Quick
index
main
eev
eepitch
maths
angg
blogme
dednat6
littlelangs
PURO
(C2,C3,C4,
 λ,ES,
 GA,MD,
 Caepro,
 textos,
 Chapa 1)

emacs
lua
(la)tex
maxima
git
lean4
agda
forth
squeak
icon
tcl
tikz
fvwm
debian
irc
contact

Cálculo 2

Todas as listas de exercícios e provas do curso de 2010.2 num arquivo só (21 páginas): pdf, djvu.

Páginas dos semestres anteriores: 2010.1, 2009.2.


O livro-texto do curso é o Thomas/Finney/Weir/Giordano: "Cálculo (10ª edição)", volume 1. A biblioteca tem vários exemplares; o código dele é 515 T456. O livro de Cálculo do Howard Anton também é muito bom.

Horários:

.      2a           3a           4a          5a
 9                                     + - - - - - +
                                       :  reuniões :
                                       :   do BCC? :
                                       :           :
11 +-----------+           +-----------+ - - - - - +
   | Mat Disc  |           | Mat Disc  |
   |  sala 12? |           | sala 12?  |
   |           |           |           |
13 +-----------+           +-----------+

14 +-----------+           +-----------+
   |atendimento|           |atendimento|
   |   GP-2    |           |   GP-2    |
   |           |           |           |
16 +-----------+           +-----------+ - - - - - +
   | Cálculo 2 |           | Cálculo 2 |  reuniões :
   |  sala 9?  |           |  sala 9?  | de depar- :
   |           |           |           |  tamento  :
18 +-----------+           +-----------+ - - - - - +


O monitor de Cálculo 2 - para as duas turmas - é o Gabriel Cosendey (a.k.a. Aperibé). Ainda não quais são os horários de atendimento que ele marcou.

Plano de curso (aproximado, sujeito a ajustes, e falta colocar as datas... cada linha corresponde a uma aula):

Introdução: integrais definidas de funções-escada e trapézios.
Regras obedecidas por integrais definidas. Demonstrações formais. Estimativas de áreas.
Antiderivadas. TFC 1 e 2. Integração por primitivação.
Álgebra de funções (somas, produtos, quocientes, composição, derivação).
Revisão de gráficos, domínios, imagens. Definições por casos.
Técnicas de integração correspondentes a técnicas de derivação. Integração por partes.
Integração por substituição. A regra da substituição em integrais indefinidas.
Diferenciais e taxas relacionadas.
Funções de duas variáveis. Substituição trigonométrica.
Áreas de regiões delimitadas por curvas.
Log e funções trigonométricas inversas.
Frações parciais. Método de Heaviside.
P1

Integral como limite de somas de Riemann. Exercícios.
Comprimento de arco.
Volume e área de sólidos de revolução.
Integrais impróprias.
Definição de EDO e de solução de EDO. Juros, MRU, queda livre, vibrações livres e amortecidas.
Condições iniciais e condições de contorno. Campos de direções. Exercícios.
Espaços de soluções. C^0(R) e C^\infty(R). D como operador linear. Linearidade em geral.
Soluções básicas da forma x^n e^ax.
P2

Séries de potências. Comparação de EDOs com seqüências definidas por recorrência.
EDOs da forma y'=a(x)y e y'=a(x)y+b(x).
EDOs com variáveis separáveis.
EDOs exatas.
EDOs homogêneas.
P3

Datas marcadas e o que foi dado nas aulas que já aconteceram:

1ª aula (09/ago): Ninguém veio (1ª semana)
2ª aula (11/ago): Introdução: integrais definidas de funções-escada e
    trapézios. Só metade da turma veio, aí quase todo o conteúdo desta
    aula foi repetido na aula seguinte.

3ª aula (16/ago): Calculamos a integral desta função-escada:
      |
      |     +--+--+
      |     |     |
      |  +--+     +--+
      |  |           |
    --+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+
      |                 |           |
      |                 +--+     +--+
      |                    |     |
      |                    +--+--+
      |
    Vários avisos (com caveiras indicando perigo):
    1) Vamos usar funções definidas por casos bastante em C2;
    2) Funções definidas por casos quase não aparecem em C1 - e a
       gente sai de C1 com a sensação de que todas as funções que
       importam têm definições que "cabem em uma linha";
    3) Em C2 nós muitas vezes não vamos querer só o resultado de uma
       conta - vamos querer uma série de igualdades, cada uma delas
       sendo fácil de reconhecer como verdadeira, que mostre porque o
       valor de uma certa expressão é igual ao valor de outra; e pra
       mostrar _porquê_ cada uma dessas igualdades é verdadeira nós
       normalmente dizemos que regra foi aplicada - ou fazendo uma
       anotação no sinal de "=" ou explicando textualmente.
4ª aula (18/ago): EnFEPro - os alunos de Engenharia de Produção vão
    estar no encontro e não vão poder vir. Seria uma aula de
    exercícios e dúvidas pra quem viesse, mas ninguém veio.

5ª aula (23/ago): Regras obedecidas por integrais definidas.
    Introdução a demonstrações formais ("que a tia Stephania aceita").
    Estimativas de áreas pela regra da dominação. Introdução a uma
    demonstração do TFC1 por funções-escada - mas não cheguei até o
    final dela, e completar essa demonstração vai ser um exercício
    pra casa daqui a algumas aulas, quando os alunos tiverem todas
    as técnicas pra escrever os detalhes.
6ª aula (25/ago): começamos a trabalhar sobre estes exercícios
    (sobre notação para subconjuntos de R^2 e para funções,
    primeira idéias sobre a álgebra das funções, e funções-escada):
      http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010aug25.pdf

7ª aula (30/ago): Semana de Paralisação e Pesquisa:
    http://angg.twu.net/spp-2010.html
    (Mas os alunos nem notaram).
    Vimos como somar uma função f:A->R com uma g:B->R e obter
    uma função (f+g):A∩B->R - e agora temos uma _álgebra de funções
    parciais_. Se f:A->R é qualquer função, então f':B->R é uma função
    de um subconjunto de A em R.
    Assumimos (temporariamente) que o TFC2 é verdade e começamos a ver
    como calcular integrais com ele. Vimos um caso particular de
    integração por partes e mostrei rapidamente a fórmula de mudança
    de variavel na integração, que vamos ver direito na aula que vem.
8ª aula (01/set): idem.

9ª aula (06/set): Enforcado - véspera de 7/setembro.
10ª aula (08/set): Vimos como provar novas fórmulas a partir de
    fórmulas gerais conhecidas usando substituições. Exercícios:
      http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010sep05.pdf

11ª aula (13/set): Começamos a ver como usar a regra da integração por
    substituição em integrais indefinidas - mas como ainda não
    acreditamos nela nós vamos sempre checar os resultados que
    obtivermos com ela usando o TFC2. Passei um exercício pra casa,
    avisando que é importante - é o seguinte. Vimos como calcular
       / θ=b    2      3
       |     sen  θ cos  dθ
       / θ=a
    fazendo a substituição s = sen θ. Generalize isto para
       / θ=b    n      3
       |     sen  θ cos  dθ
       / θ=a
    e, usando a substituição c = cos θ, faça o mesmo para:
       / θ=b    n      3
       |     cos  θ sen  dθ .
       / θ=a
    Além disso vimos uma introdução (rapidíssima) a diferenciais.
12ª aula (15/set): Era pra ser uma aula sobre diferenciais, mas como
    estamos muito perto da prova eu ao invés disso passei uma lista de
    exercícios de preparação pra prova:
      http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010sep15.pdf

13ª aula (20/set): aula de revisão & dúvidas.
14ª aula (22/set): P1. As questões e o gabarito estão aqui:
      http://angg.twu.net/C2/C2_P1_2010sep22.pdf

15ª aula (27/set): Somatórios; aproximação de integrais por
     somatórios. Interpretação geométrica de certos somatórios. Método
     do zeta à esquerda, método do zeta à direita, método do zeta no
     centro, método dos trapézios. Passei como dever de casa calcular
     aproximações no computador para
       / x=π
       |     sen x dx
       / x=0
     para divisão do intervalo de integração em 10, 100 e 1000 partes.
16ª aula (29/set): A aula teria sido sobre somas de Riemann - mas ela
    foi transferida pra praça em apoio à manifestação e nenhum aluno
    foi.

17ª aula (04/out): Somas de Riemann. Definimos "partição em n
    subintervalos do intervalo [a,b]", "partição do intervalo [a,b]",
    "partição com zetas do intervalo [a,b]", e definimos a partição
    óbvia em n subintervalos do intervalo [a,b] e os modos óbvios de
    estender uma partição sem zetas para uma partição com zetas.
    Interpretamos algumas somas de Riemann geometricamente,
    encontramos os zetas que faziam uma certa soma de Riemann ser a
    menor possível e os zetas que faziam a soma de Riemann ser a mesma
    que o resultado do método dos trapézios (por TVI/TVM).
18ª aula (06/out): Vimos que quando tentamos calcular
      / x=+1  -2
      |      x   dx
      / x=-1
    pelo modo ingênuo o resultado é absurdo: -2.
    Vimos como expressar vários métodos de integração numérica como
    somatórios - método do ponto a esquerda, método do ponto no meio,
    método do ponto à direita, método do trapézio, regra de Simpson,
    método do inf, método do sup - e os alunos ficaram encarregados de
    implementar esses métodos como programas em casa; depois vamos
    checar se os programas funcionam usando a função sen x, a função f
    da questão 1 da P1, a função e^(-x^2), e a função x^-2.

19ª aula (11/out): Enforcado - véspera de 12/outubro (N.Srª aparecida).
20ª aula (13/out): Definição de inf e sup de subconjuntos de R; imagem
    de conjuntos por funções. A nossa função preferida para exemplos
    hoje era h(x)=4-x^2, e a nossa partição preferida era
      (n,(x_0,...,x_n)) = (3,(-2,-1,1,2)).
    Vimos como calcular:
      _n_
      >__ sup(f([x_(i-1), x_i])) (x_i - x_(i-1))
      i=1
    e
      _n_
      >__ inf(f([x_(i-1), x_i])) (x_i - x_(i-1))
      i=1
    quando f(x) = 4-x^2, e como interpretar isto graficamente; estas
    expressões dão o "método do sup" e o "método do inf".
    Pedi pros alunos implementarem em alguma linguagem de programação
    vários métodos de integração - zeta à esquerda, zeta à direita,
    zeta no meio, métodos dos trapézios, regra de Simpson, método do
    inf e método do sup, e se certificarem de que os programas
    calculavam aproximações razoáveis para a f da P1 (descontínua),
    para sen(x) entre x=0 e x=π, e para a parábola y=4-x^2.

21ª aula (18/out): Dei cópias da minha implementação de todos estes
    métodos em Lua, que está em:
      http://angg.twu.net/LUA/integration.lua.html
      http://angg.twu.net/LUA/integration.lua
              (find-angg "LUA/integration.lua")
    Mostrei que para a função f(x) = (1 nos racionais, 0 nos
    irracionais) o método do sup e o método do inf sempre dão
    resultados diferentes quando tentamos usá-los para aproximar a
    integral de f num intervalo [a,b] com a<b. Defini o tamanho de uma
    partição, refinamentos de partições e funções Riemann-integráveis
    num intervalo. Usamos este exemplo:
      P  = (3, (0, 1/4, 1/2,           1))
      P' = (5, (0, 1/4, 1/2, 5/8, 3/4, 1))
    e f(x) = 1-x.
    Como dever de casa - e como preparação para a demonstração do TFC1
    - pedi pros alunos demonstrarem que para para _qualquer_ função
    f:[1,4]->R contínua não-decrescente com f(1)=0 e f(4)=5, para P a
    partição óbvia de [1,4] em 3 subintervalos, a diferença entre o
    resultado do "método do sup" e o "método do inf" em f em P dá 5;
    pedi pra eles generalizarem isso para qualquer função contínua
    não-decrescente de [a,b] em R, e para P a partição óbvia de [a,b]
    em n subintervalos. Avisei que eles iam ter trabalho pra
    conseguirem se convencer disto, e bem mais trabalho ainda pra
    escreverem a demonstração direito, e que então eles reservassem
    algumas horas pra estes problemas.
22ª aula (20/out): Semana de Ciência e Tecnologia.

23ª aula (25/out):
24ª aula (27/out):

25ª aula (01/nov): Feriado: dia do funcionário público
26ª aula (03/nov):

27ª aula (08/nov): Semana Acadêmica.
  Vai ter aula e vou distribuir um texto sobre como organizar
  demonstrações como a da fórmula do área da superfície de revolução.
  Vou por o texto aqui na página de noite, junto com mais
  explicações cobre como tudo vai funcionar na quarta.
28ª aula (10/nov): Semana Acadêmica.

29ª aula (15/nov): Feriado: proclamação da república
30ª aula (17/nov):
  http://angg.twu.net/C2/C2_subconjuntos_2010nov17.pdf

31ª aula (22/nov):
  http://angg.twu.net/C2/C2_subconjuntos_2010nov22.pdf
  http://angg.twu.net/C2/C2_subconjuntos_2010nov22.djvu
32ª aula (24/nov): Vou ter que estar no fórum do Rio neste dia, pra
  uma audiência de um processo trabalhista no qual eu estou envolvido.

33ª   aula (29/nov): Introdução a EDO.
33.5ª aula (30/nov): aula extra (16:00)
  Só o Pablo e o Lando vieram.
  Discutimos esta lista de exercícios:
    http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf
  Veja também:
    http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf
34ª   aula (01/dez): Introdução a EDO.

35ª aula (06/dez): P2:
     http://angg.twu.net/C2/C2_P2_2010dec06.pdf
     http://angg.twu.net/C2/C2_P2_2010dec06.djvu
35.5ª aula (07/dez): aula extra (16:00)
    Vimos um pouco de convoluções:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution
36ª aula (08/dez): Feriado municipal (dia de São Jesus das Ostras).
36ª aula (10/dez): VR (16:00)
    http://angg.twu.net/C2/C2_VR_2010dec10.pdf
    http://angg.twu.net/C2/C2_VR_2010dec10.djvu

37ª aula (13/dez): VS
    http://angg.twu.net/C2/C2_VS_2010dec13.pdf
    http://angg.twu.net/C2/C2_VS_2010dec13.djvu
38ª aula (15/dez):

Material do semestre anterior que pode útil:

http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010apr07.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf
http://angg.twu.net/C2/2009nov16-int-riemann.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-2.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VR.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VS.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P4.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.pdf
Notas:
                  P1  trab  P2   VR      VS  
  Marco Aurélio   0.0  ?    0.0      R	           
  Lucas Simas     2.5  ?    2.5  1.3 R
  Pablo           2.5 2.0   6.7      AP           
  Eduardo M       2.8 2.0   3.0  2.4 R
  Winicios        4.0 2.0    -   1.0 R
  Daniel Manhães  4.4        -       R	           
  Ewaldo          4.5 2.5   5.3      AP           
  João Pedro      5.5 2.0   6.2      AP           
  Dan             5.9 2.0   3.3  1.5     4.5
  Landoaldo       8.1       4.9      AP           
  Thiago          9.3 2.0   4.9      AP