Warning: this is an htmlized version!
The original is across this link,
and the conversion rules are here.
% (find-angg "LATEX/2017-2-C2-material.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2017-2-C2-material.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-C2-material.pdf"))
% (defun b () (interactive) (find-zsh "bibtex 2017-2-C2-material; makeindex 2017-2-C2-material"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2017-2-C2-material.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2017-2-C2-material"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2017-2-C2-material.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-C2-material.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2017-2-C2-material.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2017-2-C2-material.pdf
%               file:///tmp/2017-2-C2-material.pdf
%           file:///tmp/pen/2017-2-C2-material.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2017-2-C2-material.pdf

% «.thislinetag»		(to "thislinetag")
% «.mysection»			(to "mysection")
%
% «.programa-do-curso»		(to "programa-do-curso")
% «.op-substituicao»		(to "op-substituicao")
% «.casos-e-escadas»		(to "casos-e-escadas")
%
% «.particoes»			(to "particoes")
% «.somatorios-como-areas»	(to "somatorios-como-areas")
% «.completando-funcoes»	(to "completando-funcoes")
% «.somas-sups-e-infs»		(to "somas-sups-e-infs")
% «.largura-de-particao»	(to "largura-de-particao")

% «.substitution»		(to "substitution")
% «.TFC-1»			(to "TFC-1")
% «.TFC-2»			(to "TFC-2")
% «.chutar-e-testar»		(to "chutar-e-testar")
% «.parts»			(to "parts")
% «.subst-linear»		(to "subst-linear")
% «.linearizacoes»		(to "linearizacoes")

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}                % (find-es "tex" "array")
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex              % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
\directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
\directlua{texfile(tex.jobname)}
\directlua{verbose()}
%\directlua{output(preamble1)}
\def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
\def\eval#1{\directlua{#1}}
\def\pu{\directlua{pu()}}

\directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end

% \end{document}



% «thislinetag» (to ".thislinetag")
%L -- (find-es "luatex" "thislinetag")
%L -- (find-LATEX "dednat6/texfile.lua" "TexFile")
%L thisline = function () return tf.lines[tex.inputlineno] end
%L thislinetag = function ()
%L     local line = tf.lines[tex.inputlineno]
%L     local tag = line:match("%% +[\128-\255]+([!-~]*)[\128-\255]+")
%L     if not tag then error("No tag in line "..tex.inputlineno) end
%L     return tag
%L   end
%L
%L thatline = function (delta) return tf.lines[tex.inputlineno + delta] end
%L thatlinetag = function (delta)
%L     local line = thatline(delta)
%L     local tag = line:match("%% +[\128-\255]+([!-~]*)[\128-\255]+")
%L     if not tag then error("No tag in line "..tex.inputlineno) end
%L     return tag
%L   end
%L
\def\thatlinetag#1{\expr{thatlinetag(#1)}}
\def\mylabel{\label{\thislinetag}}
\defâ{\thislinetag}
\defâ{\par\thatlinetag{-2}}
\pu


% «mysection» (to ".mysection")
% (find-es "tex" "newcounter")



%  ____                                            
% |  _ \ _ __ ___   __ _ _ __ __ _ _ __ ___   __ _ 
% | |_) | '__/ _ \ / _` | '__/ _` | '_ ` _ \ / _` |
% |  __/| | | (_) | (_| | | | (_| | | | | | | (_| |
% |_|   |_|  \___/ \__, |_|  \__,_|_| |_| |_|\__,_|
%                  |___/                           
%
% «programa-do-curso» (to ".programa-do-curso")
% (find-es "puro" "ementa-e-programa-C2")

{\bf Programa do curso}

Vamos fazer essencialmente o que està em

\url{http://angg.twu.net/e/puro.e.html#ementa-e-programa-C2}

mas tambÃm vamos ver o bÃsico de algumas ferramentas extras que vÃo
simplificar algumas partes do curso: linearizaÃÃo e diferenciais,
sÃrie de Taylor, números complexos, $e^{iθ}=\cosθ+i\senθ$, e um
pouquinho de notaÃÃo $»$ pra gente poder resolver algumas ambiguidades
de notaÃÃo na parte sobre o operador $D$ (a derivada vista como
operador linear).






%  ____        _         _      __             __ 
% / ___| _   _| |__  ___| |_   | _|  _ _____  |_ |
% \___ \| | | | '_ \/ __| __|  | |  (_)_____|  | |
%  ___) | |_| | |_) \__ \ |_   | |   _|_____|  | |
% |____/ \__,_|_.__/|___/\__|  | |  (_)        | |
%                              |__|           |__|
%
% «op-substituicao» (to ".op-substituicao")
{\bf O operador de substituiÃÃo}
â

% (c2q172  1 "20170821" "IntroduÃÃo, subst, regra da cadeia, EDOs, Ãreas")




%   ____                    
%  / ___|__ _ ___  ___  ___ 
% | |   / _` / __|/ _ \/ __|
% | |__| (_| \__ \ (_) \__ \
%  \____\__,_|___/\___/|___/
%                           
% «casos-e-escadas» (to ".casos-e-escadas")
{\bf FunÃÃes definidas por casos e funÃÃes-escada}

% (find-angg       "LATEX/2016-2-C2-integral.tex")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2016-2-C2-integral.pdf")



\newpage


%  ____            _   _                     
% |  _ \ __ _ _ __| |_(_) ___ ___   ___  ___ 
% | |_) / _` | '__| __| |/ __/ _ \ / _ \/ __|
% |  __/ (_| | |  | |_| | (_| (_) |  __/\__ \
% |_|   \__,_|_|   \__|_|\___\___/ \___||___/
%                                            
% «particoes» (to ".particoes")
% (c2m172p 2 "particoes")

{\bf PartiÃÃes}

\label{particoes}

\ssk

Uma {\sl partiÃÃo} do intervalo $[a,b]$ Ã um conjunto $Pâ[a,b]$ finito
e tal que $a,bâP$.

Seja $P$ um subconjunto finito e nÃo-vazio de $\R$.
A gente pode listar os elementos de $P$ em ordem:
$P=\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$, com $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$.
Esse conjunto $P$ vai ser uma ``partiÃÃo'' do intervalo $[a,b] =
[a_1,a_n]$ em $n-1$ subintervalos,
$I_1 = [a_1, a_2]$, $I_2 = [a_2, a_3]$, $\ldots$, $I_{n-1} = [a_{n-1}, a_n]$,
em que cada subintervalo tem exatamente um ponto em comum com o seguinte.

Tudo vai ficar mais fÃcil se a gente usar estas convenÃÃes: $P$ tem
$N+1$ pontos, $P=\{a_1, a_2, \ldots, a_{N+1}\}$, com $a_1 < a_2 <
\ldots < a_{N+1}$; $b_i=a_{i+1}$; $I_i=[a_i,b_i]$; $a=a_1$ e $b=b_N$;
com isto o conjunto $P$ vai ser uma partiÃÃo do intervalo
$[a,b]=[a_1,b_N]=[a_1,a_{N+1}]$ em $N$ subintervalos, $I_1$, $\ldots$,
$I_N$.

Dica: faÃa uma tabela! Por exemplo, se $P=\{3,4,6,8,9,10\}$ entÃo $P$
à uma partiÃÃo do intervalo $[a,b]=[3,10]$ em $N=5$ subintervalos:

$\begin{array}{cccc}
 i & a_i & b_i & I_i \\\hline
 1 &  3  &  4  & [3,4] \\
 2 &  4  &  6  & [4,6] \\
 3 &  6  &  8  & [6,8] \\
 4 &  8  &  9  & [8,9] \\
 5 &  9  & 10  & [9,10] \\
 \end{array}
$

ExercÃcio: sejam $P_1, \ldots, P_5$ as seguintes partiÃÃes do
intervalo $[0,4]$ (nÃs vamos usÃ-las no exercÃcio seguinte). FaÃa a
tabela correspondente a ela.

$P_1 = \{0,1,2,3,4\}$,

$P_2 = \{0,1,3,4\}$,

$P_3 = \{0, 4\}$,

$P_4 = \{0, 2, 4\}$,

$P_5 = \{0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4\}$,



\bsk

%  ____                        _             _           
% / ___|  ___  _ __ ___   __ _| |_ ___  _ __(_) ___  ___ 
% \___ \ / _ \| '_ ` _ \ / _` | __/ _ \| '__| |/ _ \/ __|
%  ___) | (_) | | | | | | (_| | || (_) | |  | | (_) \__ \
% |____/ \___/|_| |_| |_|\__,_|\__\___/|_|  |_|\___/|___/
%                                                        
% «somatorios-como-areas» (to ".somatorios-como-areas")
{\bf SomatÃrios como Ãreas}
% https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration#Methods_for_one-dimensional_integrals
% https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_quadrature

% (c2qe171)
% (c2q171  1 "20170320" "IntroduÃÃo")
% (c2q171  7 "20170322" "AproximaÃÃes por retÃngulos, partiÃÃes")
% (c2q171  9 "20170327" "AproximaÃÃes de f por cima e por baixo, integral, integrÃvel")

\msk

ExercÃcio. Seja $f(x) = 4 - (x-2)^2$. Represente graficamente
$Σ_{i=1}^N \, c_i \, (b_i-a_i)$ para cada uma das partiÃÃes acima e
para cada um dos modos abaixo de calcular $c_i$; o truque Ã
interpretar cada termo $c_i \, (b_i-a_i)$ do somatÃrio como um
retÃngulo cuja base à o intervalo $(a_i,b_i)$ e cuja altura à $c_i$.
AlÃm disso calcule o resultado de cada somatÃrio para as partiÃÃes
$P_1$, $\ldots$, $P_4$ --- as contas para a partiÃÃo $P_5$ sÃo mais
chatas e nÃo valem a pena.

\ssk

\begin{tabular}{lll}
a) & $c_i = f(a_i)$                             & (``L'') \\
b) & $c_i = f(b_i)$                             & (``R'') \\
c) & $c_i = \max(f(a_i), f(b_i))$               & (``max'') \\
d) & $c_i = \min(f(a_i), f(b_i))$               & (``min'') \\
e) & $c_i = f\left(\frac{a_i+b_i}{2}\right)$    & (``ponto mÃdio'') \\
f) & $c_i = \frac{f(a_i)+f(b_i)}{2}$            & (``trapÃzio'') \\
g) & $c_i = \sup_{xâ[a_i,b_i]} f(x)$           & (``sup'') \\
h) & $c_i = \inf_{xâ[a_i,b_i]} f(x)$           & (``inf'') \\
\end{tabular}

\ssk

Obs: cada um dos itens (a)--(h) acima corresponde a um mÃtodo de
integraÃÃo numÃrica; o nome do mÃtodo està entre aspas à direita.

\msk



\newpage


%   ____                      _      _                  _       
%  / ___|___  _ __ ___  _ __ | | ___| |_ __ _ _ __   __| | ___  
% | |   / _ \| '_ ` _ \| '_ \| |/ _ \ __/ _` | '_ \ / _` |/ _ \ 
% | |__| (_) | | | | | | |_) | |  __/ || (_| | | | | (_| | (_) |
%  \____\___/|_| |_| |_| .__/|_|\___|\__\__,_|_| |_|\__,_|\___/ 
%                      |_|                                      
%
% «completando-funcoes» (to ".completando-funcoes")
% (c2m172p 3 "completando-funcoes")

{\bf Algumas operaÃÃes sobre conjuntos:}

UniÃo: $\{1,2,3,4\}âª\{3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}$

InterseÃÃo: $\{1,2,3,4\}â\{3,4,5,6\} = \{3,4\}$

``Exceto'': $\{1,2,3,4\}â\{3,4,5,6\} = \{1,2\}$



\bsk

{\bf Completando funÃÃes}

Digamos que $P$ seja uma partiÃÃo do intervalo $[a,b]$ e $g$ seja uma
funÃÃo de $[a,b]âP$ em $\R$. Temos quatro jeitos naturais de
``completar os buracos'' da funÃÃo $g$ e transformÃ-la numa funÃÃo de
$[a,b]$ em $\R$. O primeiro Ã:

$g_L(x) = \begin{cases}
           g(x)             & \text{se $xâ[a,b]âP$} \\
           \lim_{tâa^+}g(t) & \text{se $x=a$} \\
           \lim_{tâb^-}g(t) & \text{se $x=b$} \\
           \lim_{tâx^+}g(t) & \text{se $xâPâ\{a,b\}$} \\
         \end{cases}
$

Os outros três sà diferem desse no último caso. Quando $xâPâ\{a,b\}$, temos:

$g_R(x) = \lim_{tâx^-}g(t)$

$g_{up}(x) = \max(\lim_{tâx^-}g(t), \lim_{tâx^+}g(t))$

$g_{dn}(x) = \min(\lim_{tâx^-}g(t), \lim_{tâx^+}g(t))$



\bsk

\def\bothlines#1{\overline{\underline{#1}}}
\def\lupi#1#2{\overline {#1}_{#2}}
\def\ldni#1#2{\underline{#1}_{#2}}
\def\ludi#1#2{\bothlines{#1}_{#2}}
\def\lup #1#2{\overline {#1}_{#2,up}}
\def\ldn #1#2{\underline{#1}_{#2,dn}}
\def\lud #1#2{\bothlines{#1}_{#2,up}}


% «somas-sups-e-infs» (to ".somas-sups-e-infs")
{\bf Somas superiores e inferiores}

$\overline{â«}_P f(x)\,dx =
 \sum_{i=1}^{N} (\sup_{xâ[a_i, b_i]} f(x)) \, (b_i-a_i)
$

$\underline{â«}_P f(x)\,dx =
 \sum_{i=1}^{N} (\inf_{xâ[a_i, b_i]} f(x)) \, (b_i-a_i)
$

DÃ pra interpretar esses somatÃrios como funÃÃes-escada com domÃnio
$[a,b]âP$:

$\lupi fP (x) = \sup_{xâ[a_i, b_i]} f(x)$ se $xâ(a_i,b_i)$,

$\ldni fP (x) = \inf_{xâ[a_i, b_i]} f(x)$ se $xâ(a_i,b_i)$.

E podemos completÃ-las:

$\lup fP = (\lupi fP)_{up}$,

$\ldn fP = (\ldni fP)_{dn}$.

{\bf ExercÃcio.} Represente graficamente

$\lupi f{P_1}$, $\ldni f{P_1}$, $\lup f{P_1}$, $\ldn f{P_1}$,

$\lupi f{P_2}$, $\ldni f{P_2}$, $\lup f{P_2}$, $\ldn f{P_2}$,

etc, para a funÃÃo $f$ e as partiÃÃes $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ da
pÃgina \pageref{particoes}.


\bsk

Note que podemos ``abrir'' as definiÃÃes de $g_L$, $g_R$, $g_{up}$, $g_{dn}$...

Por exemplo, se $P=\{0,1,2,3,4\}$ entÃo $a=0$, $b=4$, $N=4$,

$g_{up}(x) = \begin{cases}
             g(x)             & \text{se $xâ[0,4]â\{0,1,2,3,4\}$} \\
             \lim_{tâ0^+}g(t) & \text{se $x=0$} \\
             \lim_{tâ4^-}g(t) & \text{se $x=4$} \\
             \max(\lim_{tâx^-}g(t), \lim_{tâx^+}g(t)) & \text{se $xâ\{0,1,2,3,4\}â\{0,4\}$} \\
             \end{cases}
$

e:

$g_{up}(1) = \max(\lim_{tâ1^-}g(t), \lim_{tâ1^+}g(t))$

$g_{up}(2) = \max(\lim_{tâ2^-}g(t), \lim_{tâ2^+}g(t))$

$g_{up}(3) = \max(\lim_{tâ3^-}g(t), \lim_{tâ3^+}g(t))$





\newpage

{\bf A diferenÃa entre a soma superior e a inferior}

$\bothlines{â«}_P f(x)\,dx =
 \sum_{i=1}^{N} (\sup_{xâ[a_i, b_i]} f(x) - \inf_{xâ[a_i, b_i]} f(x)) \, (b_i-a_i)
$

DÃ pra interpretar esse somatÃrio como uma funÃÃo-escada com domÃnio
$[a,b]âP$, que corresponde a pegar todos os retÃngulos entre $\ldni
fP$ e $\lupi fP$ e deslocÃ-los na vertical atà eles ficarem apoiados
no eixo horizontal:

$\bothlines{f}_P(x) = (\sup_{xâ[a_i, b_i]} f(x)) - (\inf_{xâ[a_i, b_i]} f(x))$ se $xâ(a_i,b_i)$,

E podemos completÃ-la:

$\bothlines{f}_{P,up} = (\bothlines{f}_P)_{up}$,

{\bf ExercÃcio.} Represente graficamente
$\bothlines{f}_{P_i}$ e $\bothlines{f}_{P_i,up}$
para a funÃÃo $f$ e as partiÃÃes $P_3$, $P_1$ e $P_5$ da pÃgina \pageref{particoes}.




\bsk


%  _                                    
% | |    __ _ _ __ __ _ _   _ _ __ __ _ 
% | |   / _` | '__/ _` | | | | '__/ _` |
% | |__| (_| | | | (_| | |_| | | | (_| |
% |_____\__,_|_|  \__, |\__,_|_|  \__,_|
%                 |___/                 
%
% «largura-de-particao» (to ".largura-de-particao")

{\bf Larguras de partiÃÃes}

A {\sl largura} de uma partiÃÃo $P$ Ã definida como a largura do seu {\sl maior}

subintervalo:

$||P|| = \max(b_1-a_1, \, \ldots, \, b_N-a_N)$

Vamos usar muito a idÃia de uma sequência de partiÃÃes ``cada vez mais
finas'' do intervalo $[a,b]$. Vamos precisar de duas notaÃÃes novas
(temporÃrias!):

1) $Q_1âQ_2$ (pronúncia: ``$Q_1$ à mais grossa que $Q_2$'', ou ``$Q_2$
mais fina que $Q_1$'') indica que $Q_1$ e $Q_2$ sÃo partiÃÃes do mesmo
intervalo e alÃm disso $Q_1âQ_2$; ou seja, $Q_2$ Ã obtida a partir de
$Q_1$ subdividindo alguns intervalos de $Q_1$. Note que $Q_1âQ_2$
implica $||Q_1||â||Q_2||$.

2) A notaÃÃo $Q_1âQ_2â\ldotsâ[a,b]$ vai indicar que $Q_1, Q_2, \ldots$
sÃo partiÃÃes de $[a,b]$ com $Q_1âQ_2âQ_3â\ldots$ e $\lim_{iââ}
||Q_i||=0$.

3) A notaÃÃo $Q_1,Q_2,\ldotsâ[a,b]$ vai indicar que $Q_1, Q_2, \ldots$
sÃo partiÃÃes de $[a,b]$ que nÃo necessariamente obedecem
$Q_1âQ_2âQ_3â\ldots$, mas para as quais vale $\lim_{iââ} ||Q_i||=0$.

\ssk

Um modo de obter uma sequência $Q_1âQ_2â\ldotsâ[a,b]$ à comeÃar com
$Q_1=\{a,b\}$, e ir dividindo sempre cada subintervalo em 2: $Q_2$ tem
2 subintervalos, $Q_3$ tem 4, $Q_4$ tem 8, e assim por diante.

Um modo de obter uma sequência $Q_1,Q_2,\ldotsâ[a,b]$ à fazer com que
cada $Q_i$ seja a partiÃÃo do intervalo $[a,b]$ em $i$ subintervalos
iguais.

\bsk

{\bf FunÃÃes integrÃveis: introduÃÃo}

Seja $[a,b]$ um intervalo e $f:[a,b]â\R$ uma funÃÃo contÃnua (qualquer!).

Seja $Q_1âQ_2â\ldotsâ[a,b]$ uma sequência de partiÃÃes cada vez mais finas.

EntÃo, quando $iââ$ (teorema!):

a)
$\overline {â«}_{Q_i} f(x)\,dx$ e
$\underline{â«}_{Q_i} f(x)\,dx$ convergem para o mesmo número,

b)
$\lup{f}{Q_i}$ e
$\ldn{f}{Q_i}$ convergem para $f$ em todo $xâ[a,b]$,

c)
$\lud{f}{Q_i}$ converge para $0$ em todo $xâ[a,b]$.

\newpage





%  ____        _         _   
% / ___| _   _| |__  ___| |_ 
% \___ \| | | | '_ \/ __| __|
%  ___) | |_| | |_) \__ \ |_ 
% |____/ \__,_|_.__/|___/\__|
%                            
% «substitution» (to ".substitution")
{\bf A regra da substituiÃÃo}
% (c2qe171)
% (c2q171 18 "20170405" "TFC2 e regra da substituiÃÃo")
% (c2q171 20 "20170412" "SubstituiÃÃo; omitindo limites de integraÃÃo")


% (find-angg ".emacs" "c2q171" "Integrais de potências de sen e cos")


\def\D#1{\displaystyle\left( #1 \right)}


$$S1:
  \quad
 \begin{array}{rcl}
 \D{ \Difx{a}{b}{\mathstrut f(g(x))} }
   & =
   & \D{ \Intx{a}{b}{f'(g(x))g'(x)} }
   \\
 \rotatebox{90}{$=$}
   \phantom{mmm}
   \\
 \D{ \Difu{g(a)}{g(b)}{\mathstrut f(u)} }
   & =
   & \D{ \Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)} } \\
 \end{array}
$$

$$S2:
  \quad
 \begin{array}{rcl}
 \D{ \Difx{a}{b}{\mathstrut F(g(x))} }
   & =
   & \D{ \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} }
   \\
 \rotatebox{90}{$=$}
   \phantom{mmm}
   \\
 \D{ \Difu{g(a)}{g(b)}{\mathstrut F(u)} }
   & =
   & \D{ \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)} } \\
 \end{array}
$$

$$S3:
  \quad
  \begin{array}{rcl}
  \D{ \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} }
   & =
   & \D{ \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)} } \\
 \end{array}
$$




\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}








%  _____ _____ ____   _ 
% |_   _|  ___/ ___| / |
%   | | | |_ | |     | |
%   | | |  _|| |___  | |
%   |_| |_|   \____| |_|
%                       
%
% «TFC-1» (to ".TFC-1")
{\bf TFC 1}
% (c2qe171)
% (c2q171 11 "20170329" "TFC1 e TFC2")




%  _____ _____ ____   ____  
% |_   _|  ___/ ___| |___ \ 
%   | | | |_ | |       __) |
%   | | |  _|| |___   / __/ 
%   |_| |_|   \____| |_____|
%                           
% «TFC-2» (to ".TFC-2")
{\bf TFC 2}




%   ____ _           _                      _            _             
%  / ___| |__  _   _| |_ __ _ _ __    ___  | |_ ___  ___| |_ __ _ _ __ 
% | |   | '_ \| | | | __/ _` | '__|  / _ \ | __/ _ \/ __| __/ _` | '__|
% | |___| | | | |_| | || (_| | |    |  __/ | ||  __/\__ \ || (_| | |   
%  \____|_| |_|\__,_|\__\__,_|_|     \___|  \__\___||___/\__\__,_|_|   
%                                                                      
% «chutar-e-testar» (to ".chutar-e-testar")
{\bf IntegraÃÃo pelo mÃtodo de chutar e testar}
% (c2qe171)
% (c2q171 13 "20170403" "Integrando pelo mÃtodo do chutar e testar")


%  ____            _       
% |  _ \ __ _ _ __| |_ ___ 
% | |_) / _` | '__| __/ __|
% |  __/ (_| | |  | |_\__ \
% |_|   \__,_|_|   \__|___/
%                          
% «parts» (to ".parts")
{\bf IntegraÃÃo por partes}
% (c2qe171)
% (c2q171 22 "20170417" "IntegraÃÃo por partes")






%  ____        _         _                     _     
% / ___| _   _| |__  ___| |_    __ ___  __ _  | |__  
% \___ \| | | | '_ \/ __| __|  / _` \ \/ /| |_| '_ \ 
%  ___) | |_| | |_) \__ \ |_  | (_| |>  <_   _| |_) |
% |____/ \__,_|_.__/|___/\__|  \__,_/_/\_\|_| |_.__/ 
%                                                    
% «subst-linear» (to ".subst-linear")
{\bf A substituiÃÃo $u=ax+b$}
% (c2qe171)





%  ____        _         _                                      
% / ___| _   _| |__  ___| |_   ___  ___ _ __       ___ ___  ___ 
% \___ \| | | | '_ \/ __| __| / __|/ _ \ '_ \     / __/ _ \/ __|
%  ___) | |_| | |_) \__ \ |_  \__ \  __/ | | |_  | (_| (_) \__ \
% |____/ \__,_|_.__/|___/\__| |___/\___|_| |_( )  \___\___/|___/
%                                            |/                 
{\bf A substituiÃÃo $c=\cosθ$}

{\bf A substituiÃÃo $s=\senθ$}




%  _     _                       _               /\/|           
% | |   (_)_ __   ___  __ _ _ __(_)______ _  ___|/\/   ___  ___ 
% | |   | | '_ \ / _ \/ _` | '__| |_  / _` |/ __/ _ \ / _ \/ __|
% | |___| | | | |  __/ (_| | |  | |/ / (_| | (_| (_) |  __/\__ \
% |_____|_|_| |_|\___|\__,_|_|  |_/___\__,_|\___\___/ \___||___/
%                                            )_)                
%
% «linearizacoes» (to ".linearizacoes")
% (c2qe171)
% (c2q171 24 "20170419" "Diferenciais")
% (c2q171 26 "20170424" "AproximaÃÃes lineares")
% (c2q171 28 "20170426" "AproximaÃÃes lineares: truques")






\end{document}




% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: