Mathologer: "Why is calculus so... EASY?" - legendas em português

Vídeo: "Why is calculus so ... EASY ?"
Canal: https://www.youtube.com/c/Mathologer
Livro: PDF do Projeto Gutenberg,
versão HTML do https://calculusmadeeasy.org/,
versão HTML do https://avidemia.com/calculus-made-easy/.

Partes do vídeo:
00:00 Intro
00:49 Calculus made easy. Silvanus P. Thompson comes alive
03:12 Part 1: Car calculus
12:05 Part 2: Differential calculus, elementary functions
19:08 Part 3: Integral calculus
27:21 Part 4: Leibniz magic notation
30:02 Animations: product rule
31:43 quotient rule
32:18 powers of x
33:10 sum rule
33:52 chain rule
34:54 exponential functions
35:30 natural logarithm
35:56 sine
36:32 Leibniz notation in action
36:43 Creepy animations of Thompson and Leibniz
37:00 Thank you!

00:06 Bem-vindos a mais um vídeo do Mathologer. As pessoas sempre falam que Cálculo é algo horrivelmente
00:11 difícil, complicado e avançado. Isto é só parcialmente verdade. Quando você olha pro Cálculo
00:16 exatamente do jeito certo, você vê que o núcleo é algo bem simples,
00:21 e não muito mais difícil que álgebra básica.... e na verdade, quando eu tinha só 13 or 14 anos
00:26 eu fui apresentado ao Cálculo lendo o livro "Calculus made easy", do Silvanus P. Thompson, um livro que é
00:32 todo dedicado a mostrar quão fácil Cálculo pode ser. É um livro incrível e funcionou super bem pra mim.
00:38 E eu não sou o único. Ele foi publicado em 1910, viralizou imediatamente,
00:43 ainda está em catálogo depois de mais de um século, e vendeu mais de um milhão de cópias.

01:07 "Terrifying names" - "nomes aterradores" não é algo que você esperaria ler na capa de um livro de Cálculo.
01:12 É um livro atípico em muitos aspectos, e o modo como Cálculo é explicado nesse livro é bem diferente
01:16 do modo como ele é explicado em livros-texto "normais", tanto da época quanto de agora. Eu vou pôr um link pra
01:22 uma versão online dele na descrição do vídeo. Bem, eu mesmo passei boa parte da minha vida explicando
01:26 Cálculo, e o que eu pretendo fazer hoje neste vídeo é mostrar a minha própria versão do "Calculus
01:32 Made Easy". Claro que tem um monte de vídeos de Cálculo por aí, mas nos vídeos do Mathologer
01:38 sobre coisas que já foram apresentadas mil vezes eu sempre tento apresentá-las de jeito novo e
01:43 "otimizado" que vá ser útil tanto pra novatos quanto pra especialistas.
01:45 Ok, aqui está o que eu planejei pra hoje.

01:49 Na primeira parte do vídeo eu vou mostrar que o seu carro é uma máquina de Cálculo,
01:55 e vou mostrar como esses dois métodos do Cálculo com nomes terríveis - diferenciação
01:59 e integração - podem ser executados simplesmente dirigindo e interpretando o velocímetro e o
02:05 odômetro da forma certa.

02:07 Na segunda parte do vídeo nós vamos ver que o núcleo do Cálculo Diferencial
02:10 é algo tão simples que dá pra ensinar pra um macaco - é quase que milagrosamente simples.
02:15 Por outro lado, o núcleo do Cálculo Integral está bem longe de ser algo tipo "macaco vê, macaco faz"...
02:21 mas tem um monte de idéias do Cálculo Integral que são bem simples e poderosas, e que a gente obtém
02:25 simplesmente fazendo diferenciação ao contrário. Nós vamos ver isso na parte 3 do vídeo. E eu vou
02:30 terminar com algo que eu venho querendo apresentar há um tempão, que é uma animação de 5 minutos em que
02:35 eu derivo todas as fórmulas mais importantes do Cálculo mais ou menos da mesma forma que o
02:41 "Calculus Made Easy" faz. 5 minutos pra tudo que é mais importante!
02:46 Esse milagre é possível por um modo super engenhoso de representar Cálculo por símbolos...
02:50 que é cortesia do grande Gottfried Wilhelm Leibniz, um dos inventores do Cálculo.
02:56 Vão ser aqueles truques com dy/dx e infinitesimais, mas com anabolizantes.

02:59 Este vídeo foi feito a pedido dos meus filhos Lara e Karl, e é dedicado a eles.
03:08 Você está pronto pra dar um passeio bem grande?
03:11

03:19 Ok, vamos lá. Hmm, passeio - de carro.
03:21 Vamos imaginar que nós estamos dando uma volta
03:23 no Mathologermóvel numa auto-estrada na Alemanha. Vamos dar uma olhada no velocímetro.
03:30 Velocidade aumenta, velocidade diminui, velocidade indo até o máximo. Mas lembre que
03:35 as auto-estradas na Alemanha não têm limite de velocidade, então 260 km/h não é um problema. :)
03:45 Em algum momento a gente começa a fazer um gráfico da velocidade no tempo. Aqui: velocidade aumenta, diminui,
03:51 fica máxima. Como é que a gente traduz esse gráfico de velocidade no tempo num gráfico de distância que diga
03:57 o quanto a gente andou desde que começou? É uma pergunta bem natural, não é? Basicamente

04:03 o que nós estamos perguntando é: como traduzir do que o velocímetro diz pro que o odômetro diz.
04:11 O carro faz essa tradução automaticamente, mas como essa tradução funciona?
04:17 Se você nunca viu isso antes não tem problema se você disser "Não faço idéia". Bom, pra gente
04:23 começar a ter alguma idéia de como isso funciona, vamos olhar pro caso mais simples, em que estamos andando com
04:27 uma velocidade constante, v.

04:29 Velocidade constante v corresponde a uma linha horizontal com altura v no nosso
04:34 gráfico de velocidade no tempo. Aqui, velocidade constante, Nesse gráfico bem simples de velocidade no tempo a gente
04:41 sabe como o gráfico de distância no tempo deve ser - ele é dado por aquela fórmula do Jardim de Infância:
04:46 distância = velocidade vezes tempo. Então o gráfico correspondente de distância no tempo vai ter esta cara,
04:54 com v sendo a inclinação da linha azul. Super fácil!

04:58 E aí a distância percorrida até o instante t é simplesmente o comprimento desse segmento amarelo.
05:04 Por outro lado, e essa é uma idéia crucial, a nossa distância também é igual à "área"
05:08 desse retângulo laranja. Péra, como assim? Bom,
05:14 esse retângulo tem altura v e largura t, então a sua área é v vezes t, que é igual à distância.
05:25 Então, qual é a resposta pra nossa pergunta original? Como a gente extrai a distância percorrida, acima,
05:30 do diagrama de velocidade no tempo de baixo? Bom, como nós vimos, no caso de velocidade constante a resposta é:

05:37 A distância percorrida é simplesmente a área sob a curva. Muito legal! E, na verdade,
05:43 isso acaba sendo verdade sempre. Pegue qualquer gráfico de velocidade por tempo,
05:48 e a distância percorrida vai ser exatamente a área sob a curva. Bom, qual é a resposta naquele caso simples
06:20 da linha reta que a gente acabou de analisar? Como eu disse antes, aqui a velocidade no instante t
06:26 é simplesmente a inclinação da linha, que é claramente a mesma pra todo valor de t. Mas e em geral?

06:33 Qual é a velocidade no instante t? Bom, ao contrário da reta, uma curva genérica como essa aqui não tem só
06:40 uma inclinação - a sua inclinação é diferente em instantes diferentes. E de fato, no instante t a
06:44 inclinação é igual à inclinação da reta tangente, que é essa linha que toca a curva neste ponto.
06:51 E a inclinação da reta tangente é diferente em pontos diferentes.
06:56 Bom, pra ir do gráfico de cima pro de baixo a gente simplesmente calcula a inclinação. Bacana.
07:04 Resumindo: o gráfico de cima mostra o que o odômetro do carro indica em cada instante, com o odômetro
07:10 marcando zero no instante inicial, e o gráfico de baixo mostra o que velocímetro diz em cada instante.

07:16 Além disso, o Mathologermóvel é um carro esporte antigo, com um velocímetro mecânico que indica velocidades negativas
07:22 quando o carro anda de ré, e o odômetro dele também pode andar pra trás, e pode indicar distâncias negativas
07:28 quando o Mathologermóvel anda de ré pra além da posição inicial - lembrem que ele marcava 0 no instante inicial.
07:46 Então: quando o Mathologermóvel anda de ré, a velocidade é negativa -
07:52 como aqui. Com essas convenções eu posso - pelo menos em teoria -
08:02 desenhar qualquer curva embaixo movendo o carro do jeito certo.
08:09 Legal, né? E com isso eu posso fazer o Matholorgemóvel fazer uns truques matemáticos bem impressionantes.

08:14 Por exemplo, eu posso mover o Mathologermóvel de forma que a função de baixo seja t ao quadrado.
08:19 Aqui, ó, a curva vermelha é t^2, e a curva azul indica a distância correspondente.
08:25 E aí eu posso calcular essa área sob t^2 simplesmente parando o carro em tempo t...
08:32 E nesse ponto aqui o odômetro vai indicar essa área. Fantástico, né? Dá pra calcular áreas
08:38 com um carro! O primeiro cálculo preciso dessa área complicada sob t^2
08:42 foi feito por Arquimedes, e naquela época isso foi uma grande descoberta.

08:49 Com esse mecanismo a gente pode fazer muito mais do que simplesmente calcular a área sob uma curva.
08:54 Em teoria isso serve pra qualquer curva - super poderoso! :) E essas coisas com as quais nós estamos brincando
08:59 têm aplicações além de traduzir entre velocidade e distância. Aqui está outro exemplo de
09:05 aplicação bacana desse brinquedo. Vamos traçar outra curva, mas dessa vez a de cima.
09:12 Agora quando eu movo o meu carro de forma que a distância percorrida seja a da curva de cima
09:17 o gráfico da velocidade de baixo vai ter essa cara aqui. A curva de cima pode vir de alguma
09:22 situação em que é importante identificar onde a curva tem picos e vales, ou mais precisamente,
09:27 onde estão os máximos e mínimos do gráfico. O Mathologermóvel pode simplificar essa tarefa.

09:33 Repare que cada pico no diagrama de cima corresponde a um zero na função de baixo, e a mesma coisa com os
09:40 vales. Por quê? Bom, porque nesses pontos específicos as tangentes são horizontais, e as inclinações são
09:46 zero. Em outras palavras: nesses momentos o carro não vai estar se movendo. Isso de traduzir a
09:53 função de cima na função de baixo e usar a tradução pra fazer coisas como encontrar picos e vales
09:58 da curva de cima encontrando os zeros da curva de baixo é o que é chamado de Cálculo Diferencial,
10:03 que é a primeira das coisas aterradores que o Silvanus P. Thompson menciona na capa do livro dele.

10:08 Traduzir funções de baixo pra funções de cima e usar essa tradução pra fazer coisas como medir áreas
10:14 sob a curva de baixo é chamado de Cálculo Integral, a segunda coisa aterradora no título do livro.

10:20 E a nossa fórmula do Jardim de Infância ali de cima mostra exatamente como traduzir entre
10:25 cima e baixo, entre distância e velocidade... né? Distância = velocidade vezes tempo,
10:31 uma coisa VEZES outra - isso é área, a nossa distância é a área sob a curva da velocidade! Por outro lado
10:37 velocidade = distância dividida por t, uma coisa DIVIDIDA por outra... isso é a inclinação, nossa velocidade
10:45 é a inclinação do gráfico da distância. De novo: distância é a área sob o gráfico da velocidade e velocidade é
10:51 a inclinação do gráfico da distância. De cima pra baixo: inclinação. De baixo pra cima: área. Cima pra baixo: inclinação.
10:58 Baixo pra cima: área. Grave isso na sua memória. Essa relação tem um nome pomposo: é o
11:04 Teorema Fundamental do Cálculo. Fundamental no sentido de "A idéia mais importante
11:09 do Cálculo", "a alma do Cálculo". E é isso que ela é. Se você acompanhou tudo até agora você meio que já
11:14 pode dizer "Eu sei Cálculo". Bom, mais ou menos. :)

11:19 Nada do que eu disse até agora era especialmente aterrador, né? Claro que Cálculo tem bem mais coisas.
11:24 Em particular, pra tudo isso ser realmente útil a gente precisa ser capaz de fazer essas traduções,
11:30 de preferência sem precisar se preocupar com limites de velocidade, sinais vermelhos e motoristas idiotas. Né?

11:35 Se a função de cima for o seno qual vai ser a de baixo? Como a gente descobre isso? Bom, em
11:41 Cálculo Diferencial ir de cima pra baixo é super fácil pra um monte de famílias de
11:47 funções. Isso inclui todas as nossas funções favoritas como potências,
11:51 exponenciais, funções trigonométricas, e outras assim. Vamos ver isso com mais de perto.
12:07 Vamos nos afastar um pouco da idéia do carro e vamos chamar os eixos de x e y. Com isso todas as
12:14 funções que estamos considerando vão ser na variável x, como costumam fazer na escola.
12:19 Segundo, começando com uma função f em cima a função correspondente em baixo vai ser chamada
12:25 de a derivada de f, ou f'. O processo de traduzir a funcão de cima pra
12:31 função correspondente de baixo vai ser chamado de diferenciação... lembra de "Cálculo Diferencial"?
12:36 Agora vamos começar considerando que a função f é alguma das nossas funções favoritas. A f pode ser
12:42 uma função constante, ou alguma potência de x, uma função trigonométrica, coisas assim. Quais são
12:47 as derivadas dessas funções? Bom, vamos ver.

12:53 A derivada de uma função constante, ou seja, a sua inclinação, é 0, obviamente.
13:00 A derivada de uma potência de x é basicamente x elevado àquele expoente menos um.
13:05 Por exemplo pra n=5 a gente tem isso aqui. A derivada de x^5 é 5 vezes x^4. 5, 4, expoente menos um.
13:17 A derivada do seno é o cosseno. E a derivada do cosseno é menos seno. Bem limpinho.

13:23 E agora vem uma coisa bem surpreendente. O logaritmo natural, ln, parece uma função bem complicada,
13:26 mas ln'(x)=1/x, que é bem simples. A derivada da exponencial é a própria exponencial. São fórmulas super curtas!

13:34 E, como eu avisei lá atrás, a gente vai ver deduções dessas fórmulas numa animação no fim do vídeo.
13:41 Uma observação importante aqui é que essencialmente TODAS as funções na nossa lista têm
13:45 derivadas que também estão na nossa lista, com no máximo uma constante acrescentada na frente. Ou seja,
13:53 a gente vê mais ou menos as menos funções no alto e embaixo. Agora, começando com a nossa lista de "funções
13:58 simples" a gente pode construir mais um zilhão de funções mais complicadas adicionando, subtraindo,
14:03 multiplicando, dividindo... E compondo funções.

14:08 Claro que em Cálculo a gente também tem outros modos importantes e complicados de montar funções novas
14:11 a partir de funções mais básicas - por exemplo, podemos construir inversas de funções. Mas não
14:16 vamos nos preocupar com esses outros modos por enquanto, vamos nos concentrar nos mais básicos.
14:21 Os nossos modos básicos de montar funções novas a partir das antigas vão ser soma, subtração,
14:24 multiplicação, divisão e composição. Aqui tem um exemplo. A gente vai chamar essas funções
14:38 atômicas aqui, e mais as funções mais complicadas que podem ser construídas a partir delas, de
14:42 "funções elementares". É, eu sei, essa coisa aqui não parece muito elementar, mas ela
14:48 é elementar no sentido de que é construída a partir de funções atômicas usando só
14:53 os cinco modos elementares de combinar funções. Um dos motivos pelos quais Cálculo é um assunto
14:59 tão terrivelmente bonito e útil é que a derivada de qualquer função elementar também é uma função elementar,
15:06 e - e isso vai ser incrivelmente importante - não é difícil encontrar as derivadas delas...
15:12 é só um pouquinho mais difícil do que Álgebra básica. Dá pra ensinar um macaco a
15:15 encontrar derivadas de funções elementares! Como assim? Porquê?

15:18 Bom, digamos que a gente multiplica duas funções. Eu vou mostrar nas animações do final
15:24 que a derivada do produto delas tem que ser isso aqui.
15:29 Essa fórmula tem muito ruído, então vamos tirar os "x"s. Bem melhor, né?
15:32 Então, as duas funções f e g e as suas derivadas f' e g' são combinadas
15:36 usando duas das nossas operações básicas, soma e multiplicação.
15:42 E já que as funções f, g, f' e g' são todas elementares, essa combinação delas, essa soma de produtos aqui,
15:50 também é elementar. Certo? De novo:
15:53 se f e g e as suas derivadas são elementares então a derivada do produto f vezes g também é elementar.
16:00 Isso também é verdade pras derivadas da soma, da diferença, do quociente de duas funções, e pra composta delas.
16:10 Aqui estão as fórmulas, ou regras, correspondentes. Aqui: +, -, *, /, e composição.

16:17 Ok, agora deixa eu mostrar como tudo isso se traduz em que toda função elementar tem uma derivada elementar,
16:23 e em como encontrar essa derivada. Pra isso nós vamos primeiro criar uma outra
16:26 função elementar a partir desses quatro átomos. Primeiro a gente multiplica essas últimas duas funções,
16:33 depois a gente soma as duas primeiras, e finalmente a gente divide a função à esquerda pela função
16:38 à direita. Repara, nós usamos três operações pra criar essa função elementar aqui: primeira uma multiplicação,
16:43 depois uma adição, depois uma divisão. Agora a gente quer encontrar a derivada dessa função nova.

16:48 Pra isso nós vamos usar as regras que correspondem a essas três operações, mas em ordem inversa...
16:53 Primeiro a regra pro "/", depois a regra pro "+", depois e regra por "*". E à medida que a gente for
16:59 fazendo isso a gente também vai ter que inserir as derivadas dos quatro átomos à medida que a gente
17:03 passar por eles... e assim que o último átomo tiver sido processado, acabou. É realmente automático.
17:08 Agora pegue um copo de alguma coisa pra beber e aprecie a álgebra sendo feita no piloto automático e a música. :)
17:12

18:18 Você consegue ver como isso funciona em geral? O resultado é complicado, mas, e isso é que é importante,
18:25 você só precisa seguir sempre em frente! É totalmente automático.
18:29 Então, a gente começou com uma função elementar, foi aplicando as nossas regras,
18:32 que só envolviam operações elementares, e a gente gerou uma sequência de funções elementares,
18:37 que terminou numa derivada elementar. E, como eu falei, dá pra ensinar um macaco a calcular derivadas.
18:44 E lembra pra que isso servia? Derivar a distância como uma função do tempo
18:49 dá a velocidade como uma função do tempo. E derivar de novo dá a aceleração.
18:54 Se você encontrar uma função feroz numa floresta você pode reduzir a tarefa de encontrar os
18:58 máximos e mínimos da função a encontrar os zeros da derivada dela, e muito, muito mais.
19:04 Super útil, e super poderoso.

19:15 Ok, agora que eu demonstrei pra vocês que as derivadas dos nossos átomos e essas regras pra
19:21 encontrar derivadas se comportam como deveriam, então o Cálculo Diferencial, que é ir de cima pra
19:26 baixo, parece estar sob controle. E o Cálculo Integral, que é ir de baixo pra cima? Ou seja,
19:33 todos aqueles problemas de encontrar áreas? Bom, usando o Teorema Fundamental do Cálculo a gente ganha uma parte
19:39 da solução de graça. Péra, como assim?

19:42 Bom, digamos que a função de baixo é x^2. Qual é a função no topo?
19:46 Fácil! A gente só precisa encontrar a anti-derivada de x^2,
19:50 ou seja, a função cuja derivada é x^2. Pra isso vamos dar uma olhada na lista das derivadas
19:56 das nossas funções mais básicas - talvez a gente dê sorte.

20:00 A gente estava lendo lendo essa lista de cima pra baixo, mas a gente também pode ler ela de baixo pra cima, né?
20:05 Será que tem x^2 em alguma das caixinhas de baixo? Bom, sim, aqui.
20:11 Se a gente escolhe n=3 a gente consegue um x^2 na parte vermelha...
20:15 3 x^2, que é quase o que a gente quer. Bom, pra obter x^2 é só dividir
20:22 por 3 tanto em cima quanto embaixo - a gente pode fazer isso! :)

20:27 E aí, ok, a anti-derivada de x^2 is 1/3 x^3. E, se, por exemplo, nós estivermos interessados em
20:36 obter a área sob x^2 entre 0 e 1, essa área é simplesmente 1/3 x^3 calculado em 1, ou seja,
20:45 1/3 vezes 1^3, que dá 1/3. Em outras palavras: essa área é simplesmente 1/3 vezes a área desse quadrado 1x1.
20:54 Bem bonitinho - e bem surpreendente pra quem está vendo isto pela primeira vez. Porque é que uma área com uma forma
20:58 tão complicada teria uma valor tão simples? Então, idéia importantíssima: lendo a nossa tabela de derivadas
21:06 de baixo pra cima nos dá imediatamente as anti-derivadas de um monte de funções importantes - de graça.

21:13 Isso é super legal - e super útil. Mas você viu que tem umas lombadas no caminho?
21:19 Não? São lombadas pequenas, mas a gente vai ter que tomar cuidado com elas.

21:24 Vamos dar uma olhada nelas. Qual é a lombada número 1? Bom, vamos ver a primeira entrada da nossa tabela.
21:32 Qual é o problema com ela? Você consegue ver? Bom, a derivada da função constante é 0...
21:38 e isso quer dizer que TODA função constante é a anti-derivada da função constante 0.
21:44 0 não tem só uma anti-derivada - tem um número infinito de anti-derivadas! E, da mesma forma que a função
21:49 constante 0 tem um número infinito de anti-derivadas todas as outras funções também têm. Isso é bem óbvio
21:55 se você pensar um pouco... aqui, olha, a função azul é uma anti-derivada da função vermelha.
22:01 De novo, o que isso quer dizer é que pra todo valor de x a inclinação em cima
22:05 é igual ao valor embaixo. Mas e a função azul tem essa propriedade,
22:10 então toda translação vertical da função azul também tem. Óbvio, né? Todas essas funções são
22:15 anti-derivadas da função vermelha - todas elas têm as mesmas inclinações nos mesmos pontos.
22:23 De novo, a função azul é uma anti-derivada da função vermelha... E toda translação vertical da função azul também é.

22:29 Vamos conferir as contas. Por exemplo, essa entrada da tabela diz que a derivada do seno é o cosseno.
22:34 Transladar pra cima ou pra baixo que dizer adicionar alguma constante ao seno. Você consegue ver que o que
22:40 a gente vê aqui continua sendo verdade se a gente adiciona uma constante ao seno? Óbvio, né? É só
22:46 invocar a regra da soma, que diz que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.

22:56 Ta-daaaa, mesma derivada, legal! :) Ok, isso foi a lombada número 1, o fato de que funções têm um número infinito
23:02 de anti-derivadas, e que todas essas anti-derivadas são essencialmente a mesma função exceto por uma
23:07 constante aditiva que desloca o gráfico delas pra cima e pra baixo. Não foi muito difícil.

23:11 E a lombada número 2? Bom, pra esse cálculo da anti-derivada funcionar a função de cima tem que ser 0 em x=0.
23:19 Certo? Tem que ser 0 aqui. Porquê? Bom, se a gente desloca o limite direito da nossa área
23:26 de 1 pra 0, a área vai pra 0 e portanto a função do topo tem que ser 0 em 0. Ok...
23:35 mas nós temos todas essas outras anti-derivadas. Como é que a gente pode usar uma dessas anti-derivadas
23:40 pra obter a área? Não é difícil. Nós sabemos que a área é o comprimento desse segmento vertical amarelo...
23:46 mas esse comprimento é fácil de calcular - é só calcular a nossa antiderivada nas extremidadas esquerda e
23:51 direita da nossa área. Certo? O segmento amarelo é simplesmente a nossa anti-derivada calculada em 1
23:59 menos a anti-derivada calculada em 0. E aliás é bem fácil ver que isso funciona mesmo
24:05 quando a extremidade esquerda não é 0. Aqui a área entre 3/4 e 1 é simplesmente
24:11 a anti-derivada calculada em 1 menos a anti-derivada calculada em 3/4. E isso funciona
24:18 pra todas as anti-derivadas, incluindo a com que a gente começou. E aí essa área aqui é essa diferença,
24:25 que se a gente fizer as contas a gente vê que é 37/192. Se a sua vida dependesse de você conseguir
24:33 calcular essa área você estaria super feliz! :)

24:36 Voltando, ler a nossa tabela de baixo pra cima nos dá as anti-derivadas de algumas funções importantes de graça.
24:42 Em teoria a gente deveria conseguir muito mais aumentando a nossa tabela
24:47 até a gente obter uma tabela monstruosamente grande em cima com todas as funções elementares...
24:51 e como todas as funções elementares têm derivadas elementares,
24:56 as entradas correspondentes embaixo também vão ser funções elementares.

25:01 Lembra que nós estamos considerando que a tabela de cima tem infinitas entradas... e aí, quem sabe, talvez
25:05 a gente consiga ter TODAS as funções elementares na tabela de baixo.
25:09 Isso seria fantástico - porque aí se você me desafiasse a encontrar a antiderivada de alguma função f elementar
25:14 diabolicamente complicada ("f" de "fiendish") :) aí eu poderia procurar a f na parte da baixo da tabela
25:22 e encontrar a sua anti-derivada na parte de cima. Fácil, né? Bom, tem alguns "pequenos" problemas aí...

25:28 primeiro, acontece que existem algumas funções elementares que não aparecem na parte de baixo
25:33 da nossa tabela de derivadas - como essa função super famosa aqui, e^(-x^2), que é a função
25:40 que aparece na distribuição normal. Porque não? Esse f é só -x^2 composta
25:46 com a exponencial... praticamente um átomo composto com outro átomo.
25:50 Simples. Não é difícil derivar essa função elementar usando a nossa quinta regra, que é a regra da cadeia.

25:56 O nosso macaco não tem problema nenhum com isso. Mas não existe nenhuma inversa "elementar" da regra da cadeia
26:03 quando a gente precisa calcular antiderivadas. Putz! :) Existem inversas "elementares" pra regra da soma e da regra
26:09 da diferença, mas não pra regra da cadeia, pra regra do produto e pra regra do quociente...
26:14 E a ausência dessas "inversas elementares" faz com que algumas funções elementares não apareçam
26:19 na parte de baixo da nossa tabela, como essa nossa função maligna.

26:24 E na verdade, se a gente gerar aleatoriamente uma função elementar é quase certo que ela não vai aparecer
26:28 na parte da baixo da tabela, e que ela não vai ter uma antiderivada elementar. E tem um outro problema...
26:33 Por não termos essas três "inversas" também não é fácil determinar quais funções elementares
26:38 têm antiderivadas elementares a quais não tem.

26:42 Por exemplo, demonstrar que essa função elementar super famosa e importante não tem uma antiderivada elementar
26:46 é bizarramente difícil. E os problemas não terminam aí...
26:51 Mesmo que alguém garanta pra você que uma certa função elementar tem uma antiderivada elementar
26:56 geralmente não é nada fácil encontrar a antiderivada dela.

27:02 De qualquer forma, a técnica de usar a tabela ao contrário é incrivelmente útil e poderosa.
27:06 Esses problemas que eu acabei de descrever são reais, mas existem um monte de truques
27:10 pra contorná-los e pra encontrar antiderivadas. Mas isso vai ser assunto pra outro vídeo.

27:26 O núcleo "elementar" do Cálculo é essa lista de derivadas aí em cima e essa lista de regras
27:32 pra calcular derivadas à esquerda. Deixa eu passar um desafio pra pras pessoas que já sabem um pouco mais:
27:37 descubram que ajustes precisam ser feitos no que eu apresentei até agora se a gente incluir
27:41 tomar inversas de funções como uma sexta operação pra criar funções elementares novas.

27:48 Voltando, Cálculo tem um aspecto em especial que faz com que ele seja especialmente "user-friendly",
27:52 e esse aspecto é a notação, o jeito como a gente expressa o Cálculo em símbolos.
27:58 Essa notação quase milagrosa for introduzida por Gottfried Willhelm Leibniz e foi otimizada ao longo
28:02 de décadas. Essa notação nos permite ver o núcleo do Cálculo como uma extensão simples da Álgebra que a gente
28:08 aprende na escola, e o motivo pelo qual esse livro de Cálculo de mais de 100 anos ainda faz tanto sucesso é
28:13 o modo como ele usa a notação de Leibniz pra demonstrar as regras do Cálculo e pra calcular coisas.

28:19 Pra terminar, deixa eu fazer uma introdução breve aos elementos mais básicos da notação de Leibniz e
28:25 mostrar como ela é poderosa replicando o que o livro faz, como umas variações extras.
28:30 Demonstrar tudo aqui a partir do zero em 5 minutos. Lá vai. Calcular a derivada de uma função num ponto
28:39 significa calcular a inclinação dessa linha que toca, ou melhor, tangencia, a curva. À primeira vista
28:45 não é claro como a gente pode calcular essa inclinação só olhando pra nossa função... MAS é fácil
28:49 calcular a inclinação da linha que também corta o gráfico num segundo ponto.
28:54 E quando a gente a gente move o segundo ponto na direção do primeiro, como aqui... a inclinação da reta
28:59 que nós estamos considerando se aproxima da inclinação da reta tangente cada vez mais. E desse modo a gente
29:05 consegue ir se aproximando do valor que a gente realmente quer, que é o da inclinação da reta tangente. E, como sempre, a gente
29:10 calcula a inclinação como subida dividida pelo deslocamente horizontal. O que é o deslocamente horizontal? O incremento em x.
29:16 E a subida? O incremento em f. À medida que a gente faz o incremento em x tender a 0 o incremento em f também tenda a 0.
29:23 Nós queremos o limite da inclinação, e a gente escreve isso como df/dx. Numa primeira abordagem esse df/dx é só uma
29:30 abreviação pro limite que eu acabei de descrever, e o df em cima e o dx embaixo não parecem fazer sentido por si mesmos...

29:38 Mas esse limite funciona de tal forma que em muitos contextos
29:41 nós podemos fazer contas com essas d-diferenças como se elas fossem números
29:45 ou variáveis algébricas... e fazendo isso a gente consegue todas as nossas regras pra derivadas.
29:52 Seria natural começar pela regra da soma, que é bem simples, mas acho que vai ser mais divertido e impressionante
29:57 começar direto pela regra do produto, que é bem mais complicada. O que é esta derivada? Bom, em termos
30:03 dessas d-diferenças esquisitas ela é isso aqui. E qual é a diferença d(fg) em cima? Bom, começando pelo produto fg
30:12 quando a gente aumenta x por dx, f vai ser aumentado por df... e g vai ser aumentado de dg.
30:20 E aí a diferença em laranja vai ser simplesmente a diferença entre estes dois produtos. Ok,
30:30 é agora é só deixar a álgebra funcionar no piloto automático. Expandir o produto, essas coisas. Assista e se maravilhe.
30:34

30:55 Agora lembre que no processo de fazer o limite o dg faz o papel da diferença do g, que
30:59 vai pra 0, e aí a gente pode terminar as nossas contas assim...
31:07 Ta-daaa, eu acabei de mostrar a regra do produto! Legal, né? E agora, como eu prometi, eu vou mostrar pra vocês
31:14 uma animação com as demonstrações de todas as outras regras do Cálculo Diferencial e as derivadas de todas as funções atômicas.
31:20 E depois disso eu vou terminar mostrando alguns outros casos em que a notação de Leibniz
31:24 faz milagres que muitos de vocês vão achar familiares, mas que eu não vou poder abordar direito hoje.
31:29 Esses outros cases vão incluir o segundo ingrediente principal da notação de Leibniz, que é
31:35 o sinal de integral, aquele S esticado que é o símbolo que o Leibniz usa pra antiderivada. Divirtam-se! :)
31:39

33:54 A derivada de uma função composta com outra. O que é isso?
33:58 Quando a variável x varia dx a função g varia dg. E dg é igual a isso aqui, certo? Agora,
34:10 quando g varia dg, a função f varia df. E df? Bom, por um lado f é isto aqui, e por outro lado
34:21 df is a variação total que nós estamos querendo calcular. Vamos ligar o piloto automático de novo.
34:24

34:37 Lindo, né? Agora vamos colocar os sinais de "linha", ou "primo",
34:40 pra obter a fórmula no formato que eu mostrei antes.

34:44
38:31