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Cálculo 2

Todas as listas de exercícios e provas do curso de 2010.2 num arquivo só (21 páginas): pdf, djvu.

Páginas dos semestres anteriores: 2010.1, 2009.2.


O livro-texto do curso é o Thomas/Finney/Weir/Giordano: "Cálculo (10ª edição)", volume 1. A biblioteca tem vários exemplares; o código dele é 515 T456. O livro de Cálculo do Howard Anton também é muito bom.

Horários:

.      2a           3a           4a          5a
 9                                     + - - - - - +
                                       :  reuniões :
                                       :   do BCC? :
                                       :           :
11 +-----------+           +-----------+ - - - - - +
   | Mat Disc  |           | Mat Disc  |
   |  sala 12? |           | sala 12?  |
   |           |           |           |
13 +-----------+           +-----------+

14 +-----------+           +-----------+
   |atendimento|           |atendimento|
   |   GP-2    |           |   GP-2    |
   |           |           |           |
16 +-----------+           +-----------+ - - - - - +
   | Cálculo 2 |           | Cálculo 2 |  reuniões :
   |  sala 9?  |           |  sala 9?  | de depar- :
   |           |           |           |  tamento  :
18 +-----------+           +-----------+ - - - - - +


O monitor de Cálculo 2 - para as duas turmas - é o Gabriel Cosendey (a.k.a. Aperibé). Ainda não quais são os horários de atendimento que ele marcou.

Plano de curso (aproximado, sujeito a ajustes, e falta colocar as datas... cada linha corresponde a uma aula):

Introdução: integrais definidas de funções-escada e trapézios.
Regras obedecidas por integrais definidas. Demonstrações formais. Estimativas de áreas.
Antiderivadas. TFC 1 e 2. Integração por primitivação.
Álgebra de funções (somas, produtos, quocientes, composição, derivação).
Revisão de gráficos, domínios, imagens. Definições por casos.
Técnicas de integração correspondentes a técnicas de derivação. Integração por partes.
Integração por substituição. A regra da substituição em integrais indefinidas.
Diferenciais e taxas relacionadas.
Funções de duas variáveis. Substituição trigonométrica.
Áreas de regiões delimitadas por curvas.
Log e funções trigonométricas inversas.
Frações parciais. Método de Heaviside.
P1

Integral como limite de somas de Riemann. Exercícios.
Comprimento de arco.
Volume e área de sólidos de revolução.
Integrais impróprias.
Definição de EDO e de solução de EDO. Juros, MRU, queda livre, vibrações livres e amortecidas.
Condições iniciais e condições de contorno. Campos de direções. Exercícios.
Espaços de soluções. C^0(R) e C^\infty(R). D como operador linear. Linearidade em geral.
Soluções básicas da forma x^n e^ax.
P2

Séries de potências. Comparação de EDOs com seqüências definidas por recorrência.
EDOs da forma y'=a(x)y e y'=a(x)y+b(x).
EDOs com variáveis separáveis.
EDOs exatas.
EDOs homogêneas.
P3

Datas marcadas e o que foi dado nas aulas que já aconteceram:

1ª aula (09/ago): Ninguém veio (1ª semana)
2ª aula (11/ago): Introdução: integrais definidas de funções-escada e
    trapézios. Só metade da turma veio, aí quase todo o conteúdo desta
    aula foi repetido na aula seguinte.

3ª aula (16/ago): Calculamos a integral desta função-escada:
      |
      |     +--+--+
      |     |     |
      |  +--+     +--+
      |  |           |
    --+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+
      |                 |           |
      |                 +--+     +--+
      |                    |     |
      |                    +--+--+
      |
    Vários avisos (com caveiras indicando perigo):
    1) Vamos usar funções definidas por casos bastante em C2;
    2) Funções definidas por casos quase não aparecem em C1 - e a
       gente sai de C1 com a sensação de que todas as funções que
       importam têm definições que "cabem em uma linha";
    3) Em C2 nós muitas vezes não vamos querer só o resultado de uma
       conta - vamos querer uma série de igualdades, cada uma delas
       sendo fácil de reconhecer como verdadeira, que mostre porque o
       valor de uma certa expressão é igual ao valor de outra; e pra
       mostrar _porquê_ cada uma dessas igualdades é verdadeira nós
       normalmente dizemos que regra foi aplicada - ou fazendo uma
       anotação no sinal de "=" ou explicando textualmente.
4ª aula (18/ago): EnFEPro - os alunos de Engenharia de Produção vão
    estar no encontro e não vão poder vir. Seria uma aula de
    exercícios e dúvidas pra quem viesse, mas ninguém veio.

5ª aula (23/ago): Regras obedecidas por integrais definidas.
    Introdução a demonstrações formais ("que a tia Stephania aceita").
    Estimativas de áreas pela regra da dominação. Introdução a uma
    demonstração do TFC1 por funções-escada - mas não cheguei até o
    final dela, e completar essa demonstração vai ser um exercício
    pra casa daqui a algumas aulas, quando os alunos tiverem todas
    as técnicas pra escrever os detalhes.
6ª aula (25/ago): começamos a trabalhar sobre estes exercícios
    (sobre notação para subconjuntos de R^2 e para funções,
    primeira idéias sobre a álgebra das funções, e funções-escada):
      http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010aug25.pdf

7ª aula (30/ago): Semana de Paralisação e Pesquisa:
    http://angg.twu.net/spp-2010.html
    (Mas os alunos nem notaram).
    Vimos como somar uma função f:A->R com uma g:B->R e obter
    uma função (f+g):A∩B->R - e agora temos uma _álgebra de funções
    parciais_. Se f:A->R é qualquer função, então f':B->R é uma função
    de um subconjunto de A em R.
    Assumimos (temporariamente) que o TFC2 é verdade e começamos a ver
    como calcular integrais com ele. Vimos um caso particular de
    integração por partes e mostrei rapidamente a fórmula de mudança
    de variavel na integração, que vamos ver direito na aula que vem.
8ª aula (01/set): idem.

9ª aula (06/set): Enforcado - véspera de 7/setembro.
10ª aula (08/set): Vimos como provar novas fórmulas a partir de
    fórmulas gerais conhecidas usando substituições. Exercícios:
      http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010sep05.pdf

11ª aula (13/set): Começamos a ver como usar a regra da integração por
    substituição em integrais indefinidas - mas como ainda não
    acreditamos nela nós vamos sempre checar os resultados que
    obtivermos com ela usando o TFC2. Passei um exercício pra casa,
    avisando que é importante - é o seguinte. Vimos como calcular
       / θ=b    2      3
       |     sen  θ cos  dθ
       / θ=a
    fazendo a substituição s = sen θ. Generalize isto para
       / θ=b    n      3
       |     sen  θ cos  dθ
       / θ=a
    e, usando a substituição c = cos θ, faça o mesmo para:
       / θ=b    n      3
       |     cos  θ sen  dθ .
       / θ=a
    Além disso vimos uma introdução (rapidíssima) a diferenciais.
12ª aula (15/set): Era pra ser uma aula sobre diferenciais, mas como
    estamos muito perto da prova eu ao invés disso passei uma lista de
    exercícios de preparação pra prova:
      http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010sep15.pdf

13ª aula (20/set): aula de revisão & dúvidas.
14ª aula (22/set): P1. As questões e o gabarito estão aqui:
      http://angg.twu.net/C2/C2_P1_2010sep22.pdf

15ª aula (27/set): Somatórios; aproximação de integrais por
     somatórios. Interpretação geométrica de certos somatórios. Método
     do zeta à esquerda, método do zeta à direita, método do zeta no
     centro, método dos trapézios. Passei como dever de casa calcular
     aproximações no computador para
       / x=π
       |     sen x dx
       / x=0
     para divisão do intervalo de integração em 10, 100 e 1000 partes.
16ª aula (29/set): A aula teria sido sobre somas de Riemann - mas ela
    foi transferida pra praça em apoio à manifestação e nenhum aluno
    foi.

17ª aula (04/out): Somas de Riemann. Definimos "partição em n
    subintervalos do intervalo [a,b]", "partição do intervalo [a,b]",
    "partição com zetas do intervalo [a,b]", e definimos a partição
    óbvia em n subintervalos do intervalo [a,b] e os modos óbvios de
    estender uma partição sem zetas para uma partição com zetas.
    Interpretamos algumas somas de Riemann geometricamente,
    encontramos os zetas que faziam uma certa soma de Riemann ser a
    menor possível e os zetas que faziam a soma de Riemann ser a mesma
    que o resultado do método dos trapézios (por TVI/TVM).
18ª aula (06/out): Vimos que quando tentamos calcular
      / x=+1  -2
      |      x   dx
      / x=-1
    pelo modo ingênuo o resultado é absurdo: -2.
    Vimos como expressar vários métodos de integração numérica como
    somatórios - método do ponto a esquerda, método do ponto no meio,
    método do ponto à direita, método do trapézio, regra de Simpson,
    método do inf, método do sup - e os alunos ficaram encarregados de
    implementar esses métodos como programas em casa; depois vamos
    checar se os programas funcionam usando a função sen x, a função f
    da questão 1 da P1, a função e^(-x^2), e a função x^-2.

19ª aula (11/out): Enforcado - véspera de 12/outubro (N.Srª aparecida).
20ª aula (13/out): Definição de inf e sup de subconjuntos de R; imagem
    de conjuntos por funções. A nossa função preferida para exemplos
    hoje era h(x)=4-x^2, e a nossa partição preferida era
      (n,(x_0,...,x_n)) = (3,(-2,-1,1,2)).
    Vimos como calcular:
      _n_
      >__ sup(f([x_(i-1), x_i])) (x_i - x_(i-1))
      i=1
    e
      _n_
      >__ inf(f([x_(i-1), x_i])) (x_i - x_(i-1))
      i=1
    quando f(x) = 4-x^2, e como interpretar isto graficamente; estas
    expressões dão o "método do sup" e o "método do inf".
    Pedi pros alunos implementarem em alguma linguagem de programação
    vários métodos de integração - zeta à esquerda, zeta à direita,
    zeta no meio, métodos dos trapézios, regra de Simpson, método do
    inf e método do sup, e se certificarem de que os programas
    calculavam aproximações razoáveis para a f da P1 (descontínua),
    para sen(x) entre x=0 e x=π, e para a parábola y=4-x^2.

21ª aula (18/out): Dei cópias da minha implementação de todos estes
    métodos em Lua, que está em:
      http://angg.twu.net/LUA/integration.lua.html
      http://angg.twu.net/LUA/integration.lua
              (find-angg "LUA/integration.lua")
    Mostrei que para a função f(x) = (1 nos racionais, 0 nos
    irracionais) o método do sup e o método do inf sempre dão
    resultados diferentes quando tentamos usá-los para aproximar a
    integral de f num intervalo [a,b] com a<b. Defini o tamanho de uma
    partição, refinamentos de partições e funções Riemann-integráveis
    num intervalo. Usamos este exemplo:
      P  = (3, (0, 1/4, 1/2,           1))
      P' = (5, (0, 1/4, 1/2, 5/8, 3/4, 1))
    e f(x) = 1-x.
    Como dever de casa - e como preparação para a demonstração do TFC1
    - pedi pros alunos demonstrarem que para para _qualquer_ função
    f:[1,4]->R contínua não-decrescente com f(1)=0 e f(4)=5, para P a
    partição óbvia de [1,4] em 3 subintervalos, a diferença entre o
    resultado do "método do sup" e o "método do inf" em f em P dá 5;
    pedi pra eles generalizarem isso para qualquer função contínua
    não-decrescente de [a,b] em R, e para P a partição óbvia de [a,b]
    em n subintervalos. Avisei que eles iam ter trabalho pra
    conseguirem se convencer disto, e bem mais trabalho ainda pra
    escreverem a demonstração direito, e que então eles reservassem
    algumas horas pra estes problemas.
22ª aula (20/out): Semana de Ciência e Tecnologia.

23ª aula (25/out):
24ª aula (27/out):

25ª aula (01/nov): Feriado: dia do funcionário público
26ª aula (03/nov):

27ª aula (08/nov): Semana Acadêmica.
  Vai ter aula e vou distribuir um texto sobre como organizar
  demonstrações como a da fórmula do área da superfície de revolução.
  Vou por o texto aqui na página de noite, junto com mais
  explicações cobre como tudo vai funcionar na quarta.
28ª aula (10/nov): Semana Acadêmica.

29ª aula (15/nov): Feriado: proclamação da república
30ª aula (17/nov):
  http://angg.twu.net/C2/C2_subconjuntos_2010nov17.pdf

31ª aula (22/nov):
  http://angg.twu.net/C2/C2_subconjuntos_2010nov22.pdf
  http://angg.twu.net/C2/C2_subconjuntos_2010nov22.djvu
32ª aula (24/nov): Vou ter que estar no fórum do Rio neste dia, pra
  uma audiência de um processo trabalhista no qual eu estou envolvido.

33ª   aula (29/nov): Introdução a EDO.
33.5ª aula (30/nov): aula extra (16:00)
  Só o Pablo e o Lando vieram.
  Discutimos esta lista de exercícios:
    http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf
  Veja também:
    http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf
34ª   aula (01/dez): Introdução a EDO.

35ª aula (06/dez): P2:
     http://angg.twu.net/C2/C2_P2_2010dec06.pdf
     http://angg.twu.net/C2/C2_P2_2010dec06.djvu
35.5ª aula (07/dez): aula extra (16:00)
    Vimos um pouco de convoluções:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution
36ª aula (08/dez): Feriado municipal (dia de São Jesus das Ostras).
36ª aula (10/dez): VR (16:00)
    http://angg.twu.net/C2/C2_VR_2010dec10.pdf
    http://angg.twu.net/C2/C2_VR_2010dec10.djvu

37ª aula (13/dez): VS
    http://angg.twu.net/C2/C2_VS_2010dec13.pdf
    http://angg.twu.net/C2/C2_VS_2010dec13.djvu
38ª aula (15/dez):

Material do semestre anterior que pode útil:

http://angg.twu.net/C2/C2_exercicios_2010apr07.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-1.pdf
http://angg.twu.net/C2/2009nov16-int-riemann.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P2.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-2.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P3.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-3.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VR.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VS.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-exercs-P4.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2a.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-C2-prova-VS2b.pdf
Notas:
                  P1  trab  P2   VR      VS  
  Marco Aurélio   0.0  ?    0.0      R	           
  Lucas Simas     2.5  ?    2.5  1.3 R
  Pablo           2.5 2.0   6.7      AP           
  Eduardo M       2.8 2.0   3.0  2.4 R
  Winicios        4.0 2.0    -   1.0 R
  Daniel Manhães  4.4        -       R	           
  Ewaldo          4.5 2.5   5.3      AP           
  João Pedro      5.5 2.0   6.2      AP           
  Dan             5.9 2.0   3.3  1.5     4.5
  Landoaldo       8.1       4.9      AP           
  Thiago          9.3 2.0   4.9      AP