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% (find-LATEX "2020-1-C3-plano-tang.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2020-1-C3-plano-tang.tex" :end))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C3-plano-tang.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2020-1-C3-plano-tang.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2020-1-C3-plano-tang.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2020-1-C3-plano-tang"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)) (g))
% (find-pdf-page "~/LATEX/2020-1-C3-plano-tang.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C3-plano-tang.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2020-1-C3-plano-tang.pdf /tmp/pen/")
% file:///home/edrx/LATEX/2020-1-C3-plano-tang.pdf
% file:///tmp/2020-1-C3-plano-tang.pdf
% file:///tmp/pen/2020-1-C3-plano-tang.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C3-plano-tang.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-C3-aula-links "2020-1-C3-plano-tang" "14" "pltan")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.danilo-pereira» (to "danilo-pereira")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.derivada» (to "derivada")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.mini-teste-1» (to "mini-teste-1")
% «.miniteste-regras» (to "miniteste-regras")
% «.video» (to "video")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
%\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx15} % (find-LATEX "edrx15.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrxchars.tex % (find-LATEX "edrxchars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% %L dofile "edrxtikz.lua" -- (find-LATEX "edrxtikz.lua")
% %L dofile "edrxpict.lua" -- (find-LATEX "edrxpict.lua")
% \pu
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx15.sty" "colors-2019")
\long\def\ColorRed #1{{\color{Red1}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{MagentaVioletLight}#1}}
\long\def\ColorViolet#1{{\color{Violet!50!black}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringDarkHard}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreenDark}#1}}
\long\def\ColorGreen #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{GrayLight}#1}}
\long\def\ColorGray #1{{\color{black!30!white}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{Brown}#1}}
\long\def\ColorBrown #1{{\color{brown}#1}}
\long\def\ColorShort #1{{\color{SpringGreen4}#1}}
\long\def\ColorLong #1{{\color{Red1}#1}}
\def\frown{\ensuremath{{=}{(}}}
\def\True {\mathbf{V}}
\def\False{\mathbf{F}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2020-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2020.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
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% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
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% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m201pltanp 1 "title")
% (c3m201pltana "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2020.1}
\bsk
Aula 14 e 15: Introdução a planos tangentes
(e à derivada --- \ColorRed{e mini-teste 1})
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2020.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
%\printbibliography
% «danilo-pereira» (to ".danilo-pereira")
% (find-youtubedl-links "/sda5/videos/" "Calculo II - Derivada Direcional e Vetor Gradiente (1 de 2)" "nmZ1Wmk7wcY" ".mp4" "dpddvg1")
% (code-video "dpddvg1video" "/sda5/videos/Calculo II - Derivada Direcional e Vetor Gradiente (1 de 2)-nmZ1Wmk7wcY.mp4")
% (find-dpddvg1video "0:00")
Na aula passada nós começamos a ver derivadas parciais, mas num caso
complicado, e eu pedi pra vocês assistirem este vídeo aqui, do Danilo
Pereira,
\ssk
\url{http://www.youtube.com/watch?v=nmZ1Wmk7wcY}
\ssk
\noindent
chamado ``Cálculo II - Derivada Direcional e Vetor Gradiente (1 de
2)'', que também começa direto em casos bem complicados.
Hoje nós vamos ver algo bem mais simples: {\sl planos}.
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m201pltanp 3 "exercicio-1")
% (c3m201pltan "exercicio-1")
{\bf Definição.} Vou dizer que uma função $F: \R^2 → \R$ {\sl é de
primeira ordem} quando existirem $a,b,c∈\R$ tais que $F$ é da forma:
%
$$F(x,y) \;\; = \;\; ax + by +c$$
\bsk
{\bf Exercício 1.}
Para cada uma das funções abaixo converta-a para a forma $F(x,y) =
ax+by+c$ e diga ``quem são o $a$, o $b$ e o $c$ dela''.
\ssk
a) $F(x,y) = 2(x+y) + 3 (x-4y) - 20$
b) $F(x,y) = (x+y) + (x-y) + 42$
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m201pltanp 4 "exercicio-2")
% (c3m201pltan "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
Seja $F(x,y) = 3 + 2x +y$.
a) Desenhe o diagrama de numerozinhos da $F$.
b) Calcule $F(0,2)$.
c) Desenhe a curva de nível de $z=F(0,2)$.
d) Desenhe a curva de nível de $z=F(2,2)$.
e) Desenhe a curva de nível de $z=9$.
f) Desenhe a curva de nível de $z=3$.
g) Sempre que uma $F:\R^2 → \R$ for uma função de primeira ordem as
suas curvas de nível vão ser ``equiespaçadas''. Use isto para
descobrir como desenhar as curvas de nível da $F$ para $z=0$, $z=1$,
$z=2$, $z=3$, $z=4$. Escreva do lado de cada uma delas ``$z=0$'',
``$z=1$'', etc, pra você não se perder.
\newpage
{\bf Exercício 2 (continuação).}
\ssk
h) Escolha algum vetor $\vv$ não-nulo que seja paralelo às curvas de
nível que você acabou de desenhar. Diga as componentes dele.
i) Calcule as derivadas parciais da $F$.
j) Calcule o gradiente da $F$. Dica: onde o vídeo do Danilo Pereira
define gradiente? Ele usa a mesma notação que o Bortolossi usa no
capítulo 8 do livro dele?
k) O gradiente da $F$ é ortogonal ao vetor $\vv$ do item h? Calcule o
produto interno deles.
% (find-bortolossi8page (+ -290 291) "8. Derivadas direcionais e o vetor gradiente")
\newpage
Seja $F(x,y) = 3 + 2x +y$,
Slogan: ``o vetor gradiente de $F$ diz a direção
pra onde a $F$ cresce mais rápido''.
Sejam $(x_0,y_0) = (2,1)$, $C = \setofst{(x_0,y_0) + \vv}{||\vv||=1}$.
Veja este vídeo:
\ssk
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2020_vetor_gradiente.mp4}
\newpage
% «derivada» (to ".derivada")
% (c3m201pltanp 7 "derivada")
% (c3m201pltan "derivada")
{\bf Derivada}
\ssk
Se $F$ é um função de $\R^m$ em $R^n$ a derivada de $F$ vai ser uma
{\sl matriz}... isto é bem complicado e vai ficar pra segunda parte do
curso --- mas hoje vamos ver um caso particular, no qual a derivada
$Df$ é uma matriz {\sl horizontal}, e este caso vai nos ajudar a
entender algumas coisas do video do Danilo Pereira.
\msk
{\bf Definição} (temporária):
Se $F:\R^2 → \R$ e $p_0$ é um ponto de $\R^2$ então
%
$$\begin{array}{rcl}
DF(p_0) &=& \pmat{\frac{∂F}{∂x}(p_0) & \frac{∂F}{∂y}(p_0)} \\
DF &=& \pmat{\frac{∂F}{∂x} & \frac{∂F}{∂y}} \\
\end{array}
$$
Obs: ela é ``temporária'' porque depois que nós entendermos as páginas
252 até 263 do Bortolossi a nossa definição ``de verdade'' da derivada
em várias dimensões vai ser algo bem mais geral, e as equações acima
vão ser só consequências ``óbvias'' da definição mais geral.
% (c3m192p 5 "ponto-base")
% (c3m192 "ponto-base")
% (find-LATEX "2019-2-C3-material.tex" "ponto-base")
% (find-LATEX "2019-2-C3-material.tex" "ponto-base" "jacobiana")
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
\ssk
Slogan: ``Funções de primeira ordem têm derivada constante''.
Seja $F(x,y) = 3 + 2x + y$.
\ssk
Calcule:
a) $DF(10, 20)$
b) $DF(42, 99)$
\msk
Seja $G(p_1) = F(p_1) + DF(p_0)(p_1 - p_0)$,
onde $F$ continua a mesma.
Digamos que $p_0 = (1,4)$ e $p_1 = (2,5)$.
c) Segundo as nossas convenções quem são $x_0$, $y_0$, $x_1$, $y_1$?
d) Interpretando $(p_1 - p_0)$ como um vetor vertical, isto é,
$(p_1 - p_0) = \psm{x_1-x_0 \\ y_1-y_0}$, Calcule $G(p_1)$.
e) Calcule $F(p_1)$ e compare o seu valor com $G(p_1)$.
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c3m201pltanp 9 "exercicio-4")
% (c3m201pltan "exercicio-4")
No exercício da página anterior você aproximou uma função $F$ de
primeira ordem por uma função $G$ que também era de primeira ordem, e
você deve ter descoberto que no ponto $p_1$ que eu dei a gente tinha
$G(p_1) = F(p_1)$... agora vamos tentar fazer algo \ColorRed{parecido}
começando com uma $F$ que não é de primeira ordem.
\bsk
{\bf Exercício 4.}
\ssk
Seja $F(x,y) = y(y-x)$.
a) Faça o diagrama de numerozinhos para esta $F$.
b) Desenhe nele a curva de nível de $F(x,y)=0$.
c) Calcule $F(4,1)$.
b) Desenhe a curva de nível de $F(x,y)=F(4,1)$.
e) Calcule $DF(4,1)$.
f) Seja $G(p_1) = F(p_0) + DF(p_0) (p_1 - p_0)$. Ponha esta $G$ na
forma $G(x,y) = ax + by + c$. Quem são $a$, $b$, e $c$?
\newpage
{\bf Exercício 4 (continuação).}
\ssk
g) Calcule $DG$ e $DG(4,1)$.
h) Desenhe a curva de nível de $G(x,y)=G(4,1)$.
i) Essa curva de nível é, ou parece ser, tangente à curva de nível da
$F$ que você obteve no item (b)?
\bsk
j) Refaça os itens anteriores mas agora usando $p_0 = (3,2)$ ao invés
de $p_0 = (4,1)$.
\newpage
% «mini-teste-1» (to ".mini-teste-1")
% (c3m201pltanp 11 "mini-teste-1")
% (c3m201pltan "mini-teste-1")
{\bf Mini-teste 1}
\ssk
Sejam $F(x,y) = (x-2)(x+y)$ e $p_0 = (2,1)$.
a) Faça o diagrama de numerozinhos para esta $F$.
b) Desenhe nele as curvas de nível de $F(x,y)=0$ e $F(x,y) = F(p_0)$.
c) Calcule $DF(p_0)$.
d) Seja $G(p_1) = F(p_0) + DF(p_0) (p_1 - p_0)$. Ponha esta $G$ na
forma $G(x,y) = ax + by + c$. Quem são $a$, $b$, e $c$?
e) Desenhe a curva de nível de $G(x,y) = G(p_0)$ \ColorRed{sobre o
gráfico do item b}.
\newpage
% «miniteste-regras» (to ".miniteste-regras")
% (c3m201pltanp 12 "miniteste-regras")
% (c3m201pltan "miniteste-regras")
% (c2m201mt1p 7 "miniteste-regras")
% (c2m201mt1 "miniteste-regras")
{\bf Regras:}
As questões do mini-teste serão disponibilizadas às 14:00 da
sexta-feira 13/nov/2020 e você deverá entregar as respostas
\ColorRed{escritas à mão} até as 22:00 do sábado 14/nov/2020 na
plataforma Classroom. Se o Classroom der algum problema mande também
para este endereço de e-mail:
\ssk
\ColorRed{eduardoochs@gmail.com}
\ssk
Mini-testes entregues após este horário não serão considerados.
Durante as 24 horas do mini-teste o professor não responderá perguntas
sobre os assuntos do mini-teste mas você pode discutir com os seus
colegas --- inclusive no grupo da turma.
Este mini-teste vale 0.5 pontos extras na P1.
\newpage
{\bf Regras (cont.):}
\ssk
Os alunos que cumprirem uma série de condições (ainda não divulguei a
lista delas...) poderão compensar as suas questões erradas na P2
fazendo vídeos explicando passo a passo como resolvê-las na semana
seguinte à prova. \ColorRed{Uma das condições é ter feito todos os
mini-testes, então não deixe de fazer e entregar este mini-teste!}
\end{document}
% «video» (to ".video")
# (find-ssr-links "2020_vetor_gradiente" "grad")
# (find-ssr-links "2020_derivada_1" "deriv1")
# (find-es "pulseaudio" "pulseaudio-kill")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
cd /tmp/
cp -v ~/LATEX/2020-1-C3-plano-tang.pdf /tmp/
xournalpp 2020-1-C3-plano-tang.pdf
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C3-plano-tang veryclean
make -f 2019.mk STEM=2020-1-C3-plano-tang pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3m201pltan"
% End: