv+c\ww]$ é
$c·\area(\uu,\vv)$ (exceto talvez pelo sinal);
4) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então $(\uu×\vv)·(a\uu+b\vv+c\ww)$ é $c·\area(\uu,\vv)$
(exceto talvez pelo sinal);
5) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então $\uu×\vv = \area(\uu,\vv)·\ww$ (exceto talvez
pelo sinal).
\msk
{\bf Exercício:}
Use o (5) acima para tentar descobrir quais são as duas respostas
possíveis para $\uu×\vv$ nos casos a e b abaixo, e depois compare as
suas respostas com resposta ``algébrica'' dada pela fórmula lá no alto
da página.
a) $\uu=\V(3,0,0)$, $\vv=\V(0,4,0)$, $\ww=\V(0,0,1)$
b) $\uu=\V(0,3,0)$, $\vv=\V(0,3,3)$, $\ww=\V(1,0,0)$
\newpage
% (find-fline "/tmp/34.jpg")
% ___
% / _ \ _ __ ___ __ __
% | | | | '_ \/ __| \ \/ /
% | |_| | |_) \__ \ > <
% \___/| .__/|___/ /_/\_\
% |_|
%
% «alguns-usos-do-x» (to ".alguns-usos-do-x")
% (gaap162 35 "alguns-usos-do-x")
% (gaq 31)
{\bf Alguns usos do `$×$'}
\ssk
1) $||\uu×\vv|| = \area(\uu,\vv)$
2) $\uu×\vv$ sempre dá um vetor ortogonal a $\uu$ e $\vv$
3) $\uu×\vv=\V(0,0,0)$ se e só se $\area(\uu,\vv)=0$, ou seja, se
$\uu$ e $\vv$ são colineares
(i.e., paralelos).
4) Digamos que
$r = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,
$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,
$B = A+\ww$.
Então $r$ e $r'$ são reversas se e só se $[\uu,\vv,\ww] \neq 0$.
(Se $[\uu,\vv,\ww]=0$ então $r$ e $r'$ são ou paralelas, ou coincidentes, ou se cortam).
5) Pra testar se quatro pontos $A,B,C,D∈\R^3$ são coplanares,
encontre $\uu,\vv,\ww$ tais que $A+\uu=B$, $A+\vv=C$, $A+\ww=D$;
temos $[\uu,\vv,\ww]=0$ se e só se $A,B,C,D$ forem coplanares.
6) (Difícil!) Sejam
$r = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,
$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,
$B = A+\ww$.
\def\ut#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}
Então: $d(r,r') = \ut{\ut{[\uu,\vv,\ww]}{volume} / \ut{\area(\uu,\vv)}{área da base}}{altura}$.
7) (Difícil!) Sejam
$r = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,
$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,
$B = A+\ww$.
Como a gente encontra uma reta $s$ que corte $r$ e $r'$ e seja ortogonal a ambas?
Sejam $C_t = A+t \uu$ e $D_{t'} = B+t' \vv$.
Queremos que $\Vec{C_tD_{t'}}$ seja ortogonal a $\uu$ e $\vv$,
ou seja, que $\Vec{C_tD_{t'}}$ seja paralelo a $\uu×\vv$,
ou seja, que $\Vec{C_tD_{t'}}×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,
ou seja, que $(D_{t'}-C_t)×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,
ou seja, que $((B+t'\vv)-(A+t \uu))×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,
ou seja, que $(t'\vv - t\uu + \Vec{AB})×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,
o que dá um sistema que nos permite encontrar $t$ e $t'$ com poucas contas...
Sabendo $t$ e $t'$ sabemos $C_t$ e $D_{t'}$, e a reta $s$ passa por $C_t$ e $D_{t'}$.
\bsk
{\sl Agora você deve ser capaz de resolver os exercícios 1 a 20 da lista 9 da}
{\sl Ana Isabel! Yaaaaay!} $=)$ $=)$ $=)$
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: