|
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% (find-LATEX "2024-2-C3-topologia.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C3-topologia.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C3-topologia.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C3-topologia.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C3-topologia.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C3-topologia"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C3-topologia.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
% (code-eec-LATEX "2024-2-C3-topologia")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C3-topologia.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf
% file:///tmp/2024-2-C3-topologia.pdf
% file:///tmp/pen/2024-2-C3-topologia.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C3-topologia" "3" "c3m242to" "c3to")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.defs-V» (to "defs-V")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"} % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()} % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()} % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
% «defs-V» (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu
\def\BA{\mathsf{B}}
\def\BF{\overline{\mathsf{B}}}
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m242top 1 "title")
% (c3m242toa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2024.2}
\bsk
Aulas 24 a 26: abertos e fechados em $\R^2$
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c3m242top 2 "links")
% (c3m242toa "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
% 3fT86: (c3m222topp 1 "title")
% (c3m222topa "title")
% 3hT150: (c3m232top 1 "title")
% (c3m232toa "title")
\par \Ca{3hT150} (2023.2) Versão anterior destes slides
\ssk
% «links-bortolossi» (to ".links-bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "121" "4. Continuidade, noções de topologia...")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "121" "4.1. Porque contínuas são importantes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "129" "4.3. Weierstrass em n variáveis")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "139" "distância euclidiana")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "142" "bola aberta")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "148" "conjunto aberto")
\par \Ca{Bort4p1} (p.121) 4 Continuidade, noções de topologia e o teorema de Weierstrass
\par \Ca{Bort4p1} (p.121) 4.1 Porque funções contínuas são importantes?
\par \Ca{Bort4p9} (p.129) 4.3 O teorema de Weierstrass no caso com $n$ variáveis
\par \Ca{Bort4p19} (p.139) Distância euclidiana
\par \Ca{Bort4p22} (p.142) definição de bola aberta
\par \Ca{Bort4p28} (p.148) definição de conjunto aberto
}\anothercol{
}}
\newpage
{\bf Introdução}
Dê uma olhada no capítulo 4 do Bortolossi...
Comece pela seção 4.1, ``Por que funções contínuas são importantes'',
depois leia a seção 4.3, sobre o Teorema de Weirstrass em $n$ variáveis,
e relembre a definição de distância euclidiana na p.139.
\msk
Nós vamos começar entendendo as definições das páginas 142
até 148, e vamos reescrevê-las de um jeito bem mais curto.
\msk
Nós vamos ver como fazer hipóteses sobre os exercícios
dos próximos dois slides, como testar essas hipóteses,
e como descartar as hipóteses erradas.
\newpage
% «nove-subconjuntos» (to ".nove-subconjuntos")
% (c3m211afp 3 "nove-subconjuntos")
% (c3m211afa "nove-subconjuntos")
{\bf Nove subconjuntos de $\R^2$}
(Compare com a p.130 do Bortolossi...)
\msk
\def\eee{\text{\; e \;}}
Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
C_1 &=& \setofxyst{ 2<y≤3 }, \\
C_2 &=& \setofxyst{ 2<y≤3 \eee 1≤x<4 }, \\
C_3 &=& \setofxyst{ d((x,y),(1,2))≤2 }, \\
C_4 &=& \setofxyst{ 1<d((x,y),(1,2))≤2 }, \\
C_5 &=& \setofxyst{ d((x,y),(1,2))≤2 \eee 1<x }, \\
C_6 &=& \setofxyst{ y>x }, \\
\end{array}
$$
\def\vc#1{\myvcenter{#1}}
$$
% (find-latexscan-links "C3" "20210908_C_6")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210908_C_6.pdf")
C_7 \;=\;
\vc{\includegraphics[height=2cm]{2021-1-C3/20210908_C_6.pdf}},
%
\quad
%
% (find-latexscan-links "C3" "20210908_C_7")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210908_C_7.pdf")
C_8 \;=\;
\vc{\includegraphics[height=2cm]{2021-1-C3/20210908_C_7.pdf}},
%
\quad
%
% (find-latexscan-links "C3" "20210908_C_9")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210908_C_9.pdf")
C_9 \;=\;
\vc{\includegraphics[height=2cm]{2021-1-C3/20210908_C_9.pdf}}.
$$
\newpage
% «exercicios-1-e-2» (to ".exercicios-1-e-2")
% (c3m222topp 4 "exercicios-1-e-2")
% (c3m222topa "exercicios-1-e-2")
% (c3m211afp 4 "exercicios-1-e-2")
% (c3m211afa "exercicios-1-e-2")
{\bf Exercício 1.}
%\msk
Represente graficamente os conjuntos $C_1, \ldots, C_6$.
\bsk
{\bf Exercício 2.}
%\msk
Represente os conjuntos $C_7$, $C_8$, $C_9$
em ``notação de conjuntos'' --- isto é,
na forma $\setofxyst{\ldots}$.
\newpage
% «bolas» (to ".bolas")
% (c3m211afp 5 "bolas")
% (c3m211afa "bolas")
{\bf Bolas abertas e fechadas}
Se $P$ é um ponto de $\R^n$ então a
{\sl bola fechada de raio $ε$ em torno de $P$}, $\BF_ε(P)$, e a
{\sl bola aberta de raio $ε$ em torno de $P$}, $\BA_ε(P)$,
são definidas assim:
%
$$\begin{array}{rcl}
\BF_ε(P) &=& \setofst{Q∈\R^n}{d(P,Q)≤ε} \\
\BA_ε(P) &=& \setofst{Q∈\R^n}{d(P,Q)<ε} \\
\end{array}
$$
\msk
Por exemplo, se $P=6∈\R^1$ então:
%
$$\scalebox{0.85}{$
\begin{array}{rcl}
\BF_2(6) &=& \setofst{Q∈\R^1}{d(6,Q)≤2} \\
&=& \setofst{x∈\R}{d(6,x)≤2} \\
&=& \setofst{x∈\R}{\sqrt{(6-x)^2}≤2} \\
&=& \setofst{x∈\R}{ |x-6| ≤2} \\
&=& \setofst{x∈\R}{-2 ≤ x-6 ≤2} \\
&=& \setofst{x∈\R}{-2+6 ≤ x ≤2+6} \\
&=& [4,8] \\
\end{array}
$}
$$
\newpage
% «exercicio-3» (to ".exercicio-3")
% (c3m211afp 6 "exercicio-3")
% (c3m211afa "exercicio-3")
{\bf Exercício 3.}
Represente graficamente:
\msk
a) $\BF_1((2,2))$,
b) $\BA_1((2,2))$.
\msk
Dica: estes conjuntos vão parecer muito mais com
``bolas de verdade'' do que o conjunto $\BF_2(6)$ do
slide anterior.
\bsk
Lembre que a gente desenha a fronteira de um conjunto
tracejada quando a gente quer indicar que os pontos da
fronteira não pertencem ao conjunto e a gente desenha
ela sólida quando quer indicar que os pontos dela
pertencem ao conjunto. Veja os desenhos dos
conjuntos $C_8$ e $C_9$.
\newpage
% «exercicio-4» (to ".exercicio-4")
% (c3m211afp 7 "exercicio-4")
% (c3m211afa "exercicio-4")
{\bf Exercício 4.}
Aqui você vai ter que ser capaz de visualizar bolas sobrepostas
a conjuntos que você já desenhou sem desenhar estas bolas.
Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
\msk
a) $\BA_{0.1} ((0, 2.5))⊆C_1$
b) $\BA_{0.5} ((0, 2.5))⊆C_1$
c) $\BF_{0.5} ((0, 2.5))⊆C_1$
d) $\BA_{0.1} ((1, 3))⊆C_2$
e) $\BA_{0.1} ((2.5, 2.5))⊆C_2$
f) $\BA_{1} ((2, 2))⊆C_3$
g) $\BF_{1} ((2, 2))⊆C_3$
h) $\BA_{0.5} ((1, 0.5))⊆C_4$
i) $\BA_{0.1} ((0.5, 2))⊆C_5$
j) $\BA_{0.001} ((1.1, 1.01))⊆C_8$
\newpage
% «interior» (to ".interior")
% (c3m222topp 9 "interior")
% (c3m222topa "interior")
% (c3m211afp 8 "interior")
% (c3m211afa "interior")
{\bf O interior de um conjunto (e conjuntos abertos)}
Def: o {\sl interior} de um conjunto $A⊂\R^n$, $\Int(A)$,
é definido como:
%
$$\Int(A) \;\;=\;\; \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A}.$$
Note que isto sempre é verdade: $\Int(A)⊂A$.
Dizemos que um conjunto $A$ é {\sl aberto} quando $A⊂\Int(A)$.
\newpage
% «infinitas-bob» (to ".infinitas-bob")
% (c3m222topp 10 "infinitas-bob")
% (c3m222topa "infinitas-bob")
{\bf Infinitas operações / seja com o Bob}
Pra entender a definição de interior e as próximas você vai precisar
fazer um número infinito de operações pra chegar no resultado, e pra
isso você vai ter que usar algumas técnicas que nós vimos em Cálculo 2
no semestre passado. Os links abaixo vão pras versões deste semestre
do material sobre essas técnicas, que ficou bem melhor do que o do
semestre passado.
\msk
Veja este PDF, a partir da página 11 dele:
{\footnotesize
% (c2m222srp 11 "set-comprehensions")
% (c2m222sra "set-comprehensions")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf}
% 2fT70: (c2m222srp 11 "set-comprehensions")
% (c2m222sra "set-comprehensions")
% 2hT130: (c2m232srp 20 "um-jogo-2")
% (c2m232sra "um-jogo-2")
% 2hT134: (c2m232srp 24 "def-inf-e-sup")
% (c2m232sra "def-inf-e-sup")
%\par \Ca{2fT70} ``Set comprehensions''
%\par \Ca{2hT130} Um jogo colaborativo (2)
}
\ssk
e relembre as definições de inf e sup daqui:
{\footnotesize
% (c2m222tfcsp 1)
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-TFC1-e-TFC2.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-TFC1-e-TFC2.pdf}
}
% (c2m222tfcsp 1 "title")
% (c2m222tfcsa "title")
\newpage
% «exercicio-5» (to ".exercicio-5")
% (c3m211afp 9 "exercicio-5")
% (c3m211afa "exercicio-5")
{\bf Exercício 5.}
Seja $A = [2,4] ⊂ \R^1$.
Verifique que $A$ não é aberto usando
a definição do slide anterior.
Dica: como $A = [2,4]$, dá pra começar por:
%
\def\iff{\Leftrightarrow}
%
$$\begin{array}{lrcl}
& A & \multicolumn{2}{l}{\text{não é aberto}} \\
\iff \ph{m} & A & \not⊂ & \Int(A) \\
\iff & A & \not⊂ & \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A} \\
\iff & [2,4] & \not⊂ & \setofst{P∈[2,4]}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆[2,4]} \\
\end{array}
$$
\msk
Pros passos seguintes você vai precisar usar
muitas das ``traduções'' dos próximos dois slides.
\newpage
% «algumas-traducoes» (to ".algumas-traducoes")
% (c3m211afp 14 "algumas-traducoes")
% (c3m211afa "algumas-traducoes")
{\bf Algumas traduções}
\def\iff{\Leftrigharrow}
$$\begin{array}{rcl}
A⊂B &=& ∀a∈A. a∈B \\
A=B &=& (A⊂B)∧(B⊂A) \\
¬(P∧Q) &=& ¬P∨¬Q \\
¬(P∨Q) &=& ¬P∧¬Q \\
¬(∀a∈A.P(a)) &=& ∃a∈A.¬P(a) \\
¬(∃a∈A.P(a)) &=& ∀a∈A.¬P(a) \\
x∈\setofst{a∈A}{P(a)} &=& x∈A∧P(x) \\
¬(P→Q) &=& P∧¬Q \\ \relax
[20,42) &=& \setofst{x∈\R}{20≤x<42} \\
20≤x<42 &=& 20≤x ∧ x<42 \\
\end{array}
$$
\bsk
Lembre que `$∧$' é ``e'', `$∨$' é ``ou'', `$¬$' é ``não'', `$→$' é
``implica''.
\newpage
% «algumas-traducoes-2» (to ".algumas-traducoes-2")
% (c3m211afp 15 "algumas-traducoes-2")
% (c3m211afa "algumas-traducoes-2")
{\bf Alguns exemplos de traduções}
$$\begin{array}{l}
[a,b] ⊂ [20, 42) \\
= \;\; ∀x∈[a,b]. x∈[20, 42) \\
= \;\; ∀x∈[a,b]. 20≤x<42 \\
= \;\; ∀x∈\R. x∈[a,b] → 20≤x<42 \\
= \;\; ∀x∈\R. a≤x≤b → 20≤x<42 \\[10pt]
%
¬([a,b] ⊂ [20, 42)) \\
= \;\; ¬(∀x∈\R. a≤x≤b → 20≤x<42) \\
= \;\; ∃x∈\R. ¬(a≤x≤b → 20≤x<42) \\
= \;\; ∃x∈\R. ¬(a≤x≤b)∧(20≤x<42) \\
= \;\; ∃x∈\R. ¬(a≤x ∧ x≤b)∧(20≤x<42) \\
= \;\; ∃x∈\R. (¬(a≤x) ∨ ¬(x≤b))∧(20≤x<42) \\
= \;\; ∃x∈\R. (x<a ∨ b<x)∧(20≤x<42) \\
\end{array}
$$
% (c3q192 18 "20190920" "Subconjuntos de R2; fecho e interior")
% (c3q192 19 "20190926" "Abertos e fechados; imagem inversa; Teorema de Weierstrass; triangulo e xy")
% (c3q192 20 "20190927" "Mais imagem inversa e Teorema de Weierstrass")
\newpage
% «exercicio-6» (to ".exercicio-6")
% (c3m211afp 10 "exercicio-6")
% (c3m211afa "exercicio-6")
{\bf Exercício 6.}
\ssk
Represente graficamente:
\ssk
a) $\Int(C_8)$,
b) $\Int(C_4)$,
c) $\Int(C_5)$,
d) $\Int(\BA_1((2,2)))$.
\newpage
% «fecho» (to ".fecho")
% (c3m211afp 11 "fecho")
% (c3m211afa "fecho")
{\bf O fecho de um conjunto (e conjuntos fechados)}
Def: o {\sl fecho} de um conjunto $A⊂\R^2$, $\ovl{A}$,
é definido como:
%
$$\ovl{A} \;\;=\;\; \setofst{P∈\R^2}{∀ε>0.\, \BA_ε(P)∩A \neq ∅}$$
Compare com a definição do interior:
%
$$\Int(A) \;\;=\;\; \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A}.$$
Isto aqui sempre é verdade: $A ⊂ \ovl{A}$.
Quando $\ovl{A} ⊂ A$ dizemos que $A$ é um conjunto {\sl fechado}.
\newpage
% «exercicio-7» (to ".exercicio-7")
% (c3m211afp 12 "exercicio-7")
% (c3m211afa "exercicio-7")
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -niH --null -e bounds 2022*.tex")
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(3,2))
%L spec = "(1,1)o--(2,1)c"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L curve = pws:topict()
%L p = Pict { curve:prethickness("2pt") }
%L p:pgat("pgatc"):preunitlength("15pt"):sa("Exercicio 7"):output()
\pu
{\bf Exercício 7.}
\unitlength=20pt
Digamos que:
%
$$D_1 \;\;=\;\;
\ga{Exercicio 7}
$$
\msk
Represente graficamente:
a) $\ovl{C_8}$
b) $\ovl{D_1}$
c) $\Int(D_1)$
\newpage
{\bf Um aviso sobre a P2 (de 2021.2)}
Em quase todos os problemas deste PDF é muito
mais fácil mostrar que uma resposta está errada
do que mostrar que ela está certa... e o método
pra mostrar que uma resposta está errada vai
ser um dos assuntos principais da P2.
\msk
% (Vou explicar ele daqui a pouco!)
% (find-bortolossi4page)
% (find-bortolossi4page (+ -120 121) "Cap 4")
% (find-bortolossi4page (+ -120 121) "4.1. Porque contínuas são importantes")
% (find-bortolossi4page (+ -120 123) "4.2. Continuidade em várias variáveis")
% (find-bortolossi4page (+ -120 129) "4.3. Weierstrass em n variáveis")
% (find-bortolossi4page (+ -120 139) "distância euclidiana")
% (find-bortolossi4page (+ -120 142) "bola aberta")
% (find-bortolossi4page (+ -120 142) "bola fechada")
% (find-bortolossi4page (+ -120 143) "conjunto limitado")
% (find-bortolossi4page (+ -120 143) "ponto de fronteira")
% (find-bortolossi4page (+ -120 144) "fronteira de um conjunto")
% (find-bortolossi4page (+ -120 145) "conjunto fechado")
% (find-bortolossi4page (+ -120 146) "conjunto compacto")
% (find-bortolossi4page (+ -120 147) "o teorema de Weierstrass")
% (find-bortolossi4page (+ -120 148) "ponto interior")
% (find-bortolossi4page (+ -120 148) "conjunto aberto")
% (find-bortolossi4page (+ -120 151) "4.4. Exercícios")
\newpage
% «algumas-nots-novas» (to ".algumas-nots-novas")
% (c3m222topp 10 "algumas-nots-novas")
% (c3m222topa "algumas-nots-novas")
{\bf Imagem inversa}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Algumas das igualdades abaixo são definições,
as outras são exemplos.
%
$$\begin{array}{rcl}
H(x,y) &=& xy \\
H_I &=& \setofxyst{H(x,y)∈I} \\
H_{[a,b]} &=& \setofxyst{H(x,y)∈[a,b]} \\
H_{[0,1]} &=& \setofxyst{H(x,y)∈[0,1]} \\
H^{-1}(a) &=& \setofxyst{H(x,y)=a} \\
H^{-1}(I) &=& \setofxyst{H(x,y)∈I} \\
H^{-1}([0,1]) &=& \setofxyst{H(x,y)∈[0,1]} \\
&=& H_{[0,1]} \\
\end{array}
$$
\bsk
{\bf Exercício 8.}
Represente graficamente:
%
$$\begin{array}{rcl}
C_{1} &=& H^{-1}(0) \\
C_{2} &=& H^{-1}(1) \\
C_{3} &=& H^{-1}([0,1]) \\
C_{4} &=& H^{-1}((0,1))\\
C_{5} &=& \Int(C_3)\\
C_{6} &=& \overline{C_4} \\
C_{7} &=& H^{-1}(4) \\
C_{8} &=& H^{-1}([0,4]) \\
C_{9} &=& \setofxyst{1≤x \text{ e } 1≤y} \\
C_{10} &=& C_8∩C_9 \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
{\bf Conjuntos limitados e compactos}
Um conjunto $C∈\R^2$ é {\sl limitado} quando ele
obedece isto:
%
$$∃r∈\R.\,C⊂B_r((0,0))$$.
Um conjunto $C∈\R^2$ é {\sl compacto} quando ele é
fechado e limitado.
\bsk
\bsk
\bsk
{\bf Exercício 9.}
Preencha a tabela abaixo com `$\True$'s e `$\False$'s.
\bsk
$\begin{array}{lcccccccccc}
& C_1
& C_2
& C_3
& C_4
& C_5
& C_6
& C_7
& C_8
& C_{10} \\
\text{é aberto} \\
\text{é fechado} \\
\text{é limitado} \\
\text{é compacto} \\
\end{array}
$
}}
\newpage
% «maximos-numa-elipse» (to ".maximos-numa-elipse")
% (c3m222topp 19 "maximos-numa-elipse")
% (c3m222topa "maximos-numa-elipse")
{\bf Máximos numa elipse}
\scalebox{0.52}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
Dê uma olhada nas figuras das páginas 355 e 356 do Bortolossi,
no capítulo 10 dele:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "na borda da elipse")
% (find-bortolossi10page (+ -350 355) "máximos de x^2+y^2 numa elipse")
% (find-bortolossi10page (+ -350 356) "máximos de x^2+y^2 na borda da elipse")
% http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf\#page=5}
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf\#page=6}
}
Ele usa:
%
$$\begin{array}{rcl}
f(x,y) &=& x^2+y^2 \\
g(x,y) &=& \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} \\
D_2 &=& \setofxyst{g(x,y)≤1} \\
D_3 &=& \setofxyst{g(x,y)=1} \\
\end{array}
$$
$D_2$ é uma elipse ``cheia'' incluindo o interior dela, e
$D_3$ é só a fronteira de $D_2$.
Note que $(-2,0),(2,0),(0,3),(0,-3)∈D_3$.
\bsk
{\bf Exercício 10.}
a) Desenhe algumas curvas de nível de $f(x,y)$.
\msk
b) Na página 354 o Bortolossi desenha curvas de nível
dentro de um quadrado. Desenhe algumas curvas de nível
de $f(x,y)$ dentro da ``elipse cheia'' $D_2$.
\msk
c) Tente descobrir {\sl no olhômetro} quais são os máximos
e mínimos de $f(x,y)$ em $D_2$. Dica: o Bortolossi leva
várias páginas fazendo isso --- leia o texto dele!
}\anothercol{
{\bf Dica:} o objetivo do item (c) é você aprender a resolver só com
curvas de nível as idéias que o Bortolossi apresenta usando figuras
em 3D. Se você não conseguir fazer a tradução das figuras 3D pra
curvas de nível direto você pode começar desenhando ``cortes'' sobre
as figuras 3D, como na questão do mini-teste 1 de 2020.2:
\ssk
{\scriptsize
% (c3m202tudop 83 "title")
% (c3m202tudoa "title")
% http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-tudo.pdf#page=83
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-tudo.pdf\#page=83}
}
\bsk
...e repare que quando o Bortolossi chega no capítulo 12 ele passa a
usar quase só curvas de nível e gradientes --- ele praticamente
abandona as figuras 3D:
\ssk
{\scriptsize
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "12. Otimização com")
% http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-12.pdf
\url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-12.pdf}
}
}}
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C3-topologia")
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3to"
% ee-tla: "c3m242to"
% End: