Plano de aulas / resumo do que já aconteceu:
1ª aula (29/mar): [ainda não transcrevi as notas]
2ª aula (05/abr): [ainda não transcrevi as notas]
?ª aula (12/abr):
Não teve (tive uma audiência de um processo trabalhista no Rio)
3ª aula (19/abr):
Exercícios do fim da aula passada:
calculem a média e a variânca das distribuições G e H, que têm
estes histogramas:
D F H
G = B A C E G I J
----------------------
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D J
B F I
H = A C E G H
----------------------
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fórmulas:
_ N A_i N
A = Σ --- = ( Σ A_i ) / N
i=1 N i=1
_ 2
N (A_i - A) N
Var(A) = Σ --------- = ( Σ A_i ) / N
i=1 N - 1 i=1
Obs: não tentem calcular (a+b)^2 fazendo a^2+b^2,
nem (a-b)^2 fazendo a^2-b^2!...
Em geral (a+b)^2 != a^2+b^2
e (a-b)^2 != a^2-b^2 ...
_
Truque: como cada termo de um somatório como Σ A_i ou Σ (A_i - A)^2
corresponde a um quadradinho podemos pôr o resultado do termo dentro
do quadradinho...
Calculamos a média e a variância das distribuições G e H via diagramas:
+-+-+-+
|3|4|5|
+-+-+-+-+-+-+-+
G = |1|2|3|4|5|6|7|
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
+-+-+-+
|1|0|1|
+-+-+-+-+-+-+-+
G = |9|4|1|0|1|4|9|
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D J
B F I
H = A C E G H
----------------------
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Exercícios: calcule a média e a variância de:
5 5 5 6 7 7 7,
4 4 4 6 8 8 8,
3 4 5 6 7 8 9.
Probabilidade (trailer da próxima aula):
Até agora vimos eventos "reais" - fingi que alunos tinham
feito uma prova, tirado certas notas, etc...
Agora vamos ver eventos "ideais" (imaginários).
Vamos começar pensando em termos de jogadas de dados.
Vamos fazer uma tabela com todos os resultados possíveis -
e cada linha da tabela vai ter a mesma "probabilidade de
acontecer".
Exemplo:
Dado de verdade: Dado ideal:
i A_i (resultado) i B_i
------ ---------
1 5 <-- o 5 apareceu 1 1
2 4 / duas vezes! 2 2
3 1 | 3 3
4 5 <-/ 4 4
5 6 5 5
6 2 6 6
Avisei que vamos começar trabalhando com uma tabela de 36
linhas, com os resultados possíveis quando jogamos dois dados -
e mostrei uma representação gráfica (bidimensional) dos
quadradinhos dela.
Aula que vem: probablilidade, eventos, probabilidade condicional!
4ª aula (26/abr): Hoje: probablilidade condicional.
Estamos usando este livro:
Arminda Siqueira, Jacqueline Tibúrcio,
"Estatística na Área da Saúde"
Probabilidade condicional aparece na p.145.
Probabilidade
=============
A notação: Pr(A|B)
quer dizer: "a probabilidade de A acontecer dado que B já ocorreu"
Vamos voltar ao exemplo dos dois dados, do fim da aula passada.
Vamos usar "X" pro resultado do primeiro dado,
"Y" pro resultado do segundo,
"S" pra soma dos dois (S_i = X_i+Y_i).
Tabela:
i X_i Y_i S_i
-----------------
1 1 1 2
2 2 1 3
3 3 1 4
4 4 1 5
5 5 1 6
6 6 1 7
7 1 2 3
8 2 2 4
9 3 2 5
10 4 2 6
11 5 2 7
12 6 2 8
13 1 3 4
(...)
36 6 6 12
Um diagrama pro valor do S:
+---+---+---+---+---+---+
Y=6| 7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=5| 6 | 7 | 8 | 9 |10 |11 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=4| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=3| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=2| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=1| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
+---+---+---+---+---+---+
X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X=6
Eventos
=======
Exemplo: S>=8 (ou: S_i>=8)
Qual é a probabilidade de S>=8 acontecer?
Podemos marcar as linhas da tabela nas quais S>=8 é verdade e
dividir pelo total de linhas.
Melhor: vamos marcar os quadrados nos quais S>=8, já que cada
quadrado corresponde a uma linha...
Truque: 1 vai querer dizer "verdadeiro",
0 vai querer dizer "falso".
Um diagrama pro "valor" do S>=8
(lembre que (S>=8) = 1 quando S>=8 é verdadeiro,
(S>=8) = 0 quando S>=8 é falso):
+---+---+---+---+---+---+
Y=6| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=5| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=4| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=3| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=2| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=1| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
+---+---+---+---+---+---+
X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X=6
Daí: S_i>=8 é verdadeiro em 15 quadradinhos (15 linhas da tabela)
e portanto:
P(S>=8) = 15/36
= 0.416666...
= 41.6666... / 100
= 41.6666 %.
Outro evento:
X_i<=3
Exercício: represente-o num diagrama similar ao anterior usando "0"s
e "1"s, e calcule P(X<=3).
+---+---+---+---+---+---+
Y=6| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=5| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=4| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=3| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=2| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=1| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
+---+---+---+---+---+---+
X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X=6
Probabilidade condicional
=========================
Fórmula do livro (p.145):
Pr(A∩B) (A e B não são variáveis -
Pr(A|B) = ------- são "eventos"!)
Pr(B)
Vamos tentar interpretar:
Pr(X<=3 ∩ S>=8)
Pr(X<=3 | S>=8) = ---------------
Pr(S>=8)
Porque o livro usa o sinal de interseção?
Ele interpreta _eventos_ como _conjuntos_.
Lembrando o que são interseção e união:
{1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}
{1,2,3} ∪ {2,3,4} = {1,2,3,4}
Um _evento_ é um subconjunto do nosso _espaço amostral_...
O modo mais fácil de entender isto é pensar que o nosso
espaço amostral é um conjunto de linhas de uma tabela,
e eventos são subcnjuntos disto - isto é, só algumas linhas.
Truque: quando numeramos as linhas da tabela (e portanto os alunos,
os resultados dos dois dados...) podemos pensar no espaço amostral
como um conjunto de números.
Vamos representar dentro de cada quadradinho o "i" correspondente.
+---+---+---+---+---+---+
Y=6|31 |32 |33 |34 |35 |36 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=5|25 |26 |27 |28 |29 |30 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=4|19 |20 |21 |22 |23 |24 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=3|13 |14 |15 |16 |17 |18 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=2| 7 | 8 | 9 |10 |11 |12 |
+---+---+---+---+---+---+
Y=1| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
+---+---+---+---+---+---+
X=1 X=2 X=3 X=4 X=5 X=6
Espaço amostral todo:
E = {1,2,3,...,36}
Eventos (como conjuntos):
(S>=8) = {12,17,18,22,23,24,27,28,29,30,32,33,34,35,36}
(X<=3) = {1,2,3,7,8,9,13,14,15,19,20,21,25,26,27,31,32,33}
(X<=3)∩(S>=8) = {27,32,33}
Daí:
Pr(X<=3 ∩ S>=8) = 3/36
= 0.083333...
e:
Pr(X<=3 ∩ S>=8) 0.083333...
Pr(X<=3 | S>=8) = --------------- = ----------- = 0.2 = 20%
Pr(S>=8) 0.416666...
5ª aula (02/mai):
Na aula passada vimos probabilidade condicional...
Pr(A|B) é a probabilidade do _evento_ A acontecer dado que que o
evento B já aconteceu. Vimos que pra entender isto precisávamos
fazer outras distribuições (tabelas), restringindo as linhas da
tabela original, ou, equivalentemente, o espaço amostral... Agora
vamos usar uma idéia parecida (com uma notação diferente da do
livro).
Lembre que estamos trabalhando com uma tabela de 36 linhas (a dos
resultados possível em dois dados), e variáveis X, Y e S=X+Y.
A partir de agora toda vez que escrevermos uma variável - como X e Y
- vamos prestar atenção ao espaço amostral no qual ela está
definida.
Podemos construir novas variáveis restringindo o espaço amostral -
e para cada variável nova destas podemos calcular a sua média,
variância, etc, e comparar estes valores com os das variaveis
originais.
Exemplos: Y|X=2 "Y quando X=2",
Y|X>=3 "Y quando X>=3",
X|S>=8 "X quando X>=8"
Aí vimos como representar estas variáveis em diagramas parecidos com
os anteriores; às vezes usávamos "." pra indicar onde elas não
estavam definidas, às vezes não usávamos nada.
+-------------+ +-------------+ +------------------+
X=| 1 2 3 4 5 6 | Y=| 6 6 6 6 6 6 | S=| 7 8 9 10 11 12 |
| 1 2 3 4 5 6 | | 5 5 5 5 5 5 | | 6 7 8 9 10 11 |
| 1 2 3 4 5 6 | | 4 4 4 4 4 4 | | 5 6 7 8 9 10 |
| 1 2 3 4 5 6 | | 3 3 3 3 3 3 | | 4 5 6 7 8 9 |
| 1 2 3 4 5 6 | | 2 2 2 2 2 2 | | 3 4 5 6 7 8 |
| 1 2 3 4 5 6 | | 1 1 1 1 1 1 | | 2 3 4 5 6 7 |
+-------------+ +-------------+ +------------------+
+-------------+ +-------------+
(X=2)=| 0 1 0 0 0 0 | (Y|X=2)=| . 6 . . . . |
| 0 1 0 0 0 0 | | . 5 . . . . |
| 0 1 0 0 0 0 | | . 4 . . . . |
| 0 1 0 0 0 0 | | . 3 . . . . |
| 0 1 0 0 0 0 | | . 2 . . . . |
| 0 1 0 0 0 0 | | . 1 . . . . |
+-------------+ +-------------+
+-------------+ +-------------+
(X>=3)=| 0 1 0 0 0 0 | (Y|X>=3)=| 6 6 6 6 |
| 0 1 0 0 0 0 | | 5 5 5 5 |
| 0 1 0 0 0 0 | | 4 4 4 4 |
| 0 1 0 0 0 0 | | 3 3 3 3 |
| 0 1 0 0 0 0 | | 2 2 2 2 |
| 0 1 0 0 0 0 | | 1 1 1 1 |
+-------------+ +-------------+
+-------------+ +-------------+
(S>=8)=| 0 1 1 1 1 1 | (X|S>=3)=| 2 3 4 5 6 |
| 0 0 1 1 1 1 | | 3 4 5 6 |
| 0 0 0 1 1 1 | | 4 5 6 |
| 0 0 0 0 1 1 | | 5 6 |
| 0 0 0 0 0 1 | | 6 |
| 0 0 0 0 0 0 | | |
+-------------+ +-------------+
Pra calcular a média do (Y|X=2), fazemos:
_______ N 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
(Y|X=2) = Σ Y = --------------------- = 3.5
j=1 j 6
E o histograma do (X|S>=3) é:
._.
._|_|
._|_|_|
._|_|_|_|
._|_|_|_|_|
._|_|_|_|_|_|
1 2 3 4 5 6
Pedi pros alunos criarem uma tabela correspondente ao diagrama pro
(X|S>=3) - com uma linha pra cada "indivíduo" que aparece no
diagrama - mas quase todo mundo teve bastante dificuldade com isto.
Propus que a gente imaginasse um diagrama bem maior, no qual em cada
quadradinho a gente põe todas as informações que a gente sabe sobre
o indivíduo correspondente àquele quadradinho. Nos histogramas de
alunos e suas notas nas provas a gente poria o nome de cada aluno
(Ana, Beatriz, Carlos, ...), o seu "i" (que diz em que linha da
tabela ele aparece), a sua nota nas duas provas e a sua média; agora
em cada quadradinho a gente vai pôr i, X, Y, S>=8, X|S>=8 - sendo
que X|S>=8 às vezes não está definido, e a gente deixa em branco.
Algumas fórmulas - como a da média do X|S>=8 - ficam mais fáceis se
a gente cria um segundo índice, j, que está definido exatamente nos
quadradinhos nos quais S>=8 é verdade. Usamos estes "j"s,
+------------------+
j=| 1 2 3 4 5 |
| 6 7 8 9 |
| 10 11 12 |
| 13 14 |
| 15 |
| |
+------------------+
e criamos uma tabelona com colunas i, j, X_i, Y_i, (S>=8)_i,
(X|S>=8)_j.
6ª aula (09/mai):
7ª aula (16/mai):
(...)
8ª aula (?) (27/set):
Hoje: boxplots (p.97) e alguns modos de resumir distribuições em 2
variáveis (p.103)...
Precisamos lembrar de como calcular _percentis_.
Exemplo:
+---+ +---+
| J | | Q |
+---+ +---+---+
| I | | P | T |
+---+ +---+---+ +---+---+---+
| C | | F | H | | M | O | S |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| A | B | D | E | G | K | L | N | R | U |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Digamos que o histograma acima represente as notas de 21 alunos.
A _mediana_ de uma distribuição é um valor tal que pelo menos 50%
das "observações" ficam abaixo dela e pelo menos 50% ficam acima
(p.81). _Quartis_ são parecidos (p.91), e _percentis_ idem.
Note que em geral calculamos a mediana e os quartis de uma
distribuição de notas de alunos fazendo uma lista dos alunos,
ordenados por nota, divididindo esta lista em quatro partes
iguais (cada uma com 5.25 alunos!),
+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+
| A| B| C| D| E| F| G| H| I| J| K| L| M| N| O| P| Q| R| S| T| U|
| 1| 2| 2| 3| 4| 4| 5| 5| 5| 5| 6| 7| 7| 8| 8| 8| 8| 9| 9| 9|10|
+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+
^ /\ ^
Q1 Q2 Q3
e aí vendo quais são as notas dos alunos nestas divisões - neste
caso Q1=4, Q2=6 (obs: Q2 é a mediana), e Q3=8... Quando as divisões
caem entre dois alunos (pense no que aconteceria se tivéssemos 10
alunos, ou 8), pegamos a média dos alunos dos dois lados da divisão.
Exercício: desenhe o boxplot (p.97) para a distribuição acima
(desenhe-o sob o histograma).
9ª aula (?) (04/out):
Num gráfico com este aqui temos 10 "observações" (10 pessoas),
Y
^
6 + * *
|
5 + * *
|
4 + * *
|
3 + * *
|
2 + *
|
1 + *
|
0 +---+---+---+---+---+---+--> X
0 1 2 3 4 5 6
e podemos pensar que este gráfico representa uma tabela...
Só que uma tabela tem informações a mais! Em sala nós anotamos do
lado de cada um desses pontos um nome de uma pessoa - pra ficar mais
fácil entender cada ponto como uma pessoa - e um índice, i, que
dizia em que linha essa pessoa aparecia na tabela... e fizemos uma
tabela com todas estas informações; cada ponto tinha quatro
informações - nome, i, X e Y - e no gráfico só aparecem o X e Y.
Lembre que um muitas fórmulas que já vimos, por exemplo, a da média,
_ 1 N
X = --- Σ X
N i=1 i
o índice - no caso, "i" - aparece explicitamente.
A distribuição acima - vamos chamá-la de distribuição A - é uma
distribuição _em várias variáveis_. Quando escrevemos X(A) estamos
falando de uma distribuição em _uma variável_, com o mesmo número de
observações que a distribuição A (isto é, 10 pessoas); a gente obtém
a distribuição X(A) a partir da distribuição A ficando só com a
informação do X de cada pessoa, e descartando o resto. Dá pra fazer
um histograma pro X(A), e obtemos isto:
+---+
| |
+---+---+
| | |
+---+---+---+
| | | |
+---+---+---+ +---+
| | | | | |
+---+---+---+---+---+---+---+
0 1 2 3 4 5 6
Pra calcularmos a mediana e os quartis de X(A), isto é, Q2(X(A)),
Q1(X(A)) e Q3(X(A)), é melhor fazermos uma outra tabela, na qual as
pessoas aparecem ordenadas pelo seu "X" (do mesmo modo que ordenamos
os alunos por nota na aula anterior) - e pra isto é melhor
inventarmos um outro índice... podemos chamá-lo de "j".
...Aí a gente acrescentou mais uma informação pra cada um dos pontos
do gráfico do início da aula: um índice "j" pra cada pessoa - e numa
tabela indexada pelo j temos:
j X(A)_j
----------
1 | 1
2 | 1
3 | 1
4 | 2
5 | 2
6 | 2
7 | 2
8 | 3
9 | 3
10 | 6
Então: agora a gente já sabe inventar índices novos, e também dá pra
inventar um outro índice, k, pros "Y"s ficarem em ordem e a gente
poder calcular os quartis da distribuição em uma variável Y(A) -
Q1(Y(A)), Q2(Y(A)), Q3(Y(A)).
Agora a idéia mais importante. Dá pra gente criar novas
distribuições a partir da distribuição A fazendo _restrições_. A
notação é com uma barra vertical, que vamos pronunciar como "tal
que". A distribuição A|X<=2 só tem 7 observações - só os pontos cujo
valor de "X" é menor ou igual a 2 - e a distribuição A|X>=3 só tem 3
observações, os pontos cujo valor de "X" é maior ou igual a 3.
Dá pra calcular a média e os quartis destas distribuiçÕes:
_________
Y(A|X<=2), Q1(Y(A|X<=2)), Q2(Y(A|X<=2)), Q3(Y(A|X<=2)),
_________
Y(A|X>=3), Q1(Y(A|X>=3)), Q2(Y(A|X>=3)), Q3(Y(A|X>=3)),
Existem várias convenções para boxplots, e vamos usar -
temporariamente - uma diferente da do livro. Na nossa vamos
representar o valor mínimo, o Q1, a média (não a mediana!), o Q3 e o
valor máximo, e o desenho vai ser assim, com "[---", no mínimo,
depois um retângulo com parede esquerda no Q1, uma linha pontilhada
na média e parede direita no Q2, depois um "---]" até o valor
máximo:
_ _____________ _
|______| : |________|
|_ |________:____| _|
min Q1 media Q3 max
Podemos desenhar estes boxplots sobre o gráfico da distribuição A, e
aí vamos ter algo como a figura da direita abaixo (obs: as alturas
estão erradas, isso é só pra dar uma noção de como podemos ter
vários boxplots verticais num gráfico só, um pra cada região do X):
Y Y
^ ^ ___ ___________
6 + * * 6 + | | | | | |
| | _|_ _____|_____
5 + * * 5 + | | |...........|
| | |...| |___________|
4 + * * 4 + | | |
| | | | |_____|_____|
3 + * * 3 + | |
| | |___|
2 + * 2 + |
| | |
1 + * 1 + |_|_|
| |
0 +---+---+---+---+---+---+--> X 0 +---+---+---+---+---+---+--> X
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
Exemplos da Wikipedia:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Sstcurve.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Sstpoint.jpg
10ª aula (?) (11/out): P1.
Uma questão MUITO importante da prova vai ser sobre traçar boxplots
para distribuições em duas variáveis. Outra vai ser sobre notação -
você vai ter que interpretar uma fórmula envolvendo um "Σ". Não
posso dar mais dicas além destas. =)
11ª aula (?) (18/out):
Revimos probabilidade condicional - a matéria da P2 vai ser a da P1
e mais probabilidade condicional. Fotos do quadro:
http://anggtwu.net/BE/2012-10-18_BE1.jpg
http://anggtwu.net/BE/2012-10-18_BE2.jpg
http://anggtwu.net/BE/2012-10-18_BE3.jpg
Depois eu limpo as anotaçÕes e passo pra cá numa forma em que dê pra
imprimí-las!
12ª aula (?) (25/out): P2.
13ª aula (?) (01/nov): VR e VS.
|
