1ª aula (09/ago): Ninguém veio (1ª semana)
2ª aula (11/ago): Introdução: integrais definidas de funções-escada e
trapézios. Só metade da turma veio, aí quase todo o conteúdo desta
aula foi repetido na aula seguinte.
3ª aula (16/ago): Calculamos a integral desta função-escada:
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| +--+--+
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| +--+ +--+
| | |
--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+
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| +--+ +--+
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| +--+--+
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Vários avisos (com caveiras indicando perigo):
1) Vamos usar funções definidas por casos bastante em C2;
2) Funções definidas por casos quase não aparecem em C1 - e a
gente sai de C1 com a sensação de que todas as funções que
importam têm definições que "cabem em uma linha";
3) Em C2 nós muitas vezes não vamos querer só o resultado de uma
conta - vamos querer uma série de igualdades, cada uma delas
sendo fácil de reconhecer como verdadeira, que mostre porque o
valor de uma certa expressão é igual ao valor de outra; e pra
mostrar _porquê_ cada uma dessas igualdades é verdadeira nós
normalmente dizemos que regra foi aplicada - ou fazendo uma
anotação no sinal de "=" ou explicando textualmente.
4ª aula (18/ago): EnFEPro - os alunos de Engenharia de Produção vão
estar no encontro e não vão poder vir. Seria uma aula de
exercícios e dúvidas pra quem viesse, mas ninguém veio.
5ª aula (23/ago): Regras obedecidas por integrais definidas.
Introdução a demonstrações formais ("que a tia Stephania aceita").
Estimativas de áreas pela regra da dominação. Introdução a uma
demonstração do TFC1 por funções-escada - mas não cheguei até o
final dela, e completar essa demonstração vai ser um exercício
pra casa daqui a algumas aulas, quando os alunos tiverem todas
as técnicas pra escrever os detalhes.
6ª aula (25/ago): começamos a trabalhar sobre estes exercícios
(sobre notação para subconjuntos de R^2 e para funções,
primeira idéias sobre a álgebra das funções, e funções-escada):
http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010aug25.pdf
7ª aula (30/ago): Semana de Paralisação e Pesquisa:
http://angg.twu.net/spp-2010.html
(Mas os alunos nem notaram).
Vimos como somar uma função f:A->R com uma g:B->R e obter
uma função (f+g):A∩B->R - e agora temos uma _álgebra de funções
parciais_. Se f:A->R é qualquer função, então f':B->R é uma função
de um subconjunto de A em R.
Assumimos (temporariamente) que o TFC2 é verdade e começamos a ver
como calcular integrais com ele. Vimos um caso particular de
integração por partes e mostrei rapidamente a fórmula de mudança
de variavel na integração, que vamos ver direito na aula que vem.
8ª aula (01/set): idem.
9ª aula (06/set): Enforcado - véspera de 7/setembro.
10ª aula (08/set): Vimos como provar novas fórmulas a partir de
fórmulas gerais conhecidas usando substituições. Exercícios:
http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010sep05.pdf
11ª aula (13/set): Começamos a ver como usar a regra da integração por
substituição em integrais indefinidas - mas como ainda não
acreditamos nela nós vamos sempre checar os resultados que
obtivermos com ela usando o TFC2. Passei um exercício pra casa,
avisando que é importante - é o seguinte. Vimos como calcular
/ θ=b 2 3
| sen θ cos dθ
/ θ=a
fazendo a substituição s = sen θ. Generalize isto para
/ θ=b n 3
| sen θ cos dθ
/ θ=a
e, usando a substituição c = cos θ, faça o mesmo para:
/ θ=b n 3
| cos θ sen dθ .
/ θ=a
Além disso vimos uma introdução (rapidíssima) a diferenciais.
12ª aula (15/set): Era pra ser uma aula sobre diferenciais, mas como
estamos muito perto da prova eu ao invés disso passei uma lista de
exercícios de preparação pra prova:
http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010sep15.pdf
13ª aula (20/set): aula de revisão & dúvidas.
14ª aula (22/set): P1. As questões e o gabarito estão aqui:
http://angg.twu.net/C2/C2_P1_2010sep22.pdf
15ª aula (27/set): Somatórios; aproximação de integrais por
somatórios. Interpretação geométrica de certos somatórios. Método
do zeta à esquerda, método do zeta à direita, método do zeta no
centro, método dos trapézios. Passei como dever de casa calcular
aproximações no computador para
/ x=π
| sen x dx
/ x=0
para divisão do intervalo de integração em 10, 100 e 1000 partes.
16ª aula (29/set): A aula teria sido sobre somas de Riemann - mas ela
foi transferida pra praça em apoio à manifestação e nenhum aluno
foi.
17ª aula (04/out): Somas de Riemann. Definimos "partição em n
subintervalos do intervalo [a,b]", "partição do intervalo [a,b]",
"partição com zetas do intervalo [a,b]", e definimos a partição
óbvia em n subintervalos do intervalo [a,b] e os modos óbvios de
estender uma partição sem zetas para uma partição com zetas.
Interpretamos algumas somas de Riemann geometricamente,
encontramos os zetas que faziam uma certa soma de Riemann ser a
menor possível e os zetas que faziam a soma de Riemann ser a mesma
que o resultado do método dos trapézios (por TVI/TVM).
18ª aula (06/out): Vimos que quando tentamos calcular
/ x=+1 -2
| x dx
/ x=-1
pelo modo ingênuo o resultado é absurdo: -2.
Vimos como expressar vários métodos de integração numérica como
somatórios - método do ponto a esquerda, método do ponto no meio,
método do ponto à direita, método do trapézio, regra de Simpson,
método do inf, método do sup - e os alunos ficaram encarregados de
implementar esses métodos como programas em casa; depois vamos
checar se os programas funcionam usando a função sen x, a função f
da questão 1 da P1, a função e^(-x^2), e a função x^-2.
19ª aula (11/out): Enforcado - véspera de 12/outubro (N.Srª aparecida).
20ª aula (13/out): Definição de inf e sup de subconjuntos de R; imagem
de conjuntos por funções. A nossa função preferida para exemplos
hoje era h(x)=4-x^2, e a nossa partição preferida era
(n,(x_0,...,x_n)) = (3,(-2,-1,1,2)).
Vimos como calcular:
_n_
>__ sup(f([x_(i-1), x_i])) (x_i - x_(i-1))
i=1
e
_n_
>__ inf(f([x_(i-1), x_i])) (x_i - x_(i-1))
i=1
quando f(x) = 4-x^2, e como interpretar isto graficamente; estas
expressões dão o "método do sup" e o "método do inf".
Pedi pros alunos implementarem em alguma linguagem de programação
vários métodos de integração - zeta à esquerda, zeta à direita,
zeta no meio, métodos dos trapézios, regra de Simpson, método do
inf e método do sup, e se certificarem de que os programas
calculavam aproximações razoáveis para a f da P1 (descontínua),
para sen(x) entre x=0 e x=π, e para a parábola y=4-x^2.
21ª aula (18/out): Dei cópias da minha implementação de todos estes
métodos em Lua, que está em:
http://angg.twu.net/LUA/integration.lua.html
http://angg.twu.net/LUA/integration.lua
(find-angg "LUA/integration.lua")
Mostrei que para a função f(x) = (1 nos racionais, 0 nos
irracionais) o método do sup e o método do inf sempre dão
resultados diferentes quando tentamos usá-los para aproximar a
integral de f num intervalo [a,b] com a<b. Defini o tamanho de uma
partição, refinamentos de partições e funções Riemann-integráveis
num intervalo. Usamos este exemplo:
P = (3, (0, 1/4, 1/2, 1))
P' = (5, (0, 1/4, 1/2, 5/8, 3/4, 1))
e f(x) = 1-x.
Como dever de casa - e como preparação para a demonstração do TFC1
- pedi pros alunos demonstrarem que para para _qualquer_ função
f:[1,4]->R contínua não-decrescente com f(1)=0 e f(4)=5, para P a
partição óbvia de [1,4] em 3 subintervalos, a diferença entre o
resultado do "método do sup" e o "método do inf" em f em P dá 5;
pedi pra eles generalizarem isso para qualquer função contínua
não-decrescente de [a,b] em R, e para P a partição óbvia de [a,b]
em n subintervalos. Avisei que eles iam ter trabalho pra
conseguirem se convencer disto, e bem mais trabalho ainda pra
escreverem a demonstração direito, e que então eles reservassem
algumas horas pra estes problemas.
22ª aula (20/out): Semana de Ciência e Tecnologia.
23ª aula (25/out):
24ª aula (27/out):
25ª aula (01/nov): Feriado: dia do funcionário público
26ª aula (03/nov):
27ª aula (08/nov): Semana Acadêmica.
Vai ter aula e vou distribuir um texto sobre como organizar
demonstrações como a da fórmula do área da superfície de revolução.
Vou por o texto aqui na página de noite, junto com mais
explicações cobre como tudo vai funcionar na quarta.
28ª aula (10/nov): Semana Acadêmica.
29ª aula (15/nov): Feriado: proclamação da república
30ª aula (17/nov):
http://angg.twu.net/C2/C2_subconjuntos_2010nov17.pdf
31ª aula (22/nov):
http://angg.twu.net/C2/C2_subconjuntos_2010nov22.pdf
http://angg.twu.net/C2/C2_subconjuntos_2010nov22.djvu
32ª aula (24/nov): Vou ter que estar no fórum do Rio neste dia, pra
uma audiência de um processo trabalhista no qual eu estou envolvido.
33ª aula (29/nov): Introdução a EDO.
33.5ª aula (30/nov): aula extra (16:00)
Só o Pablo e o Lando vieram.
Discutimos esta lista de exercícios:
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf
Veja também:
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf
34ª aula (01/dez): Introdução a EDO.
35ª aula (06/dez): P2:
http://angg.twu.net/C2/C2_P2_2010dec06.pdf
http://angg.twu.net/C2/C2_P2_2010dec06.djvu
35.5ª aula (07/dez): aula extra (16:00)
Vimos um pouco de convoluções:
http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution
36ª aula (08/dez): Feriado municipal (dia de São Jesus das Ostras).
36ª aula (10/dez): VR (16:00)
http://angg.twu.net/C2/C2_VR_2010dec10.pdf
http://angg.twu.net/C2/C2_VR_2010dec10.djvu
37ª aula (13/dez): VS
http://angg.twu.net/C2/C2_VS_2010dec13.pdf
http://angg.twu.net/C2/C2_VS_2010dec13.djvu
38ª aula (15/dez):
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