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% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-prova-3.tex")
% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-prova-2.tex")
% (find-angg "LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-3.tex && latex    2010-1-C2-prova-3.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-C2-prova-3.tex && pdflatex 2010-1-C2-prova-3.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-C2-prova-3.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-3.dvi"))
% (find-dvipage  "~/LATEX/2010-1-C2-prova-3.dvi")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf")
% (find-pspage   "~/LATEX/2010-1-C2-prova-3.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-C2-prova-3.ps 2010-1-C2-prova-3.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-C2-prova-3.ps 2010-1-C2-prova-3.dvi && ps2pdf 2010-1-C2-prova-3.ps 2010-1-C2-prova-3.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2010-1-C2-prova-3")
% http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2010-1-C2-prova-3.dnt

%*
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def*{\ensuremath{\bullet}}
\def\CinftyR{\calC^\infty(\R)}
\def\CzeroR{\calC^0(\R)}
\def\C{\bbC}
\def\RN{\R^\N}
\def\CN{\C^\N}
\def\psm#1{\left(\sm{#1}\right)}
\def\sm#1{\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}}
\def\subst#1{\left[\sm{#1}\right]}
\def\Dx{\DD x}
\def\Dy{\DD y}
\def\zz{\zeta}
\def\ovr{\overrightarrow}
\def\xy_#1{(x_{#1},y_{#1})}
\def\partsm{{\sm{\text{$P$ part. $[a,b]$}\\|P| \to 0}}}
\def\gab#1{}
\long\def\gab#1#2#3{#1 (#2): #3}
\long\def\gab#1#2#3{{\color{green}#1 (#2): }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{{\color{green}#1: }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{}

\def\Pontos#1{(Total: #1 pontos).}
\def\pontos#1{(#1 pontos)}

\def\Pontos#1{}
\def\pontos#1{}
\long\def\gab#1#2#3{}

\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}




{\setlength{\parindent}{0em}
\par Cálculo 2 - Terceira Prova (P3)
\par PURO-UFF - 2010.1
\par 07/julho/2010
\par Prof: Eduardo Ochs
}

\bsk
\bsk

{\sl Todas as equações diferenciais (``E.D.s'') que vão aparecer nesta
  prova vão ser lineares com coeficientes constantes.}

\bsk

\def\pmod{(||)}
\def\pmod{||}

\noindent {\bf (1)} \Pontos{1.5} Mostre que a operação $\pmod: \CzeroR
\to \CzeroR$, definida por $(\pmod f)(x) = |f(x)|$, não é linear.
(Obs: $\CzeroR$ é o conjunto das funções contínuas de $\R$ em $\R$;
você pode ignorar a distinção entre $\CzeroR$ e $\CinftyR$).

\bsk

\noindent {\bf (2)} \Pontos{1.0} Mostre que a operação $(D^2 - 2D +
1): \CinftyR \to \CinftyR$, definida por $((D^2 - 2D + 1)f = f'' - 2f'
+ 1$, é linear.

\bsk

\noindent {\bf (3)} \Pontos{2.0} Vimos que $(D-1)^2(xe^x) = 0$.
Encontre uma E.D.\ (que não seja $0=0$!) que tenha $xe^{2x}$ como uma
de suas soluções e verifique que $xe^{2x}$ é uma solução dela.

\bsk

\noindent {\bf (4)} \Pontos{4.5} Para a E.D.\ $f'' - \frac92 f' + 2f =
0$:

a) \pontos{0.5} encontre a sua solução geral,

b) \pontos{0.5} encontre uma solução $f$ tal que $f(0)=1$ e $f'(0)=0$,

c) \pontos{0.5} encontre uma solução $f$ tal que $f(0)=0$ e $f'(0)=1$,

d) \pontos{0.5} encontre uma solução $f$ tal que $f(0)=10$ e
$f'(0)=7$.

e) \pontos{1.0} encontre uma função $f$ da forma $ax^2+bx+c$ tal que
$f'' - \frac92 f' + 2f = x$.

f) \pontos{1.5} encontre a solução geral de $f'' - \frac92 f' + 2f =
x$.



\bsk

\noindent {\bf (5)} \Pontos{3.0} Lembre que definimos em sala a operação
%
$$U(f) = \psm{f(0) \\ f'(0) \\ f''(0) \\ \vdots}$$
%
e vimos que ela era linear.

a) \pontos{1.0} Calcule $U(\cos 3x)$, $U(\sen 3x)$, $U(e^{3ix})$,
$U(e^{-3ix})$, $U(e^{-x})$.

b) \pontos{2.0} Se $f,g: \R \to \C$ são funções ``boas'' (você vai
descobrir exatamente qual é o conjunto das funções ``boas'' num
próximo curso; todas as funções de $\CinftyR$ que aparecem nesta
página são ``boas'') então $Uf = Ug \iff f=g$. Além disso, se $\aa,
\bb  \bbC$ então $e^{(\aa + \bb)x} = e^{\aa x} e^{\bb x}$. Use estes
dois fatos e os vetores do item anterior pra provar que $2 e^{-x} \cos
3x = e^{(-1+3i)x} + e^{(-1-3i)x}$.

% {\sl Justifique cuidadosamente cada passo}.



\newpage

{\parindent=0pt
\par As regras são as mesmas de sempre:
\ssk
\par A prova é para ser feita em duas horas,
\par sem consulta e sem calculadora.
\par Responda claramente e justifique cuidadosamente cada passo.
\par Lembre que a correção irá julgar o que você escreveu, e
\par que é impossível ler o que você pensou mas não escreveu.
\par Lembre que a resposta esperada para cada questão não é só
\par uma fórmula ou um número --- a ``resposta certa'' é um
\par raciocínio claro e convincente, com todos os detalhes
\par necessários, mostrando que você sabe traduzir corretamente
\par entre as várias linguagens (português, matematiquês,
\par diagramas, o que for) e explicando o que você está fazendo
\par quando for preciso.
\par Você pode fazer perguntas ao professor durante a prova,
\par mas não pode confiar nas respostas.
\par Cuidado: respostas parecidas demais com as de colegas
\par podem fazer com que sua prova seja anulada!
\par Dica: {\sl confira as suas respostas!}
\ssk
\par {\bf Boa prova!}
}



\newpage

\setlength{\parindent}{0em}

{\bf Mini-gabarito:}

\long\def\gab#1#2#3{\par {\color{green}#1 (#2): }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{\par {\color{green}#1: }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{\par}
\long\def\gab#1#2#3{\par #1 (#2): #3}

Questão 1 (total: 1.5 pontos):

\def\pmod{||}
\def\pmod{(||)}

$\pmod (x + (-x)) = \pmod 0 = 0$

$\pmod x + \pmod (-x) = 2|x|$

\bsk

Questão 2 (total: 1.0 pontos):

\def\DDD{(D^2-2D+1)}

$\DDD(ag) = (ag)'' - 2(ag)' + (ag) = ag'' - 2ag' + ag = a \DDD g$

$\DDD(g+h) = (g+h)'' - 2(g+h)' + (g+h) = g''+h'' - 2g'-2h' + g + h = \DDD(g) + \DDD(h)$


\bsk

Questão 3 (total: 2.0 pontos):

$(D-2)(D-2)(xe^{2x}) = (D-2) (e^{2x} + 2xe^{2x} - 2xe^{2x}) = (D-2) e^{2x} = 0$

\bsk

Questão 4 (total: 4.5 pontos):

(A equação é $(D^2 - \frac92D + 2)f = 0$)

\gab{4a}{0.5}{$f = ae^{4x} + be^{\frac12x}$}
\gab{4b}{0.5}{Se $f = -\frac17 e^{4x} + \frac87 e^{\frac12x}$ então $f(0)=1$ e $f'(0)=0$}
\gab{4c}{0.5}{Se $f = \frac27 e^{4x} - \frac27 e^{\frac12x}$ então $f(0)=0$ e $f'(0)=1$}
\gab{4d}{0.5}{Se $f = \frac{-10+14}7 e^{4x} + \frac{80-14}7 e^{\frac12x} = \frac47 e^{4x} + \frac{66}7 e^{\frac12x}$ \par então $f(0)=10$ e $f'(0)=7$}
\gab{4e}{1.0}{Se $f = \frac x2 - \frac94$ então $(D^2 - \frac92D + 2)f=x$}
\gab{4f}{1.5}{$f = ae^{4x} + be^{\frac12x} + \frac x2 - \frac94$}

\bsk

Questão 5 (total: 3.0 pontos):

\gab{5a}{1.0}{}
\gab{5b}{2.0}{$2 e^{-x} \cos 3x
             = 2 e^{-x} (e^{3ix} + e^{-3ix})
             = 2 e^{-x} e^{3ix} + e^{-x} e^{-3ix}$ \par $
             = e^{(-1+3i)x} + e^{(-1-3i)x}$}





%*




\end{document}


*;;   ___                  _   /\/|         _  _   
*;;  / _ \ _   _  ___  ___| |_|/\/_  ___   | || |  
*;; | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \  | || |_ 
*;; | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) | |__   _|
*;;  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/     |_|  
*;;                                                
* (eepitch-maxima)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-maxima)
eve(o) := ev(o, expand);
D(f)   := diff(f, x);
DQ4(f) :=     D(D(f)) - 9/2*D(f) + 2*f;
DQ4(f) := eve(D(D(f)) - 9/2*D(f) + 2*f);
Z (f)  := ev(f, x=0);
ZZ(f)  := [Z(f), Z(D(f))];
DZZ(f) := [DQ4(f), Z(f), Z(D(f))];
*
e4     : %e^(4*x);
e12    : %e^(x/2);
DZZ(e4);
DZZ(e12);
e10    : -1/7*e4 + 8/7*e12;
e01    :  2/7*e4 - 2/7*e12;
e107   :     10*e10 + 7*e01;
e107   : eve(10*e10 + 7*e01);
ex     : x/2 + 9/8;
DZZ(e10);
DZZ(e01);
DZZ(e107);
DZZ(ex);




*;; (find-es "maxima" "maxima-emacs")
*;; (require 'maxima)
*;; (maxima-mode)
*;; (fundamental-mode)




% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% modes: (latex-mode fundamental-mode)
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: