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% (find-angg "LATEX/2010-1-MD-prova-VS.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-MD-prova-VS.tex && latex    2010-1-MD-prova-VS.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2010-1-MD-prova-VS.tex && pdflatex 2010-1-MD-prova-VS.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2010-1-MD-prova-VS.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-MD-prova-VS.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2010-1-MD-prova-VS.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-MD-prova-VS.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2010-1-MD-prova-VS.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2010-1-MD-prova-VS.ps 2010-1-MD-prova-VS.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2010-1-MD-prova-VS.ps 2010-1-MD-prova-VS.dvi && ps2pdf 2010-1-MD-prova-VS.ps 2010-1-MD-prova-VS.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-MD-prova-VS.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2010-1-MD-prova-VS.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2010-1-MD-prova-VS.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2010-1-MD-prova-VS.pdf") 'over)
% (find-twusfile     "LATEX/" "2010-1-MD-prova-VS")
% http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-MD-prova-VS.pdf

\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")

\input 2010-1-MD-prova-VS.dnt

% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
% To update the list of slides uncomment this line:
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

% (find-LATEX "2010-1-C2-prova-3.tex")
\par Matemática Discreta - Prova Suplementar (VS)
\par PURO-UFF - 2010.1
\par 14/julho/2010
\par Prof: Eduardo Ochs


\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}

\noindent {\bf (1)} \Pontos{2.0} Prove ou refute: se $A, A', B, B'$
são conjuntos e se $A \subseteq A'$ e $B \subseteq B'$ então $A×B
\subseteq A'×B'$.


\noindent {\bf (2)} \Pontos{2.0} Prove ou refute: $ıd,d',n İ \Z.\,
d|n∧d'|n \to dd'|n$.


\noindent {\bf (3)} \Pontos{7.0} Prove ou refute: se $A,B,C,D$ são
conjuntos e $A \subseteq B \subseteq C \subseteq D$ então:


a) \pontos{1.0} $|D \to A| \le |D \to B|$

b) \pontos{1.0} $|D \to B| \le |C \to B|$

c) \pontos{1.0} Existe uma função $f:(D \to A) \to (D \to B)$

d) \pontos{1.0} Existe uma função $f:(D \to B) \to (C \to B)$

e) \pontos{1.0} $\Pts(C) \subseteq \Pts(D)$

f) \pontos{1.0} $\Pts(D) \subseteq \Pts(C)$

g) \pontos{1.0} Existem bijeções entre os conjuntos $\Pts(D)$, $(D \to
\{¦F,¦V\})$, $(D \to \{0,1\})$.


{\color{blue}(1.0 ponto cada item)}


\long\def\gab#1#2#3{\par {\color{green}#1 (#2): }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{\par {\color{green}#1: }{\color{red}#3}}
\long\def\gab#1#2#3{\par #1 (#2): #3}

%:*<<=*\subseteq *

\gab{1}{2.0}{Queremos provar que cada elemento de $A×B$ pertence a
  $A'×B'$. Como cada elemento de $A×B$ é um par ordenado $(a,b)$,
  basta provar que todo par $(a,b)$ que pertence a $A×B$ pertence a
  $A'×B'$. Se $(a,b)İA×B$ então $aİA$ e $bİB$; como $A \subseteq A'$ e
  $B \subseteq B'$ então $aİA'$ e $bİB'$, e portanto $(a,b)İA'×B'$.

%:  [(a,b)İA×B]^1      [(a,b)İA×B]^1
%:  ---------          --------
%:    aİA      A<<=A'   bİB      B<<=B'
%:    ---------------   -----------
%:         aİA'          bİB'
%:         ------------------
%:            (a,b)İA'×B'
%:     ----------------------1
%:     (a,b)İA×B->(a,b)İA'×B'
%:     ----------------------
%:           A×B<<=A'×B'
%:           ^ques1
% $$\ded{ques1}$$


\gab{2}{2.0}{Se $d=2$, $d'=2$ e $n=2$, então $d|n∧d'|n \to dd'|n$ é


\gab{3a}{1.0}{Verdadeiro: Como $A \subseteq B$ então $|A| \le |B|$, e

$|D \to A| = |A^D| = |A|^{|D|} \le |B|^{|D|} = |B^D| = |D \to B|$.


\gab{3b}{1.0}{Falso: se $|A|=1$, $|B|=2$, $|C|=3$, $|D|=4$ então

$|D \to B| = |B^D| = |B|^{|D|} = 2^4 > 2^3 = |B|^{|C|} = |B^C| = |C \to B|$.}


\gab{3c}{1.0}{Verdadeiro: $f(g) = g;i$, onde $i:A \to B$ é a inclusão.}


\gab{3d}{1.0}{Verdadeiro: $f(h) = i';h$, onde $i':C \to D$ é a inclusão.}


\gab{3e}{1.0}{Verdadeiro: $C'İ\Pts(C) \to C' \subseteq C \to C'
  \subseteq D \to C'İ\Pts(D)$.}


\gab{3f}{1.0}{Falso. Se $C=\{1\}$ e $D=\{1,2\}$ então $Dİ\Pts(D)$ mas
  $D \notin \Pts(C)$.}


\gab{3g}{1.0}{Verdadeiro (detalhes depois).}



% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: