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% (find-LATEX "2022-2-C3-maximos-e-minimos.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-2-C3-maximos-e-minimos.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-2-C3-maximos-e-minimos.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C3-maximos-e-minimos.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C3-diag-nums.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-2-C3-maximos-e-minimos"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-2-C3-maximos-e-minimos")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf
% file:///tmp/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf
% file:///tmp/pen/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-maximos-e-minimos.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-2-C3-maximos-e-minimos" "3" "c3m222mms" "c3mm")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.introducao» (to "introducao")
% «.sinais-por-numerozinhos» (to "sinais-por-numerozinhos")
% «.video-1» (to "video-1")
% «.video-2» (to "video-2")
% «.derivadas-direcionais» (to "derivadas-direcionais")
% «.versao-mega-rapida» (to "versao-mega-rapida")
% «.exercicio» (to "exercicio")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m222mms" "2022-2-C3-maximos-e-minimos")
% (code-eevvideo "c3m222mms" "2022-2-C3-maximos-e-minimos")
% (code-eevlinksvideo "c3m222mms" "2022-2-C3-maximos-e-minimos")
% (find-c3m222mmsvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\ddt{\frac{d}{dt}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m222mmsp 1 "title")
% (c3m222mmsa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2022.2}
\bsk
Aula 27: Máximos e mínimos
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c3m222mmsp 2 "links")
% (c3m222mmsa "links")
% (c3m222topp 2 "links")
% (c3m222topa "links")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "10. Máximos e mínimos")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "11. Otimização sem")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "12. Otimização com")
\newpage
% «introducao» (to ".introducao")
% (c3m222mmsp 2 "introducao")
% (c3m222mmsa "introducao")
{\bf Introdução}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{15cm}\firstcol{
Quando a gente aprende polinômios a gente aprende uma matéria chamada
``estudo do sinal de uma função'', em que a gente aprende a marcar em
$\R$ em que regiões as funções que nos interessam são positivas,
negativas, ou 0... algo como isso aqui, mas desenhado de outro jeito:
%
$$\begin{array}{rcccccc}
& (-∞,2) & 2 & (2,5) & 5 & (5,+∞) \\
g(x) = x-2 & <0 & =0 & >0 & >0 & >0 \\
h(x) = x-5 & <0 & <0 & <0 & =0 & >0 \\
f(x) = (x-2)(x-5) & >0 & =0 & <0 & =0 & >0 \\
\end{array}
$$
Depois a gente aprende derivada e segunda derivada, e aí a gente
estende essa idéia pra representar também as regiões em que derivada é
positiva, negativa, ou 0, e as regiões em que a segunda derivada é
positiva, negativa, ou 0, e a gente usa isso pra descobrir onde a
função é crescente ou decrescente, onde a concavidade dela está pra
baixo ou pra cima, e onde ela tem máximos e mínimos locais e máximos e
mínimos globais. Dê uma olhada nas figuras das seções 5.1 até 5.4 do
Miranda:
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 122 "5.1 Valores Extremos")
% (find-dmirandacalcpage 124 "5.1.2 Extremos Relativos")
% (find-dmirandacalcpage 126 "5.1.3 Extremos em Intervalos Fechados")
% (find-dmirandacalcpage 138 "5.4 Concavidade")
\ssk
{\scriptsize
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=122
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=122}
}
\msk
Repare que o Miranda chama esse assunto de ``extremos relativos'' e
``extremos absolutos''; o Bortolossi vai estender essas idéias pra
mais dimensões nos capítulos 10, 11 e 12 dele, e ele vai usar outra
terminologia: ``máximos locais'' e ``máximos globais''.
}\anothercol{
}}
\newpage
% «sinais-por-numerozinhos» (to ".sinais-por-numerozinhos")
% (c3m222mmsp 3 "sinais-por-numerozinhos")
% (c3m222mmsa "sinais-por-numerozinhos")
{\bf Estudo de sinal em $\R^2$ por numerozinhos}
Se você achar a abordagem de hoje muito complicada
{\sl comece} pela de 2021... assista estes dois vídeos,
\ssk
{\scriptsize
% «video-1» (to ".video-1")
% (c3m211qa "video-1")
% (c3m211qa "video-1" "4:25" "x0 e y0")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=2noSv8hyNIk}
\msk
% «video-2» (to ".video-2")
% (c3m211qa "video-2")
% (c3m211qa "video-2" "3:29" "façam o diagrama de sinais")
% (c3m211qa "video-2" "6:09" "combinar diagramas")
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas-2.mp4}
\url{https://www.youtube.com/watch?v=noVh-RsK5Jo}
}
\msk
e faça os exercícios das páginas 8 até 13 daqui:
\ssk
{\scriptsize
% (c3m212dnp 8 "eq-da-superficie")
% (c3m212dna "eq-da-superficie")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf#page=8
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-diag-nums.pdf#page=8}
}
\bsk
\standout{Importante:} nas aulas sobre máximos e mínimos
eu escrevi muitas coisas no quadro que eu ainda
não tive tempo de digitar. Você pode acessar os
quadros destas aulas aqui:
{\scriptsize
\ssk
% (find-angg ".emacs" "c3q222")
% (find-angg ".emacs" "c3q222" "diagramas de sinais")
% (find-c3q222page 26 "nov25: Máximos e mínimos locais por diagramas de sinais")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/C3-quadros.pdf#page=26
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/C3-quadros.pdf\#page=26}
}
\newpage
% «derivadas-direcionais» (to ".derivadas-direcionais")
% (c3m222mmsp 4 "derivadas-direcionais")
% (c3m222mmsa "derivadas-direcionais")
{\bf Um truque com derivadas direcionais}
\scalebox{0.57}{\def\colwidth{9.75cm}\firstcol{
Vou começar supondo que
%
$$\begin{array}{rcl}
z &=& a \\
&+& bx + cy \\
&+& dx^2 + exy + fy^2 \\
\end{array}
$$
e que o ponto que nos interessa é $(x_0,y_0)=(0,0)$. Depois que nós
tivermos entendido bem as contas no ponto $(0,0)$ a gente vai ver como
refazê-las numa versão um pouco mais geral, em que $(x_0,y_0)$ é um
ponto qualquer.
\msk
Queremos generalizar as definições de mínimo local e máximo local do
Miranda, que estão aqui,
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-dmirandacalcpage 122 "5.1 Valores Extremos")
% (find-dmirandacalcpage 124 "5.1.2 Extremos Relativos")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=124
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=124}
}
\ssk
pra $\R^2$. Vou usar um truque com derivadas direcionais.
\msk
Vou dizer que o ponto $(0,0)$ é um mínimo local ``na direção
$\VEC{α,β}$'' se a função $z(t)=z(x(t),y(t))=z(αt,βt)$ tem um mínimo
local em $t=0$, e vou dizer que a função $z$ tem um mínimo local em
$(0,0)$ se o ponto $(0,0)$ é um mínimo local ``em todas as direções''
--- exceto pela ``direção'' $\VEC{α,β}=\VEC{0,0}$, que a gente
considera que ``não é uma direção válida'', e ``não interessa''.
\msk
}\anothercol{
Se isto aqui for verdade,
%
$$\begin{array}{l}
∀\VEC{α,β}≠\VEC{0,0}. \\
\ddt(z(αt,βt)) = 0 \text{ e } \\
\ddt\ddt(z(αt,βt)) > 0 \\
\end{array}
$$
então o ponto $(0,0)$ vai ser um mínimo local da função $z(x,y)$.
Repare que lá no início eu defini que $z$ era um polinômio de grau 2
em $x$ e $y$;
}}
\newpage
% «versao-mega-rapida» (to ".versao-mega-rapida")
% (c3m222mmsp 5 "versao-mega-rapida")
% (c3m222mmsa "versao-mega-rapida")
{\bf Versão mega-rápida das páginas 365--394 do Bortolossi}
\scalebox{0.72}{\def\colwidth{15cm}\firstcol{
Links:
{\footnotesize
% (c3m222fhp 1 "title")
% (c3m222fha "title")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-funcoes-homogeneas.pdf}
% (find-angg ".emacs" "c3q222")
% (find-angg ".emacs" "c3q222" "Funções homogêneas")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/C3-quadros.pdf#page=17
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/C3-quadros.pdf\#page=17}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf}
}
\msk
Digamos que $r_1,r_2,r,α,β∈\R$, $r_1≠r_2$,
$α,β>0$, e $r_3=x+βi$, $r_4=x-βi$, e:
%
$$\begin{array}{rcl}
z(x,y) &=& dx^2 + exy + fy^2, \\
h(x) &=& z(x,1). \\
\end{array}
$$
Então:
\msk
\begin{tabular}{lll}
se & $h(x) = (x-r_1)(x-r_2)$ & então $(0,0)$ é um ponto de sela, \\
se & $h(x) = α(x-r_1)(x-r_2)$ & então $(0,0)$ é um ponto de sela, \\
se & $h(x) = -α(x-r_1)(x-r_2)$ & então $(0,0)$ é um ponto de sela, \\
se & $h(x) = (x-r)^2$ & então $(0,0)$ é como a figura da p.388, \\
se & $h(x) = α(x-r)^2$ & então $(0,0)$ é como a figura da p.388, \\
se & $h(x) = -α(x-r)^2$ & então $(0,0)$ é como a figura da p.388, \\
se & $h(x) = (x-r_3)(x-r_4)$ & então $(0,0)$ ``tem concavidade pra cima'', \\
se & $h(x) = α(x-r_3)(x-r_4)$ & então $(0,0)$ ``tem concavidade pra cima'', \\
se & $h(x) = -α(x-r_3)(x-r_4)$ & então $(0,0)$ ``tem concavidade pra baixo''. \\
\end{tabular}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio» (to ".exercicio")
% (c3m222mmsp 6 "exercicio")
% (c3m222mmsa "exercicio")
{\bf Exercício}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Digamos que
%
$$\begin{array}{rcl}
z(x,y) &=& dx^2 + exy + fy^2, \\
h(x) &=& z(x,1). \\
\end{array}
$$
Para cada uma das funções $h(x)$ abaixo diga qual é a função $z(x,y)$
associada a ela e faça o diagrama de sinais dessa função $z(x,y)$.
\msk
a) $h(x) = (x-1)(x+2)$
b) $h(x) = 2(x-1)(x+2)$
c) $h(x) = -3(x-1)(x+2)$
d) $h(x) = (x-1)^2$
e) $h(x) = 2(x-1)^2$
f) $h(x) = -3(x-1)^2$
g) $h(x) = (x-(2+i))(x-(2-i))$
h) $h(x) = 2(x-(2+i))(x-(2-i))$
i) $h(x) = -3(x-(2+i))(x-(2-i))$
}\anothercol{
}}
% (find-bortolossi11page (+ -364 406) "estudo do sinal de f'")
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3mm"
% ee-tla: "c3m222mms"
% End: