|
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% (find-LATEX "2022-2-C3-derivadas-parciais.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-2-C3-derivadas-parciais.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-2-C3-derivadas-parciais.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C3-derivadas-parciais.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C3-derivadas-parciais.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-2-C3-derivadas-parciais"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-2-C3-derivadas-parciais")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf
% file:///tmp/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf
% file:///tmp/pen/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-derivadas-parciais.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-2-C3-derivadas-parciais" "3" "c3m222dp" "c3dp")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.um-exemplo» (to "um-exemplo")
% «.exercicio-0» (to "exercicio-0")
% «.encontrar-coeficientes» (to "encontrar-coeficientes")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.o-macaco» (to "o-macaco")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.normal-e-gradiente» (to "normal-e-gradiente")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m222dp" "2022-2-C3-derivadas-parciais")
% (code-eevvideo "c3m222dp" "2022-2-C3-derivadas-parciais")
% (code-eevlinksvideo "c3m222dp" "2022-2-C3-derivadas-parciais")
% (find-c3m222dpvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
\def\ddx{\frac{d}{dx}}
\def\ddy{\frac{d}{dy}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m222dpp 1 "title")
% (c3m222dpa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2022.2}
\bsk
Aulas 16 e 19: Derivadas Parciais
e Vetor Gradiente
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c3m222dpp 2 "links")
% (c3m222dpa "links")
% (c3m221tudop 2 "parts")
% (c3m221tudoa "parts")
% (c3m212tudop 2 "parts")
% (c3m212tudoa "parts")
% (c3m221nfp 10 "exercicios-3-e-4")
% (c3m221nfa "exercicios-3-e-4")
% (c3m221nfp 12 "variaveis-novas")
% (c3m221nfa "variaveis-novas")
% (c3m221nfp 13 "derivadas-parciais-th")
% (c3m221nfa "derivadas-parciais-th")
% (c3m212nfp 21 "derivadas-parciais-th")
% (c3m212nfa "derivadas-parciais-th")
% (c3m222ptp 5 "primeiros-pltans")
% (c3m222pta "primeiros-pltans")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 700) "12.3 Partial Derivatives")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 711) "12.3 Exercises")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "4.4 Differentials")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "12.3 Partial Derivatives")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "12.3 Exercises")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "3.1. A reta tangente e a derivada")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "3.1. A reta tangente e a derivada" "at")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "4.9. A diferencial")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "reescritas usando")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "4.7 Aproximações Lineares e Diferencial")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "14 Partial Derivatives")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "14.3 Partial Derivatives")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "Exercises 14.3")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson" "IX. Introducing a Useful Dodge")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson" "XVI. Partial Differentiation")
% (find-THfile "mathologer-calculus-easy.blogme")
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -niH --null -e apex 2022*.tex")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "marsden-weinstein")
{\bf Alguns links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Na aula passada nós vimos derivadas parciais, mas sem esse nome:
{\scriptsize
% (c3m222ptp 5 "primeiros-pltans")
% (c3m222pta "primeiros-pltans")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf}
}
\msk
APEX Calculus: diferenciais (sec.4.4), derivadas parciais (sec.12.3):
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "4.4 Differentials")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_4.pdf#page=27
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_4.pdf\#page=27}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "12.3 Partial Derivatives")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "12.3 Exercises")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf#page=23
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf\#page=23}
}
\msk
Bortolossi: o cap.5 dele é sobre derivadas parciais:
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "5. Derivadas parciais")
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-5.pdf}
}
\msk
O Leithold define a notação $\left. \frac{dy}{dx} \right]_{x=x_0}$ na p.145 (sec.3.1)
e a seção 4.9 dele (p.269) é sobre a diferencial.
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "3.1. A reta tangente e a derivada")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "3.1. A reta tangente e a derivada" "at")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "4.9. A diferencial")
\msk
Miranda: a seção 4.7 dele fala sobre diferenciais:
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "4.7 Aproximações Lineares e Diferencial")
% (find-dmirandacalcpage 65 "II Derivadas")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=117
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=117}
}
\msk
Thomas: a seção 14.3 dele é sobre derivadas parciais:
{\scriptsize
% http://angg.twu.net/2020.2-C3/thomas_secs_14.1_ate_14.7.pdf#page=21
\url{http://angg.twu.net/2020.2-C3/thomas_secs_14.1_ate_14.7.pdf\#page=21}
}
\msk
Silvanus Thompson:
o capítulo 9 dele é sobre o truque das variáveis dependentes novas,
e o capítulo 16 dele é sobre derivadas parciais:
{\scriptsize
% https://calculusmadeeasy.org/9.html
\url{https://calculusmadeeasy.org/9.html}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson" "IX. Introducing a Useful Dodge")
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=77
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf\#page=77}
% (c3m221nfp 12 "variaveis-novas")
% (c3m221nfa "variaveis-novas")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf#page=12
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf\#page=12}
\standout{$←$ comece por aqui!}
\ssk
% https://calculusmadeeasy.org/16.html
\url{https://calculusmadeeasy.org/16.html}
% (c3m221nfp 13 "derivadas-parciais-th")
% (c3m221nfa "derivadas-parciais-th")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf#page=13
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf\#page=13}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson" "XVI. Partial Differentiation")
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=183
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf\#page=183}
}
\msk
Vídeo do Mathologer sobre o Silvanus Thompson:
{\scriptsize
\url{http://angg.twu.net/mathologer-calculus-easy.html}
}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «um-exemplo» (to ".um-exemplo")
% (c3m222dpp 3 "um-exemplo")
% (c3m222dpa "um-exemplo")
{\bf Um exemplo}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\msk
\hspace*{2cm}
$\begin{array}{rcl}
z &=& (x^3 + y^4)^5 \\
\\[-7pt]
\frac{∂z}{∂x} &=& \frac{∂}{∂x}(x^3+y^4)^5 \\
&=& 5(x^3 + y^4)^4 \frac{∂}{∂x}(x^3+y^4) \\
&=& 5(x^3 + y^4)^4 (\frac{∂}{∂x}x^3+\frac{∂}{∂x}y^4) \\
&=& 5(x^3 + y^4)^4 (3x^2) \\
\\[-7pt]
\frac{∂z}{∂y} &=& \frac{∂}{∂y}(x^3+y^4)^5 \\
&=& 5(x^3 + y^4)^4 \frac{∂}{∂y}(x^3+y^4) \\
&=& 5(x^3 + y^4)^4 (\frac{∂}{∂y}x^3+\frac{∂}{∂y}y^4) \\
&=& 5(x^3 + y^4)^4 (4y^3) \\
\\[-7pt]
dz &=& 5(x^3 + y^4)^4 \, d(x^3+y^4) \\
&=& 5(x^3 + y^4)^4 (dx^3+dy^4) \\
&=& 5(x^3 + y^4)^4 (3x^2 \, dx + 4y^3 \, dy) \\
&=& 5(x^3 + y^4)^4 (3x^2 \, dx + 4y^3 \, dy) \\
&\eqnpfull*& 5(x^3 + y^4)^4 (3x^2) dx + 5(x^3 + y^4)^4 (4y^3) dy \\
\\[-7pt]
dz &=& z_x dx + z_y dy \\
\end{array}
$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-0» (to ".exercicio-0")
% (c3m222dpp 4 "exercicio-0")
% (c3m222dpa "exercicio-0")
{\bf Exercício 0.}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{
O ``exemplo'' da página anterior mostra dois jeitos diferentes de
calcular as derivadas de $z$, ambos usando notação de Leibniz... no
primeiro jeito eu usei derivadas parciais, que são mais próximas da
``notação de matemáticos'', e no segundo eu usei diferenciais, que são
mais distantes. {\sl Esse ``exemplo'' é uma desculpa pra você rever o
que você sabe sobre cada um desses assuntos.}
\msk
Releia os trechos sobre o ``truque das variáveis novas'', sobre
derivadas parciais e sobre diferenciais que eu recomendei na página de
links. Os livros têm listas completas das regras que as operações
$\frac{∂}{∂x}$, $\frac{∂}{∂y}$ e $d$ obedecem, e se você olhar com
atenção você vai ver que cada uma dessas ``regras'' vem de um teorema
que é demonstrado em outro ponto do livro --- geralmente antes.
\msk
a) Descubra como justificar cada uma das igualdades do ``exemplo''.
\msk
b) Seja $f(x,y) = (x^3+y^4)^5$. Calcule $\ddx f(x,y)$ e $\ddy f(x,y)$
usando só a ``notação de matemáticos''.
}\anothercol{
}}
\newpage
% «encontrar-coeficientes» (to ".encontrar-coeficientes")
% (c3m222dpp 4 "encontrar-coeficientes")
% (c3m222dpa "encontrar-coeficientes")
{\bf ``Encontrar coeficientes''}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{
A igualdade \qeqnp* da página anterior expressa $dz$ como uma
combinação linear de $dx$ e $dy$ -- o que é um caso particular de um
polinômio de grau 1 em $dx$ e $dy$. Esse truque aparece em zilhões de
lugares -- por exemplo em séries de Taylor, e no ``exercício
importantíssimo'' daqui:
\ssk
{\scriptsize
% (mpgp 48 "determinantes-em-R3-2")
% (mpga "determinantes-em-R3-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf#page=48
\url{http://angg.twu.net/LATEX/material-para-GA.pdf\#page=48}
}
\bsk
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m222dpp 4 "exercicio-1")
% (c3m222dpa "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
Digamos que $z = (x^3 + y^4)^5$ e $y=x^2$ ---
ou seja, $z = (x^3 + (x^2)^4)^5$.
\msk
Calcule $\frac{dz}{dx}$ neste caso e veja se você consegue
expressar a sua resposta em termos de $z_x$, $z_y$ e $y_x$.
}\anothercol{
}}
\newpage
% «o-macaco» (to ".o-macaco")
% (c3m222dpp 5 "o-macaco")
% (c3m222dpa "o-macaco")
{\bf Mais sobre o macaco derivador}
\scalebox{0.85}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
O vídeo do Mathologer é principalmente sobre a parte da matéria de
Cálculo Diferencial em que as contas são ``tão simples que dá pra
treinar um macaco pra fazê-las''.
\ssk
É muito mais fácil treinar -- ou programar -- um macaco pra fazer contas
de derivada, com ou sem a notação de Leibniz, se a gente não tem
variáveis dependentes.
\ssk
Se a gente tem variáveis dependentes com uma hierarquia entre elas que
diz quais variáveis são mais básicas que outras -- obs: todos os
exemplos do capítulo 9 do ``Calculus Made Easy'' são assim -- aí eu
{\sl acho que} ainda sei programar um macaco pra fazer as contas, mas
o programa fica bem mais difícil do que no caso em que todas as
variáveis são independentes...
\ssk
\ColorRed{Variáveis dependentes são difíceis.}
\ssk
Quando a gente permite derivação implícita eu não sei mais como
programar o macaco pra fazer as contas.
\ssk
\ColorRed{Derivação implícita é muito difícil.}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m222dpp 7 "exercicio-2")
% (c3m222dpa "exercicio-2")
% (c3m222ptp 7 "sela-5x5")
% (c3m222pta "sela-5x5")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(4,4))
%L parabola = Numerozinhos.from(0, 0,
%L [[ . 2 . . .
%L . 0 . . .
%L . 0 . . .
%L . 2 . . .
%L . 6 . . . ]])
%L parabola:topictu("12pt"):sa("parabola"):output()
%L reta = Numerozinhos.from(0, 0,
%L [[ . . . . .
%L 5 . . . .
%L . 3 . . .
%L . . 1 . .
%L . . . -1 . ]])
%L reta:topictu("12pt"):sa("reta"):output()
\pu
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Na aula de 7 de outubro eu passei uns exercícios {\sl incrivelmente
importantes} sobre um modo de visualizar retas e curvas em $\R^3$
usando numerozinhos... mas poucas pessoas vieram na aula e só umas
poucas dessas pessoas participaram, então eu resolvi reescrever
direito esses exercícios e pedir pra todo mundo da turma fazer eles...
\msk
Aqui tem uma animação de 20 segundos que mostra uma superfície ``feita
de uns poucos pontinhos flutuando no ar'':
\ssk
{\footnotesize
% (find-video "~/GNUPLOT/2022oct25_splot_points.mp4")
% http://angg.twu.net/GNUPLOT/2022oct25_splot_points.mp4
\url{http://angg.twu.net/GNUPLOT/2022oct25_splot_points.mp4}
}
\ssk
A animação mostra só uns poucos pontos dela, mas a partir desses
pontos a gente consegue imaginar como o resto dessa superfície deve
ser.
\bsk
{\bf Exercício 2.}
Faça os exercícios da página 5 do PDF de planos tangentes:
\ssk
{\scriptsize
% (c3m222ptp 5 "primeiros-pltans")
% (c3m222pta "primeiros-pltans")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf#page=5
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-plano-tangente.pdf\#page=5}
% (find-angg ".emacs" "c3q222" "out07: Derivada direcional")
% (find-c3q222page 13 "out07: Derivada direcional, mas antes outras coisas.")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/C3-quadros.pdf#page=13
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/C3-quadros.pdf\#page=13}
}
\ssk
Dica: o diagrama de numerozinhos à esquerda abaixo ``é'' uma reta em
$\R^3$, e o diagrama de numerozinhos à direita abaixo ``é'' uma
parábola em $\R^3$:
%
$$\scalebox{0.7}{$\ga{reta} \qquad \quad \ga{parabola}$}$$
}\anothercol{
\vspace*{0cm}
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C3/APEX_calculus_fig_12.7.2.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2022-2-C3/APEX_calculus_fig_12.7.2.pdf}
}}
\newpage
% «normal-e-gradiente» (to ".normal-e-gradiente")
% (c3m222dpp 8 "normal-e-gradiente")
% (c3m222dpa "normal-e-gradiente")
% (c3m222ptp 8 "retas-normais")
% (c3m222pta "retas-normais")
%L normal1 = Numerozinhos.from(0, 0,
%L [[ . . . . .
%L . . . . .
%L . . 5 . .
%L . . 2 4 .
%L . . . . . ]])
%L normal1:topictu("12pt"):sa("normal1"):output()
%L normal2 = Numerozinhos.from(0, 0,
%L [[ . . . . .
%L . . . . .
%L . . 5 . .
%L . . 2 2 .
%L . . . . . ]])
%L normal2:topictu("12pt"):sa("normal2"):output()
%L normal3 = Numerozinhos.from(0, 0,
%L [[ . . . . .
%L . . . . .
%L . . 4 . .
%L . . 4 2 .
%L . . . . . ]])
%L normal3:topictu("12pt"):sa("normal3"):output()
\pu
\def\vecdx{{\vec{d}}_x}
\def\vecdy{{\vec{d}}_y}
\def\vecn {{\vec{n}}}
\def\nmat#1#2#3{\ensuremath{\pmat{#1 & \\ #2 & #3}}}
{\bf Vetores normais}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Leia a seção sobre ``normal lines'' na p.741 do APEX Calculus (no
capítulo 12 dele):
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "741" "Normal lines")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 741) "Normal lines")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf#page=64
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf\#page=64}
}
\ssk
Além das definições do livro nós vamos usar estas aqui. Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
A &=& (x_0,y_0,z_0) \\
\vecn &=& \vecdx × \vecdy \\
B &=& A + \vecdx \\
C &=& A + \vecdy \\
D &=& A + \vecn \\
E &=& A - \vecn \\
\end{array}
$$
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c3m222dpp 8 "exercicio-3")
% (c3m222dpa "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
a) Digamos que $A=(2,1,2)$, $f_x=2$ e $f_y=3$. Então podemos
representar os pontos $A$, $B$ e $C$ como numerozinhos desta forma:
$$\ga{normal1}$$
Represente como numerozinhos os pontos $D$ e $E$.
}\anothercol{
Agora cada um dos diagramas de numerozinhos abaixo representa os
pontos $A$, $B$ e $C$ da construção acima, mas você é que vai ter que
descobrir quem são $x_0$, $y_0$, $z_0$, $f_x$, $f_y$, etc --
\ColorRed{e desenhar os pontos $D$ e $E$ em cada um dos casos}
\msk
Desenhe os pontos $D$ e $E$ nos diagramas de numerozinhos abaixo:
\msk
b) $\ga{normal2}$
\qquad
c) $\ga{normal3}$
}}
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c3m222dpp 9 "exercicio-4")
% (c3m222dpa "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{8cm}\firstcol{
Este exercício é continuação do anterior.
\ssk
Agora vou passar a usar uma notação mais compacta ainda. Todas as
figurinhas abaixo representam diagramas de numerozinhos com
$(x_0,y_0)=(3,3)$, mas desenhados sem os eixos. Para cada uma delas
descubra quem são os pontos $D$ e $E$ da figura e desenhe os pontos
$A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ num diagrama de numerozinhos de verdade.
\ssk
Às vezes você vai ter que desenhar dois
numerozinhos um em cima do outro.
}\anothercol{
\vspace*{0cm}
$\scalebox{0.7}{$
\begin{array}{ccccc}
\nmat 020 &
\nmat 021 &
\nmat 022 &
\nmat 023 &
\nmat 024 \\ \\
\nmat 120 &
\nmat 121 &
\nmat 122 &
\nmat 123 &
\nmat 124 \\ \\
\nmat 220 &
\nmat 221 &
\nmat 222 &
\nmat 223 &
\nmat 224 \\ \\
\nmat 320 &
\nmat 321 &
\nmat 322 &
\nmat 323 &
\nmat 324 \\ \\
\nmat 420 &
\nmat 421 &
\nmat 422 &
\nmat 423 &
\nmat 424 \\ \\
\end{array}
$}
$
}}
\newpage
{\bf Exercício 5.}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{
Este exercício é continuação do anterior.
\ssk
Leia a definição de gradiente na página 731
do
APEX Calculus (no capítulo 12):
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "741" "Normal lines")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 731) "Definition 12.6.2. Gradient")
% (find-apexcalculuspage (+ 10 741) "Normal lines")
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf#page=54
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3/APEX_Calculus_Version_4_cap_12.pdf\#page=54}
}
\bsk
Acrescente a seguinte definição às que você usou nos exercícios 3 e 4,
%
$$G \; = A + \VEC{f_x, f_y, 0}
$$
e refaça todos os 25 itens do exercício 4 acrescentando o ponto $G$
neles.
\bsk
Daqui a pouco nós vamos ver qual é a relação desse vetor
$\VEC{f_x, f_y, 0}$ com o gradiente!...
}\anothercol{
}}
\newpage
{\bf Gradientes na prova}
% http://angg.twu.net/2022.2-C3/C3-quadros.pdf
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2022.2-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2022-2-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2022.2-C3/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2022-2-C3/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C3-derivadas-parciais veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C3-derivadas-parciais pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3dp"
% ee-tla: "c3m222dp"
% End: