|
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% (find-LATEX "2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C2-mudanca-de-variaveis.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-1-C2-mudanca-de-variaveis"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2023-1-C2-mudanca-de-variaveis")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
% file:///tmp/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
% file:///tmp/pen/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2023-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Gram2.lua Tree1.lua Caepro5.lua ~/LATEX/")
% (find-MM-aula-links "2023-1-C2-mudanca-de-variaveis" "C2" "c2m231mv" "c2mv")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.contas-1» (to "contas-1")
% «.contas-2» (to "contas-2")
% «.um-exemplo» (to "um-exemplo")
% «.caixinhas» (to "caixinhas")
% «.horriveis-1» (to "horriveis-1")
% «.horriveis-2» (to "horriveis-2")
% «.mais-anotacoes» (to "mais-anotacoes")
% «.mais-anotacoes-2» (to "mais-anotacoes-2")
% «.macaco-de-novo» (to "macaco-de-novo")
% «.intervalos» (to "intervalos")
% «.MVI» (to "MVI")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m231mv" "2023-1-C2-mudanca-de-variaveis")
% (code-eevvideo "c2m231mv" "2023-1-C2-mudanca-de-variaveis")
% (code-eevlinksvideo "c2m231mv" "2023-1-C2-mudanca-de-variaveis")
% (find-c2m231mvvideo "0:00")
%\documentclass[oneside,12pt]{article}
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
\pu
\def\eqnpfull#1{\overset{\scriptscriptstyle(#1)}{=}}
\def\eqnpbare#1{=}
\def\eqnp {\eqnpfull}
\def\redname#1{{\color{Red3}\text{#1}}}
\sa{II}{\redname{[II]}}
\sa{MVI}{\redname{[MVI]}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m231mvp 1 "title")
% (c2m231mva "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo C2 - 2023.1}
\bsk
Aulas 10 até 13: mudança de variáveis
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2023.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m231mvp 2 "links")
% (c2m231mva "links")
% (c2m222mvp 2 "links")
% (c2m222mva "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Mudança de variável na integral definida (MVD):
% (c2m221atisp 12 "substituicao-figura")
% (c2m221atisa "substituicao-figura")
\Ca{2eT131} (t-ints, p.12) Uma figura pra mudança de variável
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "Substitution in definite integrals")
\Ca{Thomas55p11} (p.376) Theorem 5: Substitution in definite integrals
\Ca{2fT49} Meu PDF de 2022.2 sobre mudança de variáveis
\bsk
Mudança de variável na integral indefinida (MVI):
% (c2m221atisp 14 "exemplo-contas")
% (c2m221atisa "exemplo-contas")
\Ca{2eT133} (t-ints, p.14) Um exemplo com contas
% (c2m221atisp 16 "exemplo-contas-2")
% (c2m221atisa "exemplo-contas-2")
\Ca{2eT135} (t-ints, p.16) Outro exemplo com contas
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "5: The substitution rule")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "5: The substitution rule" "Example 3")
\Ca{Thomas55p3} (p.370) Theorem 5: The substitution rule
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "5.2.1. Regra da cadeia")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "9.2" "potências de seno e co-seno")
\Ca{Leit5p13} (p.296) A regra da cadeia para a antidiferenciação
\Ca{Leit9p10} (p.537) Integração de potências de sen e cos
% (find-dmirandacalcpage 189 "6.2 Integração por Substituição")
% (find-dmirandacalcpage 192 "Exemplo 6.6")
% (find-dmirandacalcpage 193 "não podemos")
% (find-dmirandacalcpage 196 "Exercícios")
% (find-dmirandacalcpage 255 "8.3 Integrais Trigonométricas")
\Ca{Miranda189} 6.2. Integração por substituição
\Ca{Miranda192} Exemplo 6.6
\Ca{Miranda193} Não podemos
\Ca{Miranda196} Exercícios
\Ca{Miranda255} 8.3 Integrais Trigonométricas
\msk
Vídeo do Reginaldo:
\url{https://www.youtube.com/watch?v=PTCUjrEBc4g}
\msk
\msk
\par \Ca{2gQ22} Quadros da aula 10 (05/maio/2023)
\par \Ca{2gQ24} Quadros da aula 11 (09/maio/2023)
\par \Ca{2gQ26} Quadros da aula 12 (12/maio/2023)
\par \Ca{2gQ28} Quadros da aula 13 (16/maio/2023)
% (c2m221vsbp 8 "questao-3-gab")
% (c2m221vsba "questao-3-gab")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "6.2 Integração por Substituição")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "Exemplo 6.6")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "8.3 Integrais Trigonométricas")
% (find-fline "/home/angg_slow_html/eev-videos/" "2020_int_subst_1.mp4")
% (find-LATEX "2020-1-C2-int-subst.tex" "videos" "2020_int_subst_1")
}\anothercol{
}}
\newpage
% «contas-1» (to ".contas-1")
% (c2m231mvp 3 "contas-1")
% (c2m231mva "contas-1")
{\bf Contas (1)}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
$$\begin{array}{rcl}
\Intx {a}{b}{f'(x)} & \eqnp {1} & \difx{a}{b}{f(x)} \\
\Intu {α}{β}{f'(u)} & \eqnp {2} & \difu{α}{β}{f(u)} \\
\Intx {a}{b}{ \cos x} & \eqnp {3} & \difx {a}{b}{ \sen x} \\
\Intx {a}{b}{2\cos 2x} & \eqnp {4} & \difx {a}{b}{ \sen 2x} \\
& \eqnp {5} & \sen 2b - \sen 2a \\
& \eqnp {6} & \difu{2a}{2b}{ \sen u} \\
\Intu {α}{β}{ \cos u} & \eqnp {7} & \difu {α}{β}{ \sen u} \\
\Intu{2a}{2b}{ \cos u} & \eqnp {8} & \difu{2a}{2b}{ \sen u} \\
& \eqnp {9} & \sen 2b - \sen 2a \\
& \eqnp{10} & \difx {a}{b}{ \sen 2x} \\
& \eqnp{11} & \Intx {a}{b}{2\cos 2x} \\
\Intx {a}{b}{2\cos 2x} & \eqnp{12} & \Intu{2a}{2b}{ \cos u} \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «contas-2» (to ".contas-2")
% (c2m231mvp 4 "contas-2")
% (c2m231mva "contas-2")
{\bf Contas (2)}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
$$\begin{array}{rcl}
\Intx {a}{b}{f'(x)} & \eqnp {1} & \difx {a}{b}{f(x)} \\
\Intu {α}{β}{f'(u)} & \eqnp {2} & \difu {α}{β}{f(u)} \\ \\[-5pt]
%
\Intx {a}{b}{(\cos x^2)·2x} & \eqnp {3} & \difx {a}{b}{\sen x^2} \\
& \eqnp {4} & \sen b^2 - \sen a^2 \\
& \eqnp {5} & \difu{a^2}{b^2}{\sen u} \\
\Intu{a^2}{b^2}{\cos u} & \eqnp {6} & \difu{a^2}{b^2}{\sen u} \\ \\[-5pt]
\Intx {a}{b}{(\cos x^2)·2x} & \eqnp {7} & \Intu{a^2}{b^2}{\cos u} \\ \\[-5pt]
%
\Intx {a}{b}{g'(h(x))h'(x)} & \eqnp {8} & \difx {a}{b}{g(h(x))} \\
& \eqnp {9} & g(h(b)) - g(h(a)) \\
& \eqnp {10} & \difu{h(a)}{h(b)}{g(u)} \\
\Intu{h(a)}{h(b)}{g'(u)} & \eqnp {11} & \difu{h(a)}{h(b)}{g(u)} \\ \\[-5pt]
\Intx {a}{b}{g'(h(x))h'(x)} & \eqnp {12} & \Intu{h(a)}{h(b)}{g'(u)} \\ \\[-5pt]
\Intx {a}{b}{g (h(x))h'(x)} & \eqnp {13} & \Intu{h(a)}{h(b)}{g (u)} \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% _ _ _
% | | | |_ __ ___ _____ _____ _ __ ___ _ __ | | ___
% | | | | '_ ` _ \ / _ \ \/ / _ \ '_ ` _ \| '_ \| |/ _ \
% | |_| | | | | | | | __/> < __/ | | | | | |_) | | (_) |
% \___/|_| |_| |_| \___/_/\_\___|_| |_| |_| .__/|_|\___/
% |_|
% «um-exemplo» (to ".um-exemplo")
% (c2m231mvp 5 "um-exemplo")
% (c2m231mva "um-exemplo")
% (c2m221atisp 14 "exemplo-contas")
% (c2m221atisa "exemplo-contas")
% (c2m221atisp 16 "exemplo-contas-2")
% (c2m221atisa "exemplo-contas-2")
% \Ca{2eT133} (t-ints, p.14) Um exemplo com contas
% \Ca{2eT135} (t-ints, p.16) Outro exemplo com contas
{\bf Um exemplo}
\sa{2 cos(3x+4) full}{
\begin{array}{l}
\D \Intx{a}{b}{2 \cos(3x+4)} \\[8pt]
= \;\; \D \Intu{3a+4}{3b+4} {2 (\cos u) · \frac13} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \Intu{3a+4}{3b+4} {\cos u} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \left(\difu{3a+4}{3b+4} {(\sen u)} \right) \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \left(\difx{a}{b} {(\sen (3x+4))} \right) \\
\end{array}
}
\sa{2 cos(3x+4) thin}{
\begin{array}{l}
\D \intx{2 \cos(3x+4)} \\[8pt]
= \;\; \D \intu {2 (\cos u) · \frac13} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \intu{\cos u} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \sen u \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \sen (3x+4) \\
\end{array}
}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{8.5cm}\firstcol{
Isto aqui é um exemplo de como contas com mudança
de variável costumam ser feitas na prática:
%
$$\scalebox{0.95}{$
\ga{2 cos(3x+4) thin}
$}
$$
É necessário indicar em algum lugar que a relação
entre a variável nova e a antiga é esta: $u=3x+4$.
\msk
Compare com:
\Ca{Miranda189} 6.2: Integração por substituição
\Ca{Leit5p13} (p.296) Teorema 5.2.1: a regra da
cadeia para a antidiferenciação
\Ca{Leit5p16} (p.299) Exemplo 5
}\anothercol{
Compare as contas à esquerda, que não têm nem os limites de
integração nem as barras de diferença, com estas:
%
$$\scalebox{0.8}{$
\ga{2 cos(3x+4) full}
$}
$$
\ssk
Nós vamos tratar a versão à esquerda como uma abreviação pra versão da
direita. Note que pra ir da versão ``completa'' pra ``abreviada'' é
super fácil, é só apagar os limites de integração e as barras de
diferença -- mas pra ir da versão ``abreviada'' pra ``completa'' a
gente precisa reconstruir os limites de integração e as barras de
diferença, o que é bem mais difícil.
}}
\newpage
% «caixinhas» (to ".caixinhas")
% (c2m231mvp 6 "caixinhas")
% (c2m231mva "caixinhas")
{\bf Caixinhas de anotações}
\scalebox{0.725}{\def\colwidth{7.5cm}\firstcol{
O meu truque preferido pra não me enrolar nas contas de uma mudança
de variável é fazer uma caixinha de anotações como essa aqui,
%
$$\bmat{
u = 3x+4 \\
\frac{du}{dx} = \ddx(3x+4) = 3 \\
\frac{du}{dx} = 3 \\
\ColorRed{du = 3 \, dx} \\
\ColorRed{dx = \frac13 \,du} \\
}
$$
na qual: a) a primeira linha diz a relação entre a variável antiga e
a variável nova -- que nesse exemplo é $u=3x+4$, b) todas as outras
linhas da caixinha são consequências dessa primeira, e c) dentro da
caixinha a gente permite gambiarras como:
%
$$dx = 42\,du$$
}\anothercol{
Durante quase todo o curso de C2 a gente vai tratar esse tipo de
coisa como uma igualdade entre expressões incompletas -- mais ou
menos como se a gente estivesse dizendo isso aqui:
%
$$+20) = /99]$$
Na caixinha à esquerda eu colori as linhas que são gambiarras em
vermelho.
\bsk
\bsk
\bsk
Aqui tem um exemplo grande:
\Ca{2fT112} (C2-P1, p.5) Questão 1: gabarito
}}
\newpage
% «horriveis-1» (to ".horriveis-1")
% (c2m231mvp 7 "horriveis-1")
% (c2m231mva "horriveis-1")
{\bf Os detalhes horríveis}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Nesta página aqui -- \Ca{Miranda193} -- o Miranda diz ``Não
podemos calcular uma integral que possui tanto um $x$ e um $u$
nela'', mas ele não explica porquê... se em
%
$$\Intx{a}{b}{2 \cos(u)}$$
%
esse $u$ fosse uma abreviação para $3x+4$ essa integral acima
seria equivalente à do início do slide anterior, né?... \frown
\msk
Neste slide eu vou tentar contar o que eu sei sobre como o método
da substituição funciona -- {\sl pra convencer vocês de que não
vale a pena vocês tentarem entender os detalhes agora}.
\msk
Toda mudança de variável numa integral definida é consequência da
igualdade (13) do slide ``Contas (2)''. Por exemplo, compare:
%
$$\begin{array}{rcl}
\D \Intx{a}{b}{g (h(x))h'(x)} &\eqnp{13}& \D \Intu{h(a)}{h(b)}{g (u)} \\
\D \Intx{a}{b}{2 \cos(3x+4)} & = & \D \Intu{3a+4}{3b+4}{2(\cos u)·\frac13} \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
A gente pode tentar descobrir qual é a substituição certa passo a
passo, começando pelas funções mais simples.... eu faria assim:
olhando pra parte direita eu chuto que $g(u) = 2(\cos u)·\frac13$;
olhando pra parte esquerda eu chuto que $h(x) = 3x+4$, e daí
$h'(x) = 3$; aí eu testo esta substituição aqui,
%
$$(13) \bmat{g(u):=2(\cos u)·\frac13 \\
h(x):=3x+4 \\
h'(x):=3 \\
}
$$
e vejo que o resultado dela é {\sl equivalente} (mas não igual!!!) à
última igualdade da coluna da esquerda -- não preciso nem substituir
o $a$ e o $b$.
}}
\newpage
% «horriveis-2» (to ".horriveis-2")
% (c2m231mvp 8 "horriveis-2")
% (c2m231mva "horriveis-2")
{\bf Os detalhes horríveis (2)}
\scalebox{0.62}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Estas contas aqui,
%
$$\begin{array}{rcl}
u &=& x^4 \\
\frac{du}{dx} &=& 4x^3 \\
du &=& \frac{du}{dx} dx \\
&=& 4x^3 \, dx \\
\end{array}
$$
fazem sentido se a gente considerar que:
\msk
1. $x$ é uma variável independente,
2. $u$ é uma variável dependente, com $u=u(x)=x^4$,
3. $dx$ é uma variável independente,
4. $du$ é uma variável dependente, com $du=\frac{du}{dx}dx$,
5. estas regras sobre diferenciais valem: \Ca{Leit4p61} (p.275),
6. estas regras sobre variáveis dependentes valem: \Ca{Stew14p53} (p.951),
7. o $dx$ num $\intx{f(x)}$ funciona como uma diferencial.
\msk
Eu já perguntei pra vários matemáticos fodões que eu conheço --
incluindo os desenvolvedores do Maxima, na mailing list -- onde eu
posso encontrar alguma formalização das regras de como lidar com
variáveis dependentes, diferenciais e mudança de variável na integral
indefinida, e todos eles me responderam a mesma coisa: ``{\sl não faço
a menor idéia! Eu sei algumas das regras mas não todas, e não sei
onde você pode procurar...}'' \frown
\msk
Moral: \standout{é melhor a gente tratar o $du = 4x^3 \, dx$ como uma
gambiarra...}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «mais-anotacoes» (to ".mais-anotacoes")
% (c2m231mvp 9 "mais-anotacoes")
% (c2m231mva "mais-anotacoes")
\def\S{\senθ}
\def\C{\cosθ}
{\bf Caixinhas com mais anotações}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
$$\begin{array}{rcl}
\intth{(\S)^4(\C)^7} &=& \intth{(\S)^4(\C)^6\C} \\
&=& \intth{(\S)^4((\C)^2)^3\C} \\
&=& \intth{(\S)^4(1-(\S)^2)^3\C} \\
&=& \ints { s^4(1- s^2)^3 } \\
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rcl}
\intth{(\S)^4(\C)^7} &=& \intth{(\S)^4(\C)^6\C} \\
&=& \ints { s^4(1- s^2)^3 } \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
\vspace*{0.25cm}
$$\bmat{\senθ = s \\
\frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
ds = \cosθ \,dθ \\
\cosθ \,dθ = ds \\
}
$$
\bsk
$$\bmat{\senθ = s \\
\frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
ds = \cosθ \,dθ \\
\cosθ \,dθ = ds \\
(\C)^2 = 1-(\S^2) \\
(\C)^2 = 1-s^2 \\
(\C)^6 = (1-s^2)^3 \\
}
$$
}}
\newpage
% «mais-anotacoes-2» (to ".mais-anotacoes-2")
% (c2m231mvp 10 "mais-anotacoes-2")
% (c2m231mva "mais-anotacoes-2")
{\bf Caixinhas com mais anotações (2)}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{7.5cm}\firstcol{
$$\begin{array}{rcl}
\D \ints{s \sqrt{1-s^2}} &=& \D \intth{(\S) \sqrt{1-(\S)^2} \C} \\
&=& \D \intth{(\S) \sqrt{(\C)^2} \C} \\
&=& \D \intth{(\S) (\C) \C} \\
&=& \D \intth{(\S) (\C)^2} \\
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rcl}
\D \ints{s \sqrt{1-s^2}} &=& \D \intth{(\S) (\C) \C} \\
&=& \D \intth{(\S) (\C)^2} \\
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rcl}
\D \ints{\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}} &=& \D \intth{\frac{1}{\C} \C} \\
&=& \D \intth{1} \\
&=& θ \\
&=& \arcsen s \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
\vspace*{0.25cm}
$$\bmat{s = \senθ \\
\frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
ds = \cosθ \,dθ \\
}
$$
\vspace*{3cm}
$$\bmat{s = \senθ \\
\frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
ds = \cosθ \,dθ \\
s^2 = (\S)^2 \\
1 - s^2 = 1-(\S)^2 \\
1 - s^2 = (\C)^2 \\
\sqrt{1 - s^2} = \C \\
\arcsen s = \arcsen \sen θ \\
\arcsen s = θ \\
θ = \arcsen s \\
}
$$
}}
\newpage
% «macaco-de-novo» (to ".macaco-de-novo")
% (c2m231mvp 11 "macaco-de-novo")
% (c2m231mva "macaco-de-novo")
{\bf O macaco, de novo}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
Estas duas igualdades são falsas
%
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt{1-(\S)^2} &=& \cos θ \\
\arcsen \sen θ &=& θ \\
\end{array}
$$
quando $θ=π$... confira!
\msk
Mas elas são verdadeiras para $θ=0$, e para todo $θ$ num certo
intervalo em torno do 0 que eu não quero contar qual é.
\msk
Lembre quem em Cálculo 2 a gente vai primeiro fazer as contas como o
macaco que faz todas as contas como se tudo funcionasse, e a gente vai
deixar pra checar os detalhes, como se $θ$ está no intervalo certo, só
no final, depois de termos feito as contas todas.
}\anothercol{
O Leithold é super cuidadoso nas contas e nesses detalhes como os
domínios da funções e o intervalo onde mora o $θ$, mas a maioria dos
outros livros de Cálculo 2 que eu conheço não são -- eles são meio
porcalhões com esses detalhes... e a gente também vai ser, senão não
vai dar tempo de cobrir o suficiente da matéria.
}}
\newpage
{\bf Desabreviando o $42=99$}
\scalebox{0.675}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
Lembre que a nossa regra básica pra integral indefinida é esta
aqui,
%
$$\ga{II} \;=\; \left( \D\intx{f'(x)} = f(x) \right)$$
e eu usei ela pra demostrar isto aqui:
%
$$\begin{array}{rcll}
\D \intx{0} &\eqnp{1}& 42 \\
\D \intx{0} &\eqnp{2}& 99 \\
42 &\eqnp{3}& 99 \\
\end{array}
$$
As justificativas são:
(1): por $\ga{II}$, com $f(x)=42$
(2): por $\ga{II}$, com $f(x)=99$
(3): por (1) e (2)
}\anothercol{
Se a gente desabreviar as contas da esquerda -- como num dos
primeiros slides -- a gente obtém isto aqui:
%
$$\begin{array}{rcll}
\D \Intx{a}{b}{0} &\eqnp{4}& \difx{a}{b}{42} \\
\D \Intx{a}{b}{0} &\eqnp{5}& \difx{a}{b}{99} \\
\difx{a}{b}{42} &\eqnp{6}& \difx{a}{b}{99} \\
\end{array}
$$
E agora a igualdade (6) é claramente verdade -- confira!
}}
\newpage
% «intervalos» (to ".intervalos")
% (c2m231mvp 13 "intervalos")
% (c2m231mva "intervalos")
{\bf O truque dos intervalos}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Dê uma olhada nas primeiras páginas daqui:
\ssk
\Ca{Leit5p3} 5.1. Antidiferenciação
\msk
O Leithold usa expressões como ``num intervalo $I$'', ``para todo
$x∈I$'' e ``definidas no mesmo intervalo'' um montão de vezes. O
truque de usar sempre intervalos resolve esse esse problema daqui
super bem:
\ssk
\Ca{2fT24} Meme: expanding brain, versão ln
\bsk
A minha definição preferida pra integral indefinida,
\ssk
\Ca{2fT23} Outra definição pra integral indefinida
\ssk
também resolve o problema -- de um modo bem mais simples, e que é
suficiente pro tipo de conta que a gente tem que treinar em
Cálculo 2.
}\anothercol{
}}
\newpage
% __ ____ _____
% | \/ \ \ / /_ _|
% | |\/| |\ \ / / | |
% | | | | \ V / | |
% |_| |_| \_/ |___|
%
% «MVI» (to ".MVI")
% (c2m231mvp 14 "MVI")
% (c2m231mva "MVI")
{\bf MVI}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\P#1{\left(#1\right)}
\sa{MVA H short}{
\D \intx{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
\D \intu{f'(u)}
}
\sa{MVA H}{
\D \intx{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
f(g(x))
\;=\;
f(u)
\;=\;
\D \intu{f'(u)}
}
\sa{MVA Hund}{
\und{ \D\ddx\P{ \intx{f'(g(x))g'(x)}} }{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
\und{ \D\ddx f(g(x)) }{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
\und{ \D\ddx \und{f(u)}{f(g(x))} }{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
\und{ \D\ddx \und{\und{\intu{f'(u)}}{f(u)}}{f(g(x))} }{f'(g(x))g'(x)}
}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{15cm}\firstcol{
% (c2m222mvp 4 "justificando-cada")
% (c2m222mva "justificando-cada")
% \Ca{2fT52} Justificando cada igualdade
A nossa fórmula pra mudança de variável na integral indefinida vai
ser esta aqui:
%
$$\ga{MVI} \;=\; \P{\ga{MVA H short}}$$
Dá pra demonstrar ela deste jeito,
%
$$\ga{MVA H}$$
onde a primeira e a terceira igualdades são consequências do
$\ga{II}$, e a igualdade do meio só vale se tivermos $u=g(x)$.
\msk
Os livros demonstram a $\ga{MVI}$ de um jeitos que eu nunca achei
muito convincentes -- ou fingindo que tudo é óbvio, ou ``derivando
tudo em $x$''. As contas abaixo me ajudaram a entender o que
acontece quando a gente ``deriva tudo em $x$'':
% \Ca{Miranda189} 6.2: Integração por substituição
$$\ga{MVA Hund}$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% (c2m222strigp 3 "exercicio-1")
% (c2m222striga "exercicio-1")
{\bf Simplificando raizes quadradas}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Na aula de 16/maio/2023 você aprendeu -- na prática, não vendo uma
definição formal -- o que é transformar uma integral mais difícil
numa integral mais fácil, que nós sabemos integrar...
\ssk
a) Digamos que você sabe integrar $\ints{\sqrt{1-s^2}}$.
Transforme $\intx{\sqrt{1-(5x)^2}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
b) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
c) Digamos que você sabe integrar $\ints{\sqrt{1-s^2}^{\,k}}$ para
qualquer valor de $k$.
Transforme $\intx{{\sqrt{1-(5x)^2}}^{\,42}}$ em algo que você sabe
integrar.
\ssk
d) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,42}}$ em algo que você sabe
integrar.
\ssk
e) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
f) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.
}\anothercol{
\ssk
g) Entenda este truque aqui:
%
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt{3^2 - x^2} &=& \sqrt{3^2 - 3^2 \frac{1}{3^2} x^2} \\
&=& \sqrt{3^2 - 3^2(\frac x3)^2} \\
&=& \sqrt{3^2(1 - (\frac x3)^2)} \\
&=& \sqrt{3^2}\sqrt{1 - (\frac x3)^2} \\
&=& 3\sqrt{1 - (\frac x3)^2} \\
\end{array}
$$
Use ele -- com adaptações, óbvio -- pra transformar
$\intx{\sqrt{25-x^2}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
h) Use ele pra transformar
$\intx{\sqrt{25-x^2}^{\,42}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
i) Use ele pra transformar $\intx{\sqrt{a^2-x^2}}$ em algo que você
sabe integrar.
\ssk
j) Use ele pra transformar
$\intx{\sqrt{a^2-x^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
j) Use ele pra transformar $\intx{x^{20} \sqrt{a^2-x^2}^{\,k}}$ em
algo que você sabe integrar.
}}
\newpage
{\bf Exercício 2}
\sa{[DFI]}{\CFname{DFI}{}}
\scalebox{0.58}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
(Obs: ainda não atualizei este slide!)
\ssk
No final da aula de 28/set/2022 -- veja a foto do quadro:
\ssk
{\scriptsize
% (find-angg ".emacs" "c2q222")
% (find-angg ".emacs" "c2q222" "22" "set28: substituição trigonométrica")
% http://angg.twu.net/2022.2-C2/C2-quadros.pdf#page=23
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C2/C2-quadros.pdf\#page=23}
}
\ssk
nós vimos que a demonstração de que $\ddx \ln x = \frac1x$ pode ser
generalizada, e aí a gente obtém a ``fórmula da derivada da função
inversa'', que eu chamei de \ga{[DFI]}...
Essa generalização pode ser ``especializada'' pra obter outros casos
particulares diferentes de $\ddx \ln x = \frac1x$.
\msk
a) Faça o primeiro exercício que eu pus no quadro:
%
$$\ga{[DFI]}
\bmat{
g(x) := \arcsen x \\
g'(x) := \arcsen' x \\
f(x) := \sen x \\
f'(x) := \cos x \\
} = \Rq
$$
b) Faça o segundo exercício do quadro:
%
$$\ga{[DFI]}
\bmat{
g(x) := \arcsen x \\
g'(x) := \arcsen' x \\
f(x) := \sen x \\
f'(x) := \sqrt{1 - (\sen x)^2} \\
} = \Rq
$$
}\anothercol{
c) Use as identidades trigonométricas que vamos ver em sala pra
encontrar uma fórmula pra derivada do $\arctan$.
\msk
d) Use as identidades trigonométricas que vamos ver em sala pra
encontrar uma fórmula pra derivada do $\arcsec$.
}}
\newpage
{\bf Exercício 3}
\scalebox{0.54}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Slogan:
\begin{quote}
{\sl Toda integral que pode ser resolvida por uma sequência de mudanças
de variável pode ser resolvida por uma mudança de variável só.}
\end{quote}
Durante a quarentena eu dei algumas questões de prova sobre este
slogan. Dê uma olhada:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m202p1p 4 "questao-2")
% (c2m202p1a "questao-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf\#page=4}
% (c2m202p1p 9 "gabarito-2")
% (c2m202p1a "gabarito-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=9
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf\#page=9}
% (c2m211p1p 15 "gabarito-2-2020.2")
% (c2m211p1a "gabarito-2-2020.2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf#page=15
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf\#page=15}
}
\msk
a) Resolva a integral abaixo usando uma mudança de variável só (dica:
$u=g(h(x))$):
%
$$\intx{f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)} = \Rq$$
b) Resolva a integral acima usando duas mudanças de variável. Dica:
comece com $u=h(x)$.
\bsk
\bsk
O Miranda e o Leithold preferem fazer em um passo só certas mudanças
de variáveis que eu prefiro fazer em dois ou três passos. Entenda o
exemplo 8.1 do Miranda -- o da seção 8.4, na página 264...
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "8.4 Substituição Trigonométrica")
% (find-dmirandacalcpage 263 "8.4 Substituição Trigonométrica")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#263
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#263}
}
}\anothercol{
% a
c) ...e descubra como resolver a integral dele fazendo duas mudanças
de variáveis ao invés de uma só. A segunda mudança de variável vai
ser $s = \sen θ$, e a primeira eu prefiro não contar qual é -- tente
usar as idéias do exercício 1 pra descobrir qual ela tem que ser.
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
{\sl (Obs: ainda não atualizei este slide!)}
}}
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2mv"
% ee-tla: "c2m231mv"
% End: