|
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% (find-LATEX "2021-2-C2-int-subst.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2021-2-C2-int-subst.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2021-2-C2-int-subst.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-int-subst.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2021-2-C2-int-subst.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C2-int-subst.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-1-C2-int-subst.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2021-2-C2-int-subst"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2021-2-C2-int-subst.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2021-2-C2-int-subst")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2021-2-C2-int-subst.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-int-subst.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2021-2-C2-int-subst.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2021-2-C2-int-subst.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2021-2-C2-int-subst.pdf
% file:///tmp/2021-2-C2-int-subst.pdf
% file:///tmp/pen/2021-2-C2-int-subst.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-int-subst.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-CN-aula-links "2021-2-C2-int-subst" "2" "c2m212ints" "c2ints")
% «.video-1» (to "video-1")
% «.video-2» (to "video-2")
% «.video-3» (to "video-3")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.x^-2» (to "x^-2")
% «.1-then-2» (to "1-then-2")
% «.S2-proof-1» (to "S2-proof-1")
% «.dfi» (to "dfi")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.mais-algumas» (to "mais-algumas")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.um-exemplo» (to "um-exemplo")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% «video-1» (to ".video-1")
% (c2m212intsa "video-1")
% (find-ssr-links "c2m212ints" "2021-2-C2-int-subst" "YbVfNi-xGNw")
% (code-eevvideo "c2m212ints" "2021-2-C2-int-subst" "YbVfNi-xGNw")
% (code-eevlinksvideo "c2m212ints" "2021-2-C2-int-subst" "YbVfNi-xGNw")
% (find-yttranscript-links "c2m212ints" "YbVfNi-xGNw")
% (find-c2m212intsvideo "0:00" "12/jan/2022")
% (find-c2m212intsvideo "0:40" "a f é a derivada de G, mas tem uns detalhes")
% (find-c2m212intsvideo "1:38" "calcular a integral de 2 até 4")
% (find-c2m212intsvideo "1:59" "e a gente também consegue calcular essa área por G(4)-G(2)")
% (find-c2m212intsvideo "3:10" "exercício 1 sobre diferença")
% (find-c2m212intsvideo "3:25" "aqui tem um caso fácil do TFC2")
% (find-c2m212intsvideo "3:33" "definição do TFC2")
% (find-c2m212intsvideo "3:43" "aplicar o TFC2")
% (find-c2m212intsvideo "3:50" "resolver algumas integrais por chutar e testar")
% (find-c2m212intsvideo "4:10" "só que a gente vai ver isso numa outra ordem")
% (find-c2m212intsvideo "4:28" "o primeiro slide que não é o título")
% (find-c2m212intsvideo "4:38" "isso aqui vocês viram que era verdade no MT3")
% (find-c2m212intsvideo "4:48" "mas isso é só a fórmula")
% (find-c2m212intsvideo "4:50" "as hipóteses são escritas por fora")
% (find-c2m212intsvideo "5:17" "no mini-teste 3 vocês usaram na prática")
% (find-c2m212intsvideo "5:34" "testar casos particulares e ver quando funcionam e quando não")
% (find-c2m212intsvideo "5:44" "dois exemplos de quando o TFC2 não funciona")
% (find-c2m212intsvideo "5:50" "a gente não sabe o teorema, só a fórmula dele")
% (find-c2m212intsvideo "5:59" "da mesma forma que a gente pode escrever uma igualdade errada")
% (find-c2m212intsvideo "6:25" "essa fórmula em que a gente escolhe uma função F")
% (find-c2m212intsvideo "6:40" "F(x) = -x^-1")
% (find-c2m212intsvideo "7:08" "vamos tentar calcular essa integral e essa diferença")
% (find-c2m212intsvideo "7:56" "isso aqui vai dar -2")
% (find-c2m212intsvideo "8:05" "essa conta da esquerda ... dá algo positivo")
% (find-c2m212intsvideo "8:40" "e como o TFC tem `teorema' no nome")
% (find-c2m212intsvideo "8:55" "um exemplo que não envolve infinitos")
% (find-c2m212intsvideo "9:45" "vai ser essa área, que é igual a 3")
% (find-c2m212intsvideo "10:12" "que dá 4")
% (find-c2m212intsvideo "10:32" "dessa vez a gente vai começar a usar o TFC2")
% (find-c2m212intsvideo "10:49" "a gente vai ter que usar zilhões de vezes o [:=]")
% (find-c2m212intsvideo "10:54" "isso é uma demonstração (do S2)")
% (find-c2m212intsvideo "13:30" "isso aqui é a fórmula do TFC2")
% (find-c2m212intsvideo "15:30" "aí a gente tem essa sequência de igualdades aqui")
% (find-c2m212intsvideo "15:54" "deixa eu ver se eu encontro uma explicação visual")
% «video-2» (to ".video-2")
% (c2m212intsa "video-2")
% (find-ssr-links "c2m212ints2" "2021-2-C2-int-subst-2" "SKff-4NqD6I")
% (code-eevvideo "c2m212ints2" "2021-2-C2-int-subst-2" "SKff-4NqD6I")
% (code-eevlinksvideo "c2m212ints2" "2021-2-C2-int-subst-2" "SKff-4NqD6I")
% (find-yttranscript-links "c2m212ints2" "SKff-4NqD6I")
% (find-c2m212ints2video "0:00" "19/jan/2022")
% (find-c2m212ints2video "0:00" "Integração por substituição")
% «video-3» (to ".video-3")
% (c2m212intsa "video-3")
% (find-ssr-links "c2m212ints3" "2021-2-C2-int-subst-3" "mZxNYcbq9aU")
% (code-eevvideo "c2m212ints3" "2021-2-C2-int-subst-3" "mZxNYcbq9aU")
% (code-eevlinksvideo "c2m212ints3" "2021-2-C2-int-subst-3" "mZxNYcbq9aU")
% (find-yttranscript-links "c2m212ints3" "mZxNYcbq9aU")
% (find-c2m212ints3video "0:00" "21/jan/2022")
% (find-c2m212ints3video "0:00")
% Videos antigos:
% (c2m202tfca "video-1")
% (c2m211isa "video-1")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "2021pict2e.lua" -- (find-LATEX "2021pict2e.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\rq{\ColorRed{?}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\pfo#1{\ensuremath{\mathsf{[#1]}}}
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\Rd{\ColorRed}
\def\D{\displaystyle}
% Difference with mathstrut
\def\Difms #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{s=#1}^{s=#2}}
\def\Difmu #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{u=#1}^{u=#2}}
\def\Difmx #1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{x=#1}^{x=#2}}
\def\Difmth#1#2#3{\left. \mathstrut #3 \right|_{θ=#1}^{θ=#2}}
\def\iequationbox#1#2{
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
\end{array}
\right)
}
\def\isubstbox#1#2#3#4#5{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
\def\isubstboxT#1#2#3#4#5#6{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\end{array}
\right)
}}
\def\isubstboxTT#1#2#3#4#5#6#7{{
\def\veq{\rotatebox{90}{$=$}}
\def\ph{\phantom}
\left(
\begin{array}{rcl}
\multicolumn{3}{l}{\text{#6}} \\%[5pt]
\D{ #1 } &=& \D{ #2 } \\
{\veq#3} \\
\D{ #4 } &=& \D{ #5 } \\
\multicolumn{3}{l}{\text{#7}} \\%[5pt]
\end{array}
\right)
}}
% Definição das fórmulas para integração por substituição.
% Algumas são pmatrizes 3x3 usando isubstbox.
\def\TFCtwo{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{F'(x)}}
{\Difmx{a}{b}{F(x)}}
}
\def\TFCtwoI{
\iequationbox {\intx{F'(x)}}
{F(x)}
}
\def\Sone{
\isubstbox
{\Difmx{a}{b}{f(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{f(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)}}
}
\def\SoneI{
\isubstbox
{f(g(x))} {\intx{f'(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{f(u)} {\intu{f'(u)}}
}
\def\Stwo{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(g(x))}} {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
\def\StwoI{
\isubstboxT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
\def\StwoI{
\isubstboxTT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
{Obs: $u=g(x)$.}
}
\def\Sthree{
\iequationbox {\Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)}}
{\Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}}
}
\def\SthreeI{
\iequationbox {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\intu{f(u)}
\qquad [u=g(x)]
}
% [u=g(x)]
}
\def\Sthree{
\pmat{
\D \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} \\
\veq \\
\D \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)}
}}
\def\SthreeI{
\pmat{
\D \intx{f(g(x))g'(x)} \\
\veq \\
\D \intu{f(u)} \\
\text{Obs: $u=g(x)$.} \\
}}
\def\Subst#1{\bmat{#1}}
\def\Ps #1{\left( #1 \right) }
\def\ps #1{ ( #1 ) }
\def\nops#1{ #1 }
\def\righte{\quad\text{e}}
\def\Rd#1{{\ColorRed{#1}}}
\def\Rdq {{\ColorRed{?}}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m212intsp 1 "title")
% (c2m212intsa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2021.2}
\bsk
Aula 22: integração por substituição
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2021.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
No mini-teste 3 - link:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m212mt3p 3 "questao")
% (c2m212mt3a "questao")
% (c2m212mt3p 4 "gabarito")
% (c2m212mt3a "gabarito")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-MT3.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-MT3.pdf#page=4}
}
\ssk
vocês viram que quando a função $G$ ``é uma integral da $f$''
nós podemos fazer contas como esta aqui:
%
$$\Intx{2}{5}{f(x)} \;\;=\;\; G(5) - G(2)$$
Isto é um caso particular do TFC2,
que tem várias versões diferentes...
a \ColorRed{fórmula} dele é essa aqui:
$$\Intx{a}{b}{F'(x)} \;\;=\;\; \difx{a}{b}{F(x)}$$
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m212intsp 3 "exercicio-1")
% (c2m212intsa "exercicio-1")
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Neste semestre eu vou tentar
explicar o TFC2 e as consequências dele ---
tipo: TODAS as técnicas de integração são
consequência do TFC2 --- com uma abordagem
diferente da do semestre passado.
\msk
Dê uma olhada nestes slides do semestre passado:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m211tfcsp 2 "exercicio-1")
% (c2m211tfcsa "exercicio-1")
% (c2m211tfcsp 10 "exercicio-2")
% (c2m211tfcsa "exercicio-2")
% (c2m211tfcsp 12 "exercicio-3")
% (c2m211tfcsa "exercicio-3")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-os-dois-TFCs.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-os-dois-TFCs.pdf}
}
Leia as páginas 2 até 4 dele,
a definição no fim da página 7,
e as páginas 10 até 12.
\msk
{\bf Exercício 1.}
Faça os exercícios 1, 2 e 3 do PDF acima ---
mas ao invés de fazer o 2 como eu pedi no semestre
passado faça esta versão modificada dele:
%
$$[\text{TFC2}] \pmat{F(x) := 2x^2 - \frac{x^3}{3} \\
F'(x) := 4x - x^2 \\
b:=4 \\
a:=0 }
\;\;=\;\; \ColorRed{?}
$$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m212intsp 4 "exercicio-2")
% (c2m212intsa "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
Assista este vídeo,
\ssk
{\footnotesize
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-2-C2-int-subst.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=YbVfNi-xGNw}
}
e depois tente entender cada uma
das igualdades do slide 7.
\bsk
Dica: os `$=$'s do slide 7 têm montes
de significados diferentes dependendo
do contexto. Tente fazer uma lista de
significados e pronúncias.
\bsk
Obs: os próximos 3 slides não são
autocontidos -- você vai precisar
assistir o vídeo pra entendê-los.
\newpage
% /\ ____
% __ _|/\| |___ \
% \ \/ / _____ __) |
% > < |_____/ __/
% /_/\_\ |_____|
%
% «x^-2» (to ".x^-2")
% (c2m212intsp 5 "x^-2")
% (c2m212intsa "x^-2")
{\bf Um caso em que o TFC2 dá um resultado errado}
\ssk
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ?")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T C : 4;
%T cap(f) ::= min(max(-C, f), C);
%T f : x^-2;
%T f(x) := x^-2;
%T F : integrate(f, x);
%T F(x) := -1/x;
%T F(1) - F(-1);
%T *
%T integrate(f, x, -1, -0.01) +
%T integrate(f, x, 0.01, 1);
%T *
%T ? solve
%T solve(f-4, x);
%T solve(f+4, x);
%T solve(F-4, x);
%T solve(F+4, x);
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%%?L ?")
%
%%L * (eepitch-lua51)
%%L * (eepitch-kill)
%%L * (eepitch-lua51)
%%L dofile "2021pict2e.lua" -- (find-LATEX "2021pict2e.lua")
%L
%L f = function (x) return x^-2 end
%L F = function (x) return -x^-1 end
%L
%L cut2 = function (f, xl, xr)
%L local yl = f(xl)
%L local yr = f(xr)
%L local g = function (x)
%L if x <= xl then return f(x) end
%L if x <= 0 then return yl end
%L if x == 0 then return (yl+yr)/2 end
%L if x <= xr then return yr end
%L return f(x)
%L end
%L return g
%L end
%L fcut = cut2(f, -1/2, 1/2)
%L Fcut = cut2(F, -1/4, 1/4)
%L
%%L = f(-1/2), f( 1/2)
%%L = F(-1/4), F( 1/4)
%%L = fcut(-0.6), fcut(-0.5), fcut(-0.4)
%%L = fcut( 0.4), fcut( 0.5), fcut( 0.6)
%%L = Fcut(-0.30), Fcut(-0.25), Fcut(-0.20)
%%L = Fcut( 0.20), Fcut( 0.25), Fcut( 0.30)
%L
%L pwif = Piecewisify.new(fcut, seq(-4, 4, 1/8))
%L pwifpol = Pict2e.new():add(pwif:pol(-1, 1, "*")):color("orange")
%L pwiF = Piecewisify.new(Fcut, seq(-4, 4, 1/8))
%L pwiFpol = Pict2e.new():add(pwiF:pol(-4, 4, "*")):color("orange")
%L
%L pwifl = Piecewisify.new(fcut, seq(-1, -1/2, 1/8))
%L pwifr = Piecewisify.new(fcut, seq(1/2, 1, 1/8))
%L
%%L = pwifpol
%%L = pwiFpol
%%L = pwifl
%%L = pwifl:topict()
%%L = pwif:pw(-1, -2)
%%L = pwif:piecewise(-1, -1/8)
%%L = pwif:piecewise(-1, -1/8):Line()
%%L = pwif:piecewise(-1, -1/8, nil, "")
%%L = "\\Line"..pwif:piecewise(-1, -1/8, nil, "")
%L
%L Piecewisify.__index.lineify = function (pwi, a, b)
%L return "\\Line"..pwi:piecewise(a, b, nil, "")
%L end
%%L = pwif:lineify(-1, -1/8)
%L
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(-4,-4), v(4, 4))
%L :grid()
%L :axesandticks()
%L :Thick("1pt")
%L :add(pwifpol)
%L :add(pwif:lineify(-4, -1/2))
%L :add(pwif:lineify(1/2, 4))
%L :bepc()
%L :def("Graphf")
%L :output()
%L
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(-4,-4), v(4, 4))
%L :grid()
%L :axesandticks()
%L :Thick("1pt")
%L -- :add(pwiFpol)
%L :add(pwiF:lineify(-4, -1/4))
%L :add(pwiF:lineify(1/4, 4))
%L :add(pictpiecewise("(-1,1)c (1,-1)c"))
%L :bepc()
%L :def("GraphF")
%L :output()
\pu
\unitlength=10pt
Se $F(x) = -x^{-1}$
então $F'(x) = x^{-2}$, e:
$$\begin{array}{rcl}
\Intx{-1}{1}{F'(x)} &=& \difx{-1}{1}{F(x)} \\
\Intx{-1}{1}{x^{-2}}
& = & \difx{-1}{1}{(- x^{-1})} \\
& = & (- 1^{-1}) - (- (-1)^{-1}) \\
& = & -2 \\
\end{array}
$$
$$\Graphf
\;\; = \;\;
\GraphF
\qquad
\frown
$$
\newpage
% «1-then-2» (to ".1-then-2")
% (c2m212intsp 6 "1-then-2")
% (c2m212intsa "1-then-2")
{\bf Outro caso em que o TFC2 dá um resultado errado}
%L f_P1 = function (x)
%L if x <= 1 then return 1 end
%L return 2
%L end
%L pwi1 = Piecewisify.new(f_P1, 1)
%L
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(-1,0), v(3,4))
%L :grid()
%L :add("#1")
%L :axesandticks()
%L :bepc()
%L :def("PUm#1")
%L :output()
%L
%L f_P2 = function (x)
%L if x <= 1 then return x end
%L return 2*x
%L end
%L pwi2 = Piecewisify.new(f_P2, 1)
%L
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(-1,0), v(3,4))
%L :grid()
%L :add(pictpiecewise("(0,0)c--(1,1) (1,2)--(2,4)c"))
%L :axesandticks()
%L :bepc()
%L :def("PDois#1")
%L :output()
\pu
\unitlength=10pt
\linethickness{1pt}
$$\Intx{0}{2}{f(x)}
\;\;=\;\;
\difx{0}{2}{F(x)}
$$
$$\PUm{\expr{
pwi1:pol(0, 2, "*"):color("orange")
+ pwi1:pw(-1, 3)
}}
\;\; = \;\;
\PDois{}
$$
$$3 \;\; = \;\; 4-0$$
\newpage
% ____ ____ __ _
% / ___|___ \ _ __ _ __ ___ ___ / _| / |
% \___ \ __) | | '_ \| '__/ _ \ / _ \| |_ | |
% ___) / __/ | |_) | | | (_) | (_) | _| | |
% |____/_____| | .__/|_| \___/ \___/|_| |_|
% |_|
%
% «S2-proof-1» (to ".S2-proof-1")
% (c2m212intsp 7 "S2-proof-1")
% (c2m212intsa "S2-proof-1")
\def\TfcDois{[\text{TFC2}]}
\def\DefDif {[\text{DefDif}]}
\def\DEFDIFA #1{ \difx{a}{b}{F(x)} #1 = #1 F(b) - F(a) }
\def\TFCDOISA#1{ \Intx{a}{b}{F'(x)} #1 = #1 \difx{a}{b}{F(x)} }
\def\TFCP #1{ \D \left( #1 \right) }
\sa{TFC2-ap1-S}{ F(x) := f(g(x)) \\
F'(x) := f'(g(x))g'(x) \\
}
\sa{TFC2-ap1-L}{ \Intx{a}{b}{f'(g(x))g'(x)} }
\sa{TFC2-ap1-R}{ \difx{a}{b}{f(g(x))} }
\sa{TFC2-ap2-S}{ x := u \\
b := g(b) \\
a := g(a) \\
F(u) := f(u) \\
F'(u) := f'(u) \\
}
\sa{TFC2-ap2-L}{ \Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)} }
\sa{TFC2-ap2-R}{ \difu{g(a)}{g(b)}{f(u)} }
\sa{DEFDIF-ap1-S}{ F(x) := f(g(x)) \\
}
\sa{DEFDIF-ap2-S}{ x := u \\
F(u) := f(u) \\
a := g(a) \\
b := g(b) \\
}
\sa{TFC2-ap1} { \TFCP{ \ga{TFC2-ap1-L} \;\;=\;\; \ga{TFC2-ap1-R} } }
\sa{TFC2-ap2} { \TFCP{ \ga{TFC2-ap2-L} \;\;=\;\; \ga{TFC2-ap2-R} } }
\sa{DEFDIF-ap1}{ \TFCP{ \difx{a}{b}{f(g(x))} \;\;=\;\; f(g(b)) - f(g(a)) } }
\sa{DEFDIF-ap2}{ \TFCP{ \difu{g(a)}{g(b)}{f(u)} \;\;=\;\; f(g(b)) - f(g(a)) } }
\sa{S2-primeira-versao}{
\begin{array}{rcl}
\D \ga{TFC2-ap1-L} &=& \D \ga{TFC2-ap1-R} \\
&=& f(g(b)) - f(g(a)) \\[7.5pt]
&=& \D \ga{TFC2-ap2-R} \\[7.5pt]
&=& \D \ga{TFC2-ap2-L}
\end{array}}
\vspace*{-0.75cm}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
$$\begin{array}{rcl}
\DefDif &=& \TFCP{ \DEFDIFA{\;\;} } \\
\TfcDois &=& \TFCP{ \TFCDOISA{\;\;} } \\
[20pt]
\DefDif \bsm{\ga{DEFDIF-ap1-S}} &=& \ga{DEFDIF-ap1} \\
\DefDif \bsm{\ga{DEFDIF-ap2-S}} &=& \ga{DEFDIF-ap2} \\
[20pt]
\TfcDois \bsm{\ga{TFC2-ap1-S}} &=& \ga{TFC2-ap1} \\
\TfcDois \bsm{\ga{TFC2-ap2-S}} &=& \ga{TFC2-ap2} \\
\end{array}
$$
$$\ga{S2-primeira-versao}$$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «dfi» (to ".dfi")
% (c2m212intsp 8 "dfi")
% (c2m212intsa "dfi")
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m212intsp 8 "exercicio-3")
% (c2m212intsa "exercicio-3")
{\bf A fórmula da derivada da função inversa}
\sa{DFI1}{\left(
\begin{array}{rcl}
f(g(x)) &=& x \\
\ddx f(g(x)) &=& \ddx x \;\;=\;\; 1 \\
\ddx f(g(x)) &=& f'(g(x))g'(x) \\
f'(g(x))g'(x) &=& 1 \\
g'(x) &=& \frac{1}{f'(g(x))} \\
\end{array}
\right)}
\sa{DFI2}{\left(
\begin{array}{rcl}
f(g(x)) &=& x \\
g'(x) &=& \frac{1}{f'(g(x))} \\
\end{array}
\right)}
\sa{Dfi1}{[\text{DFI1}]}
\sa{Dfi2}{[\text{DFI2}]}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
$$\begin{array}{rcc}
\ga{Dfi1} &=& \ga{DFI1} \\[40pt]
\ga{Dfi2} &=& \ga{DFI2} \\
\end{array}
$$
\bsk
\bsk
{\bf Exercício 3.}
\msk
a) $\ga{Dfi1} \bmat{f(y) := e^y \\
f'(y) := e^y \\
g(x) := \ln x \\
g'(x) := \ln' x \\
} = \rq$
}\anothercol{
{\bf Exercício 3 (cont.)}
\msk
b) $\def\Sqrt{\text{sqrt}}
\ga{Dfi2} \bmat{f (y) := y^2 \\
f'(y) := 2y \\
g (x) := \Sqrt(x) \\
g'(x) := \Sqrt'(x) \\
} = \rq
$
\msk
c) $\ga{Dfi2} \bmat{f (y) := \sen y \\
f'(y) := \cos y \\
g (x) := \arcsen(x) \\
g'(x) := \arcsen'(x) \\
} = \rq
$
\msk
d) $\ga{Dfi2} \bmat{x := s \\
f (θ) := \sen θ \\
f'(θ) := \cos θ \\
g (s) := \arcsen(s) \\
g'(s) := \arcsen'(s) \\
} = \rq
$
\msk
e) $\ga{Dfi2} \bmat{x := c\\
f (θ) := \cos θ \\
f'(θ) := -\sen θ \\
g (c) := \cos^{-1}(c) \\
g'(c) := (\cos^{-1})'(c) \\
} = \rq
$
}}
\newpage
% «mais-algumas» (to ".mais-algumas")
% (c2m212intsp 9 "mais-algumas")
% (c2m212intsa "mais-algumas")
{\bf Mais algumas fórmulas que não valem sempre}
$$\begin{array}{rcl}
(\cos x)^2 + (\sen x)^2 &=& 1 \\
%
[10pt]
%
(\sen x)^2 &=& 1 - (\cos x)^2 \\
\sqrt{(\sen x)^2} &=& \sqrt{1 - (\cos x)^2} \\
\sen x &=& \sqrt{1 - (\cos x)^2} \\
(\cos x)^2 &=& 1 - (\sen x)^2 \\
%
[10pt]
%
\sqrt{(\cos x)^2} &=& \sqrt{1 - (\sen x)^2} \\
\cos x &=& \sqrt{1 - (\sen x)^2} \\
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m212intsp 10 "exercicio-4")
% (c2m212intsa "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
a) Escolha um número entre 42 e 99.
\ColorRed{(Se você não conseguir converse com seus colegas!!!)}
\msk
b) Escolha um $α∈\R$ tal que $\sen α<0$
e verifique se $\sen α = \sqrt{1 - (\cos α)^2}$.
Dica: escolha um $α$ para o qual você sabe $\sen α$ e $\cos α$.
\msk
c) Escolha um $β∈\R$ tal que $\cos β<0$
e verifique se $\cos β = \sqrt{1 - (\cos β)^2}$.
\msk
d) Faça uma cópia do gráfico abaixo num papel
%
%L pi,sin,cos = math.pi, math.sin, math.cos
%L
%L PW = function (s) return
%L Piecewisify.new(L("t -> "..s), seq(0, 2*pi, pi/32)):pw(0, 2*pi)
%L end
%L
%L Pict2e.new()
%L :setbounds(v(0,-2), v(7,2))
%L :grid()
%L :add(PW("sin(t)"))
%L :add(PW("cos(t)"))
%L :axesandticks()
%L :bepc()
%L :def("SinAndCos")
%L :output()
\pu
%
\unitlength=10pt
%
$$\SinAndCos
$$
%
e desenhe sobre ela os conjuntos:
\ssk
$A \;\;=\;\; \setofst{θ∈[0,2π]}{\sen θ = \sqrt{1 - (\cos θ)^2}}$,
$B \;\;=\;\; \setofst{θ∈[0,2π]}{\cos θ = \sqrt{1 - (\sen θ)^2}}$.
}\anothercol{
}}
\newpage
{\bf Juntando fórmulas estranhas}
$$\begin{array}{rcl}
f(g(x)) &=& x \\
g'(x) &=& \frac{1}{f'(g(x))} \\
e^{\ln x} &=& x \\
\ln' x &=& \frac{1}{e^{\ln x}} \\[2.5pt]
&=& \frac{1}{x} \\
\Intx{a}{b}{\ln' x} &=& \difx{a}{b}{\ln x} \\
\Intx{a}{b}{\frac{1}{x}} &=& \difx{a}{b}{\ln x} \\
\end{array}
$$
\newpage
{\bf Juntando fórmulas estranhas}
$$\begin{array}{rcl}
f(g(x)) &=& x \\
g'(x) &=& \frac{1}{f'(g(x))} \\
\sen(\arcsen x) &=& x \\
\arcsen' x &=& \frac{1}{\cos(\arcsen x)} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{(\cos(\arcsen x))^2}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1 - (\sen(\arcsen x))^2}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\
\Intx{a}{b}{\arcsen' x} &=& \difx{a}{b}{\arcsen x} \\
\Intx{a}{b}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} &=& \difx{a}{b}{\arcsen x} \\
\end{array}
$$
\newpage
% «um-exemplo» (to ".um-exemplo")
% (c2m212intsp 13 "um-exemplo")
% (c2m212intsa "um-exemplo")
{\bf Um exemplo de mudança de variável}
\def\P #1{\left( #1 \right)}
\def\Pga#1{\left(\ga{#1}\right)}
\sa{Emv1}{[\text{EMV1}]}
\sa{Emv2}{[\text{EMV2}]}
\sa{Emv3}{[\text{EMV3}]}
\sa{Emv4}{[\text{EMV4}]}
\sa{Emv5}{[\text{EMV5}]}
\sa{EMV1}{
\begin{array}{rcl}
\D \Intx{ a }{ b }{f'(g(x))g'(x)}
&=& \D \difx{ a }{ b }{f (g(x)) } \\
&=& f(g(b)) - f (g(a)) \\[7.5pt]
&=& \D \difu{g(a)}{g(b)}{f (u)} \\[7.5pt]
&=& \D \Intu{g(a)}{g(b)}{f'(u)}
\end{array}}
\sa{EMV2}{
\begin{array}{rcl}
\D \Intx{ a }{ b }{f'(2x)·2}
&=& \D \difx{ a }{ b }{f (2x) } \\
&=& f(2b) - f (2a) \\[7.5pt]
&=& \D \difu{2a}{2b}{f (u)} \\[7.5pt]
&=& \D \Intu{2a}{2b}{f'(u)}
\end{array}}
\sa{EMV3}{
\begin{array}{rcl}
\D \Intx{ a }{ b }{\sen(2x)·2}
&=& \D \difx{ a }{ b }{(-\cos(2x))} \\
&=& (-\cos(2b)) -(-\cos(2a)) \\[7.5pt]
&=& \D \difu{2a}{2b}{(-\cos(u))} \\[7.5pt]
&=& \D \Intu{2a}{2b}{\sen(u)}
\end{array}}
\sa{EMV4}{
\begin{array}{rcl}
\D \Intu{2a}{2b}{\sen(u)}
&=& \D \Intx{ a}{ b}{\sen(2x)·2 \,}
\end{array}}
\sa{EMV5}{
\begin{array}{rcl}
\D \Intu{a }{b }{\sen(u)}
&=& \D \Intx{a/2}{b/2}{2\sen(2x)}
\end{array}}
\msk
\scalebox{0.49}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
$\begin{array}{rcl}
\ga{Emv1} &=& \Pga{EMV1} \\[55pt]
\ga{Emv2} \;\;=\;\;
\ga{Emv1} \bmat{g(x) := 2x \\ g'(x) := 2}
&=& \Pga{EMV2} \\[55pt]
\ga{Emv3} \;\;=\;\;
\ga{Emv2} \bmat{f(x) := -\cos x \\ f'(x) := \sen x}
&=& \Pga{EMV3} \\[55pt]
\ga{Emv4} &=& \Pga{EMV4} \\[15pt]
\ga{Emv5} &=& \Pga{EMV5} \\
\end{array}
$
%}\anothercol{
}}
\newpage
{\bf Outro exemplo de mudança de variável}
\def\P #1{\left( #1 \right)}
\def\Pga#1{\left(\ga{#1}\right)}
\sa{Oemv3}{[\text{OEMV3}]}
\sa{Oemv4}{[\text{OEMV4}]}
\sa{Oemv5}{[\text{OEMV5}]}
\sa{OEMV3}{
\begin{array}{rcl}
\D \Intx{ a }{ b }{\tan(2x)·2}
&=& \D \difx{ a }{ b }{(f(2x))} \\
&=& (f(2b)) -(f(2a)) \\[7.5pt]
&=& \D \difu{2a}{2b}{(f(u))} \\[7.5pt]
&=& \D \Intu{2a}{2b}{\tan(u)}
\end{array}}
\sa{OEMV4}{
\begin{array}{rcl}
\D \Intu{2a}{2b}{\tan(u)}
&=& \D \Intx{ a}{ b}{\tan(2x)·2 \,}
\end{array}}
\sa{OEMV5}{
\begin{array}{rcl}
\D \Intu{a }{b }{\tan(u)}
&=& \D \Intx{a/2}{b/2}{2\tan(2x)}
\end{array}}
\msk
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Aqui a gente não substitui a $f$, só a $f'$...
Digamos que $f(x) = \Intt{c}{x}{\tan t}$,
e portanto $f'(x) = \tan x$.
$\begin{array}{rcl}
%\ga{Emv1} &=& \Pga{EMV1} \\[55pt]
%\ga{Emv2} \;\;=\;\;
% \ga{Emv1} \bmat{g(x) := 2x \\ g'(x) := 2}
% &=& \Pga{EMV2} \\[55pt]
\ga{Oemv3} \;\;=\;\;
\ga{Emv2} \bmat{f'(x) := \tan x}
&=& \Pga{OEMV3} \\[55pt]
\ga{Oemv4} &=& \Pga{OEMV4} \\[15pt]
\ga{Oemv5} &=& \Pga{OEMV5} \\
\end{array}
$
%}\anothercol{
}}
% Nós vimos lá atrás que cada igualdade daqui
% era verdade (com as hipóteses certas)...
% (c2m211isp 13 "hipotese")
% (c2m211isa "hipotese")
\newpage
% (c2m211isp 27 "exercicio-3")
% (c2m211isa "exercicio-3")
% (c2m211isp 27 "exercicio-4")
% (c2m211isa "exercicio-4")
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "martins-martins")
% (find-martinscdipage (+ 10 109) "4.2 Integral")
% (find-martinscditext (+ 10 109) "4.2 Integral")
% (find-martinscdipage (+ 10 165) "6" "Metodos de Integracao")
% (find-martinscditext (+ 10 165) "6" "Metodos de Integracao")
% (find-martinscdipage (+ 10 165) "6.1 Metodo da Substituicao")
% (find-martinscditext (+ 10 165) "6.1 Metodo da Substituicao")
% http://angg.twu.net/2021.1-C2/martins_martins__sec_6.1.pdf
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2/martins_martins__sec_6.1.pdf}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 263) "6.1 Substitution")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 280) "Exercises 6.1")
% (find-twusfile "2021.1-C2/")
% http://angg.twu.net/2021.1-C2/APEX_Calculus_Version_4_BW_secs_6.1_6.2.pdf
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2/APEX_Calculus_Version_4_BW_secs_6.1_6.2.pdf}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas")
% (find-thomas11-1page (+ 61 368) "5.5 Indefinite integrals and the substituion rule")
% (find-thomas11-1page (+ 61 369) "Example 1")
% (find-thomas11-1page (+ 61 370) "Example 2")
% (find-thomas11-1page (+ 61 371) "Example 3")
}
\newpage
% «exemplo-contas» (to ".exemplo-contas")
% (c2m211isp 6 "exemplo-contas")
% (c2m211isa "exemplo-contas")
% (c2m202isp 9 "exemplo-gamb")
% (c2m202isa "exemplo-gamb")
{\bf Um exemplo com contas}
Isto aqui é um exemplo de como contas com integração
por substituição costumam ser feitas na prática:
%
$$\scalebox{0.95}{$
\begin{array}{l}
\D \intx{2 \cos(3x+4)} \\[8pt]
= \;\; \D \intu {2 (\cos u) · \frac13}
\\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \intu{\cos u} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \sen u \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \sen (3x+4) \\
\end{array}
$}
$$
É necessário indicar em algum lugar que a relação
entre a variável nova e a antiga é esta: $u=3x+4$.
\newpage
% «exemplo-contas-2» (to ".exemplo-contas-2")
% (c2m211isp 7 "exemplo-contas-2")
% (c2m211isa "exemplo-contas-2")
{\bf Outro exemplo com contas}
%
\def\S{\sen x}
\def\C{\cos x}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
%
$$\begin{array}[t]{l}
\D \intx{(\S)^5 (\C)^3} \\
\D = \;\; \intx{(\S)^5 (\C)^2 (\C)} \\
\D = \;\; \intx{(\und{\S}{s})^5 \und{(\C)^2}{1-s^2} \und{(\C)}{\frac{ds}{dx}}} \\
\D = \;\; \ints{s^5 (1-s^2)} \\
\D = \;\; \ints{s^5 - s^7} \\
\D = \;\; \frac{s^6}{6} - \frac{s^8}{8} \\
\D = \;\; \frac{(\S)^6}{6} - \frac{(\S)^8}{8} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}[t]{c}
\\ \\
\bmat{s = \sen x \\
\frac{ds}{dx} = \cos x \\
\sen x = s \\
(\cos x)^2 = 1 - s^2 \\
\cos x \, dx = ds
}
\end{array}
$$
\newpage
% «subst-int-def» (to ".subst-int-def")
% (c2m211isp 8 "subst-int-def")
% (c2m211isa "subst-int-def")
{\bf Substituição na integral definida}
Eu vou chamar a \ColorRed{demonstração} abaixo de \pfo{S2}.
Ela é uma série de três igualdades: o `$=$' de cima,
o `$=$' de baixo, e o `$=$' da esquerda (que é um `$\,\rotl{=}$').
Eu vou chamar o ``$F'(u)=f(u)$'' de a \ColorRed{hipótese} do \pfo{S2}.
Obs: nós \ColorRed{ainda} não acreditamos nessa demonstração...
vamos verificar as igualdades dela daqui a alguns slides.
%
% (c2m202isp 3 "def-S2-S2I")
% (c2m202isa "def-S2-S2I")
%
$$\begin{array}{rcc}
\pfo{S2} &=& \Stwo \\
% \\
% \pfo{S2I} &=& \StwoI \\
\end{array}
$$
\newpage
% «so-alguns-simbolos» (to ".so-alguns-simbolos")
% (c2m211isp 9 "so-alguns-simbolos")
% (c2m211isa "so-alguns-simbolos")
Lembre que dá pra substituir só alguns símbolos...
Por exemplo:
%
\def\Stwotmp{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(2x)}} {\Intx{a}{b}{f(2x)·2}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{2a}{2b}{F(u)}} {\Intu{2a}{2b}{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
}
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S2}[g(x):=2x] \;\;=\;\; \Stwotmp \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «hip-triv-true» (to ".hip-triv-true")
% (c2m211isp 10 "hip-triv-true")
% (c2m211isa "hip-triv-true")
Também podemos substituir o $f$ por $F'$...
E aí a hipótese passa a ser ``trivialmente verdadeira'':
%
\def\Stwotmp{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(g(x))}} {\Intx{a}{b}{F'(g(x))g'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{F'(u)}}
{Se $F'(u)=F'(u)$ então:}
}
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S2}[f(u):=F'(u)] \;\;=\;\; \Stwotmp \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m211isp 11 "exercicio-1")
% (c2m211isa "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
Lembre que:
%
$$\pfo{TFC2}
\;\;=\;\;
\Ps{
\D \Intx{a}{b}{\ddx F(x)} \;\;=\;\; \difx{a}{b}{F(x)}
}
$$
\msk
Calcule os resultados destas expansões:
a) $\pfo{TFC2} \bmat{F(x):=F(g(x))}$
b) $\pfo{TFC2} \bmat{x:=u} \bmat{a:=g(a) \\ b:=g(b)}$
\bsk
\bsk
...e verifique que \ColorRed{se $f(u)=F'(u)$ então}:
c) o que você obteve no (a) prova o `$=$' de cima da \pfo{S2},
d) o que você obteve no (b) prova o `$=$' de baixo da \pfo{S2},
\newpage
% «esquerda» (to ".esquerda")
% (c2m211isp 12 "esquerda")
% (c2m211isa "esquerda")
O `$\,\rotl{=}$' à esquerda na \pfo{S2}
é bem fácil de verificar... ó:
$$\begin{array}{rcl}
\difx{a}{b}{F(g(x))} &=& F(g(b)) - F(g(a)) \\
&=& \difu{g(a)}{g(b)}{F(u)}
\end{array}
$$
\bsk
\bsk
Se você conseguiu fazer todos os itens
do exercício 1 e conseguiu entender isso aí
então \ColorRed{agora} você entende o $\pfo{S2}$ como uma
demonstração --- você entende todas as
igualdades dele.
\newpage
% «hipotese» (to ".hipotese")
% (c2m211isp 13 "hipotese")
% (c2m211isa "hipotese")
{\bf Pra que serve a hipótese do \pfo{S2}?}
Ela serve pra gente lidar com `$f$'s que a gente
não sabe integrar! Por exemplo:
%
\def\Stwotmp{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(g(x))}} {\Intx{a}{b}{\tan(g(x))\tan'(x)}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{g(a)}{g(b)}{\tan(u)}}
{Se $F'(u)=F'(u)$ então:}
}
%
\def\Stwotmp{
\isubstboxT
{\Difmx{a}{b}{F(2x)}} {\Intx{a}{b}{\tan(2x)·2}}
{\ph{mmm}}
{\Difmu{g(a)}{g(b)}{F(u)}} {\Intu{2a}{2b}{\tan(u)}}
{\ColorRed{Se $F'(u)=\tan u$ então:}}
}
%
$$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
% \pfo{S2}[f(x):=\tan x] \;\;=\;\; \Stwotmp \\
\pfo{S2}\bmat{f(x):=\tan x \\ g(u):=2u} \;\;=\;\; \Stwotmp \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
{\bf Uma versão do \pfo{S2} para integrais indefinidas}
Compare... e repare no ``\ColorRed{Obs: $u = g(x)$}''.
%
\def\StwoItmp{
\isubstboxTT
{F(g(x))} {\intx{f(g(x))g'(x)}}
{\ph{m}}
{F(u)} {\intu{f(u)}}
{Se $F'(u)=f(u)$ então:}
{\ColorRed{Obs: $u=g(x)$.}}
}
%
$$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S2I} \;\;=\;\; \StwoItmp \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
{\bf Versões sem a parte da esquerda}
Compare:
%
$$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S3} \;\;=\;\; \Sthree \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
{\bf Versões sem a parte da esquerda (2)}
...e compare:
%
$$\scalebox{0.90}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2I} \;\;=\;\; \StwoI \\
[50pt]
\pfo{S3I} \;\;=\;\; \SthreeI \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «encontre-a-subst» (to ".encontre-a-subst")
% (c2m211isp 17 "encontre-a-subst")
% (c2m211isa "encontre-a-subst")
As pessoas costumam usar variações da $\pfo{S3I}$,
geralmente sem darem um nome pra função $g(u)$...
Lembre que em vários exercícios que nós já fizemos
ficava implícito que vocês tinham que descobrir qual
era a substituição certa... por exemplo:
%
$$\begin{array}{rcl}
\difx{4}{5}{x^2} &=& \Rdq \\[5pt]
\Ps{\difx{a}{b}{f(x)} = f(b)-f(a)} \bmat{f(x):=\Rdq \\ a:=\Rdq \\ b:=\Rdq} &=& \Rdq
\\[20pt]
\Ps{\difx{a}{b}{f(x)} = f(b)-f(a)} \bmat{f(x):=x^2 \\ a:=4 \\ b:=5} &=&
\Ps{\difx{4}{5}{x^2} = 5^2-4^2} \\
[20pt]
\difx{4}{5}{x^2} &=& 5^2 - 4^2 \\
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m211isp 18 "exercicio-2")
% (c2m211isa "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
Nos livros e nas notas de aula que você vai encontrar por aí
o ``\ColorRed{Obs: $u = g(x)$}'' da nossa \pfo{S3I} quase sempre aparece escrito
de (ZILHÕES DE!!!) outros jeitos, então o melhor que a gente
pode fazer é tentar encontrar as substituições que transformam
a nossa \pfo{S3I} em algo ``mais ou menos equivalente'' às
igualdades complicadas que eu mostrei no vídeo e que eu disse
que a gente iria tentar decifrar...
\msk
Nos itens a e b deste exercício você vai tentar encontrar
as substituições --- que eu vou escrever como `$[\Rdq]$' --- que
transformam a $\pfo{S3I}$ em algo ``mais ou menos equivalente''
às igualdades da direita.
\newpage
% «exercicio-2-cont» (to ".exercicio-2-cont")
% (c2m211isp 19 "exercicio-2-cont")
% (c2m211isa "exercicio-2-cont")
{\bf Exercício 2 (cont.)}
Encontre as substituições `$[\Rdq]$'s que façam com que:
\bsk
a) $\SthreeI [\Rdq]$ vire algo como
$\pmat{ \D \intx{2 \cos(3x+4)} \\
\rotl{=} \\
\D \intu {2 (\cos u) · \frac13} \\
}$
\msk
b) $\pfo{S3I} \, [\Rdq]$ vire algo como
$\pmat{ \D \intx{(\S)^5 (1 - \S^2) (\C)} \\
\rotl{=} \\
\D \ints{s^5 (1-s^2)} \\
}$
\newpage
{\bf Gambiarras}
Em geral é mais prático a gente usar umas gambiarras
como ``$\frac{du}{dx}dx = du$'' ao invés do método ``mais honesto''
que a gente usou no exercício 2...
\msk
Às vezes essas gambiarras vão usar uma versão disfarçada
do teorema da derivada da função inversa: $\frac{du}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{du}}$,
e umas outras manipulações esquisitas de `$dx$'s e `$du$'s
que só aparecem explicadas direito nos capítulos sobre
``diferenciais'' dos livros de Cálculo.
\msk
Nós vamos começar usando elas como gambiarras mesmo,
e acho que nesse semestre não vai dar pra ver como
traduzir cada uma delas pra algo formal...
\newpage
% «gambiarras-2» (to ".gambiarras-2")
% (c2m211isp 21 "gambiarras-2")
% (c2m211isa "gambiarras-2")
{\bf Gambiarras (2)}
Quando a gente está começando e ainda não tem prática
este modo de por anotações embaixo de chaves ajuda muito:
%
$$%\begin{array}{c}
\D \int (\und{\S}{s})^5
(1 - (\und{\S}{s})^2)
\und{
\und{(\C)}{\frac{ds}{dx}} \, dx
}{ds}
\\
% \rotl{=} \\
\;\; = \;\;
\D \ints{s^5 (1-s^2)} \\
% \end{array}
$$
Quando a gente já tem mais prática acaba sendo melhor
pôr todas as anotações dentro de caixinhas --- por exemplo:
$$\bmat{
\sen x = s \\
\frac{ds}{dx} = \frac{d}{dx} \sen x = \cos x \\
\cos x \, dx = ds \\
}
$$
\newpage
% «gambiarras-3» (to ".gambiarras-3")
% (c2m211isp 22 "gambiarras-3")
% (c2m211isa "gambiarras-3")
{\bf Gambiarras (3)}
Essas caixinhas, como
%
$$\bmat{
\sen x = s \\
\frac{ds}{dx} = \frac{d}{dx} \sen x = \cos x \\
\cos x \, dx = ds \\
}
$$
vão ser os únicos lugares em que nós vamos permitir
esses `$dx$'s e `$ds$' ``soltos'', que não estão nem em
derivadas e nem associados a um sinal `$∫$'...
\msk
E esses `$dx$'s e `$ds$' ``soltos'' só vão aparecer em linhas
que dizem como traduzir uma expressão que termina em `$dx$'
numa integral em $x$ pra uma expressão que termina em `$ds$'
numa integral na \ColorRed{variável} $s$.
\msk
Nós vamos \ColorRed{evitar} usar $s$ como uma \ColorRed{abreviação} para $\sen x$.
\newpage
{\bf Mais sobre as caixinhas de anotações}
Tudo numa caixinha de anotações é \ColorRed{consequência}
da primeira linha dela, que é a que define a variável
nova. Por exemplo, se definimos a variável nova como
$c=\cos x$ então $\frac{dc}{dx} = \frac{d}{dx} \cos x = - \sen x$, e podemos
reescrever isso na ``versão gambiarra'' como:
$dc = - \sen x \, dx$, \ColorRed{e também como} $\sen x \, dx = (-1) dc$.
\msk
A caixinha vai ser:
%
$$\bmat{c = \cos x \\
\frac{dc}{dx} = \frac{d}{dx} \cos x = - \sen x \\
dc = - \sen x \, dx \\
\sen x \, dx = (-1) \, dc \\
}
$$
\newpage
{\bf Mais sobre as caixinhas de anotações (2)}
\ColorRed{Muito importante:} cada linha das caixinhas
é uma série de igualdades --- por exemplo
$𝐬{expr}_1 = 𝐬{expr}_2 = 𝐬{expr}_3$ --- e cada uma dessas
expressões $𝐬{expr}_1, \ldots, 𝐬{expr}_n$ só pode mencionar
\ColorRed{ou} a variável antiga \ColorRed{ou} a variável nova...
\msk
Então:
\msk
\ColorRed{Bom:} $dc = - \sen x \, dx$
\ColorRed{Mau:} $\frac{1}{- \sen x} dc = dx$
\ColorRed{Bom:} $\frac{dc}{dx} = \frac{d}{dx} \cos x$
\bsk
Truque: em $\frac{dc}{dx}$ o $c$ faz o papel de uma \ColorRed{abreviação}
para $\cos x$, não de uma variável.
\newpage
{\bf Mais sobre as caixinhas de anotações (3)}
Quando a gente faz algo como
%
$$\D \int (\und{\S}{s})^5
(1 - (\und{\S}{s})^2)
\und{
\und{(\C)}{\frac{ds}{dx}} \, dx
}{ds}
\\
\;\; = \;\;
\D \ints{s^5 (1-s^2)} \\
$$
Cada chave é como uma igualdade da caixa de anotações
``escrita na vertical''... por exemplo, ``$\und{\S}{s}$'' é $s = \sen x$.
\msk
As outras chaves correspondem a outras igualdades da
caixa de anotações --- \ColorRed{que têm que ser consequências
desse $s = \sen x$.}
\newpage
\vspace*{-0.5cm}
{\bf Mais sobre as caixinhas de anotações (3)}
Isto aqui está errado:
%
$$\D \int %(\und{\S}{s})^5
( \S )^5
(1 - (\und{\S}{s})^2)
\und{
\und{(\C)}{\frac{ds}{dx}} \, dx
}{ds}
\\
\;\; = \;\;
\D \ints{(\ColorRed{\S})^5 (1-s^2)} \\
$$
À esquerda do `$=$' a gente tem uma integral na qual
só aparece a ``variável antiga'', que é $x$, e à direita do `$=$'
a gente tem uma integral na qual aparecem tanto a variável
antiga, $x$, quanto a nova, que é $s$... \quad \frown
\msk
Lembre que tanto o truque das caixinhas quanto o truque das
chaves servem pra gente conseguir aplicar a $\pfo{S3I}$ de um jeito
mais fácil, e no $\pfo{S3I}$ uma integral usa só a variável antiga
e a outra usa só a nova.
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c2m211isp 27 "exercicio-3")
% (c2m211isa "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
Leia o início da seção 6.1 do APEX Calculus
e faça os exercíos 25 até 32 da página 280 dele. Link:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 263) "6.1 Substitution")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 280) "Exercises 6.1")
% (find-twusfile "2021.1-C2/")
% http://angg.twu.net/2021.1-C2/APEX_Calculus_Version_4_BW_secs_6.1_6.2.pdf
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2/APEX_Calculus_Version_4_BW_secs_6.1_6.2.pdf}
}
\bsk
\bsk
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c2m211isp 27 "exercicio-4")
% (c2m211isa "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Leia o início da seção 6.1 do Martins/Martins
e refaça os exercícios resolvidos 1 a 6 dele
usando ou as nossas anotações sob chaves ou
as nossas anotações em caixinhas. Link:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "martins-martins")
% (find-martinscdipage (+ 10 109) "4.2 Integral")
% (find-martinscditext (+ 10 109) "4.2 Integral")
% (find-martinscdipage (+ 10 165) "6" "Metodos de Integracao")
% (find-martinscditext (+ 10 165) "6" "Metodos de Integracao")
% (find-martinscdipage (+ 10 165) "6.1 Metodo da Substituicao")
% (find-martinscditext (+ 10 165) "6.1 Metodo da Substituicao")
% http://angg.twu.net/2021.1-C2/martins_martins__sec_6.1.pdf
\url{http://angg.twu.net/2021.1-C2/martins_martins__sec_6.1.pdf}
}
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c2m211isp 28 "exercicio-5")
% (c2m211isa "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
\msk
A questão 2 da P1 do semestre passado dizia que:
%
\begin{quote}
{\sl Toda integral que pode ser resolvida por uma sequência de
mudanças de variável (ou: ``por uma sequência de integrações por
substituição'') pode ser resolvida por uma mudança de variável só.}
\end{quote}
E ela pedia pra vocês verificarem isso num caso específico.
Tente fazer essa questão olhando poucas vezes pro gabarito dela.
Link:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m202p1p 4)
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=4}
}
% (c2m202p1p 4 "questao-2")
% (c2m202p1a "questao-2")
\newpage
\sa{x}{xx}
\sa{u}{uu}
\sa{gx}{g(xx)}
\sa{nw}{F(g(x))}
\sa{ne}{f(g(x))g'(x)}
\sa{sw}{F(u)}
\sa{se}{f(u)}
\def\StwoIsetargs#1{\StwoIsetargsss#1}
\def\StwoIsetargsss#1#2#3#4#5#6#7{
\sa{x}{#1} \sa{u}{#2} \sa{gx}{#3}
\sa{nw}{#4} \sa{ne}{#5}
\sa{sw}{#6} \sa{se}{#7}
}
% (c2m202p1p 9 "gabarito-2")
% (c2m202p1a "gabarito-2")
\StwoIsetargsss {xx} {uu} {gguu} {NW} {NE} {SW} {SE}
\StwoIsetargsss
{v} {w} {\sqrt{v}}
{F(\sqrt{v})} {\cos(2+\sqrt{v})·(2\sqrt{v})^{-1}}
{F(w)} {\cos(2+w)}
\def\StwoItmp{
\isubstboxTT
{\ga{nw}} {\int \ga{ne} \, d\ga{x}}
{\ph{m}}
{\ga{sw}} {\int \ga{se} \, d\ga{u}}
{Se $F'(\ga{u})=\ga{se}$ então:}
{Obs: $\ga{u}=\ga{gx}$.}
}
%
$$\scalebox{0.9}{$
\begin{array}{c}
\pfo{S2} \;\;=\;\; \Stwo \\
[50pt]
\pfo{S2}[f(u):=F'(u)] \;\;=\;\; \StwoItmp \\
\end{array}
$}
$$
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2021.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2021-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2021.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2021-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-int-subst veryclean
make -f 2019.mk STEM=2021-2-C2-int-subst pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2ints"
% ee-tla: "c2m212ints"
% End: