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2012 - UnB - Minicurso sobre Categorias

Oi Claus!
Isso me interessa muitíssimo, sim!
Já tenho uma certa quantidade de material - principalmente este
conjunto de pouco mais de 100 slides feitos há um ano e meio atrás,

  http://angg.twu.net/math-b.html#unilog-2010

mas de lá pra cá eu vi como simplificar muita coisa, e eu estava louco
pra ter uma boa desculpa pra escrever e apresentar as idéias novas!
Algumas das "ferramentas de simplificação" estão descritas aqui - mas
quero tornar isto mais acessível:

  http://angg.twu.net/math-b.html#internal-diags-in-ct

O que mais tem me interessado são exatamente os "exemplos arquetipais"
- que em geral são categorias finitas nas quais tudo pode ser
calculado explicitamente com diagramas pequenos - que mostram todos os
conceitos principais do modo menos abstrato possível... e o processo -
que praticamente ninguém estuda formalmente 8-( - de a partir dos
casos arquetipais reconstruir os teoremas gerais, seus enunciados e
suas demonstrações... Então essa idéia de um minicurso pra matemáticos
e pessoas de computação que não sabem nada de Categorias pra mim é
ideal! Em princípio o meu objetivo nesse minicurso seria tornar boa
parte do livro do Awodey acessível... E depois que a gente consegue
entender pedaços do Awodey a gente começa a conseguir entender o livro
do MacLane!... Bom, vou começar a preparar uma página com um resumo do
minicurso, tópicos, que exemplos podem ser abordados em detalhes,
links, etc...

Só preciso confirmar uma coisa: o curso de verão não vai ser na
primeira quinzena de janeiro não, né? Porque nesse período eu devo
viajar com a minha namorada...

  Abraços, desculpe a resposta meio caótica, =)
    Eduardo Ochs
    eduardoochs@gmal.com
    http://angg.twu.net/
Que bom Eduardo!

Hugo e Eduardo, estou solicitando dividir o
minicurso **Teoria das Categorias** em dois
módulos (com inscrições independentes):

1- Introdução à Teorias da Categorias e principais teoremas
   Eduardo Nahum Ochs PURO-UFF

2- Aplicações da Teoria das Categorias e feixes
   Hugo Luiz Mariano MAT/IME-USP

10h cada, seg-sex, acho que 16h-18h (para minimizar
choque com outras palestras).

A princípio, nas semanas, 1o. módulo 23/01-27/01 e
2o. módulo 30/01-03/02.  Mas verei se não é melhor
dar um delay de 2 semanas, ficando, 1o. módulo
06/02-10/02 e 2o. módulo 13/02-17/02.

O que acham?????

Alguma sugestão para títulos mais chamativos?

Vcs poderiam preparar uma pequena ementa em
comum acordo de modo a serem complementares?
Hugo, vc vai precisar gastar algo como 1hora redando
as principais definições, pois os módulos são
independentes.  Poderiam preparar um pequeno
resumo também?

E vão preparando o material!!!!!!!

Talvez vcs pudessem ficar um pouco mais para
trabalharmos juntos.

O que acham??

Abraços, Claus
Oi Claus e Hugo,
desculpem a demora, eu estava tentando escrever algo detalhado...
Estou levando a sério a idéia de que o público não sabe nada de
categorias, e pensei em algo que permita que as pessoas entendam
bastante na hora e que os slides depois ajudem elas a decifrarem os
textos "sérios"... Aqui vai o programa (primeiríssima versão):

(1) Categorias como "estrutura" (objetos, Hom, identidade, composição)
    e "propriedades" (a composição é associativa, identidades se
    comportam como deveriam). Comparação com grupos, anéis, etc;
    "dependent types".

(2) Nossas categorias preferidas: Set, categorias finitas dadas
    explicitamente, posets, categorias de grupos, anéis, espaços
    topológicos, categorias de subobjetos.

(3) Funtores e transformações naturais. Diagramas e condições de
    coerência. Introdução ao lambda-cálculo tipado (em Set). Notação
    lambda para morfismos. Beta-redução (para composição). Produtos de
    objetos. Produtos como "estrutura" + "propriedades". Prova de que
    dois produtos P e P' são isomorfos. Como deixar em segundo plano a
    prova de que as compostas P->P'->P e P'->P->P' são identidades.
    Como isolar as "construções". Análise de provas do MacLane, do
    Awodey e do Beck.

(4) Categorias cartesianas. A linguagem interna de uma categoria
    cartesiana: uplas e projeções. Tradução entre linguagem interna e
    linguagem categórica.

(5) Uma categoria cartesiana abstrata: a CC livre gerada pelos objetos
    A_1,...,A_n. A definição formal (categórica) de "livre".

(6) Os funtores (×B) e (B->) em Set. A adjunção (×B)-|(B->). Adjunções
    como "estrutura" e "propriedades". Proto-adjunções (só a parte
    "estrutura" das adjunções). Unidades e counidades. O teorema sobre
    vários modos equivalentes de especificar uma adjunção. Categorias
    cartesianas fechadas ("CCC"s). A linguagem interna de uma CCC.
    Tradução entre linguagem interna e linguagem categórica. Em que
    sentido esta tradução é "fiel".

(7) Adjunções em posets. Como calcular "P->Q" num certo poset. Posets
    como espaços de valores de verdade. Cálculo proposicional num
    poset. Como calcular a "coimplicação" neste poset. A relação entre
    adjunções e produtos.

(8) A tradução entre cálculo de seqüentes, dedução natural e operações
    numa CCC. Uma tradução correspondente para lambda-cálculo.
    Curry-Howard. Reduções em demonstrações em dedução natural.

(9) Outros posets nos quais podemos fazer cálculo proposicional
    (intuicionista). Categorias de funtores. Categorias da forma 2^D,
    onde D é um poset finito "plano". Representação gráfica explícita
    dos objetos destas categorias. Valores de verdade como subobjetos.
    Lógica modal (S4) nestas categorias. "Necessário" como "interior".
    Cálculo proposicional num espaço topológico qualquer.

(10) Introdução à noção de "feixe": coberturas, colagens, duas noções
    de saturação. Categorias da forma Set^D ("prefeixes"). Exemplos de
    prefeixes que são e que não são feixes.

(11) O classificador de subobjetos em categorias da forma Set^D.
    Introdução à linguagem interna de um topos.

(12) O lema de Yoneda (versão "proto"). Funtores representáveis.

(13) Mônadas e álgebras. As categorias de Kleisli e Eilenberg-Moore de
    uma mônada. O teorema da comparação (versão "proto").

(14) Mônadas em linguagens funcionais.

(15) Morfismos geométricos num caso particular. Feixificação num caso
    particular.

  [[]]s,
    Eduardo Ochs
    eduardoochs@gmail.com
    http://angg.twu.net/
--> Título do Minicurso:
    Teoria das Categorias e Feixes

--> 1o. módulo:
    Introdução a Categorias, Toposes e Feixes - via diagramas e
    exemplos arquetipais (finitos)

Ementa do meu módulo (versão menor, work in progress):

1) Introdução a Categorias; a separação entre "estrutura" e
   "propriedades" e entre "construções" e "equações"; exemplos
   arquetipais; funtores, transformações naturais, adjunções, CCCs;
   lambda-cálculo tipado.

2) Linguagens internas em vários casos; cálculo proposicional em
   posets finitos "planos" e em espaços topológicos; S4.

3) Feixes em posets finitos. Introdução ao Lema de Yoneda. O
   classificador de subobjetos; toposes arquetipais e sua linguagem
   interna.

4) Mônadas e álgebras. O teorema da comparação. Mônadas e linguagens
   funcionais. Introdução a morfismos geométricos e feixificação.

Ementa do módulo do Hugo:

--> 2o. módulo:
    Categorias, Feixes, Toposes e Aplicações à Matemática

1) Feixes:
   - Equivalência entre as definições de Feixe "geométrico" e Feixe
     "funtorial"
   - Topologias de Grothendieck, Teorema de Giraud, a noção de Topos
     elementar

2) Aplicações:
   - Representação de anéis por Feixes
   - Noções sobre modelos da geometria sintética
Introdução a Categorias, Toposes e Feixes - via diagramas e exemplos
  arquetipais (finitos)
  Eduardo Nahum Ochs - LLaRC, PURO/UFF

Categorias, funtores e adjunções como "estrutura" e "propriedades";
demonstrações categóricas como "construções" e "equações"; construções
como diagramas e lambda-termos; como ler o Awodey e o MacLane.
Lambda-cálculo tipado e a sua interpretação categórica ("sem pontos");
o isomorfismo de Curry-Howard; mônadas em linguagens funcionais;
feixes sobre um espaço topológico finito (com três pontos); prefeixes
e toposes.
A bibliografia básica da minha parte é:

  (1) Category Theory. Stephen Awodey, Oxford University Press, 2006.

  (2) Categories for the Working Mathematician. Saunders MacLane,
      Springer, 1971.

  (3) Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Jim Lambek and
      Phil Scott, Cambridge, 1986.

  (4) Monads for functional programming. Phil Wadler, 1995. Disponível
      em <http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/topics/monads.html>.

  (5) Comprehending Monads. Phil Wadler, 1992. Disponível em
      em <http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/topics/monads.html>.