|
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% (find-LATEX "2022-2-C2-subst-trig.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-2-C2-subst-trig.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-2-C2-subst-trig.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C2-subst-trig.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-2-C2-subst-trig.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C2-subst-trig.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C2-subst-trig.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-2-C2-subst-trig"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-2-C2-subst-trig.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-2-C2-subst-trig")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C2-subst-trig.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C2-subst-trig.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C2-subst-trig.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-2-C2-subst-trig.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-2-C2-subst-trig.pdf
% file:///tmp/2022-2-C2-subst-trig.pdf
% file:///tmp/pen/2022-2-C2-subst-trig.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-subst-trig.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-2-C2-subst-trig" "2" "c2m222strig" "c2st")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c2m222strig" "2022-2-C2-subst-trig")
% (code-eevvideo "c2m222strig" "2022-2-C2-subst-trig")
% (code-eevlinksvideo "c2m222strig" "2022-2-C2-subst-trig")
% (find-c2m222strigvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\P#1{\left(#1\right#1}
\def\Rq{\ColorRed{?}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m222strigp 1 "title")
% (c2m222striga "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2022.2}
\bsk
Aulas 11 e 12: substituição trigonométrica
(a derivada da função inversa)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m222strigp 2 "links")
% (c2m222striga "links")
{\bf Links}
Vamos usar a seção 9.4 do Leithold
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "substituição trigonométrica")
% (find-leitholdptpage (+ 17 545) "9.4. Integração por substituição trigonométrica")
e a seção 8.4 do Miranda:
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "8.4 Substituição Trigonométrica")
% (find-dmirandacalcpage 263 "8.4 Substituição Trigonométrica")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#263
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#263}
}
\ssk
Alguns links pra PDFs antigos meus:
{\scriptsize
% (c2m221atisp 24 "dfi")
% (c2m221atisa "dfi")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-algumas-t-ints.pdf#page=24
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-algumas-t-ints.pdf#page=24}
% (c2m202stp 1 "title")
% (c2m202st "title")
% (c2m202stp 1)
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf#page=1
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-subst-trig.pdf#page=1}
% (c2m221p2p 2 "subst-trig")
% (c2m221p2a "subst-trig")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-P2.pdf#page=2
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-P2.pdf#page=2}
% (c2m221vsap 4 "questao-2")
% (c2m221vsaa "questao-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-VSA.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-VSA.pdf#page=4}
}
\ssk
Quadros da primeira aula sobre substituição
trigonométrica (ainda não digitei o conteúdo deles):
{\scriptsize
% (find-angg ".emacs" "c2q222")
% (find-angg ".emacs" "c2q222" "22" "set28: substituição trigonométrica")
% http://angg.twu.net/2022.2-C2/C2-quadros.pdf#page=22
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C2/C2-quadros.pdf\#page=22}
}
% (find-angg ".emacs" "c3-2022-1-quadros")
% (find-angg ".emacs" "c3-2022-1-quadros" "diagramas de numerozinhos")
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c2m222strigp 3 "exercicio-1")
% (c2m222striga "exercicio-1")
{\bf Exercício 1}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
{\bf Simplificando raizes quadradas}
Nas últimas aulas você aprendeu -- na prática, não vendo uma
definição formal -- o que é transformar uma integral mais difícil
numa integral mais fácil, que nós sabemos integrar...
\ssk
a) Digamos que você sabe integrar $\ints{\sqrt{1-s^2}}$.
Transforme $\intx{\sqrt{1-(5x)^2}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
b) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
c) Digamos que você sabe integrar $\ints{\sqrt{1-s^2}^{\,k}}$ para
qualquer valor de $k$.
Transforme $\intx{{\sqrt{1-(5x)^2}}^{\,42}}$ em algo que você sabe
integrar.
\ssk
d) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,42}}$ em algo que você sabe
integrar.
\ssk
e) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
f) Transforme $\intx{\sqrt{1-(ax)^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.
}\anothercol{
\ssk
g) Entenda este truque aqui:
%
$$\begin{array}{rcl}
\sqrt{3^2 - x^2} &=& \sqrt{3^2 - 3^2 \frac{1}{3^2} x^2} \\
&=& \sqrt{3^2 - 3^2(\frac x3)^2} \\
&=& \sqrt{3^2(1 - (\frac x3)^2)} \\
&=& \sqrt{3^2}\sqrt{1 - (\frac x3)^2} \\
&=& 3\sqrt{1 - (\frac x3)^2} \\
\end{array}
$$
Use ele -- com adaptações, óbvio -- pra transformar
$\intx{\sqrt{25-x^2}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
h) Use ele pra transformar
$\intx{\sqrt{25-x^2}^{\,42}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
i) Use ele pra transformar $\intx{\sqrt{a^2-x^2}}$ em algo que você
sabe integrar.
\ssk
j) Use ele pra transformar
$\intx{\sqrt{a^2-x^2}^{\,k}}$ em algo que você sabe integrar.
\ssk
j) Use ele pra transformar $\intx{x^{20} \sqrt{a^2-x^2}^{\,k}}$ em
algo que você sabe integrar.
}}
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c2m222strigp 4 "exercicio-2")
% (c2m222striga "exercicio-2")
{\bf Exercício 2}
\sa{[DFI]}{\CFname{DFI}{}}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
No final da aula de 28/set -- veja a foto do quadro:
\ssk
{\scriptsize
% (find-angg ".emacs" "c2q222")
% (find-angg ".emacs" "c2q222" "22" "set28: substituição trigonométrica")
% http://angg.twu.net/2022.2-C2/C2-quadros.pdf#page=23
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C2/C2-quadros.pdf\#page=23}
}
\ssk
nós vimos que a demonstração de que $\ddx \ln x = \frac1x$ pode ser
generalizada, e aí a gente obtém a ``fórmula da derivada da função
inversa'', que eu chamei de \ga{[DFI]}...
Essa generalização pode ser ``especializada'' pra obter outros casos
particulares diferentes de $\ddx \ln x = \frac1x$.
\msk
a) Faça o primeiro exercício que eu pus no quadro:
%
$$\ga{[DFI]}
\bmat{
g(x) := \arcsen x \\
g'(x) := \arcsen' x \\
f(x) := \sen x \\
f'(x) := \cos x \\
} = \Rq
$$
b) Faça o segundo exercício do quadro:
%
$$\ga{[DFI]}
\bmat{
g(x) := \arcsen x \\
g'(x) := \arcsen' x \\
f(x) := \sen x \\
f'(x) := \sqrt{1 - (\sen x)^2} \\
} = \Rq
$$
}\anothercol{
c) Use as identidades trigonométricas que vamos ver em sala pra
encontrar uma fórmula pra derivada do $\arctan$.
\msk
d) Use as identidades trigonométricas que vamos ver em sala pra
encontrar uma fórmula pra derivada do $\arcsec$.
}}
\newpage
{\bf Exercício 3}
\scalebox{0.54}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
Slogan:
\begin{quote}
{\sl Toda integral que pode ser resolvida por uma sequência de mudanças
de variável pode ser resolvida por uma mudança de variável só.}
\end{quote}
Durante a quarentena eu dei algumas questões de prova sobre este
slogan. Dê uma olhada:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m202p1p 4 "questao-2")
% (c2m202p1a "questao-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=4
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf\#page=4}
% (c2m202p1p 9 "gabarito-2")
% (c2m202p1a "gabarito-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf#page=9
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-P1.pdf\#page=9}
% (c2m211p1p 15 "gabarito-2-2020.2")
% (c2m211p1a "gabarito-2-2020.2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf#page=15
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C2-P1.pdf\#page=15}
}
\msk
a) Resolva a integral abaixo usando uma mudança de variável só (dica:
$u=g(h(x))$):
%
$$\intx{f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)} = \Rq$$
b) Resolva a integral acima usando duas mudanças de variável. Dica:
comece com $u=h(x)$.
\bsk
\bsk
O Miranda e o Leithold preferem fazer em um passo só certas mudanças
de variáveis que eu prefiro fazer em dois ou três passos. Entenda o
exemplo 8.1 do Miranda -- o da seção 8.4, na página 264...
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "8.4 Substituição Trigonométrica")
% (find-dmirandacalcpage 263 "8.4 Substituição Trigonométrica")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#263
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#263}
}
}\anothercol{
% a
c) ...e descubra como resolver a integral dele fazendo duas mudanças
de variáveis ao invés de uma só. A segunda mudança de variável vai
ser $s = \sen θ$, e a primeira eu prefiro não contar qual é -- tente
usar as idéias do exercício 1 pra descobrir qual ela tem que ser.
}}
\newpage
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2022.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2022-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2022.2-C2/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2022-2-C2/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C2-subst-trig veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C2-subst-trig pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2st"
% ee-tla: "c2m222strig"
% End: