Plano de aulas / resumo do que já aconteceu:
1ª aula (07/mar): [ainda nao passei a limpo]
Avisos: As aulas sao de **11:20** as 13:00.
Vamos usar principalmente o livro do CEDERJ.
A página do curso pode ser acessada a partir de http://angg.twu.net/
(cilque em GA na barra de navegacao - mas a pagina deste semestre
ainda nao foi criada)
Vamos usar um bocado de material extra - principalmente os scans das
folhas manuscritas dos outros semestres, a folha de regras sobre como
escrever respostas aceitáveis, as listas do Reginaldo e mais uns etcs
e umas surpresas.
Temos dois tipos muito importantes de notações para criar conjuntos
formalmente:
{x∈{2,3,4,5} | x>=4} = {4, 5}
\--------/ \--/
"gerador" "filtro"
{x^2 | x∈{-1,0,1,2}} = {1,0,1,4}
\-/ \----------/
expr gerador
Obs: o livro do CEDERJ usa estas notacoes pouco...
Nos vamos usar elas MUITO.
Dá pra interpretá-las como "for"s:
a primeira corresponde a:
for x ∈ {2,3,4,5} do <-- gerador
if x >= 4 then <-- filtro
print(x)
end
end
e a segunda a:
for x ∈ {-1,0,1,2} do <-- gerador
print(x^2) <-- expr
end
Note que notações "explícitas" como {(1,1), (1,2), (2,3)} só
conseguem definir precisamente conjuntos _finitos_, e notações como
{2,3,..., 10} são _imprecisas_ e só vão ser aceitáveis em alguns
casos - em esboços, em situações nas quais já definimos como
interpretar "..."s, e em situações em que o contexto deixa o
significado claro).
Obs: no semestre passado a Gabriela Ávila, monitora de MD, comecou
a fazer um programa que entendia estas expressões e calculava seus
resultados... mas neste semestre não tem monitor de MD e o monitor
de GA vai ser o mesmo que o de Álgebra Linear, e a gente transformou
o projeto da Gabriela num projeto aberto.
[*cav*] A prática com expressões da forma {...|...} e' MUITO
importante!
Dica: toda vez que vocês virem uma figura em R^2 pensem se vocês
conseguem descrevê-la formalmente (i.e., usando "{...|...}"s).
Exercícios:
A = {x∈{1,2,3} | (x,x)}
Obs: (2,3) é um _par ordenado_ (que corresponde a um array de
comprimento 2).
[*cav*] em alguns contextos (2,3) é um _inervalo aberto_.
Calculem A - ou seja, escreva-o "explicitamente", isto é, como uma
lista finita de pontos dentre de "{...}"s pra indicar conjunto - e
representem A graficamente.
Obs: quando temos um par ordenado, p.ex.,
P = (3,4),
costumamos chamar a 1ª componente dele de o "x" do par e a segunda
de o "y" do par... mas não podemos confundir isto com os valores das
variaveis x e y no "contexto"...
Em linguagens como C ou pascal podemos dizer: a=22; a=33; e o valor
da variável MUDA.
Em matematiquês formal os valores das variaveis NÃO MUDAM!
Na versao atual da calculadores da Gabriela a gente pode definir
valores pra variáveis, mas (e isto é um feature, não um bug!) quando
a gente redefine variaveis o programa da' erro.
Exemplo:
[aqui o contexto e' ""]
x=2
[aqui o contexto e' "x=2"]
y=3
[aqui o contexto e' "x=2 y=3"]
y=4
[isto dá erro! se y=3 nao podemos ter y=4 ao mesmo tempo!]
Em matematiquês formal "x=2" quer dizer "x=2 é verdade", não "a
partir de agora x passa a valer 2".
Em geometria - p.ex. em Euclides - tudo é feito em termos de
"suponha que" e "portanto". Então algo como o "x=2, y=3, y=4" acima
poderia aparecer como:
1) suponha que x=2
2) suponha que y=3
3) portanto y-x=1 (por (1) e (2))
4) suponha que y=4
5) portanto 3=4 (por (2) e (4))
6) portanto 3-3=4-3 (por (5) e a=b -> a-3=b-3)
7) portanto 0=1.
Exercício: sejam
B = {(t,t^2) | t∈{-2,-1,0,1,2}}
C = {(t^2,t) | t∈{-2,-1,0,1,2}}
D = {(t,t^2+1) | t∈{-2,-1,0,1,2}}
Represente B, C e D graficamente. Idem para:
B' = {(t,t^2) | t∈{-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2}}
B'' = {(t,t^2) | t∈R}
Conjuntos podem ser infinitos - e matematiquês formal é uma
linguagem com objetos infinitos. Problema: hoje em dia pensamos mais
"computacionalmente" e não estamos mais acostumados com coisas
infinitas! :-( Como representar conjuntos por objetos finitos? Uma
resposta: cada conjunto E passa a ser uma função que responde "sim"
ou "não" pra perguntas do tipo "x∈E"... por exemplo, se A={(1,1),
(2,2), (3,3)} então
(1,1)∈A -> V
(2,0)∈A -> F
3∈A -> F (ou dá um erro de tipo)
Numa implementação disto numa linguagem de programação a sintaxe
pode mudar bastante:
> print(A(1, 1))
true
> print(A(2, 0))
false
> print(A(3))
false
[***ainda nao passei o resto a limpo ***]
Como representar A graficamente? (pontos separados / ligados)
Diagmos que A' = ligado.
Aviso: Da mesma forma que voces vao ter que aprender a calcular coisas
como (1.5, 1.5) in A (a resposta é nao) e voces vao ter que aprender a
calcular coisas como (1.5, 1.5) in A' onde A' e' definido
graficamente.
Obs (caveirao): em matematiues formal nos dizemso que dois conjuntos
sao o meso quando elest em os mesmos elementos, ou seja, quando eles
respondem "sim" e :"nao" exatamente da mesma maneira para cada
pergunta de "pertnece".
Conseuqencias disto:
pra mostrar que A neq A' basta encontrar um parametro para o qual um
responde sim e o outro reposnde nao (exemplo)
pode ser bem dificl mostrar que dois conjuntos sao iguais
conjuntos que correspondem a "programas diferentes" podem ser iguais.
Exemplo (em R): 2^99 e 2^100-2^99
2ª aula (09/mar): [***ainda nao passei a limpo***]
Avisos: 1) a pagina do curso ainda não está pronta, 2) a calculadora
da Gabriela está, e vou fazer uma apresnetação sobre ela pra 2 ou 3
interessados na 5a às 14:00hs.
Hoje: vamos começar a ver retas. No livro (do CEDERJ) retas podem
aparecer como: y=2x+1
pra gente isto vai ser uma _equação_, e uma reta vai ser um _conjunto
de pontos_. Exemplo: r={(x,y) in R^2 | y=2x+1}
isto é uma reta, e agora faz sentido fazer perguntas como: (2,3) in R?
_Como representar graficamente retas_?
Exemplo: r={(x,y) in R^2 | y=2x+1}
ger fi
Vamos comecar com:
R = {(x,y)in{-3,-2,...,2,3}^2 | y=2x+1}
Nos sabemos calcular o conjunto R explicitamente, de várias formas -
umas "burras", correspondentes a programas bem simples, outras "mais
espertas", correspondentes a programas otimizados...
Seja A={-3, ..., 3}
Entao A^2 = A×A (o prod cart de dois conjuntos - no caso, iguais)
Lembrem que A×B = {(a,b) | a in A, b in B}
expr ger ger
Como "implementar" o A×A?
Ideia: AxA = {(a,a) | a in A, a in A}
for (a=-3; a<=3; ++a)
for (a=-3; a<=3; ++a)
printf("(%d,%d)\n", a, a);
Vai dar errado (tentem em casa).
Ideia: AxA = {(a,a') | a in A, a' in A}
A gente sabe representar graficamente AxA.
Voltando: R={(x,y)in AxA | y=2x+1}
ger 49 filtro
A representacao grafica de R vai ser: _alguns dos pontos de AxA_.
[tentem fazer isto agora - desenhao - jargao: "sabemos o valor de"]
desenhos
Porque estamos fazendo isto? Porque r é uma "aproximacao" para r
(uma reta), que tem infinitos pontos.
GA é sobre conjutnos de pontos.
Exemplo:
C = {(x,y) in R^2 | (x-2)^2 + (y-3)^2 = 5}
H = {(x,y) in R^2 | x^2 + 2xy - 3y^2 + 4}, etc
e so estamos comecando por retas porque elas sao mais faceis
de calcular (e uteis para todo o resto).
Exercicio (pra ver o quanto voces lembram): encontre dois pontos
em cada uma das retas abaixo:
r_1 = {(x,y) in R^2 | 2/3 x + 4/5 y = 1} (0,5/4) (3/2,0)
r_2 = {(x,y) in R^2 | y = -3x} (1,-3) (0,0)
r_3 = {(x,y) in R^2 | x=4} (4,0) (4,1)
r_4 = {(x,2x+3) | x in R} (0,3) (1,5)
r_5 = {(y/2, y) | y in R} (1/2,1) (0,0)
r_6 = {(2t,3t-3) | t in R} (0,-2) (2,1)
Afirmacao:
se r e' uma reta,
A,B in r
e C e' o ponto medio de A e B, entao C in r.
[Isto e' verdadeiro ou falso?]
O curso de GA vai ser cheio de afirmacoes (ou hipoteses) como a
acima, que vao ser ou verdadeiras ou flasas, e vamos ter que
prova'-las.
Problema: a afirmacao acima ainda nao e' precisa.
Ainda nao definimos "reta".
O que temos por enquanto?
Sabemos _intuitivamente_ o que e' uma reta (talvez com algumas
duvidas)... podemos _tentar_ fazer definicoes formais de "reta", e
ver se elas cobrem todos os casos, e se elas não "deixam passar"
nada que nao seja uma reta...
Sabemos (intuitivamente) que r_1, ... r_6 _devem_ ser retas -
sabemos representar graficamente cada uma delas, e _esperamos_ que
as nossas representacoes estejam certas...
Hipotese 1: as retas em R^2 sao exatamente os conjuntos da forma
{(x,y) in R^2 | ax+by=c}.
Hipotese 2: as retas em R^2 sao exatamente os conjuntos da forma
{(x,y) in R^2 | y=ax+b}.
Hipotese 1a: para toda reta r em R^2 existem a,b,c in R tais que
r={(x,y)inR^2|ax+by=c}
Hipotese 1b: todo conjunto da forma {(x,y)inR^2|ax+by=c} é uma reta.
Fato: uma das duas hipoteses 1a e 1b e' falsa. Tente descobrir qual
(e porque).
Obs: se voce fizer a mesma coisa com a hipotese 2 - parti-la em 2a e
2b, etc - vai acontecer a mesma coisa.
Pra casa: pensem nisto (e resolvam - e tentem escrever a resposta
direito).
Lembrem que a coisa mais dificil em GA é SEMPRE a parte de escrever
as suas ideias precisamente e de um modo aceitavel (correto,
legivel, etc) - e o unico modo de aprender a escrever é TREINAR!
3ª aula (14/mar): [***ainda nao passei a limpo***]
dei uns avisos (repeti os das aulas anteriores e dei mais um, sobre
a apresentacao da calculadora da gabriela) e fizemos uma revisão de
representação gráfica
Calculem e representem graficamente:
A = {-3,-2,-1,-0,1,2,3}
A×A
{(x,y) in A×A | x>=y}
{(x,y) in A×A | x=y}
{(x,y) in A×A | 2x <= 3y}
Obs: A é um conjunto de pontos da reta real, A×A é um conjunto de
pontos do plano
R = ----------- ....
[0,2] = ...
(Notação: --- mais grosso que a linha que usamos pra R,
extremidades do intervalo com * ao inves de o pra indicar que as
extremidades pertencem ao conjunto)
Rascunho: C = repr grafica de [1,3]
B = repr grafica de [1,3) (])
Perguntas: 0, 1, 2, 3, 2.5, pertencem a A, B, C?
Como debugar respostas de problemas como o da represnetcao grafica
de {(x,y) in A×A | x>=y}?
Vamos dar _nomes_ pros objetos.
D:=A×A
D_{>=} = ...
D'_{>=} = ...
Obs: nomes em matematiques formal normalmente são feitos de uma
letra só, com subscritos e superscritos opcionais - e a gente
pode ter subscritos e superscritos estranhos, como ">=".
Convenção (pascalismo): ":=" indica que estamos definindo um
objeto.
Repare que _definimos_ o D>=' pela representação gráfica - e
podemos comparar o D>= e o D>='.
Exercicio: entontrar um ponto (x,y) tal que: (x,y) in D>=', mas
(x,y) notin D>=.
Lembre que:
dois conjuntos sao _iguais_ se eles tem exatamente os mesmos pontos.
dois conjuntos sao _diferentes_ se eles nao tem extamanete os
mesmos pontos, isto é, se existe algum ponto que pertence a um e
não pertence ao outro.
pra mostrar que dois conjuntos A e B sao diferentes basta
encontrar um ponto P tal que P in A e P notin B, ou um ponto P'
tal que P' notin A e P' in B.
Como mostrar que D>= neq D>='?
(obs: a gente comeca com "candidatos"...)
Ideia: usar o (-3,-1).
Ideia: (-3,-1) in D>=?
(-3,-1) in D>='?
(-3,-1) in D>=' porque ele é este ponto aqui: [este].
(-3,-1) notin D>= ...
A prova disto é uma (espécie de) conta [obs: vamos ver o metodo
geral com todos os detalhes na aula que vem].
(-3,-1) in D>=
se e so se
(-3,-1) in {(x,y) in A×A | x>=y}
ou seja, se
(-3,-1) é um ponto da forma "(x,y) in A×A tal que x>=y"
ou seja, se
quando x=-3 e y=-1 temos "(-3,-1) in A×A e -3>=-1"
mas "(-3,-1) in AxA" é verdade e "-3>=-1 é falso", portanto
"(-3,-1) in A×A e -3>=-1" é falso, portanto (-3,-1) in D>=.
Pedi pros alunos pensarem nisto em casa.
Problemao da aula passada: hip 1, hip 2
Repare que aqui estamos definindo três conjuntos...
E = o conjunto de todas as retas de R^2,
E' = o conjunto de todos os conuntos da forma {(x,y) in R^2 | ax+by=c}
E'' = o conjunto de todos os conuntos da forma {(x,y) in R^2 | y=ax+b}
Má notícia: estamos falando de conjuntos de conjuntos.
Obs: {{2,3},{3,4}} é um conjunto de conjuntos (que não é tão cabeludo)
Péssima notícia: é difícil passar em GA sem entender conjuntos de
conjuntos - por exemplo vetores são definidos como cojuntos de ...
(vamos ver isto depois!)
Ainda nào definimos _precisamente_ o que é um reta, mas sabemos
"intuitivamente" o que é um reta... por exemplo,
{(-3,-3), (-2,-2), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2), (3,3)}
não é uma reta,
{(1,1)} tambm não (mas é uma "reta degenerada")
R^2 nao é uma reta.
Idéia: toda reta é gerada a partir de dois pontos A e B diferentes.
Idéia: pra entendermos "intuitivamente" o que é o E' temos que
aprender a pegar quaiquer valores a, b e c e gerar o conjunto
{...}.
Obs (respondendo a uma pergunta do José Flávio):
E' = {{(x,y) in R^2 | ax+by=c} | a,b,c in R}
Pra casa: aprendam a representar graficamente conjuntos da forma
{(x,y) in R^2 | ax+by=c}
_rapidamente_.
4ª aula (16/mar): o objetivo principal desta aula é: aprender a
converter rapidamente entre representações da forma {(x,y)∈R^2 |
ax+by=c}, representações da forma {(x,y)∈R^2 | y=ax+b}, e
representações gráficas.
Exercicios: representem graficamente {(x,y)∈R^2 | ax+by=c} quando:
a) a=1, b=-1, c=2
b) a=1, b=0, c=2
c) a=1, b=1, c=2
d) a=1, b=1, c=1
e) a=1, b=1, c=0
e representem graficamente {(x,y)∈R^2 | y=ax+b} quando:
a') a=1, b=0
b') a=2, b=0
c') a=-1, b=0
d') a=-1, b=1
e') a=-1, b=2
Dicas: (1) encontre dois pontos diferentes em cada um destes
conjuntos; (2) peça pro seu vizinho verificar se os seus pontos
pertencem ao conjunto; (3) se ele souber conferir muito rápido peça
pra ele explicar como ele está fazendo as contas e verificações
Depois que todo mundo pegou a prática passei estes exercícios aqui:
ainda usando as notações
r_(a,b,c) = {(x,y)∈R^2 | ax+by=c} e
r_(a,b) = {(x,y)∈R^2 | y=ax+b},
represente graficamente:
f) r_(1,-1,0), r_(1,-2,0), r_(1,-3,0)
g) r_(2,1,0), r_(3,1,0), r_(4,1,0)
h) r_(2,3,4), r_(2,3,5), r(2,3,6)
f') r(2,2), r(2,3), r(2,4)
g') r(2,2) r(1,2) r(0,2) r(-1,2)
esses são pra casa:
i) r(2,1,0), r(4,2,0), r(6,3,0)
j) r(2,3,4), r(4,6,8), r(-2,-3,-4)
k) r_(0,0,0)
l) r_(0,0,2)
5ª aula (21/mar):
Começamos rediscutindo os exercícios (f) a (l) da aula passada.
k) Testamos se alguns pontos de R^2 pertenciam a r_(0,0,0), vimos
que sim, e vimos que todos os pontos de R^2 pertencem a
r_(0,0,0)... Lembramos a notação \subseteq:
A \subseteq B "A está contido ou é igual a B"
{1,2} \subseteq {1,2,3} ? sim
{1,2,3} \subseteq {1,2,3} ? sim
{1,2,3,4} \subseteq {1,2,3} ? nao
{2,3,4} \subseteq {1,2,3} ? nao
Descobrimos que R^2 \subseteq r_(0,0,0).
Será que existe algum ponto de R^2 que não pertence a r_(0,0,0)?
Não, por causa disto:
r_(0,0,0) = {(x,y)∈R^2 | 0x+0y=0}
\-------/
(mas vamos voltar a isto depois - eu disse que era melhor nós
passarmos batido por alguns detalhes técnicos agora).
Portanto R^2 \subseteq r_(0,0,0),
r_(0,0,0) \subseteq R^2,
r_(0,0,0) = R^2.
Mostrei uma representação gráfica possível - o plano R^2 todo
rabiscado, e uma legenda dizendo, em português, "todo o R^2".
Obs: a explicação em português faz com que a gente não precise
nem fazer um desenho infinito nem gastar tinta demais!!!
l) r_(0,0,2) = {(x,y)∈R^2 | 0x+0y=2}
Testamos vários pontos de R^2 e descobrimos que nenhum deles
pertence a r_(0,0,0); aliás, nenhum ponto de R^2 pertence a
r_(0,0,0)...
Será que existe algum ponto que pertence a r_(0,0,2) mas não
pertence a R^2? Por exemplo, será que 5 ∈ r_(0,0,2) (Obs: 5∈R, 5
\notin R^2) Não...
Moral: r_(0,0,2) é o conjunto vazio.
Representação gráfica: os eixos de R^2 sem nada extra marcado,
e a legenda: "r_(0,0,2) é o conjunto vazio".
Obs: Se vocês querem que as pessoas entendam o que vocês escrevem
usem todos os truques possíveis - matematiquês, português,
gráficos, etc!
j) r_(2,3,4) = {(x,y)∈R^2 | 2x+3y = 4}
Mini-exercício: encontem dois pontos de r_(2,3,4).
Problema(ão): como calcular dois pontos de r_(2,3,4) - e escrever
o raciocínio claramente em português?
1) Suponha que x,y ∈ R.
2) Suponha além disto que 2x+3y=4.
3) Suponha além disto que x=0. \
4) Portanto 2·0+3y=4. | Este trecho diz que _quando_
5) Portanto 3y=4. | x=0 temos y=4/3.
6) Portanto y=4/3. /
Outro modo de escrever:
1) Suponha que x,y ∈ R.
2) Suponha além disto que 2x+3y=4.
3) Se x=2 então:
4') 2·2 + 3y = 4,
5') 4 + 3y = 4,
6') 3y = 0,
7') y = 0.
Note que o raciocínio 1..7' é parecido com o 1..6, mas o modo de
escrevê-lo - com "se" - indica que a hipótese "x=2" é
_temporária_ - assim que a frase do "se" termina a hipótese "x=2"
não vale mais.
Outro modo:
Suponha que x,y ∈ R e 2x+3y=4.
Então:
Se x=0 então y=4/3,
Se x=2 então y=0,
Se x=1 então y=2/3,
Se x=5 então y=-2,
...
e, em geral,
Se x∈R então y=(4-2x)/3.
Repare que dá pra reescrever todos os pontos que descobrimos na
reta usando uma notação em matematiquês puro, sem nenhum "se":
(0,4/3) ∈ {(x,y)∈R^2 | 2x+3y=4} = r_(2,3,4)
(2,0) ∈ r_(2,3,4)
(1,2/3) ∈ r_(2,3,4) ...
e se x∈R então
(x,(4-2x)/3) = r_(2,3,4).
Aí fizemos representações gráficas para r_(2,3,4), r_(4,6,8) e
r_(-2,-3,-4) e vimos que são três retas iguais.
Hipótese: para todo k∈R temos r_(2,3,4) = r_(2k,3k,4k).
Vamos começar fazendo alguns testes pra ver se isto pode ser
verdade...
Definição (temporária):
P(k) = (r_(2,3,4) = r_(2k,3k,4k)).
Então:
P(1) = (r_(2,3,4) = r_(2·1,3·1,4·1)) = verdadeiro,
P(2) = (r_(2,3,4) = r_(2·2,3·2,4·2)) = verdadeiro,
P(-1) = (r_(2,3,4) = r_(-2,-3,-4)) = verdadeiro...
mas
P(0) = (r_(2,3,4) = r_(0,0,0)) = falso.
A hipótese acima é falsa - o contra-exemplo é k=0.
Exercício:
Encontre alfa e beta tais que r_(2,3,4) = r_(alfa,beta).
Hipótese 1: r_(2,3,4) = r_(2,0)
Hipótese 2: r_(2,3,4) = r_(-2/3, 4/3)
Hipótese 3: r_(2,3,4) = r_(2,4)
Hipótese 4: r_(2,3,4) = r_(-5/8, 7/4)
Sub-exercício: representem graficamente r_(2,0), r(-2/3,4/3),
r_(2,4), r_(-5/8,7/4).
Problemas para casa:
1) Tente encontrar uma fórmula geral para os alfa e beta em:
r_(a,b,c) = r_(alfa,beta)
[difícil - vocês vão ter que ser bastante organizados pra
conseguirem não se enrolar... mas este exercício é um ótimo
treino - vocês vão ser confrontados com problemas grandes com
freqüência, e vocês precisam treinar lidar com eles sem se
perderem!]
2) Sejam A=(1,2) e v=(3,4).
Lembre como calcular A+v, A+2v, A+3v, ...
e tentem encontrar notações formais para a reta que contém os
pontos A, A+v, A+2v, A+3v, ...
3) Suponha que a=2, b=3, c=4,
(x,y) ∈ r_(a,b,c),
(x,y) ∈ r_(a,b).
Encontre x e y.
6ª aula (23/mar): No fim da aula anterior eu lembrei que retas também
podem ser expressas usando vetores, e dei este exemplo:
---->
r = {(1,2) + t(3,4) | t∈R}
Encontramos alguns pontos de r fazendo uma tabela:
t t(3,4) (1,2)+t(3,4)
----+-----------------------
-1 | (-3,-4) (-2,-2)
0 | (0,0) (1,2)
-1 | (3,4) (4,6)
-1 | (6,8) (7,10)
Portanto:
(-2,-2) ∈ r (correspondente a t=-1)
(1,2) ∈ r (correspondente a t=0)
(4,6) ∈ r (correspondente a t=1)
(7,10) ∈ r (correspondente a t=2)
Exercícios:
a) encontre um ponto (x,0)∈r,
b) encontre um ponto (0,y)∈r.
(Obs: mais formalmente: "encontre um ponto A da forma (x,0) tal que
A∈r", ou: "encontre um x∈R tal que (x,0)∈r". Idem para y).
a',b') Escreva o raciocício que você usou um (a) e (b)
formalmente, isto é, com a notação certa, "suponha"s e
"portanto"s, etc.
Todo mundo conseguiu fazer o (a) e o (b), mas as pessoas se enrolaram
com o (a') e o (b'). Sugeri que começassem com:
Suponha que (x,y)=(1,2)+t(3,4).
Portanto (x,y)=(1+3t,...) e x=1+3t...
mas discutimos no quadro modos de traduzir as repostas da a e da b e
chegamos a:
(1,2)+t(3,4) = (1+3t, 2+4t)
Sejam x=1+3t, y=2+4t.
Suponha que y=0.
Então 2+4t = 0,
4t = -2,
t = -2/4 = -1/2,
e como x = 1=3t temos x = 1+3(-1/2) = -1/2.
Portanto se (x,y) é da forma (1,2)+t(3,4) e y=0,
então x=-1/2 e (x,y)=(-1/2,0).
Obs: "(x,y) é da forma (1,2)+t(3,4)"
quer dizer "∃x∈R.(x,y)=(1,2)+t(3,4)".
Às vezes a gente vai ter que lidar com casos nos quais não existe um
ponto "da forma tal".
Seja s = {(1,2)+t(3,0) | t∈R}.
c) Encontre um ponto (x,0)∈s.
d) Encontre um ponto (0,y)∈s.
c',d') Escreva os raciocínios para (c) e (d) formalmente.
c) Suponha que x∈R e (x,0)∈s, ou seja, ∃t∈R.(x,0)=(1,2)+t(3,0).
Para este valor de t temos:
(x,0) = (1+3t,2),
ou seja, x=1+3t e 0=2.
Nenhum valor de t vai satisfazer as duas condições ao mesmo
tempo, porque não dá pra satisfazer a condição 0=2; portanto
não existe um ponto (x,0)∈s. (Obs: isto é uma prova por
contradição).
Mais exercícios (fáceis):
e) Encontre uma reta r_e = {(a,b)+t(c,d) | t∈R} que passe pelos
pontos (2,0) e (0,3).
f) Idem, mas que passe pelos pontos (2,3) e (4,5).
Truque: se r_e = {(a,b)+t(c,d) | t∈R}, quem são os pontos de r_e
correspondentes a t=0 r t=1? Ajuste a,b,c,d para que (2,0) seja o
ponto correspondente a t=0 e (0,3) seja o ponto correspondente a
t=1.
g) Represente graficamente G = {(4,3)+t(2,1) | t∈[-1,2]}.
h) Encontre uma representação formal (em matematiquês puro) para o
segmento ligando (1,4) a (4,2).
Aula que vem: segmentos orientado e vetores!
Obs: depois da aula discuti com o Jó e o Nixon, que não tinham
conseguido fazer o problema pra casa 1 da aula 5, que era:
1) Tente encontrar uma fórmula geral para os alfa e beta em:
r_(a,b,c) = r_(alfa,beta)
Sugeri que eles começassem com dois casos particulares -
r(2,3,4) = r_(alfa,beta) e
r(99,200,666) = r_(alfa,beta)
e depois reaproveitassem a estrutura das contas pra fazer o caso
geral. A estrutura a que chegamos foi esta aqui:
Queremos que 99x+200y=666 seja verdade exatamente quando
y = alfa x + beta.
99 x + 200 y = 666 <==> 200 y = -99 x + 666
<==> y = -99/200 x + 666/200
Então alfa = -99/200, beta = 666/200.
7ª aula (28/mar): Hoje: segmentos, vetores, etc!
Revimos os exercícios (g) e (h) da aula aunterior, e propus o
seguinte exercício em dupla: "cada pessoa vai escolher 4 segmentos
em R^2, representá-los graficamente, e _não vai_ entregar a
representação gráfica pro colega; vocês vão entregar pro colega uma
folha com a representação formal dos 4 segmentos, o colega vai
tentar obter a representação gráfica deles, e vocês vão compará-la
com a original."
Exemplo: (completar)
Segmentos orientados
==================== ->
Vamos usar, _temporariamente_, a notacao AB para o segmento
orientado indo de A para B, e a representação gráfica disto vai ser
uma _seta_ indo do ponto A pro ponto B.
Convenção (que não está no livro!): vamos representar AB em
matematiquês formal como um par ordenado de pontos de R^2. Exemplo:
-> --------->
AB = (1,2)(3,4) = ((1,2),(3,4))
(e fiz a representação gráfica disto).
Vetores, formalmente
====================
[*cav*] Vetores são conjuntos de segmentos orientados.
Exemplo: ----> -> ---->
(1,2) = { AB | A∈R^2, B=A+(1,2) }
= { ((x,y),(x+1,y+2)) | x,y∈R } ---->
Mostrei como é que a gente pode representar o vetor (1,2)
graficamente (mas desenhando só alguns segmentos orientados).
Agora a gente consegue formalizar some de ponto e vetor como:
o resultado de A+v é um ponto B∈R^2 tal que AB∈v.
Como a representação de um vetor é um monte de setinhas paralelas,
dá pra representar um vetor sem desenhar os eixos; vetores "não têm
noção de origem"!
Vetores servem pra formalizar a idéia de "reta como ponto que se
desloca" ("trajetória").
Digamos que
r = {A+tv | t∈R}
ou, equivalentemente, definimos P(t) = A+tv e r = {P(t) | t∈R}.
Às vezes escolhas diferentes de A e v geram a mesma reta
r_(A,v) = {A+tv | t∈R}.
Lembre que:
r_(a,b,c) = {(x,y)∈R^2 | ax+by=c}
r_(alfa,beta) = {(x,y)∈R^2 | y = alfa x + beta}
Agora temos mais um mode de definir retas:
r_(A,v) = {A+tv | t∈R}
Exercício: representem graficamente
r_((1,0),(1,-1))
e tentem encontrar representações da forma r_(a,b,c) e r_(alfa,beta)
para r_((1,0),(1,-1)).
Problema (pra casa):
E = conjunto de todas as retas de R^2,
E' = {r_(a,b,c) | a,b,c∈R}
E'' = {r_(alfa,beta) | alfa,beta∈R}
E''' = {r_(A,v) | A∈R^2, v vetor em R^2}
O conjunto E''' é novidade... ele é igual a E, a E', ou a E''?
8ª aula (30/mar): hoje: operações com vetores e propriedades destas
operações, mas, _antes disto_, como demonstrar afirmações com "para
todo"? Voltamos ao problema da aula passada, e desmontamos ele em:
(I) E = E''',
(II) E' = E''',
(III) E'' = E''',
e em:
(Ia) Toda reta de R^2 é da forma r_(A,v),
(IIa) Toda conjunto r_(a,b,c) é da forma r_(A,v),
(IIIa) Toda conjunto r_(alfa,beta) é da forma r_(A,v),
(Ib) Todo conjunto r_(A,v) é uma reta de R^2
(IIb) Todo conjunto r_(A,v) é da forma r_(a,b,c),
(IIIb) Todo conjunto r_(A,v) é da forma r_(alfa,beta).
Exercício pra agora: para cada uma das afirmações Ia ... IIIb diga
se ela é verdadeira ou falsa e justifique.
Obs: o tema desta aula é como escrever estas justificativas direito!
Perguntem agora ou se calem para sempre!
(A gente acabou passando a aula toda discutindo isto)
9ª aula (04/abr):
Hoje (e em todo o resto do curso!) vamos trabalhar em cima de várias
perguntas do tipo "todo ... tem a propriedade ...".
Produto interno (algebricamente)
================================
Def: (a,b)·(c,d) = ac+bd
Obs: vamos _começar_ com a definição algébrica e vamos provar as
propriedades geométricas aos poucos.
Def: ||v|| = sqrt(v·v).
e ||v|| vai ser chamado de a "norma", ou "comprimento", de v.
Def: v e w são ortogonais se e só se v·w=0.
Exercício (revisão): calcule: ||(3,4)||, ||(8,-6)||, ||(2,2)||,
||(0,2)||, ||(0,-6)||
Exercício: Para cada vetor com coordenadas "pequenas" - (x,y), com
x,y∈{-5,-4-,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} - calcule ||(x,y)|| e represente
todos os resultados graficamente.
Escrevendo sqrt(x) como [x], os resultados no primeiro quadrante
ficam:
5 [26] [29] [34] [41] [50]
4 [17] [20] 5 [32] [41]
3 [10] [13] [18] 5 [34]
2 [5] [8] [13] [20] [29]
1 [2] [5] [10] [17] [26]
-0----1----2----3----4----5
Exercício/problema, em grupo: vocês devem ter descoberto várias
técnicas pra fazer o gráfico mais rápido - expresse cada uma delas
formalmente. Por exemplo:
Para x,y em R, ||(x,y)|| = ||(y,x)||.
Tente expressar pelo menos:
a) como preencher os eixos,
b) simetria diagonal,
c) simetria horizontal e vertical.
Apareceram as seguintes proposições (ou melhor, hipóteses):
1) ∀x∈R. ||(x,x)|| = x sqrt(2)
2) ∀x∈R. ||(x,0)||=||(0,y)|| ∧ x=y <-- :-(
3) ∀x∈R. ||(0,x)||=||(x,0)||=x
4) ∀x∈R. x=y -> ||(x,0)|| = ||(0,y)||
5) ∀x∈R. ||(x,0)|| = ||(0,x)||
6) ∀x∈R. ||(x,x)|| = |x| sqrt(2)
Será que todas elas valem para x=-2?...
Vimos como traduzir alguns exercícios da lista do Reginaldo para
sentenças como "∀"s em R, por exemplo:
∀a,b,c,d∈R. (a,b)·(c,d) = ||(a,b)|| ||(c,d)||
Pedi pra todo mundo tentar fazer a lista do Reginaldo em casa.
10ª aula (06/abr): Semana Santa.
11ª aula (11/abr):
1) Exercício: represente graficamente a função f(x,y) = v·(x,y)
nestes casos:
a) v=(2,3)
b) v=(0,1)
c) v=(-1,1)
2) Represente graficamente o conjunto A_v = {(x,y)∈R^2 | v·(x,y)=0}
nestes casos:
a) A_(2,3)
b) A_(0,1)
c) A_(-1,1)
Fizemos um mutirão pra fazer o 1a no quadro, e deixamos o resto pra
casa. Depois discutimos alguns itens da lista 1 do Reginaldo:
http://angg.twu.net/GA/lista1_GA_2011.1.pdf
e variações deles; discutimos como formalizar a idéia de que uma
proposição é "quase verdadeira" - é necessário criar uma outra
proposição, "consertando" a proposição original.
2a) Se au+bv=0 então a=0 e b=0,
2a') Se a=0 e b=0 então au+bv=0,
2f) Se u!=0 e u·v=u·w então v=w,
2a'') Se v=0 e au+bv=0 então a e b "podem ser reais quaisquer",
2a''') Se v=0, a∈R e b∈R então au+bv=0,
2a'''') ∀a,b∈R. ∀u,v vetores de R^2, (au+bv=0 -> a=0∧b=0)
A prova de que a 2a é falsa deve ser escrita nesta forma:
Quando a=___, b=___, u=___, v=___
temos au+bv=0 _______ (<= verdadeiro ou falso)
e a=0 e b=0 _______ (<= verdadeiro ou falso).
Sugeri que pra discutir os itens 2a..2a'''' a gente desse nomes para
as subexpressões - e definimos:
P(a,b,u,v) = (au+bv=0)
Q(a,b) = (a=0∧b=0)
R(a,b,u,v) = (P(a,b,u,v)->Q(a,b))
12ª aula (13/abr):
Pra gente poder resolver alguns sistemas mais rápido eu propus um
exercío com matrizes... Todo mundo deve lembrar como multiplicar uma
matriz por um vetor:
/ a b \ / x \ / ax+by \
| | | | = | |
\ c d / \ y / \ cx+dy /
Em matematiquês quando a gente precisa de uma letra que venha depois
do z a gente em geral usa w... (!!!)
Vamos definir:
/ a b \ / d -b \ / x \ / z \
M = | | M' = | | u = | | v = | |
\ c d / \-c a / \ y / \ w /
Isto é verdadeiro ou falso? Justifique:
( ) Se ad-bc=1 então M'Mu = u e MM'v = v.
Vimos que isto é verdade para quaisquer a,b,c,d,x,y, desde que
ad-bc=1 - ou seja, M'Mu=u vale para qualquer vetor u e qualquer
matriz M na qual ad-bc=1.
Aí eu peguei um problema da lista do Reginaldo e reescrevi ele
várias vezes:
2m) Todo ponto do plano é combinaçào linear dos vetores
u=(2,3) e v=(1,3/2).
2m') Todo vetor (x,y) é da forma a(2,3)+b(1,3/2).
2m'') Para quaisquer x,y∈R existem a,b∈R tais que
(x,y)=a(2,3)+b(1,3/2).
2m''') Para qualquer vetor (x,y) em R^2 existe um vetor (a,b) em
R^2 tal que:
/ 2 1 \ / a \ / x \
| | | | = | | .
\ 3 3/2 / \ b / \ y /
Repare que
/ a b \ / x \ / z \
| | | | = | |
\ c d / \ y / \ w /
é um modo chique de escrever duas equações, ax+by=z e cx+dy=w,
usando uma igualdade só...
Aí começamos a trabalhar numa variação do problema do Reginaldo:
2w) Todo vetor do plano é combinação linear dos vetores (3,2) e
(4,3),
2w') Todo vetor (x,y) é da forma a(3,2)+b(4,3),
2w'') Para quaisquer x,y∈R existem a,b∈R tais que:
/ 3 4 \ / a \ / x \
| | | | = | | .
\ 2 3 / \ b / \ y /
Como resolver o 2w''?
Vamos definir um procedimento (que pode ser facilmente implementado
num computador!) pra encontrar as "respostas" a e b a partir de
valores de x e y ("dados pelo usuário")...
Exercícios:
1) Mostre que este procedimento não funciona:
a := 5x,
b := 6y.
2) Encontre o a e o b correspondentes a este caso:
x = 9,
y = 10.
Def (meio informal): um procedimento "funciona" pra resolver o nosso
problema quando
∀x,y∈R. a,b "obedecem a condição"
ou seja, quando
/ 3 4 \ / a \ / x \
∀x,y∈R. | | | | = | | ,
\ 2 3 / \ b / \ y /
ou, mais precisamente ainda,
/ 3 4 \ / a[x,y] \ / x \
∀x,y∈R. | | | | = | |
\ 2 3 / \ b[x,y] / \ y /
(obs: estou usando "[]"s em "a[x,y]" pra indicar os argumentos da
função - "a(x,y)" pode parecer multiplicação de escalar por vetor)
Nosso primeiro procedimento era:
a_1[x,y] := 5x,
b_1[x,y] := 6y,
e ele "funciona" se e só se:
/ 3 4 \ / a_1[x,y] \ / x \
∀x,y∈R. | | | | = | | .
\ 2 3 / \ b_1[x,y] / \ y /
13ª aula (18/abr): Voltamos aos problemas 2w e 2w'' da aula anterior.
Introduzi uma terminologia: "resolver o sistema linear Mv=w" quer
dizer o seguinte: conhecemos a matriz M e o vetor w, e queremos
encontrar v. Perguntei se os alunos estavam sabiam resolver
/ 3 4 \ / a \ / x \
| | | | = | |
\ 2 3 / \ b / \ y /
para quaisquer valores de x e y, eles disseram que mais ou menos,
que eles até conseguem, mas na hora de testar os as e bs que eles
obtêm eles vêem que deu errado =/.
Pedi pra tentarem resolver:
/ 3 4 \ / a \ / 1 \
(I) | | | | = | |
\ 2 3 / \ b / \ 0 /
/ 3 4 \ / a \ / 0 \
(II) | | | | = | |
\ 2 3 / \ b / \ 1 /
/ 3 4 \ / a \ / 9 \
(III) | | | | = | |
\ 2 3 / \ b / \10 /
E depois pra fazerem esta conta:
/ 3 4 \ / 3 \ /-4 \ / x \
| | ( x | | + y | | ) = | |
\ 2 3 / \-2 / \ 3 / \ y /
Obs: dá pra fazer isto de modos trabalhosos, mas também dá pra fazer
por: M(av+bw) = M(av)+M(bw) = a(MV)+b(Mw).
Vimos que
/ 3 \ /-4 \ / 3 -4 \ / x \
x | | + y | | = | | | |
\-2 / \ 3 / \-2 3 / \ y /
e portanto
/ 3 4 \ / 3 -4 \ / x \ / x \
| | ( | | | | ) = | |
\ 2 3 / \-2 3 / \ y / \ y /
para quaisquer x e y.
Deixei um exercício e um problema pra casa:
(1) Use que
/ 3 7 \ / 5 -7 \ / x \ / x \
| | ( | | | | ) = | |
\ 2 5 / \-2 3 / \ y / \ y /
para resolver:
/ 3 7 \ / a \ / 10 \
| | | | = | |
\ 2 5 / \ b / \ 20 /
(2) Mostre que nem sempre isto vale:
/ a b \ / d -b \ / x \ / x \
| | ( | | | | ) = | |
\ c d / \-c a / \ y / \ y /
14ª aula (20/abr): Tentamos discutir o problema (2) da aula passada e
acabamos gastando a aula toda nele - nem deu pra entrar em "métodos
vetoriais olhométricos", que era o meu plano original...
Vou usar as seguintes abreviações:
/ a b \ / d -b \ / x \ / (ad-bc)x \
M = | | M' = | | u = | | v = | |
\ c d / \-c a / \ y / \ (ad-bc)y /
O problema da aula passada era:
Mostre que nem sempre temos MM'u = v.
Dei uma dica:
MM'u = v.
Algumas idéias que surgiram na discussão:
a) Quando d=0 e x=y=1 temos MM'u = v.
b) E se d=0, x=y=1, a=0, b=1, c=-1?
c) Tentem encontrar a,b,c,d,x,y tais que v != u.
d) Tente usar a!=0, b!=1, c!=-1, d=0 na (c).
e) Tente usar a=200, b=10, c=30, d=0 na (c).
f) Tente usar a=b=c=d=0 na (c).
g) Tente usar a=c e b=d na (c).
Propus os seguintes problemas (IMPORTANTES, PRA CASA!):
0) Reescreva todas as sentenças que apareceram agora PRECISAMENTE,
usando ∀, ∃, ->, etc.
1) Prove que as "sentenças à esquerda" (que estavam no quadro,
que estava bagunçado) são falsa (use contra-exemplos).
Pra casa reinterprete este problema como: "para cada sentença
que você obtiver no (0) diga se ela é verdadeira ou falsa, e
prove isto".
2) (Só porque muita gente estava tentando fazer isto)
Mostre como modificar cada sentença falsa para torná-la
verdadeira (e como modificar cada verdadeira pra obter uma
falsa).
Algumas sentenças que apareceram quando a gente tentou fazer o
problema 0 no quadro:
0a) ∃a,b,c,d∈R. MM'u != u
0b) ∀a,b,c,d∈R. MM'u = v
0c) ∃a,b,c,d,x,y∈R. v != u
0d) ∀a,b,c,d∈R. a!=0∧b!=1∧c!=-1∀d=0 -> ∃x,y∈R. MM'u = v
0e) ∀a,b,c,d∈R. a!=0∧b!=1∧c!=-1∀d=0 -> ∃x,y∈R. MM'u != v
0f) ∀a,b,c,d∈R. a!=0∧b!=1∧c!=-1∀d=0 -> ∀x,y∈R. MM'u = v
0g) ∀a,b,c,d∈R. a!=0∧b!=1∧c!=-1∀d=0 -> ∀x,y∈R. MM'u != v
15ª aula (25/abr): Problemas (V, F, justifique):
1) ( ) ∀k∈R. ∀v em R^2. ||kv|| = k ||v||
2) ( ) ∀k∈R. ∀v em R^2. ||kv|| = |k| ||v||
3) ( ) ∀k∈[0,∞). ∀v em R^2. ||kv|| = k ||v|| ]
4) ( ) ∀u,v,w em R^2. u·(v+w) = (u·v)+(u·w)
5) ( ) ∀u,v em R^2. ∀a∈R. u·(av) = a(u·v) = (au)·v
6) ( ) ∀u,v em R^2. ∀a∈R. u·v = v·u
Vimos que a (1) é falsa, por um contra-exemplo, e a partir de uma
dúvida que surgiu, propus:
7) ( ) Quando k=-2 temos ∀a,b∈R. ||k(a,b)|| != k||(a,b)||
Vimos que a (7) também e falsa.
Já vimos - em _várias_ aulas - como mostrar que certas expressões
com "∀" são falsas, usando contra-exemplos; agora vamos ver um modo
de mostrar que uma sentença com "∀" é verdadeira - "fazendo a
conta". Fiz a (2) no quadro, reescrevendo ela um pouco:
8) ( ) ∀k∈R. ∀a,b∈R. ||k(a,b)|| = |k| ||(a,b)||
Digamos que k,a,b são reais quaisquer.
Queremos provar que ||k(a,b)|| = |k| ||(a,b)||.
Vamos fazer a conta!
O modo mais claro é fazê-la em duas partes:
||k(a,b)|| = ||(ka,kb)||
= sqrt((ka,kb)·(ka,kb))
= sqrt((ka)^2+(kb)^2)
= sqrt(k^2 a^2 + k^2 b^2)
= sqrt(k^2(a^2 + b^2))
= sqrt(k^2) sqrt(a^2 + b^2) <= (*)
= |k| sqrt(a^2 + b^2)
|k| ||(a,b)|| = |k| sqrt((a,b)·(a,b))
= |k| sqrt(a^2 + b^2)
Obs: o passo (*) vale porque sabemos que k^2>=0 e a^2+b^2>=0
(supomos que o leitor conheça o teorema que diz que se x,y>=0
então sqrt(xy) = sqrt(x)sqrt(y)).
Muitas vezes os livros juntam essas duas seqüências de
igualdades numa só:
||k(a,b)|| = ||(ka,kb)||
= sqrt((ka,kb)·(ka,kb))
= sqrt((ka)^2+(kb)^2)
= sqrt(k^2 a^2 + k^2 b^2)
= sqrt(k^2(a^2 + b^2))
= sqrt(k^2) sqrt(a^2 + b^2)
= |k| sqrt(a^2 + b^2) <= "meio da conta"
= |k| sqrt((a,b)·(a,b))
= |k| ||(a,b)||
Aí pedi pros alunos fazerem em sala os exercícios 6, 5 e 4 lá de
cima, e pra fazerem em casa todos os problemas da 1ª lista do
Reginaldo que eles ainda não sabiam como fazer (exceto o de
projeção, que vai ficar pra depois).
16ª aula (27/abr): Avisei que um problema grande da prova vai ser
alguma proposição dos elementos de Euclides, traduzida para
linguagem vetorial.
Comecei revendo com os alunos o que eram combinações lineares
geometricamente - defini v=(2,1), w=(0,1), pedi pra eles
representarem graficamente (no quadro) v, 3v, w, 2w, 3v+2w; revimos
como representar vários vetores no mesmo gráfico claramente e a
regra do paralelogramo.
Atividade: desenhei vetores v e w ("começando no mesmo ponto") em
8 pedaços de papel - sem desenhar os eixos - e dei um pra cada um
dos alunos prsentes; pedi pra cada um escrever o seu nome no papel,
representar graficamente v+2w e 2v+3w nele, e passar o papel pra um
colega pro colega conferir se o desenho estava certo - e pra cada um
ver se os outros tinham truques pra fazer representações gráficas
claras que eles não conheciam.
Def: w é _combinação linear_ de u e v quando existem a,b∈R tais
que w=au+bv. Pra mostrarmos que um certo w é combinação linear de u
e v temos que encontrar a e b e mostrar que w=au+bv.
Atividade: desenhem num pedaço de papel u, v e w ("começando" no
mesmo ponto) e peçam pro colega encontrar uma aproximação de w por
algum au+bv.
Geometria
=========
Vocês _deveriam_ ter aprendido um pouco de geometria do modo
"clássico", por segmentos, ângulos, régua, compasso, etc... nós
vamos reconstruir alguns conceitos de geometria usando vetores e
coordenadas.
Algumas idéias básicas (que vou supor que todo mundo sabe):
retas, retas horizontais e verticais, segmentos,
calcular a área de _alguns_ retângulos e triângulos,
num triangulo retângulo com um cateto horizontal e um vertical
como na figura abaixo, temos (pela definição de sen e cos):
/|
/ |
r / | r sen θ
/ |
/)θ__|
r cos θ
Aí provamos o teorema de pitágoras, usando a mesma figura que em
<http://angg.twu.net/2011.2-GA.html#18a-aula>, que era:
B--B'---*--C
| | |
| B''--C''C'
| | | |
| | | |
+--A'-A''--D''|
| | | |
+--A-------D'-D
| |
| |
| |
| |
+-------+
com A na origem, e o lado do quadradinho sendo alfa e o do quadradão
sendo beta. Os alunos calcularam as coordenadas de todos os pontos
e mais as do ponto "*" acima, que chamamos de C'''.
Aí vimos que A'B'C'D' é um quadrado, e que Area(A'B'C'D') =
sqrt(alfa^2 + beta^2). Pedi pra todo mundo refazer essa demonstração
em casa.
17ª aula (02/mai): Hoje: métodos olhométricos para paralelismo,
ortogonalidade, decomposição e projeção.
Para cada um dos casos abaixo desenhe um vetor v' ortogonal
(perpendicular) a v e expresse w como combinação linear de v e v'
Obs: w=av+bv'; diga aproximadamente quem são a e b.
(Nos problemas a,b,c,d,e eu _desenhava_ os vetores; nos
a',b',c',d',e' eu dava eles numericamente)
a,a') v=(1,0), w=(3,3) [v'=(0,1), w=3v+3v']
b,b') v=(2,2), w=(2,0) [v'=(-2,2), w=...]
c,c') v=(0,1), w=(4,0)
d,d') v=(-1,1), w=(2,-2)
Extras, pra ajudar nos exercícios acima:
e,e') v=(-1,-1), w=(0,3)
Sejam v=(2,1) e v'=(-1,2). Represente graficamente:
-v+v', v', v+v',
-v, v,
-v+v', v', v+v'.
Depois dois problemas de V/F/justifique. Se v é um vetor de R^2,
então:
( ) Existem exatamente dois vetores ortogonais a v,
( ) Se v=(a,0) os vetores ortogonais a v são exatamente os vetores
da forma k(a,b), para k∈R.
Todo mundo sacou que o primeiro era falso, mas as pessoas
discordaram da resposta do segundo. Disse pra pensarem mais em casa,
tentarem formalizar as hipóteses, deixar tudo preciso, escrever a
prova formalmente (por contra-exemplo ou não), etc.
Depois: pra cada um dos casos abaixo defina A=O+λv, B=O+w, e
encontre λ∈R tal que A fique o mais próximo possível de B.
a) v=(1,0), w=(2,3) [resp: λ=2]
b) v=(-1,1), w=(0,4) [resp: λ=3]
c) v=(1,2), w=(0,0)
d) v=(1,2), w=(2,2)
e) v=(0,0), w=(2,3)
f) v=(a,b), w=(c,d)
O (f) é pra fazer em casa e é muito importante. A solução dele tem
contas mais ou menos grandes e envolve minimizar uma função de 2º
grau, que é um problema de Cálculo 1 (tem que zerar uma derivada,
etc).
18ª aula (04/mai): Problema (f) do fim da aula passada:
Sejam v,w vetores de R^2, A=O+λv, B=O+w.
Calcule λ tal que A seja o mais próximo possível de B.
FATO: vocês sabem calcular a distância de A e B no olho
(em casos "concretos"), sem precisarem fazer nenhuma conta.
Vamos definir: d(λ) = d_(v,w)(λ) = ||AB||.
a) Sejam v=(-1,1), w=(0,4).
Calcule d(0), d(1), d(2), d(3), d(4), d(5), d(-1) (no olho).
Dica: representem graficamente v,w,B, e o A correspondente
a cada valor de λ.
b) Agora faça a aconta para o caso geral.
Sejam v=(a,b), w=(c,d). Encontre uma fórmula para
d(λ) = d_(v,w)(λ) que só envolva a,b,c,d,λ.
(note que estamos usando "d" em dois sentidos diferentes!)
c) Agora que vocês já têm a fórmula, use-na para encontrar o λ
tal que d(λ) seja mínimo, nestes 5 casos:
I) v=(-1,1), w=(0,4),
II) v=(2,1), w=(0,5),
III) v=(2,1), w=(0,1),
IV) v=(2,1) w=(1,0),
V) v=(2,1), w=(1,1).
Dica: tentem encontrar o mínimo de (d(λ))^2, não o de d(λ).
d) Encontre uma fórmula para
d
-- (d_(v,w)(λ))^2
dλ
no caso geral, em que v=(a,b) e w=(c,d).
(Obs: agora a letra "d" está sendo usada com _três_
significados diferentes =(! Cuidado!)
Dica: pra simplificar a notação, defina:
f(λ) = (d(λ))^2
e encontre uma fórmula para f(λ) e uma para (d/dλ) f(λ).
Pra casa: seja g(λ) = (d/dλ) f(λ).
Prove que g(λ) = 0 se e só se λv _|_ (w-λv) e interprete isto
geometricamente.
Dica: façam uma demonstração num dia, depois joguem todas as
anotações de vocês fora e num outro dia tentem escrever a
demonstração de novo mais claramente.
Pra quem conseguir: tente fazer uma demonstração completa de que
||AB|| é mínimo exatamente quando λv_|_(w-λv).
19ª aula (09/mai): Escrevi no quadro o seguinte...
Vocês ficaram de demonstrar em casa isto aqui: Sejam A=O+λv, B=O+w.
A distância d(A,B) é mínima exatamente quando w-λv _|_ v.
Vocês já sabem encontrar no olhômetro o λv que minimiza a distância
d(A,B) para quaisquer v e w dados; façam isto para cada um dos casos
abaixo:
I) v, w aproximadamente (2,1) e (3,8) (só desenhei)
II) v, w aproximadamente (-1,5) e (4,-2) (idem)
III) v, w aproximadamente (5,3) e (2,3) (idem)
Aí todo mundo emperrou e eu passei um exercício preparatório.
IV) v, w aproximadamente (2,1) e (3,8) (só desenhei);
Sejam B=O+w,
A_1=O+v,
A_2=O+2v,
A_3=O+3v
Represente B, A_1, A_2, A_3 no gráfico.
Represente também w-v, w-2v, w-3v.
(Dica: quando escrevemos um vetor como CD ele tem uma
"representação canônica" - a seta de C para D). Se escrevemos
só, digamos, v=(3,4), podemos representá-lo graficamente como
P(P+v) para qualquer ponto P∈R^2).
Depois de muita discussão uns voluntários fizeram no quadro três
desenhos: um errado, com uma seta (O-v)(O+w) dizendo "w-v", e dois
certos - um menos óbvio, com setas O(B-v)=w-v, O(B-2v)=w-2v,
O(B-3v)=w-wv, e um que era o que eu tinha pensado, com setas
(O+v)B=w-v, (O+2v)B=w-2v, (O+3v)B=w-3v.
Pedi que os alunos completassem os gráficos pondo embaixo deles
instruções para _calcular_ e para _nomear_ cada ponto a cada vetor
que aparecem. Propus a seguinte sintaxe:
A_1 := O + v <= isto define e nomeia A_1
A_2 := O + 2v <= isto define e nomeia A_2
A_3 := O + 3v
B := O + w
B-v := B - v <= porque o gráfico tem um ponto chamado "B-v"!
O(B-v) = w - v <= aqui o O(B-v) dá instruções para desenhar uma seta,
"w-v" diz o que escrever na seta, e queremos
verificar algebricamente que o "=" é verdade!
Depois fiz, xeroquei e distribuí um gráfico bem mais complicado
[que vou scanear depois] e pus o seguinte enunciado no quadro:
O gráfico que vocês receberam tem pontos A e B, um vetor v,
o ponto A' := A + v, e a reta r = {A+tv | t∈R}.
O objetivo é vocês _mostrarem_ como construir o segmento mais
curto possível ligando B a r - vocês vão ter que detalhar cada
passo da construção.
20ª aula (11/mai): passamos a aula toda discutindo o problema da aula
passada (o de construir o segmento mais curto). De um lado do quadro
escrevemos as construções gerais, do outro testamos elas num exemplo
com coordenadas explícitas: A=(2,2), A'=(5,3), B=(2,5).
21ª aula (16/mai): idem.
22ª aula (18/mai): P1 (transformada em teste, depois em exercícios):
1) Sejam A=(a1,a2), B=(b1,b2), C=(c1,c2) três pontos diferentes de
R^2, e seja r a reta que passa por A e B. Calcule as coordenadas
do ponto da reta r mais próximo do ponto C.
2) Calcule o ponto da reta {(x,y) | y=2-x/2} mais próximo do ponto
(2,3).
3) Verdadeiro, falso, justifique: Se v e w são vetores em R^2, então
a) ||v+w||^2 = ||v||^2 + 2(v·w) + ||w||^2,
b) ||v+w|| = ||v|| + 2(v·w) + ||w||,
c) ||v+w|| = ||v|| + ||w||.
---------
23ª aula (26/set): 1ª aula depois da greve.
Discutimos os problemas da P1 transformada em teste - principalmente
o 1 e o 2. Várias pessoas estavam usando fórmulas erradas pra obter
um vetor perpendicular a outro e pra calcular a interseção de duas
retas usando matrizes; debugamos tudo isto.
24ª aula (28/set): mais discussão sobre os mesmos problemas.
Fotos do quadro:
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-09-28_GA1.jpg
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-09-28_GA2.jpg
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-09-28_GA3.jpg
25ª aula (03/out): P1.
Scan da prova (ainda sem gabarito):
http://angg.twu.net/GA/GA_P1_2012out03.pdf
http://angg.twu.net/GA/GA_P1_2012out03.djvu
26ª aula (05/out): discussão de problemas da P1 (link pras fotos?)
27ª aula (10/out): O objetivo desta aula era a gente resolver o
seguinte problemão: sejam v e w vetores não-nulos ortogonais, A e C
pontos de R^2, e sejam r, r' e s estas retas:
r = {A+tv | t∈R},
r' = {O+tv | t∈R},
s = {C+uw | u∈R},
e sejam D e D' as interseções:
{D} = r∩s
{D'} = r'∩s
Qual é a relação entre D e D'?
Exercício: mostre que se v _|_ w então v·(av+bw) = a ||v||^2.
Aí voltamos pro problemão.
Dei várias dicas:
* comecem com a figura do item 1b da prova,
* usem a figura simplificada do Nikson (com coefs angs = 1 e -1),
* tentem usar w = (-v2,v1), C = O+av+bw,
* tentem usar além disso A = O+a'v+b'w,
* tentem além disso A = O+w, depois A = O+v+w.
Aí eu vi que os alunos não estavam conseguindo escrever suas
hipóteses precisamente, e propus que escrevessem elas em
matematiquês formal, com ∀ e ∃; isto não funcionou, era difícil
demais - principalmente porque tínhamos muitos objetos
intermediários.
Aí propus que pegassem os desenhos que tinham feito e construíssem
uma tabela com duas colunas, na qual a primeira coluna listava os
nomes dos objetos que foram definidos, em ordem, e a segunda coluna
tinha o texto em matematiquês/português correspondente - e a gente
discutiria a sintaxe certa da parte em matematiquês/português.
Eles obtiveram isto (depois da gente debugar a tabela um pouco):
objeto sintaxe
-------+--------
A | Seja A um ponto de R^2 [1]
v | Seja v um vetor não-nulo de R^2 [2]
w | Seja w=(-v2,v1), onde (v1,v2)=v [3]
a | Seja a∈R [4]
b | Seja b∈R
r | Seja r = {A+tv | t∈R}
r' | Seja r'= {O+tv | t∈R}
C | Seja C = O+av+bw
s | Seja s= {C+uw | u∈R}
D | Seja D o ponto tal que r∩s = {D} [5]
D' | Seja D' o ponto tal que r'∩s = {D'}
Comentários:
[1] Fica implícito que A é um ponto QUALQUER de R^2; o usuário
escolhe um, e isto é como um "input" ou um "scanf".
[2] Idem, mas se o usuário der um vetor nulo o programa rejeita -
ele dá uma mensagem de erro e pede o vetor de novo.
[3] Aqui a ordem é engraçada - seria mais natural escrever
"Sejam v1,v2 tais que (v1,v2)=v; seja w=(-v2,v1)"
[4] Aqui seria melhor escrever "Seja a um ponto de R", só por uma
questão de estilo e clareza... mas eu não soube explicar bem
porquê
[5] Quando a gente diz "_o_ ponto" fica implícito que a gente sabe
que r∩s vai ser um conjunto com exatamente um elemento; fica a
cargo do leitor descobrir _porquê_ sabemos isto (um bom leitor
vai até saber demonstrar porquê!)
Aí eles conseguiram escrever a proposição deles claramente, e ela
ficou assim (eles não escreveram os "∀"s - ou seja, o contexto -
mas eu entendi):
Proposição:
D = A+av = C+bw
D' = O+av = C+bw
Mas esta proposição é _falsa_!...
Mostrei que se a gente usa v=(1,1), w=(1,-1), A=(0,2), C=(0,4) então
D = A+av = C+bw vira (1,3) = (0,2)+1(1,1) = (0,4)+1(1,-1), e
D'= O+av = C+bw vira (2,2) = (0,2)+2(1,1) = (0,4)+2(1,-1)...
28ª aula (12/out): feriado (dia das crianças).
29ª aula (17/out):
Ainda não transcrevi. Fotos do quadro:
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-17_GA1.jpg
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-17_GA2.jpg
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-17_GA3.jpg
30ª aula (19/out):
Ainda não transcrevi. Fotos do quadro:
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-19_GA1.jpg
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-19_GA2.jpg
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-19_GA3.jpg
http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-19_GA4.jpg
31ª aula (24/out): revisão
32ª aula (26/out): P2
http://angg.twu.net/GA/2012.1-provas.pdf
33ª aula (31/out): VR/VS
34ª aula (01/nov): Feriado
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