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Geometria Analítica - 2012.1

Horários do curso em 2012.1: 4ªs e 6ªs 11-13, sala 20.
Veja:
  http://angg.twu.net/2012.1.html
Material dos semestres anteriores:
  http://angg.twu.net/2011.2-GA.html          (página principal)
  http://angg.twu.net/GA/2011.2-GA.pdf        (versão para impressão)
  http://angg.twu.net/GA/GA-2011.2-tudo.pdf   (folhas manuscritas)
  http://angg.twu.net/GA/GA-2011.2-tudo.djvu  (idem, em djvu)
  http://angg.twu.net/2011.1-GA.html          (página principal)
  http://angg.twu.net/GA/2011.1-GA.pdf        (versão para impressão)
  http://angg.twu.net/GA/GA-2011.1-tudo.pdf   (folhas manuscritas)
  http://angg.twu.net/GA/GA-2011.1-tudo.djvu  (idem, em djvu)

Vamos usar principalmente este livro (o do CEDERJ):
  http://www.professores.uff.br/jorge_delgado/
  http://www.professores.uff.br/jorge_delgado/livros/ga-vol1.pdf
A folha com as regras para provas (e como escrever respostas direito)
está em:
  http://angg.twu.net/LATEX/2011-1-GA-regras.pdf

Listas do Reginaldo (de 2011.1):
  http://angg.twu.net/GA/lista1_GA_2011.1.pdf
  http://angg.twu.net/GA/lista2_1_2011.pdf
  http://angg.twu.net/GA/lista3_1_2011.pdf
  http://angg.twu.net/GA/lista4_1_2011.pdf
  http://angg.twu.net/GA/lista5_1_2011.pdf
  http://angg.twu.net/GA/lista6_1_2011.pdf
  http://angg.twu.net/GA/lista7_1_2011.pdf
Versão para impressão desta página:
  http://angg.twu.net/GA/2012.1-GA.pdf
(Pode estar desatualizada!)

Plano de aulas / resumo do que já aconteceu:

1ª aula (07/mar): [ainda nao passei a limpo]
  Avisos: As aulas sao de **11:20** as 13:00.
  Vamos usar principalmente o livro do CEDERJ.
  A página do curso pode ser acessada a partir de http://angg.twu.net/
  (cilque em GA na barra de navegacao - mas a pagina deste semestre
  ainda nao foi criada)
  Vamos usar um bocado de material extra - principalmente os scans das
  folhas manuscritas dos outros semestres, a folha de regras sobre como
  escrever respostas aceitáveis, as listas do Reginaldo e mais uns etcs
  e umas surpresas.
  Temos dois tipos muito importantes de notações para criar conjuntos
  formalmente:
    {x∈{2,3,4,5} | x>=4}  = {4, 5}
     \--------/    \--/
     "gerador"    "filtro"
    {x^2 | x∈{-1,0,1,2}} = {1,0,1,4}
     \-/   \----------/
     expr   gerador
  Obs: o livro do CEDERJ usa estas notacoes pouco...
  Nos vamos usar elas MUITO.
  Dá pra interpretá-las como "for"s:
    a primeira corresponde a:
        for x ∈ {2,3,4,5} do     <-- gerador
          if x >= 4 then         <-- filtro
            print(x)
          end
        end
    e a segunda a:
        for x ∈ {-1,0,1,2} do    <-- gerador
          print(x^2)             <-- expr
        end

  Note que notações "explícitas" como {(1,1), (1,2), (2,3)} só
  conseguem definir precisamente conjuntos _finitos_, e notações como
  {2,3,..., 10} são _imprecisas_ e só vão ser aceitáveis em alguns
  casos - em esboços, em situações nas quais já definimos como
  interpretar "..."s, e em situações em que o contexto deixa o
  significado claro).
    Obs: no semestre passado a Gabriela Ávila, monitora de MD, comecou
  a fazer um programa que entendia estas expressões e calculava seus
  resultados... mas neste semestre não tem monitor de MD e o monitor
  de GA vai ser o mesmo que o de Álgebra Linear, e a gente transformou
  o projeto da Gabriela num projeto aberto.
    [*cav*] A prática com expressões da forma {...|...} e' MUITO
  importante!
  Dica: toda vez que vocês virem uma figura em R^2 pensem se vocês
  conseguem descrevê-la formalmente (i.e., usando "{...|...}"s).
  Exercícios:
    A = {x∈{1,2,3} | (x,x)}
    Obs: (2,3) é um _par ordenado_ (que corresponde a um array de
    comprimento 2).
    [*cav*] em alguns contextos (2,3) é um _inervalo aberto_.
    Calculem A - ou seja, escreva-o "explicitamente", isto é, como uma
    lista finita de pontos dentre de "{...}"s pra indicar conjunto - e
    representem A graficamente.
  Obs: quando temos um par ordenado, p.ex.,
    P = (3,4),
  costumamos chamar a 1ª componente dele de o "x" do par e a segunda
  de o "y" do par... mas não podemos confundir isto com os valores das
  variaveis x e y no "contexto"...
  Em linguagens como C ou pascal podemos dizer: a=22; a=33; e o valor
  da variável MUDA.
  Em matematiquês formal os valores das variaveis NÃO MUDAM!
  Na versao atual da calculadores da Gabriela a gente pode definir
  valores pra variáveis, mas (e isto é um feature, não um bug!) quando
  a gente redefine variaveis o programa da' erro.
  Exemplo:
      [aqui o contexto e' ""]
    x=2
      [aqui o contexto e' "x=2"]
    y=3
      [aqui o contexto e' "x=2 y=3"]
    y=4
      [isto dá erro! se y=3 nao podemos ter y=4 ao mesmo tempo!]
  Em matematiquês formal "x=2" quer dizer "x=2 é verdade", não "a
  partir de agora x passa a valer 2".
  Em geometria - p.ex. em Euclides - tudo é feito em termos de
  "suponha que" e "portanto". Então algo como o "x=2, y=3, y=4" acima
  poderia aparecer como:
    1) suponha que x=2
    2) suponha que y=3
    3) portanto y-x=1    (por (1) e (2))
    4) suponha que y=4
    5) portanto 3=4      (por (2) e (4))
    6) portanto 3-3=4-3  (por (5) e a=b -> a-3=b-3)
    7) portanto 0=1.
  Exercício: sejam
    B = {(t,t^2)   | t∈{-2,-1,0,1,2}}
    C = {(t^2,t)   | t∈{-2,-1,0,1,2}}
    D = {(t,t^2+1) | t∈{-2,-1,0,1,2}}
  Represente B, C e D graficamente. Idem para:
    B'  = {(t,t^2) | t∈{-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2}}
    B'' = {(t,t^2) | t∈R}
  Conjuntos podem ser infinitos - e matematiquês formal é uma
  linguagem com objetos infinitos. Problema: hoje em dia pensamos mais
  "computacionalmente" e não estamos mais acostumados com coisas
  infinitas! :-( Como representar conjuntos por objetos finitos? Uma
  resposta: cada conjunto E passa a ser uma função que responde "sim"
  ou "não" pra perguntas do tipo "x∈E"... por exemplo, se A={(1,1),
  (2,2), (3,3)} então
    (1,1)∈A -> V
    (2,0)∈A -> F
        3∈A -> F (ou dá um erro de tipo)
  Numa implementação disto numa linguagem de programação a sintaxe
  pode mudar bastante:
    > print(A(1, 1))
    true
    > print(A(2, 0))
    false
    > print(A(3))
    false
  [***ainda nao passei o resto a limpo ***]
  Como representar A graficamente? (pontos separados / ligados)
  Diagmos que A' = ligado.
  Aviso: Da mesma forma que voces vao ter que aprender a calcular coisas
  como (1.5, 1.5) in A (a resposta é nao) e voces vao ter que aprender a
  calcular coisas como (1.5, 1.5) in A' onde A' e' definido
  graficamente.
  Obs (caveirao): em matematiues formal nos dizemso que dois conjuntos
  sao o meso quando elest em os mesmos elementos, ou seja, quando eles
  respondem "sim" e :"nao" exatamente da mesma maneira para cada
  pergunta de "pertnece".
  Conseuqencias disto:
  pra mostrar que A neq A' basta encontrar um parametro para o qual um
  responde sim e o outro reposnde nao (exemplo)
  pode ser bem dificl mostrar que dois conjuntos sao iguais
  conjuntos que correspondem a "programas diferentes" podem ser iguais.
  Exemplo (em R): 2^99 e 2^100-2^99
2ª aula (09/mar): [***ainda nao passei a limpo***]
  Avisos: 1) a pagina do curso ainda não está pronta, 2) a calculadora
  da Gabriela está, e vou fazer uma apresnetação sobre ela pra 2 ou 3
  interessados na 5a às 14:00hs.
  Hoje: vamos começar a ver retas. No livro (do CEDERJ) retas podem
  aparecer como: y=2x+1 
  pra gente isto vai ser uma _equação_, e uma reta vai ser um _conjunto
  de pontos_. Exemplo: r={(x,y) in R^2 | y=2x+1}
  isto é uma reta, e agora faz sentido fazer perguntas como: (2,3) in R?
  _Como representar graficamente retas_?
  Exemplo: r={(x,y) in R^2 | y=2x+1}
                ger           fi
  Vamos comecar com:
    R = {(x,y)in{-3,-2,...,2,3}^2 | y=2x+1}
  Nos sabemos calcular o conjunto R explicitamente, de várias formas -
  umas "burras", correspondentes a programas bem simples, outras "mais
  espertas", correspondentes a programas otimizados...
    Seja A={-3, ..., 3}
    Entao A^2 = A×A (o prod cart de dois conjuntos - no caso, iguais)
    Lembrem que A×B = {(a,b) | a in A, b in B}
                       expr    ger     ger
  Como "implementar" o A×A?
    Ideia: AxA = {(a,a) | a in A, a in A}
    for (a=-3; a<=3; ++a)
      for (a=-3; a<=3; ++a)
        printf("(%d,%d)\n", a, a);
    Vai dar errado (tentem em casa).
    Ideia: AxA = {(a,a') | a in A, a' in A}
    A gente sabe representar graficamente AxA.
    Voltando: R={(x,y)in AxA | y=2x+1}
                  ger 49       filtro
    A representacao grafica de R vai ser: _alguns dos pontos de AxA_.
     [tentem fazer isto agora - desenhao - jargao: "sabemos o valor de"]
    desenhos
    Porque estamos fazendo isto? Porque r é uma "aproximacao" para r
    (uma reta), que tem infinitos pontos.
    GA é sobre conjutnos de pontos.
    Exemplo:
      C = {(x,y) in R^2 | (x-2)^2 + (y-3)^2 = 5}
      H = {(x,y) in R^2 | x^2 + 2xy - 3y^2 + 4}, etc
    e so estamos comecando por retas porque elas sao mais faceis
    de calcular (e uteis para todo o resto).
    Exercicio (pra ver o quanto voces lembram): encontre dois pontos
    em cada uma das retas abaixo:
      r_1 = {(x,y) in R^2 | 2/3 x + 4/5 y = 1}   (0,5/4)  (3/2,0)
      r_2 = {(x,y) in R^2 | y = -3x}             (1,-3)   (0,0)
      r_3 = {(x,y) in R^2 | x=4}                 (4,0)    (4,1)
      r_4 = {(x,2x+3) | x in R}                  (0,3)    (1,5)
      r_5 = {(y/2, y) | y in R}                  (1/2,1)  (0,0)
      r_6 = {(2t,3t-3) | t in R}                 (0,-2)   (2,1)
    Afirmacao:
    se r e' uma reta,
    A,B in r
    e C e' o ponto medio de A e B, entao C in r.
    [Isto e' verdadeiro ou falso?]
    O curso de GA vai ser cheio de afirmacoes (ou hipoteses) como a
    acima, que vao ser ou verdadeiras ou flasas, e vamos ter que
    prova'-las.
    Problema: a afirmacao acima ainda nao e' precisa.
    Ainda nao definimos "reta".
    O que temos por enquanto?
    Sabemos _intuitivamente_ o que e' uma reta (talvez com algumas
    duvidas)... podemos _tentar_ fazer definicoes formais de "reta", e
    ver se elas cobrem todos os casos, e se elas não "deixam passar"
    nada que nao seja uma reta...
    Sabemos (intuitivamente) que r_1, ... r_6 _devem_ ser retas -
    sabemos representar graficamente cada uma delas, e _esperamos_ que
    as nossas representacoes estejam certas...
    Hipotese 1: as retas em R^2 sao exatamente os conjuntos da forma
    {(x,y) in R^2 | ax+by=c}.
    Hipotese 2: as retas em R^2 sao exatamente os conjuntos da forma
    {(x,y) in R^2 | y=ax+b}.
    Hipotese 1a: para toda reta r em R^2 existem a,b,c in R tais que
    r={(x,y)inR^2|ax+by=c}
    Hipotese 1b: todo conjunto da forma {(x,y)inR^2|ax+by=c} é uma reta.
    Fato: uma das duas hipoteses 1a e 1b e' falsa. Tente descobrir qual
    (e porque).
    Obs: se voce fizer a mesma coisa com a hipotese 2 - parti-la em 2a e
    2b, etc - vai acontecer a mesma coisa.
    Pra casa: pensem nisto (e resolvam - e tentem escrever a resposta
    direito).
    Lembrem que a coisa mais dificil em GA é SEMPRE a parte de escrever
    as suas ideias precisamente e de um modo aceitavel (correto,
    legivel, etc) - e o unico modo de aprender a escrever é TREINAR!

3ª aula (14/mar): [***ainda nao passei a limpo***]
  dei uns avisos (repeti os das aulas anteriores e dei mais um, sobre
  a apresentacao da calculadora da gabriela) e fizemos uma revisão de
  representação gráfica
  Calculem e representem graficamente:
    A = {-3,-2,-1,-0,1,2,3}
    A×A
    {(x,y) in A×A | x>=y}
    {(x,y) in A×A | x=y}
    {(x,y) in A×A | 2x <= 3y}
  Obs: A é um conjunto de pontos da reta real, A×A é um conjunto de
  pontos do plano
    R = ----------- ....
    [0,2] = ...
    (Notação: --- mais grosso que a linha que usamos pra R,
     extremidades do intervalo com * ao inves de o pra indicar que as
     extremidades pertencem ao conjunto)
   Rascunho: C = repr grafica de [1,3]
             B = repr grafica de [1,3)               (])
   Perguntas: 0, 1, 2, 3, 2.5, pertencem a A, B, C?
   Como debugar respostas de problemas como o da represnetcao grafica
   de {(x,y) in A×A | x>=y}?
   Vamos dar _nomes_ pros objetos.
     D:=A×A
     D_{>=} = ... 
     D'_{>=} = ... 
     Obs: nomes em matematiques formal normalmente são feitos de uma
     letra só, com subscritos e superscritos opcionais - e a gente
     pode ter subscritos e superscritos estranhos, como ">=".
     Convenção (pascalismo): ":=" indica que estamos definindo um
     objeto.
     Repare que _definimos_ o D>=' pela representação gráfica - e
     podemos comparar o D>= e o D>='.
     Exercicio: entontrar um ponto (x,y) tal que: (x,y) in D>=', mas
     (x,y) notin D>=.
   Lembre que:
     dois conjuntos sao _iguais_ se eles tem exatamente os mesmos pontos.
     dois conjuntos sao _diferentes_ se eles nao tem extamanete os
     mesmos pontos, isto é, se existe algum ponto que pertence a um e
     não pertence ao outro.
     pra mostrar que dois conjuntos A e B sao diferentes basta
     encontrar um ponto P tal que P in A e P notin B, ou um ponto P'
     tal que P' notin A e P' in B.
     Como mostrar que D>= neq D>='?
     (obs: a gente comeca com "candidatos"...)
     Ideia: usar o (-3,-1).
     Ideia: (-3,-1) in D>=?
            (-3,-1) in D>='?
            (-3,-1) in D>=' porque ele é este ponto aqui: [este].
     (-3,-1) notin D>= ...
     A prova disto é uma (espécie de) conta [obs: vamos ver o metodo
     geral com todos os detalhes na aula que vem].
     (-3,-1) in D>=
       se e so se
     (-3,-1) in {(x,y) in A×A | x>=y}
       ou seja, se
     (-3,-1) é um ponto da forma "(x,y) in A×A tal que x>=y"
       ou seja, se
     quando x=-3 e y=-1 temos "(-3,-1) in A×A e -3>=-1"
     mas "(-3,-1) in AxA" é verdade e "-3>=-1 é falso", portanto
     "(-3,-1) in A×A e -3>=-1" é falso, portanto (-3,-1) in D>=.
       Pedi pros alunos pensarem nisto em casa.
     Problemao da aula passada: hip 1, hip 2
     Repare que aqui estamos definindo três conjuntos...
       E = o conjunto de todas as retas de R^2,
       E' = o conjunto de todos os conuntos da forma {(x,y) in R^2 | ax+by=c}
       E'' = o conjunto de todos os conuntos da forma {(x,y) in R^2 | y=ax+b}
     Má notícia: estamos falando de conjuntos de conjuntos.
     Obs: {{2,3},{3,4}} é um conjunto de conjuntos (que não é tão cabeludo)
     Péssima notícia: é difícil passar em GA sem entender conjuntos de
     conjuntos - por exemplo vetores são definidos como cojuntos de ...
     (vamos ver isto depois!)
     Ainda nào definimos _precisamente_ o que é um reta, mas sabemos
     "intuitivamente" o que é um reta... por exemplo,
       {(-3,-3), (-2,-2), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2), (3,3)} 
       não é uma reta,
       {(1,1)} tambm não (mas é uma "reta degenerada")
       R^2 nao é uma reta.
     Idéia: toda reta é gerada a partir de dois pontos A e B diferentes.
     Idéia: pra entendermos "intuitivamente" o que é o E' temos que
     aprender a pegar quaiquer valores a, b e c e gerar o conjunto
     {...}.
     Obs (respondendo a uma pergunta do José Flávio):
       E' = {{(x,y) in R^2 | ax+by=c} | a,b,c in R}
     Pra casa: aprendam a representar graficamente conjuntos da forma
       {(x,y) in R^2 | ax+by=c}
     _rapidamente_.
4ª aula (16/mar): o objetivo principal desta aula é: aprender a
  converter rapidamente entre representações da forma {(x,y)∈R^2 |
  ax+by=c}, representações da forma {(x,y)∈R^2 | y=ax+b}, e
  representações gráficas.
  Exercicios: representem graficamente {(x,y)∈R^2 | ax+by=c} quando:
    a) a=1, b=-1, c=2
    b) a=1, b=0,  c=2
    c) a=1, b=1,  c=2
    d) a=1, b=1,  c=1
    e) a=1, b=1,  c=0
  e representem graficamente {(x,y)∈R^2 | y=ax+b} quando:
    a') a=1, b=0
    b') a=2, b=0
    c') a=-1, b=0
    d') a=-1, b=1
    e') a=-1, b=2
  Dicas: (1) encontre dois pontos diferentes em cada um destes
  conjuntos; (2) peça pro seu vizinho verificar se os seus pontos
  pertencem ao conjunto; (3) se ele souber conferir muito rápido peça
  pra ele explicar como ele está fazendo as contas e verificações
  Depois que todo mundo pegou a prática passei estes exercícios aqui:
  ainda usando as notações
    r_(a,b,c) = {(x,y)∈R^2 | ax+by=c}  e
    r_(a,b)   = {(x,y)∈R^2 | y=ax+b},
  represente graficamente:
    f) r_(1,-1,0), r_(1,-2,0), r_(1,-3,0)
    g) r_(2,1,0),  r_(3,1,0), r_(4,1,0)
    h) r_(2,3,4), r_(2,3,5), r(2,3,6)
    f') r(2,2), r(2,3), r(2,4)
    g') r(2,2) r(1,2) r(0,2) r(-1,2)
  esses são pra casa:
    i) r(2,1,0), r(4,2,0), r(6,3,0)
    j) r(2,3,4), r(4,6,8), r(-2,-3,-4)
    k) r_(0,0,0)
    l) r_(0,0,2)

5ª aula (21/mar):
  Começamos rediscutindo os exercícios (f) a (l) da aula passada.
  k) Testamos se alguns pontos de R^2 pertenciam a r_(0,0,0), vimos
     que sim, e vimos que todos os pontos de R^2 pertencem a
     r_(0,0,0)... Lembramos a notação \subseteq:
       A \subseteq B    "A está contido ou é igual a B"
       {1,2}     \subseteq {1,2,3} ?   sim
       {1,2,3}   \subseteq {1,2,3} ?   sim
       {1,2,3,4} \subseteq {1,2,3} ?   nao
         {2,3,4} \subseteq {1,2,3} ?   nao
     Descobrimos que R^2 \subseteq r_(0,0,0).
     Será que existe algum ponto de R^2 que não pertence a r_(0,0,0)?
     Não, por causa disto:
       r_(0,0,0) = {(x,y)∈R^2 | 0x+0y=0}
                    \-------/
     (mas vamos voltar a isto depois - eu disse que era melhor nós
     passarmos batido por alguns detalhes técnicos agora).
     Portanto R^2 \subseteq r_(0,0,0),
              r_(0,0,0) \subseteq R^2,
              r_(0,0,0) = R^2.

     Mostrei uma representação gráfica possível - o plano R^2 todo
     rabiscado, e uma legenda dizendo, em português, "todo o R^2".
     Obs: a explicação em português faz com que a gente não precise
     nem fazer um desenho infinito nem gastar tinta demais!!!
  l) r_(0,0,2) = {(x,y)∈R^2 | 0x+0y=2}
     Testamos vários pontos de R^2 e descobrimos que nenhum deles
     pertence a r_(0,0,0); aliás, nenhum ponto de R^2 pertence a
     r_(0,0,0)...
     Será que existe algum ponto que pertence a r_(0,0,2) mas não
     pertence a R^2? Por exemplo, será que 5 ∈ r_(0,0,2) (Obs: 5∈R, 5
     \notin R^2) Não...
     Moral: r_(0,0,2) é o conjunto vazio.
     Representação gráfica: os eixos de R^2 sem nada extra marcado,
     e a legenda: "r_(0,0,2) é o conjunto vazio".
     Obs: Se vocês querem que as pessoas entendam o que vocês escrevem
     usem todos os truques possíveis - matematiquês, português,
     gráficos, etc!
  j) r_(2,3,4) = {(x,y)∈R^2 | 2x+3y = 4}
     Mini-exercício: encontem dois pontos de r_(2,3,4).
     Problema(ão): como calcular dois pontos de r_(2,3,4) - e escrever
     o raciocínio claramente em português?
       1) Suponha que x,y ∈ R.
       2) Suponha além disto que 2x+3y=4.
       3) Suponha além disto que x=0. \
       4) Portanto 2·0+3y=4.          | Este trecho diz que _quando_
       5) Portanto 3y=4.              | x=0 temos y=4/3.
       6) Portanto y=4/3.             /
     Outro modo de escrever:
       1) Suponha que x,y ∈ R.
       2) Suponha além disto que 2x+3y=4.
       3) Se x=2 então:
          4') 2·2 + 3y = 4,
          5') 4 + 3y = 4,
          6') 3y = 0,
          7') y = 0.
     Note que o raciocínio 1..7' é parecido com o 1..6, mas o modo de
     escrevê-lo - com "se" - indica que a hipótese "x=2" é
     _temporária_ - assim que a frase do "se" termina a hipótese "x=2"
     não vale mais.
     Outro modo:
       Suponha que x,y ∈ R e 2x+3y=4.
       Então:
         Se x=0 então y=4/3,
         Se x=2 então y=0,
         Se x=1 então y=2/3,
         Se x=5 então y=-2,
         ...
       e, em geral,
         Se x∈R então y=(4-2x)/3.
   Repare que dá pra reescrever todos os pontos que descobrimos na
   reta usando uma notação em matematiquês puro, sem nenhum "se":
     (0,4/3) ∈ {(x,y)∈R^2 | 2x+3y=4} = r_(2,3,4)
       (2,0) ∈ r_(2,3,4)
     (1,2/3) ∈ r_(2,3,4) ...
   e se x∈R então
     (x,(4-2x)/3) = r_(2,3,4).
  Aí fizemos representações gráficas para r_(2,3,4), r_(4,6,8) e
  r_(-2,-3,-4) e vimos que são três retas iguais.
    Hipótese: para todo k∈R temos r_(2,3,4) = r_(2k,3k,4k).
      Vamos começar fazendo alguns testes pra ver se isto pode ser
      verdade...
      Definição (temporária):
        P(k) = (r_(2,3,4) = r_(2k,3k,4k)).
      Então:
        P(1) = (r_(2,3,4) = r_(2·1,3·1,4·1)) = verdadeiro,
        P(2) = (r_(2,3,4) = r_(2·2,3·2,4·2)) = verdadeiro,
        P(-1) = (r_(2,3,4) = r_(-2,-3,-4)) = verdadeiro...
      mas
        P(0) = (r_(2,3,4) = r_(0,0,0)) = falso.
      A hipótese acima é falsa - o contra-exemplo é k=0.
   Exercício:
     Encontre alfa e beta tais que r_(2,3,4) = r_(alfa,beta).
     Hipótese 1: r_(2,3,4) = r_(2,0)
     Hipótese 2: r_(2,3,4) = r_(-2/3, 4/3)
     Hipótese 3: r_(2,3,4) = r_(2,4)
     Hipótese 4: r_(2,3,4) = r_(-5/8, 7/4)
     Sub-exercício: representem graficamente r_(2,0), r(-2/3,4/3),
       r_(2,4), r_(-5/8,7/4).
  Problemas para casa:
    1) Tente encontrar uma fórmula geral para os alfa e beta em:
       r_(a,b,c) = r_(alfa,beta)
       [difícil - vocês vão ter que ser bastante organizados pra
       conseguirem não se enrolar... mas este exercício é um ótimo
       treino - vocês vão ser confrontados com problemas grandes com
       freqüência, e vocês precisam treinar lidar com eles sem se
       perderem!]
    2) Sejam A=(1,2) e v=(3,4).
       Lembre como calcular A+v, A+2v, A+3v, ...
       e tentem encontrar notações formais para a reta que contém os
       pontos A, A+v, A+2v, A+3v, ...
    3) Suponha que a=2, b=3, c=4,
       (x,y) ∈ r_(a,b,c),
       (x,y) ∈ r_(a,b).
       Encontre x e y.

6ª aula (23/mar): No fim da aula anterior eu lembrei que retas também
  podem ser expressas usando vetores, e dei este exemplo:
                    ---->
      r = {(1,2) + t(3,4) | t∈R}
  Encontramos alguns pontos de r fazendo uma tabela:
     t     t(3,4)   (1,2)+t(3,4)
    ----+-----------------------
    -1  |  (-3,-4)    (-2,-2)
     0  |   (0,0)      (1,2)
    -1  |   (3,4)      (4,6)
    -1  |   (6,8)      (7,10)
  Portanto:
    (-2,-2) ∈ r     (correspondente a t=-1)
      (1,2) ∈ r     (correspondente a t=0)
      (4,6) ∈ r     (correspondente a t=1)
     (7,10) ∈ r     (correspondente a t=2)
  Exercícios:
    a) encontre um ponto (x,0)∈r,
    b) encontre um ponto (0,y)∈r.
  (Obs: mais formalmente: "encontre um ponto A da forma (x,0) tal que
  A∈r", ou: "encontre um x∈R tal que (x,0)∈r". Idem para y).
    a',b') Escreva o raciocício que você usou um (a) e (b)
      formalmente, isto é, com a notação certa, "suponha"s e
      "portanto"s, etc.
  Todo mundo conseguiu fazer o (a) e o (b), mas as pessoas se enrolaram
  com o (a') e o (b'). Sugeri que começassem com:
    Suponha que (x,y)=(1,2)+t(3,4).
    Portanto (x,y)=(1+3t,...) e x=1+3t...
  mas discutimos no quadro modos de traduzir as repostas da a e da b e
  chegamos a:
    (1,2)+t(3,4) = (1+3t, 2+4t)
    Sejam x=1+3t, y=2+4t.
    Suponha que y=0.
    Então 2+4t = 0,
            4t = -2,
             t = -2/4 = -1/2,
    e como x = 1=3t temos x = 1+3(-1/2) = -1/2.
    Portanto se (x,y) é da forma (1,2)+t(3,4) e y=0,
    então x=-1/2 e (x,y)=(-1/2,0).
  Obs: "(x,y) é da forma (1,2)+t(3,4)"
  quer dizer "∃x∈R.(x,y)=(1,2)+t(3,4)".
  Às vezes a gente vai ter que lidar com casos nos quais não existe um
  ponto "da forma tal".
    Seja s = {(1,2)+t(3,0) | t∈R}.
      c) Encontre um ponto (x,0)∈s.
      d) Encontre um ponto (0,y)∈s.
      c',d') Escreva os raciocínios para (c) e (d) formalmente.
    c) Suponha que x∈R e (x,0)∈s, ou seja, ∃t∈R.(x,0)=(1,2)+t(3,0).
       Para este valor de t temos:
         (x,0) = (1+3t,2),
       ou seja, x=1+3t e 0=2.
       Nenhum valor de t vai satisfazer as duas condições ao mesmo
       tempo, porque não dá pra satisfazer a condição 0=2; portanto
       não existe um ponto (x,0)∈s. (Obs: isto é uma prova por
       contradição).
  Mais exercícios (fáceis):
    e) Encontre uma reta r_e = {(a,b)+t(c,d) | t∈R} que passe pelos
       pontos (2,0) e (0,3).
    f) Idem, mas que passe pelos pontos (2,3) e (4,5).
  Truque: se r_e = {(a,b)+t(c,d) | t∈R}, quem são os pontos de r_e
  correspondentes a t=0 r t=1? Ajuste a,b,c,d para que (2,0) seja o
  ponto correspondente a t=0 e (0,3) seja o ponto correspondente a
  t=1.
    g) Represente graficamente G = {(4,3)+t(2,1) | t∈[-1,2]}.
    h) Encontre uma representação formal (em matematiquês puro) para o
       segmento ligando (1,4) a (4,2).
  Aula que vem: segmentos orientado e vetores!
  Obs: depois da aula discuti com o Jó e o Nixon, que não tinham
  conseguido fazer o problema pra casa 1 da aula 5, que era:
    1) Tente encontrar uma fórmula geral para os alfa e beta em:
       r_(a,b,c) = r_(alfa,beta)
  Sugeri que eles começassem com dois casos particulares -
          r(2,3,4) = r_(alfa,beta) e
     r(99,200,666) = r_(alfa,beta)
  e depois reaproveitassem a estrutura das contas pra fazer o caso
  geral. A estrutura a que chegamos foi esta aqui:
    Queremos que 99x+200y=666 seja verdade exatamente quando
    y = alfa x + beta.
      99 x + 200 y = 666 <==> 200 y = -99 x + 666
                         <==> y = -99/200 x + 666/200
    Então alfa = -99/200, beta = 666/200.

7ª aula (28/mar): Hoje: segmentos, vetores, etc!
  Revimos os exercícios (g) e (h) da aula aunterior, e propus o
  seguinte exercício em dupla: "cada pessoa vai escolher 4 segmentos
  em R^2, representá-los graficamente, e _não vai_ entregar a
  representação gráfica pro colega; vocês vão entregar pro colega uma
  folha com a representação formal dos 4 segmentos, o colega vai
  tentar obter a representação gráfica deles, e vocês vão compará-la
  com a original."
    Exemplo: (completar)
  Segmentos orientados
  ====================                     ->
  Vamos usar, _temporariamente_, a notacao AB para o segmento
  orientado indo de A para B, e a representação gráfica disto vai ser
  uma _seta_ indo do ponto A pro ponto B.
  Convenção (que não está no livro!): vamos representar AB em
  matematiquês formal como um par ordenado de pontos de R^2. Exemplo:
      ->   --------->
      AB = (1,2)(3,4) = ((1,2),(3,4))
    (e fiz a representação gráfica disto).
  Vetores, formalmente
  ====================
  [*cav*] Vetores são conjuntos de segmentos orientados.
  Exemplo: ---->     ->              ---->
           (1,2) = { AB | A∈R^2, B=A+(1,2) } 
                 = { ((x,y),(x+1,y+2)) | x,y∈R }      ---->
  Mostrei como é que a gente pode representar o vetor (1,2)
  graficamente (mas desenhando só alguns segmentos orientados).
  Agora a gente consegue formalizar some de ponto e vetor como:
  o resultado de A+v é um ponto B∈R^2 tal que AB∈v.
  Como a representação de um vetor é um monte de setinhas paralelas,
  dá pra representar um vetor sem desenhar os eixos; vetores "não têm
  noção de origem"!
  Vetores servem pra formalizar a idéia de "reta como ponto que se
  desloca" ("trajetória").
  Digamos que
    r = {A+tv | t∈R}
  ou, equivalentemente, definimos P(t) = A+tv e r = {P(t) | t∈R}.
  Às vezes escolhas diferentes de A e v geram a mesma reta
    r_(A,v) = {A+tv | t∈R}.
  Lembre que:
    r_(a,b,c)     = {(x,y)∈R^2 | ax+by=c}
    r_(alfa,beta) = {(x,y)∈R^2 | y = alfa x + beta}
  Agora temos mais um mode de definir retas:
    r_(A,v) = {A+tv | t∈R}
  Exercício: representem graficamente
    r_((1,0),(1,-1))
  e tentem encontrar representações da forma r_(a,b,c) e r_(alfa,beta)
  para r_((1,0),(1,-1)).
  Problema (pra casa):      
    E    = conjunto de todas as retas de R^2,
    E'   = {r_(a,b,c) | a,b,c∈R}
    E''  = {r_(alfa,beta) | alfa,beta∈R}
    E''' = {r_(A,v) | A∈R^2, v vetor em R^2}
  O conjunto E''' é novidade... ele é igual a E, a E', ou a E''?
8ª aula (30/mar): hoje: operações com vetores e propriedades destas
  operações, mas, _antes disto_, como demonstrar afirmações com "para
  todo"? Voltamos ao problema da aula passada, e desmontamos ele em:
    (I)   E   = E''',
    (II)  E'  = E''',
    (III) E'' = E''',
  e em:
    (Ia)   Toda reta de R^2            é da forma r_(A,v),
    (IIa)  Toda conjunto r_(a,b,c)     é da forma r_(A,v),
    (IIIa) Toda conjunto r_(alfa,beta) é da forma r_(A,v),
    (Ib)   Todo conjunto r_(A,v)       é uma reta de R^2
    (IIb)  Todo conjunto r_(A,v)       é da forma r_(a,b,c),
    (IIIb) Todo conjunto r_(A,v)       é da forma r_(alfa,beta).
  Exercício pra agora: para cada uma das afirmações Ia ... IIIb diga
  se ela é verdadeira ou falsa e justifique.
  Obs: o tema desta aula é como escrever estas justificativas direito!
  Perguntem agora ou se calem para sempre!
  (A gente acabou passando a aula toda discutindo isto)

9ª aula (04/abr):
  Hoje (e em todo o resto do curso!) vamos trabalhar em cima de várias
  perguntas do tipo "todo ... tem a propriedade ...".
  Produto interno (algebricamente)
  ================================
  Def: (a,b)·(c,d) = ac+bd
  Obs: vamos _começar_ com a definição algébrica e vamos provar as
  propriedades geométricas aos poucos.
  Def: ||v|| = sqrt(v·v).
     e ||v|| vai ser chamado de a "norma", ou "comprimento", de v.
  Def: v e w são ortogonais se e só se v·w=0.
  Exercício (revisão): calcule: ||(3,4)||, ||(8,-6)||, ||(2,2)||,
    ||(0,2)||, ||(0,-6)||
  Exercício: Para cada vetor com coordenadas "pequenas" - (x,y), com
    x,y∈{-5,-4-,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} - calcule ||(x,y)|| e represente
    todos os resultados graficamente.
    Escrevendo sqrt(x) como [x], os resultados no primeiro quadrante
    ficam:
        5  [26] [29] [34] [41] [50]
        4  [17] [20]   5  [32] [41]
        3  [10] [13] [18]   5  [34] 
        2   [5]  [8] [13] [20] [29]
        1   [2]  [5] [10] [17] [26]
       -0----1----2----3----4----5
  Exercício/problema, em grupo: vocês devem ter descoberto várias
  técnicas pra fazer o gráfico mais rápido - expresse cada uma delas
  formalmente. Por exemplo:
    Para x,y em R, ||(x,y)|| = ||(y,x)||.
  Tente expressar pelo menos:
    a) como preencher os eixos,
    b) simetria diagonal,
    c) simetria horizontal e vertical.
  Apareceram as seguintes proposições (ou melhor, hipóteses):
    1) ∀x∈R. ||(x,x)|| = x sqrt(2)
    2) ∀x∈R. ||(x,0)||=||(0,y)|| ∧ x=y     <-- :-(
    3) ∀x∈R. ||(0,x)||=||(x,0)||=x
    4) ∀x∈R. x=y -> ||(x,0)|| = ||(0,y)||
    5) ∀x∈R. ||(x,0)|| = ||(0,x)||
    6) ∀x∈R. ||(x,x)|| = |x| sqrt(2)
  Será que todas elas valem para x=-2?...
  Vimos como traduzir alguns exercícios da lista do Reginaldo para
  sentenças como "∀"s em R, por exemplo:
    ∀a,b,c,d∈R. (a,b)·(c,d) = ||(a,b)|| ||(c,d)||
  Pedi pra todo mundo tentar fazer a lista do Reginaldo em casa.
10ª aula (06/abr): Semana Santa.

11ª aula (11/abr):
  1) Exercício: represente graficamente a função f(x,y) = v·(x,y)
     nestes casos:
       a) v=(2,3)
       b) v=(0,1)
       c) v=(-1,1)
  2) Represente graficamente o conjunto A_v = {(x,y)∈R^2 | v·(x,y)=0}
     nestes casos:
       a) A_(2,3)
       b) A_(0,1)
       c) A_(-1,1)
  Fizemos um mutirão pra fazer o 1a no quadro, e deixamos o resto pra
  casa. Depois discutimos alguns itens da lista 1 do Reginaldo:
    http://angg.twu.net/GA/lista1_GA_2011.1.pdf
  e variações deles; discutimos como formalizar a idéia de que uma
  proposição é "quase verdadeira" - é necessário criar uma outra
  proposição, "consertando" a proposição original.
    2a)  Se au+bv=0 então a=0 e b=0,
    2a') Se a=0 e b=0 então au+bv=0,
    2f)  Se u!=0 e u·v=u·w então v=w,
    2a'') Se v=0 e au+bv=0 então a e b "podem ser reais quaisquer",
    2a''') Se v=0, a∈R e b∈R então au+bv=0,
    2a'''') ∀a,b∈R. ∀u,v vetores de R^2, (au+bv=0 -> a=0∧b=0)
  A prova de que a 2a é falsa deve ser escrita nesta forma:
    Quando a=___, b=___, u=___, v=___
    temos au+bv=0 _______ (<= verdadeiro ou falso)
      e a=0 e b=0 _______ (<= verdadeiro ou falso).
  Sugeri que pra discutir os itens 2a..2a'''' a gente desse nomes para
  as subexpressões - e definimos:
    P(a,b,u,v) = (au+bv=0)  
    Q(a,b)     = (a=0∧b=0)
    R(a,b,u,v) = (P(a,b,u,v)->Q(a,b))
12ª aula (13/abr):
  Pra gente poder resolver alguns sistemas mais rápido eu propus um
  exercío com matrizes... Todo mundo deve lembrar como multiplicar uma
  matriz por um vetor:
    / a  b \ / x \   / ax+by \
    |      | |   | = |       |
    \ c  d / \ y /   \ cx+dy /
  Em matematiquês quando a gente precisa de uma letra que venha depois
  do z a gente em geral usa w... (!!!)
  Vamos definir:
        / a  b \        / d -b \        / x \       / z \
    M = |      |   M' = |      |    u = |   |   v = |   |
        \ c  d /        \-c  a /        \ y /       \ w /
  Isto é verdadeiro ou falso? Justifique:
    ( ) Se ad-bc=1 então M'Mu = u e MM'v = v.
  Vimos que isto é verdade para quaisquer a,b,c,d,x,y, desde que 
  ad-bc=1 - ou seja, M'Mu=u vale para qualquer vetor u e qualquer
  matriz M na qual ad-bc=1.
  Aí eu peguei um problema da lista do Reginaldo e reescrevi ele
  várias vezes:
       2m) Todo ponto do plano é combinaçào linear dos vetores
           u=(2,3) e v=(1,3/2).
      2m') Todo vetor (x,y) é da forma a(2,3)+b(1,3/2).
     2m'') Para quaisquer x,y∈R existem a,b∈R tais que
           (x,y)=a(2,3)+b(1,3/2).
    2m''') Para qualquer vetor (x,y) em R^2 existe um vetor (a,b) em
           R^2 tal que:
             / 2  1  \ / a \   / x \
             |       | |   | = |   | .
             \ 3 3/2 / \ b /   \ y /
  Repare que
    / a  b \ / x \   / z \
    |      | |   | = |   |
    \ c  d / \ y /   \ w /
  é um modo chique de escrever duas equações, ax+by=z e cx+dy=w,
  usando uma igualdade só...
  Aí começamos a trabalhar numa variação do problema do Reginaldo:
      2w) Todo vetor do plano é combinação linear dos vetores (3,2) e
          (4,3),
     2w') Todo vetor (x,y) é da forma a(3,2)+b(4,3),
    2w'') Para quaisquer x,y∈R existem a,b∈R tais que:
          / 3  4 \ / a \   / x \
          |      | |   | = |   | .
          \ 2  3 / \ b /   \ y /
  Como resolver o 2w''?
  Vamos definir um procedimento (que pode ser facilmente implementado
  num computador!) pra encontrar as "respostas" a e b a partir de
  valores de x e y ("dados pelo usuário")...
  Exercícios:
    1) Mostre que este procedimento não funciona:
         a := 5x,
         b := 6y.
    2) Encontre o a e o b correspondentes a este caso:
         x = 9,
         y = 10.
  Def (meio informal): um procedimento "funciona" pra resolver o nosso
  problema quando
    ∀x,y∈R. a,b "obedecem a condição"
  ou seja, quando
            / 3  4 \ / a \   / x \
    ∀x,y∈R. |      | |   | = |   | ,
            \ 2  3 / \ b /   \ y /
  ou, mais precisamente ainda,
            / 3  4 \ / a[x,y] \   / x \
    ∀x,y∈R. |      | |        | = |   |
            \ 2  3 / \ b[x,y] /   \ y /
  (obs: estou usando "[]"s em "a[x,y]" pra indicar os argumentos da
  função - "a(x,y)" pode parecer multiplicação de escalar por vetor)
  Nosso primeiro procedimento era:
    a_1[x,y] := 5x,
    b_1[x,y] := 6y,
  e ele "funciona" se e só se:
            / 3  4 \ / a_1[x,y] \   / x \
    ∀x,y∈R. |      | |          | = |   | .
            \ 2  3 / \ b_1[x,y] /   \ y /

13ª aula (18/abr): Voltamos aos problemas 2w e 2w'' da aula anterior.
  Introduzi uma terminologia: "resolver o sistema linear Mv=w" quer
  dizer o seguinte: conhecemos a matriz M e o vetor w, e queremos
  encontrar v. Perguntei se os alunos estavam sabiam resolver
    / 3  4 \ / a \   / x \
    |      | |   | = |   |
    \ 2  3 / \ b /   \ y /
  para quaisquer valores de x e y, eles disseram que mais ou menos,
  que eles até conseguem, mas na hora de testar os as e bs que eles
  obtêm eles vêem que deu errado =/.
  Pedi pra tentarem resolver:
          / 3  4 \ / a \   / 1 \
     (I)  |      | |   | = |   |
          \ 2  3 / \ b /   \ 0 /
          / 3  4 \ / a \   / 0 \
    (II)  |      | |   | = |   |
          \ 2  3 / \ b /   \ 1 /
          / 3  4 \ / a \   / 9 \
   (III)  |      | |   | = |   |
          \ 2  3 / \ b /   \10 /
  E depois pra fazerem esta conta:
     / 3  4 \     / 3 \     /-4 \     / x \
     |      | ( x |   | + y |   | ) = |   |
     \ 2  3 /     \-2 /     \ 3 /     \ y /
  Obs: dá pra fazer isto de modos trabalhosos, mas também dá pra fazer
  por: M(av+bw) = M(av)+M(bw) = a(MV)+b(Mw).
  Vimos que
       / 3 \     /-4 \   / 3 -4 \ / x \
     x |   | + y |   | = |      | |   |
       \-2 /     \ 3 /   \-2  3 / \ y /
  e portanto
     / 3  4 \   / 3 -4 \ / x \     / x \
     |      | ( |      | |   | ) = |   |
     \ 2  3 /   \-2  3 / \ y /     \ y /
  para quaisquer x e y.
  Deixei um exercício e um problema pra casa:
  (1) Use que
       / 3  7 \   / 5 -7 \ / x \     / x \
       |      | ( |      | |   | ) = |   |
       \ 2  5 /   \-2  3 / \ y /     \ y /
      para resolver:
       / 3  7 \ / a \   / 10 \
       |      | |   | = |    |
       \ 2  5 / \ b /   \ 20 /
  (2) Mostre que nem sempre isto vale:
       / a  b \   / d -b \ / x \     / x \
       |      | ( |      | |   | ) = |   |
       \ c  d /   \-c  a / \ y /     \ y /
14ª aula (20/abr): Tentamos discutir o problema (2) da aula passada e
  acabamos gastando a aula toda nele - nem deu pra entrar em "métodos
  vetoriais olhométricos", que era o meu plano original...
  Vou usar as seguintes abreviações:
        / a  b \        / d -b \        / x \       / (ad-bc)x \
    M = |      |   M' = |      |    u = |   |   v = |          |
        \ c  d /        \-c  a /        \ y /       \ (ad-bc)y /
  O problema da aula passada era:
    Mostre que nem sempre temos MM'u = v.
  Dei uma dica:
    MM'u = v.
  Algumas idéias que surgiram na discussão:
    a) Quando d=0 e x=y=1 temos MM'u = v.
    b) E se   d=0,  x=y=1, a=0, b=1, c=-1?
    c) Tentem encontrar a,b,c,d,x,y tais que v != u.
    d) Tente usar a!=0, b!=1, c!=-1, d=0 na (c).
    e) Tente usar a=200, b=10, c=30, d=0 na (c).
    f) Tente usar a=b=c=d=0 na (c).
    g) Tente usar a=c e b=d na (c).
  Propus os seguintes problemas (IMPORTANTES, PRA CASA!):
    0) Reescreva todas as sentenças que apareceram agora PRECISAMENTE,
       usando ∀, ∃, ->, etc.
    1) Prove que as "sentenças à esquerda" (que estavam no quadro,
       que estava bagunçado) são falsa (use contra-exemplos).
       Pra casa reinterprete este problema como: "para cada sentença
       que você obtiver no (0) diga se ela é verdadeira ou falsa, e
       prove isto".
    2) (Só porque muita gente estava tentando fazer isto)
       Mostre como modificar cada sentença falsa para torná-la
       verdadeira (e como modificar cada verdadeira pra obter uma
       falsa).
  Algumas sentenças que apareceram quando a gente tentou fazer o
  problema 0 no quadro:
    0a) ∃a,b,c,d∈R. MM'u != u
    0b) ∀a,b,c,d∈R. MM'u = v
    0c) ∃a,b,c,d,x,y∈R. v != u
    0d) ∀a,b,c,d∈R. a!=0∧b!=1∧c!=-1∀d=0 -> ∃x,y∈R. MM'u  = v
    0e) ∀a,b,c,d∈R. a!=0∧b!=1∧c!=-1∀d=0 -> ∃x,y∈R. MM'u != v
    0f) ∀a,b,c,d∈R. a!=0∧b!=1∧c!=-1∀d=0 -> ∀x,y∈R. MM'u  = v
    0g) ∀a,b,c,d∈R. a!=0∧b!=1∧c!=-1∀d=0 -> ∀x,y∈R. MM'u != v

15ª aula (25/abr): Problemas (V, F, justifique):
    1) ( ) ∀k∈R.     ∀v em R^2. ||kv|| =  k  ||v||
    2) ( ) ∀k∈R.     ∀v em R^2. ||kv|| = |k| ||v||
    3) ( ) ∀k∈[0,∞). ∀v em R^2. ||kv|| =  k  ||v||                ]
    4) ( ) ∀u,v,w em R^2.    u·(v+w) = (u·v)+(u·w)
    5) ( ) ∀u,v em R^2. ∀a∈R. u·(av) = a(u·v) = (au)·v
    6) ( ) ∀u,v em R^2. ∀a∈R. u·v = v·u
  Vimos que a (1) é falsa, por um contra-exemplo, e a partir de uma
  dúvida que surgiu, propus:
    7) ( ) Quando k=-2 temos ∀a,b∈R. ||k(a,b)|| != k||(a,b)||
  Vimos que a (7) também e falsa.
  Já vimos - em _várias_ aulas - como mostrar que certas expressões
  com "∀" são falsas, usando contra-exemplos; agora vamos ver um modo
  de mostrar que uma sentença com "∀" é verdadeira - "fazendo a
  conta". Fiz a (2) no quadro, reescrevendo ela um pouco:
    8) ( ) ∀k∈R. ∀a,b∈R. ||k(a,b)|| = |k| ||(a,b)||
       Digamos que k,a,b são reais quaisquer.
       Queremos provar que ||k(a,b)|| = |k| ||(a,b)||.
       Vamos fazer a conta!
       O modo mais claro é fazê-la em duas partes:
         ||k(a,b)|| = ||(ka,kb)||
                    = sqrt((ka,kb)·(ka,kb))
                    = sqrt((ka)^2+(kb)^2)
                    = sqrt(k^2 a^2 + k^2 b^2)
                    = sqrt(k^2(a^2 + b^2))
                    = sqrt(k^2) sqrt(a^2 + b^2)   <= (*)
                    = |k| sqrt(a^2 + b^2)
         |k| ||(a,b)|| = |k| sqrt((a,b)·(a,b))
                       = |k| sqrt(a^2 + b^2)
      Obs: o passo (*) vale porque sabemos que k^2>=0 e a^2+b^2>=0
      (supomos que o leitor conheça o teorema que diz que se x,y>=0
      então sqrt(xy) = sqrt(x)sqrt(y)).
      Muitas vezes os livros juntam essas duas seqüências de
      igualdades numa só:
         ||k(a,b)|| = ||(ka,kb)||
                    = sqrt((ka,kb)·(ka,kb))
                    = sqrt((ka)^2+(kb)^2)
                    = sqrt(k^2 a^2 + k^2 b^2)
                    = sqrt(k^2(a^2 + b^2))
                    = sqrt(k^2) sqrt(a^2 + b^2)
                    = |k| sqrt(a^2 + b^2)     <= "meio da conta"
                    = |k| sqrt((a,b)·(a,b))
                    = |k| ||(a,b)||
  Aí pedi pros alunos fazerem em sala os exercícios 6, 5 e 4 lá de
  cima, e pra fazerem em casa todos os problemas da 1ª lista do
  Reginaldo que eles ainda não sabiam como fazer (exceto o de
  projeção, que vai ficar pra depois).
16ª aula (27/abr): Avisei que um problema grande da prova vai ser
  alguma proposição dos elementos de Euclides, traduzida para
  linguagem vetorial.
    Comecei revendo com os alunos o que eram combinações lineares
  geometricamente - defini v=(2,1), w=(0,1), pedi pra eles
  representarem graficamente (no quadro) v, 3v, w, 2w, 3v+2w; revimos
  como representar vários vetores no mesmo gráfico claramente e a
  regra do paralelogramo.
    Atividade: desenhei vetores v e w ("começando no mesmo ponto") em
  8 pedaços de papel - sem desenhar os eixos - e dei um pra cada um
  dos alunos prsentes; pedi pra cada um escrever o seu nome no papel,
  representar graficamente v+2w e 2v+3w nele, e passar o papel pra um
  colega pro colega conferir se o desenho estava certo - e pra cada um
  ver se os outros tinham truques pra fazer representações gráficas
  claras que eles não conheciam.
    Def: w é _combinação linear_ de u e v quando existem a,b∈R tais
  que w=au+bv. Pra mostrarmos que um certo w é combinação linear de u
  e v temos que encontrar a e b e mostrar que w=au+bv.
    Atividade: desenhem num pedaço de papel u, v e w ("começando" no
  mesmo ponto) e peçam pro colega encontrar uma aproximação de w por
  algum au+bv.
  Geometria
  =========
  Vocês _deveriam_ ter aprendido um pouco de geometria do modo
  "clássico", por segmentos, ângulos, régua, compasso, etc... nós
  vamos reconstruir alguns conceitos de geometria usando vetores e
  coordenadas.
  Algumas idéias básicas (que vou supor que todo mundo sabe):
    retas, retas horizontais e verticais, segmentos,
    calcular a área de _alguns_ retângulos e triângulos,
    num triangulo retângulo com um cateto horizontal e um vertical
      como na figura abaixo, temos (pela definição de sen e cos):
            /|
           / |
        r /  | r sen θ
         /   |
        /)θ__|
        r cos θ
  Aí provamos o teorema de pitágoras, usando a mesma figura que em
  <http://angg.twu.net/2011.2-GA.html#18a-aula>, que era:
       B--B'---*--C
       |  |       |
       |  B''--C''C'
       |  |    |  |
       |  |    |  |
    +--A'-A''--D''|
    |  |       |  |
    +--A-------D'-D
       |       |
       |       |
       |       |
       |       |
       +-------+
  com A na origem, e o lado do quadradinho sendo alfa e o do quadradão
  sendo beta. Os alunos calcularam as coordenadas de todos os pontos
  e mais as do ponto "*" acima, que chamamos de C'''.
  Aí vimos que A'B'C'D' é um quadrado, e que Area(A'B'C'D') =
  sqrt(alfa^2 + beta^2). Pedi pra todo mundo refazer essa demonstração
  em casa.

17ª aula (02/mai): Hoje: métodos olhométricos para paralelismo,
  ortogonalidade, decomposição e projeção.
  Para cada um dos casos abaixo desenhe um vetor v' ortogonal
  (perpendicular) a v e expresse w como combinação linear de v e v'
  Obs: w=av+bv'; diga aproximadamente quem são a e b.
  (Nos problemas a,b,c,d,e eu _desenhava_ os vetores; nos
  a',b',c',d',e' eu dava eles numericamente)
    a,a') v=(1,0), w=(3,3)    [v'=(0,1),  w=3v+3v']
    b,b') v=(2,2), w=(2,0)    [v'=(-2,2), w=...]
    c,c') v=(0,1), w=(4,0)
    d,d') v=(-1,1), w=(2,-2)
  Extras, pra ajudar nos exercícios acima:
    e,e') v=(-1,-1), w=(0,3)
    Sejam v=(2,1) e v'=(-1,2). Represente graficamente:
      -v+v', v', v+v',
      -v,        v,
      -v+v', v', v+v'.
  Depois dois problemas de V/F/justifique. Se v é um vetor de R^2,
  então:
    ( ) Existem exatamente dois vetores ortogonais a v,
    ( ) Se v=(a,0) os vetores ortogonais a v são exatamente os vetores
        da forma k(a,b), para k∈R.
  Todo mundo sacou que o primeiro era falso, mas as pessoas
  discordaram da resposta do segundo. Disse pra pensarem mais em casa,
  tentarem formalizar as hipóteses, deixar tudo preciso, escrever a
  prova formalmente (por contra-exemplo ou não), etc.
  Depois: pra cada um dos casos abaixo defina A=O+λv, B=O+w, e
  encontre λ∈R tal que A fique o mais próximo possível de B.
    a) v=(1,0),  w=(2,3)   [resp: λ=2]
    b) v=(-1,1), w=(0,4)   [resp: λ=3]
    c) v=(1,2),  w=(0,0)
    d) v=(1,2),  w=(2,2)
    e) v=(0,0),  w=(2,3)
    f) v=(a,b),  w=(c,d)
  O (f) é pra fazer em casa e é muito importante. A solução dele tem
  contas mais ou menos grandes e envolve minimizar uma função de 2º
  grau, que é um problema de Cálculo 1 (tem que zerar uma derivada,
  etc).
18ª aula (04/mai): Problema (f) do fim da aula passada:
  Sejam v,w vetores de R^2, A=O+λv, B=O+w.
  Calcule λ tal que A seja o mais próximo possível de B.
  FATO: vocês sabem calcular a distância de A e B no olho
  (em casos "concretos"), sem precisarem fazer nenhuma conta.
  Vamos definir: d(λ) = d_(v,w)(λ) = ||AB||.
    a) Sejam v=(-1,1), w=(0,4).
       Calcule d(0), d(1), d(2), d(3), d(4), d(5), d(-1) (no olho).
       Dica: representem graficamente v,w,B, e o A correspondente
       a cada valor de λ.
    b) Agora faça a aconta para o caso geral.
       Sejam v=(a,b), w=(c,d). Encontre uma fórmula para
       d(λ) = d_(v,w)(λ) que só envolva a,b,c,d,λ.
       (note que estamos usando "d" em dois sentidos diferentes!)
    c) Agora que vocês já têm a fórmula, use-na para encontrar o λ
       tal que d(λ) seja mínimo, nestes 5 casos:
         I)  v=(-1,1), w=(0,4),
         II)  v=(2,1), w=(0,5),
         III) v=(2,1), w=(0,1),
         IV)  v=(2,1)  w=(1,0),
         V)   v=(2,1), w=(1,1).
       Dica: tentem encontrar o mínimo de (d(λ))^2, não o de d(λ).
    d) Encontre uma fórmula para
         d
         -- (d_(v,w)(λ))^2
         dλ
       no caso geral, em que v=(a,b) e w=(c,d).
       (Obs: agora a letra "d" está sendo usada com _três_
       significados diferentes =(! Cuidado!)
       Dica: pra simplificar a notação, defina:
         f(λ) = (d(λ))^2
       e encontre uma fórmula para f(λ) e uma para (d/dλ) f(λ).
  Pra casa: seja g(λ) = (d/dλ) f(λ).
  Prove que g(λ) = 0 se e só se λv _|_ (w-λv) e interprete isto
  geometricamente.
  Dica: façam uma demonstração num dia, depois joguem todas as
  anotações de vocês fora e num outro dia tentem escrever a
  demonstração de novo mais claramente.
  Pra quem conseguir: tente fazer uma demonstração completa de que
  ||AB|| é mínimo exatamente quando λv_|_(w-λv).

19ª aula (09/mai): Escrevi no quadro o seguinte...
  Vocês ficaram de demonstrar em casa isto aqui: Sejam A=O+λv, B=O+w.
  A distância d(A,B) é mínima exatamente quando w-λv _|_ v.
  Vocês já sabem encontrar no olhômetro o λv que minimiza a distância
  d(A,B) para quaisquer v e w dados; façam isto para cada um dos casos
  abaixo:
     I) v, w aproximadamente (2,1) e (3,8)   (só desenhei)
    II) v, w aproximadamente (-1,5) e (4,-2) (idem)
   III) v, w aproximadamente (5,3) e (2,3)   (idem)
  Aí todo mundo emperrou e eu passei um exercício preparatório.
    IV) v, w aproximadamente (2,1) e (3,8)   (só desenhei);
        Sejam B=O+w,
            A_1=O+v,
            A_2=O+2v,
            A_3=O+3v
        Represente B, A_1, A_2, A_3 no gráfico.
        Represente também w-v, w-2v, w-3v.
        (Dica: quando escrevemos um vetor como CD ele tem uma
         "representação canônica" - a seta de C para D). Se escrevemos
         só, digamos, v=(3,4), podemos representá-lo graficamente como
         P(P+v) para qualquer ponto P∈R^2).
  Depois de muita discussão uns voluntários fizeram no quadro três
  desenhos: um errado, com uma seta (O-v)(O+w) dizendo "w-v", e dois
  certos - um menos óbvio, com setas O(B-v)=w-v, O(B-2v)=w-2v,
  O(B-3v)=w-wv, e um que era o que eu tinha pensado, com setas
  (O+v)B=w-v, (O+2v)B=w-2v, (O+3v)B=w-3v.
  Pedi que os alunos completassem os gráficos pondo embaixo deles
  instruções para _calcular_ e para _nomear_ cada ponto a cada vetor
  que aparecem. Propus a seguinte sintaxe:
    A_1 := O + v     <= isto define e nomeia A_1
    A_2 := O + 2v    <= isto define e nomeia A_2
    A_3 := O + 3v
    B   := O + w
    B-v := B - v     <= porque o gráfico tem um ponto chamado "B-v"!
    O(B-v) = w - v   <= aqui o O(B-v) dá instruções para desenhar uma seta,
                        "w-v" diz o que escrever na seta, e queremos
                        verificar algebricamente que o "=" é verdade!
  Depois fiz, xeroquei e distribuí um gráfico bem mais complicado
  [que vou scanear depois] e pus o seguinte enunciado no quadro:
    O gráfico que vocês receberam tem pontos A e B, um vetor v,
    o ponto A' := A + v, e a reta r = {A+tv | t∈R}.
    O objetivo é vocês _mostrarem_ como construir o segmento mais
    curto possível ligando B a r - vocês vão ter que detalhar cada
    passo da construção.
20ª aula (11/mai): passamos a aula toda discutindo o problema da aula
  passada (o de construir o segmento mais curto). De um lado do quadro
  escrevemos as construções gerais, do outro testamos elas num exemplo
  com coordenadas explícitas: A=(2,2), A'=(5,3), B=(2,5).

21ª aula (16/mai): idem.
22ª aula (18/mai): P1 (transformada em teste, depois em exercícios):
  1) Sejam A=(a1,a2), B=(b1,b2), C=(c1,c2) três pontos diferentes de
     R^2, e seja r a reta que passa por A e B. Calcule as coordenadas
     do ponto da reta r mais próximo do ponto C.
  2) Calcule o ponto da reta {(x,y) | y=2-x/2} mais próximo do ponto
     (2,3).
  3) Verdadeiro, falso, justifique: Se v e w são vetores em R^2, então
     a) ||v+w||^2 = ||v||^2 + 2(v·w) + ||w||^2,
     b) ||v+w|| = ||v|| + 2(v·w) + ||w||,
     c) ||v+w|| = ||v|| + ||w||.

    ---------
23ª aula (26/set): 1ª aula depois da greve.
  Discutimos os problemas da P1 transformada em teste - principalmente
  o 1 e o 2. Várias pessoas estavam usando fórmulas erradas pra obter
  um vetor perpendicular a outro e pra calcular a interseção de duas
  retas usando matrizes; debugamos tudo isto.
24ª aula (28/set): mais discussão sobre os mesmos problemas.
  Fotos do quadro:
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-09-28_GA1.jpg
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-09-28_GA2.jpg
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-09-28_GA3.jpg

25ª aula (03/out): P1.
  Scan da prova (ainda sem gabarito):
    http://angg.twu.net/GA/GA_P1_2012out03.pdf
    http://angg.twu.net/GA/GA_P1_2012out03.djvu
26ª aula (05/out): discussão de problemas da P1 (link pras fotos?)

27ª aula (10/out): O objetivo desta aula era a gente resolver o
  seguinte problemão: sejam v e w vetores não-nulos ortogonais, A e C
  pontos de R^2, e sejam r, r' e s estas retas:
     r = {A+tv | t∈R},
    r' = {O+tv | t∈R},
     s = {C+uw | u∈R},
  e sejam D e D' as interseções:
     {D} = r∩s
    {D'} = r'∩s
  Qual é a relação entre D e D'?
  Exercício: mostre que se v _|_ w então v·(av+bw) = a ||v||^2.
  Aí voltamos pro problemão.
  Dei várias dicas:
    * comecem com a figura do item 1b da prova,
    * usem a figura simplificada do Nikson (com coefs angs = 1 e -1),
    * tentem usar w = (-v2,v1), C = O+av+bw,
    * tentem usar além disso A = O+a'v+b'w,
    * tentem além disso A = O+w, depois A = O+v+w.
  Aí eu vi que os alunos não estavam conseguindo escrever suas
  hipóteses precisamente, e propus que escrevessem elas em
  matematiquês formal, com ∀ e ∃; isto não funcionou, era difícil
  demais - principalmente porque tínhamos muitos objetos
  intermediários.
  Aí propus que pegassem os desenhos que tinham feito e construíssem
  uma tabela com duas colunas, na qual a primeira coluna listava os
  nomes dos objetos que foram definidos, em ordem, e a segunda coluna
  tinha o texto em matematiquês/português correspondente - e a gente
  discutiria a sintaxe certa da parte em matematiquês/português.
  Eles obtiveram isto (depois da gente debugar a tabela um pouco):
    objeto   sintaxe
    -------+--------
       A   | Seja A um ponto de R^2           [1]
       v   | Seja v um vetor não-nulo de R^2  [2]
       w   | Seja w=(-v2,v1), onde (v1,v2)=v  [3]
       a   | Seja a∈R                         [4]
       b   | Seja b∈R
       r   | Seja r = {A+tv | t∈R}
       r'  | Seja r'= {O+tv | t∈R}
       C   | Seja C = O+av+bw
       s   | Seja s= {C+uw | u∈R}
       D   | Seja D o ponto tal que r∩s = {D}    [5]
       D'  | Seja D' o ponto tal que r'∩s = {D'}
    Comentários:
    [1] Fica implícito que A é um ponto QUALQUER de R^2; o usuário
        escolhe um, e isto é como um "input" ou um "scanf".
    [2] Idem, mas se o usuário der um vetor nulo o programa rejeita -
        ele dá uma mensagem de erro e pede o vetor de novo.
    [3] Aqui a ordem é engraçada - seria mais natural escrever
        "Sejam v1,v2 tais que (v1,v2)=v; seja w=(-v2,v1)"
    [4] Aqui seria melhor escrever "Seja a um ponto de R", só por uma
        questão de estilo e clareza... mas eu não soube explicar bem
        porquê
    [5] Quando a gente diz "_o_ ponto" fica implícito que a gente sabe
        que r∩s vai ser um conjunto com exatamente um elemento; fica a
        cargo do leitor descobrir _porquê_ sabemos isto (um bom leitor
        vai até saber demonstrar porquê!)
  Aí eles conseguiram escrever a proposição deles claramente, e ela
  ficou assim (eles não escreveram os "∀"s - ou seja, o contexto -
  mas eu entendi):
    Proposição:
      D = A+av = C+bw
     D' = O+av = C+bw
  Mas esta proposição é _falsa_!...
  Mostrei que se a gente usa v=(1,1), w=(1,-1), A=(0,2), C=(0,4) então
      D = A+av = C+bw    vira  (1,3) = (0,2)+1(1,1) = (0,4)+1(1,-1), e
      D'= O+av = C+bw    vira  (2,2) = (0,2)+2(1,1) = (0,4)+2(1,-1)...
28ª aula (12/out): feriado (dia das crianças).

29ª aula (17/out):
  Ainda não transcrevi. Fotos do quadro:
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-17_GA1.jpg
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-17_GA2.jpg
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-17_GA3.jpg
30ª aula (19/out): 
  Ainda não transcrevi. Fotos do quadro:
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-19_GA1.jpg
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-19_GA2.jpg
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-19_GA3.jpg
    http://angg.twu.net/GA/quadro/2012-10-19_GA4.jpg

31ª aula (24/out): revisão
32ª aula (26/out): P2
  http://angg.twu.net/GA/2012.1-provas.pdf

33ª aula (31/out): VR/VS
34ª aula (01/nov): Feriado
Notas:
             P1   P2    VR/VS       NF   VS
Diego        3.8  6.0   10.0       8.0
Francielle   1.6  1.3    0.8       1.5
Iury         6.8  8.8   10.0       9.4
José Flávio  6.4  2.3    6.0       6.2
Kelvin       2.1   -      -        1.1
Nayara       3.0  2.2    6.0       4.0   6.0
Nikson       6.0  8.5    6.5       7.5
Tatiane      1.0   -      -        3.0

Atenção: só vou poder pôr as notas da P2 e da VR/VS aqui na 3ª de noite - ou seja depois do prazo usual =( !

O que aconteceu foi que quando eu vim pro Rio no sábado eu acabei trazendo só o pacote de provas de Bioestatística... esqueci os pacotes de GA e de MD em RO, e nas 2ªs eu tenho compromissos no Rio, e só vou poder voltar a RO na 3ª de manhã! É possível que o sistema feche para entrada de notas na 2ª feira às 24:00hs, e só reabra pra ajustes alguns dias depois - se isto for acontecer todo mundo vai ficar provisoriamente com notas mais baixas no sistema até as notas certas poderem serem colocadas lá, mas vai dar tudo certo. Peço mil desculpas pelo susto e por deixar vocês em suspenso com relação às notas finais mais um tempinho - mas se não me engano todo mundo já sabia se tinha passado ou não, só faltam as notas exatas...

Vou tentar avisar todo mundo por e-mail!