|
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% (find-LATEX "2024-1-C3-taylor.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-1-C3-taylor.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-1-C3-taylor.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2024-1-C3-taylor.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-1-C3-taylor.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C3-taylor.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-taylor.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-1-C3-taylor"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-1-C3-taylor.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2024-1-C3-taylor")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2024-1-C3-taylor.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-1-C3-taylor.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-1-C3-taylor.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2024-1-C3-taylor.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2024-1-C3-taylor.pdf
% file:///tmp/2024-1-C3-taylor.pdf
% file:///tmp/pen/2024-1-C3-taylor.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C3-taylor.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-1-C3-taylor" "3" "c3m241ta" "c3ta")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.links-stewart» (to "links-stewart")
% «.links-leithold» (to "links-leithold")
% «.links-miranda» (to "links-miranda")
%
% «.ideia-basica-1» (to "ideia-basica-1")
% «.ideia-basica-2» (to "ideia-basica-2")
% «.exercicio-1» (to "exercicio-1")
% «.exercicio-2» (to "exercicio-2")
% «.derivs-e-derivs0» (to "derivs-e-derivs0")
% «.algumas-defs» (to "algumas-defs")
% «.exercicio-3» (to "exercicio-3")
% «.exercicio-4» (to "exercicio-4")
% «.approx» (to "approx")
% «.versoes-truncadas» (to "versoes-truncadas")
% «.not-fis-intro» (to "not-fis-intro")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.truques-de-traducao» (to "truques-de-traducao")
% «.truques-de-traducao-2» (to "truques-de-traducao-2")
% «.truques-de-traducao-3» (to "truques-de-traducao-3")
% «.exercicio-5» (to "exercicio-5")
% «.exercicio-6» (to "exercicio-6")
% «.exercicio-7» (to "exercicio-7")
% «.at-x-and-x0» (to "at-x-and-x0")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
%L dofile "ExprDxDy1.lua" -- (find-LATEX "ExprDxDy1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu
\def\derivs{\mathsf{derivs}}
\def\frt#1{\frac{f^{(#1)}(0)}{#1!}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m241tap 1 "title")
% (c3m241taa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2024.1}
\bsk
Aula 17: séries de Taylor e Maclaurin
(para funções de $\R$ em $\R$)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2024.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c3m241tap 2 "links")
% (c3m241taa "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
% «links-stewart» (to ".links-stewart")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "226" "3.10 Aproximações Lineares e Diferenci")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "679" "11.10 Séries de Taylor e Maclaurin")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "681" "polinômio de Taylor de n-ésimo grau")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "683" "em duas colunas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "685" "duas colunas")
\par \Ca{StewPtCap3p73} (p.226) 3.10 Aproximações Lineares e Diferenciais
\par \Ca{StewPtCap11p61} (p.679) 11.10 Séries de Taylor e Maclaurin
\par \Ca{StewPtCap11p63} (p.681) polinômio de Taylor de n-ésimo grau
\par \Ca{StewPtCap11p67} (p.685) Exemplo 7: ...em colunas
\ssk
% «links-leithold» (to ".links-leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "145" "at")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "677" "11.5. A fórmula de Taylor")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "680" "Figura 6")
\par \Ca{Leit3p9} (p.145) Notações para ``at'': $f'(x_1)$ e $\left.\ddx\right]_{x=x1}$
\par \Ca{Leit11p29} (p.677) 11.5. A fórmula de Taylor
\par \Ca{Leit11p32} (p.680) Figura 6: seno ... MacLaurin de graus 1, 3, 5 e 7
\ssk
% «links-miranda» (to ".links-miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "117" "4.7 Aproximações Lineares e Diferencial")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "168" "5.9 Polinômio de Taylor")
\par \Ca{Miranda117} 4.7 Aproximações Lineares e Diferencial
\par \Ca{Miranda168} 5.9 Polinômio de Taylor
\bsk
{\footnotesize
% (find-angg "MAXIMA/mkmatrix1.mac")
% (find-es "maxima" "2024.1-taylor-1")
\par \url{http://anggtwu.net/MAXIMA/mkmatrix1.mac.pyg.html}
\par \url{http://anggtwu.net/e/maxima.e.html\#2024.1-taylor-1}
\par \texttt{(find-angg "MAXIMA/mkmatrix1.mac")}
\par \texttt{(find-es "maxima" "2024.1-taylor-1")}
}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «ideia-basica-1» (to ".ideia-basica-1")
% (c3m241tap 3 "ideia-basica-1")
% (c3m241taa "ideia-basica-1")
% (c3m232tap 99 "ideia-basica-1")
% (c3m232taa "ideia-basica-1")
% (find-es "maxima" "2024.1-taylor-1")
{\bf A idéia básica}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Digamos que $f(x)$ é um polinômio.
Digamos que o grau dele é 4, pra simplificar.
Digamos que $f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4$.
Então:
%
\def\b#1{\hbox to 25pt{\hss$#1$\hss}}
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &=& \b{a} + \b{bx} + \b{cx^2} + \b{dx^3} + \b{ex^4} \\
f'(x) &=& \b{b} + \b{2cx} + \b{3dx^2} + \b{4ex^3} \\
f''(x) &=& \b{2c} + \b{6dx} + \b{12ex^2} \\
f'''(x) &=& \b{6d} + \b{24ex} \\
f''''(x) &=& \b{24e} \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
f(0) &=& a \\
f'(0) &=& b \\
f''(0) &=& 2c \\
f'''(0) &=& 6d \\
f''''(0) &=& 24e \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
\phantom{m}
a &=& f(0) \\
b &=& f'(0) \\
c &=& f''(0)/2 \\
d &=& f'''(0)/6 \\
e &=& f''''(0)/24 \\
\end{array}
%
$$
E portanto:
%
$$f(x) \;\; = \;\;
f(0)
+ f'(0) x
+ \frac{f''(0)}{2} x^2
+ \frac{f'''(0)}{6} x^3
+ \frac{f''''(0)}{24} x^4
$$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «ideia-basica-2» (to ".ideia-basica-2")
% (c3m241tap 3 "ideia-basica-2")
% (c3m241taa "ideia-basica-2")
% (c3m212tap 3 "ideia-basica-2")
% (c3m212taa "ideia-basica-2")
{\bf A idéia básica (2)}
\scalebox{0.72}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Agora vamos tentar generalizar isso.
Digamos que $f(x)$ é um polinômio.
Digamos que o grau dele é $k$, e que \ColorRed{por enquanto} $k=4$.
Digamos que $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4$.
A notação $f^{(k)}$, como o $(k)$ entre parênteses, quer dizer
``$f$ derivada $k$ vezes''. Por exemplo, $f^{(4)} = f''''$, e $f^{(0)} = f$.
Então:
%
\def\b#1{\hbox to 27.5pt{\hss$#1$\hss}}
%
$$\begin{array}{rcl}
f^{(0)}(x) &=& \b{a_0} + \b{a_1x} + \b{a_2x^2} + \b{a_3x^3} + \b{a_4x^4} \\
f^{(1)}(x) &=& \b{a_1} + \b{2a_2x} + \b{3a_3x^2} + \b{4a_4x^3} \\
f^{(2)}(x) &=& \b{2a_2} + \b{6a_3x} + \b{12a_4x^2} \\
f^{(3)}(x) &=& \b{6a_3} + \b{24a_4x} \\
f^{(4)}(x) &=& \b{24a_4} \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
\phantom{ii}
f^{(0)}(0) &=& 0!\,a_0 \\
f^{(1)}(0) &=& 1!\,a_1 \\
f^{(2)}(0) &=& 2!\,a_2 \\
f^{(3)}(0) &=& 3!\,a_3 \\
f^{(4)}(0) &=& 4!\,a_4 \\
\end{array}
%
\begin{array}{rcl}
\phantom{m}
a_0 &=& f^{(0)}(0)/0! \\
a_1 &=& f^{(1)}(0)/1! \\
a_2 &=& f^{(2)}(0)/2! \\
a_3 &=& f^{(3)}(0)/3! \\
a_4 &=& f^{(4)}(0)/4! \\
\end{array}
%
$$
E portanto:
%
$$\def\frt#1{\frac{f^{(#1)}(0)}{#1!}}
f(x) \;\; = \;\;
\frt0 x^0
+ \frt1 x^1
+ \frt2 x^2
+ \frt3 x^3
+ \frt4 x^4
\;\; = \;\;
\D \sum_{k=0}^{4} \frt{k} x^k
$$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-1» (to ".exercicio-1")
% (c3m241tap 99 "exercicio-1")
% (c3m241taa "exercicio-1")
% (c3m232tap 5 "exercicio-1")
% (c3m232taa "exercicio-1")
% (c3m222taylorp 4 "exercicio-1")
% (c3m222taylora "exercicio-1")
{\bf Exercício 1.}
A fórmula do slide anterior também funciona
pra polinômios com grau menor que 4.
Verifique o que ela faz quando
%
$$f(x) = 42x^2 + 99x + 200.$$
Lembre que no ensino médio você era obrigado
a ``simplificar'' $4·5·6·999$ para 119880, mas
em Cálculo 2 você tem que encontrar jeitos
de escrever que sejam mais simples de ler e
de verificar... pra gente \ColorRed{em certos contextos}
$4·5·6·999$ é mais ``simples'' que 119880.
\newpage
% «exercicio-2» (to ".exercicio-2")
% (c3m241tap 6 "exercicio-2")
% (c3m241taa "exercicio-2")
% (c3m232tap 6 "exercicio-2")
% (c3m232taa "exercicio-2")
% (c3m222taylorp 5 "exercicio-2")
% (c3m222taylora "exercicio-2")
{\bf Exercício 2.}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Tente aplicar a fórmula $(*)$ abaixo
%
$$f(x) \;\; = \;\;
\D \sum_{k=0}^{4} \frt{k} x^k
\qquad \qquad (*)
$$
a esta $f$ aqui: $f(x) = 200x^5$.
\msk
a) O que acontece?
\msk
b) Tente escrever em detalhes o que dá errado.
Você vai precisar de notação matemática \ColorRed{E} português.
Tente aprender as convenções que eu usei nos PDFs
e as convenções que os livros usam, e lembre que se
você começar escrevendo uma igualdade qualquer leitor
que não seja muito seu amigo vai interpretá-la
como uma \ColorRed{afirmação}.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «derivs-e-derivs0» (to ".derivs-e-derivs0")
% (c3m241tap 7 "derivs-e-derivs0")
% (c3m241taa "derivs-e-derivs0")
% (c3m232tap 7 "derivs-e-derivs0")
% (c3m232taa "derivs-e-derivs0")
% (c3m212tap 5 "derivs-e-derivs0")
% (c3m212taa "derivs-e-derivs0")
% (c3m211tap 2 "taylor-1")
% (c3m211taa "taylor-1")
{\bf As operações $\derivs$ e $\derivs_0$}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Sejam $\derivs$ e $\derivs_0$ as seguintes operações --
que vão nos ajudar muito nas contas:
%
$$\begin{array}{rcl}
\derivs(f) &=& (f, f', f'', f''', \ldots) \\
\derivs_0(f) &=& (f(0), f'(0), f''(0), f'''(0), \ldots) \\
\end{array}
$$
Repare que $\derivs(f)$ retorna uma sequência infinita de \ColorRed{funções}
e $\derivs_0(f)$ retorna uma sequência infinita de \ColorRed{números}.
\msk
Um exemplo: se $f(x) = ax^2 + bx + c$, então:
%
$$\begin{array}{rclcrcl}
f(x) &=& ax^2 + bx + c, && f(0) &=& c, \\
f'(x) &=& 2ax + b, && f'(0) &=& b, \\
f''(x) &=& 2a, && f''(0) &=& 2a, \\
f'''(x) &=& 0, && f'''(0) &=& 0, \\
\end{array}
$$
e:
%
$$\begin{array}{rcl}
\derivs(f) &=& (ax^2 + bx + c, \; 2ax + b, \; 2a, \; 0, 0, 0, \ldots) \\
\derivs_0(f) &=& (c, b, 2a, 0, 0, 0, \ldots) \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «algumas-defs» (to ".algumas-defs")
% (c3m241tap 8 "algumas-defs")
% (c3m241taa "algumas-defs")
{\bf Algumas definições}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{6.5cm}\firstcol{
Isto aqui
%
$$\D \sum_{k=0}^{n} \frt{k} x^k
$$
é a {\sl série de Taylor da função $f$
no ponto 0 truncada até grau $n$},
e isto aqui
%
$$\begin{array}{rr}
& \D \lim_{n→∞} \sum_{k=0}^{n} \frt{k} x^k, \\[15pt]
\text{ou:}
& \D \sum_{k=0}^{∞} \frt{k} x^k
\end{array}
$$
é a {\sl série de Taylor da função $f$
no ponto 0}.
}\def\colwidth{10cm}%
\anothercol%
{
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c3m241tap 8 "exercicio-3")
% (c3m241taa "exercicio-3")
% (c3m232tap 8 "exercicio-3")
% (c3m232taa "exercicio-3")
% (c3m212tap 7 "exercicio-3")
% (c3m212taa "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
Seja $f(x) = \sen x$.
\msk
a) Calcule as 8 primeiras
componentes de $\derivs(f)$.
\msk
b) Calcule as 8 primeiras
componentes de $\derivs_0(f)$.
\msk
c) Calcule a série de Taylor
de $\sen x$ truncada até grau 7.
\msk
d) Seja $g(x)$ a série de Taylor
de $\sen x$ truncada até grau 7;
Calcule $g(0.1)$ \ColorRed{na mão} e
compare o seu resultado com
o resultado de calcular $\sen 0.1$
na calculadora ou no computador.
}}
\newpage
% _____ _ _ _ _
% | ____|_ _____ _ __ ___(_) ___(_) ___ | || |
% | _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \ | || |_
% | |___ > < __/ | | (__| | (__| | (_) | |__ _|
% |_____/_/\_\___|_| \___|_|\___|_|\___/ |_|
%
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c3m241tap 9 "exercicio-4")
% (c3m241taa "exercicio-4")
% (c3m232tap 9 "exercicio-4")
% (c3m232taa "exercicio-4")
% (c3m222taylorp 8 "exercicio-4")
% (c3m222taylora "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Calcule $\derivs(f)$ e $\derivs_0(f)$ para cada uma
das `$f$'s abaixo, até o grau pedido.
\msk
a) $f(x) = e^x$, até grau 4
b) $f(x) = e^{2x}$, até grau 4
c) $f(x) = e^{ix}$, até grau 8
d) $f(x) = \cos x$, até grau 8
e) $f(x) = \sen x$, até grau 8
f) $f(x) = i\sen x$, até grau 8
g) $f(x) = \cos x + i\sen x$, até grau 8
\newpage
% «approx» (to ".approx")
% (c3m241tap 10 "approx")
% (c3m241taa "approx")
% (c3m232tap 10 "approx")
% (c3m232taa "approx")
% (c3m212tap 8 "approx")
% (c3m212taa "approx")
{\bf A notação com `$≈$'}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
O sinal `$≈$' que dizer ``é aproximadamente igual a'',
mas ele não diz quão boa é a aproximação...
Estas duas afirmações são ambas verdadeiras:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(0.42) &≈& f(0) + f'(0)·0.42 + \frac{f''(0)}{2}(0.42)^2 \\[5pt]
f(0.42) &≈& f(0) + f'(0)·0.42
+ \frac{f'' (0)}{2}(0.42)^2
+ \frac{f'''(0)}{6}(0.42)^3 \\
\end{array}
$$
Até dé pra formalizar essa igualdade aqui embaixo
usando um limite - veja a página 4 deste PDF:
\ssk
{\scriptsize
% https://people.math.sc.edu/girardi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf
\url{https://people.math.sc.edu/girardi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf}
}
%
%
$$f(x) \;\;=\;\;
f(0) + f'(0)·x + \frac{f''(0)}{2}x^2
$$
Mas eu não sei como formalizar precisamente
a versão com $0.42$ no lugar do $x$... \quad $\frown$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «versoes-truncadas» (to ".versoes-truncadas")
% (c3m241tap 11 "versoes-truncadas")
% (c3m241taa "versoes-truncadas")
% (c3m232tap 11 "versoes-truncadas")
% (c3m232taa "versoes-truncadas")
% (c3m222taylorp 9 "versoes-truncadas")
% (c3m222taylora "versoes-truncadas")
{\bf As versões truncadas de $\derivs$, $\derivs_0$ e $\derivs_p$}
\scalebox{0.85}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Vamos definir $\derivs^n$ e $\derivs_0^n$ como as versões ``truncadas até grau $n$''
de $\derivs$ e $\derivs_0$...
\msk
$\derivs^n(f)$ vai ser a lista com as primeiras $\ColorRed{n+1}$ entradas de $\derivs^n(f)$, e
$\derivs^n_0(f)$ vai ser a lista com as primeiras $\ColorRed{n+1}$ entradas de $\derivs_0^n(f)$.
\msk
Além disso $\derivs_p(f)$ vai ser a lista infinita $(f(p), f'(p), f''(p), \ldots)$, e
$\derivs_p^n(f)$ vai ser a lista com as primeiras $\ColorRed{n+1}$ entradas de $\derivs_p^n(f)$.
\msk
Exemplo:
%
$$\derivs_{42}^2(f) \;\;=\;\; (f(42), f'(42), f''(42)).
$$
Vamos nos referir a $\derivs_p^n(f)$ como ``as derivadas de $f$ até grau $n$ no
ponto $p$''. Repare que $f(42)$ é a ``derivada de $f$ de grau 0 no ponto 42'',
$f'(42)$ é a ``derivada de $f$ de grau 1 no ponto 42'', etc...
\msk
Antes o termo ``grau'' não servia pra falar de número de vezes que uma
função foi derivada, mas agora passou a servir. \quad $\smile$
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «not-fis-intro» (to ".not-fis-intro")
% (c3m241tap 12 "not-fis-intro")
% (c3m241taa "not-fis-intro")
{\bf Notação de físicos: introdução}
Links:
% (c3m221nfp 1 "title")
% (c3m221nfa "title")
% (c3m212nfp 1 "title")
% (c3m212nfa "title")
\ssk
{\scriptsize
% https://people.math.sc.edu/girardi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf
\url{https://people.math.sc.edu/girardi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf}
% (c3m221nfp 5 "exercicio-2")
% (c3m221nfa "exercicio-2")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "a notação D_1 f é a mais clara")
% http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-5.pdf
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-5.pdf} (páginas 171--173)
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf} ``Calculus Made Easy'' (1914)
% (find-TH "mathologer-calculus-easy" "legendas")
% http://angg.twu.net/mathologer-calculus-easy.html
\url{http://angg.twu.net/mathologer-calculus-easy.html}
% (c3m221nfp 1)
% (c3m221nfp 5 "exercicio-2")
% (c3m221nfa "exercicio-2")
% (c3m221nfp 6 "truques-de-traducao")
% (c3m221nfa "truques-de-traducao")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-notacao-de-fisicos.pdf} (p.5: linearizações)
% (c3m212nfp 1)
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-notacao-de-fisicos.pdf}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "Aproximações Lineares")
% (find-dmirandacalcpage 117 "4.7 Aproximações Lineares e Diferencial")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=117
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=117}
}
\bsk
Na aula de 2022sep23 a gente usou os links acima
e eu escrevi um montão de coisas no quadro --
\ColorRed{que eu vou digitar assim que der!!!}
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c3m241tap 13 "exercicio-5")
% (c3m241taa "exercicio-5")
% (c3m232tap 13 "exercicio-5")
% (c3m232taa "exercicio-5")
% (c3m222taylorp 6 "exercicio-5")
% (c3m222taylora "exercicio-5")
% (c3m221nfp 5 "exercicio-2")
% (c3m221nfa "exercicio-2")
{\bf Exercício 5.}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Leia a seção 4.7 do livro do Daniel Miranda:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "Aproximações Lineares")
% (find-dmirandacalcpage 117 "4.7 Aproximações Lineares e Diferencial")
% http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf#page=117
\url{http://hostel.ufabc.edu.br/~daniel.miranda/calculo/calculo.pdf\#page=117}
}
\msk
Os livros mais modernos:
i) distinguem $dx$ e $Δx$,
ii) escrevem $y=f(x)$ ao invés de $y=y(x)$,
iii) evitam a convenção $x_1 = x_0+Δx$.
\bsk
a) Traduza o início da seção 4.7 do Miranda - até o fim
da página 118 - pra notação do Thompson. Dicas:
%
$$\begin{array}[c]{rcl}
f(x) &≈& f(p)+f'(p)(x-p) \\
L(x) &=& f(p)+f'(p)(x-p) \\
\end{array}
\;\;\;⇒\;\;\;
\begin{array}[c]{rcl}
f(x_1) &≈& f(x_0)+f'(x_0)Δx \\
L(x_1) &=& f(x_0)+f'(x_0)Δx \\
\end{array}
$$
e a função $L$ é exatamente a série de Taylor da função $f$ truncada
até grau 1... lembre que nós quase só vimos séries de Taylor no caso
em que $x_0$ era $0$, mas ficamos de ver depois o caso em que o
``ponto base'' não precisava mais ser 0...
%}\anothercol{
}}
\newpage
% _____ _
% |_ _| __ __ _ __| |
% | || '__/ _` |/ _` |
% | || | | (_| | (_| |
% |_||_| \__,_|\__,_|
%
% «truques-de-traducao» (to ".truques-de-traducao")
% (c3m241tap 14 "truques-de-traducao")
% (c3m241taa "truques-de-traducao")
% (c3m232tap 14 "truques-de-traducao")
% (c3m232taa "truques-de-traducao")
% (c3m222taylorp 13 "truques-de-traducao")
% (c3m222taylora "truques-de-traducao")
% (c3m221nfp 6 "truques-de-traducao")
% (c3m221nfa "truques-de-traducao")
{\bf Alguns truques de tradução}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Truque 1: quando a gente escreve fórmulas ``com o mesmo formato''
perto uma da outra o leitor tende a ler a segunda ou como uma
\ColorRed{tradução} da primeira pra outra notação ou como um
\ColorRed{caso particular} da primeira...
\ssk
Isto aqui é uma tradução de duas das fórmulas da p.117 do D.\ Miranda
pra ``notação de físicos'':
%
$$\begin{array}[c]{rcl}
f(x) &≈& f(p)+f'(p)(x-p) \\
L(x) &=& f(p)+f'(p)(x-p) \\
\end{array}
\;\;\;⇒\;\;\;
\begin{array}[c]{rcl}
f(x_1) &≈& f(x_0)+f'(x_0)Δx \\
L(x_1) &=& f(x_0)+f'(x_0)Δx \\
\end{array}
$$
E isto aqui é um caso particular da primeira fórmula:
%
$$f(4.02) ≈ f(4) + f'(4)(4.02 - 4) \qquad\qquad (*)$$
Repare que a fórmula $(*)$ fica mais clara se escrevermos isto
explicitamente:
%
$$ x_1=4.02 \qquad x_0=4 $$
...e repare que se a gente tentar escrever isto aqui direto
%
$$\sqrt{4.02} ≈ \sqrt{4} + \sqrt{4}'(4.02 - 4)$$
fica confuso e péssimo --- não existe uma notação padrão pra derivada
de $\sqrt{x}$ em $x=4$!!! Aqui a gente TEM que usar um truque novo ---
a gente tem que dar um nome pra função $\sqrt{x}$. Por exemplo...
}\anothercol{
}}
\newpage
% _____ _ ____
% |_ _| __ __ _ __| | |___ \
% | || '__/ _` |/ _` | __) |
% | || | | (_| | (_| | / __/
% |_||_| \__,_|\__,_| |_____|
%
% «truques-de-traducao-2» (to ".truques-de-traducao-2")
% (c3m241tap 15 "truques-de-traducao-2")
% (c3m241taa "truques-de-traducao-2")
% (c3m232tap 15 "truques-de-traducao-2")
% (c3m232taa "truques-de-traducao-2")
% (c3m222taylorp 14 "truques-de-traducao-2")
% (c3m222taylora "truques-de-traducao-2")
% (c3m221nfp 7 "truques-de-traducao-2")
% (c3m221nfa "truques-de-traducao-2")
{\bf Alguns truques de tradução (2)}
\scalebox{0.75}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
Seja $f(x)=\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Então $f'(x)=\frac12 x^{-1/2} = \frac12 \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt x}$, e
%
$$\begin{array}{rrcl}
& f(4.02) &≈& f(4) + f'(4)(4.02 - 4) \\
⇒ \qquad
& \sqrt{4.02} &≈& \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}(4.02 - 4) \\
\end{array}
$$
Repare que acima eu só fiz as subtituições $f(x):=\sqrt{x}$ e
$f'(x):=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ --- eu acho que as contas mais mais
fáceis de entender se a gente fizer as substituições e as
simplificações em passos separados:
$$\begin{array}{rrcl}
& f(4.02) &≈& f(4) + f'(4)(4.02 - 4) \\
⇒ \qquad
& \sqrt{4.02} &≈& \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}(4.02 - 4) \\
& &=& 2 + \frac{1}{4}(0.02) \\
& &=& 2 + 0.005 \\
& &=& 2.005 \\
& \sqrt{4.02} &=& 2.004993765576342... \\
\end{array}
$$
A última linha acima tem um `$=$' ao invés de um `$≈$', e eu calculei
o resultado dela com a calculadora.
}\anothercol{
}}
% (c3m212nfp 9 "regras-de-traducao")
% (c3m212nfa "regras-de-traducao")
\newpage
% «truques-de-traducao-3» (to ".truques-de-traducao-3")
% (c3m241tap 16 "truques-de-traducao-3")
% (c3m241taa "truques-de-traducao-3")
{\bf A tradução pra notação de físicos}
Temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &≈& f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 \\
\end{array}
$$
Acho que vocês devem conseguir acreditar nisso aqui...
(a gente pode checar os detalhes depois!)
%
$$\begin{array}{rcl}
g(x_0 + Δx) &≈& g(x_0) + g'(x_0)Δx + \frac{g''(x_0)}{2}(Δx)^2 \\[2.5pt]
h(x + Δx) &≈& h(x) + h'(x)Δx + \frac{h''(x)}{2}(Δx)^2 \\
\end{array}
$$
E se $y=y(x)$ então:
%
$$\begin{array}{rcl}
y(x+Δx) &≈& y + y_x Δx + \frac{y_{xx}}{2} (Δx)^2 \\[2.5pt]
y(x+Δx) &≈& y + y_x Δx + \frac{y_{xx}}{2} (Δx)^2 + \frac{y_{xxx}}{6} (Δx)^3 \\
\end{array}
$$
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c3m241tap 99 "exercicio-5")
% (c3m241taa "exercicio-5")
% (c3m212tap 11 "exercicio-5")
% (c3m212taa "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
Digamos que $x_0 = 10$, $f(x)=x^3$, $y_0=f(x_0)$, $g(y)=\sen y$.
\msk
a) Calcule $\derivs_{x_0}^1(f(x))$.
\ssk
b) Calcule $\derivs_{y_0}^1(g(y))$.
\ssk
c) Calcule $\derivs_{x_0}^1(g(f(x)))$.
\bsk
Seja $h(x) = g(f(x))$ --- ou seja, $h = g∘f$.
\msk
d) Calcule $\derivs_{x_0}^2(h(x))$.
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c3m241tap 18 "exercicio-6")
% (c3m241taa "exercicio-6")
% (c3m212tap 15 "exercicio-6")
% (c3m212taa "exercicio-6")
{\bf Exercício 6.}
Este exercício é uma versão mais geral do exercício 4.
Digamos que $f$ e $g$ são funções suaves de $\R$ em $\R$.
(Uma função é ``suave'' quando ela pode ser derivada
infinitas vezes. A função $|x|$ não é suave).
Digamos que $x_0∈\R$, $y_0=f(x_0)$, e $h=g∘f$.
\msk
a) Calcule $\derivs_{x_0}^2(h(x))$.
\msk
Repare que neste caso ``calcule'' quer dizer algo como
``expanda e simplifique a expressão que você obtiver''...
Existem vários tipos de expansão e simplificação, e os
programas de computação simbólica dão um nome pra cada
tipo e permitem que você escolha quais vão ser aplicadas.
\newpage
% «exercicio-7» (to ".exercicio-7")
% (c3m241tap 19 "exercicio-7")
% (c3m241taa "exercicio-7")
{\bf Exercício 7}
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Agora sejam $y=y(x)=f(x)$ e $z=z(y)=g(y)$.
\msk
b) Traduza o seu $\derivs_{x_0}^2(h(x))$ do item (a)
pra notação de físicos.
\msk
Dica (pequena): $\ddx g(f(x_0)) = z_y y_x$.
\bsk
\bsk
c) Calcule $\derivs_{x_0}^{\ColorRed{3}}(z)$ usando notação de físicos.
% \msk
%
% Nas próximas páginas eu pus um ``gabarito em código'' do
%
% item (b). O modo mais fácil de usar a ``notação de físicos''
%
% no Maxima é traduzir entre ela e a ``notação de matemáticos''
%
% sempre que necessário. No item (c) as contas em ``notação de
%
% matemáticos'' ficam gigantescas, mas se você conseguir fazer
%
% elas todas em ``notação de físicos'' elas ficam pequenas.
%}\anothercol{
}}
\newpage
% «at-x-and-x0» (to ".at-x-and-x0")
% (c3m241tap 20 "at-x-and-x0")
% (c3m241taa "at-x-and-x0")
% (find-es "maxima" "2024.1-taylor-1")
%M (%i1) load ("~/MAXIMA/mkmatrix1.mac")$
%M (%i2) derivs (maxn, f) := mklist ([n,0,maxn], diff(f, x, n))$
%M (%i3) derivs_h (maxn, f) := mkhmatrix([n,0,maxn], diff(f, x, n))$
%M (%i4) derivs_v (maxn, f) := mkvmatrix([n,0,maxn], diff(f, x, n))$
%M (%i5) derivs0 (maxn, f) := mklist ([n,0,maxn], at(diff(f, x, n), x=0))$
%M (%i6) derivs0_h (maxn, f) := mkhmatrix([n,0,maxn], at(diff(f, x, n), x=0))$
%M (%i7) derivs0_v (maxn, f) := mkvmatrix([n,0,maxn], at(diff(f, x, n), x=0))$
%M (%i8) derivsx0 (maxn, f) := mklist ([n,0,maxn], at(diff(f, x, n), x=x0))$
%M (%i9) derivsx0_h(maxn, f) := mkhmatrix([n,0,maxn], at(diff(f, x, n), x=x0))$
%M (%i10) derivsx0_v(maxn, f) := mkvmatrix([n,0,maxn], at(diff(f, x, n), x=x0))$
%M
%M (%i11) derx (k, f) := diff(f, x, k)$
%M (%i12) derxat0 (k, f) := at(diff(f, x, k), x=0)$
%M (%i13) derxatx0 (k, f) := at(diff(f, x, k), x=x0)$
%M (%i14) derxat0div (k, f) := at(diff(f, x, k), x=0) / k!$
%M (%i15) derxatx0div (k, f) := at(diff(f, x, k), x=x0) / k!$
%M (%i16) derxat0divmul (k, f) := at(diff(f, x, k), x=0) / k! * x^k$
%M (%i17) derxatx0divmul (k, f) := at(diff(f, x, k), x=x0) / k! * (x-x0)^k$
%M (%i18) at0reconstruct (n, f) := sum(derxat0divmul (k, f), k,0,n)$
%M (%i19) atx0reconstruct(n, f) := sum(derxatx0divmul(k, f), k,0,n)$
%M
%M (%i20)
%M derivs (5, f(x));
%M (%o20) \left[ f\left(x\right) , {\frac{d}{d\,x}}\,f\left(x\right) , {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,f\left(x\right) , {\frac{d^3}{d\,x^3}}\,f\left(x\right) , {\frac{d^4}{d\,x^4}}\,f\left(x\right) , {\frac{d^5}{d\,x^5}}\,f\left(x\right) \right]
%M (%i21) derivs_h (5, f(x));
%M (%o21) \begin{pmatrix}f\left(x\right)&{\frac{d}{d\,x}}\,f\left(x\right)&{\frac{d^2}{d\,x^2}}\,f\left(x\right)&{\frac{d^3}{d\,x^3}}\,f\left(x\right)&{\frac{d^4}{d\,x^4}}\,f\left(x\right)&{\frac{d^5}{d\,x^5}}\,f\left(x\right)\cr \end{pmatrix}
%M (%i22) derivs_h (5, sin(x));
%M (%o22) \begin{pmatrix}\sin x&\cos x&-\sin x&-\cos x&\sin x&\cos x\cr \end{pmatrix}
%M (%i23) derivs0_h(5, sin(x));
%M (%o23) \begin{pmatrix}0&1&0&-1&0&1\cr \end{pmatrix}
%M (%i24)
%M derivs_v (5, f(x));
%M (%o24) \begin{pmatrix}f\left(x\right)\cr {\frac{d}{d\,x}}\,f\left(x\right)\cr {\frac{d^2}{d\,x^2}}\,f\left(x\right)\cr {\frac{d^3}{d\,x^3}}\,f\left(x\right)\cr {\frac{d^4}{d\,x^4}}\,f\left(x\right)\cr {\frac{d^5}{d\,x^5}}\,f\left(x\right)\cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("at-0-and-x0", "")
\pu
%M (%i25) p(x) := a + b*x + c*x^2 + d*x^3 + e*x^4;
%M (%o25) p\left(x\right):=a+b\,x+c\,x^2+d\,x^3+e\,x^4
%M (%i26) derx (3, p(x));
%M (%o26) 24\,e\,x+6\,d
%M (%i27) derxat0 (3, p(x));
%M (%o27) 6\,d
%M (%i28) derxat0div (3, p(x));
%M (%o28) d
%M (%i29) derxat0divmul (3, p(x));
%M (%o29) d\,x^3
%M (%i30) derxat0divmul (4, p(x));
%M (%o30) e\,x^4
%M (%i31) at0reconstruct(4, p(x));
%M (%o31) e\,x^4+d\,x^3+c\,x^2+b\,x+a
%M (%i32) at0reconstruct(3, p(x));
%M (%o32) d\,x^3+c\,x^2+b\,x+a
%M (%i33) p(x) - at0reconstruct(3, p(x));
%M (%o33) e\,x^4
%M (%i34)
%M at0reconstruct(7, sin(x));
%M (%o34) -\left({\frac{x^7}{5040}}\right)+{\frac{x^5}{120}}-{\frac{x^3}{6}}+x
%L maximahead:sa("at-0-and-x0 2", "")
\pu
%M (%i35) q(x) := a + b*(x-x0) + c*(x-x0)^2 + d*(x-x0)^3 + e*(x-x0)^4;
%M (%o35) q\left(x\right):=a+b\,\left(x-\mathrm{x0}\right)+c\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^2+d\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^3+e\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^4
%M (%i36) derivs_v (5, q(x));
%M (%o36) \begin{pmatrix}b\,\left(x-\mathrm{x0}\right)+e\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^4+d\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^3+c\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^2+a\cr 2\,c\,\left(x-\mathrm{x0}\right)+4\,e\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^3+3\,d\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^2+b\cr 6\,d\,\left(x-\mathrm{x0}\right)+12\,e\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^2+2\,c\cr 24\,e\,\left(x-\mathrm{x0}\right)+6\,d\cr 24\,e\cr 0\cr \end{pmatrix}
%M (%i37) derivsx0_v(5, q(x));
%M (%o37) \begin{pmatrix}a\cr b\cr 2\,c\cr 6\,d\cr 24\,e\cr 0\cr \end{pmatrix}
%M (%i38) atx0reconstruct(4, q(x));
%M (%o38) b\,\left(x-\mathrm{x0}\right)+e\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^4+d\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^3+c\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^2+a
%M (%i39) atx0reconstruct(3, q(x));
%M (%o39) b\,\left(x-\mathrm{x0}\right)+d\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^3+c\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^2+a
%M (%i40) q(x) - atx0reconstruct(3, q(x));
%M (%o40) e\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^4
%L maximahead:sa("at-0-and-x0 3", "")
\pu
\scalebox{0.33}{\def\colwidth{19cm}\firstcol{
\vspace*{-0.75cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{at-0-and-x0}
}\anothercol{
\vspace*{-0.75cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{at-0-and-x0 2}
}}
\newpage
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{at-0-and-x0 3}
}\anothercol{
}}
\newpage
% «alguns-exemplos-defs» (to ".alguns-exemplos-defs")
% (c3m232fhp 9 "alguns-exemplos-defs")
% (c3m232fha "alguns-exemplos-defs")
% «alguns-exemplos» (to ".alguns-exemplos")
% (c3m232fhp 8 "alguns-exemplos")
% (c3m232fha "alguns-exemplos")
\newpage
%M (%i1) load("~/MAXIMA/mkmatrix1.mac")$
%M (%i2) mkhmatrix([x,2,5], x);
%M (%o2) \begin{pmatrix}2&3&4&5\cr \end{pmatrix}
%M (%i3) mkvmatrix([y,2,5], y);
%M (%o3) \begin{pmatrix}2\cr 3\cr 4\cr 5\cr \end{pmatrix}
%M (%i4) mkvmatrix([y,5,2,-1], y);
%M (%o4) \begin{pmatrix}5\cr 4\cr 3\cr 2\cr \end{pmatrix}
%M (%i5) mkmatrix ([x,0,2], [y,5,4,-1], [x,y]);
%M (%o5) \begin{pmatrix}\left[ 0 , 5 \right] &\left[ 1 , 5 \right] &\left[ 2 , 5 \right] \cr \left[ 0 , 4 \right] &\left[ 1 , 4 \right] &\left[ 2 , 4 \right] \cr \end{pmatrix}
%M (%i6) diffxnyn(f, xn, yn) := diff(diff(f, x, xn), y, yn)$
%M (%i7) mkmatrix([xn,0,4], [yn,3,0,-1], [xn,yn]);
%M (%o7) \begin{pmatrix}\left[ 0 , 3 \right] &\left[ 1 , 3 \right] &\left[ 2 , 3 \right] &\left[ 3 , 3 \right] &\left[ 4 , 3 \right] \cr \left[ 0 , 2 \right] &\left[ 1 , 2 \right] &\left[ 2 , 2 \right] &\left[ 3 , 2 \right] &\left[ 4 , 2 \right] \cr \left[ 0 , 1 \right] &\left[ 1 , 1 \right] &\left[ 2 , 1 \right] &\left[ 3 , 1 \right] &\left[ 4 , 1 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 2 , 0 \right] &\left[ 3 , 0 \right] &\left[ 4 , 0 \right] \cr \end{pmatrix}
%M (%i8) mkmatrix([xn,0,2], [yn,2,0,-1], diffxnyn(F(x,y), xn, yn));
%M (%o8) \begin{pmatrix}{\frac{d^2}{d\,y^2}}\,F\left(x , y\right)&{\frac{d^3}{d\,x\,d\,y^2}}\,F\left(x , y\right)&{\frac{d^4}{d\,x^2\,d\,y^2}}\,F\left(x , y\right)\cr {\frac{d}{d\,y}}\,F\left(x , y\right)&{\frac{d^2}{d\,x\,d\,y}}\,F\left(x , y\right)&{\frac{d^3}{d\,x^2\,d\,y}}\,F\left(x , y\right)\cr F\left(x , y\right)&{\frac{d}{d\,x}}\,F\left(x , y\right)&{\frac{d^2}{d\,x^2}}\,F\left(x , y\right)\cr \end{pmatrix}
%M (%i9) mkmatrix([xn,0,3], [yn,3,0,-1], diffxnyn(x^2*y^2, xn, yn));
%M (%o9) \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 2\,x^2&4\,x&4&0\cr 2\,x^2\,y&4\,x\,y&4\,y&0\cr x^2\,y^2&2\,x\,y^2&2\,y^2&0\cr \end{pmatrix}
%M (%i10) mkmatrix([xn,0,3], [yn,3,0,-1], at(diffxnyn(x^2*y^2, xn, yn), [x=0,y=0]));
%M (%o10) \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&4&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix}
%M (%i11) mkmatrix([xn,0,3], [yn,3,0,-1], diffxnyn((x-x0)^2*(y-y0)^2, xn, yn));
%M (%o11) \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 2\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^2&4\,\left(x-\mathrm{x0}\right)&4&0\cr 2\,\left(x-\mathrm{x0}\right)^2\,\left(y-\mathrm{y0}\right)&4\,\left(x-\mathrm{x0}\right)\,\left(y-\mathrm{y0}\right)&4\,\left(y-\mathrm{y0}\right)&0\cr \left(x-\mathrm{x0}\right)^2\,\left(y-\mathrm{y0}\right)^2&2\,\left(x-\mathrm{x0}\right)\,\left(y-\mathrm{y0}\right)^2&2\,\left(y-\mathrm{y0}\right)^2&0\cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("at-x0y0", "")
\pu
%M (%i12) mkmatrix([xn,0,3], [yn,3,0,-1], at(diffxnyn((x-x0)^2*(y-y0)^2, xn, yn), [x=x0,y=y0]));
%M (%o12) \begin{pmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&4&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr \end{pmatrix}
%M (%i13)
%M aroundx0y0(expr) ::= mkmatrix0([x,2,4], [y,3,1,-1], expr);
%M (%o13) \mathrm{aroundx0y0}\left(\mathrm{expr}\right)::=\mathrm{mkmatrix0}\left(\left[ x , 2 , 4 \right] , \left[ y , 3 , 1 , -1 \right] , \mathrm{expr}\right)
%M (%i14) aroundx0y0([x,y]);
%M (%o14) \begin{pmatrix}\left[ 2 , 3 \right] &\left[ 3 , 3 \right] &\left[ 4 , 3 \right] \cr \left[ 2 , 2 \right] &\left[ 3 , 2 \right] &\left[ 4 , 2 \right] \cr \left[ 2 , 1 \right] &\left[ 3 , 1 \right] &\left[ 4 , 1 \right] \cr \end{pmatrix}
%M (%i15)
%M [x0,y0] : [3, 2];
%M (%o15) \left[ 3 , 2 \right]
%M (%i16) [Dx,Dy] : [x-x0, y-y0];
%M (%o16) \left[ x-3 , y-2 \right]
%M (%i17) aroundx0y0(ev(Dx));
%M (%o17) \begin{pmatrix}-1&0&1\cr -1&0&1\cr -1&0&1\cr \end{pmatrix}
%M (%i18)
%M mkmatrix([x,0,4], [y,3,0,-1], [x,y]);
%M (%o18) \begin{pmatrix}\left[ 0 , 3 \right] &\left[ 1 , 3 \right] &\left[ 2 , 3 \right] &\left[ 3 , 3 \right] &\left[ 4 , 3 \right] \cr \left[ 0 , 2 \right] &\left[ 1 , 2 \right] &\left[ 2 , 2 \right] &\left[ 3 , 2 \right] &\left[ 4 , 2 \right] \cr \left[ 0 , 1 \right] &\left[ 1 , 1 \right] &\left[ 2 , 1 \right] &\left[ 3 , 1 \right] &\left[ 4 , 1 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 2 , 0 \right] &\left[ 3 , 0 \right] &\left[ 4 , 0 \right] \cr \end{pmatrix}
%M (%i19) mkmatrix([x,2,4], [y,3,1,-1], [x,y]);
%M (%o19) \begin{pmatrix}\left[ 2 , 3 \right] &\left[ 3 , 3 \right] &\left[ 4 , 3 \right] \cr \left[ 2 , 2 \right] &\left[ 3 , 2 \right] &\left[ 4 , 2 \right] \cr \left[ 2 , 1 \right] &\left[ 3 , 1 \right] &\left[ 4 , 1 \right] \cr \end{pmatrix}
%M (%i20) aroundx0y0(ev([x,y]));
%M (%o20) \begin{pmatrix}\left[ 2 , 3 \right] &\left[ 3 , 3 \right] &\left[ 4 , 3 \right] \cr \left[ 2 , 2 \right] &\left[ 3 , 2 \right] &\left[ 4 , 2 \right] \cr \left[ 2 , 1 \right] &\left[ 3 , 1 \right] &\left[ 4 , 1 \right] \cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("at-x0y0 2", "")
\pu
%M (%i21) aroundx0y0(ev(Dx^2));
%M (%o21) \begin{pmatrix}1&0&1\cr 1&0&1\cr 1&0&1\cr \end{pmatrix}
%M (%i22) aroundx0y0(ev(Dy^2));
%M (%o22) \begin{pmatrix}1&1&1\cr 0&0&0\cr 1&1&1\cr \end{pmatrix}
%M (%i23) aroundx0y0(ev(Dx^2+Dy^2));
%M (%o23) \begin{pmatrix}2&1&2\cr 1&0&1\cr 2&1&2\cr \end{pmatrix}
%M (%i24) aroundx0y0(ev(Dx^2-Dy^2));
%M (%o24) \begin{pmatrix}0&-1&0\cr 1&0&1\cr 0&-1&0\cr \end{pmatrix}
%M (%i25) aroundx0y0(ev(Dx*Dy));
%M (%o25) \begin{pmatrix}-1&0&1\cr 0&0&0\cr 1&0&-1\cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("at-x0y0 3", "")
\pu
%M (%i26) aroundx0y0(ev(2+Dx^2));
%M (%o26) \begin{pmatrix}3&2&3\cr 3&2&3\cr 3&2&3\cr \end{pmatrix}
%M (%i27) aroundx0y0(ev(2+Dy^2));
%M (%o27) \begin{pmatrix}3&3&3\cr 2&2&2\cr 3&3&3\cr \end{pmatrix}
%M (%i28) aroundx0y0(ev(2+Dx^2+Dy^2));
%M (%o28) \begin{pmatrix}4&3&4\cr 3&2&3\cr 4&3&4\cr \end{pmatrix}
%M (%i29) aroundx0y0(ev(2+Dx^2-Dy^2));
%M (%o29) \begin{pmatrix}2&1&2\cr 3&2&3\cr 2&1&2\cr \end{pmatrix}
%M (%i30) aroundx0y0(ev(2+Dx*Dy));
%M (%o30) \begin{pmatrix}1&2&3\cr 2&2&2\cr 3&2&1\cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("at-x0y0 4", "")
\pu
\scalebox{0.3}{\def\colwidth{18cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{at-x0y0}
}\anothercol{
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