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% (find-LATEX "2020-1-C2-intro.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-1-C2-intro.tex" :end))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C2-intro.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-1-C2-intro.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-1-C2-intro.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-1-C2-intro"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)) (g))
% (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C2-intro.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C2-intro.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C2-intro.pdf /tmp/pen/")
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% file:///tmp/2020-1-C2-intro.pdf
% file:///tmp/pen/2020-1-C2-intro.pdf
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% (find-LATEX "2019.mk")
% «.title» (to "title")
% «.intro» (to "intro")
% «.subst-zoomed» (to "subst-zoomed")
% «.corrigir-igual» (to "corrigir-igual")
% «.regra-da-cadeia» (to "regra-da-cadeia")
% «.acrescentamos» (to "acrescentamos")
%
% «.elisp» (to "elisp")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
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%
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% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
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%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
%\catcode`\^^J=10
%\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
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\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
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% \pu
%\printbibliography
% (find-angg ".emacs" "c2q192")
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
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% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2020.1}
\bsk
Aula 1: Introdução ao curso
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% ___ _
% |_ _|_ __ | |_ _ __ ___
% | || '_ \| __| '__/ _ \
% | || | | | |_| | | (_) |
% |___|_| |_|\__|_| \___/
%
% «intro» (to ".intro")
% (c2m201introp 2 "intro")
% (c2m201introa "intro")
\section{Introdução ao curso}
O curso de Cálculo 2 é principalmente sobre dois assuntos: {\bf
integrais}, e {\bf equações diferenciais ordinárias}. Nós vamos
abreviar ``equação diferencial ordinária'' como ``EDO''; existem
também as {\sl equações diferenciais parciais}, ou EDPs, que são um
assunto beeem mais complicado.
\ColorRed{{\sl Integrais} são {\sl áreas}.} A expressão
$\Intx{a}{b}{f(x)}$ quer dizer ``a área sob a curva $y=f(x)$ entre
$x=a$ e $x=b$''. Mais visualmente,
% (find-latexinkscape-links "2020-1-C2/area-intro-1")
$$\Intx{a}{b}{f(x)} = \Area \left(
\myvcenter{\includegraphics[width=4cm]{2020-1-C2/area-intro-1.pdf}}
\right)
$$
\newpage
$$\Intx{a}{b}{f(x)} = \Area \left(
\myvcenter{\includegraphics[width=4cm]{2020-1-C2/area-intro-1.pdf}}
\right)
$$
Pra aprender a calcular essas áreas a gente vai ter que aprender a
aproximá-las por somas de retângulos -- um limite complicado! -- e os
detalhes vão dar um trabalhão... $\frown$
Repare, a área em vermelho é delimitada:
por cima pela \ColorRed{curva} $y=f(x)$,
pela esquerda pela reta $x=a$,
pela direita pela reta $x=b$,
por baixo pela reta $y=0$.
\newpage
{\bf Equações diferenciais} (lembre: ``ordinárias'' $→$ ``EDOs'') são
um pouco mais complicadas do que as equações que já sabemos
resolver...
\def\te{\text}
\msk
$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{rll}
1) & x+2 = 5 & \te{Equação de 1º grau} \\
2) & x^2+3 = 7 & \te{Eq.\ de 2º grau simples} \\
3) & x^2+x = 6 & \te{Eq.\ de 2º grau mais complicada} \\[5pt]
4) & f'(x) = x^4 & \te{EDO simples} \\
& \text{ou: } \ddx f(x) = x^4 & \te{$f$ é a váriavel/incógnita!!!} \\
5) & f'(x) = 2f(x) & \te{EDO mais complicada} \\
6) & f''(x) + f'(x) = 6f(x) & \te{idem} \\
7) & f'(x) = -1/f(x) & \te{idem} \\
8) & f'(x) = -x/f(x) & \te{idem} \\
\end{array}
$}
$
\msk
Na passagem de (1) para (2) e (3) as equações ficaram mais complicadas
porque o $x$ passou a poder aparecer elevado ao quadrado.
No (4) estamos procurando uma \ColorRed{função} $f:\R→\R$ que obedeça
$f'(x) = x^4$ \ColorRed{para todo $x$}. Esse ``para todo $x$'' fica
\ColorRed{implícito}.
\newpage
\section{Chutar e testar}
Nosso primeiro método de resolver equações vai ser \ColorRed{chutar e
testar} -- nós vamos chutar valores pra incógnita e ver se algum
deles é uma solução.
\begin{center}
\bf\Large
Aprender a \ColorRed{testar} vai ser
\underline{\underline{\underline{A}}} coisa
mais importante do curso.
\end{center}
Neste curso nós vamos usar duas coisas que não são padrão em cursos de
Cálculo 2:
1) Uma notação --- que normalmente só o pessoal de Computação aprende,
e só em cursos avançados... --- para \ColorRed{substituição de
variáveis em expressões arbitrárias,}
2) Nós vamos usar a fórmula $e^{iθ} = \cosθ + i\senθ$ a beça.
\newpage
Nós vamos reescrever isto:
\msk
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
Se substituirmos $x$ por $10a+b$
e $y$ por $3c+4d$ em:
%
$$x^y + 2x$$
%
obtemos:
%
$$(10a+b)^{3c+4d} + 2(10a+b)$$
\end{minipage}}
\end{center}
\msk
deste jeito:
$$(x^y+2x) \bmat{x:=10a+b \\ y:=3c+4d} = (10a+b)^{3c+4d} + 2(10a+b)$$
\newpage
% «subst-zoomed» (to ".subst-zoomed")
% (c2m201introp 7 "subst-zoomed")
% (c2m201introa "subst-zoomed")
Repare: em
%
$$\scalebox{2.0}{$
\begin{array}{l}
(x^y+2x) \bmat{x:=10a+b \\ y:=3c+4d} \\[12pt]
= (10a+b)^{3c+4d} + 2(10a+b)
\end{array}
$}
$$
a notação é
%
$$\text{(expressão original)[substituições] = (expressão nova)}$$
e cada uma das substituições é da forma:
%
$$\text{variável} := \text{expressão}$$
\newpage
A notação `$[:=]$' vai ser bem prática pra gente fazer hipóteses e
testá-las. Por exemplo, digamos que queremos testar se 2 e 3 são
soluções da equação $x+2=5$...
%
$$\begin{array}{rcl}
(x+2=5)[x:=2] &=& (2+2=5) \\
&=& (4=5) \\
&=& \False \\[5pt]
(x+2=5)[x:=3] &=& (3+2=5) \\
&=& (5=5) \\
&=& \True \\[5pt]
\end{array}
$$
Note que os `$=$'s das expressões entre parênteses são
\ColorRed{comparações} -- como a operação `\texttt{==}' do \texttt{C}
-- e retornam ou $\True$ (``Verdadeiro'') ou $\False$ (``Falso'').
\newpage
% «corrigir-igual» (to ".corrigir-igual")
% (c2m201introp 9 "corrigir-igual")
% (c2m201introa "corrigir-igual")
{\bf ``Eu só vou corrigir os sinais de igual''}
Uma dos slogans que eu mais vou repetir quando estiver tirando dúvidas
ou corrigindo exercícios de vocês é ``\ColorRed{Eu só vou corrigir os
sinais de igual}''.
Em Cálculo 1 muita gente se enrola com a fórmula da regra da cadeia --
porque se enrola na hora de substituir os `$f$'s, `$g$'s, `$f'$'s e
`$g'$'s nela... uma das fórmulas mais importantes, e mais difíceis de
acreditar, de Cálculo 2 é a da \ColorRed{Integração por Substituição},
que é BEEEEM pior do que a Regra da Cadeia. O \ColorRed{operador de
substituição}, ``$[:=]$, que não tem nada a ver com a Integração por
Substituição, vai nos ajudar bastante a aplicar essas fórmulas passo a
passo sem a gente se perder.
Vamos precisar de alguns truques novos...
\newpage
% «regra-da-cadeia» (to ".regra-da-cadeia")
{\bf Exemplo: regra da cadeia}
Primeiro vou inventar uma abreviação para a regra da cadeia.
\ColorRed{Obs: vários dos truques que vamos usar agora são inspirados
em notações de Teoria da Computação e não são padrão!!! Não use eles
em outros cursos!!! {\bf Os professores podem não entender e podem
ficar putos!!!}}
\msk
O `$:=$' abaixo é uma \ColorRed{atribuição}, como o `\texttt{=}' do
\texttt{C}. A linha abaixo quer dizer: ``\ColorRed{a partir de agora}
o valor de $[RC]$ vai ser a \ColorRed{expressão} entre os parênteses
grandes.
%
$$[RC] \;\; := \;\; \left( \ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \right)$$
\newpage
{\bf Exemplo: regra da cadeia (2)}
Continuando...
%
$$[RC] \;\; := \;\; \left( \ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \right)$$
Então:
%
$$\begin{array}{rcl}
[RC] \bmat{f := \sen} &=&
\left( \ddx \sen(g(x)) = \sen'(g(x))g'(x) \right) \\[5pt]
[RC] \bmat{f(u) := \sen u} &=&
\left( \ddx \sen(g(x)) = \sen'(g(x))g'(x) \right) \\[5pt]
[RC] \bmat{f(u) := u^4 \\ f'(u) := 4u^3 } &=&
\left( \ddx (g(x))^4 = 4(g(x))^3g'(x) \right) \\
\end{array}
$$
Repare que agora estamos substituindo o `$f$' \ColorRed{como se ele
fosse uma variável} -- mas precisamos de gambiarras novas. No caso
do meio escrevemos $f(u) := \sen u$ ao invés de $f := \sen$, e...
\newpage
% «acrescentamos» (to ".acrescentamos")
% (c2m201introp 12 "acrescentamos")
% (c2m201introa "acrescentamos")
$$[RC] \;\; := \;\; \left( \ddx f(g(x)) = f'(g(x))g'(x) \right)$$
$$\begin{array}{rcl}
[RC] \bmat{f := \sen} &=&
\left( \ddx \sen(g(x)) = \sen'(g(x))g'(x) \right) \\[5pt]
[RC] \bmat{f(u) := \sen u} &=&
\left( \ddx \sen(g(x)) = \sen'(g(x))g'(x) \right) \\[5pt]
[RC] \bmat{f(u) := u^4 \\ f'(u) := 4u^3 } &=&
\left( \ddx (g(x))^4 = 4(g(x))^3g'(x) \right) \\
\end{array}
$$
%
...e no caso de baixo acrescentamos uma linha ``$f'(u) := 4u^3$'' na
lista de substituições. Essa linha é uma \ColorRed{consequencia} da
linha ``$f(u) := u^4$'', e ela está lá só pra ajudar a gente a se
enrolar menos.
\newpage
{\bf Exercício}
Tente resolver as EDOs abaixo (de um dos primeiros slides) por chutar
e testar.
$$\begin{array}{rll}
4) & f'(x) = x^4 & \te{EDO simples} \\
& \text{ou: } \ddx f(x) = x^4 & \te{$f$ é a váriavel/incógnita!!!} \\
5) & f'(x) = 2f(x) & \te{EDO mais complicada} \\
6) & f''(x) + f'(x) = 6f(x) & \te{idem} \\
7) & f'(x) = -1/f(x) & \te{idem} \\
8) & f'(x) = -x/f(x) & \te{idem} \\
\end{array}
$$
Sugestão: comece testando $f(x) = x^3$, $f(x) = x^5$, $f(x) = 200x^5 +
42$, $f(x) = e^x$, $f(x) = e^{42x}$, $f(x) = e^{2x}$, $f(x)=e^{3x}$,
$f(x) = \sqrt{1-x^2}$, $f(x) = \sqrt{4-x^2}$.
\end{document}
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% «elisp» (to ".elisp")
(defun ima () (interactive) (find-es "inkscape" "manual"))
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% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
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% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C2-intro veryclean
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C2-intro pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
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% End: