|
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% (find-LATEX "2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-mudanca-de-variaveis.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-1-C2-mudanca-de-variaveis"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2024-1-C2-mudanca-de-variaveis")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
% file:///tmp/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
% file:///tmp/pen/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C2-mudanca-de-variaveis.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-1-C2-mudanca-de-variaveis" "2" "c2m241mv" "c2mv")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
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% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
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%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
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\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
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\pu
% «defs-mv» (to ".defs-mv")
\input 2023-2-C2-mv-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-mv-defs.tex")
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m241mvp 1 "title")
% (c2m241mva "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.1}
\bsk
Aulas 16 a 18: mudança de variáveis
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2024.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m241mvp 2 "links")
% (c2m241mva "links")
% (c2m232mvp 2 "links")
% (c2m232mva "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{
\par \Ca{CederjC2V2p19} (p.17) 17. Substituição simples
\par \Ca{CederjC2V2p27} (p.25) 18. Substituição simples - continuação
\par \Ca{CederjC2V2p31} (p.29) ou escrevemos todo o integrando com a variável $t$...
\par \Ca{CederjC2V2p35} (p.33) 19. Integração por partes
\par \Ca{CederjC2V2p45} (p.43) 20. Integração de potências e produtos de funções trigonométricas
\par \Ca{CederjC2V2p55} (p.53) 21. Integração de potências e produtos de funções trigonométricas
\par \Ca{CederjC2V2p65} (p.63) 22. Substituição trigonométrica
\par \Ca{CederjC2V2p68} (p.66) Os três casos típicos
\par \Ca{CederjC2V2p77} (p.75) 23. Frações parciais - primeira parte
\par \Ca{CederjC2V2p93} (p.91) 24. Frações parciais - segunda parte
\par \Ca{CederjC2V2p103} (p.101) 25. Aulas de exercícios
}\anothercol{
}}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m232mvp 2 "links")
% (c2m232mva "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Links da aula 8:
\par \Ca{2hQ21} Quadros da aula 8 (4a, 12/set/2023)
\par \Ca{StewPtCap5p39} (p.360) 5.4 Integrais Indefinidas
\par \Ca{StewPtCap5p48} (p.369) 5.5 A Regra da Substituição
\par \Ca{StewPtCap7p5} (p.420) 7.1 Integração por Partes
\par \Ca{2gT45} (2023.1) Mudança de variável: exemplo
\par \Ca{2gT46} (2023.1) Mudança de variável: caixinhas
\msk
Mudança de variável na integral definida (MVD):
% (c2m221atisp 12 "substituicao-figura")
% (c2m221atisa "substituicao-figura")
\Ca{2eT131} (t-ints, p.12) Uma figura pra mudança de variável
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "63 376" "Substitution in definite integrals")
\Ca{Thomas55p11} (p.376) Theorem 5: Substitution in definite integrals
\Ca{2fT49} Meu PDF de 2022.2 sobre mudança de variáveis
\bsk
Mudança de variável na integral indefinida (MVI):
% (c2m221atisp 14 "exemplo-contas")
% (c2m221atisa "exemplo-contas")
\par \Ca{2eT133} (t-ints, p.14) Um exemplo com contas
% (c2m221atisp 16 "exemplo-contas-2")
% (c2m221atisa "exemplo-contas-2")
\par \Ca{2eT135} (t-ints, p.16) Outro exemplo com contas
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "5: The substitution rule")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "5: The substitution rule" "Example 3")
\par \Ca{Thomas55p3} (p.370) Theorem 5: The substitution rule
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "5.2.1. Regra da cadeia")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "9.2" "potências de seno e co-seno")
\par \Ca{Leit5p13} (p.296) A regra da cadeia para a antidiferenciação
\par \Ca{Leit9p10} (p.537) Integração de potências de sen e cos
% (find-dmirandacalcpage 189 "6.2 Integração por Substituição")
% (find-dmirandacalcpage 192 "Exemplo 6.6")
% (find-dmirandacalcpage 193 "não podemos")
% (find-dmirandacalcpage 196 "Exercícios")
% (find-dmirandacalcpage 255 "8.3 Integrais Trigonométricas")
\par \Ca{Miranda189} 6.2. Integração por substituição
\par \Ca{Miranda192} Exemplo 6.6
\par \Ca{Miranda193} Não podemos
\par \Ca{Miranda196} Exercícios
\par \Ca{Miranda255} 8.3 Integrais Trigonométricas
\msk
Vídeo do Reginaldo:
\url{https://www.youtube.com/watch?v=PTCUjrEBc4g}
% (c2m221vsbp 8 "questao-3-gab")
% (c2m221vsba "questao-3-gab")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "6.2 Integração por Substituição")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "Exemplo 6.6")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "8.3 Integrais Trigonométricas")
% (find-fline "/home/angg_slow_html/eev-videos/" "2020_int_subst_1.mp4")
% (find-LATEX "2020-1-C2-int-subst.tex" "videos" "2020_int_subst_1")
}\anothercol{
Alguns quadros de 2023.1:
\par \Ca{2gQ22} Quadros da aula 10 (05/maio/2023)
\par \Ca{2gQ24} Quadros da aula 11 (09/maio/2023)
\par \Ca{2gQ26} Quadros da aula 12 (12/maio/2023)
\par \Ca{2gQ28} Quadros da aula 13 (16/maio/2023)
}}
\newpage
% «introducao» (to ".introducao")
% (c2m232mvp 3 "introducao")
% (c2m232mva "introducao")
{\bf Introdução}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\scalebox{0.525}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{
O Stewart explica o truque da mudança de variável na integral usando
{\sl variáveis dependentes} e {\sl diferenciais}. Por exemplo, se $x$
é a variável independente, $u$ é a variável dependente, e a relação
entre elas é $u=g(x)=2x$, então temos
%
$$\textstyle
\frac{du}{dx}
\;=\; \ddx u
\;=\; \ddx g(x)
\;=\; \ddx 2x
\;=\; 2
$$
e:
%
$$\sa {2x}{\und{2x}{u}}
\sa {2}{\und{2}{\frac{du}{dx}}}
\sa{2 dx}{\und{\ga{2}dx}{du}}
\int \sen(\ga{2x}) \ga{2 dx}
\;=\;
\intu{\sen(u)}
$$
Dê uma olhada:
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 10" "variável dependente")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 228" "Diferenciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 360" "5.4 Integrais Indefinidas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 369" "5.5 A Regra da Substituição")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 372" "para as Integrais Definidas\")")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 420" "7.1 Integração por Partes")
\par \Ca{StewPtCap1p5} (p.10) variável dependente
\par \Ca{StewPtCap3p75} (p.228) Diferenciais
\par \Ca{StewPtCap5p39} (p.360) 5.4 Integrais Indefinidas
\par \Ca{StewPtCap5p48} (p.369) 5.5 A Regra da Substituição
\msk
Só que contas com variáveis dependentes e diferenciais são difíceis de
justificar formalmente! A gente viu como expandir contas curtas em que
certos passos têm justificativas complicadas em contas maiores mas em
que cada passo tem uma justificativa bem simples... se a gente tenta
fazer isso com a igualdade entre integrais acima a gente acaba
descobrindo que as regras pra variáveis dependentes e diferenciais são
bem complicadas.
}\anothercol{
Então eu vou fazer o seguinte. A regra da mudança de variável na
integral definida, que o Stewart explica nesta página,
\ssk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 372" "para as Integrais Definidas\")")
\par \Ca{StewPtCap5p51} (p.372) ...para as integrais definidas
\ssk
é bem fácil de demonstrar usando só o \ga{[TFC2]}.
\msk
Eu vou usar estas
quatro definições aqui -- onde \ga{[MVD]} é a fórmula pra mudança de
variável na integral definida, \ga{[MVI]} é a fórmula pra mudança de
variável na integral indefinida, \ga{[MVD4]} é uma demonstração da
\ga{[MVD]} com 4 igualdades \ga{[MVI3]} é uma demonstração da
\ga{[MVI]} com 3 igualdades,
%
$$\scalebox{0.8}{$
\begin{array}{lcl}
\ga{[MVD]} &=& \P{\ga{MVD}} \\
\ga{[MVI]} &=& \P{\ga{MVI}} \\
\ga{[MVD4]} &=& \P{\ga{MVD4}} \\ \\[-9pt]
\ga{[MVI3]} &=& \P{\ga{MVI3}} \\ \\[-9pt]
\end{array}
$}
$$
e a gente vai ver que dá pra tratar algumas destas fórmulas e
demonstrações como abreviações pras outras, e que dá pra expandir as
versões mais abreviadas em outras em que os passos são mais fáceis de
justificar.
}}
\newpage
% _ _ _
% | | | |_ __ ___ _____ _____ _ __ ___ _ __ | | ___
% | | | | '_ ` _ \ / _ \ \/ / _ \ '_ ` _ \| '_ \| |/ _ \
% | |_| | | | | | | | __/> < __/ | | | | | |_) | | (_) |
% \___/|_| |_| |_| \___/_/\_\___|_| |_| |_| .__/|_|\___/
% |_|
% «um-exemplo» (to ".um-exemplo")
% (c2m232mvp 5 "um-exemplo")
% (c2m232mva "um-exemplo")
% (c2m231mvp 5 "um-exemplo")
% (c2m231mva "um-exemplo")
% (c2m221atisp 14 "exemplo-contas")
% (c2m221atisa "exemplo-contas")
% (c2m221atisp 16 "exemplo-contas-2")
% (c2m221atisa "exemplo-contas-2")
% \Ca{2eT133} (t-ints, p.14) Um exemplo com contas
% \Ca{2eT135} (t-ints, p.16) Outro exemplo com contas
{\bf Um exemplo}
\sa{2 cos(3x+4) full}{
\begin{array}{l}
\D \Intx{a}{b}{2 \cos(3x+4)} \\[8pt]
= \;\; \D \Intu{3a+4}{3b+4} {2 (\cos u) · \frac13} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \Intu{3a+4}{3b+4} {\cos u} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \left(\difu{3a+4}{3b+4} {(\sen u)} \right) \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \left(\difx{a}{b} {(\sen (3x+4))} \right) \\
\end{array}
}
\sa{2 cos(3x+4) thin}{
\begin{array}{l}
\D \intx{2 \cos(3x+4)} \\[8pt]
= \;\; \D \intu {2 (\cos u) · \frac13} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \intu{\cos u} \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \sen u \\[8pt]
= \;\; \D \frac23 \sen (3x+4) \\
\end{array}
}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
Isto aqui é um exemplo de como contas com mudança
de variável costumam ser feitas na prática:
%
$$\scalebox{0.95}{$
\ga{2 cos(3x+4) thin}
$}
$$
É necessário indicar em algum lugar que a relação
entre a variável nova e a antiga é esta: $u=3x+4$.
\msk
Compare as contas acima, que não têm nem os limites de integração nem
as barras de diferença, com as da coluna da direita:
}\anothercol{
%
$$\scalebox{0.8}{$
\ga{2 cos(3x+4) full}
$}
$$
\bsk
Nós vamos tratar a versão à esquerda como uma abreviação pra versão da
direita. Note que pra ir da versão ``completa'' pra ``abreviada'' é
super fácil, é só apagar os limites de integração e as barras de
diferença -- mas pra ir da versão ``abreviada'' pra ``completa'' a
gente precisa reconstruir os limites de integração e as barras de
diferença, o que é bem mais difícil.
}}
\newpage
% «caixinhas» (to ".caixinhas")
% (c2m231mvp 6 "caixinhas")
% (c2m231mva "caixinhas")
{\bf Caixinhas de anotações}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
O meu truque preferido pra não me enrolar nas contas de uma mudança
de variável é fazer uma caixinha de anotações como essa aqui,
%
$$\bmat{
u = 3x+4 \\
\frac{du}{dx} = \ddx(3x+4) = 3 \\
\frac{du}{dx} = 3 \\
\ColorRed{du = 3 \, dx} \\
\ColorRed{dx = \frac13 \,du} \\
}
$$
na qual: a) a primeira linha diz a relação entre a variável antiga e
a variável nova -- que nesse exemplo é $u=3x+4$, b) todas as outras
linhas da caixinha são consequências dessa primeira, e c) dentro da
caixinha a gente permite gambiarras como:
%
$$\ColorRed{dx = 42\,du}$$
}\anothercol{
Durante quase todo o curso de C2 a gente vai tratar esse tipo de
coisa como uma igualdade entre expressões incompletas -- mais ou
menos como se a gente estivesse dizendo isso aqui:
%
$$+20) = /99]$$
Na caixinha à esquerda eu colori as linhas que são gambiarras em
vermelho.
\msk
Repare que se a gente soubesse usar diferenciais a gente saberia dar
um sentido pras igualdades que envolvem diferenciais, e que eu
marquei em vermelho... mas a gente não sabe, então a gente vai
considerar que elas são gambiarras que a gente só vai entender
direito em Cálculo 3.
\bsk
Aqui tem um exemplo grande:
\Ca{2fT112} (C2-P1, p.5) Questão 1: gabarito
}}
\newpage
% «horriveis-1» (to ".horriveis-1")
% (c2m231mvp 7 "horriveis-1")
% (c2m231mva "horriveis-1")
{\bf Os detalhes horríveis}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Nesta página aqui -- \Ca{Miranda193} -- o Miranda diz ``Não
podemos calcular uma integral que possui tanto um $x$ e um $u$
nela'', mas ele não explica porquê... se em
%
$$\Intx{a}{b}{2 \cos(u)}$$
%
esse $u$ fosse uma abreviação para $3x+4$ essa integral acima
seria equivalente à do início do slide anterior, né?... \frown
\msk
Neste slide eu vou tentar contar o que eu sei sobre como o método
da substituição funciona -- {\sl pra convencer vocês de que não
vale a pena vocês tentarem entender os detalhes agora}.
\msk
Toda mudança de variável numa integral definida é consequência da
igualdade (13) do slide ``Contas (2)''. Por exemplo, compare:
%
$$\begin{array}{rcl}
\D \Intx{a}{b}{g (h(x))h'(x)} &\eqnp{13}& \D \Intu{h(a)}{h(b)}{g (u)} \\
\D \Intx{a}{b}{2 \cos(3x+4)} & = & \D \Intu{3a+4}{3b+4}{2(\cos u)·\frac13} \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
A gente pode tentar descobrir qual é a substituição certa passo a
passo, começando pelas funções mais simples.... eu faria assim:
olhando pra parte direita eu chuto que $g(u) = 2(\cos u)·\frac13$;
olhando pra parte esquerda eu chuto que $h(x) = 3x+4$, e daí
$h'(x) = 3$; aí eu testo esta substituição aqui,
%
$$(13) \bmat{g(u):=2(\cos u)·\frac13 \\
h(x):=3x+4 \\
h'(x):=3 \\
}
$$
e vejo que o resultado dela é {\sl equivalente} (mas não igual!!!) à
última igualdade da coluna da esquerda -- não preciso nem substituir
o $a$ e o $b$.
\bsk
\standout{Preciso reescrever este slide!}
}}
\newpage
% «horriveis-2» (to ".horriveis-2")
% (c2m231mvp 8 "horriveis-2")
% (c2m231mva "horriveis-2")
{\bf Os detalhes horríveis (2)}
\scalebox{0.62}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Estas contas aqui,
%
$$\begin{array}{rcl}
u &=& x^4 \\
\frac{du}{dx} &=& 4x^3 \\
du &=& \frac{du}{dx} dx \\
&=& 4x^3 \, dx \\
\end{array}
$$
fazem sentido se a gente considerar que:
\msk
1. $x$ é uma variável independente,
2. $u$ é uma variável dependente, com $u=u(x)=x^4$,
3. $dx$ é uma variável independente,
4. $du$ é uma variável dependente, com $du=\frac{du}{dx}dx$,
5. estas regras sobre diferenciais valem: \Ca{Leit4p61} (p.275),
6. estas regras sobre variáveis dependentes valem: \Ca{Stew14p53} (p.951),
7. o $dx$ num $\intx{f(x)}$ funciona como uma diferencial.
\msk
Eu já perguntei pra vários matemáticos fodões que eu conheço --
incluindo os desenvolvedores do Maxima, na mailing list -- onde eu
posso encontrar alguma formalização das regras de como lidar com
variáveis dependentes, diferenciais e mudança de variável na integral
indefinida, e todos eles me responderam a mesma coisa: ``{\sl não faço
a menor idéia! Eu sei algumas das regras mas não todas, e não sei
onde você pode procurar...}'' \frown
\msk
Moral: \standout{é melhor a gente tratar o $du = 4x^3 \, dx$ como uma
gambiarra...}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «mais-anotacoes» (to ".mais-anotacoes")
% (c2m232mvp 8 "mais-anotacoes")
% (c2m232mva "mais-anotacoes")
% (c2m231mvp 9 "mais-anotacoes")
% (c2m231mva "mais-anotacoes")
\def\S{\senθ}
\def\C{\cosθ}
{\bf Caixinhas com mais anotações}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
$$\begin{array}{rcl}
\intth{(\S)^4(\C)^7} &=& \intth{(\S)^4(\C)^6\C} \\
&=& \intth{(\S)^4((\C)^2)^3\C} \\
&=& \intth{(\S)^4(1-(\S)^2)^3\C} \\
&=& \ints { s^4(1- s^2)^3 } \\
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rcl}
\intth{(\S)^4(\C)^7} &=& \intth{(\S)^4(\C)^6\C} \\
&=& \ints { s^4(1- s^2)^3 } \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
\vspace*{0.25cm}
$$\bmat{\senθ = s \\
\frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
ds = \cosθ \,dθ \\
\cosθ \,dθ = ds \\
}
$$
\bsk
$$\bmat{\senθ = s \\
\frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
ds = \cosθ \,dθ \\
\cosθ \,dθ = ds \\
(\C)^2 = 1-(\S^2) \\
(\C)^2 = 1-s^2 \\
(\C)^6 = (1-s^2)^3 \\
}
$$
}}
\newpage
% «mais-anotacoes-2» (to ".mais-anotacoes-2")
% (c2m231mvp 10 "mais-anotacoes-2")
% (c2m231mva "mais-anotacoes-2")
{\bf Caixinhas com mais anotações (2)}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{7.5cm}\firstcol{
$$\begin{array}{rcl}
\D \ints{s \sqrt{1-s^2}} &=& \D \intth{(\S) \sqrt{1-(\S)^2} \C} \\
&=& \D \intth{(\S) \sqrt{(\C)^2} \C} \\
&=& \D \intth{(\S) (\C) \C} \\
&=& \D \intth{(\S) (\C)^2} \\
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rcl}
\D \ints{s \sqrt{1-s^2}} &=& \D \intth{(\S) (\C) \C} \\
&=& \D \intth{(\S) (\C)^2} \\
\end{array}
$$
$$\begin{array}{rcl}
\D \ints{\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}} &=& \D \intth{\frac{1}{\C} \C} \\
&=& \D \intth{1} \\
&=& θ \\
&=& \arcsen s \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
\vspace*{0.25cm}
$$\bmat{s = \senθ \\
\frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
ds = \cosθ \,dθ \\
}
$$
\vspace*{3cm}
$$\bmat{s = \senθ \\
\frac{ds}{dθ} = \frac{d}{dθ}\senθ = \cosθ \\
ds = \cosθ \,dθ \\
s^2 = (\S)^2 \\
1 - s^2 = 1-(\S)^2 \\
1 - s^2 = (\C)^2 \\
\sqrt{1 - s^2} = \C \\
\arcsen s = \arcsen \sen θ \\
\arcsen s = θ \\
θ = \arcsen s \\
}
$$
}}
\newpage
% ____ _ __ ____ ______
% / ___|__ _ ___ ___ / | | \/ \ \ / / _ \
% | | / _` / __|/ _ \ | | | |\/| |\ \ / /| | | |
% | |__| (_| \__ \ (_) | | | | | | | \ V / | |_| |
% \____\__,_|___/\___/ |_| |_| |_| \_/ |____/
%
% «caso-1-MVD» (to ".caso-1-MVD")
% (c2m232mvp 10 "caso-1-MVD")
% (c2m232mva "caso-1-MVD")
% (c2m232mvda "caso-1")
{\bf Caso particular 1 (MVD)}
\ga{reset}
\ga{caso sen(2x)*2}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
$\ga{expand MVD}$
}\anothercol{
}}
\newpage
% ____ _ __ ____ _____
% / ___|__ _ ___ ___ / | | \/ \ \ / /_ _|
% | | / _` / __|/ _ \ | | | |\/| |\ \ / / | |
% | |__| (_| \__ \ (_) | | | | | | | \ V / | |
% \____\__,_|___/\___/ |_| |_| |_| \_/ |___|
%
% «caso-1-MVI» (to ".caso-1-MVI")
% (c2m232mvp 11 "caso-1-MVI")
% (c2m232mva "caso-1-MVI")
% (c2m232mvda "caso-1")
{\bf Caso particular 1 (MVI)}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{
\vspace*{-0.2cm}
$\ga{expand MVI}$
}\anothercol{
}}
\newpage
% ____ ____ __ ____ ______
% / ___|__ _ ___ ___ |___ \ | \/ \ \ / / _ \
% | | / _` / __|/ _ \ __) | | |\/| |\ \ / /| | | |
% | |__| (_| \__ \ (_) | / __/ | | | | \ V / | |_| |
% \____\__,_|___/\___/ |_____| |_| |_| \_/ |____/
%
% «caso-2-MVD» (to ".caso-2-MVD")
% (c2m232mvp 12 "caso-2-MVD")
% (c2m232mva "caso-2-MVD")
% (c2m232mvda "caso-2")
{\bf Caso particular 2 (MVD)}
\ga{reset}
\ga{caso sen(x^2)*2x}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
$\ga{expand MVD}$
}\anothercol{
}}
\newpage
% ____ ____ __ ____ _____
% / ___|__ _ ___ ___ |___ \ | \/ \ \ / /_ _|
% | | / _` / __|/ _ \ __) | | |\/| |\ \ / / | |
% | |__| (_| \__ \ (_) | / __/ | | | | \ V / | |
% \____\__,_|___/\___/ |_____| |_| |_| \_/ |___|
%
% «caso-2-MVI» (to ".caso-2-MVI")
% (c2m232mvp 13 "caso-2-MVI")
% (c2m232mva "caso-2-MVI")
% (c2m232mvda "caso-2")
{\bf Caso particular 2 (MVI)}
\ga{reset}
\ga{caso sen(x^2)*2x}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
$\ga{expand MVI}$
}\anothercol{
}}
\newpage
% ____ _____ __ ____ _____
% / ___|__ _ ___ ___ |___ / | \/ \ \ / /_ _|
% | | / _` / __|/ _ \ |_ \ | |\/| |\ \ / / | |
% | |__| (_| \__ \ (_) | ___) | | | | | \ V / | |
% \____\__,_|___/\___/ |____/ |_| |_| \_/ |___|
%
% «caso-3-MVI» (to ".caso-3-MVI")
% (c2m232mvp 14 "caso-3-MVI")
% (c2m232mva "caso-3-MVI")
% (c2m232mvda "caso-3")
{\bf Caso particular 3 (MVI)}
\ga{reset}
\ga{caso senth^3 costh^5}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
$\ga{expand MVI-}$
}\anothercol{
}}
\newpage
% (c2m231mvp 3 "contas-1")
% (c2m231mva "contas-1")
% (c2m231mvp 4 "contas-2")
% (c2m231mva "contas-2")
\newpage
% «macaco-de-novo» (to ".macaco-de-novo")
% (c2m231mvp 11 "macaco-de-novo")
% (c2m231mva "macaco-de-novo")
{\bf O macaco, de novo}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
Estas duas igualdades são falsas
%
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt{1-(\S)^2} &=& \cos θ \\
\arcsen \sen θ &=& θ \\
\end{array}
$$
quando $θ=π$... confira!
\msk
Mas elas são verdadeiras para $θ=0$, e para todo $θ$ num certo
intervalo em torno do 0 que eu não quero contar qual é.
\msk
Lembre quem em Cálculo 2 a gente vai primeiro fazer as contas como o
macaco que faz todas as contas como se tudo funcionasse, e a gente vai
deixar pra checar os detalhes, como se $θ$ está no intervalo certo, só
no final, depois de termos feito as contas todas.
}\anothercol{
O Leithold é super cuidadoso nas contas e nesses detalhes como os
domínios da funções e o intervalo onde mora o $θ$, mas a maioria dos
outros livros de Cálculo 2 que eu conheço não são -- eles são meio
porcalhões com esses detalhes... e a gente também vai ser, senão não
vai dar tempo de cobrir o suficiente da matéria.
}}
\newpage
% «intervalos» (to ".intervalos")
% (c2m231mvp 13 "intervalos")
% (c2m231mva "intervalos")
{\bf O truque dos intervalos}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Dê uma olhada nas primeiras páginas daqui:
\ssk
\Ca{Leit5p3} 5.1. Antidiferenciação
\msk
O Leithold usa expressões como ``num intervalo $I$'', ``para todo
$x∈I$'' e ``definidas no mesmo intervalo'' um montão de vezes. O
truque de usar sempre intervalos resolve esse esse problema daqui
super bem:
\ssk
\Ca{2fT24} Meme: expanding brain, versão ln
\bsk
A minha definição preferida pra integral indefinida,
\ssk
\Ca{2fT23} Outra definição pra integral indefinida
\ssk
também resolve o problema -- de um modo bem mais simples, e que é
suficiente pro tipo de conta que a gente tem que treinar em
Cálculo 2.
}\anothercol{
}}
\newpage
% __ ____ _____
% | \/ \ \ / /_ _|
% | |\/| |\ \ / / | |
% | | | | \ V / | |
% |_| |_| \_/ |___|
%
% «MVI» (to ".MVI")
% (c2m232mvp 17 "MVI")
% (c2m232mva "MVI")
% (c2m231mvp 14 "MVI")
% (c2m231mva "MVI")
{\bf MVI}
\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\def\P#1{\left(#1\right)}
\sa{MVA H short}{
\D \intx{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
\D \intu{f'(u)}
}
\sa{MVA H}{
\D \intx{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
f(g(x))
\;=\;
f(u)
\;=\;
\D \intu{f'(u)}
}
\sa{MVA Hund}{
\und{ \D\ddx\P{ \intx{f'(g(x))g'(x)}} }{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
\und{ \D\ddx f(g(x)) }{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
\und{ \D\ddx \und{f(u)}{f(g(x))} }{f'(g(x))g'(x)}
\;=\;
\und{ \D\ddx \und{\und{\intu{f'(u)}}{f(u)}}{f(g(x))} }{f'(g(x))g'(x)}
}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{15cm}\firstcol{
% (c2m222mvp 4 "justificando-cada")
% (c2m222mva "justificando-cada")
% \Ca{2fT52} Justificando cada igualdade
A nossa fórmula pra mudança de variável na integral indefinida vai
ser esta aqui:
%
$$\ga{MVI} \;=\; \P{\ga{MVA H short}}$$
Dá pra demonstrar ela deste jeito,
%
$$\ga{MVA H}$$
onde a primeira e a terceira igualdades são consequências do
$\ga{II}$, e a igualdade do meio só vale se tivermos $u=g(x)$.
\msk
Os livros demonstram a $\ga{MVI}$ de um jeitos que eu nunca achei
muito convincentes -- ou fingindo que tudo é óbvio, ou ``derivando
tudo em $x$''. As contas abaixo me ajudaram a entender o que
acontece quando a gente ``deriva tudo em $x$'':
% \Ca{Miranda189} 6.2: Integração por substituição
$$\ga{MVA Hund}$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% (c2m222strigp 3 "exercicio-1")
% (c2m222striga "exercicio-1")
{\bf Simplificando raizes quadradas}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Na aula de 16/maio/2023 você aprendeu -- na prática, não vendo uma
definição formal -- o que é transformar uma integral mais difícil
numa integral mais fácil, que nós sabemos integrar...
\ssk
a) Digamos que você sabe integrar $\ints{\sqrt{1-s^2}}$.
Transforme $\intx{\sqrt{1-(5x)^2}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
b) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
c) Digamos que você sabe integrar $\ints{\sqrt{1-s^2}^{\,k}}$ para
qualquer valor de $k$.
Transforme $\intx{{\sqrt{1-(5x)^2}}^{\,42}}$ em algo que você sabe
integrar.
\ssk
d) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,42}}$ em algo que você sabe
integrar.
\ssk
e) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
f) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.
}\anothercol{
\ssk
g) Entenda este truque aqui:
%
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt{3^2 - x^2} &=& \sqrt{3^2 - 3^2 \frac{1}{3^2} x^2} \\
&=& \sqrt{3^2 - 3^2(\frac x3)^2} \\
&=& \sqrt{3^2(1 - (\frac x3)^2)} \\
&=& \sqrt{3^2}\sqrt{1 - (\frac x3)^2} \\
&=& 3\sqrt{1 - (\frac x3)^2} \\
\end{array}
$$
Use ele -- com adaptações, óbvio -- pra transformar
$\intx{\sqrt{25-x^2}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
h) Use ele pra transformar
$\intx{\sqrt{25-x^2}^{\,42}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
i) Use ele pra transformar $\intx{\sqrt{a^2-x^2}}$ em algo que você
sabe integrar.
\ssk
j) Use ele pra transformar
$\intx{\sqrt{a^2-x^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
j) Use ele pra transformar $\intx{x^{20} \sqrt{a^2-x^2}^{\,k}}$ em
algo que você sabe integrar.
}}
\newpage
{\bf Exercício 3}
\scalebox{0.54}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Slogan:
\begin{quote}
{\sl Toda integral que pode ser resolvida por uma sequência de mudanças
de variável pode ser resolvida por uma mudança de variável só.}
\end{quote}
Durante a quarentena eu dei algumas questões de prova sobre este
slogan. Dê uma olhada:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m202p1p 4 "questao-2")
% (c2m202p1a "questao-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf\#page=4}
% (c2m202p1p 9 "gabarito-2")
% (c2m202p1a "gabarito-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=9
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf\#page=9}
% (c2m211p1p 15 "gabarito-2-2020.2")
% (c2m211p1a "gabarito-2-2020.2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf#page=15
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf\#page=15}
}
\msk
a) Resolva a integral abaixo usando uma mudança de variável só (dica:
$u=g(h(x))$):
%
$$\intx{f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)} = \Rq$$
b) Resolva a integral acima usando duas mudanças de variável. Dica:
comece com $u=h(x)$.
\bsk
\bsk
O Miranda e o Leithold preferem fazer em um passo só certas mudanças
de variáveis que eu prefiro fazer em dois ou três passos. Entenda o
exemplo 8.1 do Miranda -- o da seção 8.4, na página 264...
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "8.4 Substituição Trigonométrica")
% (find-dmirandacalcpage 263 "8.4 Substituição Trigonométrica")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#263
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#263}
}
}\anothercol{
% a
c) ...e descubra como resolver a integral dele fazendo duas mudanças
de variáveis ao invés de uma só. A segunda mudança de variável vai
ser $s = \sen θ$, e a primeira eu prefiro não contar qual é -- tente
usar as idéias do exercício 1 pra descobrir qual ela tem que ser.
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\standout{Ainda não atualizei este slide!}
}}
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2mv"
% ee-tla: "c2m241mv"
% End: