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% (find-angg "LATEX/2014-1-GA-VS.tex")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && latex    2014-1-GA-VS.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && pdflatex 2014-1-GA-VS.tex"))
% (defun d () (interactive) (find-dvipage  "~/LATEX/2014-1-GA-VS.dvi"))
% (defun d () (interactive) (find-xpdfpage "~/LATEX/2014-1-GA-VS.pdf"))
% (find-dvipage  "~/LATEX/2014-1-GA-P1.dvi")
% (find-dvipage  "~/LATEX/2014-1-GA-P2.dvi")
% (find-dvipage  "~/LATEX/2014-1-GA-VR.dvi")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2014-1-GA-VS.pdf")
% (find-xpdfpage "~/LATEX/2014-1-GA-VS.pdf")
% (find-twusfile   "LATEX/" "2014-1-GA-VS")
% http://angg.twu.net/LATEX/2014-1-GA-VS.pdf
%
% (defun u () (interactive) (find-blogme-upload-links "audios/2014may22-ict"))

% (find-sh0 "mkdir /tmp/pen/")
% (find-sh0 "sudo mount -o uid=$UID /dev/sdb1 /tmp/pen/")
% (find-fline "/tmp/pen/")
% (find-sh0 "cp -v 2014-1-GA-VS.pdf /tmp/pen/")
% (find-fline "/tmp/pen/")
% (find-sh0 "sudo umount /tmp/pen")
% (find-sh0 "sync")


\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

% (find-LATEX "2014-1-GA-P2.tex")
% (find-LATEX "2014-1-GA-VR.tex")
% (find-LATEX "2014-1-GA-VS.tex")


\def\nip{\par\noindent}
\def\uu{{\vec u}}
\def\vv{{\vec v}}
\def\ww{{\vec w}}
\def\Vec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\VEC#1{{\overrightarrow{(#1)}}}
\def\Pr{{\text{Pr}}}
\def\Pru{\Pr_\uu}
\def\Prv{\Pr_\vv}
\def\Prw{\Pr_\ww}

\def\smpyr#1#2#3#4#5#6{
  \begin{smallmatrix}
  #1 \\
  #2 & #3 \\
  #4 & #5 & #6 \\
  \end{smallmatrix}
}
\def\apyr#1#2#3#4#5#6{
  \begin{array}{|r|r|r|}
  \hline
  #1 & & \\ \hline
  #2 & #3 & \\ \hline
  #4 & #5 & #6 \\ \hline
  \end{array}
}

\def\Pyr{\apyr}
\def\sizepyr#1#2#3#4#5#6#7{{\text{#1 \apyr{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}{#7}}}}
\def\pyr#1#2#3#4#5#6{{\text{\small \apyr{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}}}}
\def\pyr#1#2#3#4#5#6{\smpyr{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}}
\def\pyr#1#2#3#4#5#6{\left[\smpyr{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}\right]}
\def\hpyr#1#2#3{\pyr{#1}0{#2}00{#3}}
\def\lpyr#1#2#3{\pyr0{#1}0{#2}{#3}0}

\def\ddx{\frac{\partial}{\partial x}}
\def\ddy{\frac{\partial}{\partial y}}



% (find-LATEXgrep "grep -nH -e Pontos *.tex")
% (find-LATEX "2010-1-C2-prova-2.tex")
\def\Pontos#1{{\color{blue}(Total: #1 pontos).}}
\def\pontos#1{{\color{blue}(#1 pontos)}}


{\setlength{\parindent}{0em}
\par Geometria Analítica - Prova suplementar (VS)
\par PURO-UFF - 2014.2
\par 13/jun/2014
\par Prof: Eduardo Ochs
}

% $\Pyr a b c d e f$
% $\pyr a b c d e f$

\bsk

Vamos usar a notação $\pyr a b c d e f$ tanto para o
polinômio $ay^2 + by + cxy + d + ex + fx^2$ quanto para o conjunto
dos pontos $(x,y)$ em $\R^2$ nos quais ele é zero. Um polinômio
$\pyr abcdef$ é {\sl homogêneo} (de grau 2) se $b=d=e=0$. Dada
uma cônica $\pyr abcdef$, a {\sl cônica homogênea associada}
a ela é $\pyr a0c00f$, e o seu {\sl discriminante} é $c^2-4af$.
Além disto, o {\it centro} de uma cônica $F(x,y) = \pyr abcdef$
é o ponto onde $\ddx F(x,y) = \lpyr ce{2f} = 0$ e
$\ddy F(x,y) = \lpyr {2a}bc = 0$ (se este ponto existir e for único).




\bsk
\bsk

\nip 1) \Pontos{2.0} Represente graficamente
\ssk
\nip a) \pontos{0.2} três curvas de nível de $U(x,y)=x+y-1$,
\nip b) \pontos{0.2} três curvas de nível de $V(x,y)=x+1$,
\nip c) \pontos{0.8} três curvas de nível de $U(x,y)V(x,y)$,
\nip d) \pontos{0.8} três curvas de nível de $U(x,y)^2+V(x,y)^2$.

\bsk
\bsk

\nip 2) \Pontos{8.0} Sejam

     $H(x,y) = U(x,y)V(x,y) - 1$,

     $E(x,y) = U(x,y)^2 + V(x,y)^2 - 1$,

     $H_0$ o centro de $H(x,y)$,

     $E_0$ o centro de $E(x,y)$,

     $H'(x, y)$ a cônica homogênea associada a $H(x,y)$,

     $E'(x, y)$ a cônica homogênea associada a $E(x,y)$.

\nip a) \pontos{1.0} Represente $H(x,y)$ e $E(x,y)$ na forma $\pyr
abcdef$ e calcule seus discriminantes.

\nip b) \pontos{2.0} Fatore $H'(x,y)$ como um produto $\lpyr abc \cdot
\lpyr def$ e represente graficamente as retas $\lpyr abc$ e $\lpyr
def$.

% \nip c) \pontos{1.0} Fatore $H'(x,y)$ como um produto $\lpyr abc
% \cdot \lpyr def$ e represente graficamente as retas $\lpyr abc$ e
% $\lpyr def$.

\nip c) \pontos{1.0} Tente fatorar $E'(x,y)$ como um produto $\lpyr
abc \cdot \lpyr def$. O que acontece?

\newpage

\nip d) \pontos{2.0} Sejam $H_x = \ddx H$, $H_y = \ddy H$ e $E_x =
\ddx E$, $E_y = \ddy E$. Calcule $H_x$, $H_y$, $E_x$, e $E_y$ (ponha
seus resultados na forma $\lpyr abc$) e represente graficamente os
subconjuntos de $\R^2$ onde $H_x(x,y)$, $H_y(x,y)$, $E_x(x,y)$, e
$H_y(x,y)$ são zero. Aí calcule $H_0$ e $E_0$ - pode ser pelo
gráfico.


% $E_0$ Tente fatorar $E'(x,y)$ como um produto $\lpyr abc \cdot \lpyr
% def$. O que acontece?

\nip e) \pontos{2.0} A notação $G(x,y)$ é boa para
especificar {\sl substituições}: por exemplo, se $G(x,y) = x^2 +
y + 200$ então $G((x+y),4x+3) = (x+y)^2 + (4x+3) + 200$. Seja
$(x_0, y_0) = H_0$; seja $H''(x, y) = H(x-x_0, y-y_0)$. Represente
$H''(x, y)$ na forma $\pyr abcdef$ e compare o que você obteve com o $H'$.


% Tente fatorar $E'(x,y)$ como um produto $\lpyr
% abc \cdot \lpyr def$. O que acontece?

% e $E(x,y)$ na forma $\pyr
% abcdef$ e calcule seus discriminantes.

\bsk
\bsk
\bsk

\begin{quotation}
{\footnotesize
% \setlength{\parindent}{0em}
Lembre que GA é um curso de {\sl escrita matemática}!

As questões acima testam mais coisas que foram discutidas em sala
do que parece... por isso você é responsável por interpretar
cada questão corretamente e escolher o modo mais adequado de
respondê-la. Lembre da idéia de que qualquer leitor deve ser
capaz de seguir facilmente cada um dos seus passos, e escrever bem nos
ajuda a conferir que a gente não cometeu erros...

Marque claramente o que é e o que não é rascunho.

{\sl Boa prova! $=)$}
}
\end{quotation}




% Calcule $\lpyr abc \cdot \lpyr def$ e
%         $\lpyr 102 \cdot \lpyr 345$.
%         Represente graficamente os conjuntos
%         $\lpyr 102$,
%         $\lpyr 345$ e $\lpyr 102 \cdot \lpyr 345$.
% 
% \nip a) \pontos{1.0} Para cada um dos polinômios do problema (1)
% represente-o na forma $\pyr abcdef$ e calcule seu discriminante.
% 
% \nip b) \pontos{1.0} Demonstre que se $(x,y) \in \hpyr abc$ então
% $(kx,ky) \in \hpyr abc$ e $(x,y) \in \hpyr {ka}{kb}{kc}$ para qualquer
% $k$ real.
% 
% \nip c) \pontos{1.0} Encontre os dois pontos da forma $(x,1)$ que
% pertencem a $\hpyr 1 2 {-120}$. Use o item anterior para encontrar duas
% retas contidas em $\hpyr 1 2 {-120}$, e encontre dois pontos da forma
% $(1,y)$ que pertencem a $\hpyr 1 2 {-120}$.
% 
% \nip d) \pontos {1.0} Use o que você descobriu no item anterior
% para expressar $\hpyr 1 2 {-120}$ como o produto de duas retas que
% passam pela origem, isto é, $\hpyr 1 2 {-120} = \pyr 0 \alpha 00
% \beta 0 \cdot \pyr 0 \gamma 00 \delta 0$.
% 
% \nip e) \pontos {2.0} Fatore a cônica homogênea associada ao
% $J(x,y)$ do item e da questão 1 como o produto de duas retas.



% \newpage
% 
% 
% \nip 3) \Pontos{3.0} Sejam:
% \par $C_0=(-1,0)$, $R=3$,
% \par $C_0'=(0,3)$, $R'=1$,
% \par $C$ o círculo de centro $C_0$ e raio $R$,
% \par $C'$ o círculo de centro $C_0'$ e raio $R'$.
% \par Sabemos que $(-1,3) \in C \cap C'$.
% \nip a) \pontos{1.5} Encontre o outro ponto de $C \cap C'$.
% \nip b) \pontos{0.5} Teste o seu resultado.
% \nip c) \pontos{1.0} Generalize o que você fez - defina um
%         método que calcula o outro ponto de $C \cap C'$ quando $C$ e
%         $C'$ são quaisquer e um dos pontos da interseção é
%         conhecido.
% 
% 
% \bsk
% \bsk
% \bsk
% \bsk

% \newpage
 







\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: