|
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% (find-LATEX "2023-2-C3-taylor.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C3-taylor.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C3-taylor.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2023-2-C3-taylor.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C3-taylor.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-taylor.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C3-taylor.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C3-taylor"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C3-taylor.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2023-2-C3-taylor")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2023-2-C3-taylor.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-2-C3-taylor.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2023-2-C3-taylor.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C3-taylor.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C3-taylor.pdf
% file:///tmp/2023-2-C3-taylor.pdf
% file:///tmp/pen/2023-2-C3-taylor.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C3-taylor.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise1")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C3-taylor" "C3" "c3m232ta" "c3ta")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.ideia-basica-1» (to "ideia-basica-1")
% «.ideia-basica-1» (to "ideia-basica-1")
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% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
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% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
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% «.approx» (to "approx")
% «.versoes-truncadas» (to "versoes-truncadas")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.truques-de-traducao» (to "truques-de-traducao")
% «.truques-de-traducao-2» (to "truques-de-traducao-2")
% «.aproximacoes-lineares» (to "aproximacoes-lineares")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-4")
% «.exercicio-5-maxima» (to "exercicio-4-maxima")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
%
% «.djvuize» (to "djvuize")
% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links "c3m232ta" "2023-2-C3-taylor")
% (code-eevvideo "c3m232ta" "2023-2-C3-taylor")
% (code-eevlinksvideo "c3m232ta" "2023-2-C3-taylor")
% (find-c3m232tavideo "0:00")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima} % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L V = nil -- (find-angg "LUA/Pict2e1.lua" "MiniV")
%L dofile "Piecewise1.lua" -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
\def\derivs{\mathsf{derivs}}
\def\frt#1{\frac{f^{(#1)}(0)}{#1!}}
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m232tap 1 "title")
% (c3m232taa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2023.2}
\bsk
Aula 8: séries de Taylor e Maclaurin
(para funções de $\R$ em $\R$)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2023.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
{\bf Links}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "679" "11.10 Séries de Taylor e Maclaurin")
\par Stewart:
\par \Ca{StewPtCap11p61} (p.679) 11.10 Séries de Taylor e Maclaurin
\newpage
% «ideia-basica-1» (to ".ideia-basica-1")
% (c3m232tap 99 "ideia-basica-1")
% (c3m232taa "ideia-basica-1")
{\bf A idéia básica}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Digamos que $f(x)$ é um polinômio.
Digamos que o grau dele é 4, pra simplificar.
Digamos que $f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4$.
Então:
%
\def\b#1{\hbox to 25pt{\hss$#1$\hss}}
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &=& \b{a} + \b{bx} + \b{cx^2} + \b{dx^3} + \b{ex^4} \\
f'(x) &=& \b{b} + \b{2cx} + \b{3dx^2} + \b{4ex^3} \\
f''(x) &=& \b{2c} + \b{6dx} + \b{12ex^2} \\
f'''(x) &=& \b{6d} + \b{24ex} \\
f''''(x) &=& \b{24e} \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
f(0) &=& a \\
f'(0) &=& b \\
f''(0) &=& 2c \\
f'''(0) &=& 6d \\
f''''(0) &=& 24e \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
\phantom{m}
a &=& f(0) \\
b &=& f'(0) \\
c &=& f''(0)/2 \\
d &=& f'''(0)/6 \\
e &=& f''''(0)/24 \\
\end{array}
%
$$
E portanto:
%
$$f(x) \;\; = \;\;
f(0)
+ f'(0) x
+ \frac{f''(0)}{2} x^2
+ \frac{f'''(0)}{6} x^3
+ \frac{f''''(0)}{24} x^4
$$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «ideia-basica-2» (to ".ideia-basica-2")
% (c3m212tap 3 "ideia-basica-2")
% (c3m212taa "ideia-basica-2")
{\bf A idéia básica (2)}
\scalebox{0.72}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Agora vamos tentar generalizar isso.
Digamos que $f(x)$ é um polinômio.
Digamos que o grau dele é $k$, e que \ColorRed{por enquanto} $k=4$.
Digamos que $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4$.
A notação $f^{(k)}$, como o $(k)$ entre parênteses, quer dizer
``$f$ derivada $k$ vezes''. Por exemplo, $f^{(4)} = f''''$, e $f^{(0)} = f$.
Então:
%
\def\b#1{\hbox to 27.5pt{\hss$#1$\hss}}
%
$$\begin{array}{rcl}
f^{(0)}(x) &=& \b{a_0} + \b{a_1x} + \b{a_2x^2} + \b{a_3x^3} + \b{a_4x^4} \\
f^{(1)}(x) &=& \b{a_1} + \b{2a_2x} + \b{3a_3x^2} + \b{4a_4x^3} \\
f^{(2)}(x) &=& \b{2a_2} + \b{6a_3x} + \b{12a_4x^2} \\
f^{(3)}(x) &=& \b{6a_3} + \b{24a_4x} \\
f^{(4)}(x) &=& \b{24a_4} \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
\phantom{ii}
f^{(0)}(0) &=& 0!\,a_0 \\
f^{(1)}(0) &=& 1!\,a_1 \\
f^{(2)}(0) &=& 2!\,a_2 \\
f^{(3)}(0) &=& 3!\,a_3 \\
f^{(4)}(0) &=& 4!\,a_4 \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
\phantom{m}
a_0 &=& f^{(0)}(0)/0! \\
a_1 &=& f^{(1)}(0)/1! \\
a_2 &=& f^{(2)}(0)/2! \\
a_3 &=& f^{(3)}(0)/3! \\
a_4 &=& f^{(4)}(0)/4! \\
\end{array}
%
$$
E portanto:
%
$$\def\frt#1{\frac{f^{(#1)}(0)}{#1!}}
f(x) \;\; = \;\;
\frt0 x^0
+ \frt1 x^1
+ \frt2 x^2
+ \frt3 x^3
+ \frt4 x^4
\;\; = \;\;
\D \sum_{k=0}^{4} \frt{k} x^k
$$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m232tap 5 "exercicio-1")
% (c3m232taa "exercicio-1")
% (c3m222taylorp 4 "exercicio-1")
% (c3m222taylora "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
A fórmula do slide anterior também funciona
pra polinômios com grau menor que 4.
Verifique o que ela faz quando
%
$$f(x) = 42x^2 + 99x + 200.$$
Lembre que no ensino médio você era obrigado
a ``simplificar'' $4·5·6·999$ para 119880, mas
em Cálculo 2 você tem que encontrar jeitos
de escrever que sejam mais simples de ler e
de verificar... pra gente \ColorRed{em certos contextos}
$4·5·6·999$ é mais ``simples'' que 119880.
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m232tap 6 "exercicio-2")
% (c3m232taa "exercicio-2")
% (c3m222taylorp 5 "exercicio-2")
% (c3m222taylora "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Tente aplicar a fórmula $(*)$ abaixo
%
$$f(x) \;\; = \;\;
\D \sum_{k=0}^{4} \frt{k} x^k
\qquad \qquad (*)
$$
a esta $f$ aqui: $f(x) = 200x^5$.
\msk
a) O que acontece?
\msk
b) Tente escrever em detalhes o que dá errado.
Você vai precisar de notação matemática \ColorRed{E} português.
Tente aprender as convenções que eu usei nos PDFs
e as convenções que os livros usam, e lembre que se
você começar escrevendo uma igualdade qualquer leitor
que não seja muito seu amigo vai interpretá-la
como uma \ColorRed{afirmação}.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «derivs-e-derivs0» (to ".derivs-e-derivs0")
% (c3m232tap 7 "derivs-e-derivs0")
% (c3m232taa "derivs-e-derivs0")
% (c3m212tap 5 "derivs-e-derivs0")
% (c3m212taa "derivs-e-derivs0")
% (c3m211tap 2 "taylor-1")
% (c3m211taa "taylor-1")
{\bf As operações $\derivs$ e $\derivs_0$}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Sejam $\derivs$ e $\derivs_0$ as seguintes operações --
que vão nos ajudar muito nas contas:
%
$$\begin{array}{rcl}
\derivs(f) &=& (f, f', f'', f''', \ldots) \\
\derivs_0(f) &=& (f(0), f'(0), f''(0), f'''(0), \ldots) \\
\end{array}
$$
Repare que $\derivs(f)$ retorna uma sequência infinita de \ColorRed{funções}
e $\derivs_0(f)$ retorna uma sequência infinita de \ColorRed{números}.
\msk
Um exemplo: se $f(x) = ax^2 + bx + c$, então:
%
$$\begin{array}{rclcrcl}
f(x) &=& ax^2 + bx + c, && f(0) &=& c, \\
f'(x) &=& 2ax + b, && f'(0) &=& b, \\
f''(x) &=& 2a, && f''(0) &=& 2a, \\
f'''(x) &=& 0, && f'''(0) &=& 0, \\
\end{array}
$$
e:
%
$$\begin{array}{rcl}
\derivs(f) &=& (ax^2 + bx + c, \; 2ax + b, \; 2a, \; 0, 0, 0, \ldots) \\
\derivs_0(f) &=& (c, b, 2a, 0, 0, 0, \ldots) \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c3m232tap 8 "exercicio-3")
% (c3m232taa "exercicio-3")
% (c3m212tap 7 "exercicio-3")
% (c3m212taa "exercicio-3")
{\bf Algumas definições}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{6.5cm}\firstcol{
Isto aqui
%
$$\D \sum_{k=0}^{n} \frt{k} x^k
$$
é a {\sl série de Taylor da função $f$
no ponto 0 truncada até grau $n$},
e isto aqui
%
$$\begin{array}{rr}
& \D \lim_{n→∞} \sum_{k=0}^{n} \frt{k} x^k, \\[15pt]
\text{ou:}
& \D \sum_{k=0}^{∞} \frt{k} x^k
\end{array}
$$
é a {\sl série de Taylor da função $f$
no ponto 0}.
}\def\colwidth{10cm}%
\anothercol%
{
{\bf Exercício 3.}
Seja $f(x) = \sen x$.
\msk
a) Calcule as 8 primeiras
componentes de $\derivs(f)$.
\msk
b) Calcule as 8 primeiras
componentes de $\derivs_0(f)$.
\msk
c) Calcule a série de Taylor
de $\sen x$ truncada até grau 7.
\msk
d) Seja $g(x)$ a série de Taylor
de $\sen x$ truncada até grau 7;
Calcule $g(0.1)$ \ColorRed{na mão} e
compare o seu resultado com
o resultado de calcular $\sen 0.1$
na calculadora ou no computador.
}}
\newpage
% _____ _ _ _ _
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ | || |
% | _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \ | || |_
% | |___ > < __/ | | (__| | (__| | (_) | |__ _|
% |_____/_/\_\___|_| \___|_|\___|_|\___/ |_|
%
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c3m232tap 9 "exercicio-4")
% (c3m232taa "exercicio-4")
% (c3m222taylorp 8 "exercicio-4")
% (c3m222taylora "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Calcule $\derivs(f)$ e $\derivs_0(f)$ para cada uma
das `$f$'s abaixo, até o grau pedido.
\msk
a) $f(x) = e^x$, até grau 4
b) $f(x) = e^{2x}$, até grau 4
c) $f(x) = e^{ix}$, até grau 8
d) $f(x) = \cos x$, até grau 8
e) $f(x) = \sen x$, até grau 8
f) $f(x) = i\sen x$, até grau 8
g) $f(x) = \cos x + i\sen x$, até grau 8
\newpage
% «approx» (to ".approx")
% (c3m232tap 10 "approx")
% (c3m232taa "approx")
% (c3m212tap 8 "approx")
% (c3m212taa "approx")
{\bf A notação com `$≈$'}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
O sinal `$≈$' que dizer ``é aproximadamente igual a'',
mas ele não diz quão boa é a aproximação...
Estas duas afirmações são ambas verdadeiras:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(0.42) &≈& f(0) + f'(0)·0.42 + \frac{f''(0)}{2}(0.42)^2 \\[5pt]
f(0.42) &≈& f(0) + f'(0)·0.42
+ \frac{f'' (0)}{2}(0.42)^2
+ \frac{f'''(0)}{6}(0.42)^3 \\
\end{array}
$$
Até dé pra formalizar essa igualdade aqui embaixo
usando um limite - veja a página 4 deste PDF:
\ssk
{\scriptsize
% https://people.math.sc.edu/girardi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf
\url{https://people.math.sc.edu/girardi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf}
}
%
%
$$f(x) \;\;=\;\;
f(0) + f'(0)·x + \frac{f''(0)}{2}x^2
$$
Mas eu não sei como formalizar precisamente
a versão com $0.42$ no lugar do $x$... \quad $\frown$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «versoes-truncadas» (to ".versoes-truncadas")
% (c3m232tap 11 "versoes-truncadas")
% (c3m232taa "versoes-truncadas")
% (c3m222taylorp 9 "versoes-truncadas")
% (c3m222taylora "versoes-truncadas")
{\bf As versões truncadas de $\derivs$, $\derivs_0$ e $\derivs_p$}
\scalebox{0.85}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Vamos definir $\derivs^n$ e $\derivs_0^n$ como as versões ``truncadas até grau $n$''
de $\derivs$ e $\derivs_0$...
\msk
$\derivs^n(f)$ vai ser a lista com as primeiras $\ColorRed{n+1}$ entradas de $\derivs^n(f)$, e
$\derivs^n_0(f)$ vai ser a lista com as primeiras $\ColorRed{n+1}$ entradas de $\derivs_0^n(f)$.
\msk
Além disso $\derivs_p(f)$ vai ser a lista infinita $(f(p), f'(p), f''(p), \ldots)$, e
$\derivs_p^n(f)$ vai ser a lista com as primeiras $\ColorRed{n+1}$ entradas de $\derivs_p^n(f)$.
\msk
Exemplo:
%
$$\derivs_{42}^2(f) \;\;=\;\; (f(42), f'(42), f''(42)).
$$
Vamos nos referir a $\derivs_p^n(f)$ como ``as derivadas de $f$ até grau $n$ no
ponto $p$''. Repare que $f(42)$ é a ``derivada de $f$ de grau 0 no ponto 42'',
$f'(42)$ é a ``derivada de $f$ de grau 1 no ponto 42'', etc...
\msk
Antes o termo ``grau'' não servia pra falar de número de vezes que uma
função foi derivada, mas agora passou a servir. \quad $\smile$
%}\anothercol{
}}
\newpage
{\bf Notação de físicos: introdução}
Links:
% (c3m221nfp 1 "title")
% (c3m221nfa "title")
% (c3m212nfp 1 "title")
% (c3m212nfa "title")
\ssk
{\scriptsize
% https://people.math.sc.edu/girardi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf
\url{https://people.math.sc.edu/girardi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf}
% (c3m221nfp 5 "exercicio-2")
% (c3m221nfa "exercicio-2")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "a notação D_1 f é a mais clara")
% http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-5.pdf
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-5.pdf} (páginas 171--173)
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf} ``Calculus Made Easy'' (1914)
% (find-TH "mathologer-calculus-easy" "legendas")
% http://angg.twu.net/mathologer-calculus-easy.html
\url{http://angg.twu.net/mathologer-calculus-easy.html}
% (c3m221nfp 1)
% (c3m221nfp 5 "exercicio-2")
% (c3m221nfa "exercicio-2")
% (c3m221nfp 6 "truques-de-traducao")
% (c3m221nfa "truques-de-traducao")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf} (p.5: linearizações)
% (c3m212nfp 1)
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "Aproximações Lineares")
% (find-dmirandacalcpage 117 "4.7 Aproximações Lineares e Diferencial")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=117
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=117}
}
\bsk
Na aula de 2022sep23 a gente usou os links acima
e eu escrevi um montão de coisas no quadro --
\ColorRed{que eu vou digitar assim que der!!!}
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c3m232tap 13 "exercicio-5")
% (c3m232taa "exercicio-5")
% (c3m222taylorp 6 "exercicio-5")
% (c3m222taylora "exercicio-5")
% (c3m221nfp 5 "exercicio-2")
% (c3m221nfa "exercicio-2")
{\bf Exercício 5.}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Leia a seção 4.7 do livro do Daniel Miranda:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "Aproximações Lineares")
% (find-dmirandacalcpage 117 "4.7 Aproximações Lineares e Diferencial")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=117
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=117}
}
\msk
Os livros mais modernos:
i) distinguem $dx$ e $Δx$,
ii) escrevem $y=f(x)$ ao invés de $y=y(x)$,
iii) evitam a convenção $x_1 = x_0+Δx$.
\bsk
a) Traduza o início da seção 4.7 do Miranda - até o fim
da página 118 - pra notação do Thompson. Dicas:
%
$$\begin{array}[c]{rcl}
f(x) &≈& f(p)+f'(p)(x-p) \\
L(x) &=& f(p)+f'(p)(x-p) \\
\end{array}
\;\;\;⇒\;\;\;
\begin{array}[c]{rcl}
f(x_1) &≈& f(x_0)+f'(x_0)Δx \\
L(x_1) &=& f(x_0)+f'(x_0)Δx \\
\end{array}
$$
e a função $L$ é exatamente a série de Taylor da função $f$ truncada
até grau 1... lembre que nós quase só vimos séries de Taylor no caso
em que $x_0$ era $0$, mas ficamos de ver depois o caso em que o
``ponto base'' não precisava mais ser 0...
%}\anothercol{
}}
\newpage
% _____ _
% |_ _| __ __ _ __| |
% | || '__/ _` |/ _` |
% | || | | (_| | (_| |
% |_||_| \__,_|\__,_|
%
% «truques-de-traducao» (to ".truques-de-traducao")
% (c3m232tap 14 "truques-de-traducao")
% (c3m232taa "truques-de-traducao")
% (c3m222taylorp 13 "truques-de-traducao")
% (c3m222taylora "truques-de-traducao")
% (c3m221nfp 6 "truques-de-traducao")
% (c3m221nfa "truques-de-traducao")
{\bf Alguns truques de tradução}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Truque 1: quando a gente escreve fórmulas ``com o mesmo formato''
perto uma da outra o leitor tende a ler a segunda ou como uma
\ColorRed{tradução} da primeira pra outra notação ou como um
\ColorRed{caso particular} da primeira...
\ssk
Isto aqui é uma tradução de duas das fórmulas da p.117 do D.\ Miranda
pra ``notação de físicos'':
%
$$\begin{array}[c]{rcl}
f(x) &≈& f(p)+f'(p)(x-p) \\
L(x) &=& f(p)+f'(p)(x-p) \\
\end{array}
\;\;\;⇒\;\;\;
\begin{array}[c]{rcl}
f(x_1) &≈& f(x_0)+f'(x_0)Δx \\
L(x_1) &=& f(x_0)+f'(x_0)Δx \\
\end{array}
$$
E isto aqui é um caso particular da primeira fórmula:
%
$$f(4.02) ≈ f(4) + f'(4)(4.02 - 4) \qquad\qquad (*)$$
Repare que a fórmula $(*)$ fica mais clara se escrevermos isto
explicitamente:
%
$$ x_1=4.02 \qquad x_0=4 $$
...e repare que se a gente tentar escrever isto aqui direto
%
$$\sqrt{4.02} ≈ \sqrt{4} + \sqrt{4}'(4.02 - 4)$$
fica confuso e péssimo --- não existe uma notação padrão pra derivada
de $\sqrt{x}$ em $x=4$!!! Aqui a gente TEM que usar um truque novo ---
a gente tem que dar um nome pra função $\sqrt{x}$. Por exemplo...
}\anothercol{
}}
\newpage
% _____ _ ____
% |_ _| __ __ _ __| | |___ \
% | || '__/ _` |/ _` | __) |
% | || | | (_| | (_| | / __/
% |_||_| \__,_|\__,_| |_____|
%
% «truques-de-traducao-2» (to ".truques-de-traducao-2")
% (c3m232tap 15 "truques-de-traducao-2")
% (c3m232taa "truques-de-traducao-2")
% (c3m222taylorp 14 "truques-de-traducao-2")
% (c3m222taylora "truques-de-traducao-2")
% (c3m221nfp 7 "truques-de-traducao-2")
% (c3m221nfa "truques-de-traducao-2")
{\bf Alguns truques de tradução (2)}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Seja $f(x)=\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Então $f'(x)=\frac12 x^{-1/2} = \frac12 \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt x}$, e
%
$$\begin{array}{rrcl}
& f(4.02) &≈& f(4) + f'(4)(4.02 - 4) \\
⇒ \qquad
& \sqrt{4.02} &≈& \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}(4.02 - 4) \\
\end{array}
$$
Repare que acima eu só fiz as subtituições $f(x):=\sqrt{x}$ e
$f'(x):=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ --- eu acho que as contas mais mais
fáceis de entender se a gente fizer as substituições e as
simplificações em passos separados:
$$\begin{array}{rrcl}
& f(4.02) &≈& f(4) + f'(4)(4.02 - 4) \\
⇒ \qquad
& \sqrt{4.02} &≈& \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}(4.02 - 4) \\
& &=& 2 + \frac{1}{4}(0.02) \\
& &=& 2 + 0.005 \\
& &=& 2.005 \\
& \sqrt{4.02} &=& 2.004993765576342... \\
\end{array}
$$
A última linha acima tem um `$=$' ao invés de um `$≈$', e eu calculei
o resultado dela com a calculadora.
}\anothercol{
}}
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T ** (find-angg "luatree/luatree.mac")
%T load ("~/luatree/luatree.mac");
%T f(x) := sen(x) + x^2;
%T y : sen(x) + x^2;
%T luatree(y);
%T f(2);
%T subst([x=2], y);
%T y;
%T x : 2;
%T y;
%T ev(y);
% Agora nós vamos começar a usar o que eu chamo de ``notação de
% físicos'' (sempre
% (c3m212nfp 9 "regras-de-traducao")
% (c3m212nfa "regras-de-traducao")
\newpage
% «aproximacoes-lineares» (to ".aproximacoes-lineares")
% (c3m222taylorp 10 "aproximacoes-lineares")
% (c3m222taylora "aproximacoes-lineares")
\newpage
{\bf A tradução pra notação de físicos}
Temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &≈& f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 \\
\end{array}
$$
Acho que vocês devem conseguir acreditar nisso aqui...
(a gente pode checar os detalhes depois!)
%
$$\begin{array}{rcl}
g(x_0 + Δx) &≈& g(x_0) + g'(x_0)Δx + \frac{g''(x_0)}{2}(Δx)^2 \\[2.5pt]
h(x + Δx) &≈& h(x) + h'(x)Δx + \frac{h''(x)}{2}(Δx)^2 \\
\end{array}
$$
E se $y=y(x)$ então:
%
$$\begin{array}{rcl}
y(x+Δx) &≈& y + y_x Δx + \frac{y_{xx}}{2} (Δx)^2 \\[2.5pt]
y(x+Δx) &≈& y + y_x Δx + \frac{y_{xx}}{2} (Δx)^2 + \frac{y_{xxx}}{6} (Δx)^3 \\
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c3m212tap 11 "exercicio-5")
% (c3m212taa "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
Digamos que $x_0 = 10$, $f(x)=x^3$, $y_0=f(x_0)$, $g(y)=\sen y$.
\msk
a) Calcule $\derivs_{x_0}^1(f(x))$.
\ssk
b) Calcule $\derivs_{y_0}^1(g(y))$.
\ssk
c) Calcule $\derivs_{x_0}^1(g(f(x)))$.
\bsk
Seja $h(x) = g(f(x))$ --- ou seja, $h = g∘f$.
\msk
d) Calcule $\derivs_{x_0}^2(h(x))$.
\newpage
% «exercicio-5-maxima» (to ".exercicio-5-maxima")
{\bf Exercício 5: gabarito em código}
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T load("/usr/share/emacs/site-lisp/maxima/emaxima.lisp")$
%T display2d:'emaxima$
%T f : x^3;
%T g : sin(y);
%T h : subst([y=f], g);
%T diff(h, x);
%T [h, diff(h, x)];
%T x0 : 10;
%T y0 : subst([x=x0], f);
%T z0 : subst([x=x0], h);
%T subst([x=x0], [h, diff(h, x)]);
%{\footnotesize
%
%\begin{maximasession}
%\maximaoutput*
%\i3. f : x^3; \\
%\o3. x^3 \\
%\i4. g : sin(y); \\
%\o4. \sin y \\
%\i5. h : subst([y=f], g); \\
%\o5. \sin x^3 \\
%\i6. diff(h, x); \\
%\o6. 3\,x^2\,\cos x^3 \\
%\i7. [h, diff(h, x)]; \\
%\o7. \left[ \sin x^3 , 3\,x^2\,\cos x^3 \right] \\
%\i8. x0 : 10; \\
%\o8. 10 \\
%\i9. y0 : subst([x=x0], f); \\
%\o9. 1000 \\
%\i10. z0 : subst([x=x0], h); \\
%\o10. \sin 1000 \\
%\i11. subst([x=x0], [h, diff(h, x)]); \\
%\o11. \left[ \sin 1000 , 300\,\cos 1000 \right] \\
%\end{maximasession}
%
%Obs: aí não tem a resposta do item d...
%
%}
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c3m212tap 15 "exercicio-6")
% (c3m212taa "exercicio-6")
{\bf Exercício 6.}
Este exercício é uma versão mais geral do exercício 4.
Digamos que $f$ e $g$ são funções suaves de $\R$ em $\R$.
(Uma função é ``suave'' quando ela pode ser derivada
infinitas vezes. A função $|x|$ não é suave).
Digamos que $x_0∈\R$, $y_0=f(x_0)$, e $h=g∘f$.
\msk
a) Calcule $\derivs_{x_0}^2(h(x))$.
\msk
Repare que neste caso ``calcule'' quer dizer algo como
``expanda e simplifique a expressão que você obtiver''...
Existem vários tipos de expansão e simplificação, e os
programas de computação simbólica dão um nome pra cada
tipo e permitem que você escolha quais vão ser aplicadas.
\newpage
{\bf Exercício 5 (cont.)}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Agora sejam $y=y(x)=f(x)$ e $z=z(y)=g(y)$.
\msk
b) Traduza o seu $\derivs_{x_0}^2(h(x))$ do item (a)
pra notação de físicos.
\msk
Dica (pequena): $\ddx g(f(x_0)) = z_y y_x$.
\bsk
\bsk
c) Calcule $\derivs_{x_0}^{\ColorRed{3}}(z)$ usando notação de físicos.
\msk
Nas próximas páginas eu pus um ``gabarito em código'' do
item (b). O modo mais fácil de usar a ``notação de físicos''
no Maxima é traduzir entre ela e a ``notação de matemáticos''
sempre que necessário. No item (c) as contas em ``notação de
matemáticos'' ficam gigantescas, mas se você conseguir fazer
elas todas em ``notação de físicos'' elas ficam pequenas.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T load("/usr/share/emacs/site-lisp/maxima/emaxima.lisp")$
%T display2d:'emaxima$
%T gradef(y (x), y_x (x));
%T gradef(y_x(x), y_xx(x));
%T gradef(z (y), z_y (y));
%T gradef(z_y(y), z_yy(y));
%T z : z(y(x));
%T z__x : diff(z, x);
%T z__xx : diff(z__x, x);
%T gradefs;
%T ex : z__xx;
%T ex : subst([y (x)=y], ex);
%T ex : subst([y_x (x)=y_x], ex);
%T ex : subst([y_xx(x)=y_xx], ex);
%T ex : subst([z (y)=z], ex);
%T ex : subst([z_y (y)=z_y], ex);
%T ex : subst([z_yy(y)=z_yy], ex);
%T ex : expand(ex);
%{\footnotesize
%
%\begin{maximasession}
%\maximaoutput*
%\i3. gradef(y (x), y_x (x)); \\
%\o3. y\left(x\right) \\
%\i4. gradef(y_x(x), y_xx(x)); \\
%\o4. \mathrm{y\_x}\left(x\right) \\
%\i5. gradef(z (y), z_y (y)); \\
%\o5. z\left(y\right) \\
%\i6. gradef(z_y(y), z_yy(y)); \\
%\o6. \mathrm{z\_y}\left(y\right) \\
%\i7. z : z(y(x)); \\
%\o7. z\left(y\left(x\right)\right) \\
%\i8. z__x : diff(z, x); \\
%\o8. \mathrm{y\_x}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\left(x\right)\right) \\
%\i9. z__xx : diff(z__x, x); \\
%\o9. \mathrm{y\_x}\left(x\right)^2\,\mathrm{z\_yy}\left(y\left(x\right)\right)+\mathrm{y\_xx}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\left(x\right)\right) \\
%\i10. gradefs; \\
%\o10. \left[ y\left(x\right) , \mathrm{y\_x}\left(x\right) , z\left(y\right) , \mathrm{z\_y}\left(y\right) \right] \\
%\i11. ex : z__xx; \\
%\o11. \mathrm{y\_x}\left(x\right)^2\,\mathrm{z\_yy}\left(y\left(x\right)\right)+\mathrm{y\_xx}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\left(x\right)\right) \\
%\i12. ex : subst([y (x)=y], ex); \\
%\o12. \mathrm{y\_x}\left(x\right)^2\,\mathrm{z\_yy}\left(y\right)+\mathrm{y\_xx}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\right) \\
%\i13. ex : subst([y_x (x)=y_x], ex); \\
%\o13. \mathrm{z\_yy}\left(y\right)\,\mathrm{y\_x}^2+\mathrm{y\_xx}\left(x\right)\,\mathrm{z\_y}\left(y\right) \\
%\i14. ex : subst([y_xx(x)=y_xx], ex); \\
%\o14. \mathrm{z\_y}\left(y\right)\,\mathrm{y\_xx}+\mathrm{z\_yy}\left(y\right)\,\mathrm{y\_x}^2 \\
%\i15. ex : subst([z (y)=z], ex); \\
%\o15. \mathrm{z\_y}\left(y\right)\,\mathrm{y\_xx}+\mathrm{z\_yy}\left(y\right)\,\mathrm{y\_x}^2 \\
%\i16. ex : subst([z_y (y)=z_y], ex); \\
%\o16. \mathrm{y\_xx}\,\mathrm{z\_y}+\mathrm{z\_yy}\left(y\right)\,\mathrm{y\_x}^2 \\
%\i17. ex : subst([z_yy(y)=z_yy], ex); \\
%\o17. \mathrm{y\_x}^2\,\mathrm{z\_yy}+\mathrm{y\_xx}\,\mathrm{z\_y} \\
%\end{maximasession}
%
%}
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% ____ _ _
% | _ \(_)_ ___ _(_)_______
% | | | | \ \ / / | | | |_ / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ / __/
% |____// | \_/ \__,_|_/___\___|
% |__/
%
% «djvuize» (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")
cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf; textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf ~/2023.2-C3/
cp -fv $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C3/
cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}
f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza
% __ __ _
% | \/ | __ _| | _____
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | | | | (_| | < __/
% |_| |_|\__,_|_|\_\___|
%
% <make>
* (eepitch-shell)
* (eepitch-kill)
* (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C3-taylor veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C3-taylor pdf
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3ta"
% ee-tla: "c3m232ta"
% End: