% (find-angg "LATEX/2018-1-GA-R3.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2018-1-GA-R3.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2018-1-GA-R3.pdf"))
% (defun b () (interactive) (find-zsh "bibtex 2018-1-GA-R3; makeindex 2018-1-GA-R3"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2018-1-GA-R3.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2018-1-GA-R3"))
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2018-1-GA-R3.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2018-1-GA-R3.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2018-1-GA-R3.pdf /tmp/pen/")
%   file:///home/edrx/LATEX/2018-1-GA-R3.pdf
%               file:///tmp/2018-1-GA-R3.pdf
%           file:///tmp/pen/2018-1-GA-R3.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2018-1-GA-R3.pdf
%
% «.pictureFxy»			(to "pictureFxy")
% «.mypsection»			(to "mypsection")
%
% «.areas-em-R3»		(to "areas-em-R3")
% «.R3-retas-e-planos»		(to "R3-retas-e-planos")
% «.R3-retas-e-planos-2»	(to "R3-retas-e-planos-2")
% «.determinantes-em-R3»	(to "determinantes-em-R3")
% «.determinantes-em-R3-2»	(to "determinantes-em-R3-2")
% «.cross-prod»			(to "cross-prod")
% «.alguns-usos-do-x»		(to "alguns-usos-do-x")
%
\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[colorlinks]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
%\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{color}                % (find-LATEX "edrx15.sty" "colors")
\usepackage{colorweb}             % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15}               % (find-angg "LATEX/edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-angg "LATEX/edrxaccents.tex")
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\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
\begin{document}

\catcode`\^^J=10
\directlua{dednat6dir = "dednat6/"}
\directlua{dofile(dednat6dir.."dednat6.lua")}
\directlua{texfile(tex.jobname)}
\directlua{verbose()}
\directlua{output(preamble1)}
\def\expr#1{\directlua{output(tostring(#1))}}
\def\eval#1{\directlua{#1}}
\def\pu{\directlua{pu()}}

\directlua{dofile "edrxtikz.lua"} % (find-LATEX "edrxtikz.lua")
\directlua{dofile "edrxpict.lua"} % (find-LATEX "edrxpict.lua")
%L V.__tostring = function (v) return format("(%.3f,%.3f)", v[1], v[2]) end



% «mypsection» (to ".mypsection")
% (find-angg ".emacs" "eewrap-mypsection")
\def\mypsection#1#2{\label{#1}{\bf #2}\ssk}



%\def\V{\mathbf{V}}
%\def\F{\mathbf{F}}
\def\V(#1){\VEC{#1}}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\unds#1#2#3{\und {#1} {\sm{ \text{[regra #2]} \\ #3 }} }


% «pictureFxy» (to ".pictureFxy")
\def\tcell#1{\lower\celllower\hbox to 0pt{\hss\cellfont#1\hss}}
\def\pictureFxy(#1,#2)(#3,#4)#5{%
  \vcenter{\hbox{%
  \beginpictureb(#1,#2)(#3,#4){.7}%
  {\color{GrayPale}%
   \Line(#1,0)(#3,0)%
   \Line(0,#2)(0,#4)%
  }
  \expr{pictFxy("#5")}
  \end{picture}%
  }}%
}

\unitlength=10pt


%     _                       
%    / \   _ __ ___  __ _ ___ 
%   / _ \ | '__/ _ \/ _` / __|
%  / ___ \| | |  __/ (_| \__ \
% /_/   \_\_|  \___|\__,_|___/
%                             
% «areas-em-R3» (to ".areas-em-R3")
% (gar181p 1 "areas-em-R3")
% (gar181    "areas-em-R3")
\mypsection {areas-em-R3} {Áreas de retângulos e paralelogramos em $\R^3$}

Notação: se $\uu$ e $\vv$ são vetores em $\R^3$ então $\Area(\uu,\vv)$
é a área do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$. Quando $\uu⊥\vv$ a
área pode ser calculada de forma bem fácil: $\Area(\uu,\vv) =
||\uu||·||\vv||$.

\ssk

{\bf Exercícios}

1) Visualize os paralelogramos abaixo e calcule a área de cada
um deles. Em alguns casos você vai ter que usar truques pouco óbvios;
em outros casos talvez você vá ter que responder ``não sei''.

\begin{tabular}[t]{l}
a) $\Area(\VEC{2,0,0},\VEC{0,3,0})$   \\
b) $\Area(\VEC{0,3,0},\VEC{0,0,-4})$  \\
c) $\Area(\VEC{5,0,0},\VEC{0,5,0})$   \\
d) $\Area(\VEC{5,0,0},\VEC{4,3,0})$   \\
e) $\Area(\VEC{5,0,0},\VEC{3,4,0})$   \\
f) $\Area(\VEC{4,3,0},\VEC{-3,4,0})$  \\
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}[t]{l}
g) $\Area(\VEC{4,3,0},\VEC{4,3,0})$   \\
h) $\Area(\VEC{4,3,0},\VEC{3,4,0})$   \\
i) $\Area(\VEC{5,0,0},\VEC{0,4,3})$   \\
j) $\Area(\VEC{5,0,0},\VEC{0,3,4})$   \\
k) $\Area(\VEC{5,0,0},\VEC{0,0,5})$   \\
\end{tabular}

\msk

Podemos calcular áreas de paralelogramos em $\R^3$ usando um truque de
``deslizamento'' parecido com o que usamos para áreas e determinantes
em $\R^2$. Se $\uu⊥\vv$ e $k∈\R$, então $\Area(\uu,\vv) =
\Area(\uu,\vv+k\uu)$ --- e repare que $\Area(\uu,\vv)$ é a área de um
retângulo e $\Area(\uu,\vv+k\uu)$ é a área de um paralelogramo.

\ssk

2) Use o truque acima em cada um dos itens abaixo. Visualize o
paralelogramo $\Area(\uu,\vv+k\uu)$ e o retângulo $\Area(\uu,\vv)$
associado a ele, e calcule as áreas.

\begin{tabular}[t]{l}
a) $\Area(\VEC{4,0,0},\VEC{0,3,0}+\VEC{4,0,0})$          \\
b) $\Area(\VEC{4,0,0},\VEC{0,3,0}+\frac34\VEC{4,0,0})$   \\
c) $\Area(\VEC{4,0,0},\VEC{0,3,0}+\frac24\VEC{4,0,0})$   \\
d) $\Area(\VEC{4,0,0},\VEC{0,3,0}+\frac14\VEC{4,0,0})$   \\
e) $\Area(\VEC{4,0,0},\VEC{0,3,0})$   \\
f) $\Area(\VEC{4,3,0},\VEC{0,0,1})$  \\
g) $\Area(\VEC{4,3,0}+\VEC{0,0,1},\VEC{0,0,1})$  \\
h) $\Area(\VEC{4,3,0}+2\VEC{0,0,1},\VEC{0,0,1})$  \\
i) $\Area(\VEC{4,3,0}+3\VEC{0,0,1},\VEC{0,0,1})$  \\
\end{tabular}

\ssk

3) Faça o mesmo nos casos abaixo, mas agora você vai ter que escolher
os vetores $\uu$ e $\vv$ adequados você mesmo.

\begin{tabular}[t]{l}
a) $\Area(\VEC{4,0,0},\VEC{0,3,0}+\VEC{4,0,0})$         (mudar) \\
b) $\Area(\VEC{4,0,0},\VEC{0,3,0}+\frac34\VEC{4,0,0})$  (mudar) \\
c) $\Area(\VEC{4,0,0},\VEC{0,3,0}+\frac24\VEC{4,0,0})$  (mudar) \\
\end{tabular}

\msk

4) Demonstre que se $\uu⊥\vv$ e $a,k∈\R$ então:
%
$$\Area(\uu,a(\vv+k\uu)) = |a|\,\Area(\uu,\vv+k\uu).$$




\newpage





%  ____ /\ _____ 
% |  _ \/\|___ / 
% | |_) |   |_ \ 
% |  _ <   ___) |
% |_| \_\ |____/ 
%                
% «R3-retas-e-planos» (to ".R3-retas-e-planos")
% (gar181p 2 "R3-retas-e-planos")
% (gar181    "R3-retas-e-planos")

{\bf Retas e planos em $\R^3$}

\ssk

Obs: adaptado da aula de 4/jul/2016:

\url{http://angg.twu.net/2016.1-GA/2016.1-GA.pdf}

\msk

% {\bf Retas em $\R^3$}

Sejam:

$r_1 = \setofexprt{(2,2,0)+t\V(0,-1,0)}$

$r_2 = \setofexprt{(2,2,1)+t\V(0,-1,0)}$

$r_3 = \setofexprt{(2,2,0)+t\V(0,1,1)}$

$r_4 = \setofexprt{(0,2,1)+t\V(1,0,0)}$

$r_4 = \setofexprt{(1,2,1)+t\V(2,0,0)}$

Quais destas retas se interceptam?

Em que pontos? Em que `$t$'s?

Quais destas retas são paralelas?

Quais destas retas são coincidentes?

A terminologia para retas que não se interceptam e não são

paralelas é estranha -- ``retas {\sl reversas}''.

\msk

As retas acima são {\sl parametrizadas}.

O que é uma {\sl equação de reta} em $\R^3$?

$\setofxyst{4x+5y=6}$ é uma reta em $\R^2$;

$\setofxyzst{4x+5y+6z=7}$ é um {\sl plano} em $\R^3$...

\msk

Exercício: encontre

três pontos não colineares de $\setofxyzst{z=0}$,

três pontos não colineares de $\setofxyzst{z=2}$,

três pontos não colineares de $\setofxyzst{x=1}$,

três pontos não colineares de $\setofxyzst{y=3}$,

três pontos não colineares de $\setofxyzst{\frac x2 + \frac y3 + \frac z4 = 1}$,

e visualize cada um destes planos.

\msk

Alguns dos nossos planos preferidos:

$π_{xy} = \setofxyzst{z=0}$ ($x$ e $y$ variam, $z=0$)

$π_{xz} = \setofxyzst{y=0}$ ($x$ e $z$ variam, $y=0$)

$π_{yz} = \setofxyzst{x=0}$ ($y$ e $z$ variam, $x=0$)

\ssk

Notação (temporária):

$[\text{equação}] = \setofxyzst{\text{equação}}$

Obs: $π_{xy} = [z=0]$, $π_{xz} = [y=0]$, $π_{yz} = [x=0]$.

\msk

Exercício: visualize:

$π_1 = [x=1]$,     \qquad $π_8 = [y=x]$,     
                                      
$π_2 = [y=1]$,     \qquad $π_9 = [y=2x]$,    
                                      
$π_3 = [z=1]$,     \qquad $π_{10} = [z=x]$,  
                                      
$π_4 = [z=4]$,     \qquad $π_{11} = [z=x+1]$,

$π_5 = [z=2]$,

Quais deles planos são paralelos?

Quais deles planos se cortam? Onde?



\newpage

%  ____ /\ _____     ________  
% |  _ \/\|___ /    / /___ \ \ 
% | |_) |   |_ \   | |  __) | |
% |  _ <   ___) |  | | / __/| |
% |_| \_\ |____/   | ||_____| |
%                   \_\    /_/ 
%
% «R3-retas-e-planos-2» (to ".R3-retas-e-planos-2")
% (gar181p 3 "R3-retas-e-planos-2")
% (gar181    "R3-retas-e-planos-2")
% (gar181p 30 "R3-retas-e-planos-2")
% (gam172p 30 "R3-retas-e-planos-2")

{\bf Retas e planos em $\R^3$ (2)}

\ssk

Dá pra parametrizar planos em $\R^3$...

Sejam

$π_6 = \setofst{\und{(2,2,0) + a\V(1,0,0) + b\V(0,1,0)}
                    {(a,b)_{Σ_6}}
                }{a,b∈\R}$,

$π_7 = \setofst{\und{(3,2,1) + a\V(1,0,0) + b\V(0,1,0)}
                    {(a,b)_{Σ_7}}
                }{a,b∈\R}$.

Calcule e visualize:

$(0,0)_{Σ_6}$, $(1,0)_{Σ_6}$, $(0,1)_{Σ_6}$, $(1,1)_{Σ_6}$,

$(0,0)_{Σ_7}$, $(1,0)_{Σ_7}$, $(0,1)_{Σ_7}$, $(1,1)_{Σ_7}$,

e resolva:

$(a,b)_{Σ_6} = (0,3,0)$,

$(a,b)_{Σ_7} = (2,4,1)$,

$(a,b)_{Σ_7} = (2,4,0)$.

\msk

Nossos três modos preferidos de descrever planos em $\R^3$ (por equações) são:

$[z = ax+by+c]$ (``$z$ em função de $x$ e $y$''),

$[y = ax+bz+c]$ (``$y$ em função de $x$ e $z$''),

$[x = ay+bz+c]$ (``$x$ em função de $y$ e $z$'').



% (find-LATEX "2016-2-GA-algebra.tex" "Fxy")
\msk

Na p.10 nós vimos este tipo de diagrama aqui, que nos ajuda a visualizar

as curvas de nível de funções de $x$ e $y$:

$\sm{F(x,y)\\=\,x+2y} ⇒
 \pictureFxy(-1,-2)(5,2){x+2*y}
$

Use diagramas deste tipo para visualizar

$[z=x+y]$, 

$[z=x+y+2]$, 

$[z=x-y+4]$.

\msk

Sejam:

$π_{12} = [z = x+y]$,

$π_{13} = [z = x-y+4]$ 

Exercício: encontre pontos de $r=π_{12}∩π_{13}$ tais que

a) $x=0$, b) $x=1$, c) $x=3$; depois

d) encontre uma parametrização para $r$,

e) encontre uma parametrização para $r$ na qual $t=x$.

\msk

Alguns dos nossos modos preferidos de descrever retas em $\R^3$:

$[y=ax+b, z=cx+d]$ (``$y$ e $z$ em função de $x$''),

$[x=ay+b, z=cy+d]$ (``$x$ e $z$ em função de $y$''),

$[x=az+b, y=cz+d]$ (``$x$ e $y$ em função de $z$'').

Encontre uma descrição da forma $[y=ax+b, z=cx+d]$ para a $r$ acima.

(Dica: use o ``chutar e testar''!)



\newpage


%  ____       _       
% |  _ \  ___| |_ ___ 
% | | | |/ _ \ __/ __|
% | |_| |  __/ |_\__ \
% |____/ \___|\__|___/
%                     
% «determinantes-em-R3» (to ".determinantes-em-R3")
% (gar181p 4 "determinantes-em-R3")
% (gar181    "determinantes-em-R3")
% (gar181p 31 "determinantes-em-R3")
% (gam172p 31 "determinantes-em-R3")

{\bf Determinantes em $\R^3$}

\ssk

Lembre que o determinante em $\R^2$ mede {\sl áreas} (de paralelogramos),

e às vezes ele responde números negativos:
%
$$\vsm{a&b\\c&d\\}
  = ac-bd \qquad
  \vsm{c&d\\a&b\\} = bd-ac = -\vsm{a&b\\c&d\\}
$$

Vamos usar a seguinte notação (temporária):

$[\uu,\vv]
  = [\V(u_1, u_2), \V(v_1, v_2)]
  = \vsm{u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \\}
  \qquad \text{(em $\R^2$)}
$

$[\uu,\vv,\ww]
  = [\V(u_1, u_2, u_3), \V(v_1, v_2, v_3), \V(w_1, w_2, w_3)]
  = \vsm{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\}
  \qquad \text{(em $\R^3$)}
$

``$[\uu,\vv]$'' e ``$[\uu,\vv,\ww]$'' querem dizer

``empilhe os vetores numa matriz quadrada e tire o determinante dela''.

\msk

A definição de determinante em $\R^3$ -- como conta -- é:

$$\begin{array}{rcl}
  \vmat{u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\}
  &=& \pmat{u_1v_2w_3 + u_2v_3w_4 + u_3v_4w_5 \\
         -u_3v_2w_1 - u_4v_3w_2 - u_5v_4w_3 \\
        } \\
  &=& \pmat{u_1v_2w_3 + u_2v_3w_1 + u_3v_1w_2 \\
         -u_3v_2w_1 - u_1v_3w_2 - u_2v_1w_3 \\
        }
  \end{array}
$$

\def\ii{\vec{\mathbf{i}}}
\def\jj{\vec{\mathbf{j}}}
\def\kk{\vec{\mathbf{k}}}

As seguintes definições são padrão:

$$\ii=\V(1,0,0) \qquad \jj=\V(0,1,0) \qquad \kk=\V(0,0,1)$$

Exercício: calcule

a) $[\ii,\jj,\kk]$

b) $[\ii,\kk,\jj]$

c) $[\jj,\ii,\kk]$

d) $[\jj,\kk,\ii]$

e) $[\kk,\ii,\jj]$

f) $[\kk,\jj,\ii]$

g) $[\ii,\jj,\ii]$

g) $[2\ii,3\jj,4\kk]$

h) $[a\ii,b\jj,c\kk]$

i) $[a\ii+b\jj+c\kk,d\jj+e\kk,f\kk]$

j) $[a\ii, b\ii+c\jj, d\ii+e\jj+f\kk]$

% (find-angg ".emacs" "gaq161")
% (gaq161 58 "20160704" "Visualizar R^3")



\newpage

%  ____       _                          ____ /\ _____    ________  
% |  _ \  ___| |_ ___    ___ _ __ ___   |  _ \/\|___ /   / /___ \ \ 
% | | | |/ _ \ __/ __|  / _ \ '_ ` _ \  | |_) |   |_ \  | |  __) | |
% | |_| |  __/ |_\__ \ |  __/ | | | | | |  _ <   ___) | | | / __/| |
% |____/ \___|\__|___/  \___|_| |_| |_| |_| \_\ |____/  | ||_____| |
%                                                        \_\    /_/ 
% «determinantes-em-R3-2» (to ".determinantes-em-R3-2")
% (gar181p 5 "determinantes-em-R3-2")
% (gar181    "determinantes-em-R3-2")
% (gar181p 32 "determinantes-em-R3-2")
% (gam172p 32 "determinantes-em-R3-2")

{\bf Determinantes em $\R^3$ (2)}

\ssk

Lembre que o determinante em $\R^2$ mede áreas, que são ``base vezes altura'',

e que a gente pode deslizar um lado ($\vv$) do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$

``numa direço paralela a $\uu$'', sem alterar nem a ``base'' nem a ``altura''...

Algebricamente: $[\uu,\vv] = [\uu,\vv+a\uu]$.

E deslizando o $\uu$, temos $[\uu,\vv] = [\uu+a\vv,\vv]$.

\msk

Em $\R^3$ podemos pensar que o determinante $[\uu,\vv,\ww]$ mede

a área da base --- a área do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ ---

vezes a altura.

Se $\uu$, $\vv$ e $\ww$ são ortogonais entre si então

a ``área da base'' é $||\uu||·||\vv||$, e a ``altura'' é $||\ww||$.

\ssk

(Obs: em $\R^3$, $\V(a,b,c)·\V(d,e,f) = ad+be+cf$, $||\vv|| = \sqrt{\uu·\vv}$,

$\uu⊥\vv = (\uu·\vv=0)$, $\Pr_{\uu}\vv = \frac{\uu·\vv}{\uu·\uu}\uu$.)

\msk

Propriedades mais importantes dos determinantes em $\R^3$:

$[a\uu,b\vv,c\ww] = abc[\uu,\vv,\ww]$

$[\uu,\vv,\ww] = [\uu,\vv,\ww+a\uu+b\vv]$

$[\uu,\vv,\ww] = [\uu,\vv+a\uu+b\ww,\ww]$

$[\uu,\vv,\ww] = [\uu+a\vv+b\ww,\vv,\ww]$

\msk

Quase todas as idéias sobre determinantes em $\R^3$ que a gente vai
ver agora ficam mais fáceis de entender se a gente as entende em três
etapas: 1) com $\uu$, $\vv$, $\ww$ ortogonais entre si, e todos com
comprimento 1; 2) usando vetores $\uu'=a\uu$, $\vv'=b\vv$, $\ww'=c\ww$
construídos a partir dos anteriores; estes $\uu'$, $\vv'$ e $\ww'$ são
ortogonais entre si, mas podem ter qualquer comprimento, 3) usando
vetores $\uu''=\uu'$, $\vv''=\vv'+d\uu'$ e $\ww'=\ww'+e\uu'+f\vv'$.

\msk

{\bf Exercício importantíssimo} (encontrar coeficientes):

a) Encontre $a,b,c$ tais que $\V(a,b,c)·\V(x,y,z) = 2x+3y+4z$

b) Encontre $a,b,c,d$ tais que $\V(a,b,c)·\V(x,y,z)+d = 2x+3y+4z+5$

c) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{1&2&3 \\ 4&5&6 \\ x&y&z \\} = \V(a,b,c)·\V(x,y,z)$

d) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ x&y&z \\} = \V(a,b,c)·\V(x,y,z)$

e) Encontre $a,b,c$ tais que $\vsm{u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \\}
   = \V(a,b,c)·\V(w_1,w_2,w_3)$

% (find-fline "/tmp/33.jpg")



\newpage

%                                                   _ 
%   ___ _ __ ___  ___ ___       _ __  _ __ ___   __| |
%  / __| '__/ _ \/ __/ __|_____| '_ \| '__/ _ \ / _` |
% | (__| | | (_) \__ \__ \_____| |_) | | | (_) | (_| |
%  \___|_|  \___/|___/___/     | .__/|_|  \___/ \__,_|
%                              |_|                    
%
% «cross-prod» (to ".cross-prod")
% (gar181p 6 "cross-prod")
% (gar181    "cross-prod")
% (gar181p 33 "cross-prod")
% (gam172p 33 "cross-prod")

{\bf O produto cruzado ($×$) em $\R^3$}

\ssk

\def\area{\textsf{área}}

O ``produto cruzado'' (ou ``produto vetorial'') $\uu×\vv$ é definido como

se ele fosse ``uma parte da conta do determinante'': $(\uu×\vv)·\ww = [\uu,\vv,\ww]$.

Exercício: verifique que no item (e) acima temos

$\uu×\vv = \V(\uu_2\vv_3-\uu_3\vv_2, \uu_3\vv_1-\uu_1\vv_3, \uu_1\vv_2-\uu_2\vv_1)$.

\msk

{\sl Idéia importantíssima:}

1) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então o volume $[\uu,\vv,\ww]$ é exatamente a área do
paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ (exceto talvez pelo sinal);

2) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então o volume $[\uu,\vv,\ww+a\uu+b\vv]$ é exatamente a
área do paralelogramo gerado por $\uu$ e $\vv$ (exceto talvez pelo
sinal);

3) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então o volume $[\uu,\vv,a\uu+b\vv+c\ww]$ é
$c·\area(\uu,\vv)$ (exceto talvez pelo sinal);

4) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então $(\uu×\vv)·(a\uu+b\vv+c\ww)$ é $c·\area(\uu,\vv)$
(exceto talvez pelo sinal);

5) para quaisquer $\uu$ e $\vv$, se $\ww$ é ortogonal a $\uu$ e $\vv$
e $||\ww||=1$, então $\uu×\vv = \area(\uu,\vv)·\ww$ (exceto talvez
pelo sinal).

\msk

{\bf Exercício:}

Use o (5) acima para tentar descobrir quais são as duas respostas
possíveis para $\uu×\vv$ nos casos a e b abaixo, e depois compare as
suas respostas com resposta ``algébrica'' dada pela fórmula lá no alto
da página.

a) $\uu=\V(3,0,0)$, $\vv=\V(0,4,0)$, $\ww=\V(0,0,1)$

b) $\uu=\V(0,3,0)$, $\vv=\V(0,3,3)$, $\ww=\V(1,0,0)$



\newpage

% (find-fline "/tmp/34.jpg")


%   ___                    
%  / _ \ _ __  ___   __  __
% | | | | '_ \/ __|  \ \/ /
% | |_| | |_) \__ \   >  < 
%  \___/| .__/|___/  /_/\_\
%       |_|                
%
% «alguns-usos-do-x» (to ".alguns-usos-do-x")
% (gar181p 7 "alguns-usos-do-x")
% (gar181    "alguns-usos-do-x")
% (gam172p 34 "alguns-usos-do-x")
% (gam172     "alguns-usos-do-x")
% (gaq 31)

{\bf Alguns usos do `$×$'}

\ssk

1) $||\uu×\vv|| = \area(\uu,\vv)$

2) $\uu×\vv$ sempre dá um vetor ortogonal a $\uu$ e $\vv$

3) $\uu×\vv=\V(0,0,0)$ se e só se $\area(\uu,\vv)=0$, ou seja, se
$\uu$ e $\vv$ são colineares

(i.e., paralelos).

4) Digamos que

$r  = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,

$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,

$B = A+\ww$.

Então $r$ e $r'$ são reversas se e só se $[\uu,\vv,\ww] \neq 0$.

(Se $[\uu,\vv,\ww]=0$ então $r$ e $r'$ são ou paralelas, ou coincidentes, ou se cortam).

5) Pra testar se quatro pontos $A,B,C,D∈\R^3$ são coplanares,

encontre $\uu,\vv,\ww$ tais que $A+\uu=B$, $A+\vv=C$, $A+\ww=D$;

temos $[\uu,\vv,\ww]=0$ se e só se $A,B,C,D$ forem coplanares.

6) (Difícil!) Sejam

$r  = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,

$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,

$B = A+\ww$.

\def\ut#1#2{\underbrace{#1}_{\text{#2}}}

Então: $d(r,r') = \ut{\ut{|[\uu,\vv,\ww]|}{volume} / \ut{\area(\uu,\vv)}{área da base}}{altura}$.

7) (Difícil!) Sejam

$r  = \setofst{A+t \uu}{t \in\R}$,

$r' = \setofst{B+t'\vv}{t'\in\R}$,

$B = A+\ww$.

Como a gente encontra uma reta $s$ que corte $r$ e $r'$ e seja ortogonal a ambas?

Sejam $C_t = A+t \uu$ e $D_{t'} = B+t' \vv$.

Queremos que $\Vec{C_tD_{t'}}$ seja ortogonal a $\uu$ e $\vv$,

ou seja, que $\Vec{C_tD_{t'}}$ seja paralelo a $\uu×\vv$,

ou seja, que $\Vec{C_tD_{t'}}×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,

ou seja, que $(D_{t'}-C_t)×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,

ou seja, que $((B+t'\vv)-(A+t \uu))×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,

ou seja, que $(t'\vv - t\uu + \Vec{AB})×(\uu×\vv)=\V(0,0,0)$,

o que dá um sistema que nos permite encontrar $t$ e $t'$ com poucas contas...

Sabendo $t$ e $t'$ sabemos $C_t$ e $D_{t'}$, e a reta $s$ passa por $C_t$ e $D_{t'}$.

\bsk

{\sl Agora você deve ser capaz de resolver os exercícios 1 a 20 da lista 9 da}

{\sl Ana Isabel! Yaaaaay!} $=)$ $=)$ $=)$





\end{document}

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "gar181"
% End: