Integral definida como área; cálculo de integrais definidas de funções como 1, x, x^2, x^2+1.

Aula cancelada (por causa de um concurso).

Definição de primitiva, 1º TFC (sem nome por enquanto), primitivas para algumas funções simples (polinõmios, sen, cos, e^x, etc). Relação entre integral definida, área sob uma curva num intervalo e área absoluta entre uma curva e um intervalo.

Algumas propriedades da integral e algumas regras mais óbvias de integração; interpretação geométrica das propriedades.

Feriado.

Mudança de variável na integral, nos casos x=kt e x=t+k. Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo (uma "prova" gráfica). Exercícios pra casa: com f(x)=x, a=1, F(b) = \int_a^b f(x) dx, calcule e represente graficamente 100*(F(2+1/100)-F(2)) e 1000*(F(2+1/1000)-F(2)).

Enunciado formal dos dois TFCs; mudança de variável na integral no caso geral.

Passei mal na noite anterior, cheguei muito atrasado e não dei aula. Vou repor depois. Obs: ainda estou devendo figuras feitas no computador para os problemas da Aula 6 e uma lista de exercícios.

Mais sobre mudança de variáveis. Exemplo principal: integrais de potências de senos e cossenos.

Aula em cima do problema 1 da lista de exercícios, sobre a integral de uma função descontínua definida por casos (eu entreguei uma versão preliminar da lista hoje, vou completar depois)

Revisão, em cima de problemas da 1ª lista (PDF, LaTeX)

P1 (PDF, LaTeX)

Discussão das questões da prova.

Integração por partes, introdução a frações parciais.

Feriado.

Idéia central de aula: a "melhor solução" para certos problemas de integração - por exemplo, ∫ x^3 e^x dx - não é a resposta final, que é enorme, e sim uma lista das expansões que devem ser feitas para se chegar ao resultado final. (Preciso escrever mais sobre isto depois. Mencionar: "boa primitiva", trecho do Scheinerman)

Semana acadêmica.

Semana acadêmica.

Feriado.

Final de frações parciais. Início de substituição trigonométrica.

Feriado.

Substituição trigonométrica (até completamento de quadrados). Estou devendo um resumo com os "bloquinhos" para substituição trigonométrica e exercícios.

Folha: "Um modo de estruturar respostas para alguns problemas de Cálculo II (integração por partes, substituição trigonométrica)".

Folha com exercícios pra nota, valendo 1.0+1.0 pontos: "Exercícios de Integral de Riemann".

Vimos como calcular aproximações para o comprimento de uma "curva poligonal" usando somatórios, vimos em que sentido essas aproximações tendem ao comprimento exato, e vimos como expressar a solução exata como uma integral.
Exercício pra casa, pra nota: começamos com uma curva f(x) definida no intervalo [a,b], e consideramos a região entre ela e o eixo horizontal; agora rodamos essa região em torno do eixo horizontal. Pedi pros alunos encontrarem aproximações por somatórios para o volume desse sólido de revolução e daí chegarem à integral que dá o volume exato do sólido.

Introdução a equações diferenciais - exemplos de EDs, como testar se uma função é solução de uma ED; famílias de soluções, como encontrar a solução que obedece uma condição como y(a)=b.

Algumas EDOs lineares com coeficientes constantes e suas interpretações físicas (mas isso nós vimos meio correndo, e vamos voltar depois).
Como resolver EDOs lineares com coeficientes constantes; truque de ver o D como matriz e a função f como vetor; soluções da forma e^ax e xe^ax; combinações lineares de soluções.
As soluções da EDO y''+y=0 são a sen x + b cos x; como unificar isso com a idéia anterior? O polinômio x^2+x=0 tem raízes i e -i; como interpretar e^{ix} e e^{-ix}? Série de Taylor para polinômios, exp, sen e cos.

A aula foi toda em cima de EDOs lineares com coefs constantes reais cujas soluções óbvias são complexas, e como combinar estas soluções para obter soluções reais.
Ainda estou devendo os três modos de ver funções como vetores infinitos (série de Taylor, sampling, C^\infty).

P2

VR

VS