|
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% (find-LATEX "2022-2-C3-intro.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2022-2-C3-intro.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2022-2-C3-intro.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C3-intro.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2022-2-C3-intro.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C3-intro.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-1-C3-intro.tex"))
% (defun oo () (interactive) (find-LATEX "2021-2-C3-intro.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2022-2-C3-intro"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2022-2-C3-intro.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2022-2-C3-intro")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2022-2-C3-intro.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C3-intro.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2022-2-C3-intro.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2022-2-C3-intro.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2022-2-C3-intro.pdf
% file:///tmp/2022-2-C3-intro.pdf
% file:///tmp/pen/2022-2-C3-intro.pdf
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3-intro.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Piecewise1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v Pict2e1.lua Pict2e1-1.lua Pict3D1.lua ~/LATEX/")
% (find-sh0 "cd ~/LUA/; cp -v C2Subst1.lua C2Formulas1.lua ~/LATEX/")
% (find-CN-aula-links "2022-2-C3-intro" "3" "c3m222intro" "c3i")
% «.defs» (to "defs")
% «.title» (to "title")
% «.aula-1» (to "aula-1")
% «.intro-v» (to "intro-v")
% «.exercicios-1-e-2» (to "exercicios-1-e-2")
% «.exs-1-e-2-dicas» (to "exs-1-e-2-dicas")
% «.VT» (to "VT")
% «.orbita» (to "orbita")
% «.orbita-2» (to "orbita-2")
% «.orbita-3» (to "orbita-3")
% «.orbita-4» (to "orbita-4")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m222intro" "2022-2-C3-intro")
% (code-eevvideo "c3m222intro" "2022-2-C3-intro")
% (code-eevlinksvideo "c3m222intro" "2022-2-C3-intro")
% (find-c3m222introvideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
%\usepackage[backend=biber,
% style=alphabetic]{biblatex} % (find-es "tex" "biber")
%\addbibresource{catsem-slides.bib} % (find-LATEX "catsem-slides.bib")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L dofile "QVis1.lua" -- (find-LATEX "QVis1.lua")
%L dofile "Pict3D1.lua" -- (find-LATEX "Pict3D1.lua")
%L dofile "C2Formulas1.lua" -- (find-LATEX "C2Formulas1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\pu
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\u#1{\par{\footnotesize \url{#1}}}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://angg.twu.net/2022.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m222introp 1 "title")
% (c3m222introa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2022.2}
\bsk
Aulas 1 e 2: introdução ao curso
(e a trajetórias)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://angg.twu.net/2022.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% _ _ _
% / \ _ _| | __ _ / |
% / _ \| | | | |/ _` | | |
% / ___ \ |_| | | (_| | | |
% /_/ \_\__,_|_|\__,_| |_|
%
% «aula-1» (to ".aula-1")
% (c3m222introp 2 "aula-1")
% (c3m222introa "aula-1")
{\bf Sobre a aula 1}
Na aula 1 nós usamos as idéias dos 8 primeiros slides daqui,
\ssk
{\footnotesize
% (c3m212introp 1 "title")
% (c3m212introa "title")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-intro.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-intro.pdf}
}
\ssk
e do slide 10 daqui,
\ssk
{\footnotesize
% (c3m202planotangp 10 "geral-e-particular")
% (c3m202planotanga "geral-e-particular")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-plano-tang.pdf#page=10
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-plano-tang.pdf#page=10}
}
\ssk
...pra desenhar casos particulares das figuras das seções 7.4 e 7.5
do ``GA1'' do Felipe Acker:
\ssk
{\footnotesize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-ackerGA1page (+ 16 27) "7.4 Soma de vetores")
% (find-ackerGA1page (+ 16 29) "7.5 Somando vetores a pontos")
% http://angg.twu.net/acker/acker__ga_livro1_2019.pdf#page=43
\url{http://angg.twu.net/acker/acker__ga_livro1_2019.pdf\#page=43}
}
\newpage
% «intro-v» (to ".intro-v")
% (c3m222introp 3 "intro-v")
% (c3m222introa "intro-v")
{\bf Introdução ao vetor velocidade}
Em cursos de Cálculo 3 ``pra matemáticos'' a gente normalmente
começa definindo o vetor velocidade como um limite. O Felipe
Acker faz isso muito bem nos capítulos 2 e 3 do ``GA4'',
\ssk
{\footnotesize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-ackerGA4page (+ 8 13) "2" "Velocidade")
% (find-ackerGA4text (+ 8 13) "2" "Velocidade")
% (find-ackerGA4page (+ 8 19) "3" "Aceleracao")
% (find-ackerGA4text (+ 8 19) "3" "Aceleracao")
% http://angg.twu.net/acker/acker__ga_livro4_2019.pdf
\url{http://angg.twu.net/acker/acker__ga_livro4_2019.pdf}
}
\ssk
Eu costumava fazer mais ou menos isso no curso de Cálculo 3,
e a gente gastava uma aula inteira aprendendo a decifrar a
fórmula daquele limite e visualizar o que ela queria dizer.
\msk
Dessa vez vamos tentar fazer algo diferente.
Vamos começar com exemplos e animações.
Assista este vídeo aqui até o 9:00,
\ssk
{\footnotesize
% (c3m212bezierp 1)
% (c3m212bezier 1)
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-bezier.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-bezier.pdf}
% https://www.youtube.com/watch?v=aVwxzDHniEw
\url{https://www.youtube.com/watch?v=aVwxzDHniEw}
}
\ssk
\standout{mas considere que tudo até o 6:34...}
\newpage
{\bf Introdução ao vetor velocidade (cont.)}
\ssk
...mas considere que tudo no vídeo até o 6:34 são idéias avançadas que
a gente só vai entender nuns exercícios que a gente vai fazer daqui a
algumas aulas. Por enquanto reserve praticamente toda a sua atenção
pro trecho entre 6:34 e 9:00, que é o trecho que a Freya Holmér mostra
os vetores velocidade e aceleração pra algumas curvas de Bézier.
A gente vai fazer o seguinte. Nós vamos acreditar que {\sl em geral}
quando temos uma trajetória $P(t) = (x(t),y(t))$ o vetor velocidade
dessa trajetória é $P'(t) = (x'(t),y'(t))$. Nós vamos ver vários
exemplos disso, e vamos deixar pra entender os detalhes desse ``em
geral'' quando formos entender a definição ``pra matemáticos'' do
vetor velocidade.
\newpage
% «exercicios-1-e-2» (to ".exercicios-1-e-2")
% (c3m222introp 5 "exercicios-1-e-2")
% (c3m222introa "exercicios-1-e-2")
{\bf Exercício 1: uma trajetória com um bico}
Dê uma olhada no item 1e da VS do semestre passado:
\ssk
{\footnotesize
% (c3m221vsp 2 "questao-1")
% (c3m221vsa "questao-1")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-VS.pdf#page=2
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-VS.pdf#page=2}
}
\ssk
Faça o que essa questão pede e represente graficamente $Q(t)+Q'(t)$
pra um monte de outros valores de $t$ também --- até você entender
como essa trajetória se comporta. {\sl Dica:} ela é um movimento
retilíneo uniforme até um determinado instante, aí ela muda de vetor
velocidade subitamente e vira um outro movimento retilíneo uniforme.
\msk
{\bf Exercício 2: um trajetória com teleporte}
Represente graficamente a trajetória abaixo. Ela é parecida com a
anterior, mas nessa tem um momento em que a partícula desaparece do
ponto em que em estava e se teleporta pra outro lugar.
%
$$\scalebox{0.9}{$
R(t) \;=\;
\begin{cases}
(t,4) & \text{quando $t≤6$}, \\
(5,11-t) & \text{quando $6<t$}. \\
\end{cases}
$}
$$
\newpage
% «exs-1-e-2-dicas» (to ".exs-1-e-2-dicas")
% (c3m222introp 6 "exs-1-e-2-dicas")
% (c3m222introa "exs-1-e-2-dicas")
{\bf Dicas pro exercícios 1 e 2}
Este vídeo aqui tem algumas figuras sobre como desenhar trajetórias:
\ssk
{\footnotesize
% (c3m202introa "video-1")
\url{http://www.youtube.com/watch?v=3yWLubqHsic}
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2020.2-C3-intro.mp4}
}
\bsk
Quase todo mundo achou muito difícil desenhar a trajetória do
exercício 2 --- se a gente calcula $R(t)$ só pra valores inteiros de
$t$ a gente não consegue descobrir como a $R(t)$ se comporta entre
$t=6$ e $t=7$...
\ssk
Um jeito de resolver isso é calcular $R(t)$ para $t=6.1$, $t=6.2$,
$\ldots$, $t=6.9$, desenhar esses pontos no gráfico, e aí tentar
descobrir qual é o comportamento da $R(t)$ pra todos os valores em
$[6,7]$.
\ssk
Um outro jeito é considerar que $R(t)=(x(t),y(t))$ e tentar entender
as funções $x(t)$ e $y(t)$, que são funções de $\R$ em $\R$.
\newpage
% «VT» (to ".VT")
% (c3m222introp 6 "VT")
% (c3m222introa "VT")
{\bf ``VT''}
\msk
Vou me referir a esse PDF aqui como ``VT'',
\ssk
{\footnotesize
% (c3m211vtp 3 "exercicio-1")
% (c3m211vta "exercicio-1")
% (c3m211vtp 5 "exercicio-2")
% (c3m211vta "exercicio-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-vetor-tangente.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-1-C3-vetor-tangente.pdf}
}
\ssk
e aos exercícios 1 e 2 dele como ``VTex1'', ``VTex2''.
\bsk
Faça os exercícios VTex1 e VTex2.
\newpage
% «orbita» (to ".orbita")
% (c3m222introp 8 "orbita")
% (c3m222introa "orbita")
{\bf Órbita}
Este exercício vai dar uma figura que é a órbita de uma lua.
O resultado vai ser algo como a figura da última página daqui,
\ssk
{\footnotesize
% (c3m221orbitap 2 "links")
% (c3m221orbitaa "links")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-orbita.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-orbita.pdf}
}
\ssk
mas olhe pra essa figura durante só uns poucos segundos.
\msk
Neste exercício você vai tentar redescobrir essa figura sozinho, e
você vai tentar descobrir como desenhar uma aproximação bem razoável
pra ela só somando uns vetores no olhômetro e sem fazer nenhuma conta
complicada --- por exemplo, você vai evitar usar uma aproximação
numérica pra $(\cos(\frac{1}{12}·2π), \sen(\frac{1}{12}·2π))$; ao
invés disso você vai usar a representação gráfica deste ponto no
$\R^2$.
\newpage
% «orbita-2» (to ".orbita-2")
% (c3m222introp 8 "orbita-2")
% (c3m222introa "orbita-2")
% (find-es "maxima" "plot2d-parametric")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "Limaçon")
{\bf Órbita (cont.)}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Seja $h = \frac{1}{12}·2π$.
Esse $h$ vai ser uma ``hora''. Vou explicar isso no quadro.
Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
P(t) &=& (\cos t, \sen t), \\
Q(t) &=& (\cos 4t, \sen 4t), \\
R(t) &=& \frac{1}{2}(\cos 4t, \sen 4t) = (\frac{1}{2}\cos 4t, \frac{1}{2}\sen 4t), \\
S(t) &=& P(t) + R(t). \\
\end{array}
$$
a) Represente graficamente $P(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
b) Represente graficamente $P(t) + P'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
\ssk
c) Represente graficamente $Q(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
d) Represente graficamente $Q(t) + Q'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
\ssk
e) Represente graficamente $Q(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
f) Represente graficamente $Q(t) + Q'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
\ssk
g) Represente graficamente $S(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
h) Represente graficamente $S(t) + S'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.
}\anothercol{
}}
\newpage
% «orbita-3» (to ".orbita-3")
% (c3m222introp 9 "orbita-3")
% (c3m222introa "orbita-3")
{\bf Órbita (cont.)}
Nos itens a até f você deve ter obtido pontos sobre círculos e vetores
tangentes aos círculos apoiados nestes pontos. Nos itens g e h você
deve ter obtido algo bem mais complicado: pontos e vetores apoiados
nestes pontos, mas você ainda não sabe direito sobre que curva eles
estão.
Reveja o trecho entre 6:34 e 9:00 do vídeo da Freya Holmér. A
trajetória que ela analisa é bem ``suave'', no sentido de que ela não
bicos ou teleportes, e a derivada da aceleração dela é constante.
No item h você obteve alguns pontos e vetores velocidade {\sl de uma
trajetória que você não sabe direito qual é}... você só tem uma
lembrança vaga do ``traço'' dessa trajetória, porque você viu a
figura-spoiler durante uns poucos segundos.
\newpage
% «orbita-4» (to ".orbita-4")
% (c3m222introp 10 "orbita-4")
% (c3m222introa "orbita-4")
{\bf Órbita (cont.)}
\msk
i) Desenhe uma trajetória bem suave que nos instantes $t=0h$, $1h$,
$\ldots$, $12h$ passe pelos pontos que você obteve no item g. Aqui
você vai conseguir uma aproximação bem tosca pro ``traço'' da
trajetória $S(t)$.
\msk
j) Desenhe uma trajetória bem suave que nos instantes $t=0h$, $1h$,
$\ldots$, $12h$ passe pelos pontos que você obteve no item h, e que
naqueles instantes tenha exatamente os vetores velocidade que você
também desenhou no item h. Aqui você provavelmente vai conseguir uma
aproximação bastante boa pro ``traço'' da trajetória $S(t)$.
\msk
k) Refaça o desenho do item j pra ele ficar mais caprichado e
simétrico e tal. Quando você achar que conseguiu fazer uma versão
caprichada boa olhe de novo a figura-spoiler e compare o seu desenho
com ela.
% (c3m221orbitap 2 "links")
% (c3m221orbitaa "links")
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -nH --null -e trajet *.tex")
% (c3m212bezierp 1 "title")
% (c3m212beziera "title")
% (c3m212beziera "title")
% (c3m212beziera "title" "Aula 7: um vídeo sobre curvas de Bézier")
% https://www.youtube.com/watch?v=aVwxzDHniEw
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
\ssk
%\printbibliography
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C3-intro veryclean
make -f 2019.mk STEM=2022-2-C3-intro pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3i"
% ee-tla: "c3m222intro"
% End: